Najpierw porozmawiajmy trochę o opisie problemu w ogólna perspektywa, a następnie przejdź do przykładów całkowania przez podstawienie. Powiedzmy, że mamy pewną całkę $\int g(x) \; dx$. Jednak tabela całek nie zawiera wymaganego wzoru i nie ma możliwości podziału danej całki na kilka tabelarycznych (tzn. eliminuje się całkowanie bezpośrednie). Jednak problem zostanie rozwiązany, jeśli uda nam się znaleźć pewne podstawienie $u=\varphi(x)$, które zmniejszy naszą całkę $\int g(x) \; dx$ do jakiejś całki tabelarycznej $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Po zastosowaniu wzoru $\int f(u)\; du=F(u)+C$ wszystko, co musimy zrobić, to zwrócić zmienną $x$. Formalnie można to zapisać w ten sposób:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Problem polega na tym, jak wybrać takie podstawienie $u$. Do tego potrzebna będzie znajomość, po pierwsze, tabeli pochodnych i umiejętności wykorzystania jej do różniczkowania funkcji zespolonych, a po drugie, tablicy całek nieoznaczonych. Ponadto desperacko będziemy potrzebować formuły, którą napiszę poniżej. Jeśli $y=f(x)$, to:

\begin(równanie)dy=y"dx\end(równanie)

Te. różniczka jakiejś funkcji jest równa pochodnej tej funkcji pomnożonej przez różniczkę zmiennej niezależnej. Ta zasada jest bardzo ważna i to właśnie ta reguła pozwoli Ci zastosować metodę podstawieniową. Tutaj wskażemy kilka specjalnych przypadków, które wynikają ze wzoru (1). Niech $y=x+C$, gdzie $C$ jest pewną stałą (w skrócie liczbą). Następnie podstawiając wyrażenie $x+C$ do wzoru (1) zamiast $y$ otrzymujemy:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Ponieważ $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, powyższa formuła będzie miała postać:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Otrzymany wynik napiszmy osobno, tj.

\begin(równanie)dx=d(x+C)\end(równanie)

Otrzymany wzór oznacza, że ​​dodanie stałej pod różniczkę nie powoduje zmiany tej różniczki, tj. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ i tak dalej.

Przyjrzyjmy się jeszcze jednemu szczególny przypadek dla wzoru (1). Niech $y=Cx$, gdzie $C$ znowu jest pewną stałą. Znajdźmy różniczkę tej funkcji, podstawiając wyrażenie $Cx$ zamiast $y$ do wzoru (1):

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Ponieważ $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, to powyższa formuła $d(Cx)=(Cx)"dx$ przyjmie postać: $d(Cx)=Cdx $ Jeśli podzielimy obie strony tego wzoru przez $C$ (zakładając, że $C\neq 0$), otrzymamy $\frac(d(Cx))(C)=dx$ Wynik ten można zapisać w nieco innej formie :

\begin(równanie)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(równanie)

Otrzymany wzór sugeruje, że pomnożenie wyrażenia pod różniczką przez jakąś niezerową stałą wymaga wprowadzenia odpowiedniego mnożnika, który kompensuje takie mnożenie. Na przykład $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

W przykładach nr 1 i nr 2 zostaną szczegółowo omówione wzory (2) i (3).

Uwaga dotycząca formuł

W tym temacie zostaną wykorzystane zarówno wzory 1-3, jak i wzory z tabeli całek nieoznaczonych, które również mają swoje własne liczby. Aby uniknąć nieporozumień, ustalmy co następuje: jeśli w temacie pojawia się tekst „użyj wzoru nr 1”, to dosłownie oznacza on: „użyj wzoru nr 1, znajduje się na tej stronie„. Jeśli będziemy potrzebować wzoru z tabeli całek, to za każdym razem będziemy go podawać osobno. Na przykład w ten sposób: „używamy wzoru nr 1 z tabeli całek”.

I jeszcze jedna mała uwaga

Przed rozpoczęciem pracy z przykładami zaleca się zapoznanie z materiałem przedstawionym w poprzednich tematach poświęconych pojęciu całki nieoznaczonej i. Prezentacja materiału w tym temacie opiera się na informacjach zawartych w wymienionych tematach.

