Dom Protetyka i implantacja Metoda prostych iteracji w postaci ogólnej. Prosta metoda iteracyjna

Protetyka i implantacja

Metoda prostych iteracji w postaci ogólnej. Prosta metoda iteracyjna

Zastąpmy pierwotne równanie równoważnym i zbudujmy iteracje zgodnie z regułą . Zatem prosta metoda iteracyjna jest jednoetapowym procesem iteracyjnym. Aby rozpocząć ten proces, musisz znać wstępne przybliżenie. Poznajmy warunki zbieżności metody i wybór przybliżenia początkowego.

Bilet nr 29

Metoda Seidla

Metoda Seidla (czasami nazywana metodą Gaussa-Seidela) jest modyfikacją prostej metody iteracyjnej, która polega na tym, że przy obliczaniu kolejnego przybliżenia x (k+1) (patrz wzory (1.13), (1.14)) jej już otrzymane składniki x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) od razu wykorzystujemy do obliczenia x i (k+1) .

W formie zapisu współrzędnych metoda Seidela ma postać:

X 1 (k+1) = do 11 x 1 (k) + do 12 x 2 (k) + ... + do 1n-1 x n-1 (k) + do 1n x n (k) + re 1
x 2 (k+1) = do 21 x 1 (k+1) + do 22 x 2 (k) + ... + do 2n-1 x n-1 (k) + do 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = do n1 x 1 (k+1) + do n2 x 2 (k+1) + ... + do nn-1 x n-1 (k+1) + do nn x n (k ) + dn
gdzie x (0) jest pewnym początkowym przybliżeniem rozwiązania.

Zatem i-ty składnik (k+1)-tego przybliżenia oblicza się ze wzoru

x ja (k+1) = ∑ jot=1 i-1 do ij x jot (k+1) + ∑ n j=i do ij x jot (k) + re ja , ja = 1, ..., n

(1.20)

Warunek zakończenia procesu iteracyjnego Seidla po osiągnięciu dokładności ε ma postać uproszczoną:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

Bilet nr 30

Metoda przejścia

Do rozwiązywania układów A x = b z macierzą trójdiagonalną najczęściej stosuje się metodę przemiatania, będącą adaptacją metody Gaussa do tego przypadku.

Napiszmy układ równań

re 1 x 1 + mi 1 x 2 = b 1
do 2 x 1 + re 2 x 2 + mi 2 x 3 = b 2
do 3 x 2 + re 3 x 3 + mi 3 x 4 = b 3
... ... ...
do n-1 x n-2 + re n-1 x n-1 + mi n-1 x n = b n-1
do n x n-1 + re n x n = b n

w postaci macierzowej: A x = b gdzie

Zapiszmy formuły metody przemiatania w kolejności ich stosowania.

1. Skok bezpośredni metody przemiatania (obliczanie wielkości pomocniczych):

za 2 = -e 1 / re 1 b 2 = b 1 / re 1 a i+1 = -e ja / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c ja b ja + b ja ] / , i=2, ..., n-1

(1.9)

2. Skok odwrotny metoda przemiatania (znajdowanie rozwiązania):

x n = [-c n b n + b n ] / x ja = a i+1 x i+1 + b i+1 , ja = n-1, ..., 1

Bilet nr 31

Prosta metoda iteracyjna

Istota metody proste iteracje polega na wyjściu z równania

k(x)= 0 (*)

do równoważnego równania

X=φ(x). (**)

Można dokonać takiego przejścia różne sposoby, w zależności od rodzaju k(x). Możesz na przykład umieścić

φ(x) = X+chłopak(x),(***)

Gdzie B= const i pierwiastki oryginalne równanie nie zmieni się.

Jeśli znane jest początkowe przybliżenie pierwiastka x 0, a następnie nowe przybliżenie

x 1=φx(0),

te. ogólny schemat procesu iteracyjnego:

xk+1=φ(x k).(****)

Najprostsze kryterium zakończenia procesu

|x k +1 -x k |<ε.

Kryterium zbieżności prosta metoda iteracji:

jeśli blisko korzenia | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого X, wówczas iteracje są zbieżne dla dowolnego początkowego przybliżenia.

