W określeniu „równanie kwadratowe” słowem kluczowym jest „równanie kwadratowe”. Oznacza to, że równanie musi koniecznie zawierać zmienną (ten sam x) podniesiony do kwadratu i nie powinno być xów do trzeciej (lub większej) potęgi.
Rozwiązanie wielu równań sprowadza się do dokładnego rozwiązania równania kwadratowe.
Nauczmy się ustalać, że jest to równanie kwadratowe, a nie jakieś inne równanie.
Przykład 1.
Pozbądźmy się mianownika i pomnóżmy każdy wyraz równania przez
Przesuńmy wszystko na lewą stronę i ułóżmy wyrazy w malejącej kolejności potęg X
Teraz możemy śmiało powiedzieć, że to równanie jest kwadratowe!
Przykład 2.
Pomnóż lewą i prawą stronę przez:
To równanie, choć pierwotnie w nim występowało, nie jest kwadratowe!
Przykład 3.
Pomnóżmy wszystko przez:
Straszny? Czwarty i drugi stopień... Jeśli jednak dokonamy zamiany, zobaczymy, że mamy proste równanie kwadratowe:
Przykład 4.
Wydaje się, że tak jest, ale przyjrzyjmy się bliżej. Przesuńmy wszystko na lewą stronę:
Widzisz, zostało to zredukowane - i teraz jest to proste równanie liniowe!
Teraz spróbuj samodzielnie ustalić, które z poniższych równań są równaniami kwadratowymi, a które nie:
Przykłady:
Odpowiedzi:
- kwadrat;
- kwadrat;
- nie kwadratowy;
- nie kwadratowy;
- nie kwadratowy;
- kwadrat;
- nie kwadratowy;
- kwadrat.
Matematycy tradycyjnie dzielą wszystkie równania kwadratowe na następujące typy:
- Uzupełnij równania kwadratowe- równania, w których współczynniki i oraz człon wolny c są różne od zera (jak w przykładzie). Ponadto wśród pełnych równań kwadratowych istnieją dany- są to równania, w których współczynnik (równanie z przykładu pierwszego jest nie tylko pełne, ale i zredukowane!)
- Niekompletne równania kwadratowe- równania, w których współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:
Są niekompletne, bo brakuje w nich jakiegoś elementu. Ale równanie musi zawsze zawierać x do kwadratu!!! W przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe, ale jakieś inne równanie.
Dlaczego wpadli na taki podział? Wydawałoby się, że jest X do kwadratu i OK. Podział ten wyznaczają metody rozwiązania. Przyjrzyjmy się każdemu z nich bardziej szczegółowo.
Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych
Najpierw skupmy się na rozwiązywaniu niepełnych równań kwadratowych - są one znacznie prostsze!
Istnieją typy niekompletnych równań kwadratowych:
- , w tym równaniu współczynnik jest równy.
- , w tym równaniu wolny termin jest równy.
- , w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.
1. ja Ponieważ wiemy, jak wydobywać Pierwiastek kwadratowy, to wyrażmy z tego równania
Wyrażenie może być ujemne lub dodatnie. Liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna, gdyż przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią, zatem: jeśli, to równanie nie ma rozwiązań.
A jeśli, to otrzymujemy dwa pierwiastki. Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejsze jest to, że musisz wiedzieć i zawsze pamiętać, że nie może być mniej.
Spróbujmy rozwiązać kilka przykładów.
Przykład 5:
Rozwiązać równanie
Teraz pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z lewej i prawej strony. W końcu pamiętasz, jak wyodrębnić korzenie?
Odpowiedź:
Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!!!
Przykład 6:
Rozwiązać równanie
Odpowiedź:
Przykład 7:
Rozwiązać równanie
Oh! Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że równanie
żadnych korzeni!
Dla takich równań, które nie mają pierwiastków, matematycy wymyślili specjalną ikonę - (pusty zbiór). A odpowiedź można zapisać w ten sposób:
Odpowiedź:
Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie ma tutaj żadnych ograniczeń, ponieważ nie wyodrębniliśmy katalogu głównego.
Przykład 8:
Rozwiązać równanie
Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
Zatem,
To równanie ma dwa pierwiastki.
Odpowiedź:
Najprostszy rodzaj niekompletnych równań kwadratowych (chociaż wszystkie są proste, prawda?). Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:
Pominiemy tutaj przykłady.
Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych
Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci równania gdzie
Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest trochę trudniejsze (tylko trochę) niż te.
Pamiętać, Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.
Inne metody pomogą ci to zrobić szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.
1. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem dyskryminatora.
Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą tej metody jest bardzo proste, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów.
Jeśli, to równanie ma pierwiastek. Specjalna uwaga Zrób krok. Dyskryminator () informuje nas o liczbie pierwiastków równania.
