Jak poprawnie rozwiązywać równania liniowe. O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych rozwiązywanych przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są one najprostszymi.

Najpierw zdefiniujmy: co to jest równanie liniowe i które nazywa się najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko do pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie pozostałe równania liniowe sprowadzamy do najprostszych za pomocą algorytmu:

1. Rozwiń nawiasy, jeśli istnieją;
2. Przesuń terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
3. Podaj podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
4. Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$.

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasem po tych wszystkich zabiegach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

1. Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy okaże się, że $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
2. Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy równanie zostało sprowadzone do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że niezależnie od tego, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.

Zobaczmy teraz, jak to wszystko działa na przykładach z życia wziętych.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie równanie liniowe oznacza dowolną równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i dotyczy tylko pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje rozwiązuje się w przybliżeniu w ten sam sposób:

1. Przede wszystkim należy rozwinąć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
2. Następnie przynieś podobne
3. Na koniec wyizoluj zmienną, tj. przesuń wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w jakich jest ona zawarta – na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba przynieść podobne po każdej stronie powstałej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik „x” i otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni uczniowie szkół średnich mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zazwyczaj błędy popełniane są podczas otwierania nawiasów lub przy obliczaniu „plusów” i „minusów”.

Ponadto zdarza się, że równanie liniowe w ogóle nie ma rozwiązań lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przyjrzymy się tym subtelnościom podczas dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od samego proste zadania.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Najpierw napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

1. Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
2. Izolujemy zmienne, tj. Przenosimy wszystko, co zawiera „X” na jedną stronę, a wszystko bez „X” na drugą.
3. Przedstawiamy podobne terminy.
4. Wszystko dzielimy przez współczynnik „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa; są w nim pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Zadanie nr 1

Pierwszy krok polega na otwarciu nawiasów. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o warunkach indywidualnych. Zapiszmy to:

Podobne terminy prezentujemy po lewej i prawej stronie, ale tutaj zostało to już zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Więc otrzymaliśmy odpowiedź.

Zadanie nr 2

W tym zadaniu widzimy nawiasy, więc rozwińmy je:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej ten sam projekt, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. oddzielanie zmiennych:

Oto kilka podobnych:

U jakich korzeni to działa? Odpowiedź: dla każdego. Zatem możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.

Zadanie nr 3

Trzecie równanie liniowe jest bardziej interesujące:

\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, są po prostu poprzedzone różnymi znakami. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi znany nam już krok:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Zróbmy matematykę:

Wykonujemy ostatni krok - dzielimy wszystko przez współczynnik „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, chciałbym powiedzieć, co następuje:

• Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
• Nawet jeśli są korzenie, może być wśród nich zero - nie ma w tym nic złego.

Zero to taka sama liczba jak pozostałe; nie powinieneś go w żaden sposób dyskryminować ani zakładać, że jeśli otrzymasz zero, oznacza to, że zrobiłeś coś złego.

Kolejna funkcja związana jest z otwieraniem nawiasów. Uwaga: jeśli przed nimi znajduje się „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć za pomocą standardowych algorytmów: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć popełniania głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, gdy robienie takich rzeczy jest oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej złożone i przy wykonywaniu różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Nie powinniśmy się jednak tego bać, gdyż jeśli zgodnie z planem autora rozwiązujemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową koniecznie się zniosą.

Przykład nr 1

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Przyjrzyjmy się teraz prywatności:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Oto kilka podobnych:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc napiszemy to w odpowiedzi:

\[\varnic\]

albo nie ma korzeni.

Przykład nr 2

Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:

Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:

Oto kilka podobnych:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:

\[\varnic\],

albo nie ma korzeni.

Niuanse rozwiązania

Obydwa równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny przekonaliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: pierwiastków może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele pierwiastków. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, z których oba po prostu nie mają pierwiastków.

Chciałbym jednak zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi znajduje się znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz pomnożyć wszystko przez „X”. Uwaga: mnoży się każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa terminy - odpowiednio dwa terminy i pomnożone.

I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z punktu widzenia tego, że po nim znajduje się znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy przekształcenia zostaną zakończone, pamiętamy, że przed nawiasem jest znak minus, co oznacza, że ​​wszystko poniżej po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie nieumiejętność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności powoduje, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, kiedy udoskonalisz te umiejętności do punktu automatyzmu. Nie będziesz już musiał za każdym razem wykonywać tylu przekształceń; zapiszesz wszystko w jednej linii. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

Zadanie nr 1

\[\lewo(7x+1 \prawo)\lewo(3x-1 \prawo)-21((x)^(2))=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:

Zadbajmy o prywatność:

Oto kilka podobnych:

Dokończmy ostatni krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I mimo że w rozwiązywaniu mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to znosiły się one nawzajem, przez co równanie było liniowe, a nie kwadratowe.

Zadanie nr 2

\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]

Wykonajmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element z pierwszego nawiasu przez każdy element z drugiego. Po przekształceniach powinny powstać w sumie cztery nowe terminy:

Teraz ostrożnie wykonajmy mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy terminy z „X” w lewo, a te bez – w prawo:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Oto podobne terminy:

Po raz kolejny otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Niuanse rozwiązania

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: gdy tylko zaczniemy mnożyć nawiasy zawierające więcej niż jeden wyraz, robimy to według następującej zasady: pierwszy wyraz bierzemy z pierwszego i mnożymy przez każdy element z drugi; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element drugiego. W rezultacie będziemy mieli cztery kadencje.

O sumie algebraicznej

W tym ostatnim przykładzie chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 dolarów rozumiemy prostą konstrukcję: odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Tym właśnie różni się suma algebraiczna od zwykłej sumy arytmetycznej.