Przykład nr 1

Znajdź $\int \frac(dx)(x+4)$.

Jeśli przejdziemy do , nie będziemy w stanie znaleźć wzoru dokładnie odpowiadającego całce $\int \frac(dx)(x+4)$. Najbliżej tej całki jest wzór nr 2 tabeli całek, tj. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Problem jest następujący: wzór $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ zakłada, że ​​w całce $\int \frac(du)(u)$ wyrażenia w mianowniku i pod różnicą muszą być takie same (oba mają tę samą literę $u$). W naszym przypadku w $\int \frac(dx)(x+4)$ litera $x$ znajduje się pod różniczką, a wyrażenie $x+4$ w mianowniku, tj. Istnieje wyraźna rozbieżność ze wzorem tabelarycznym. Spróbujmy „dopasować” naszą całkę do całki tabelarycznej. Co się stanie, jeśli podstawimy różnicę $x+4$ zamiast $x$? Aby odpowiedzieć na to pytanie, użyjmy , zastępując wyrażenie $x+4$ zamiast $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Ponieważ $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, to równość $ d(x+4)=(x+4)"dx $ przyjmuje postać:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Zatem $dx=d(x+4)$. Szczerze mówiąc, ten sam wynik można było uzyskać po prostu podstawiając liczbę $4$ w miejsce stałej $C$. Zrobimy to w przyszłości, ale po raz pierwszy szczegółowo zbadaliśmy procedurę uzyskiwania równości $dx=d(x+4)$. Ale co daje nam równość $dx=d(x+4)$?

I daje nam to następujący wniosek: jeśli $dx=d(x+4)$, to w całce $\int \frac(dx)(x+4)$ zamiast $dx$ możemy podstawić $d(x +4)$ , a całka nie ulegnie zmianie:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Przekształcenia tego dokonaliśmy tylko po to, aby otrzymana całka w pełni odpowiadała formule tabelarycznej $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Aby ta korespondencja była całkowicie jasna, zamieńmy wyrażenie $x+4$ na literę $u$ (tzn. podstawienie$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Tak naprawdę problem został już rozwiązany. Pozostaje tylko zwrócić zmienną $x$. Pamiętając, że $u=x+4$, otrzymujemy: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Kompletne rozwiązanie bez wyjaśnienia wygląda to tak:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Odpowiedź: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Przykład nr 2

Znajdź $\int e^(3x) dx$.

Jeśli przejdziemy do tabeli całek nieoznaczonych, nie znajdziemy wzoru, który dokładnie odpowiadałby całce $\int e^(3x) dx$. Najbliżej tej całki jest wzór nr 4 z tabeli całek, tj. $\int e^u du=e^u+C$. Problem jest następujący: wzór $\int e^u du=e^u+C$ zakłada, że ​​w całce $\int e^u du$ wyrażenia na potęgi $e$ i pod różniczką muszą mieć postać to samo (w obu przypadkach jest jedna litera $u$). W naszym przypadku w $\int e^(3x) dx$ pod różniczką znajduje się litera $x$, a w potędze $e$ znajduje się wyrażenie $3x$, czyli Istnieje wyraźna rozbieżność ze wzorem tabelarycznym. Spróbujmy „dopasować” naszą całkę do całki tabelarycznej. Co się stanie, jeśli zastąpisz różnicę $3x$ zamiast $x$? Aby odpowiedzieć na to pytanie, użyjmy , zastępując wyrażenie $3x$ zamiast $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Ponieważ $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, to równość $d(3x)=(3x)"dx$ przyjmuje postać:

$$ d(3x)=3dx $$

Dzieląc obie strony powstałej równości przez $3$, otrzymamy: $\frac(d(3x))(3)=dx$, tj. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. W rzeczywistości równość $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ można uzyskać po prostu podstawiając liczbę $3$ w miejsce stałej $C$. Zrobimy to w przyszłości, ale po raz pierwszy szczegółowo zbadaliśmy procedurę uzyskiwania równości $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$.

