Rozwiąż równanie Bernoulliego. Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu i równanie Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego jest równaniem postaci

gdzie n≠0,n≠1.

Równanie to można przekształcić za pomocą podstawienia

V równanie liniowe

Na praktyce równanie różniczkowe Bernoulli zwykle nie prowadzi do równania liniowego, ale jest natychmiast rozwiązywany przy użyciu tych samych metod, co równanie liniowe - albo metodą Bernoulliego, albo metodą wariacji dowolnej stałej.

Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać równanie różniczkowe Bernoulliego za pomocą podstawienia y=uv (metoda Bernoulliego). Schemat rozwiązania jest taki sam jak dla .

Przykłady. Rozwiąż równania:

1) y’x+y=-xy².

To jest równanie różniczkowe Bernoulliego. Doprowadźmy to do standardowej formy. Aby to zrobić, podziel obie części przez x: y’+y/x=-y². Tutaj p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Ale nie potrzebujemy tego do rozwiązania standardowy widok. Będziemy pracować z formą zapisu podaną w warunku.

1) Zastąpienie y=uv, gdzie u=u(x) i v=v(x) to kilka nowych funkcji x. Wtedy y’=(uv)’=u’v+v’u. Otrzymane wyrażenia podstawiamy pod warunek: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Otwórzmy nawiasy: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Teraz zgrupujmy wyrazy za pomocą v: v+v’ux=-xu²v² (I) (nie dotykamy wyrazu stopniem v, który znajduje się po prawej stronie równania). Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zero: u’x+u=0. To jest równanie z rozdzielnymi zmiennymi u i x. Po rozwiązaniu problemu, znajdziemy Cię. Podstawiamy u=du/dx i rozdzielamy zmienne: x·du/dx=-u. Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez xu≠0:

(znajmując u C, przyjmujemy, że jest ono równe zero).

3) W równaniu (I) podstawiamy =0 i otrzymaną funkcję u=1/x. Mamy równanie: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Po uproszczeniu: v’=-(1/x)·v². Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi v i x. Zastępujemy v’=dv/dx i oddzielamy zmienne: dv/dx=-(1/x)·v². Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez v²≠0:

(wzięliśmy -C, aby mnożąc obie strony przez -1, mogliśmy pozbyć się minusa). Zatem pomnóż przez (-1):

(można by wziąć nie C, ale ln│C│ i w tym przypadku byłoby to v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Upewnijmy się, że jest to równanie Bernoulliego. Dzieląc obie części przez 2, otrzymujemy y’+y=(x/2) y². Tutaj p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Równanie rozwiązujemy metodą Bernoulliego.

1) Zastąpienie y=uv, y’=u’v+v’u. Zastępujemy te wyrażenia pierwotnym warunkiem: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Otwórz nawiasy: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Pogrupujmy teraz terminy zawierające v: +2v’u=xu²v² (II). Wymagamy, aby wyrażenie w nawiasie było równe zero: 2u’+2u=0, stąd u’+u=0. Jest to równanie rozłączne dla u i x. Rozwiążmy to i znajdźmy cię. Podstawiamy u’=du/dx, skąd du/dx=-u. Mnożąc obie strony równania przez dx i dzieląc przez u≠0, otrzymujemy: du/u=-dx. Zintegrujmy:

3) Podstaw w (II) =0 i

Teraz podstawiamy v’=dv/dx i oddzielamy zmienne:

Zintegrujmy:

Lewa strona równości to całka tabelaryczna, całkę po prawej stronie oblicza się za pomocą wzoru całkowania przez części:

Podstawiając znalezione v i du, korzystając ze wzoru na całkowanie przez części, otrzymujemy:

I od

Zróbmy C=-C:

4) Ponieważ y=uv, podstawiamy znalezione funkcje u i v:

3) Całkuj równanie x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Podziel obie strony równania przez x²(x-1)≠0 i przesuń wyraz z y² na prawą stronę:

To jest równanie Bernoulliego

1) Zastąpienie y=uv, y’=u’v+v’u. Jak zwykle zastępujemy te wyrażenia pierwotnym warunkiem: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Stąd x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Grupujemy terminy zawierające v (v² – nie dotykaj):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zeru: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, stąd x²(x-1)u’=x(x-2)u. W równaniu oddzielamy zmienne u i x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez x²(x-1)u≠0:

Po lewej stronie równania znajduje się całka tabelaryczna. Ułamek racjonalny po prawej stronie musisz rozłożyć na proste ułamki:

Przy x=1: 1-2=A·0+B·1, skąd B=-1.

Przy x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, skąd A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Zgodnie z własnościami logarytmów: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, skąd u=x²/(x-1).

3) W równości (III) podstawiamy =0 i u=x²/(x-1). Otrzymujemy: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, zastąp:

zamiast C bierzemy - C, więc mnożąc obie części przez (-1) pozbywamy się minusów:

Sprowadźmy teraz wyrażenia po prawej stronie do wspólnego mianownika i znajdźmy v:

4) Ponieważ y=uv, podstawiając znalezione funkcje u i v, otrzymujemy:

Przykłady autotestu:

1) Upewnijmy się, że jest to równanie Bernoulliego. Dzieląc obie strony przez x, mamy:

1) Zastąpienie y=uv, skąd y’=u’v+v’u. Podstawiamy te y i y’ do stanu pierwotnego:

2) Zgrupuj terminy za pomocą v:

Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zero i znalazło u z tego warunku:

Całkujmy obie strony równania:

3) W równaniu (*) podstawiamy =0 i u=1/x²:

Całkujmy obie strony otrzymanego równania.