- Jeśli, wówczas formuła w tym kroku zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
- Jeśli, to nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.
Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 9:
Rozwiązać równanie
Krok 1 pomijamy.
Krok 2.
Znajdujemy wyróżnik:
Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki.
Krok 3.
Odpowiedź:
Przykład 10:
Rozwiązać równanie
Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.
Krok 2.
Znajdujemy wyróżnik:
Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź:
Przykład 11:
Rozwiązać równanie
Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.
Krok 2.
Znajdujemy wyróżnik:
Oznacza to, że nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora. Równanie nie ma pierwiastków.
Teraz wiemy, jak poprawnie zapisać takie odpowiedzi.
Odpowiedź:żadnych korzeni
2. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety.
Jeśli pamiętasz, istnieje rodzaj równania, który nazywa się zredukowanym (gdy współczynnik a jest równy):
Równania takie bardzo łatwo rozwiązać korzystając z twierdzenia Viety:
Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe i iloczyn pierwiastków jest równy.
Przykład 12:
Rozwiązać równanie
Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ .
Suma pierwiastków równania jest równa, tj. otrzymujemy pierwsze równanie:
A iloczyn jest równy:
Skomponujmy i rozwiążmy system:
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa.
i są rozwiązaniem układu:
Odpowiedź: ; .
Przykład 13:
Rozwiązać równanie
Odpowiedź:
Przykład 14:
Rozwiązać równanie
Podane jest równanie, które oznacza:
Odpowiedź:
RÓWNANIA KWADRATOWE. ŚREDNI POZIOM
Co to jest równanie kwadratowe?
Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie - niewiadoma, - niektóre liczby i.
Liczba nazywana jest najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, A - Wolny Członek.
Dlaczego? Ponieważ jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.
W tym przypadku i może być równe zeru. Na tym krześle równanie nazywa się niekompletnym. Jeśli wszystkie warunki są spełnione, oznacza to, że równanie jest kompletne.
Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych
Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych:
Najpierw przyjrzyjmy się metodom rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.
Wyróżniamy następujące typy równań:
I. w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.
II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.
III. , w tym równaniu wolny termin jest równy.
Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu dla każdego z tych podtypów.
Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:
Liczba podniesiona do kwadratu nie może być liczbą ujemną, ponieważ po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Dlatego:
jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;
jeśli mamy dwa korzenie
Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniejsza.
Przykłady:
Rozwiązania:
Odpowiedź:
Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!
Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że równanie
żadnych korzeni.
Aby krótko zapisać, że problem nie ma rozwiązań, używamy ikony pustego zestawu.
Odpowiedź:
Zatem to równanie ma dwa pierwiastki: i.
Odpowiedź:
Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:
Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.
Przykład:
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Rozważmy lewą stronę równania i znajdźmy pierwiastki:
Odpowiedź:
Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych:
1. Dyskryminujący
Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.
Czy zauważyłeś pierwiastek z wyróżnika we wzorze na pierwiastki? Ale dyskryminator może być ujemny. Co robić? Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Dyskryminator informuje nas o liczbie pierwiastków równania.
- Jeśli, to równanie ma pierwiastki:
- Jeśli to równanie ma te same pierwiastki, a właściwie jeden pierwiastek:
Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.
- Jeśli, to pierwiastek dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.
Dlaczego możliwa jest różna liczba korzeni? Przejdźmy do zmysł geometryczny równanie kwadratowe. Wykresem funkcji jest parabola:
W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, . Oznacza to, że pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią (osią) odciętej. Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.
Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli, to w dół.
Przykłady:
Rozwiązania:
Odpowiedź:
Odpowiedź: .
Odpowiedź:
Oznacza to, że nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: .
2. Twierdzenie Viety
Twierdzenie Viety jest bardzo łatwe w użyciu: wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy wolnemu członowi równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnym znakiem.
Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować jedynie w zredukowane równania kwadratowe ().
Spójrzmy na kilka przykładów:
Przykład 1:
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .
Suma pierwiastków równania wynosi:
A iloczyn jest równy:
Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa;
- I. Kwota jest równa.
i są rozwiązaniem układu:
Zatem i są pierwiastkami naszego równania.
Odpowiedź: ; .
Przykład nr 2:
Rozwiązanie:
Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdźmy, czy ich suma jest równa:
i: dają w sumie.
i: dają w sumie. Aby uzyskać, wystarczy po prostu zmienić znaki rzekomych korzeni: a przecież i produkt.
Odpowiedź:
Przykład nr 3:
Rozwiązanie:
Wolny wyraz równania jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest liczba ujemna. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Zatem suma pierwiastków jest równa różnice w ich modułach.
Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a których różnica jest równa:
i: ich różnica jest równa - nie pasuje;
oraz: - nie nadaje się;
oraz: - nie nadaje się;
oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, pierwiastek o mniejszym module musi być ujemny: . Sprawdzamy:
Odpowiedź:
Przykład nr 4:
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Podane jest równanie, które oznacza:
Wolny termin jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.
Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określmy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:
Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:
Odpowiedź:
Przykład nr 5:
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Podane jest równanie, które oznacza:
Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich iloczyn jest dodatni, oznacza to, że oba pierwiastki mają znak minus.
Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy:
Oczywiście pierwiastkami są liczby i.
Odpowiedź:
Zgadzam się, bardzo wygodnie jest wymyślić korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator. Staraj się jak najczęściej korzystać z twierdzenia Viety.
Ale twierdzenie Viety jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znalezienie pierwiastków. Aby móc z niego skorzystać, należy doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż pięć kolejnych przykładów. Ale nie oszukuj: nie możesz używać dyskryminatora! Tylko twierdzenie Viety:
Rozwiązania zadań do samodzielnej pracy:
Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Zgodnie z twierdzeniem Viety:
Tradycyjnie selekcję zaczynamy od utworu:
Nie nadaje się ze względu na ilość;
: ilość jest dokładnie taka, jakiej potrzebujesz.
Odpowiedź: ; .
Zadanie 2.
I znowu nasze ulubione twierdzenie Viety: suma musi być równa i iloczyn musi być równy.
Ale ponieważ tak nie musi być, ale zmieniamy znaki pierwiastków: i (w sumie).
Odpowiedź: ; .
Zadanie 3.
Hmm... Gdzie to jest?
Musisz przenieść wszystkie terminy do jednej części:
Suma pierwiastków jest równa iloczynowi.
OK, przestań! Równanie nie jest podane. Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w danych równaniach. Najpierw musisz podać równanie. Jeśli nie potrafisz przewodzić, porzuć ten pomysł i rozwiąż go w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminację). Przypomnę, że podanie równania kwadratowego oznacza zrównanie współczynnika wiodącego:
Świetnie. Wtedy suma pierwiastków jest równa i iloczynowi.
Tutaj wybór jest tak prosty, jak obieranie gruszek: w końcu jest to liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).
Odpowiedź: ; .
Zadanie 4.
Wolny członek jest ujemny. Co jest w tym specjalnego? Faktem jest, że korzenie będą miały różne znaki. A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę w ich modułach: ta różnica jest równa, ale iloczyn.
Zatem pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, to znaczy. Oznacza to, że mniejszy pierwiastek będzie miał minus: i, ponieważ.
Odpowiedź: ; .
Zadanie 5.
Co powinieneś zrobić najpierw? Zgadza się, podaj równanie:
Ponownie: wybieramy współczynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:
Pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma powinna być równa, co oznacza, że minus będzie miał większy pierwiastek.
Odpowiedź: ; .
Podsumuję:
- Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
- Korzystając z twierdzenia Viety, możesz znaleźć pierwiastki poprzez selekcję, ustnie.
- Jeżeli równanie nie zostało podane lub nie zostało znalezione odpowiednia para mnożniki terminu wolnego, co oznacza, że nie ma pełnych pierwiastków i trzeba to rozwiązać w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminator).
3. Metoda wyboru całego kwadratu
Jeśli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą przedstawimy w postaci wyrazów ze skróconych wzorów na mnożenie – kwadratu sumy lub różnicy – to po zastąpieniu zmiennych równanie można przedstawić w postaci niepełnego równania kwadratowego typu.
Na przykład:
Przykład 1:
Rozwiązać równanie: .
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
Przykład 2:
Rozwiązać równanie: .
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
W ogólna perspektywa transformacja będzie wyglądać następująco:
Oznacza to: .
Nic Ci nie przypomina? To dyskryminacja! Dokładnie w ten sposób otrzymaliśmy wzór na dyskryminację.
RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Równanie kwadratowe- jest to równanie postaci, w której - niewiadoma, - współczynniki równania kwadratowego, - człon wolny.
Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.
Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .
Niekompletne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:
- jeśli współczynnik, równanie wygląda następująco: ,
- jeżeli istnieje wyraz wolny, równanie ma postać: ,
- jeśli i, równanie wygląda następująco: .
1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych
1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:
1) Wyraźmy niewiadomą: ,
2) Sprawdź znak wyrażenia:
- jeżeli, to równanie nie ma rozwiązań,
- jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.
1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:
1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,
2) Iloczyn jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem równanie ma dwa pierwiastki:
1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:
To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .
2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych w postaci gdzie
2.1. Rozwiązanie wykorzystujące dyskryminator
1) Sprowadźmy równanie do postaci standardowej: ,
2) Obliczmy dyskryminator korzystając ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:
3) Znajdź pierwiastki równania:
- jeśli, to równanie ma pierwiastki, które można znaleźć według wzoru:
- jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć za pomocą wzoru:
- jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.
2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety
Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , A.