Gdy tylko podczas wykonywania wszystkich przekształceń, każdego dodawania i mnożenia zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz miał żadnych problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie sprawdziliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkami

Aby rozwiązać takie zadania, będziemy musieli dodać do naszego algorytmu jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę Ci nasz algorytm:

1. Otwórz nawiasy.
2. Oddzielne zmienne.
3. Przynieś podobne.
4. Podziel przez stosunek.

Niestety, ten wspaniały algorytm, przy całej swojej skuteczności, okazuje się nie do końca odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. Jak zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek zarówno po lewej, jak i po prawej stronie.

Jak pracować w tym przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać do algorytmu jeszcze jeden krok, który można wykonać zarówno przed, jak i po pierwszej akcji, a mianowicie pozbycie się ułamków. Zatem algorytm będzie następujący:

1. Pozbądź się ułamków.
2. Otwórz nawiasy.
3. Oddzielne zmienne.
4. Przynieś podobne.
5. Podziel przez stosunek.

Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? Dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe w swoim mianowniku, tj. Wszędzie mianownik jest po prostu liczbą. Dlatego jeśli pomnożymy obie strony równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.

Przykład nr 1

\[\frac(\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo))(4)=((x)^(2))-1\]

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Uwaga: wszystko jest mnożone raz przez „cztery”, tj. to, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że ​​musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Zapiszmy:

\[\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo)=\lewo(((x)^(2))-1 \prawo)\cdot 4\]

Teraz rozwińmy:

Wykluczamy zmienną:

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Mamy ostateczna decyzja, przejdźmy do drugiego równania.

Przykład nr 2

\[\frac(\lewo(1-x \prawo)\lewo(1+5x \prawo))(5)+((x)^(2))=1\]

Tutaj wykonujemy te same czynności:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem jest rozwiązany.

Właściwie to wszystko, co chciałem wam dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Kluczowe ustalenia to:

• Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
• Możliwość otwierania nawiasów.
• Nie martw się, jeśli zobaczysz funkcje kwadratowe najprawdopodobniej w procesie dalszych przekształceń ulegną zmniejszeniu.
• Istnieją trzy rodzaje pierwiastków w równaniach liniowych, nawet najprostszych: jeden pojedynczy pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem i nie ma żadnych pierwiastków.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę i rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka Cię jeszcze wiele ciekawych rzeczy!

Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Równania liniowe.

Równania liniowe- nie jest to najtrudniejszy temat w matematyce szkolnej. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zadziwić nawet wytrenowanego ucznia. Rozwiążmy to?)

Zwykle równanie liniowe definiuje się jako równanie postaci:

topór + B = 0 Gdzie a i b– dowolne liczby.

2x + 7 = 0. Tutaj a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Tutaj a=12, b=1/2

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważysz słów: „gdzie aib są dowolnymi liczbami”... A jeśli zauważysz i beztrosko o tym pomyślisz?) W końcu jeśli a=0, b=0(możliwe są dowolne liczby?), wówczas otrzymujemy zabawne wyrażenie:

Ale to nie wszystko! Jeśli, powiedzmy, a=0, A b=5, Okazuje się, że jest to coś zupełnie niezwykłego:

Co jest denerwujące i podważa zaufanie do matematyki, tak...) Szczególnie podczas egzaminów. Ale wśród tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Które w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Nauczymy się to robić. W tej lekcji.

Jak rozpoznać równanie liniowe po jego wyglądzie? To zależy od czego wygląd.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe to nie tylko równania postaci topór + B = 0 , ale także dowolne równania, które można sprowadzić do tej postaci poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy spadnie, czy nie?)

W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Załóżmy, że mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia i liczby. A w równaniu nie ma ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I dzielenie przez numer, lub ułamek liczbowy - zapraszamy! Na przykład:

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki zwykłe, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itp. i nie ma x w mianownikach, tj. NIE dzielenie przez x. A oto równanie

nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie X są w pierwszym stopniu, ale są dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniu i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, równanie kwadratowe lub cokolwiek chcesz.

Okazuje się, że w jakimś skomplikowanym przykładzie nie da się rozpoznać równania liniowego, dopóki go prawie nie rozwiążesz. To jest denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? Zadania wymagają równań decydować. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.)

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Swoją drogą te przekształcenia (dwa z nich!) stanowią podstawę rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Inaczej mówiąc, rozwiązanie każdy równanie zaczyna się od tych właśnie przekształceń. W przypadku równań liniowych (rozwiązanie) opiera się na tych przekształceniach i kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Co więcej, są tam również przykłady rozwiązywania równań liniowych.

Najpierw spójrzmy na najprostszy przykład. Bez żadnych pułapek. Załóżmy, że musimy rozwiązać to równanie.

x - 3 = 2 - 4x

To jest równanie liniowe. Wszystkie X są ujęte w pierwszej potędze, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie ma dla nas znaczenia, jakiego rodzaju jest to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma X po lewej stronie równania, wszystko bez X (liczby) po prawej stronie.

Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewa strona, oczywiście ze zmianą znaku, i - 3 - w prawo. Swoją drogą, to jest to pierwsze identyczne przekształcenie równań. Zaskoczony? Oznacza to, że nie kliknąłeś linku, ale na próżno...) Otrzymujemy:

x + 4x = 2 + 3

Oto podobne, uważamy:

Czego potrzebujemy do pełnego szczęścia? Tak, aby po lewej stronie znajdował się czysty X! Piątka stoi na przeszkodzie. Pozbycie się piątki z pomocą drugie identyczne przekształcenie równań. Mianowicie dzielimy obie strony równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest zbyt jasne, dlaczego zapamiętałem tutaj identyczne transformacje? OK. Weźmy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś solidniejszego.

Oto na przykład równanie:

Gdzie zaczynamy? Z X - w lewo, bez X - w prawo? Może tak być. Małe kroki na długiej drodze. Lub możesz od razu, uniwersalnie i w potężny sposób. Jeśli oczywiście masz w swoim arsenale identyczne przekształcenia równań.

Zadam Ci kluczowe pytanie: Co najbardziej nie podoba Ci się w tym równaniu?

