Rozważmy układ liniowych równań algebraicznych(SLAU) stosunkowo N nieznany X 1 , X 2 , ..., X N :
System ten w formie „zwiniętej” można zapisać w następujący sposób:
S N ja=1 A ja X J = b I , i=1,2, ..., n.
Zgodnie z zasadą mnożenia macierzy rozważany układ równania liniowe można wpisać postać matrycowa Topór=b, Gdzie
,
,.
Matryca A, którego kolumny to współczynniki odpowiednich niewiadomych, a wiersze to współczynniki niewiadomych w odpowiednim równaniu, nazywa się macierz układu. Macierz kolumnowa B, którego elementy są prawymi stronami równań układu, nazywa się macierzą prawostronną lub po prostu prawa strona systemu. Macierz kolumnowa X , którego elementami są nieznane niewiadome, nazywa się rozwiązanie systemowe.
Układ liniowych równań algebraicznych zapisany w postaci Topór=b, Jest równanie macierzowe.
Jeżeli macierz systemowa niezdegenerowany, to ma odwrotna macierz a następnie rozwiązanie układu Topór=b jest dana wzorem:
x=A -1 B.
Przykład Rozwiąż system 
metoda matrycowa.
Rozwiązanie znajdźmy macierz odwrotną macierzy współczynników układu
Obliczmy wyznacznik rozwijając wzdłuż pierwszej linii:
Ponieważ Δ ≠ 0 , To A -1 istnieje.
Macierz odwrotna została znaleziona poprawnie.
Znajdźmy rozwiązanie dla systemu 
Stąd, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Badanie: 
7. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego o zgodności układu liniowych równań algebraicznych.
Układ równań liniowych ma postać:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
za m1 x 1 + za m1 x 2 +... + za mn x n = b m.
Tutaj podane są a i j i b i (i = ; j = ), a x j są nieznanymi liczbami rzeczywistymi. Korzystając z pojęcia iloczynu macierzy, układ (5.1) możemy zapisać w postaci:
gdzie A = (a i j) jest macierzą składającą się ze współczynników niewiadomych układu (5.1), co nazywa się macierz układu, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T są wektorami kolumnowymi złożonymi odpowiednio z niewiadomych x j i wyrazów wolnych b i .
Zamówiona kolekcja N nazywa się liczby rzeczywiste (c 1, c 2,..., c n). rozwiązanie systemowe(5.1), jeżeli w wyniku podstawienia tych liczb zamiast odpowiednich zmiennych x 1, x 2,..., x n, każde równanie układu zamieni się w tożsamość arytmetyczną; innymi słowy, jeśli istnieje wektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T taki, że AC B.
Nazywa się system (5.1). wspólny, Lub rozpuszczalny, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. System nazywa się niekompatybilny, Lub nierozwiązalny, jeśli nie ma rozwiązań.
,
utworzony przez przypisanie kolumny wolnych terminów do macierzy A po prawej stronie nazywa się rozszerzona macierz systemu.
Zagadnienie zgodności układu (5.1) rozwiązuje następujące twierdzenie.
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . Układ równań liniowych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi macierzy A iA są zbieżne, tj. r(A) = r(A) = r.