2.3. Rozwiązanie metodą wyboru pełnego kwadratu
Jeżeli równanie kwadratowe postaci ma pierwiastki, to można je zapisać w postaci: .
No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.
Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!
Teraz najważniejsza rzecz.
Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.
Problem w tym, że to może nie wystarczyć...
Po co?
Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.
Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...
Osoby, które otrzymały Dobra edukacja, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy ich nie otrzymali. To jest statystyka.
Ale to nie jest najważniejsze.
Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...
Ale pomyśl samodzielnie...
Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?
Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.
Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.
Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.
A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.
To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.
Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!
Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.
Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.
Jak? Istnieją dwie opcje:
- Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
- Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 499 rubli.
Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.
Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.
Podsumowując...
Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.
„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.
Znajdź problemy i rozwiąż je!
Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya
10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych
Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
nauczyciel matematyki
wieś Kopewo, 2007
1. Historia rozwoju równań kwadratowych
1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie
1.2 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe
1.3 Równania kwadratowe w Indiach
1.4 Równania kwadratowe al-Khorezmiego
1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek
1.6 O twierdzeniu Viety
2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych
Wniosek
Literatura
1. Historia rozwoju równań kwadratowych
1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie
Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale także drugiego stopnia, już w czasach starożytnych, spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych z ustalaniem powierzchni działek oraz pracami wykopaliskowymi o charakterze wojskowym, a także podobnie jak rozwój samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe można było rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy.
Korzystając ze współczesnej notacji algebraicznej, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niekompletnych znajdują się na przykład pełne równania kwadratowe:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się ze współczesną, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami zawartymi w formie przepisów, bez wskazania, w jaki sposób je odnaleziono.
Pomimo wysoki poziom rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje pojęcia liczby ujemnej metody ogólne rozwiązywanie równań kwadratowych.
1.2 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe.
Arytmetyka Diofantosa nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które są rozwiązywane poprzez konstruowanie równań różnego stopnia.
Układając równania, Diofant umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.
Oto na przykład jedno z jego zadań.
Problem 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn wynosi 96”
Diofantus rozumuje w następujący sposób: z warunków problemu wynika, że wymagane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, ich iloczyn nie byłby równy 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę kwoty, tj. 10 + x, drugi jest mniejszy, tj. 10-te. Różnica między nimi 2x .
Stąd równanie:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Stąd x = 2. Jedna z wymaganych liczb jest równa 12 , Inny 8 . Rozwiązanie x = -2 gdyż Diofantos nie istnieje, gdyż grecka matematyka znała tylko liczby dodatnie.
Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z wymaganych liczb jako niewiadomą, wówczas dojdziemy do rozwiązania równania
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)
Oczywiste jest, że wybierając połowę różnicy wymaganych liczb jako niewiadomą, Diofant upraszcza rozwiązanie; udaje mu się sprowadzić problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).
1.3 Równania kwadratowe w Indiach
Zagadnienia równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Opisał to inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.). główna zasada rozwiązania równań kwadratowych zredukowane do jednej postaci kanonicznej:
aha 2 + B x = c, a > 0. (1)
W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem A, może być również ujemna. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza.
W Starożytne Indie Powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak samo uczony człowiek przyćmi chwałę innego zgromadzenia ludowe, proponowanie i rozwiązywanie problemów algebraicznych.” Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.
Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars.
Problem 13.
„Stado rozbrykanych małp i dwanaście wzdłuż winorośli...
Władze po zjedzeniu dobrze się bawiły. Zaczęli skakać, wieszać się...
Są ich na placu, część 8. Ile było małp?
Bawiłem się na polanie. Powiedz mi, w tej paczce?
Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe (ryc. 3).
Równanie odpowiadające problemowi 13 to:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara pisze pod przykrywką:
x 2 - 64x = -768
i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje się do obu stron 32 2 , następnie otrzymanie:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Równania kwadratowe w al - Khorezmi
W traktacie algebraicznym al-Khorezmiego podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:
1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.
2) „Kwadraty są równe liczbom”, tj. topór 2 = ok.
3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ah = s.
4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.
5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbom”, tj. aha 2 + bx = s.
6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + do = topór 2 .
Dla al-Khorezmiego, który unikał stosowania liczb ujemnych, wyrazy każdego z tych równań są dodawane, a nie odejmowane. W tym przypadku równania, które nie mają rozwiązań dodatnich, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor podaje metody rozwiązywania tych równań wykorzystując techniki al-jabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie są całkowicie zbieżne z naszymi. Nie wspominając, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć na przykład, że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu
al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych problemach praktycznych nie ma to znaczenia. Przy rozwiązywaniu pełnych równań kwadratowych al-Khorezmi na częściowym przykłady numeryczne podaje zasady rozwiązania, a następnie dowody geometryczne.