95 na 100 osób odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Pozbądźmy się ich więc. Dlatego zaczynamy od razu druga transformacja tożsamości. Przez co pomnożysz ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zredukowany? Zgadza się, o 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak możemy się wydostać? Pomnóżmy obie strony przez 12! Te. do wspólnego mianownika. Wtedy zarówno trzy, jak i cztery zostaną zmniejszone. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:

Rozszerzanie nawiasów:

Notatka! Licznik ułamka (x+2) Umieściłem to w nawiasie! Dzieje się tak, ponieważ przy mnożeniu ułamków mnożony jest cały licznik! Teraz możesz skrócić ułamki:

Rozwiń pozostałe nawiasy:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Przypomnijmy sobie teraz zaklęcie z klasy młodsze: z X - w lewo, bez X - w prawo! I zastosuj tę transformację:

Oto kilka podobnych:

I podziel obie części przez 25, tj. ponownie zastosuj drugą transformację:

To wszystko. Odpowiedź: X=0,16

Uwaga: aby nadać oryginalnemu mylącemu równaniu odpowiednią formę, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) przemiany tożsamości– tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem-dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To uniwersalna metoda! Będziemy pracować w ten sposób z każdy równania! Absolutnie każdy. Dlatego cały czas żmudnie powtarzam o tych identycznych przemianach.)

Jak widać zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy dotyczą tutaj obliczeń, a nie zasady rozwiązania.

Ale... Przy rozwiązywaniu najbardziej elementarnych równań liniowych zdarzają się takie niespodzianki, że potrafią wprawić w silne odrętwienie...) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je specjalnymi przypadkami.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Pierwsza niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na bardzo podstawowe równanie, na przykład:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Lekko znudzeni przesuwamy go z X w lewo, bez X - w prawo... Po zmianie znaku wszystko jest idealne... Otrzymujemy:

2x-5x+3x=5-2-3

Liczymy i... ups!!! Otrzymujemy:

Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero naprawdę jest zerem. Ale brakuje X! I musimy zapisać w odpowiedzi, ile wynosi x? W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, prawda...) Impas?

Spokój! W takich wątpliwych przypadkach uratują Cię najbardziej ogólne zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po podstawieniu do oryginalne równanie, da nam prawdziwą równość.

Ale mamy prawdziwą równość już stało się! 0=0, o ile dokładniejsze?! Pozostaje dowiedzieć się, przy którym x to się dzieje. Na jakie wartości X można podstawić oryginalny równanie, jeśli te x czy nadal zostaną zredukowane do zera? Pospiesz się?)

Tak!!! X można zastąpić każdy! Który chcesz? Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się zmniejszać. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości X oryginalny równanie i obliczenia. Cały czas będziesz dostawał czystą prawdę: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.

Oto Twoja odpowiedź: x - dowolna liczba.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. Jest to całkowicie poprawna i pełna odpowiedź.

Druga niespodzianka.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Oto co zdecydujemy:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązaliśmy równanie liniowe i otrzymaliśmy dziwną równość. Mówienie język matematyczny, mamy fałszywa równość. I mówienie w prostym języku, to nie jest prawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest bardzo dobrym powodem do prawidłowego rozwiązania równania.)

Znowu myślimy w oparciu o Główne zasady. Co dadzą nam x, po podstawieniu do pierwotnego równania PRAWDA równość? Tak, żaden! Nie ma takich X. Bez względu na to, co włożysz, wszystko zostanie zredukowane, pozostaną tylko bzdury.)

Oto Twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.

To także całkowicie pełna odpowiedź. W matematyce często można znaleźć takie odpowiedzi.

Lubię to. Mam nadzieję, że zniknięcie X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania nie wprawi Cię w żadne zamieszanie. To już znana sprawa.)

Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami równań liniowych, sensowne jest ich rozwiązanie.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Na tej lekcji przyjrzymy się metodom rozwiązywania układu równań liniowych. Na lekcjach matematyki wyższej układy równań liniowych należy rozwiązywać zarówno w formie odrębnych zadań, np. „Rozwiąż układ za pomocą wzorów Cramera”, jak i w trakcie rozwiązywania innych problemów. Układami równań liniowych trzeba się zajmować w prawie wszystkich gałęziach wyższej matematyki.

Na początek trochę teorii. Co w w tym przypadku oznacza matematyczne słowo „liniowy”? Oznacza to, że równania układu Wszystko uwzględnione zmienne w pierwszym stopniu: bez żadnych wymyślnych rzeczy, takich jak itp., którymi zachwycają się jedynie uczestnicy olimpiad matematycznych.

W matematyce wyższej do oznaczania zmiennych używa się nie tylko liter znanych z dzieciństwa.
Dość popularną opcją są zmienne z indeksami: .
Lub pierwsze litery Alfabet łaciński, małe i duże:
Nierzadko spotyka się greckie litery: – znane wielu jako „alfa, beta, gamma”. A także zestaw z indeksami, powiedzmy, z literą „mu”:

Użycie tego lub innego zestawu liter zależy od sekcji wyższej matematyki, w której mamy do czynienia z układem równań liniowych. I tak na przykład w układach równań liniowych spotykanych przy rozwiązywaniu całek, równania różniczkowe Tradycyjne jest używanie notacji

Ale niezależnie od tego, jak wyznaczone są zmienne, zasady, metody i metody rozwiązywania układu równań liniowych nie zmieniają się. Tak więc, jeśli natkniesz się na coś przerażającego, np. , nie spiesz się, aby ze strachu zamknąć księgę zadań, w końcu możesz zamiast tego narysować słońce, ptaka i twarz (nauczyciela). I choć może się to wydawać zabawne, można również rozwiązać układ równań liniowych z tymi oznaczeniami.

Coś czuję, że artykuł wyjdzie dość długi, dlatego mały spis treści. Zatem sekwencyjne „odprawa” będzie wyglądać następująco:

– Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawieniową („ metoda szkolna») ;
– Rozwiązywanie układu poprzez dodawanie (odejmowanie) równań układu;
– Rozwiązanie układu z wykorzystaniem wzorów Cramera;
– Rozwiązywanie układu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej;
– Rozwiązanie układu metodą Gaussa.

