Przeprowadzono N eksperymentów według schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem powodzenia p. Niech X będzie liczbą sukcesów. Zmienna losowa X ma zakres wartości (0,1,2,...,n). Prawdopodobieństwa tych wartości można znaleźć za pomocą wzoru: , gdzie C m n jest liczbą kombinacji od n do m. 
Szereg dystrybucji wygląda następująco:
| X | 0 | 1 | ... | M | N |
| P | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | C m n p m (1-p) n-m | p.n |
Cel usługi. Do wykreślania używany jest kalkulator online rozkład szeregów dwumianowych oraz obliczenie wszystkich charakterystyk szeregu: oczekiwań matematycznych, dyspersji i odchylenia standardowego. Protokół z decyzją sporządzany jest w formacie Word (przykład).
Instrukcje wideo
Obwód testowy Bernoulliego
Charakterystyka numeryczna zmiennej losowej o rozkładzie zgodnym z prawem dwumianu
Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej X o rozkładzie zgodnym z prawem dwumianu.M[X]=np
Wariancja zmiennej losowej X rozłożona zgodnie z prawem dwumianu.
D[X]=npq
Przykład nr 1. Produkt może mieć wadę z prawdopodobieństwem p = 0,3 każde. Z partii wybierane są trzy produkty. X to liczba wadliwych części spośród wybranych. Znajdź (wpisz wszystkie odpowiedzi w formularzu miejsca dziesiętne): a) seria rozdzielcza X; b) funkcja rozkładu F(x) .
Rozwiązanie. Zmienna losowa X ma zakres wartości (0,1,2,3).
Znajdźmy szereg dystrybucyjny X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44
P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027
| x ja | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p ja | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Oczekiwanie matematyczne znajdujemy za pomocą wzoru M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Badanie: m = ∑x ja p ja .
Oczekiwanie M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Wariancję obliczamy ze wzoru D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Badanie: re = ∑x 2 ja p ja - M[x] 2 .
Wariancja D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Odchylenie standardowe σ(x).
Funkcja rozkładu F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1
- Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w jednej próbie wynosi 0,6. Wykonuje się 5 testów. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X – liczby wystąpień zdarzenia.
- Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X liczby trafień czterema strzałami, jeśli prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8.
- Monetą rzucamy 7 razy. Znajdować oczekiwanie matematyczne oraz różnice w liczbie wystąpień herbu. Uwaga: tutaj prawdopodobieństwo pojawienia się herbu wynosi p = 1/2 (ponieważ moneta ma dwie strony).
Przykład nr 2. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w pojedynczej próbie wynosi 0,6. Stosując twierdzenie Bernoulliego, wyznacz liczbę niezależnych prób, od których obliczone zostanie prawdopodobieństwo odchylenia częstotliwości zdarzenia od jego prawdopodobieństwa według wartość bezwzględna mniej niż 0,1, więcej niż 0,97. (Odpowiedź: 801)
Przykład nr 3. Uczniowie rozwiązują test na zajęciach z informatyki. Praca składa się z trzech zadań. Aby uzyskać dobrą ocenę, trzeba znaleźć prawidłowe odpowiedzi na co najmniej dwa zadania. Do każdego zadania podano 5 odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa. Uczeń wybiera odpowiedź losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostanie dobrą ocenę?
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo prawidłowej odpowiedzi na pytanie: p=1/5=0,2; n=3.
Dane te należy wprowadzić do kalkulatora. W odpowiedzi zobacz P(2)+P(3).
Przykład nr 4. Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel jednym strzałem wynosi (m+n)/(m+n+2). Oddaje się n+4 strzałów. Znajdź prawdopodobieństwo, że nie trafi więcej niż dwa razy.
Notatka. Prawdopodobieństwo, że nie spudł więcej niż dwa razy, obejmuje następujące zdarzenia: nigdy nie spudł P(4), spudł raz P(3), spudł dwa razy P(2).
Przykład nr 5. Określ rozkład prawdopodobieństwa liczby uszkodzonych statków powietrznych, jeśli wystartują 4 samoloty. Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy statku powietrznego P = 0,99. Liczbę samolotów, które uległy awarii w każdym locie, rozdziela się zgodnie z prawem dwumianu.