Zbadajmy wybór stałej B z punktu widzenia zapewnienia maksymalnej szybkości konwergencji. Zgodnie z kryterium zbieżności, największą prędkość zbieżności zapewnia się, gdy |φ / (x)| = 0. Jednocześnie na podstawie (***), b = –1/f / (x), i formuła iteracyjna (****) przechodzi do x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- te. do wzoru metody Newtona. Zatem metoda Newtona jest szczególnym przypadkiem prostej metody iteracyjnej, zapewniającej największą szybkość zbieżności spośród wszystkich możliwych opcji wyboru funkcji φ(x).

Bilet nr 32

Metoda Newtona

Główna idea metody jest następująca: w pobliżu hipotetycznego pierwiastka wyznacza się wstępne przybliżenie, po czym w punkcie aproksymacji konstruuje się styczną do badanej funkcji, dla której znajduje się przecięcie z osią odciętych. Punkt ten przyjmuje się jako kolejne przybliżenie. I tak dalej, aż do osiągnięcia wymaganej dokładności.

Niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na przedziale i różniczkowalną na nim. Następnie wzór na iteracyjny rachunek aproksymacyjny można wyprowadzić w następujący sposób:

gdzie α jest kątem nachylenia stycznej w punkcie.

Zatem wymagane wyrażenie for ma postać:

Bilet nr 33

Metoda złotego podziału
Metoda złotego podziału pozwala wyeliminować przedziały poprzez obliczenie tylko jednej wartości funkcji w każdej iteracji. W wyniku rozważenia dwóch wartości funkcji wyznaczany jest przedział, który należy zastosować w przyszłości. Przedział ten będzie zawierał jeden z poprzednich punktów i kolejny punkt umieszczony symetrycznie do niego. Punkt dzieli przedział na dwie części tak, aby stosunek całości do części większej był równy stosunkowi części większej do części mniejszej, czyli równy tzw. „złotemu podziałowi”.

Podzielenie przedziału na nierówne części pozwala znaleźć jeszcze skuteczniejszą metodę. Obliczmy funkcję na końcach odcinka [ A,B] i umieścić A=X 1 , B=X 2. Obliczmy także funkcję w dwóch punktach wewnętrznych X 3 , X 4. Porównajmy wszystkie cztery wartości funkcji i wybierzmy spośród nich najmniejszą. Niech na przykład okaże się najmniejszy F(x 3). Oczywiście minimum musi znajdować się w jednym z sąsiadujących z nim segmentów. Dlatego segment [ X 4 ,B] można odrzucić i opuścić segment .

Pierwszy krok został zrobiony. Na odcinku należy ponownie wybrać dwa punkty wewnętrzne, obliczyć wartości funkcji w nich i na końcach i wykonać kolejny krok. Ale na poprzednim etapie obliczeń znaleźliśmy już funkcję na końcach nowego odcinka i w jednym z jego punktów wewnętrznych X 4. Dlatego wystarczy zaznaczyć w środku jeszcze jeden punkt x 5 określ wartość zawartej w nim funkcji i dokonaj niezbędnych porównań. Zwiększa to czterokrotnie ilość obliczeń wymaganych na etap procesu. Jaki jest najlepszy sposób na rozmieszczenie punktów? Za każdym razem pozostały segment jest dzielony na trzy części, a następnie odrzucany jest jeden z zewnętrznych segmentów.
Oznaczmy początkowy przedział niepewności przez D.

Ponieważ w ogólnym przypadku dowolny z segmentów można odrzucić X 1, X 3 Lub X 4, X 2 następnie wybierz punkty X 3 I X 4 tak aby długości tych odcinków były takie same:

x 3 -x 1 =x 4 -x 2.

Po odrzuceniu otrzymujemy nowy przedział niepewności długości D'.
Oznaczmy relację D/D' litera φ:

czyli ustalmy , gdzie jest następny przedział niepewności. Ale

równej długości segmentowi odrzuconemu na poprzednim etapie, tj

Dlatego otrzymujemy:

.
Prowadzi to do równania lub równoważnie
.

Dodatni pierwiastek tego równania daje

Bilet nr 34

interpolacja funkcji, tj. Korzystając z danej funkcji, konstruując inną (zwykle prostszą) funkcję, której wartości pokrywają się z wartościami danej funkcji w określonej liczbie punktów. Ponadto interpolacja ma znaczenie zarówno praktyczne, jak i teoretyczne.