Układy równań liniowych znają wszyscy ze szkolnych kursów matematyki. Zasadniczo zaczynamy od powtórzeń.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawieniową

Ta metoda można również nazwać „metodą szkolną” lub metodą eliminowania niewiadomych. W przenośni można ją też nazwać „niedokończoną metodą Gaussa”.

Przykład 1

Mamy tu dany układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Należy zauważyć, że wolne terminy (cyfry 5 i 7) znajdują się po lewej stronie równania. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma znaczenia, gdzie się znajdują, po lewej czy po prawej stronie, po prostu w problemach z matematyki wyższej często są one umiejscowione w ten sposób. I takie nagranie nie powinno wprowadzać zamieszania; w razie potrzeby system zawsze można zapisać „jak zwykle”: . Nie zapominaj, że przenosząc termin z części do części, musi on zmienić swój znak.

Co to znaczy rozwiązać układ równań liniowych? Rozwiązanie układu równań oznacza znalezienie wielu jego rozwiązań. Rozwiązaniem układu jest zbiór wartości wszystkich zmiennych w nim zawartych, co zamienia KAŻDE równanie układu w prawdziwą równość. Ponadto system może być nie wspólne (nie mam rozwiązań) Nie martw się, tak jest ogólna definicja=) Będziemy mieć tylko jedną wartość „x” i jedną wartość „y”, które spełniają każde równanie c-we.

Istnieje metoda graficzna rozwiązanie układu, które można znaleźć na zajęciach Najprostsze problemy z linią. Tam, o czym mówiłem geometrycznie układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Ale teraz jest era algebry i liczb, akcji i akcji.

Zdecydujmy: z pierwszego równania wyrażamy:
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do drugiego równania:

Otwieramy nawiasy, dodajemy podobne terminy i znajdujemy wartość:

Następnie pamiętamy, po co tańczyliśmy:
Znamy już wartość, pozostaje tylko znaleźć:

Odpowiedź:

Po rozwiązaniu KAŻDEGO układu równań w JAKIKOLWIEK sposób, gorąco polecam sprawdzenie (ustnie, na szkicu lub na kalkulatorze). Na szczęście można to zrobić łatwo i szybko.

1) Podstaw znalezioną odpowiedź do pierwszego równania:

– uzyskuje się poprawną równość.

2) Podstaw znalezioną odpowiedź do drugiego równania:

– uzyskuje się poprawną równość.

Lub, mówiąc prościej, „wszystko się ułożyło”

Rozważany sposób rozwiązania nie jest jedyny; z pierwszego równania można było wyrazić , a nie .
Możesz zrobić odwrotnie - wyrazić coś z drugiego równania i zastąpić to pierwszym równaniem. Przy okazji zauważmy, że najbardziej niekorzystną z czterech metod jest wyrażenie z drugiego równania:

Rezultatem są ułamki, ale dlaczego? Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie.

Jednak w niektórych przypadkach nadal nie można obejść się bez ułamków. W związku z tym chciałbym zwrócić uwagę na JAK zapisałem to wyrażenie. Nie w ten sposób: i w żadnym wypadku w ten sposób: .

Jeśli w wyższej matematyce masz do czynienia z liczby ułamkowe, a następnie spróbuj przeprowadzić wszystkie obliczenia w zwykłych ułamkach niewłaściwych.

Dokładnie i nie lub!

Przecinka można użyć tylko czasami, szczególnie jeśli jest to ostateczne rozwiązanie jakiegoś problemu i nie trzeba już wykonywać żadnych dalszych działań z tą liczbą.

Wielu czytelników prawdopodobnie pomyślało: „po co to robić? szczegółowe wyjaśnienie jak na korektę i tak wszystko jasne.” Nic takiego, wydaje się to takie proste przykład szkoły, a ile BARDZO ważnych wniosków! Oto kolejny:

Powinieneś starać się wykonać każde zadanie w najbardziej racjonalny sposób. Choćby dlatego, że oszczędza czas i nerwy, a także zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

Jeśli w zadaniu z matematyki wyższej natkniesz się na układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, zawsze możesz zastosować metodę podstawienia (chyba że wskazano, że układ należy rozwiązać inną metodą). pomyśl, że jesteś frajerem i obniżysz swoją ocenę za stosowanie „metody szkolnej” ”
Ponadto w niektórych przypadkach wskazane jest zastosowanie metody podstawieniowej przy większej liczbie zmiennych.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań liniowych z trzema niewiadomymi

Podobny układ równań często powstaje przy stosowaniu tzw. metody niepewne współczynniki kiedy znajdziemy całkę ułamkowej funkcji wymiernej. System, o którym mowa, został stamtąd przeze mnie zabrany.

Celem znalezienia całki jest szybko znaleźć wartości współczynników, zamiast korzystać ze wzorów Cramera, metody odwrotna macierz itp. Dlatego w tym przypadku właściwa jest metoda substytucyjna.

Kiedy podany jest jakikolwiek układ równań, przede wszystkim pożądane jest, aby dowiedzieć się, czy można go w jakiś sposób NATYCHMIAST uprościć? Analizując równania układu zauważamy, że drugie równanie układu można podzielić przez 2, co też robimy:

Odniesienie: znak matematyczny oznacza „z tego wynika tamto” i jest często używany przy rozwiązywaniu problemów.

Przeanalizujmy teraz równania; musimy wyrazić jedną zmienną w kategoriach innych. Które równanie wybrać? Pewnie już się domyśliłeś, że najłatwiej w tym celu skorzystać z pierwszego równania układu:

Tutaj, bez względu na to, jaką zmienną wyrazić, można równie łatwo wyrazić lub .