Krótka teoria
Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się eksperymentami, które można powtarzać (przynajmniej teoretycznie) nieograniczoną liczbę razy. Niech jakiś eksperyment zostanie powtórzony raz, a wyniki każdego powtórzenia nie będą zależeć od wyników poprzednich powtórzeń. Takie serie powtórzeń nazywane są niezależnymi próbami. Szczególnym przypadkiem takich testów są niezależne testy Bernoulliego, które charakteryzują się dwoma warunkami:
1) wynikiem każdego testu jest jeden z dwóch możliwych wyników, zwanych odpowiednio „sukcesem” lub „porażką”.
2) prawdopodobieństwo „sukcesu” w każdym kolejnym teście nie zależy od wyników poprzednich testów i pozostaje stałe.
Twierdzenie Bernoulliego
Jeżeli przeprowadza się serię niezależnych prób Bernoulliego, w których „sukces” pojawia się z prawdopodobieństwem , to prawdopodobieństwo, że „sukces” pojawi się dokładnie raz w próbach, wyraża się wzorem:
gdzie jest prawdopodobieństwo „porażki”.
– liczba kombinacji elementów według (patrz podstawowe wzory kombinatoryki)
Ta formuła nazywa się Wzór Bernoulliego.
Wzór Bernoulliego pozwala pozbyć się dużej liczby obliczeń – dodawania i mnożenia prawdopodobieństw – przy odpowiednio dużej liczbie testów.
Schemat testu Bernoulliego nazywany jest również schematem dwumianowym, a odpowiadające mu prawdopodobieństwa nazywane są dwumianowym, co wiąże się z użyciem współczynników dwumianowych.
W szczególności pozwala na to rozkład według schematu Bernoulliego.
Jeśli liczba testów N jest duży, użyj:
Przykład rozwiązania problemu
Stan problemowy
Szybkość kiełkowania niektórych nasion roślin wynosi 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z 10 wysianych nasion: 8, co najmniej 8; przynajmniej 8?
Rozwiązanie problemu
Skorzystajmy ze wzoru Bernoulliego:
W naszym przypadku
Niech stanie się tak, że z 10 nasion wykiełkuje 8:
Niech wydarzenie będzie wynosić co najmniej 8 (czyli 8, 9 lub 10)
Niech wydarzenie wzrośnie co najmniej 8 (oznacza to 8,9 lub 10)
Odpowiedź
Przeciętny koszt rozwiązania praca testowa 700 - 1200 rubli (ale nie mniej niż 300 rubli za całe zamówienie). Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Koszt pomocy online do egzaminu/testu wynosi od 1000 rubli. za rozwiązanie biletu.
Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po uprzednim przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o terminach potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.
Definicja powtarzanych niezależnych testów. Wzory Bernoulliego na obliczanie prawdopodobieństwa i najbardziej prawdopodobnej liczby. Wzory asymptotyczne na wzór Bernoulliego (lokalne i całkowe, twierdzenia Laplace'a). Korzystanie z twierdzenia całkowego. Wzór Poissona na mało prawdopodobne zdarzenia losowe.
Powtarzane niezależne testy
W praktyce mamy do czynienia z zadaniami, które można przedstawić w postaci wielokrotnie powtarzanych testów, w wyniku których zdarzenie A może się pojawić lub nie. W tym przypadku wynik będący przedmiotem zainteresowania nie jest wynikiem każdego pojedynczego testu, ale całkowita ilość wystąpienia zdarzenia A w wyniku określonej liczby prób. W takich zadaniach trzeba umieć wyznaczyć prawdopodobieństwo dowolnej liczby m wystąpienia zdarzenia A w wyniku n prób. Rozważmy przypadek, gdy próby są niezależne i prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe. Takie testy nazywane są powtarzane niezależnie.
Przykładem niezależnych badań jest sprawdzenie przydatności produktów pobranych pojedynczo z kilku partii. Jeżeli procent wad w tych partiach jest taki sam, to prawdopodobieństwo, że wybrany produkt będzie wadliwy, jest w każdym przypadku liczbą stałą.