Dla zbioru M rozwiązań układu (5.1) istnieją trzy możliwości:
1) M = (w tym przypadku układ jest niespójny);
2) M składa się z jednego elementu, tj. system ma unikalne rozwiązanie (w tym przypadku system nazywa się niektórzy);
3) M składa się z więcej niż jednego elementu (wtedy układ nazywa się niepewny). W trzecim przypadku układ (5.1) ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Układ ma unikalne rozwiązanie tylko wtedy, gdy r(A) = n. W tym przypadku liczba równań jest nie mniejsza niż liczba niewiadomych (mn); jeśli m>n, to równania m-n są konsekwencjami innych. Jeśli 0 Aby rozwiązać dowolny układ równań liniowych, trzeba umieć rozwiązywać układy, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych – tzw. Systemy typu Cramer: za 11 x 1 + za 12 x 2 +... + za 1n x n = b 1, za 21 x 1 + za 22 x 2 +... + za 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... za n1 x 1 + za n1 x 2 +... + za nn x n = b n . Układy (5.3) rozwiązuje się na jeden z następujących sposobów: 1) metoda Gaussa, czyli metoda eliminacji niewiadomych; 2) według wzorów Cramera; 3) metoda matrycowa. Przykład 2.12. Zbadaj układ równań i rozwiąż go, jeśli jest spójny: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Rozwiązanie. Zapisujemy rozszerzoną macierz układu:
Obliczmy rząd głównej macierzy układu. Wiadomo, że np. moll drugiego stopnia w lewym górnym rogu = 7 0; zawierające go nieletni trzeciego rzędu są równe zeru: Dlatego ranga macierzy głównej układu wynosi 2, tj. r(A) = 2. Aby obliczyć rząd rozszerzonej macierzy A, rozważ drobnostkę graniczną oznacza to, że rząd rozszerzonej macierzy r(A) = 3. Ponieważ r(A) r(A), układ jest niespójny. W pierwszej części przyjrzeliśmy się materiałowi teoretycznemu, metodzie podstawieniowej, a także metodzie dodawania równań układu wyraz po wyrazie. Polecam wszystkim, którzy weszli na stronę za pośrednictwem tej strony, przeczytanie pierwszej części. Być może dla niektórych zwiedzających materiał będzie zbyt prosty, ale w procesie rozwiązywania układów równań liniowych poczyniłem szereg bardzo ważnych komentarzy i wniosków dotyczących rozwiązywania problemów matematycznych w ogóle. Teraz przeanalizujemy regułę Cramera, a także rozwiążemy układ równań liniowych za pomocą macierzy odwrotnej (metoda macierzowa). Wszystkie materiały są przedstawione w sposób prosty, szczegółowy i przejrzysty; prawie każdy czytelnik będzie mógł dowiedzieć się, jak rozwiązywać systemy za pomocą powyższych metod. Najpierw przyjrzymy się bliżej regule Cramera dla układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Po co? – W końcu najprostszy układ można rozwiązać metodą szkolną, metodą dodawania semestrów! Faktem jest, że choć czasami pojawia się takie zadanie - rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą wzorów Cramera. Po drugie, prostszy przykład pomoże Ci zrozumieć, jak zastosować regułę Cramera w bardziej złożonym przypadku - układzie trzech równań z trzema niewiadomymi. Ponadto istnieją układy równań liniowych z dwiema zmiennymi, które zaleca się rozwiązać za pomocą reguły Cramera! Rozważmy układ równań W pierwszym kroku obliczamy wyznacznik, tzw główny wyznacznik systemu. Metoda Gaussa. Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze dwa wyznaczniki: W praktyce powyższe kwalifikatory można również oznaczyć literą łacińską. Pierwiastki równania znajdujemy za pomocą wzorów: Przykład 7 Rozwiązać układ równań liniowych Rozwiązanie: Widzimy, że współczynniki równania są dość duże; po prawej stronie znajdują się ułamki dziesiętne z przecinkiem. Przecinek jest raczej rzadkim gościem w praktycznych zadaniach matematyki; wziąłem ten system z problemu ekonometrycznego. Jak rozwiązać taki system? Możesz spróbować wyrazić jedną zmienną za pomocą drugiej, ale w tym przypadku prawdopodobnie skończysz z okropnymi fantazyjnymi ułamkami, z którymi praca jest wyjątkowo niewygodna, a projekt rozwiązania będzie wyglądał po prostu okropnie. Możesz pomnożyć drugie równanie przez 6 i odjąć wyraz po wyrazie, ale tutaj również pojawią się te same ułamki. Co robić? W takich przypadkach na ratunek przychodzą formuły Cramera. ; ; Odpowiedź: , Obydwa pierwiastki mają nieskończone ogony i można je znaleźć w przybliżeniu, co jest całkiem akceptowalne (a nawet powszechne) w przypadku problemów ekonometrycznych. Komentarze nie są tutaj potrzebne, ponieważ zadanie rozwiązuje się za pomocą gotowych formuł, jednak jest jedno zastrzeżenie. Stosując tę metodę, obowiązkowy Fragmentem projektu zadania jest następujący fragment: „Oznacza to, że system posiada unikalne rozwiązanie”. W przeciwnym razie recenzent może ukarać Cię za brak szacunku dla twierdzenia Cramera. Sprawdzanie nie byłoby zbyteczne, co można wygodnie przeprowadzić na kalkulatorze: podstawiamy przybliżone wartości po lewej stronie każdego równania układu. W rezultacie przy niewielkim błędzie powinieneś otrzymać liczby znajdujące się po prawej stronie. Przykład 8 Odpowiedź przedstaw w zwykłych ułamkach niewłaściwych. Sprawdź. To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (przykład ostatecznego projektu i odpowiedź na końcu lekcji). Przejdźmy teraz do rozważenia reguły Cramera dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi: Znajdujemy główny wyznacznik systemu: Jeśli , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny (nie ma rozwiązań). W tym przypadku reguła Cramera nie pomoże; należy zastosować metodę Gaussa. Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze trzy wyznaczniki: I na koniec odpowiedź oblicza się za pomocą wzorów: Jak widać, przypadek „trzy na trzy” zasadniczo nie różni się od przypadku „dwa na dwa”; kolumna wolnych terminów „przechodzi” sekwencyjnie od lewej do prawej wzdłuż kolumn głównego wyznacznika. Przykład 9 Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera. Rozwiązanie: Rozwiążmy układ za pomocą wzorów Cramera. Odpowiedź: Właściwie tutaj znowu nie ma nic specjalnego do komentowania, ponieważ rozwiązanie opiera się na gotowych formułach. Ale jest kilka komentarzy. Zdarza się, że w wyniku obliczeń otrzymuje się „złe” ułamki nieredukowalne, np.: . 1) W obliczeniach może wystąpić błąd. Gdy tylko napotkasz „złą” frakcję, natychmiast musisz to sprawdzić Czy warunek został przepisany poprawnie?. Jeśli warunek zostanie przepisany bez błędów, należy ponownie obliczyć wyznaczniki za pomocą rozwinięcia w innym wierszu (kolumnie). 2) Jeśli w wyniku sprawdzenia nie zostaną wykryte żadne błędy, najprawdopodobniej w warunkach zadania wystąpiła literówka. W takim przypadku spokojnie i DOKŁADNIE przepracuj zadanie do końca, a potem koniecznie sprawdź i sporządzamy to na czystym koncie po podjęciu decyzji. Oczywiście sprawdzanie odpowiedzi ułamkowej jest zadaniem nieprzyjemnym, ale będzie to rozbrajający argument dla nauczyciela, który bardzo lubi dawać minusy za takie bzdury jak . Sposób postępowania z ułamkami opisano szczegółowo w odpowiedzi na przykład 8. Jeśli masz pod ręką komputer, skorzystaj z automatycznego programu do sprawdzenia, który można pobrać bezpłatnie na samym początku lekcji. Nawiasem mówiąc, najbardziej opłaca się skorzystać z programu od razu (nawet przed rozpoczęciem rozwiązania) od razu zobaczysz krok pośredni, w którym popełniłeś błąd! Ten sam kalkulator