Prosta metoda iteracyjna, zwana także metodą kolejnych aproksymacji, jest matematycznym algorytmem znajdowania wartości nieznanej wielkości poprzez jej stopniowe udoskonalanie. Istota tej metody polega na tym, że jak sama nazwa wskazuje, stopniowo wyrażając kolejne z początkowego przybliżenia, uzyskuje się coraz bardziej dopracowane wyniki. Metodę tę stosuje się do znajdowania wartości zmiennej w danej funkcji, a także do rozwiązywania układów równań, zarówno liniowych, jak i nieliniowych.

Zastanówmy się, jak ta metoda jest wdrażana przy rozwiązywaniu SLAE. Prosta metoda iteracyjna ma następujący algorytm:

1. Sprawdzenie spełnienia warunku zbieżności w macierzy pierwotnej. Twierdzenie o zbieżności: jeśli pierwotna macierz układu ma dominację diagonalną (tj. w każdym wierszu elementy głównej przekątnej muszą być większe w wartości bezwzględnej niż suma elementów przekątnych drugorzędnych w wartości bezwzględnej), to proste metoda iteracyjna jest zbieżna.

2. Macierz układu pierwotnego nie zawsze ma przewagę diagonalną. W takich przypadkach istnieje możliwość konwersji systemu. Równania spełniające warunek zbieżności pozostawiamy bez zmian i tworzymy kombinacje liniowe z równaniami, które tego nie spełniają, tj. mnożyć, odejmować, dodawać do siebie równania, aż do uzyskania pożądanego wyniku.

Jeżeli w powstałym układzie na głównej przekątnej znajdują się niewygodne współczynniki, wówczas do obu stron takiego równania dodawane są wyrazy postaci z i * x i, których znaki muszą pokrywać się ze znakami elementów przekątnych.

3. Transformacja powstałego układu do postaci normalnej:

x - =β - +α*x -

Można to zrobić na wiele sposobów, na przykład w ten sposób: z pierwszego równania wyraź x 1 w kategoriach innych niewiadomych, z drugiego - x 2, z trzeciego - x 3 itd. W tym przypadku korzystamy ze wzorów:

α ij = -(a ij / a ii)

ja = b ja /a ii
Należy ponownie upewnić się, że powstały układ postaci normalnej spełnia warunek zbieżności:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, podczas gdy i= 1,2,...n

4. Zaczynamy właściwie stosować samą metodę kolejnych przybliżeń.

x (0) jest przybliżeniem początkowym, przez nie wyrazimy x (1), a następnie wyrazimy x (2) do x (1). Ogólny wzór w postaci macierzowej wygląda następująco:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Obliczamy, aż osiągniemy wymaganą dokładność:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Zastosujmy więc prostą metodę iteracji w praktyce. Przykład:
Rozwiąż SLAE:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 z dokładnością ε=10 -3

Zobaczmy, czy elementy diagonalne dominują w module.

Widzimy, że tylko trzecie równanie spełnia warunek zbieżności. Przekształćmy pierwsze i drugie i dodajmy drugie do pierwszego równania:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Od trzeciego odejmujemy pierwszy:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Przekształciliśmy oryginalny system na równoważny:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Teraz przywróćmy system do normalnej postaci:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Sprawdzamy zbieżność procesu iteracyjnego:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, tj. warunek jest spełniony.

0,3947
Wstępne założenie x(0) = 0,4762
0,8511

Podstawiając te wartości do równania postaci normalnej, otrzymujemy następujące wartości:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Podstawiając nowe wartości otrzymujemy:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Kontynuujemy obliczenia, aż dotrzemy do wartości spełniających zadany warunek.

x (7) = 0,441091

Sprawdźmy poprawność otrzymanych wyników:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Wyniki uzyskane poprzez podstawienie znalezionych wartości do oryginalnych równań w pełni spełniają warunki równania.

Jak widać, prosta metoda iteracyjna daje dość dokładne wyniki, jednak aby rozwiązać to równanie, musieliśmy poświęcić dużo czasu i wykonać żmudne obliczenia.

Niech będzie dany układ n równań algebraicznych z n niewiadomymi:

Algorytm dla prostej metody iteracyjnej:

Należy zauważyć, że odtąd dolny indeks oznacza odpowiednią składową wektora niewiadomych, a górny indeks oznacza liczbę iteracji (aproksymacji).