Wzór Bernoulliego
Skorzystajmy z koncepcji złożone wydarzenie, co oznacza kombinację kilku zdarzeń elementarnych polegającą na pojawieniu się lub niewystąpieniu zdarzenia A w i-tej próbie. Niech zostanie przeprowadzonych n niezależnych prób, w których każde zdarzenie A może albo wystąpić z prawdopodobieństwem p, albo nie wystąpić z prawdopodobieństwem q=1-p. Rozważmy zdarzenie B_m, które oznacza, że zdarzenie A wystąpi dokładnie m razy w tych n próbach, a zatem nie wystąpi dokładnie (n-m) razy. Oznaczmy A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) wystąpienie zdarzenia A, a \overline(A)_i - brak wystąpienia zdarzenia A w i-tej próbie. Ze względu na stałość warunków testowych mamy
Zdarzenie A może wystąpić m razy w różnych sekwencjach lub kombinacjach, na przemian wydarzenie przeciwne\overline(A) . Liczba możliwych kombinacji tego rodzaju jest równa liczbie kombinacji n elementów m, czyli C_n^m. W konsekwencji zdarzenie B_m można przedstawić jako sumę zdarzeń złożonych, które są ze sobą niespójne, a liczba wyrazów jest równa C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),
gdzie każdy produkt zawiera zdarzenie A m razy i \overline(A) - (n-m) razy.
Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia złożonego zawartego we wzorze (3.1), zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych, wynosi p^(m)q^(n-m) . Ponieważ całkowita liczba takich zdarzeń jest równa C_n^m, to korzystając z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych, otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia B_m (oznaczamy je P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(lub)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
Nazywa się wzór (3.2). Wzór Bernoulliego, a powtarzane testy spełniające warunek niezależności i stałości prawdopodobieństw wystąpienia zdarzenia A w każdym z nich nazywane są Testy Bernoulliego lub schemat Bernoulliego.
Przykład 1. Prawdopodobieństwo przekroczenia strefy tolerancji podczas obróbki części na tokarce wynosi 0,07. Określ prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych podczas zmiany części jedna będzie miała wymiary średnicy niezgodne z określoną tolerancją.
Rozwiązanie. Stan zadania spełnia wymagania schematu Bernoulliego. Dlatego zakładając n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, korzystając ze wzoru (3.2) otrzymujemy
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\około0,\!262.
Przykład 2. Obserwacje wykazały, że na pewnym obszarze we wrześniu jest 12 dni deszczowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 8 losowo wybranych w tym miesiącu dni 3 będą deszczowe?
Rozwiązanie.
P_(3;8)=C_8^3(\lewo(\frac(12)(30)\prawo)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
Najbardziej prawdopodobna liczba wystąpień zdarzenia
Najbardziej prawdopodobna data wystąpienia zdarzenie A w n niezależnych próbach nazywa się taką liczbą m_0, dla której prawdopodobieństwo odpowiadające tej liczbie jest większe lub co najmniej nie mniejsze niż prawdopodobieństwo każdej z pozostałych możliwych liczb wystąpienia zdarzenia A. Aby wyznaczyć najbardziej prawdopodobną liczbę, nie trzeba obliczać prawdopodobieństw możliwej liczby wystąpień zdarzenia, wystarczy znać liczbę prób n i prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w osobnej próbie. Oznaczmy P_(m_0,n) prawdopodobieństwo odpowiadające najbardziej prawdopodobnej liczbie m_0. Korzystając ze wzoru (3.2) piszemy
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
Zgodnie z definicją liczby najbardziej prawdopodobnej prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A odpowiednio m_0+1 i m_0-1 razy nie mogą przekraczać prawdopodobieństwa P_(m_0,n), tj.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
Podstawiając do nierówności wartość P_(m_0,n) oraz wyrażenia prawdopodobieństwa P_(m_0+1,n) i P_(m_0-1,n) otrzymujemy
Rozwiązując te nierówności dla m_0, otrzymujemy
M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)
Łącząc ostatnie nierówności otrzymujemy nierówność podwójną, która służy do wyznaczenia najbardziej prawdopodobnej liczby:
Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
Ponieważ długość przedziału określonego nierównością (3.4) jest równa jedności, tj.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
a zdarzenie może wystąpić tylko w n próbach całkowitą liczbę razy, to należy pamiętać, że:
1) jeśli np-q jest liczbą całkowitą, to istnieją dwie wartości najbardziej prawdopodobnej liczby, a mianowicie: m_0=np-q i m"_0=np-q+1=np+p ;
2) jeśli np-q jest liczbą ułamkową, to istnieje jedna najbardziej prawdopodobna liczba, a mianowicie: jedyna liczba całkowita zawarta pomiędzy liczby ułamkowe, otrzymane z nierówności (3.4);
3) jeśli np jest liczbą całkowitą, to istnieje jedna najbardziej prawdopodobna liczba, a mianowicie: m_0=np.
