Jak rozwiązywać układy równań liniowych metodą Gaussa. Odwrotność metody Gaussa

Tutaj możesz rozwiązać system za darmo równania liniowe Metoda Gaussa w Internecie duże rozmiary w liczbach zespolonych z bardzo szczegółowym rozwiązaniem. Nasz kalkulator może rozwiązywać online zarówno zwykłe określone, jak i nieokreślone układy równań liniowych przy użyciu metody Gaussa, która ma nieskończoną liczbę rozwiązań. W takim przypadku w odpowiedzi otrzymasz zależność niektórych zmiennych od innych, dowolnych. Możesz także sprawdzić spójność układu równań online, korzystając z rozwiązania Gaussa.

Rozmiar matrycy: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

O metodzie

Przy rozwiązywaniu układu równań liniowych metoda internetowa Gauss wykonuje następujące kroki.

1. Piszemy rozszerzoną macierz.
2. W rzeczywistości rozwiązanie jest podzielone na kroki do przodu i do tyłu metody Gaussa. Bezpośrednie podejście metody Gaussa polega na redukcji macierzy do postaci krokowej. Odwrotnością metody Gaussa jest redukcja macierzy do specjalnej postaci krokowej. Ale w praktyce wygodniej jest natychmiast wyzerować to, co znajduje się zarówno nad, jak i pod danym elementem. Nasz kalkulator wykorzystuje dokładnie takie podejście.
3. Należy pamiętać, że przy rozwiązywaniu metodą Gaussa obecność w macierzy przynajmniej jednego wiersza zerowego z NIE zerem prawa strona(kolumna wolnych członków) wskazuje na niekompatybilność systemu. Rozwiązanie układ liniowy w tym przypadku nie istnieje.

Aby jak najlepiej zrozumieć działanie algorytmu Gaussa online, wpisz dowolny przykład, wybierz „bardzo szczegółowe rozwiązanie” i obejrzyj jego rozwiązanie online.

Metoda Gaussa, zwana także metodą eliminacja sekwencyjna niewiadomych jest następująca. Za pomocą przekształceń elementarnych układ równań liniowych doprowadza się do takiej postaci, że jego macierz współczynników okazuje się być trapezoidalny (taki sam jak trójkątny lub schodkowy) lub zbliżony do trapezowego (skok bezpośredni metody Gaussa, zwany dalej po prostu skokiem prostym). Przykład takiego układu i jego rozwiązania przedstawiono na powyższym rysunku.

W takim układzie ostatnie równanie zawiera tylko jedną zmienną i można jednoznacznie znaleźć jej wartość. Wartość tej zmiennej jest następnie podstawiona do poprzedniego równania ( odwrotność metody Gaussa , potem odwrotnie), z którego znajduje się poprzednia zmienna i tak dalej.

Jak widzimy, w układzie trapezowym (trójkątnym) trzecie równanie nie zawiera już zmiennych y I X, a drugie równanie jest zmienną X .

Gdy macierz układu przybierze kształt trapezu, zrozumienie zagadnienia kompatybilności układu, określenie liczby rozwiązań i znalezienie samych rozwiązań nie jest już trudne.

Zalety metody:

1. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych zawierających więcej niż trzy równania i niewiadome metoda Gaussa nie jest tak uciążliwa jak metoda Cramera, ponieważ rozwiązywanie metodą Gaussa wymaga mniej obliczeń;
2. Za pomocą metody Gaussa można rozwiązywać nieokreślone układy równań liniowych, czyli mając wspólna decyzja(i przyjrzymy się im w tej lekcji), ale stosując metodę Cramera, możemy jedynie stwierdzić, że układ jest niepewny;
3. potrafisz rozwiązywać układy równań liniowych, w których liczba niewiadomych nie jest równa liczbie równań (przeanalizujemy je również w tej lekcji);
4. Metoda opiera się na metodach elementarnych (szkolnych) - metodzie podstawiania niewiadomych i metodzie dodawania równań, o których pisaliśmy w odpowiednim artykule.

Aby każdy zrozumiał prostotę, z jaką rozwiązuje się trapezowe (trójkątne, schodkowe) układy równań liniowych, przedstawiamy rozwiązanie takiego układu wykorzystując ruch odwrotny. Szybka decyzja System ten został pokazany na obrazku na początku lekcji.

Przykład 1. Rozwiąż układ równań liniowych, stosując odwrotność:

Rozwiązanie. W tym układzie trapezowym zmienna z można jednoznacznie znaleźć na podstawie trzeciego równania. Podstawiamy jego wartość do drugiego równania i otrzymujemy wartość zmiennej y:

Teraz znamy wartości dwóch zmiennych - z I y. Podstawiamy je do pierwszego równania i otrzymujemy wartość zmiennej X:

Z poprzednich kroków zapisujemy rozwiązanie układu równań:

Aby otrzymać taki trapezowy układ równań liniowych, który rozwiązaliśmy w bardzo prosty sposób, konieczne jest zastosowanie skoku do przodu związanego z elementarnymi transformacjami układu równań liniowych. To również nie jest bardzo trudne.