Co dała nam otrzymana równość $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$? Oznacza to, że zamiast $dx$, $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ można podstawić pod całkę $\int e^(3x) dx$ i całka się nie zmieni:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Wyjmijmy stałą $\frac(1)(3)$ ze znaku całki i zamieńmy wyrażenie $3x$ na literę $u$ (tj. podstawienie$u=3x$), po czym stosujemy wzór tabelaryczny $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, musimy zwrócić oryginalną zmienną $x$. Ponieważ $u=3x$, to $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Kompletne rozwiązanie bez komentarzy wygląda następująco:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Odpowiedź: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Przykład nr 3

Znajdź $\int (3x+2)^2 dx$.

Aby znaleźć tę całkę, używamy dwóch metod. Pierwszy sposób polega na otwarciu nawiasów i bezpośredniej integracji. Drugą metodą jest zastosowanie metody substytucyjnej.

Pierwszy sposób

Ponieważ $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, to $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Przedstawiając całkę $\int (9x^2+12x+4)dx$ jako sumę trzech całek i biorąc stałe ze znaków odpowiednich całek, otrzymujemy:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

Aby znaleźć $\int x^2 dx$ podstawiamy $u=x$ i $\alpha=2$ do wzoru nr 1 tablicy całek: $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Podobnie, podstawiając $u=x$ i $\alpha=1$ do tego samego wzoru z tabeli, otrzymamy: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Ponieważ $\int 1 dx=x+C$, to:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Drugi sposób

Nie będziemy otwierać nawiasów. Spróbujmy, aby pod różnicą zamiast $x$ pojawiło się wyrażenie $3x+2$. Umożliwi to wprowadzenie nowej zmiennej i zastosowanie formuły arkusza kalkulacyjnego. Potrzebujemy, aby czynnik $3$ pojawił się pod różnicą, więc podstawiając $C=3$ do wartości, otrzymamy $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. Ponadto pod różnicą brakuje określenia 2 $. Zgodnie z dodaniem stałej pod znakiem różniczkowym, różnica ta nie zmienia się, tj. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. Z warunków $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ i $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ mamy: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Zauważmy, że równość $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ można też otrzymać w inny sposób:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Korzystamy z otrzymanej równości $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$, podstawiając wyrażenie $\frac(1)(3)d(3x) do całki $\int (3x+2) )^2 dx$ +2)$ zamiast $dx$. Weźmy stałą $\frac(1)(3)$ jako znak wynikowej całki:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Dalsze rozwiązanie polega na wykonaniu podstawienia $u=3x+2$ i zastosowaniu wzoru nr 1 z tabeli całek:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Zwracając wyrażenie $3x+2$ zamiast $u$, otrzymujemy:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Kompletne rozwiązanie bez wyjaśnienia to:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Przewiduję kilka pytań, dlatego postaram się je sformułować i udzielić odpowiedzi.

Pytanie nr 1

Coś tu nie gra. Kiedy rozwiązaliśmy to w pierwszy sposób, otrzymaliśmy $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Rozwiązując drugi sposób, odpowiedź brzmiała: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Nie da się jednak przejść od drugiej odpowiedzi do pierwszej! Jeśli otworzymy nawiasy, otrzymamy:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Odpowiedzi nie pasują! Skąd wziął się dodatkowy ułamek $\frac(8)(9)$?

To pytanie sugeruje, że powinieneś sięgnąć do poprzednich tematów. Przeczytaj temat dotyczący pojęcia całki nieoznaczonej (zwracając uwagę na Specjalna uwaga pytanie nr 2 na końcu strony) i integrację bezpośrednią (warto zwrócić uwagę na pytanie nr 4). Poniższe tematy szczegółowo omawiają to zagadnienie. Krótko mówiąc, stałą całkową $C$ można przedstawić w postaci Różne formy. Na przykład w naszym przypadku zmieniając oznaczenie $C_1=C+\frac(8)(9)$, otrzymamy:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Nie ma więc sprzeczności; odpowiedź można zapisać albo w postaci $3x^3+6x^2+4x+C$, albo w postaci $\frac((3x+2)^3)(9)+ CAD.