W przypadku dużych wartości n niewygodne jest stosowanie wzoru (3.3) do obliczenia prawdopodobieństwa odpowiadającego najbardziej prawdopodobnej liczbie. Jeśli podstawimy wzór Stirlinga do równości (3.3)
N!\około(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),
obowiązuje dla dostatecznie dużego n i przyjmujemy najbardziej prawdopodobną liczbę m_0=np, wówczas otrzymujemy wzór na przybliżone obliczenie prawdopodobieństwa odpowiadającego najbardziej prawdopodobnej liczbie:
P_(m_0,n)\około\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
Przykład 2. Wiadomo, że \frac(1)(15) część wyrobów dostarczanych przez zakład do bazy handlowej nie spełnia wszystkich wymagań normy. Do bazy dostarczono partię 250 produktów. Znajdź najbardziej prawdopodobną liczbę produktów spełniających wymagania normy i oblicz prawdopodobieństwo, że w tej partii będzie znajdować się najbardziej prawdopodobna liczba produktów.
Rozwiązanie. Według warunku n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Zgodnie z nierównością (3.4) mamy
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
Gdzie 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. W związku z tym najbardziej prawdopodobna liczba wyrobów spełniających wymagania normy w partii 250 szt. równa się 234. Podstawiając dane do wzoru (3.5) obliczamy prawdopodobieństwo posiadania najbardziej prawdopodobnej liczby produktów w partii:
P_(234250)\około\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\około0,\!101
Lokalne twierdzenie Laplace'a
Bardzo trudno jest zastosować wzór Bernoulliego dla dużych wartości n. Na przykład, jeśli n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, to aby znaleźć prawdopodobieństwo P_(30,50) należy obliczyć wartość wyrażenia
P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
Naturalnie pojawia się pytanie: czy można obliczyć prawdopodobieństwo odsetek bez korzystania ze wzoru Bernoulliego? Okazuje się, że jest to możliwe. Lokalne twierdzenie Laplace'a podaje wzór asymptotyczny, który pozwala nam w przybliżeniu znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń dokładnie m razy w n próbach, jeśli liczba prób jest wystarczająco duża.
Twierdzenie 3.1.
Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) Na .
Istnieją tabele zawierające wartości funkcji \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), odpowiadające dodatnim wartościom argumentu x. Dla ujemnych wartości argumentu stosuje się te same tabele, ponieważ funkcja \varphi(x) jest parzysta, tj. \varphi(-x)=\varphi(x).
Zatem prawdopodobieństwo, że zdarzenie A wystąpi dokładnie m razy w n próbach, wynosi w przybliżeniu
P_(m,n)\około\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Gdzie x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).
Przykład 3. Znajdź prawdopodobieństwo, że zdarzenie A wystąpi dokładnie 80 razy w 400 próbach, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie wynosi 0,2.
Rozwiązanie. Według warunku n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Skorzystajmy z asymptotycznego wzoru Laplace'a:
P_(80 400)\około\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (X).
Obliczmy wartość x wyznaczoną przez dane zadania:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
Według tabeli przym. 1 znajdujemy \varphi(0)=0,\!3989. Wymagane prawdopodobieństwo
P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
Wzór Bernoulliego prowadzi w przybliżeniu do tego samego wyniku (obliczenia pominięto ze względu na ich uciążliwość):
P_(80,100)=0,\!0498.