Problem 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń” (co oznacza pierwiastek równania x 2 + 21 = 10x).
Rozwiązanie autora wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, zostanie 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5 , otrzymasz 3, będzie to pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co daje 7, to także jest pierwiastek.
Traktat al-Khorezmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, która systematycznie określa klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.
1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII nocleg ze śniadaniem
Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na wzór al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. To obszerne dzieło, które odzwierciedla wpływ matematyki, zarówno krajów islamskich, jak i Starożytna Grecja, wyróżnia się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z Księgi liczydła wykorzystano w prawie wszystkich europejskich podręcznikach XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII.
Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowana do jednej postaci kanonicznej:
x2+ bx = c,
dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników B , Z została sformułowana w Europie dopiero w 1544 roku przez M. Stiefela.
Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne u Viète, ale Viète rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz pozytywnych, brane są pod uwagę również pierwiastki negatywne. Dopiero w XVII w. Dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy.
1.6 O twierdzeniu Viety
Twierdzenie wyrażające związek współczynników równania kwadratowego z jego pierwiastkami, nazwane na cześć Viety, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli B + D, pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, To A równa się W i równe D ».
Aby zrozumieć Vietę, powinniśmy o tym pamiętać A, jak każda litera samogłoskowa, oznaczało nieznane (nasz X), samogłoski W, D- współczynniki dla niewiadomych. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Vieta oznacza: jeśli istnieje
(+ B )x - x 2 = ok ,
x 2 - (a + B )x + a B = 0,
x 1 = a, x 2 = B .
Wyrażanie zależności pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami równań ogólne formuły pisane za pomocą symboli, Wietnam ustalił jednolitość metod rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viet jest wciąż daleka od nowoczesny wygląd. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki były dodatnie.
2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych
Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Znaleziono równania kwadratowe szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, niewymiernych i przestępnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (8 klasa) aż do ukończenia szkoły.
Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.
Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe, do rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych stosuje się inne metody, które znajdziesz w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.
Jakie równania kwadratowe nazywane są kompletnymi? Ten równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zero. Zatem, aby rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musimy obliczyć dyskryminator D.
D = b 2 – 4ac.
W zależności od wartości wyróżnika zapiszemy odpowiedź.
Jeżeli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x = (-b)/2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D > 0),
wtedy x 1 = (-b - √D)/2a i x 2 = (-b + √D)/2a.
Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.
re = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odpowiedź: 2.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.
re = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odpowiedź: brak korzeni.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odpowiedź: – 3,5; 1.
Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych przy użyciu diagramu na rysunku 1.
Za pomocą tych wzorów można rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe. Trzeba tylko uważać równanie zapisano jako wielomian standardowy widok
A x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie stwierdzić, że
a = 1, b = 3 i c = 2. Następnie
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. I to nie jest prawdą. (Patrz rozwiązanie przykładu 2 powyżej).
Jeżeli więc równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, to w pierwszej kolejności należy zapisać pełne równanie kwadratowe jako wielomian postaci standardowej (najpierw powinien pojawić się jednomian o największym wykładniku, czyli A x 2 , a potem mniej – bx a następnie darmowy członek Z.
Rozwiązując zredukowane równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem w drugim członie, możesz użyć innych wzorów. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym drugi wyraz ma parzysty współczynnik (b = 2k), to równanie można rozwiązać korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 2.
Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równe jeden i równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub można je otrzymać dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik A, stojąc przy x 2 .
Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązywania zredukowanego kwadratu 
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.
Przykład. Rozwiązać równanie
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Rozwiążmy to równanie, korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1.
re = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3
Można zauważyć, że współczynnik x w tym równaniu jest liczbą parzystą, czyli b = 6 lub b = 2k, skąd k = 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x – 2 = 0 Rozwiąż to równanie korzystając ze wzorów na zredukowane równanie kwadratowe 
równania rysunek 3.
re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3.
Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dokładnym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na ryc. 1 zawsze będziesz w stanie rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
W nowoczesne społeczeństwo umiejętność wykonywania operacji na równaniach zawierających kwadratową zmienną może być przydatna w wielu obszarach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w opracowaniach naukowo-technicznych. Dowody na to można znaleźć w projektowaniu statków morskich i rzecznych, samolotów i rakiet. Korzystając z takich obliczeń, trajektorie ruchu są najbardziej różne ciała, w tym obiekty kosmiczne. Przykłady rozwiązań równań kwadratowych wykorzystywane są nie tylko w prognozowaniu ekonomicznym, przy projektowaniu i budowie budynków, ale także w najzwyklejszych okolicznościach życia codziennego. Mogą przydać się na pieszych wędrówkach, na imprezach sportowych, w sklepach przy zakupach i w innych bardzo częstych sytuacjach.