Pytanie nr 2

Dlaczego trzeba było zdecydować się na drugi sposób? To niepotrzebna komplikacja! Po co używać wielu niepotrzebnych formuł, aby znaleźć odpowiedź uzyskaną w kilku krokach przy użyciu pierwszej metody? Wystarczyło otworzyć nawiasy, korzystając ze szkolnej formuły.

Po pierwsze, to nie jest taka komplikacja. Kiedy zrozumiesz metodę podstawienia, zaczniesz rozwiązywać podobne przykłady w jednym wierszu: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Spójrzmy jednak na ten przykład inaczej. Wyobraź sobie, że musisz obliczyć nie $\int (3x+2)^2 dx$, ale $\int (3x+2)^(200) dx$. Rozwiązując w drugi sposób, wystarczy nieznacznie dostosować stopnie, a odpowiedź będzie gotowa:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Teraz wyobraź sobie, że tę samą całkę $\int (3x+2)^(200) dx$ należy przyjąć w pierwszy sposób. Najpierw musisz otworzyć nawias $(3x+2)^(200)$, uzyskując w ten sposób sumę dwustu jeden wyrazów! A wtedy każdy termin będzie musiał zostać zintegrowany. Dlatego wniosek jest taki: w przypadku dużych potęg metoda integracji bezpośredniej nie jest odpowiednia. Druga metoda, pomimo pozornej złożoności, jest bardziej praktyczna.

Przykład nr 4

Znajdź $\int \sin2x dx$.

Rozwiążemy ten przykład na trzy różne sposoby.

Pierwszy sposób

Spójrzmy na tabelę całek. Najbliższy naszemu przykładowi jest wzór nr 5 z tej tabeli, tj. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Aby dopasować całkę $\int \sin2x dx$ do postaci $\int \sin u du$, używamy , wprowadzając czynnik $2$ pod znak różniczkowy. Właściwie zrobiliśmy to już w przykładzie nr 2, więc możemy obejść się bez szczegółowych komentarzy:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Odpowiedź: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Drugi sposób

Aby rozwiązać drugą metodę, stosujemy prostą wzór trygonometryczny: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Zastąpmy wyrażenie $2 \sin x \cos x$ zamiast $\sin 2x$ i usuńmy stałą $2$ ze znaku całki:

Jaki jest cel takiej transformacji? W tabeli nie ma całki $\int \sin x\cos x dx$, ale możemy trochę przekształcić $\int \sin x\cos x dx$, tak aby wyglądała bardziej jak tabela. Aby to zrobić, znajdźmy $d(\cos x)$ za pomocą . Podstawmy $\cos x$ zamiast $y$ do wspomnianego wzoru:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Ponieważ $d(\cos x)=-\sin x dx$, to $\sin x dx=-d(\cos x)$. Ponieważ $\sin x dx=-d(\cos x)$, możemy zastąpić $-d(\cos x)$ w $\int \sin x\cos x dx$ zamiast $\sin x dx$. Wartość całki nie ulegnie zmianie:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Innymi słowy, my dodane pod różnicą$\cos x$. Teraz po podstawieniu $u=\cos x$ możemy zastosować wzór nr 1 z tabeli całek:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Odpowiedź została otrzymana. Generalnie nie trzeba wpisywać litery $u$. Kiedy nabędziesz wystarczającą umiejętność rozwiązywania tego rodzaju całek, zniknie potrzeba dodatkowego zapisu. Kompletne rozwiązanie bez wyjaśnienia to:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Odpowiedź: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Trzeci sposób