automatycznie oblicza rozwiązanie układu metodą macierzową. Druga uwaga. Czasami w równaniach zdarzają się układy, w których brakuje niektórych zmiennych, np.: Przykład 10 Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera. To jest przykład samodzielnego rozwiązania (próbka ostatecznego projektu i odpowiedź na końcu lekcji). Dla przypadku układu 4 równań z 4 niewiadomymi wzory Cramera zapisuje się według podobnych zasad. Przykład na żywo można zobaczyć w lekcji Właściwości wyznaczników. Zmniejszenie rzędu wyznacznika - pięć wyznaczników czwartego rzędu jest całkiem rozwiązywalnych. Choć zadanie już bardzo przypomina but profesorski na piersi szczęśliwego studenta. Metoda macierzy odwrotnej jest zasadniczo przypadkiem szczególnym równanie macierzowe(Zobacz przykład nr 3 z określonej lekcji). Aby przestudiować tę sekcję, musisz umieć rozwijać wyznaczniki, znajdować odwrotność macierzy i wykonywać mnożenie macierzy. Odpowiednie linki będą udostępniane w miarę postępu wyjaśnień. Przykład 11 Rozwiązać układ metodą macierzową Rozwiązanie: Zapiszmy system w postaci macierzowej: Proszę spojrzeć na układ równań i macierzy. Myślę, że każdy rozumie zasadę, według której zapisujemy elementy do macierzy. Jedyna uwaga: gdyby w równaniach brakowało jakichś zmiennych, to w odpowiednich miejscach macierzy należałoby wstawić zera. Macierz odwrotną znajdujemy korzystając ze wzoru: Najpierw spójrzmy na wyznacznik: Tutaj wyznacznik jest rozwijany w pierwszej linii. Uwaga! Jeżeli , to macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać układu metodą macierzową. W tym przypadku układ rozwiązuje się metodą eliminacji niewiadomych (metoda Gaussa). Teraz musimy obliczyć 9 nieletnich i zapisać je w macierzy nieletnich Odniesienie: Przydatne jest poznanie znaczenia podwójnych indeksów dolnych w algebrze liniowej. Pierwsza cyfra to numer linii, w której znajduje się element. Druga cyfra to numer kolumny, w której znajduje się element: Niech będzie macierz kwadratowa n-tego rzędu Nazywa się macierz A -1 odwrotna macierz w odniesieniu do macierzy A, jeśli A*A -1 = E, gdzie E jest macierzą jednostkową n-tego rzędu. Macierz jednostkowa- taka macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy wzdłuż głównej przekątnej, przechodząc od lewego górnego do prawego dolnego rogu, są jedynkami, a reszta jest zerami, na przykład: odwrotna macierz może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych te. dla tych macierzy, w których liczba wierszy i kolumn pokrywa się. Aby macierz miała macierz odwrotną, konieczne i wystarczające jest, aby była ona nieosobliwa. Nazywa się macierz A = (A1, A2,...A n). niezdegenerowany, jeśli wektory kolumnowe są liniowo niezależne. Liczba liniowo niezależnych wektorów kolumnowych macierzy nazywana jest rzędem macierzy. Można zatem powiedzieć, że aby istniała macierz odwrotna, konieczne i wystarczające jest, aby stopień macierzy był równy jej wymiarowi, tj. r = n. Dla macierzy A znajdź macierz odwrotną A -1 Rozwiązanie: Zapisujemy macierz A i przypisujemy macierz jednostkową E po prawej stronie. Korzystając z transformacji Jordana, redukujemy macierz A do macierzy jednostkowej E. Obliczenia przedstawiono w tabeli 31.1. Sprawdźmy poprawność obliczeń mnożąc pierwotną macierz A i odwrotną macierz A -1. W wyniku mnożenia macierzy otrzymano macierz jednostkową. Zatem obliczenia zostały wykonane prawidłowo. Odpowiedź: Równania macierzowe mogą wyglądać następująco: AX = B, HA = B, AXB = C, gdzie A, B, C to określone macierze, X to pożądana macierz. Równania macierzowe rozwiązuje się poprzez pomnożenie równania przez macierze odwrotne.