Rozłóżmy wyrażenie na czynniki składowe
Stopień równania określa się na podstawie maksymalnej wartości stopnia zmiennej zawartej w wyrażeniu. Jeśli jest równe 2, wówczas takie równanie nazywa się kwadratowym.
Jeśli mówimy językiem formuł, to wskazane wyrażenia, niezależnie od tego, jak wyglądają, zawsze można sprowadzić do postaci, gdy lewa strona wyrażenie składa się z trzech terminów. Wśród nich: ax 2 (czyli zmienna do kwadratu ze współczynnikiem), bx (niewiadoma bez kwadratu ze współczynnikiem) i c (składowa wolna, czyli zwykła liczba). Wszystko to po prawej stronie jest równe 0. W przypadku, gdy taki wielomian nie ma jednego ze składników składowych, z wyjątkiem osi 2, nazywa się go niepełnym równaniem kwadratowym. W pierwszej kolejności należy rozważyć przykłady rozwiązań takich problemów, w których wartości zmiennych są łatwe do znalezienia.
Jeśli wyrażenie wygląda tak, jakby miało dwa wyrazy po prawej stronie, a dokładniej ax 2 i bx, najłatwiejszym sposobem znalezienia x jest wyciągnięcie zmiennej z nawiasów. Teraz nasze równanie będzie wyglądać następująco: x(ax+b). Dalej staje się oczywiste, że albo x=0, albo problem sprowadza się do znalezienia zmiennej z wyrażenia: ax+b=0. Jest to podyktowane jedną z właściwości mnożenia. Reguła mówi, że iloczyn dwóch czynników daje 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich wynosi zero.
Przykład
x=0 lub 8x - 3 = 0
W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki równania: 0 i 0,375.
Równania tego rodzaju mogą opisywać ruch ciał pod wpływem grawitacji, które zaczęły się przemieszczać od pewnego punktu przyjętego za początek współrzędnych. Tutaj notacja matematyczna przybiera postać: y = v 0 t + gt 2 /2. Podstawiając niezbędne wartości, przyrównując prawą stronę do 0 i znajdując możliwe niewiadome, możesz dowiedzieć się, ile czasu upływa od momentu wzniesienia się ciała do momentu jego upadku, a także wiele innych wielkości. Ale o tym porozmawiamy później.
Faktoring wyrażenia
Reguła opisana powyżej pozwala rozwiązać te problemy w większym stopniu trudne przypadki. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania równań kwadratowych tego typu.
X 2 - 33x + 200 = 0
Ten trójmian kwadratowy jest gotowy. Najpierw przekształćmy wyrażenie i rozłóżmy je na czynniki. Są dwa z nich: (x-8) i (x-25) = 0. W rezultacie mamy dwa pierwiastki 8 i 25.
Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych w klasie 9 pozwalają tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugiego, ale nawet trzeciego i czwartego rzędu.
Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Rozkładając prawą stronę na czynniki ze zmienną, powstają trzy z nich, czyli (x+1), (x-3) i (x+ 3).
W rezultacie staje się oczywiste, że to równanie ma trzy pierwiastki: -3; -1; 3.
Pierwiastek kwadratowy
Innym przypadkiem niepełnego równania drugiego rzędu jest wyrażenie przedstawione w języku liter w taki sposób, że prawa część jest zbudowany z komponentów ax 2 i c. Tutaj, aby uzyskać wartość zmiennej, przenoszony jest wolny termin prawa strona, a następnie z obu stron równości pobierany jest pierwiastek kwadratowy. Należy zaznaczyć, że w w tym przypadku Zwykle równanie ma dwa pierwiastki. Jedynymi wyjątkami mogą być równości, które w ogóle nie zawierają członu z, gdzie zmienna jest równa zeru, a także warianty wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się ujemna. W tym drugim przypadku nie ma żadnych rozwiązań, ponieważ powyższych czynności nie można wykonać za pomocą korzeni. Należy rozważyć przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.
W tym przypadku pierwiastkami równania będą liczby -4 i 4.
Obliczanie powierzchni gruntu
Potrzeba tego rodzaju obliczeń pojawiła się już w czasach starożytnych, gdyż rozwój matematyki w tamtych odległych czasach w dużej mierze determinowany był koniecznością określania z największą dokładnością powierzchni i obwodów działek.
Warto także rozważyć przykłady rozwiązywania równań kwadratowych w oparciu o tego typu problemy.
Załóżmy, że istnieje prostokątna działka, której długość jest o 16 metrów większa niż szerokość. Powinieneś znaleźć długość, szerokość i obwód działki, jeśli wiesz, że jej powierzchnia wynosi 612 m2.
Aby rozpocząć, utwórzmy najpierw niezbędne równanie. Oznaczmy przez x szerokość obszaru, wówczas jego długość będzie wynosić (x+16). Z tego co napisano wynika, że pole wyznaczamy za pomocą wyrażenia x(x+16), które zgodnie z warunkami naszego zadania wynosi 612. Oznacza to, że x(x+16) = 612.