Przekształcenia elementarne układu równań liniowych

Powtarzając szkolną metodę algebraicznego dodawania równań układu, odkryliśmy, że do jednego z równań układu można dodać kolejne równanie układu, a każde z równań można pomnożyć przez jakąś liczbę. W rezultacie otrzymujemy układ równań liniowych równoważny temu. W nim jedno równanie zawierało już tylko jedną zmienną, podstawiając wartość której do innych równań, dochodzimy do rozwiązania. Dodatek taki jest jednym z rodzajów elementarnej transformacji układu. Stosując metodę Gaussa, możemy zastosować kilka rodzajów transformacji.

Powyższa animacja pokazuje, jak układ równań stopniowo przekształca się w trapezoidalny. To znaczy ten, który widziałeś w pierwszej animacji i przekonałeś się, że łatwo jest znaleźć w nim wartości wszystkich niewiadomych. Jak przeprowadzić taką transformację i oczywiście przykłady zostaną omówione dalej.

Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z dowolną liczbą równań i niewiadomych w układzie równań i w rozszerzonej macierzy układu Móc:

1. zmienić układ linii (wspomniano o tym na samym początku tego artykułu);
2. jeżeli inne przekształcenia dają wiersze równe lub proporcjonalne, można je usunąć, za wyjątkiem jednego;
3. usuń wiersze „zero”, w których wszystkie współczynniki są równe zero;
4. pomnożyć lub podzielić dowolny ciąg przez określoną liczbę;
5. do dowolnej linii dodaj kolejną linię pomnożoną przez określoną liczbę.

W wyniku przekształceń otrzymujemy równoważny temu układ równań liniowych.

Algorytm i przykłady rozwiązywania układu równań liniowych z macierzą kwadratową układu metodą Gaussa

Rozważmy najpierw rozwiązanie układów równań liniowych, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Macierz takiego systemu jest kwadratowa, to znaczy liczba w niej wierszy jest równa liczbie kolumn.

Przykład 2. Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

Rozwiązując układy równań liniowych metodami szkolnymi, mnożyliśmy jedno z równań wyraz po wyrazie przez określoną liczbę, tak że współczynniki pierwszej zmiennej w obu równaniach były liczbami przeciwnymi. Podczas dodawania równań zmienna ta jest eliminowana. Metoda Gaussa działa podobnie.

Upraszczać wygląd rozwiązania utwórzmy rozszerzoną macierz układu:

W tej macierzy współczynniki niewiadomych znajdują się po lewej stronie przed linią pionową, a wyrazy wolne po prawej stronie za linią pionową.

Dla wygody dzielenia współczynników dla zmiennych (w celu uzyskania dzielenia przez jedność) Zamieńmy pierwszy i drugi wiersz macierzy systemowej. Otrzymujemy układ równoważny temu, gdyż w układzie równań liniowych równania można zamieniać:

Korzystając z nowego pierwszego równania wyeliminować zmienną X z drugiego i wszystkich kolejnych równań. W tym celu do drugiego wiersza macierzy dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ), do trzeciego wiersza - pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ).

Jest to możliwe, ponieważ

Gdyby nasz układ równań miał więcej niż trzy, wówczas należałoby do wszystkich kolejnych równań dodać pierwszą linię pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników, wzięty ze znakiem minus.

W rezultacie otrzymujemy macierz równoważną temu układowi nowego układu równań, w którym wszystkie równania, począwszy od drugiego nie zawierają zmiennej X :

Aby uprościć drugą linię powstałego układu, pomnóż ją przez i ponownie uzyskaj macierz układu równań równoważnego temu układowi:

Teraz, zachowując niezmienione pierwsze równanie powstałego układu, korzystając z drugiego równania eliminujemy zmienną y ze wszystkich kolejnych równań. W tym celu do trzeciego wiersza macierzy systemowej dodajemy drugi wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ).

Gdyby w naszym układzie było więcej niż trzy równania, wówczas do wszystkich kolejnych równań musielibyśmy dodać drugą linię, pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników wziętych ze znakiem minus.

W rezultacie ponownie otrzymujemy macierz układu równoważnego temu układowi równań liniowych:

Otrzymaliśmy równoważny trapezoidalny układ równań liniowych:

Jeżeli liczba równań i zmiennych jest większa niż w naszym przykładzie, to proces sekwencyjnego eliminowania zmiennych trwa do momentu, aż macierz układu stanie się trapezoidalna, jak w naszym przykładzie demonstracyjnym.

Rozwiązanie znajdziemy „od końca” – ruch odwrotny. Dla tego z ostatniego równania, które wyznaczamy z:
.
Podstawiając tę ​​wartość do poprzedniego równania, znajdziemy y:

Z pierwszego równania znajdziemy X:

Odpowiedź: rozwiązaniem tego układu równań jest .

: w tym przypadku zostanie udzielona ta sama odpowiedź, jeśli system ma unikalne rozwiązanie. Jeśli układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań, to będzie to odpowiedź i to jest temat piątej części tej lekcji.