Twierdzenie całkowe Laplace'a
Załóżmy, że przeprowadza się n niezależnych prób, w każdej z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest stałe i równe p. Należy obliczyć prawdopodobieństwo P_((m_1,m_2),n), że zdarzenie A pojawi się w n próbach co najmniej m_1 i co najwyżej m_2 razy (dla uproszczenia powiemy „od m_1 do m_2 razy”). Można to zrobić za pomocą twierdzenia całkowego Laplace'a.
Twierdzenie 3.2.
Jeżeli prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe i różne od zera i jedności, to w przybliżeniu prawdopodobieństwo P_((m_1,m_2),n) to zdarzenie A wystąpi w próbach od m_1 do m_2 razy, P_((m_1,m_2),n)\około\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,
Gdzie . Przy rozwiązywaniu problemów wymagających zastosowania twierdzenia całkowego Laplace'a stosuje się specjalne tabele, ponieważ Całka nieoznaczona\int(e^(-x^2/2)\,dx) nie wyrażone poprzez funkcje elementarne . Integralny stół\Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>podane w załączniku. 2, gdzie wartości funkcji \Phi(x) podane są dla dodatnich wartości x, dla x
5 możemy przyjąć \Phi(x)=0,\!5 .
P_((m_1,m_2),n)\około\Phi(x"")-\Phi(x"), Gdzie x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
Przykład 4. Prawdopodobieństwo, że część została wyprodukowana niezgodnie z normami, wynosi p=0,\!2. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 400 losowo wybranych części niestandardowych będzie od 70 do 100 części.
Rozwiązanie. Według warunku p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Skorzystajmy z twierdzenia całkowego Laplace'a:
P_((70,100),400)\około\Phi(x"")-\Phi(x").
Obliczmy granice całkowania:
niżej
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
górny
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
Zatem
P_((70,100),400)\około\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
Według tabeli przym. 2 znajdziemy
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
Wymagane prawdopodobieństwo
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
Zastosowanie twierdzenia całkowego Laplace'a
Jeżeli liczba m (liczba wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach) zmieni się z m_1 na m_2, to ułamek \frac(m-np)(\sqrt(npq)) będzie się różnić od \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" Do \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Dlatego twierdzenie całkowe Laplace'a można również zapisać w następujący sposób:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
Postawmy sobie zadanie znalezienia prawdopodobieństwa, że odchylenie częstotliwości względnej \frac(m)(n) od stałego prawdopodobieństwa p w wartości bezwzględnej nie przekroczy zadanej liczby \varepsilon>0. Innymi słowy, znajdujemy prawdopodobieństwo nierówności \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, czyli to samo -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Prawdopodobieństwo to będziemy oznaczać następująco: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Uwzględniając wzór (3.6) na to prawdopodobieństwo otrzymujemy
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\około2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\Prawidłowy).
Przykład 5. Prawdopodobieństwo, że część jest niestandardowa wynosi p=0,\!1. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród 400 losowo wybranych części względna częstotliwość występowania części niestandardowych będzie odbiegać od prawdopodobieństwa p=0,\!1 w wartości bezwzględnej o nie więcej niż 0,03.
Rozwiązanie. Według warunku n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Musimy znaleźć prawdopodobieństwo P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Korzystając ze wzoru (3.7) otrzymujemy
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\około2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
Według tabeli przym. 2 znajdujemy \Phi(2)=0,\!4772 , zatem 2\Phi(2)=0,\!9544 . Zatem pożądane prawdopodobieństwo wynosi w przybliżeniu 0,9544. Znaczenie wyniku jest następujące: jeśli weźmie się odpowiednio dużą liczbę próbek po 400 części każda, to w około 95,44% tych próbek odchylenie częstotliwości względnej od stałego prawdopodobieństwa p=0.\!1 w wartości bezwzględnej wartość nie przekroczy 0,03.
Wzór Poissona na zdarzenia mało prawdopodobne
Jeżeli prawdopodobieństwo p zajścia zdarzenia w pojedynczej próbie jest bliskie zeru, to nawet przy dużej liczbie prób n, ale przy mała wartość iloczynu np, wartości prawdopodobieństwa P_(m,n) otrzymane ze wzoru Laplace’a okazują się niewystarczająco dokładne i istnieje potrzeba opracowania innego przybliżonego wzoru.
Twierdzenie 3.3.