Rozwiązywania pełnych równań kwadratowych, a właśnie tym jest to wyrażenie, nie można wykonać w ten sam sposób. Dlaczego? Chociaż lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, ich iloczyn wcale nie jest równy 0, dlatego zastosowano tutaj inne metody.
Dyskryminujący
Przede wszystkim dokonajmy więc niezbędnych przekształceń wygląd tego wyrażenia będzie wyglądać następująco: x 2 + 16x - 612 = 0. Oznacza to, że otrzymaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej wcześniej podanemu wzorcowi, gdzie a=1, b=16, c=-612.
Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przy użyciu dyskryminatora. Tutaj niezbędne obliczenia są produkowane zgodnie ze schematem: D = b 2 - 4ac. Ta wielkość pomocnicza nie tylko umożliwia znalezienie wymaganych ilości w równaniu drugiego rzędu, ale także określa ilość możliwe opcje. Jeśli D > 0, są dwa z nich; dla D=0 istnieje jeden pierwiastek. W przypadku D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
O korzeniach i ich formule
W naszym przypadku dyskryminator wynosi: 256 - 4(-612) = 2704. Sugeruje to, że nasz problem ma rozwiązanie. Jeśli znasz k, rozwiązanie równań kwadratowych należy kontynuować według poniższego wzoru. Pozwala obliczyć pierwiastki.
Oznacza to, że w przedstawionym przypadku: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wymiarów działki nie można mierzyć w ilościach ujemnych, co oznacza, że x (czyli szerokość działki) wynosi 18 m. Stąd obliczamy długość: 18 +16=34, a obwód 2(34+ 18)=104(m2).
Przykłady i zadania
Kontynuujemy naukę równań kwadratowych. Przykłady i szczegółowe rozwiązania kilku z nich zostaną podane poniżej.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Przesuńmy wszystko na lewą stronę równości, dokonajmy transformacji, czyli otrzymamy rodzaj równania, które zwykle nazywa się równaniem standardowym i przyrównajmy je do zera.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Dodając podobne, wyznaczamy dyskryminator: D = 49 - 48 = 1. Oznacza to, że nasze równanie będzie miało dwa pierwiastki. Obliczmy je według powyższego wzoru, co oznacza, że pierwsza z nich będzie równa 4/3, a druga 1.
2) Teraz rozwiążmy tajemnice innego rodzaju.
Dowiedzmy się, czy są tu jakieś pierwiastki x 2 - 4x + 5 = 1? Aby uzyskać wyczerpującą odpowiedź, sprowadźmy wielomian do odpowiedniej zwykłej postaci i obliczmy dyskryminator. W powyższym przykładzie nie jest konieczne rozwiązywanie równania kwadratowego, gdyż nie to w ogóle jest istotą problemu. W tym przypadku D = 16 - 20 = -4, co oznacza, że tak naprawdę nie ma pierwiastków.
Twierdzenie Viety
Równania kwadratowe wygodnie jest rozwiązywać za pomocą powyższych wzorów i dyskryminatora, gdy z wartości tego ostatniego pobiera się pierwiastek kwadratowy. Ale nie zawsze tak się dzieje. Istnieje jednak wiele sposobów uzyskania wartości zmiennych w tym przypadku. Przykład: rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety. Jej imię pochodzi od osoby, która żyła w XVI wieku we Francji i zrobiła błyskotliwą karierę dzięki swoim talentom matematycznym i koneksjom na dworze. Jego portret można zobaczyć w artykule.
Schemat, który zauważył słynny Francuz, był następujący. Udowodnił, że pierwiastki równania sumują się liczbowo do -p=b/a, a ich iloczyn odpowiada q=c/a.
Przyjrzyjmy się teraz konkretnym zadaniom.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Dla uproszczenia przekształćmy wyrażenie:
x 2 + 7x - 18 = 0
Skorzystajmy z twierdzenia Viety, da nam to co następuje: suma pierwiastków wynosi -7, a ich iloczyn wynosi -18. Stąd dowiadujemy się, że pierwiastkami równania są liczby -9 i 2. Po sprawdzeniu upewnimy się, że te wartości zmiennych rzeczywiście pasują do wyrażenia.
Wykres paraboli i równanie
Pojęcia funkcji kwadratowej i równań kwadratowych są ze sobą ściśle powiązane. Przykłady tego zostały już podane wcześniej. Przyjrzyjmy się teraz niektórym zagadkom matematycznym nieco bardziej szczegółowo. Każde równanie opisanego typu można przedstawić wizualnie. Taka zależność, narysowana w postaci wykresu, nazywa się parabolą. Jego różne typy przedstawiono na poniższym rysunku.
Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wychodzą jej gałęzie. Jeśli a>0, idą wysoko do nieskończoności, a gdy a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Wizualne reprezentacje funkcji pomagają rozwiązywać dowolne równania, w tym równania kwadratowe. Ta metoda nazywa się graficzną. Wartość zmiennej x to współrzędna odciętej w punktach, w których linia wykresu przecina się z 0x. Współrzędne wierzchołka można znaleźć korzystając ze wzoru x 0 = -b/2a. A podstawiając wynikową wartość do pierwotnego równania funkcji, możesz znaleźć y 0, czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli, która należy do osi rzędnych.
Przecięcie gałęzi paraboli z osią odciętych
Przykładów rozwiązywania równań kwadratowych jest mnóstwo, ale są też ogólne wzorce. Przyjrzyjmy się im. Widać, że przecięcie wykresu z osią 0x dla a>0 jest możliwe tylko wtedy, gdy 0 przyjmuje wartości ujemne. I dla<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inaczej D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Z wykresu paraboli można również określić pierwiastki. Jest też odwrotnie. Oznacza to, że jeśli uzyskanie wizualnej reprezentacji funkcji kwadratowej nie jest łatwe, możesz zrównać prawą stronę wyrażenia z 0 i rozwiązać powstałe równanie. A znając punkty przecięcia z osią 0x, łatwiej jest skonstruować wykres.
Z historii
Używając równań zawierających kwadratową zmienną, w dawnych czasach nie tylko wykonywano obliczenia matematyczne i wyznaczano pola figur geometrycznych. Starożytni potrzebowali takich obliczeń do wielkich odkryć w fizyce i astronomii, a także do sporządzania prognoz astrologicznych.
Jak sugerują współcześni naukowcy, mieszkańcy Babilonu byli jednymi z pierwszych, którzy rozwiązali równania kwadratowe. Stało się to cztery wieki przed naszą erą. Oczywiście ich obliczenia radykalnie różniły się od obecnie przyjętych i okazały się znacznie bardziej prymitywne. Na przykład mezopotamscy matematycy nie mieli pojęcia o istnieniu liczb ujemnych. Nie byli także zaznajomieni z innymi subtelnościami, które zna każdy współczesny uczeń.
Być może nawet wcześniej niż naukowcy z Babilonu, mędrzec z Indii Baudhayama zaczął rozwiązywać równania kwadratowe. Stało się to około ośmiu wieków przed erą Chrystusa. To prawda, że \u200b\u200brównania drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które podał, były najprostsze. Oprócz niego, w dawnych czasach podobnymi zagadnieniami interesowali się chińscy matematycy. W Europie równania kwadratowe zaczęto rozwiązywać dopiero na początku XIII wieku, ale później w swoich pracach wykorzystywali je tak wielcy uczeni, jak Newton, Kartezjusz i wielu innych.
Rozważ równanie kwadratowe:
(1)
.
Pierwiastki równania kwadratowego(1) wyznaczane są według wzorów:
;
.
Formuły te można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (rozłożony na czynniki):
.
Następnie zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważmy dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeśli dyskryminator jest dodatni, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
;
.
Wówczas rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator jest równy zero, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeśli dyskryminator jest ujemny, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa zespolone pierwiastki sprzężone:
;
.
Oto jednostka urojona;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
;
.
Następnie
.
Interpretacja graficzna
Jeśli wykreślisz funkcję
,
co jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
W punkcie wykres przecina oś x (oś) w dwóch punktach.
Kiedy , wykres dotyka osi x w jednym punkcie.
Kiedy , wykres nie przecina osi x.
Poniżej znajdują się przykłady takich wykresów.
Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
Wykonujemy przekształcenia i stosujemy wzory (f.1) i (f.3):
,
Gdzie
;
.
Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
To pokazuje, że równanie
wystąpił o godz
I .
Oznacza to, że i są pierwiastkami równania kwadratowego
.
Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego
Przykład 1
(1.1)
.
Rozwiązanie
.
Porównując z naszym równaniem (1.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator jest dodatni, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
;
;
.
Stąd otrzymujemy rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego:
.
Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Przecina oś odciętej (oś) w dwóch punktach:
I .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).
Odpowiedź
;
;
.
Przykład 2
Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1)
.
Rozwiązanie
Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
Porównując z pierwotnym równaniem (2.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.
Wtedy rozkład na czynniki trójmianu ma postać:
.
Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Punkt ten jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest uwzględniony dwukrotnie:
,
wtedy taki pierwiastek nazywa się zwykle wielokrotnością. Oznacza to, że wierzą, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.
Odpowiedź
;
.
Przykład 3
Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1)
.
Rozwiązanie
Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1)
.
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
Porównując z (1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Dyskryminator jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.
Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Nie przecina osi x (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.
Odpowiedź
Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.