Następnie podstawiamy wyrażenie do do drugiego i trzeciego równania układu:

Otwieramy nawiasy i przedstawiamy podobne terminy:

Podziel trzecie równanie przez 2:

Z drugiego równania wyrażamy i podstawiamy do trzeciego równania:

Prawie wszystko jest gotowe, z trzeciego równania znajdujemy:
Z drugiego równania:
Z pierwszego równania:

Sprawdź: Podstaw znalezione wartości zmiennych po lewej stronie każdego równania układu:

1)
2)
3)

Otrzymuje się odpowiednie prawe strony równań, co oznacza, że ​​rozwiązanie jest znalezione poprawnie.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych z 4 niewiadomymi

To jest przykład dla niezależna decyzja(odpowiedź na końcu lekcji).

Rozwiązywanie układu poprzez dodawanie (odejmowanie) równań układu

Rozwiązując układy równań liniowych, należy starać się stosować nie „metodę szkolną”, ale metodę dodawania (odejmowania) wyrazów układu. Dlaczego? Oszczędza to czas i upraszcza obliczenia, jednak teraz wszystko stanie się jaśniejsze.

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych:

Wziąłem ten sam system, co w pierwszym przykładzie.
Analizując układ równań zauważamy, że współczynniki zmiennej mają identyczną wielkość i przeciwny znak (–1 i 1). W takiej sytuacji równania można dodawać termin po wyrazie:

Czynności zaznaczone na czerwono wykonuje się MENTALNIE.
Jak widać, w wyniku dodawania kolejnych wyrazów straciliśmy zmienną. W rzeczywistości to jest to istotą tej metody jest pozbycie się jednej ze zmiennych.

Równania liniowe są dość nieszkodliwym i zrozumiałym tematem matematyki szkolnej. Ale, co dziwne, liczba błędów niespodziewanych przy rozwiązywaniu równań liniowych jest tylko nieznacznie mniejsza niż w innych tematach - równania kwadratowe, logarytmy, trygonometria i inne. Przyczyną większości błędów są banalne, identyczne przekształcenia równań. Przede wszystkim jest to zamieszanie w znakach przy przenoszeniu terminów z jednej części równania do drugiej, a także błędy podczas pracy z ułamkami i współczynnikami ułamkowymi. Tak tak! Ułamki pojawiają się także w równaniach liniowych! Dookoła. Poniżej na pewno przeanalizujemy takie złe równania.)

Cóż, nie ciągnijmy kota za ogon i zacznijmy to rozmyślać, dobrze? Następnie czytamy i zagłębiamy się w to.)

Co to jest równanie liniowe? Przykłady.

Zazwyczaj równanie liniowe wygląda następująco:

topór + B = 0,

Gdzie a i b są dowolnymi liczbami. Dowolny rodzaj: liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, irracjonalne - może to być wszystko!

Na przykład:

7x + 1 = 0 (tutaj a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (tutaj a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (tutaj a = 1/2, b = -1,1)

Ogólnie mam nadzieję, że rozumiesz.) Wszystko jest proste, jak w bajce. Na razie... A jeśli przyjrzeć się bliżej notacji ogólnej ax+b=0 i trochę pomyśleć? W końcu a i b są dowolne liczby! A jeśli mamy, powiedzmy, a = 0 i b = 0 (można przyjąć dowolne liczby!), to co otrzymamy?

0 = 0

Ale to nie cała zabawa! A co jeśli, powiedzmy, a = 0, b = -10? Potem okazuje się, że to jakiś nonsens:

0 = 10.

Co jest bardzo, bardzo irytujące i podważa zaufanie do matematyki, które zdobyliśmy potem i krwią... Szczególnie podczas sprawdzianów i egzaminów. Ale z tych niezrozumiałych i dziwnych równości musisz także znaleźć X! Które w ogóle nie istnieje! A tutaj nawet dobrze przygotowani studenci mogą czasami wpaść w tzw. odrętwienie... Ale nie martwcie się! W tej lekcji przyjrzymy się również wszystkim takim niespodziankom. I na pewno znajdziemy X z takich równości.) Co więcej, to samo X można znaleźć w bardzo, bardzo prosty sposób. Tak tak! Zaskakujące, ale prawdziwe.)

OK, to zrozumiałe. Ale jak rozpoznać po wyglądzie zadania, że ​​jest to równanie liniowe, a nie jakieś inne równanie? Niestety, nie zawsze można rozpoznać rodzaj równania po samym wyglądzie. Rzecz w tym, że liniowymi nazywamy nie tylko równania o postaci ax+b=0, ale także wszelkie inne równania, które w taki czy inny sposób dają się do tej postaci sprowadzić za pomocą identycznych przekształceń. Skąd wiesz, czy się sumuje, czy nie? Dopóki nie będziesz w stanie rozwiązać przykładu - prawie wcale. To jest denerwujące. Jednak w przypadku niektórych typów równań można od razu i z całą pewnością stwierdzić, czy są one liniowe, czy nie, jednym szybkim spojrzeniem.

Aby to zrobić, spójrzmy jeszcze raz na ogólną strukturę dowolnego równania liniowego:

topór + B = 0

Uwaga: w równaniu liniowym Zawsze obecna jest tylko zmienna x w pierwszym stopniu i trochę liczb! To wszystko! Nic więcej. Jednocześnie nie ma X w kwadracie, w sześcianie, pod pierwiastkiem, pod logarytmem i innymi egzotycznymi rzeczami. I (co najważniejsze!) nie ma ułamków z X w mianownikach! Ale ułamki z liczbami w mianownikach lub dzieleniu na numer- łatwo!

Na przykład:

To jest równanie liniowe. Równanie zawiera tylko X do pierwszej potęgi i liczby. I nie ma X w wyższych potęgach - do kwadratu, do sześcianu i tak dalej. Tak, są tu ułamki, ale jednocześnie zawierają mianowniki ułamków tylko numery. Mianowicie - dwa i trzy. Innymi słowy, nie ma dzielenie przez x.

A oto równanie

Nie można już tego nazwać liniowym, chociaż i tutaj są tylko liczby i X do pierwszej potęgi. Bo między innymi są też ułamki z X w mianownikach. A po uproszczeniach i przekształceniach takie równanie może stać się dowolne: liniowe, kwadratowe - dowolne.