Jeżeli prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stałe, ale małe, liczba niezależnych prób n jest wystarczająco duża, ale wartość iloczynu np=\lambda pozostaje mała (nie większa niż dziesięć), to prawdopodobieństwo że zdarzenie A wystąpi m razy w tych próbach\,e^{-\lambda}. !}
P_(m,n)\około\frac(\lambda^m)(m Aby uprościć obliczenia za pomocą wzoru Poissona, opracowano tabelę wartości funkcji Poissona\,e^{-\lambda} !}\frac(\lambda^m)(m
(patrz załącznik 3).
Przykład 6. Niech prawdopodobieństwo wyprodukowania niestandardowej części będzie wynosić 0,004. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 1000 części znajdzie się 5 niestandardowych. Rozwiązanie. Tutaj n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4 . Wszystkie trzy liczby spełniają wymagania Twierdzenia 3.3, dlatego aby znaleźć prawdopodobieństwo pożądanego zdarzenia P_(5,1000), korzystamy ze wzoru Poissona. Z tabeli wartości funkcji Poissona (Załącznik 3) z \lambda=4;m=5 otrzymujemy.
P_(5,1000)\około0,\!1563
Znajdźmy prawdopodobieństwo tego samego zdarzenia, korzystając ze wzoru Laplace'a. Aby to zrobić, najpierw obliczamy wartość x odpowiadającą m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\około\frac(1)(1,\!996)\około0 ,\!501.
Zatem zgodnie ze wzorem Laplace’a pożądane prawdopodobieństwo
P_(5,1000)\około\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\około\frac(0,\!3519)(1,\!996)\około0,\ !1763
i zgodnie ze wzorem Bernoulliego jego dokładna wartość wynosi
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\około0,\!1552. Zatem, błąd względny
obliczanie prawdopodobieństw P_(5,1000) przy użyciu przybliżonego wzoru Laplace'a\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\około0,\!196
lub 13.\!6\%
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\około0,\!007, lub 0.\!7\%
Czyli wielokrotnie mniej.
Przejdź do następnej sekcji
Jednowymiarowe zmienne losowe
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!
FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI
Państwowa instytucja edukacyjna
wyższe wykształcenie zawodowe
„MATI” - ROSYJSKI PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY NAZWONY PO K.E. Ciołkowski
Katedra „Modelowania Systemów i Technologii Informacyjnych”
Powtórzenie testów. Obwód Bernoulliego
Wytyczne do ćwiczeń praktycznych
w dyscyplinie „Matematyka wyższa”
Opracował: Egorova Yu.B.
Mamonow I.M.
Wprowadzenie Moskwa 2006
Wytyczne przeznaczone są dla studentów studiów stacjonarnych i wieczorowych Wydziału nr 14, specjalności 150601, 160301, 230102. Wytyczne podkreślają podstawowe pojęcia z tematu oraz określają kolejność studiowania materiału. Duża ilość omówionych przykładów pomaga w praktycznym rozwinięciu tematu. Wytyczne służą jako podstawa metodologiczna zajęcia praktyczne i realizację poszczególnych zadań.
SCHEMAT BERNOULLIEGO. FORMUŁA BERNOULLIEGO
Schemat Bernoulliego- schemat powtarzanych niezależnych testów, w którym występuje jakieś zdarzenie A można powtarzać wiele razy ze stałym prawdopodobieństwem R (A)= R .
Przykłady testów przeprowadzonych według schematu Bernoulliego: wielokrotne rzucanie monetą lub kostką, wytwarzanie partii części, strzelanie do celu itp.
Twierdzenie. Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdym teście jest stała i równa R, to prawdopodobieństwo, że zdarzenie A przyjdzie M raz na N testów (bez względu na kolejność) można wyznaczyć ze wzoru Bernoulliego:
Gdzie Q = 1 – P.
PRZYKŁAD 1. Prawdopodobieństwo, że zużycie energii elektrycznej w ciągu jednego dnia nie przekroczy ustalonej normy, jest równe p= 0,75. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych 6 dni zużycie energii elektrycznej przez 4 dni nie przekroczy normy.