Aby rozwiązać trzeci sposób, stosujemy ten sam wzór trygonometryczny: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Zastąpmy wyrażenie $2 \sin x \cos x$ zamiast $\sin 2x$ i usuńmy stałą $2$ ze znaku całki:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Znajdźmy $d(\sin x)$ używając . Podstawmy $\sin x$ zamiast $y$ do wspomnianego wzoru:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Zatem $d(\sin x)=\cos x dx$. Z otrzymanej równości wynika, że ​​możemy zastąpić $d(\sin x)$ w $\int \sin x\cos x dx$ zamiast $\cos x dx$. Wartość całki nie ulegnie zmianie:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Innymi słowy, my dodane pod różnicą$\grzech x$. Teraz po podstawieniu $u=\sin x$ możemy zastosować wzór nr 1 z tabeli całek:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Odpowiedź została otrzymana. Kompletne rozwiązanie bez wyjaśnienia to:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Odpowiedź: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Możliwe, że po przeczytaniu tego przykładu, zwłaszcza trzech różnych (na pierwszy rzut oka) odpowiedzi, pojawi się pytanie. Rozważmy to.

Pytanie 3

Czekać. Odpowiedzi powinny być takie same, ale są różne! W przykładzie nr 3 różnica dotyczyła tylko stałej $\frac(8)(9)$, ale tutaj odpowiedzi nie są nawet podobne w wyglądzie: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Czy naprawdę znowu chodzi o stałą całkową $C$?

Tak, właśnie ta stała ma znaczenie. Sprowadźmy wszystkie odpowiedzi do jednej postaci, po czym ta różnica w stałych stanie się całkowicie jasna. Zacznijmy od $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Używamy prostej równości trygonometrycznej: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Wtedy wyrażenie $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ przyjmuje postać:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Teraz popracujmy nad drugą odpowiedzią, tj. $-\cos^2x+C$. Ponieważ $\cos^2 x=1-\sin^2x$, to:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Trzy odpowiedzi, które otrzymaliśmy w przykładzie nr 4 to: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Myślę, że teraz jest jasne, że różnią się one od siebie tylko pewną liczbą. Te. sprawa ponownie okazała się stałą całkową. Jak widać, niewielka różnica w stałej całkowej może w zasadzie znacznie się zmienić wygląd odpowiedzieć - ale to nie przeszkadza, aby odpowiedź była poprawna. Do czego zmierzam: jeśli w zbiorze problemów widzisz odpowiedź, która nie pokrywa się z Twoją, nie oznacza to wcale, że Twoja odpowiedź jest błędna. Możliwe, że po prostu doszedłeś do odpowiedzi w inny sposób, niż zamierzał autor problemu. A sprawdzenie na podstawie definicji całki nieoznaczonej pomoże Ci zweryfikować poprawność odpowiedzi. Na przykład, jeśli całka $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ zostanie znaleziona poprawnie, to równość $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Sprawdźmy więc, czy prawdą jest, że pochodna $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ jest równa całce z $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x.

Kontrola została zakończona pomyślnie. Równość $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ jest spełniona, zatem wzór $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ jest poprawne W przykładzie nr 5 sprawdzimy również, czy wynik jest poprawny, chociaż w niektórych standardowych obliczeniach jest to konieczne. testy aha, istnieje wymóg sprawdzenia wyniku.

Podsumowanie licznika pod znak różniczkowy

To już ostatnia część lekcji, jednak całki tego typu są dość powszechne! Jeśli jesteś zmęczony, może lepiej będzie przeczytać jutro? ;)

Całki, które rozważymy, są podobne do całek z poprzedniego akapitu, mają postać: lub (współczynniki , i nie są równe zeru).

To znaczy w liczniku, który mamy funkcja liniowa. Jak rozwiązać takie całki?

Przykład 14

Proszę zachować ostrożność, teraz przyjrzymy się typowemu algorytmowi.

1) Po podaniu całki postaci lub (współczynniki , i nie są równe zero), wtedy pierwszą rzeczą, którą robimy, jest... pobranie wersji roboczej. Fakt jest taki, że teraz musimy dokonać małej selekcji.