Następnie tworzy się cykliczny proces matematyczny, którego każdy cykl reprezentuje jedną iterację. W wyniku każdej iteracji uzyskiwana jest nowa wartość wektora niewiadomych. Aby uporządkować proces iteracyjny, zapisujemy układ (1) w postaci zredukowanej. W tym przypadku wyrazy na głównej przekątnej są znormalizowane i pozostają po lewej stronie znaku równości, a pozostałe są przenoszone na prawą stronę. Zredukowany układ równań ma postać:

Zauważ, że nigdy nie zostanie osiągnięty, ale z każdą kolejną iteracją wektor niewiadomych zbliża się do dokładnego rozwiązania.

12. Podstawowy wzór iteracyjny stosowany w prostej metodzie iteracyjnej do rozwiązywania równania nieliniowego:

13. Kryterium zatrzymania procesu iteracyjnego w prostej metodzie iteracyjnej rozwiązywania równania nieliniowego:

Proces iteracyjny kończy się, jeśli dla każdej i-tej składowej wektora niewiadomych zostanie spełniony warunek osiągnięcia dokładności.
Zauważ, że dokładne rozwiązanie w prostej metodzie iteracyjnej nigdy nie zostanie osiągnięty, jednakże z każdą kolejną iteracją wektor niewiadomych jest coraz bliżej dokładnego rozwiązania

14. Kryterium wyboru funkcji pomocniczej F(x) dla iteracyjnego odcinka przedziału:

Przystępując do egzaminu z matematyki dotyczącego rozwiązywania prostej metody iteracji, należy najpierw sprawdzić warunek zbieżności. Aby metoda była zbieżna, konieczne i wystarczające jest, aby w macierzy A wartości bezwzględne wszystkich elementów przekątnych były większe niż suma modułów wszystkich pozostałych elementów w odpowiednim wierszu:

Wady metod iteracyjnych Jest to dość ścisły warunek zbieżności, który nie jest spełniony dla wszystkich układów równań.

Jeżeli warunek zbieżności jest spełniony, to w kolejnym etapie należy określić wstępne przybliżenie wektora niewiadomych, którym jest zwykle wektor zerowy:

15. Metoda Gaussa stosowana do rozwiązywania układów równań liniowych zapewnia:

Metoda polega na przekształceniu macierzy do postaci trójkątnej. Osiąga się to poprzez sekwencyjne eliminowanie niewiadomych z równań układu.

Prosta metoda iteracyjna polega na zastąpieniu pierwotnego równania równaniem równoważnym:

Niech będzie znane początkowe przybliżenie pierwiastka x = x 0. Podstawiając go do prawej strony równania (2.7) otrzymujemy nowe przybliżenie , to w podobny sposób otrzymujemy itp.:

. (2.8)

Nie we wszystkich warunkach proces iteracyjny zbiega się do pierwiastka równania X. Przyjrzyjmy się bliżej temu procesowi. Rysunek 2.6 przedstawia graficzną interpretację jednokierunkowego procesu zbieżnego i rozbieżnego. Rysunek 2.7 przedstawia dwukierunkowe procesy zbieżne i rozbieżne. Proces rozbieżny charakteryzuje się szybkim wzrostem wartości argumentu i funkcji oraz nieprawidłowym zakończeniem odpowiedniego programu.

W procesie dwukierunkowym możliwa jest cykliczność, czyli nieskończone powtarzanie tej samej funkcji i wartości argumentów. Pętla oddziela proces rozbieżny od zbieżnego.

Z wykresów jasno wynika, że zarówno w przypadku procesów jednostronnych, jak i dwustronnych o zbieżności do pierwiastka decyduje nachylenie krzywej w pobliżu pierwiastka. Im mniejsze nachylenie, tym lepsza zbieżność. Jak wiadomo, tangens nachylenia krzywej jest równy pochodnej krzywej w danym punkcie.

Dlatego im mniejsza liczba w pobliżu pierwiastka, tym szybciej proces jest zbieżny.

Aby proces iteracji był zbieżny, w sąsiedztwie pierwiastka musi być spełniona nierówność:

Przejście z równania (2.1) do równania (2.7) można przeprowadzić na różne sposoby w zależności od rodzaju funkcji f(x). W takim przejściu należy tak skonstruować funkcję, aby spełniony był warunek zbieżności (2.9).