Rozwiąż samodzielnie układ równań liniowych metodą Gaussa, a następnie przyjrzyj się rozwiązaniu

Tutaj znowu mamy przykład spójnego i określonego układu równań liniowych, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Różnica w stosunku do naszego przykładu demonstracyjnego algorytmu polega na tym, że istnieją już cztery równania i cztery niewiadome.

Przykład 4. Rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa:

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wyeliminować zmienną z kolejnych równań. Przeprowadźmy Praca przygotowawcza. Aby było to wygodniejsze ze stosunkiem współczynników, musisz uzyskać jeden w drugiej kolumnie drugiego rzędu. Aby to zrobić, odejmij trzecią linię od drugiej linii i pomnóż wynikową drugą linię przez -1.

Przeprowadźmy teraz faktyczną eliminację zmiennej z trzeciego i czwartego równania. Aby to zrobić, dodaj drugą linię pomnożoną przez , do trzeciej linii, a drugą, pomnożoną przez, do czwartej linii.

Teraz, korzystając z trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, dodaj trzecią linię do czwartej linii, pomnożoną przez . Otrzymujemy rozszerzoną macierz trapezową.

Otrzymaliśmy układ równań równoważny ten system:

W konsekwencji otrzymane i dane systemy są kompatybilne i określone. Ostateczna decyzja znajdujemy „od końca”. Z czwartego równania możemy bezpośrednio wyrazić wartość zmiennej „x-cztery”:

Podstawiamy tę wartość do trzeciego równania układu i otrzymujemy

,

,

Wreszcie podstawienie wartości

Pierwsze równanie daje

,

gdzie znajdziemy „najpierw x”:

Odpowiedź: ten układ równań ma unikalne rozwiązanie .

Rozwiązanie układu można także sprawdzić na kalkulatorze, stosując metodę Cramera: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli układ ma unikalne rozwiązanie.

Rozwiązywanie problemów stosowanych metodą Gaussa na przykładzie zadania na stopach

Układy równań liniowych służą do modelowania rzeczywistych obiektów w świecie fizycznym. Rozwiążmy jeden z tych problemów - stopy. Podobne problemy - problemy dotyczące mieszanin, kosztów lub środek ciężkości poszczególne towary w grupie produktów i tym podobnych.

Przykład 5. Trzy kawałki stopu mają łączną masę 150 kg. Pierwszy stop zawiera 60% miedzi, drugi - 30%, trzeci - 10%. Ponadto w stopie drugim i trzecim łącznie jest o 28,4 kg mniej miedzi niż w stopie pierwszym, a w stopie trzecim jest o 6,2 kg mniej miedzi niż w stopie drugim. Znajdź masę każdego kawałka stopu.

Rozwiązanie. Tworzymy układ równań liniowych:

Mnożymy drugie i trzecie równanie przez 10, otrzymujemy równoważny układ równań liniowych:

Tworzymy rozszerzoną macierz systemu:

Uwaga, prosto. Dodając (w naszym przypadku odejmując) jeden wiersz pomnożony przez liczbę (stosujemy dwukrotnie), na rozszerzonej macierzy układu zachodzą następujące przekształcenia:

Bezpośredni ruch dobiegł końca. Otrzymaliśmy rozszerzoną macierz trapezową.

Stosujemy ruch odwrotny. Znajdujemy rozwiązanie od końca. Widzimy to.

Z drugiego równania znajdujemy

Z trzeciego równania -

Rozwiązanie układu można także sprawdzić na kalkulatorze, stosując metodę Cramera: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli układ ma unikalne rozwiązanie.

O prostocie metody Gaussa świadczy fakt, że wynalezienie jej zajęło niemieckiemu matematykowi Carlowi Friedrichowi Gaussowi zaledwie 15 minut. Oprócz metody nazwanej jego imieniem, z prac Gaussa znane jest powiedzenie „Nie mylmy tego, co wydaje nam się niewiarygodne i nienaturalne, z tym, co absolutnie niemożliwe”. krótkie instrukcje dokonywać odkryć.

W wielu stosowanych problemach może nie być trzeciego ograniczenia, czyli trzeciego równania, wówczas trzeba rozwiązać układ dwóch równań z trzema niewiadomymi metodą Gaussa lub odwrotnie, jest mniej niewiadomych niż równań. Zaczniemy teraz rozwiązywać takie układy równań.

Za pomocą metody Gaussa można określić, czy dany system jest kompatybilny, czy nie N równania liniowe z N zmienne.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych o nieskończonej liczbie rozwiązań

Następnym przykładem jest spójny, ale niewyznaczalny układ równań liniowych, czyli mający nieskończoną liczbę rozwiązań.

Po wykonaniu przekształceń w rozszerzonej macierzy systemu (przestawienie wierszy, pomnożenie i podzielenie wierszy przez określoną liczbę, dodanie kolejnego do jednego wiersza) mogły pojawić się wiersze formularza

Jeśli we wszystkich równaniach mających postać

Wyrazy wolne są równe zeru, oznacza to, że układ jest nieokreślony, czyli ma nieskończoną liczbę rozwiązań, a równania tego typu są „zbędne” i wykluczamy je z układu.