Jak rozwiązywać równania liniowe? Przykłady.

Jak więc rozwiązać równania liniowe? Czytaj dalej i bądź zaskoczony.) Całe rozwiązanie równań liniowych opiera się tylko na dwóch głównych rzeczach. Wypiszmy je.

1) Zbiór elementarnych działań i zasad matematyki.

Należą do nich: używanie nawiasów, nawiasów otwierających, praca z ułamkami zwykłymi, praca z liczbami ujemnymi, tabliczka mnożenia i tak dalej. Ta wiedza i umiejętności są niezbędne nie tylko do rozwiązywania równań liniowych, ale w ogóle do całej matematyki. A jeśli będziesz mieć z tym problemy, pamiętaj o niższych ocenach. Inaczej będzie Ci ciężko...

2)

Jest ich tylko dwóch. Tak tak! Co więcej, te bardzo podstawowe przekształcenia tożsamości leżą u podstaw rozwiązywania nie tylko równań liniowych, ale w ogóle wszelkich równań matematycznych! Jednym słowem rozwiązanie dowolnego innego równania - kwadratowego, logarytmicznego, trygonometrycznego, irracjonalnego itp. – z reguły zaczyna się od tych bardzo podstawowych przekształceń. Ale w rzeczywistości rozwiązanie równań liniowych kończy się na nich (przekształceniach). Gotowa odpowiedź.) Więc nie bądź leniwy i zajrzyj do linku.) Co więcej, równania liniowe są tam również szczegółowo analizowane.

Cóż, myślę, że czas zacząć przyglądać się przykładom.

Na początek, w ramach rozgrzewki, przyjrzyjmy się kilku podstawowym rzeczom. Bez żadnych ułamków i innych bajerów. Na przykład to równanie:

x – 2 = 4 – 5x

Jest to klasyczne równanie liniowe. Wszystkie X są co najwyżej pierwszej potęgi i nigdzie nie ma dzielenia przez X. Schemat rozwiązań takich równań jest zawsze taki sam i strasznie prosty: wszystkie wyrazy z X należy zebrać po lewej stronie, a wszystkie wyrazy bez X (tj. liczby) należy zebrać po prawej stronie. Zacznijmy więc zbierać.

W tym celu przeprowadzamy pierwszą transformację tożsamości. Musimy przesunąć -5x w lewo i -2 w prawo. Oczywiście ze zmianą znaku.) Przenosimy zatem:

x + 5x = 4 + 2

Proszę bardzo. Połowa sukcesu za nami: X zostały zebrane w stos, podobnie jak liczby. Teraz podobne przedstawiamy po lewej stronie, a liczymy je po prawej. Otrzymujemy:

6x = 6

Czego nam obecnie brakuje do pełnego szczęścia? Tak, aby czysty X pozostał po lewej stronie! A szóstka staje na przeszkodzie. Jak się tego pozbyć? Teraz przeprowadzamy drugie identyczne przekształcenie - dzielimy obie strony równania przez 6. I - voila! Odpowiedź jest gotowa.)

x = 1

Oczywiście przykład jest całkowicie prymitywny. Aby uzyskać ogólny pomysł. Cóż, zdecydujmy o czymś bardziej znaczącym. Spójrzmy na przykład na to równanie:

Przyjrzyjmy się temu szczegółowo.) Jest to również równanie liniowe, choć wydaje się, że są tu ułamki. Ale w ułamkach jest dzielenie przez dwa i jest dzielenie przez trzy, ale nie ma dzielenia przez wyrażenie z X! Zdecydujmy więc. Używając tych samych identycznych przekształceń, tak.)

Co powinniśmy zrobić najpierw? Z X - w lewo, bez X - w prawo? W zasadzie jest to możliwe. Leć do Soczi przez Władywostok.) Możesz też wybrać najkrótszą trasę, natychmiast, stosując uniwersalną i skuteczną metodę. Jeśli oczywiście znasz transformacje tożsamości.)

Na początek zadam kluczowe pytanie: co najbardziej wyróżnia Cię w tym równaniu, a co najbardziej Ci się nie podoba? 99 na 100 osób powie: ułamki! I będą mieli rację.) Zatem najpierw się ich pozbądźmy. Bezpieczne dla samego równania.) Dlatego zacznijmy od razu druga transformacja tożsamości- z mnożenia. Przez co należy pomnożyć lewą stronę, aby mianownik został pomyślnie zredukowany? Zgadza się, dwójka. A prawa strona? Na trójkę! Ale... Matematyka to kapryśna dama. Ona, widzisz, wymaga tylko pomnożenia obu stron za ten sam numer! Mnożenie każdej części przez jej własną liczbę nie działa... Co zrobimy? Coś... Szukaj kompromisu. Aby zaspokoić nasze pragnienia (pozbyć się ułamków) i nie urazić matematyki.) Pomnóżmy obie części przez sześć!), Czyli przez wspólny mianownik wszystkich ułamków zawartych w równaniu. Wtedy za jednym zamachem zarówno dwójka, jak i trójka zostaną zredukowane!)

Więc pomnóżmy. Cała lewa strona i cała prawa strona! Dlatego używamy nawiasów. Tak wygląda sama procedura:

Teraz otwieramy te same nawiasy:

Teraz, przedstawiając 6 jako 6/1, pomnóżmy sześć przez każdy ułamek po lewej i prawej stronie. Jest to zwykłe mnożenie ułamków zwykłych, ale niech tak będzie, opiszę to szczegółowo:

I tu – uwaga! Licznik (x-3) umieściłem w nawiasie! Wszystko dlatego, że przy mnożeniu ułamków licznik mnoży się całkowicie, całkowicie! A wyrażenie x-3 musi być traktowane jako jedna integralna struktura. Ale jeśli napiszesz licznik w ten sposób:

6x – 3,

Ale wszystko jest w porządku i musimy to sfinalizować. Co zrobic nastepnie? Otworzyć nawiasy w liczniku po lewej stronie? W żadnym wypadku! Ty i ja pomnożyliśmy obie strony przez 6, aby pozbyć się ułamków i nie martwić się otwieraniem nawiasów. Na tym etapie potrzebujemy zmniejsz nasze ułamki. Z poczuciem głębokiej satysfakcji redukujemy wszystkie mianowniki i otrzymujemy równanie bez ułamków w linii:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

A teraz można otworzyć pozostałe nawiasy:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Równanie staje się coraz lepsze! Przypomnijmy sobie teraz jeszcze raz o pierwszej identycznej transformacji. Z kamienną twarzą powtarzamy zaklęcie z klas juniorów: z X - w lewo, bez X - w prawo. I zastosuj tę transformację:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Podobne przedstawiamy po lewej stronie i liczymy po prawej:

13x = 39

Pozostaje podzielić obie części przez 13. To znaczy ponownie zastosować drugą transformację. Dzielimy i otrzymujemy odpowiedź:

x = 3

Zadanie zostało wykonane. Jak widać, w tym równaniu musieliśmy zastosować pierwszą transformację raz (przenosząc wyrazy), a drugą dwukrotnie: na początku rozwiązania zastosowaliśmy mnożenie (przez 6), aby pozbyć się ułamków, a na koniec rozwiązania zastosowaliśmy dzielenie (przez 13), aby pozbyć się współczynnika przed X. A rozwiązanie dowolnego (tak, dowolnego!) równania liniowego składa się z kombinacji tych samych przekształceń w tej czy innej sekwencji. Gdzie dokładnie zacząć, zależy od konkretnego równania. W niektórych miejscach bardziej opłaca się zacząć od przeniesienia, a w innych (jak w tym przykładzie) od mnożenia (lub dzielenia).

Pracujemy od prostych do złożonych. Rozważmy teraz jawne okrucieństwo. Z mnóstwem ułamków zwykłych i nawiasów. A powiem Ci, jak się nie przemęczać.)

Oto na przykład równanie:

Patrzymy na równanie przez minutę, jesteśmy przerażeni, ale mimo to zbieramy się w sobie! Główny problem polega na tym, od czego zacząć? Możesz dodawać ułamki po prawej stronie. Możesz odejmować ułamki w nawiasach. Możesz pomnożyć obie części przez coś. Albo podziel... Co więc jest jeszcze możliwe? Odpowiedź: wszystko jest możliwe! Matematyka nie zabrania żadnego z wymienionych działań. I niezależnie od tego, jaką sekwencję działań i przekształceń wybierzesz, odpowiedź zawsze będzie taka sama – właściwa. Chyba, że ​​na którymś etapie naruszysz tożsamość swoich przemian i tym samym popełnisz błędy...

A żeby nie popełnić błędów, w tak wyrafinowanych przykładach jak ten, zawsze najlepiej jest ocenić jego wygląd i zastanowić się: co można zrobić w tym przykładzie, aby maksymalny uprościć to w jednym kroku?

Więc rozwiążmy to. Po lewej stronie znajdują się szóstki w mianownikach. Mnie osobiście się one nie podobają, a bardzo łatwo je usunąć. Pozwólcie, że pomnożę obie strony równania przez 6! Wtedy szóstki po lewej stronie zostaną pomyślnie zmniejszone, ułamki w nawiasach jeszcze nigdzie nie pójdą. Cóż, to jest w porządku. Zajmiemy się nimi nieco później.) Ale po prawej stronie mamy zniesienie mianowników 2 i 3. To właśnie dzięki tej akcji (mnożenie przez 6) osiągamy maksymalne uproszczenia w jednym kroku!

Po pomnożeniu całe nasze równanie zła wygląda następująco:

Jeśli nie rozumiesz dokładnie, jak powstało to równanie, oznacza to, że nie zrozumiałeś dobrze analizy poprzedniego przykładu. A swoją drogą próbowałem...

A więc ujawnijmy:

Teraz najbardziej logicznym krokiem byłoby wyizolowanie ułamków po lewej stronie i wysłanie 5x na prawą stronę. Jednocześnie podobne zaprezentujemy po prawej stronie. Otrzymujemy:

Już dużo lepiej. Teraz lewa strona przygotowała się do mnożenia. Przez co należy pomnożyć lewą stronę, aby od razu zmniejszyć liczbę pięć i cztery? O 20! Ale mamy też wady po obu stronach równania. Dlatego najwygodniej będzie pomnożyć obie strony równania nie przez 20, ale przez -20. Wtedy za jednym zamachem znikną zarówno minusy, jak i ułamki.

Zatem mnożymy:

Jeśli ktoś nadal nie rozumie tego kroku, oznacza to, że problem nie leży w równaniach. Problemy tkwią w podstawach! Przypomnijmy jeszcze raz złota zasada nawiasy otwierające:

Jeśli liczbę pomnoży się przez jakieś wyrażenie w nawiasach, wówczas liczbę tę należy pomnożyć kolejno przez każdy wyraz tego właśnie wyrażenia. Co więcej, jeśli liczba jest dodatnia, znaki wyrażeń zostają zachowane po rozwinięciu. Jeśli wynik jest negatywny, zmień na odwrotny:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Nasze wady zniknęły po pomnożeniu obu stron przez -20. A teraz mnożymy nawiasy ułamkowe po lewej stronie przez całkiem Liczba dodatnia 20. Dlatego po otwarciu tych nawiasów wszystkie znaki, które się w nich znajdowały, zostają zachowane. Ale skąd wzięły się nawiasy w licznikach ułamków, wyjaśniłem już szczegółowo w poprzednim przykładzie.