Na przykład, aby znaleźć macierz z równania, należy pomnożyć to równanie przez lewą stronę. Dlatego, aby znaleźć rozwiązanie równania, należy znaleźć macierz odwrotną i pomnożyć ją przez macierz po prawej stronie równania. Inne równania rozwiązuje się w podobny sposób. Rozwiąż równanie AX = B jeśli Rozwiązanie: Ponieważ macierz odwrotna jest równa (patrz przykład 1) Wraz z innymi są one również używane metody matrycowe. Metody te opierają się na algebrze liniowej i macierzy wektorowo-macierzowej. Metody takie wykorzystywane są do analizy złożonych i wielowymiarowych zjawisk gospodarczych. Najczęściej metody te stosuje się, gdy konieczne jest dokonanie porównawczej oceny funkcjonowania organizacji i ich podziałów strukturalnych. W procesie stosowania metod analizy macierzowej można wyróżnić kilka etapów. Na pierwszym etapie tworzony jest system wskaźników ekonomicznych i na jego podstawie tworzona jest matryca danych wyjściowych, będąca tabelą, w której w poszczególnych jego wierszach prezentowane są numery systemu (i = 1,2,.....,n), a w kolumnach pionowych - numery wskaźników (j = 1,2,....,m). Na drugim etapie Dla każdej kolumny pionowej identyfikowana jest największa z dostępnych wartości wskaźnika, którą przyjmuje się jako jedną. Następnie wszystkie kwoty odzwierciedlone w tej kolumnie są dzielone przez największą wartość i tworzona jest macierz standardowych współczynników. Na trzecim etapie wszystkie składniki macierzy są kwadratowe. Jeżeli mają one różne znaczenie, wówczas każdemu wskaźnikowi matrycowemu przypisany jest określony współczynnik wagowy k. Wartość tego ostatniego określana jest na podstawie opinii biegłego. Na ostatnim czwarty etap znalezione wartości ocen Rj są pogrupowane według ich wzrostu lub spadku. Przedstawione metody macierzowe należy stosować m.in. w analizie porównawczej różnych projektów inwestycyjnych, a także w ocenie innych wskaźników ekonomicznych działalności organizacji. (czasami metoda ta nazywana jest także metodą macierzową lub metodą macierzową odwrotną) wymaga wstępnego zapoznania się z takim pojęciem jak macierzowa forma zapisu SLAE. Metoda macierzy odwrotnej przeznaczona jest do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których wyznacznik macierzy układu jest różny od zera. Naturalnie zakłada się, że macierz układu jest kwadratowa (pojęcie wyznacznika istnieje tylko dla macierzy kwadratowych). Istotę metody macierzy odwrotnej można wyrazić w trzech punktach: Dowolny SLAE można zapisać w postaci macierzowej jako $A\cdot X=B$, gdzie $A$ jest macierzą systemu, $B$ jest macierzą wolnych członów, $X$ jest macierzą niewiadomych. Niech istnieje macierz $A^(-1)$. Pomnóżmy obie strony równości $A\cdot X=B$ przez macierz $A^(-1)$ po lewej stronie: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Ponieważ $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ jest macierzą jednostkową), powyższa równość przyjmuje postać: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Ponieważ $E\cdot X=X$, to: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Przykład nr 1 Rozwiąż SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ używając macierzy odwrotnej. $$ A=\left(\begin(tablica) (cc) -5 i 7\\ 9 i 8 \end(tablica)\right);\; B=\left(\begin(tablica) (c) 29\\ -11 \end(tablica)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$ Znajdźmy macierz odwrotną do macierzy układu, tj. Obliczmy $A^(-1)$. W przykładzie nr 2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(tablica)(cc) 8 i -7\\ -9 i -5\end(tablica)\right) . $$ Podstawmy teraz wszystkie trzy macierze ($X$, $A^(-1)$, $B$) do równości $X=A^(-1)\cdot B$. Następnie wykonujemy mnożenie macierzy $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(tablica)\right)\cdot \left(\begin(tablica) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(tablica) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(tablica) (c) -3\\ 2\end(tablica)\right). $$ Otrzymaliśmy więc równość $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( tablica )\right)$. Z tej równości mamy: $x_1=-3$, $x_2=2$. Odpowiedź: $x_1=-3$, $x_2=2$. Przykład nr 2 Rozwiąż SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ przy użyciu metody macierzy odwrotnej. Zapiszmy macierz układu $A$, macierz wyrazów wolnych $B$ i macierz niewiadomych $X$. $$ A=\left(\begin(tablica) (ccc) 1 i 7 i 3\\ -4 i 9 i 4 \\0 i 3 i 2\end(tablica)\right);\; B=\left(\begin(tablica) (c) -1\\0\\6\end(tablica)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$ Teraz kolej na znalezienie macierzy odwrotnej do macierzy układu, tj. znajdź $A^(-1)$. W przykładzie nr 3 na stronie poświęconej znajdowaniu macierzy odwrotnych, macierz odwrotna została już znaleziona. Wykorzystajmy gotowy wynik i napiszmy $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i - 3 i 37\end(tablica)\right). $$ Podstawmy teraz wszystkie trzy macierze ($X$, $A^(-1)$, $B$) do równości $X=A^(-1)\cdot B$, a następnie wykonajmy mnożenie macierzy po prawej stronie tej równości. $$ \left(\begin(tablica) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\end(tablica) \right)\cdot \left(\begin(tablica) (c) -1\\0\ \6\end(tablica)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(tablica) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(tablica)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(tablica) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(tablica) (c) 0\\-4\\9\end(tablica)\right) $$ Otrzymaliśmy więc równość $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(tablica)\right)$. Z tej równości mamy: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Jest to koncepcja uogólniająca wszystkie możliwe operacje wykonywane na macierzach. Macierz matematyczna - tabela elementów. O stole, przy którym M linie i N kolumnach, mówi się, że ta macierz ma wymiar M NA N. Ogólny widok matrycy: Dla rozwiązania macierzowe Konieczne jest zrozumienie, czym jest matryca i poznanie jej głównych parametrów. Główne elementy matrycy: Główne typy macierzy: Macierz może być symetryczna względem przekątnej głównej i wtórnej. To znaczy, jeśli za 12 = za 21, za 13 = za 31,….a 23 = za 32…. a m-1n = a mn-1, to macierz jest symetryczna względem głównej przekątnej. Tylko macierze kwadratowe mogą być symetryczne. Prawie wszystko metody rozwiązywania macierzy polega na znalezieniu jego wyznacznika N-ta kolejność i większość z nich jest dość uciążliwa. Aby znaleźć wyznacznik drugiego i trzeciego rzędu, istnieją inne, bardziej racjonalne metody. Aby obliczyć wyznacznik macierzy A W drugim rzędzie należy odjąć iloczyn elementów przekątnej wtórnej od iloczynu elementów przekątnej głównej: Poniżej znajdują się zasady znajdowania wyznacznika trzeciego rzędu. Uproszczona zasada trójkąta jako jedna z metody rozwiązywania macierzy, można przedstawić w ten sposób: Inaczej mówiąc, iloczyn elementów pierwszego wyznacznika połączonych liniami prostymi oznacza się znakiem „+”; Również dla drugiego wyznacznika odpowiednie produkty są brane ze znakiem „-”, czyli zgodnie z następującym schematem: Na rozwiązywanie macierzy z wykorzystaniem reguły Sarrusa, na prawo od wyznacznika, dodaj pierwsze 2 kolumny, a iloczyny odpowiednich elementów na głównej przekątnej i na przekątnych do niej równoległych są brane ze znakiem „+”; oraz iloczyny odpowiednich elementów przekątnej wtórnej i przekątnych do niej równoległych, ze znakiem „-”: Rozkład wyznacznika w wierszu lub kolumnie przy rozwiązywaniu macierzy. Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów rzędu wyznacznika i ich uzupełnień algebraicznych. Zazwyczaj wybierany jest wiersz/kolumna zawierająca zera. Wiersz lub kolumna, wzdłuż której przeprowadzany jest rozkład, zostanie wskazany strzałką. Sprowadzenie wyznacznika do postaci trójkątnej przy rozwiązywaniu macierzy. Na rozwiązywanie macierzy metoda sprowadzania wyznacznika do postaci trójkątnej działają w ten sposób: stosując najprostsze przekształcenia w wierszach lub kolumnach wyznacznik przyjmuje postać trójkątną i wówczas jego wartość, zgodnie z właściwościami wyznacznika, będzie równa iloczynowi elementów znajdujących się na głównej przekątnej. Twierdzenie Laplace'a o rozwiązywaniu macierzy. Rozwiązując macierze za pomocą twierdzenia Laplace'a, musisz znać samo twierdzenie. Twierdzenie Laplace'a: Niech Δ
– to jest wyznacznik N-ta kolejność. Wybieramy dowolne k wiersze (lub kolumny), pod warunkiem k≤
n - 1. W tym przypadku suma produktów wszystkich nieletnich k-ta kolejność zawarta w wybranym k wiersze (kolumny) przez ich uzupełnienia algebraiczne będą równe wyznacznikowi. Sekwencja działań dla rozwiązania macierzowe odwrotne: Dla rozwiązania układów macierzowych Najczęściej stosowana jest metoda Gaussa. Metoda Gaussa jest standardową metodą rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) i polega na tym, że zmienne są sekwencyjnie eliminowane, czyli za pomocą elementarnych zmian układ równań sprowadzany jest do równoważnego układu równań trójkątnych formę i na jej podstawie kolejno, zaczynając od tego ostatniego (według numeru), znajdź każdy element systemu. Metoda Gaussa jest najbardziej wszechstronnym i najlepszym narzędziem do znajdowania rozwiązań macierzowych. Jeśli układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań lub jest niezgodny, to nie można go rozwiązać za pomocą reguły Cramera i metody macierzowej. Metoda Gaussa implikuje także ruchy bezpośrednie (sprowadzenie rozszerzonej macierzy do postaci schodkowej, czyli uzyskanie zer pod główną przekątną) i odwrotne (uzyskanie zer powyżej głównej przekątnej rozszerzonej macierzy). Ruch do przodu to metoda Gaussa, ruch odwrotny to metoda Gaussa-Jordana. Metoda Gaussa-Jordana różni się od metody Gaussa jedynie kolejnością eliminowania zmiennych.
.
I
, 
, 
, 
co oznacza, że system posiada unikalne rozwiązanie.
.
Polecam następujący algorytm „leczenia”. Jeśli nie masz pod ręką komputera, wykonaj następujące czynności:
Tutaj w pierwszym równaniu nie ma zmiennej, w drugim nie ma zmiennej. W takich przypadkach bardzo ważne jest, aby poprawnie i DOKŁADNIE zapisać główny wyznacznik: 
– w miejsce brakujących zmiennych wstawiane są zera.
Nawiasem mówiąc, racjonalne jest otwieranie wyznaczników zerami zgodnie z wierszem (kolumną), w którym znajduje się zero, ponieważ jest zauważalnie mniej obliczeń.
Rozwiązywanie układu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej
, Gdzie 
, gdzie jest transponowaną macierzą uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy.
Oznacza to, że podwójny indeks dolny wskazuje, że element znajduje się w pierwszym rzędzie, trzeciej kolumnie i np. element znajduje się w 3 rzędach, 2 kolumnach
Twierdzenie o warunku istnienia macierzy odwrotnej
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
Przykład 1 
Rozwiązywanie równań macierzowych
Metoda macierzowa w analizie ekonomicznej
Metody rozwiązywania macierzy.
Znalezienie wyznaczników drugiego rzędu.
Metody znajdowania wyznaczników trzeciego rzędu.
Rozwiązywanie macierzy odwrotnej.
Rozwiązywanie układów macierzowych.