2) Wyrażenie znajdujące się w mianowniku (nie ma znaczenia - pod pierwiastkiem lub bez pierwiastka) kończymy pod znakiem różniczkowym, w tym przykładzie:

3) Otwórz mechanizm różnicowy:

Spójrzmy na licznik naszej całki:

Sprawy potoczyły się trochę inaczej... A teraz musimy wybrać mnożnik dla mechanizmu różnicowego, tak aby po jego otwarciu otrzymaliśmy co najmniej . W w tym przypadku odpowiedni mnożnik to:

4) Dla samokontroli ponownie otwieramy mechanizm różnicowy:

Spójrzmy jeszcze raz na licznik naszej całki: .
Jest bliżej, ale mamy złe określenie:

5) Do naszego mechanizmu różnicowego:
– przypisujemy człon, który początkowo mieliśmy w całce:

- Odejmować ( w tym przypadku odejmujemy; czasami wręcz przeciwnie, musimy dodać) nasze „złe” określenie:
– Obie stałe umieszczamy w nawiasach, a po prawej stronie przypisujemy symbol różniczkowy:

- Odejmować (w niektórych przykładach należy dodać) stałe:

6) Sprawdzamy:

Otrzymaliśmy dokładnie licznik całki, co oznacza, że ​​selekcja przebiegła pomyślnie.

Ostateczny projekt rozwiązania wygląda mniej więcej tak:

(1) Licznik na zanurzeniu wybieramy zgodnie z algorytmem omówionym powyżej. Dbamy o to, aby sprawdzić, czy wybór został dokonany prawidłowo. Mając pewne doświadczenie w rozwiązywaniu całek, wybór nie jest trudny do przeprowadzenia w głowie.

(2) Podziel licznik przez mianownik wyraz po wyrazie. W praktycznym rozwiązywaniu problemów krok ten można pominąć

(3) Korzystając z własności liniowości, rozdzielamy całki. Wskazane jest przeniesienie wszystkich stałych poza znaki całek.

(4) Pierwsza całka jest właściwie całką tabelaryczną; używamy wzoru (stałą dodamy później, gdy weźmiemy drugą całkę). W drugiej całce wybieramy pełny kwadrat (tego typu całki sprawdzaliśmy w poprzednim akapicie).

Reszta to kwestia techniki.

I na początek kilka przykładów niezależna decyzja– jedno jest prostsze, drugie trudniejsze.

Przykład 15

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Przykład 16

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Do rozwiązania tych przykładów przydatny będzie szczególny przypadek całkowania funkcja zasilania czego nie ma w mojej tabeli:

Jak widać, całkowanie ułamków jest żmudnym zadaniem; często trzeba stosować sztuczne techniki i selekcje. Ale co robić…

Istnieją inne rodzaje ułamków, tak zwane funkcje ułamkowo-wymierne, są one rozwiązywane metodą niepewne współczynniki. Ale to już jest temat lekcji Całkowanie funkcji ułamkowo wymiernych.

§ 5. Całki i ich zastosowania

.

5.1. Podstawowe definicje i wzory. Funkcjonować F(X) Jest funkcja pierwotna F(X), jeśli na jakimś zestawie X obowiązuje równość F (X)= F(X). Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych dla F(X) zwany Całka nieoznaczona i jest wyznaczony. Jednocześnie, jeśli F(X) - którykolwiek z prymitywów F(X), To
, stała C przebiega przez cały zbiór liczb rzeczywistych. Tabela 2 pokazuje podstawowe wzory, w których ty= ty(X).

Tabela 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Jest oczywiste, że formuły 10), 12) I 14) są szczególnymi przypadkami formuł 11), 13) I 15) odpowiednio.

Jeśli F(X) – funkcja ciągła na odcinku [ A; B], wtedy jest określona całka z tej funkcji, którą można obliczyć Wzór Newtona-Leibniza:

, (5.1)

Gdzie F(X) - dowolna funkcja pierwotna dla F(X). W przeciwieństwie do całki nieoznaczonej (która jest zbiorem funkcji), całka oznaczona jest pewną liczbą.

Własność mają zarówno całki nieoznaczone, jak i oznaczone liniowość(całka z sumy funkcji równa sumie całki, a ze znaku całki można odjąć stały współczynnik):

.

Przykład 5.1. Znajdź)
; B)
.