Przykład 6.

Rozwiązanie. Stwórzmy rozszerzoną macierz układu. Następnie korzystając z pierwszego równania eliminujemy zmienną z kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj do drugiej, trzeciej i czwartej linii pierwszą, pomnożoną przez:

Teraz dodajmy drugą linię do trzeciej i czwartej.

W rezultacie dochodzimy do systemu

Ostatnie dwa równania zamieniły się w równania postaci. Równania te są spełnione dla dowolnej wartości niewiadomych i można je odrzucić.

Aby spełnić drugie równanie, możemy wybrać dowolne wartości dla i , wówczas wartość dla zostanie określona jednoznacznie: . Z pierwszego równania można również jednoznacznie znaleźć wartość: .

Zarówno dane, jak i ostatnie systemy są spójne, ale niepewne, a także formuły

dla dowolnych i dają nam wszystkie rozwiązania danego układu.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych bez rozwiązań

Następnym przykładem jest niespójny układ równań liniowych, czyli taki, który nie ma rozwiązań. Odpowiedź na takie problemy formułuje się w następujący sposób: system nie ma rozwiązań.

Jak już wspomniano w nawiązaniu do pierwszego przykładu, po wykonaniu przekształceń w rozszerzonej macierzy układu mogą pojawić się wiersze formularza

odpowiadające równaniu postaci

Jeżeli wśród nich jest przynajmniej jedno równanie z niezerowym wyrazem wolnym (tj. ), to ten układ równań jest niespójny, to znaczy nie ma rozwiązań i jego rozwiązanie jest zakończone.

Przykład 7. Rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa:

Rozwiązanie. Tworzymy rozbudowaną matrycę systemu. Korzystając z pierwszego równania, wykluczamy zmienną z kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj pierwszą linię pomnożoną przez drugą linię, pierwszą linię pomnożoną przez trzecią linię i pierwszą linię pomnożoną przez czwartą linię.

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wyeliminować zmienną z kolejnych równań. Aby otrzymać całkowite stosunki współczynników, zamieniamy drugi i trzeci wiersz rozszerzonej macierzy układu.

Aby wykluczyć trzecie i czwarte równanie, dodaj drugie pomnożone przez , do trzeciej linii, a drugie pomnożone przez , do czwartej linii.

Teraz, korzystając z trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, dodaj trzecią linię do czwartej linii, pomnożoną przez .

Dany system jest zatem równoważny następującemu:

Powstały układ jest niespójny, ponieważ jego ostatniego równania nie mogą spełnić żadne wartości niewiadomych. Zatem układ ten nie ma rozwiązań.

Metoda Gaussa idealny do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE). Ma wiele zalet w porównaniu do innych metod:

• po pierwsze, nie ma potrzeby najpierw badać układu równań pod kątem spójności;
• po drugie, metodą Gaussa można rozwiązywać nie tylko SLAE, w których liczba równań pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych, a główna macierz układu jest nieosobliwa, ale także układy równań, w których liczba równań nie pokrywa się z liczba nieznanych zmiennych lub wyznacznik macierzy głównej jest równa zeru;
• po trzecie, metoda Gaussa prowadzi do wyników przy stosunkowo niewielkiej liczbie operacji obliczeniowych.

Krótki przegląd artykułu.

Najpierw podajemy niezbędne definicje i wprowadzamy oznaczenia.

Następnie opiszemy algorytm metody Gaussa dla najprostszego przypadku, czyli dla układów liniowych równań algebraicznych liczba równań, w których pokrywa się liczba nieznanych zmiennych, a wyznacznikiem macierzy głównej układu jest nie równe zeru. Przy rozwiązywaniu takich układów równań najlepiej widać istotę metody Gaussa, jaką jest sekwencyjna eliminacja nieznanych zmiennych. Dlatego metoda Gaussa nazywana jest również metodą sekwencyjnej eliminacji niewiadomych. Pokażemy szczegółowe rozwiązania kilku przykładów.

Podsumowując, rozważymy rozwiązanie metodą Gaussa układów liniowych równań algebraicznych, których główna macierz jest prostokątna lub osobliwa. Rozwiązanie takich systemów ma pewne cechy, które szczegółowo przeanalizujemy na przykładach.

Nawigacja strony.

Podstawowe definicje i oznaczenia.

Rozważmy układ p równań liniowych z n niewiadomymi (p może być równe n):

Gdzie są nieznane zmienne, są liczbami (rzeczywistymi lub zespolonymi) i są terminami swobodnymi.

Jeśli , wówczas nazywany jest układem liniowych równań algebraicznych jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.

Nazywa się zbiór wartości nieznanych zmiennych, dla którego wszystkie równania układu stają się tożsamościami decyzja SLA.

Jeżeli istnieje co najmniej jedno rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych, wówczas nazywa się je wspólny, W przeciwnym razie - nie wspólne.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się je niektórzy. Jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to system jest wywoływany niepewny.