Rozważmy jeden z ogólnych algorytmów przejścia od równania (2.1) do równania (2.7).

Pomnóżmy lewą i prawą stronę równania (2.1) przez dowolną stałą B i dodaj niewiadomą do obu części X. W tym przypadku pierwiastki pierwotnego równania nie ulegną zmianie:

Wprowadźmy notację i przejdźmy od zależności (2.10) do równania (2.8).

Dowolny wybór stałej B zapewni spełnienie warunku zbieżności (2.9). Kryterium zakończenia procesu iteracyjnego będzie warunek (2.2). Rysunek 2.8 przedstawia graficzną interpretację metody prostych iteracji z wykorzystaniem opisanego sposobu reprezentacji (skale wzdłuż osi X i Y są różne).

Jeśli wybrano funkcję w postaci , to pochodną tej funkcji będzie . Największa prędkość zbieżności będzie wtedy a wzór iteracyjny (2.11) przechodzi do wzoru Newtona. Tym samym metoda Newtona charakteryzuje się najwyższym stopniem zbieżności ze wszystkich procesów iteracyjnych.

Implementacja programowa prostej metody iteracyjnej odbywa się w formie podprogramu Iteras(PROGRAM 2.1).

Cała procedura składa się praktycznie z jednego cyklu Powtórz…Do, realizując formułę (2.11) uwzględniającą warunek zatrzymania procesu iteracyjnego (wzór (2.2)).

Procedura ma wbudowaną ochronę pętli poprzez zliczanie liczby pętli za pomocą zmiennej Niter. Na zajęciach praktycznych należy się upewnić uruchamiając program jak wpływa na to wybór współczynnika B i wstępne przybliżenie w procesie poszukiwania pierwiastka. Przy zmianie współczynnika B zmienia się charakter procesu iteracyjnego dla badanej funkcji. Najpierw staje się dwustronny, a następnie pętle (ryc. 2.9). Skale osi X I Y są różne. Jeszcze większa wartość modułu b prowadzi do procesu rozbieżnego.

Porównanie metod przybliżonego rozwiązywania równań

Porównanie opisanych powyżej metod numerycznego rozwiązywania równań przeprowadzono przy pomocy programu umożliwiającego obserwację procesu znajdowania pierwiastka w formie graficznej na ekranie komputera PC. Procedury zawarte w tym programie i wdrażające porównywane metody podano poniżej (PROGRAM 2.1).

Ryż. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 to kopie ekranu komputera PC na koniec procesu iteracji.

We wszystkich przypadkach za badaną funkcję przyjęto równanie kwadratowe x 2 -x-6 = 0, mające rozwiązanie analityczne x 1 = -2 i x 2 = 3. Założono, że błąd i przybliżenia początkowe są równe dla wszystkich metod. Wyniki wyszukiwania rootów x= 3, przedstawione na rysunkach, są następujące. Najwolniej zbiega się metoda dychotomiczna – 22 iteracje, najszybsza jest prosta metoda iteracyjna z b = -0,2 – 5 iteracji. Nie ma tu sprzeczności ze stwierdzeniem, że metoda Newtona jest najszybsza.

Pochodna badanej funkcji w punkcie X= 3 jest równe -0,2, czyli obliczenia w tym przypadku przeprowadzono praktycznie metodą Newtona z wartością pochodnej w punkcie pierwiastka równania. Przy zmianie współczynnika B tempo konwergencji maleje, a proces stopniowej konwergencji najpierw przebiega cyklicznie, a następnie staje się rozbieżny.