Rozwiązanie. W zadaniu A) Najpierw upraszczamy całkę, dzieląc wyraz przez wyraz każdy wyraz z licznika przez mianownik, następnie korzystamy z własności liniowość i „tabelaryczne” formuły 1)-3):

W zadaniu B), Oprócz liniowość i „tabelaryczne” formuły 3), 9), 1), używamy wzoru Newtona-Leibniza (5.1):

5.2. Wprowadzenie znaku różniczkowego i zamiana zmiennej. Możesz zauważyć, że czasami część całki tworzy różnicę jakiegoś wyrażenia, co pozwala na użycie formuł tabelarycznych.

Przykład 5.2 Znajdź)
; B)
.

Rozwiązanie. W przykładzie A) możesz to zauważyć
, a następnie skorzystaj ze wzoru 5) Na ty= ln X:

Gdy B)
, a zatem z powodu 11) Na
otrzymujemy:

Notatka 1. Przy wprowadzaniu znaku różniczkowego warto, oprócz tych zastosowanych powyżej, wziąć pod uwagę następujące zależności:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Uwaga 2. Całki z przykład 5.2. można również znaleźć za pomocą zmiany zmiennej. Jednocześnie w określona całka należy zmienić także granice integracji. Konwersje do 5.2.b) wyglądałoby na przykład tak:

W przypadek ogólny wybór zamiennika zależy od rodzaju całki. W niektórych przypadkach zalecane są specjalne zamienniki. Na przykład, jeśli wyrażenie zawiera irracjonalność formy
, wtedy możemy umieścić
Lub
.

Przykład 5.3 Znajdź)
; B)
.

Rozwiązanie. Gdy A) mamy

(po wymianie zastosowaliśmy wzór tabelaryczny 11 )).

Decydując B) Dbamy o to, aby zastąpić granice całkowania.

5.3. Całkowanie przez części. W niektórych przypadkach pomaga „formuła całkowania przez części”. Dla całki nieoznaczonej ma ona postać

, (5.2)

dla pewnego

, (5.3)

Ważne jest, aby wziąć pod uwagę następujące kwestie.

1) Jeśli podcałka zawiera iloczyn wielomianu X na funkcjach
, Następnie jako ty wybiera się wielomian i do niego odnosi się wyrażenie pozostające pod znakiem całki dw.

2) Jeśli podcałka zawiera odwrotność trygonometryczną ( ) lub logarytmiczny (
) funkcje, a następnie jako ty wybrany zostanie jeden z nich.

Przykład 5.4. Znajdź)
; B)
.

Rozwiązanie. Gdy A) zastosuj formułę (5.2) I druga zasada. Dokładnie, wierzymy
. Następnie
. Dalej,
, i dlatego
. Stąd, . W powstałej całce wybieramy całą część całki (robi się to wtedy, gdy stopień licznika jest nie mniejszy niż stopień mianownika):

.

Ostateczne rozwiązanie wygląda następująco:

W przykładzie B) Używamy (5.3) I pierwsza z zasad.

5.4. Całkowanie wyrażeń zawierających trójmian kwadratowy. Główne idee mają zostać podkreślone trójmian kwadratowy pełnego kwadratu oraz w wykonaniu podstawienia liniowego, co pozwala sprowadzić całkę pierwotną do postaci tabelarycznej 10 )-16 ).

Przykład 5.5. Znajdź)
; B)
; V)
.

Rozwiązanie. Gdy A) postępować w następujący sposób:

dlatego (biorąc pod uwagę 13) )

Podczas rozwiązywania przykładu B) wymagane będą dodatkowe przekształcenia związane z obecnością zmiennej w liczniku całki. Wybierając idealny kwadrat w mianowniku (), otrzymujemy:

Dla drugiej z całek, ze względu na 11) (Tabela 2) mamy:
. W pierwszej całce wpiszemy pod znakiem różniczkowym:

A więc składanie wszystkiego w całość i powrót do zmiennej X, otrzymujemy:

W przykładzie V) Najpierw wybieramy także cały kwadrat:

5.5. Całkowanie prostych funkcji trygonometrycznych. Podczas integracji wyrażeń formularza
(Gdzie M I N – liczby całkowite) zaleca się uwzględnienie poniższych zasad.