Mówią, że system jest wpisany formularz współrzędnych, jeśli ma postać
.

Ten system w postać matrycowa rekordy mają postać , gdzie - macierz główna SLAE, - macierz kolumny nieznanych zmiennych, - macierz wolnych terminów.

Jeśli do macierzy A dodamy macierz-kolumnę wolnych wyrazów jako (n+1)-tą kolumnę, otrzymamy tzw. rozszerzona matryca układy równań liniowych. Zazwyczaj macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych terminów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Nazywa się macierz kwadratową A zdegenerowany, jeśli jego wyznacznik wynosi zero. Jeżeli , to wywoływana jest macierz A niezdegenerowany.

Należy zwrócić uwagę na następującą kwestię.

Jeśli wykonamy układ liniowych równań algebraicznych następujące działania

• zamień dwa równania,
• pomnóż obie strony dowolnego równania przez dowolną i niezerową liczbę rzeczywistą (lub zespoloną) k,
• do obu stron dowolnego równania dodaj odpowiednie części innego równania, pomnożone przez dowolną liczbę k,

wtedy otrzymujesz równoważny system, który ma te same rozwiązania (lub tak jak oryginalny, nie ma rozwiązań).

Dla rozszerzonej macierzy układu liniowych równań algebraicznych działania te będą oznaczać przeprowadzenie elementarnych przekształceń z wierszami:

• zamiana dwóch linii,
• pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza macierzy T przez niezerową liczbę k,
• dodanie do elementów dowolnego wiersza macierzy odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną liczbę k.

Teraz możemy przejść do opisu metody Gaussa.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, a macierz główna układu jest nieosobliwa, metodą Gaussa.

Co byśmy robili w szkole, gdybyśmy mieli za zadanie znaleźć rozwiązanie układu równań? .

Niektórzy by tak zrobili.

Zauważ, że dodawanie po lewej stronie drugiego równania lewa strona najpierw, a w prawo - prawą, możesz pozbyć się nieznanych zmiennych x 2 i x 3 i od razu znaleźć x 1:

Podstawiamy znalezioną wartość x 1 =1 do pierwszego i trzeciego równania układu:

Jeśli pomnożymy obie strony trzeciego równania układu przez -1 i dodamy je do odpowiednich części pierwszego równania, pozbędziemy się nieznanej zmiennej x 3 i znajdziemy x 2:

Podstawiamy wynikową wartość x 2 = 2 do trzeciego równania i znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną x 3:

Inni postąpiliby inaczej.

Rozwiążmy pierwsze równanie układu ze względu na nieznaną zmienną x 1 i podstawmy powstałe wyrażenie do drugiego i trzeciego równania układu, aby wykluczyć z nich tę zmienną:

Rozwiążmy teraz drugie równanie układu dla x 2 i otrzymany wynik podstawmy do trzeciego równania, aby wyeliminować z niego nieznaną zmienną x 2:

Z trzeciego równania układu wynika, że ​​x 3 =3. Z drugiego równania znajdujemy , i z pierwszego równania otrzymujemy .

Znane rozwiązania, prawda?

Najciekawsze jest tutaj to, że druga metoda rozwiązywania jest w zasadzie metodą sekwencyjnej eliminacji niewiadomych, czyli metodą Gaussa. Kiedy wyraziliśmy nieznane zmienne (najpierw x 1, na kolejnym etapie x 2) i podstawiliśmy je do pozostałych równań układu, w ten sposób je wykluczyliśmy. Eliminację przeprowadzaliśmy tak długo, aż w ostatnim równaniu pozostała tylko jedna nieznana zmienna. Proces sekwencyjnego eliminowania niewiadomych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po skończeniu skok do przodu mamy teraz możliwość obliczenia nieznanej zmiennej w ostatnim równaniu. Za jego pomocą znajdujemy kolejną nieznaną zmienną z przedostatniego równania i tak dalej. Nazywa się proces sekwencyjnego wyszukiwania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania do pierwszego odwrotność metody Gaussa.

Należy zauważyć, że gdy w pierwszym równaniu wyrażamy x 1 w postaci x 2 i x 3, a następnie podstawiamy powstałe wyrażenie do drugiego i trzeciego równania, następujące działania prowadzą do tego samego wyniku:

Rzeczywiście, takie postępowanie pozwala również wyeliminować nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu:

Niuanse przy eliminacji nieznanych zmiennych metodą Gaussa powstają, gdy równania układu nie zawierają niektórych zmiennych.

Na przykład w SLAU w pierwszym równaniu nie ma nieznanej zmiennej x 1 (innymi słowy współczynnik przed nią wynosi zero). Dlatego nie możemy rozwiązać pierwszego równania układu dla x 1, aby wyeliminować tę nieznaną zmienną z pozostałych równań. Wyjściem z tej sytuacji jest zamiana równań układu. Ponieważ rozważamy układy równań liniowych, których wyznaczniki głównych macierzy są różne od zera, zawsze istnieje równanie, w którym występuje potrzebna nam zmienna i możemy przestawić to równanie do potrzebnej pozycji. W naszym przykładzie wystarczy zamienić pierwsze i drugie równanie układu , to możesz rozwiązać pierwsze równanie dla x 1 i wykluczyć je z pozostałych równań układu (chociaż x 1 nie jest już obecne w drugim równaniu).