Teraz możesz skrócić ułamki:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Otwórz pozostałe nawiasy. Ponownie ujawniamy to poprawnie. Pierwsze nawiasy są mnożone przez liczbę dodatnią 4, dzięki czemu wszystkie znaki zostają zachowane po ich otwarciu. Ale drugie nawiasy są mnożone przez negatywny liczba wynosi -5 i dlatego wszystkie znaki są odwrócone:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Pozostały już tylko drobnostki. Z X po lewej stronie i bez X po prawej:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

To prawie wszystko. Po lewej stronie potrzebny jest czysty X, ale na przeszkodzie stoi liczba -35. Zatem dzielimy obie strony przez (-35). Przypomnę, że druga transformacja tożsamości pozwala nam mnożyć i dzielić obie strony przez cokolwiek numer. Łącznie z ujemnymi.) Pod warunkiem, że nie jest to zero! Podziel się i uzyskaj odpowiedź:

X = 2/35

Tym razem X okazało się ułamkowe. W porządku. Taki przykład.)

Jak widać zasada rozwiązywania równań liniowych (nawet tych najbardziej skomplikowanych) jest dość prosta: bierzemy pierwotne równanie i stosując identyczne przekształcenia, sukcesywnie je upraszczamy, aż otrzymamy odpowiedź. Oczywiście z podstawami! Głównymi problemami tutaj są właśnie nieprzestrzeganie podstaw (na przykład przed nawiasami jest minus, a podczas rozwijania zapomniano zmienić znaki), a także banalna arytmetyka. Dlatego nie zaniedbuj podstaw! Są podstawą całej innej matematyki!

Kilka ciekawych rzeczy do zrobienia przy rozwiązywaniu równań liniowych. Lub specjalne okazje.

Wszystko byłoby w porządku. Jednak... Wśród równań liniowych są też takie zabawne perełki, że przy ich rozwiązywaniu można wprawić w silne odrętwienie. Nawet doskonały uczeń.)

Oto na przykład niewinnie wyglądające równanie:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Ziewając szeroko i lekko znudzeni, zbieramy wszystkie X po lewej stronie i wszystkie cyfry po prawej:

7x-4x-3x = 5-2-3

Przedstawiamy podobne, liczymy i otrzymujemy:

0 = 0

Otóż ​​to! Podałem przykładową sztuczkę! Ta równość sama w sobie nie budzi żadnych zastrzeżeń: zero rzeczywiście jest równe zero. Ale brakuje X! Bez śladu! I musimy zapisać w odpowiedzi, jakie jest x równe. Inaczej decyzja się nie liczy, tak.) Co robić?

Nie panikować! W takich niestandardowych przypadkach jak najbardziej Pojęcia ogólne i zasady matematyki. Co to jest równanie? Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie?

Rozwiązanie równania oznacza znalezienie Wszystko wartości zmiennej x, która po podstawieniu do oryginalny równanie da nam poprawną równość (tożsamość)!

Ale mamy prawdziwą równość to już się stało! 0=0, a raczej nigdzie!) Możemy się tylko domyślać, po jakich X otrzymamy tę równość. Jakimi znakami X można zastąpić oryginalny równanie, jeśli po podstawieniu wszystkich z nich czy nadal zostaną zredukowane do zera? Jeszcze na to nie wpadłeś?

Pewno! X można zastąpić każdy!!! Absolutnie dowolny. Prześlij, co chcesz. Co najmniej 1, co najmniej -23, co najmniej 2,7 – nieważne! Nadal będą redukowane i w efekcie pozostanie czysta prawda. Wypróbuj, zastąp i przekonaj się sam.)

Oto Twoja odpowiedź:

x – dowolna liczba.

W zapis naukowy tę równość zapisuje się w następujący sposób:

Ten wpis brzmi następująco: „X to dowolna liczba rzeczywista”.

Lub w innej formie, w odstępach czasu:

Zaprojektuj go tak, jak lubisz najbardziej. To jest poprawna i całkowicie pełna odpowiedź!

Teraz zmienię tylko jedną liczbę w naszym pierwotnym równaniu. Rozwiążmy teraz to równanie:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

Ponownie przenosimy warunki, liczymy i otrzymujemy:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

A co sądzisz o tym dowcipie? Było zwykłe równanie liniowe, ale stało się niezrozumiałą równością

0 = 1…

Z naukowego punktu widzenia, mamy fałszywa równość. Ale w języku rosyjskim nie jest to prawdą. Głupie gadanie. Nonsens.) Ponieważ zero w żadnym wypadku nie jest równe jeden!

A teraz zastanówmy się jeszcze raz, jaki rodzaj X otrzymamy po podstawieniu do pierwotnego równania prawdziwa równość? Który? Ale żaden! Bez względu na to, które X zastąpisz, wszystko nadal będzie skrócone i wszystko pozostanie bzdurą.)

Oto odpowiedź: żadnych rozwiązań.

W notacja matematyczna taka odpowiedź jest sformatowana w następujący sposób:

Brzmi ono: „X należy do zbioru pustego”.

Takie odpowiedzi w matematyce również zdarzają się dość często: nie zawsze jakieś równania mają w zasadzie pierwiastki. Niektóre równania mogą w ogóle nie mieć pierwiastków. W ogóle.

Oto dwie niespodzianki. Mam nadzieję, że teraz nagłe zniknięcie X z równania nie wprawi Cię w zakłopotanie na zawsze. To jest całkiem znajome.)

I wtedy słyszę logiczne pytanie: czy zdadzą egzamin OGE czy Unified State Exam? O jednolitym egzaminie państwowym samym w sobie jako zadaniu - nie. Zbyt proste. Ale w OGE lub w zadaniach tekstowych - łatwo! Zatem teraz potrenujmy i podejmijmy decyzję:

Odpowiedzi (w nieładzie): -2; -1; Jakikolwiek numer; 2; brak rozwiązań; 7/13.

Wszystko się udało? Świetnie! Masz duże szanse na egzaminie.

Czy coś się nie zgadza? Hm... Smutek, oczywiście. Oznacza to, że nadal istnieją gdzieś luki. Albo w podstawach, albo w identycznych przekształceniach. Albo to po prostu kwestia zwykłej nieuwagi. Przeczytaj lekcję jeszcze raz. Bo to nie jest temat, od którego tak łatwo można się obejść na matematyce...

Powodzenia! Na pewno się do ciebie uśmiechnie, uwierz mi!)