Przez analogię do (2.1) układ (5.1) można przedstawić w następującej równoważnej postaci:

gdzie g(x) jest iteracyjną funkcją wektorową argumentu wektorowego. Układy równań nieliniowych często powstają bezpośrednio w postaci (5.2) (na przykład w schematach numerycznych równań różniczkowych); w tym przypadku nie jest wymagany żaden dodatkowy wysiłek, aby przekształcić równania (5.1) w układ (5.2). Jeśli będziemy kontynuować analogię z prostą metodą iteracji dla jednego równania, to proces iteracji w oparciu o równanie (5.2) można zorganizować w następujący sposób:

1) jakiś wektor początkowy x ((,) e 5 o (x 0, A)(przyjmuje się, że x* e 5„(x 0, A));
2) kolejne przybliżenia oblicza się ze wzoru

następnie proces iteracji zostaje zakończony i

Tak jak poprzednio, musimy dowiedzieć się, w jakich warunkach

Omówmy to zagadnienie dokonując prostej analizy. Najpierw wprowadzamy błąd i-tego przybliżenia jako e(^ = x(i) - x*. Następnie możemy zapisać

Podstawmy te wyrażenia do (5.3) i rozwińmy g(x* + e (/i)) w potęgach e(k> w sąsiedztwie x* jako funkcja argumentu wektorowego (przy założeniu, że wszystkie pochodne cząstkowe funkcji g(x) są ciągłe). Biorąc pod uwagę także, że x* = g(x*), otrzymujemy

lub w formie macierzowej

B = (mld)= I (x*)1 - macierz iteracji.

Jeżeli poziom błędu ||e®|| jest wystarczająco mały, to drugi człon po prawej stronie wyrażenia (5.4) można pominąć i wtedy pokrywa się on z wyrażeniem (2.16). W konsekwencji warunek zbieżności procesu iteracyjnego (5.3) w pobliżu rozwiązania dokładnego opisuje Twierdzenie 3.1.

Zbieżność prostej metody iteracyjnej. Konieczne i warunek wystarczający dla zbieżności procesu iteracyjnego (5.3):

i warunek wystarczający:

Warunki te mają raczej znaczenie teoretyczne niż praktyczne, ponieważ nie znamy x'. Analogicznie do (1.11) otrzymujemy warunek, który może być przydatny. Niech x* e 5 o (x 0, A) oraz macierz Jakobiana dla funkcji g(x)

istnieje dla wszystkich x e S n (x 0 , a) (zauważ, że C(x*) = B). Jeżeli elementy macierzy C(x) spełniają nierówność

dla wszystkich x e 5„(x 0, A), wówczas warunek wystarczający (5.5) jest również spełniony dla dowolnej normy macierzowej.

Przykład 5.1 (prosta metoda iteracji) Rozważmy następujący system równania:

Jedną z możliwości przedstawienia tego systemu w równoważnej formie (5.2) jest wyrażenie X z pierwszego równania i x 2 z drugiego równania:

Wtedy schemat iteracji ma postać

Dokładne rozwiązanie to x* e 5„((2, 2), 1). Wybierzmy wektor początkowy x (0) = (2,2) i ? p = CT5. Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli. 5.1.

Tabela 5.1

		\|\|X - X (i_1 > \| 2 / X (A) 2
	1.50000 1.73205

	1.69258 1.34646

	1.71914 1.40036

	1.71642 1.39483

	1.71669 1.39536

	1.71667 1.39532

Wyniki te pokazują, że konwergencja jest dość powolna. Aby otrzymać ilościową charakterystykę zbieżności przeprowadzamy prostą analizę, uznając x (1/) za rozwiązanie dokładne. Macierz Jakobiana C(x) dla naszej funkcji iteracyjnej ma postać

wówczas macierz B jest w przybliżeniu szacowana jako

Łatwo sprawdzić, że ani warunek (5.5), ani warunek (5.6) nie są spełnione, ale zbieżność ma miejsce, gdyż 5(B) ~ 0,8.

Często można przyspieszyć zbieżność prostej metody iteracyjnej, nieznacznie zmieniając proces obliczeń. Idea tej modyfikacji jest bardzo prosta: obliczyć P składowe wektora x (A+1) można używać nie tylko (t = n,..., N), ale także obliczone już składowe kolejnego wektora aproksymacji x k^ (/= 1,P - 1). Zatem zmodyfikowaną prostą metodę iteracji można przedstawić w postaci następującego schematu iteracji:

Jeśli przybliżenia wygenerowane w procesie iteracyjnym (5.3) są zbieżne, wówczas proces iteracyjny (5.8) ma tendencję do szybszej zbieżności ze względu na pełniejsze wykorzystanie informacji.

Przykład 5.2 (zmodyfikowana prosta metoda iteracyjna) Zmodyfikowana prosta iteracja dla systemu (5.7) jest przedstawiona jako