Mamy nadzieję, że rozumiesz sedno.

Opiszmy Algorytm metody Gaussa.

Załóżmy, że musimy rozwiązać układ n liniowych równań algebraicznych z n niewiadomymi zmienne formularza , i niech wyznacznik jej macierzy głównej będzie różny od zera.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wyeliminujmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w kategoriach innych nieznanych zmiennych i podstawili otrzymane wyrażenie do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.

Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku

W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy drugie pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i . Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomej x 3, analogicznie postępujemy z zaznaczoną na rysunku częścią układu

Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości x n znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania i tak dalej, z pierwszego równania znajdujemy x 1 .

Przyjrzyjmy się algorytmowi na przykładzie.

Przykład.

Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Współczynnik a 11 jest niezerowy, zatem przejdźmy do bezpośredniego postępu metody Gaussa, czyli do wykluczenia nieznanej zmiennej x 1 ze wszystkich równań układu z wyjątkiem pierwszego. Aby to zrobić, do lewej i prawej strony drugiego, trzeciego i czwartego równania dodaj lewą i prawą stronę pierwszego równania, odpowiednio pomnożone przez . I :

Nieznana zmienna x 1 została wyeliminowana, przejdźmy do eliminacji x 2 . Do lewej i prawej strony trzeciego i czwartego równania układu dodajemy lewą i prawą stronę drugiego równania, pomnożone odpowiednio przez I :

Aby zakończyć postęp metody Gaussa, musimy wyeliminować nieznaną zmienną x 3 z ostatniego równania układu. Dodajmy odpowiednio do lewej i prawej strony czwartego równania lewą i prawą stronę trzeciego równania, pomnożone przez :

Można rozpocząć odwrotność metody Gaussa.

Z ostatniego równania, które mamy ,
z trzeciego równania otrzymujemy,
od drugiego,
od pierwszego.

Aby to sprawdzić, możesz podstawić otrzymane wartości nieznanych zmiennych do oryginalnego układu równań. Wszystkie równania zamieniają się w tożsamości, co oznacza, że ​​rozwiązanie metodą Gaussa zostało znalezione poprawnie.

Odpowiedź:

Rozwiążmy teraz ten sam przykład, stosując metodę Gaussa w notacji macierzowej.

Przykład.

Znajdź rozwiązanie układu równań Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Rozbudowana macierz układu ma postać . Na górze każdej kolumny znajdują się nieznane zmienne odpowiadające elementom macierzy.

Bezpośrednie podejście metody Gaussa polega tutaj na sprowadzeniu rozszerzonej macierzy układu do postaci trapezowej za pomocą przekształceń elementarnych. Proces ten jest podobny do eliminacji nieznanych zmiennych, którą zrobiliśmy w przypadku układu w postaci współrzędnych. Teraz to zobaczysz.

Przekształćmy macierz tak, aby wszystkie elementy w pierwszej kolumnie, zaczynając od drugiej, wyniosły zero. W tym celu do elementów drugiej, trzeciej i czwartej linii dodajemy odpowiednie elementy pierwszej linii pomnożone przez , i odpowiednio:

Następnie przekształcamy powstałą macierz tak, aby w drugiej kolumnie wszystkie elementy, począwszy od trzeciej, osiągnęły wartość zerową. Odpowiadałoby to wyeliminowaniu nieznanej zmiennej x 2 . W tym celu do elementów trzeciego i czwartego rzędu dodajemy odpowiednie elementy pierwszego rzędu macierzy, pomnożone przez odpowiednio I :

Pozostaje wykluczyć nieznaną zmienną x 3 z ostatniego równania układu. Aby to zrobić, do elementów ostatniego wiersza wynikowej macierzy dodajemy odpowiednie elementy przedostatniego wiersza pomnożone przez :

Należy zauważyć, że macierz ta odpowiada układowi równań liniowych

co uzyskano wcześniej po ruchu do przodu.

Czas zawrócić. W zapisie macierzowym odwrotność metody Gaussa polega na przekształceniu otrzymanej macierzy w taki sposób, że macierz zaznaczona na rysunku

stał się przekątny, to znaczy przybrał formę

gdzie są jakieś liczby.

Transformacje te są podobne do transformacji do przodu metody Gaussa, ale są wykonywane nie od pierwszej do ostatniej linii, ale od ostatniej do pierwszej.

Dodaj do elementów trzeciej, drugiej i pierwszej linii odpowiednie elementy ostatniej linii, pomnożone przez , ciągle odpowiednio:

Teraz dodaj do elementów drugiej i pierwszej linii odpowiednie elementy trzeciej linii, odpowiednio pomnożone przez i przez:

Na ostatnim etapie odwrotnej metody Gaussa do elementów pierwszego rzędu dodajemy odpowiednie elementy drugiego rzędu pomnożone przez:

Otrzymana macierz odpowiada układowi równań , skąd znajdujemy nieznane zmienne.