1) Jeżeli oba stopnie są parzyste, wówczas stosuje się wzory na „zmniejszanie stopnia”: ; .

2) Załóżmy, że dowolna z liczb M I N- dziwne. Na przykład, N=2 k+1. W tym przypadku jeden ze stopni funkcji cosx „oddzielić”, aby umieścić go pod znakiem różniczkowym (since). W pozostałym wyrażeniu
korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej
wyrażone poprzez
(). Po przekształceniu całki (i uwzględnieniu własności liniowości) otrzymujemy sumę algebraiczną całek postaci
, z których każdy można znaleźć za pomocą wzoru 2) z tabeli 2:
.

Ponadto w niektórych przypadkach przydatne są również formuły

Przykład 5.6. Znajdź)
; B)
; V)
.

Rozwiązanie. A) Całka zawiera stopień nieparzysty (5.). grzech, dlatego postępujemy zgodnie druga zasada, biorąc pod uwagę, że .

W przykładzie B) skorzystajmy ze wzoru (5.4 ), liniowość Całka nieoznaczona, równość
i wzór tabelaryczny 4):

Gdy V) sekwencyjnie obniżyć stopień bierzemy pod uwagę liniowość, możliwość wprowadzenia stałej pod znakiem różniczkowym oraz niezbędne wzory tabelaryczne:

5.6. Zastosowania całki oznaczonej. Jak wiadomo, trapez krzywoliniowy odpowiada nieujemnemu i ciągłemu segmentowi [ A; B] Funkcje F(X), nazywany obszarem ograniczonym wykresem funkcji y= F(X), oś WÓŁ i dwie pionowe linie X= A, X= B. W skrócie można to zapisać następująco: (por. Ryc.3). i gdzie

Przy rozwiązywaniu niektórych typów całek przeprowadza się transformację, jak mówią wjazd pod znakiem różnicowym. Odbywa się to w celu uzyskania całki tabelarycznej i ułatwienia jej obliczenia. Aby to zrobić, użyj wzoru: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Chciałbym to zauważyć ważny niuans o których myślą studenci. Czym różni się ta metoda od metody zastępowania zmiennej (podstawiania)? To to samo, tylko na nagraniach wygląda to inaczej. Obydwa są prawdziwe.

Formuła

Jeżeli całka pokazuje iloczyn dwóch funkcji, z których jedna jest różniczką drugiej, to żądaną funkcję należy wpisać pod znakiem różniczki. To wygląda tak:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x)$$

Podsumowanie głównych funkcji

Aby z powodzeniem zastosować tę metodę rozwiązania, należy znać tablice pochodnych i całkowych. Wynikają z nich następujące formuły:

$ dx = d(x+c), c=stała $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + C$$

Przykłady rozwiązań

Przykład 1

Znajdź całkę $$ \int \sin x \cos x dx $$

Rozwiązanie

W tym przykładzie możesz umieścić dowolną z proponowanych funkcji pod znakiem różniczkowym, nawet sinus lub cosinus. Aby nie pomylić się ze zmieniającymi się znakami, wygodniej jest wpisać $ \cos x $. Korzystając ze wzorów mamy: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ Jeśli nie możesz rozwiązać swojego problemu, wyślij go do nas. Dostarczymy szczegółowe rozwiązanie. Będziesz mógł zobaczyć postęp obliczeń i uzyskać informacje. Dzięki temu szybko otrzymasz ocenę od nauczyciela!

Odpowiedź

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

Dlatego w artykule przyjrzeliśmy się, jak rozwiązuje się niektóre typy całek, wprowadzając je pod znakiem różniczkowym. Przypomnieliśmy sobie różnice w tym, co często wspólne funkcje elementarne. Jeśli nie możesz lub nie masz wystarczająco dużo czasu, aby samodzielnie rozwiązać zadania testowe, zapewnimy Ci naszą pomoc. tak szybko, jak to możliwe. Wystarczy wypełnić formularz zamówienia, a my skontaktujemy się z Tobą.