ROZWIĄZANIE. Prawdopodobieństwo normalnego zużycia energii w każdym z 6 dni jest stałe i równe R= 0,75. W związku z tym prawdopodobieństwo nadmiernego zużycia energii każdego dnia jest również stałe i równe Q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Wymagane prawdopodobieństwo według wzoru Bernoulliego wynosi:
PRZYKŁAD 2. Strzelec oddaje trzy strzały do celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem jest równe p= 0,3. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) jeden cel zostanie trafiony; b) wszystkie trzy cele; c) ani jednego celu; d) co najmniej jeden cel; e) mniej niż dwa cele.
ROZWIĄZANIE. Prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem jest stałe i równe R=0,75. Dlatego prawdopodobieństwo chybienia jest równe Q = 1 R= 1 0,3 = 0,7. Całkowita liczba przeprowadzonych eksperymentów N=3.
a) Prawdopodobieństwo trafienia jednego celu trzema strzałami jest równe:
b) Prawdopodobieństwo trafienia trzech celów trzema strzałami jest równe:
c) Prawdopodobieństwo trzech chybień przy trzech strzałach jest równe:
d) Prawdopodobieństwo trafienia co najmniej jednego celu trzema strzałami jest równe:
e) Prawdopodobieństwo trafienia w mniej niż dwa cele, to znaczy albo w jeden cel, albo w żaden:
Twierdzenia lokalne i całkowe Moivre'a-Laplace'a
Jeśli przeprowadza się dużą liczbę testów, obliczenie prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego staje się trudne technicznie, ponieważ wzór wymaga operacji na ogromnych liczbach. Dlatego istnieją prostsze przybliżone wzory do obliczania prawdopodobieństwa w ogóle N. Wzory te nazywane są asymptotycznymi i są określone przez twierdzenie Poissona, lokalne i całkowe twierdzenie Laplace'a.
Twierdzenie lokalne Moivre’a-Laplace’a. A A się stanie M raz na N N (N →∞ ), jest w przybliżeniu równa:
gdzie jest funkcja 
i argument 
Tym bardziej N, tym dokładniejsze jest obliczenie prawdopodobieństw. Dlatego wskazane jest zastosowanie twierdzenia Moivre’a-Laplace’a, gdy np 20.
F ( X ) opracowano specjalne tabele (patrz dodatek 1). Korzystając ze stołu, należy o tym pamiętać właściwości funkcji k(x) :
Funkcjonować k(x) jest równa F( x)=f(x) .
Na X ∞ funkcja k(x) 0. W praktyce możemy przyjąć, że już przy X>4 funkcja k(x) ≈0.
PRZYKŁAD 3. Znajdź prawdopodobieństwo, że zdarzenie A wystąpi 80 razy w 400 próbach, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest równa p= 0,2.
ROZWIĄZANIE. Według warunku N=400, M=80, P=0,2, Q=0,8. Stąd:
Korzystając z tabeli, określamy wartość funkcji F (0)=0,3989.
Twierdzenie całkowe Moivre'a-Laplace'a. Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdej próbie jest stała i różna od 0 i 1, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pochodzi z M 1 Do M 2 raz na N testów na dostatecznie dużej liczbie N (N →∞ ), jest w przybliżeniu równa:
Gdzie 
całka lub funkcja Laplace'a, 
Aby znaleźć wartości funkcji F( X ) Opracowano specjalne tabele (na przykład patrz dodatek 2). Korzystając ze stołu, należy o tym pamiętać właściwości funkcji Laplace'a Ф(x) :
Funkcjonować Ф(x) jest dziwne F( x)= Ф(x) .
Na X ∞ funkcja Ф(x) 0,5. X W praktyce możemy założyć, że już o godz Ф(x) ≈0,5.
>5 funkcji (0)=0.
F PRZYKŁAD 4.
ROZWIĄZANIE. Według warunku N=400, M 1 =70, M 2 =100, P=0,2, Q=0,8. Stąd:
Prawdopodobieństwo, że część nie przeszła kontroli jakości, wynosi 0,2. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 400 części będzie od 70 do 100 części niesprawdzonych.
Korzystając z tabeli przedstawiającej wartości funkcji Laplace'a ustalamy: 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Korzystając z tabeli przedstawiającej wartości funkcji Laplace'a ustalamy: 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