Odpowiedź:

NOTATKA.

Stosując metodę Gaussa do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych należy unikać obliczeń przybliżonych, gdyż może to prowadzić do całkowicie błędnych wyników. Zalecamy, aby nie zaokrąglać miejsc po przecinku. Lepiej od miejsca dziesiętne iść do zwykłe ułamki.

Przykład.

Rozwiąż układ trzech równań metodą Gaussa .

Rozwiązanie.

Zauważ, że w tym przykładzie nieznane zmienne mają inne oznaczenie (nie x 1, x 2, x 3, ale x, y, z). Przejdźmy do ułamków zwykłych:

Wykluczmy nieznane x z drugiego i trzeciego równania układu:

W otrzymanym układzie nieznana zmienna y jest nieobecna w drugim równaniu, ale y jest obecne w trzecim równaniu, dlatego zamieńmy drugie i trzecie równanie:

Na tym kończy się bezpośredni postęp metody Gaussa (nie ma potrzeby wykluczania y z trzeciego równania, ponieważ ta nieznana zmienna już nie istnieje).

Zacznijmy odwrotny ruch.

Z ostatniego równania, które znajdujemy ,
od przedostatniego


z pierwszego równania, które mamy

Odpowiedź:

X = 10, y = 5, z = -20.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą niewiadomych lub główna macierz układu jest pojedyncza, metodą Gaussa.

Układy równań, których główna macierz jest prostokątna lub kwadratowa, mogą nie mieć rozwiązań, mogą mieć jedno rozwiązanie lub mogą mieć nieskończoną liczbę rozwiązań.

Teraz zrozumiemy, w jaki sposób metoda Gaussa pozwala ustalić zgodność lub niespójność układu równań liniowych, a w przypadku jego zgodności określić wszystkie rozwiązania (lub jedno rozwiązanie).

W zasadzie proces eliminacji nieznanych zmiennych w przypadku takich SLAE pozostaje taki sam. Warto jednak szczegółowo omówić niektóre sytuacje, które mogą wystąpić.

Przejdźmy do najważniejszego etapu.

Załóżmy więc, że układ liniowych równań algebraicznych po zakończeniu postępu metody Gaussa przyjmuje postać i ani jedno równanie nie zostało zredukowane do (w tym przypadku doszlibyśmy do wniosku, że system jest niezgodny). Nasuwa się logiczne pytanie: „Co dalej”?

Zapiszmy nieznane zmienne, które zajmują pierwsze miejsce we wszystkich równaniach powstałego układu:

W naszym przykładzie są to x 1, x 4 i x 5. Po lewej stronie równań układu pozostawiamy tylko te wyrazy, które zawierają zapisane nieznane zmienne x 1, x 4 i x 5, pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równań z przeciwnym znakiem:

Nieznanym zmiennym znajdującym się po prawej stronie równań nadajmy dowolne wartości, gdzie - liczby dowolne:

Następnie prawe strony wszystkich równań naszego SLAE zawierają liczby i możemy przejść do odwrotności metody Gaussa.

Z ostatniego równania układu mamy, z przedostatniego równania, które znajdujemy, z pierwszego równania, które otrzymujemy

Rozwiązaniem układu równań jest zbiór wartości nieznanych zmiennych

Nadawanie liczb różne wartości, otrzymamy różne rozwiązania układu równań. Oznacza to, że nasz układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź:

Gdzie - dowolne liczby.

Aby skonsolidować materiał, szczegółowo przeanalizujemy rozwiązania kilku kolejnych przykładów.

Przykład.

Decydować układ jednorodny liniowe równania algebraiczne Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x z drugiego i trzeciego równania układu. W tym celu do lewej i prawej strony drugiego równania dodajemy odpowiednio lewą i prawą stronę pierwszego równania pomnożone przez , a do lewej i prawej strony trzeciego równania dodajemy lewą i prawą stronę prawe strony pierwszego równania pomnożone przez:

Wykluczmy teraz y z trzeciego równania powstałego układu równań:

Powstały SLAE jest równoważny systemowi .

Po lewej stronie równań układu pozostawiamy tylko wyrazy zawierające nieznane zmienne x i y, a wyrazy z nieznaną zmienną z przesuwamy na prawą stronę:

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, jeśli zbiór wszystkich ich rozwiązań jest zbieżny.

Elementarne przekształcenia układu równań to:

1. Usuwanie trywialnych równań z układu, tj. takie, dla których wszystkie współczynniki są równe zeru;
2. Mnożenie dowolnego równania przez liczbę inną niż zero;
3. Dodanie do dowolnego i-tego równania dowolnego j-tego równania pomnożonego przez dowolną liczbę.

Zmienną x i nazywamy wolną, jeśli ta zmienna jest niedozwolona, ​​ale cały układ równań jest dozwolony.

Twierdzenie. Przekształcenia elementarne przekształcają układ równań w równoważny.

Znaczenie metody Gaussa polega na przekształceniu pierwotnego układu równań i uzyskaniu równoważnego rozwiązanego lub równoważnego układu niespójnego.

Zatem metoda Gaussa składa się z następujących kroków:

1. Spójrzmy na pierwsze równanie. Wybierzmy pierwszy niezerowy współczynnik i podzielmy przez niego całe równanie. Otrzymujemy równanie, w które wchodzi pewna zmienna x i ze współczynnikiem 1;
2. Odejmijmy to równanie od wszystkich pozostałych, mnożąc je przez takie liczby, aby współczynniki zmiennej x i w pozostałych równaniach były zerowe. Otrzymujemy układ rozwiązany ze względu na zmienną x i równoważny pierwotnemu;
3. Jeśli pojawią się trywialne równania (rzadko, ale się zdarza; na przykład 0 = 0), skreślamy je z układu. W rezultacie jest o jedno równanie mniej;
4. Poprzednie kroki powtarzamy nie więcej niż n razy, gdzie n jest liczbą równań w układzie. Za każdym razem wybieramy nową zmienną do „przetworzenia”. Jeśli pojawią się niespójne równania (na przykład 0 = 8), system jest niespójny.

W rezultacie po kilku krokach otrzymamy albo układ rozwiązany (ewentualnie ze zmiennymi swobodnymi), albo układ niespójny. Dozwolone systemy dzielą się na dwa przypadki:

1. Liczba zmiennych jest równa liczbie równań. Oznacza to, że system jest zdefiniowany;
2. Liczba zmiennych więcej numeru równania. Zbieramy wszystkie wolne zmienne po prawej stronie - otrzymujemy formuły na dozwolone zmienne. Wzory te są zapisane w odpowiedzi.

To wszystko! Układ równań liniowych rozwiązany! Jest to dość prosty algorytm i aby go opanować, nie trzeba kontaktować się z wyższym nauczycielem matematyki. Spójrzmy na przykład:

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Opis kroków:

1. Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego - otrzymamy dozwoloną zmienną x 1;
2. Drugie równanie mnożymy przez (-1), a trzecie równanie dzielimy przez (-3) - otrzymujemy dwa równania, w których zmienna x 2 wchodzi ze współczynnikiem 1;
3. Dodajemy drugie równanie do pierwszego i odejmujemy od trzeciego. Otrzymujemy dozwoloną zmienną x 2 ;
4. Na koniec odejmujemy trzecie równanie od pierwszego - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 3;
5. Otrzymaliśmy zatwierdzony system, zapisz odpowiedź.

Ogólne rozwiązanie jednoczesnego układu równań liniowych to nowy system, równoważny oryginalnemu, w którym wszystkie dozwolone zmienne są wyrażone w postaci wolnych.

Kiedy może być potrzebne rozwiązanie ogólne? Jeśli musisz wykonać mniej kroków niż k (k to liczba równań). Jednakże powody, dla których proces kończy się na pewnym etapie l< k , может быть две:

1. Po l-tym kroku otrzymaliśmy układ, który nie zawiera równania z liczbą (l + 1). Właściwie to dobrze, bo... autoryzowany system jest nadal uzyskiwany - nawet kilka kroków wcześniej.
2. Po l-tym kroku otrzymaliśmy równanie, w którym wszystkie współczynniki zmiennych są równe zeru, a współczynnik swobodny jest różny od zera. Jest to równanie sprzeczne i dlatego układ jest niespójny.

Ważne jest, aby zrozumieć, że pojawienie się niespójnego równania przy użyciu metody Gaussa jest wystarczającą podstawą niespójności. Jednocześnie zauważamy, że w wyniku l-tego kroku nie mogą pozostać żadne trywialne równania - wszystkie są przekreślane w trakcie.

Opis kroków:

1. Odejmij pierwsze równanie pomnożone przez 4 od drugiego. Do trzeciego równania dodajemy także pierwsze - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 1;
2. Odejmij trzecie równanie pomnożone przez 2 od drugiego - otrzymamy sprzeczne równanie 0 = -5.

Zatem układ jest niespójny, ponieważ odkryto niespójne równanie.

Zadanie. Sprawdź kompatybilność i znajdź ogólne rozwiązanie dla systemu:

Opis kroków:

1. Od drugiego równania odejmujemy (po pomnożeniu przez dwa), a trzecie - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 1;
2. Odejmij drugie równanie od trzeciego. Ponieważ wszystkie współczynniki w tych równaniach są takie same, trzecie równanie stanie się trywialne. Jednocześnie pomnóż drugie równanie przez (-1);
3. Odejmij drugą od pierwszego równania - otrzymamy dozwoloną zmienną x 2. Cały układ równań jest teraz również rozwiązany;
4. Ponieważ zmienne x 3 i x 4 są dowolne, przesuwamy je w prawo, aby wyrazić dozwolone zmienne. To jest odpowiedź.

Zatem układ jest spójny i nieokreślony, gdyż istnieją dwie zmienne dozwolone (x 1 i x 2) oraz dwie wolne (x 3 i x 4).