Równanie w postaci y' + P(x)y = Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są znanymi funkcjami x, liniowymi względem funkcji y i jej pochodnej y', nazywa się liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu.

Jeśli q(x)=0, równanie nazywa się liniowym równaniem jednorodnym. q(x)=0 – liniowe równanie niejednorodne.

Równanie liniowe sprowadza się do dwóch równań z rozłącznymi zmiennymi za pomocą podstawienia y = u*v, gdzie u = u(x) i v = v(x) są pomocniczymi funkcjami ciągłymi.

Zatem y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

następnie przepisujemy oryginalne równanie do postaci: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

Ponieważ nieznanej funkcji y szuka się jako iloczynu dwóch funkcji, jedną z nich można wybrać dowolnie, drugą można wyznaczyć równaniem (2).

Wybierzmy tak, aby v’ + P(x)*v = 0 (3). W tym celu wystarczy, że v(x) będzie częściowym rozwiązaniem równania (3) (przy C = 0). Znajdźmy to rozwiązanie:

V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)

Podstawiając funkcję (4) do równania (2) otrzymujemy drugie równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego znajdujemy funkcję u(x):

u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; ty = +C (5)

Wreszcie otrzymujemy:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Równanie Bernoulliego:y’ + y = X* y 3

Równanie to ma postać: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są funkcjami ciągłymi.

Jeśli n = 0, wówczas równanie Bernoulliego staje się liniowym równaniem różniczkowym. Jeśli n = 1, równanie staje się równaniem rozłącznym.

Ogólnie, gdy n ≠ 0, 1, równ. Bernoulliego sprowadza się do liniowego równania różniczkowego za pomocą podstawienia: z = y 1- n

Nowe równanie różniczkowe dla funkcji z(x) ma postać: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) i można je rozwiązać w taki sam sposób, jak różniczki liniowe. Równania pierwszego rzędu.

20. Równania różniczkowe wyższych rzędów.

Rozważmy równanie, które nie zawiera jawnie funkcji:

Rząd tego równania zmniejsza się o jeden za pomocą podstawienia:

Rzeczywiście, zatem:

I otrzymujemy równanie, w którym rząd jest obniżany o jeden:

Róż. równania rzędu wyższego od drugiego mają postać i , gdzie są liczbami rzeczywistymi, oraz funkcję k(x) ciągły w przedziale całkowania X.

Nie zawsze da się rozwiązać takie równania analitycznie i zazwyczaj stosuje się metody przybliżone. Jednak w niektórych przypadkach można je znaleźć wspólna decyzja.

Twierdzenie.

Rozwiązanie ogólne y 0 liniowe jednorodne równanie różniczkowe na przedziale X z włączonymi współczynnikami ciągłymi X jest kombinacją liniową N liniowo niezależne rozwiązania cząstkowe LODE z dowolnym stałe współczynniki , to jest .

Twierdzenie.

Wspólna decyzja y liniowa niejednorodna różnica

równania na przedziale X z ciągłymi na tym samym

między X współczynniki i funkcja k(x) reprezentuje kwotę

Gdzie y 0 jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego LODE i pewnym szczególnym rozwiązaniem pierwotnego LODE.

Zatem ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego ze stałymi

szukam współczynników w postaci , gdzie - trochę

jego prywatne rozwiązanie i – rozwiązanie ogólne odpowiadającej różniczki jednorodnej

równania

21. Testy i wydarzenia. Rodzaje wydarzeń. Przykłady.

Testowanie polega na stworzeniu pewnego zestawu warunków wystąpienia zdarzeń. Przykład: rzucanie kostką

Zdarzenie – wystąpienie/niewystąpienie takiego lub innego wyniku testu; wynik testu. Przykład: wyrzucenie liczby 2

Zdarzenie losowe to zdarzenie, które może, ale nie musi wystąpić podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby większej niż 5

Niezawodny - zdarzenie, które nieuchronnie wystąpi podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby większej lub równej 1

Możliwe - zdarzenie, które może nastąpić podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby 6

Niemożliwe - zdarzenie, które nie może wystąpić podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby 7

Niech A będzie jakimś zdarzeniem. Przez zdarzenie przeciwne będziemy rozumieć zdarzenie polegające na niezaistnieniu zdarzenia A. Oznaczenie: Ᾱ. Przykład: A – wyrzucono liczbę 2, Ᾱ – wyrzucono dowolną inną liczbę

Zdarzenia A i B są niezgodne, jeśli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie drugiego w tej samej próbie. Przykład: uzyskanie liczb 1 i 3 na tym samym rzucie.

Zdarzenia A i B nazywane są wspólnymi, jeśli mogą wystąpić w jednej próbie. Przykład: uzyskanie liczby większej niż 2 i liczby 4 w tym samym rzucie.

22. Kompletna grupa wydarzeń. Przykłady.

Pełna grupa zdarzeń - zdarzenia A, B, C, D, ..., L, które uważa się za jedyne możliwe, jeśli w wyniku każdego testu przynajmniej jedno z nich na pewno nastąpi. Przykład: na kostce pojawia się liczba 1, liczba 2, 3, 4, 5, 6.

23. Częstotliwość zdarzeń. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa.

Niech zostanie wykonanych n testów i zdarzenie A wystąpi m razy. Ten stosunek m:n to częstotliwość występowania zdarzenia A.

def. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to stała liczba związana z danym zdarzeniem, wokół której w długich seriach testów oscyluje częstotliwość występowania tego zdarzenia.

Prawdopodobieństwo oblicza się przed eksperymentem, a częstotliwość po nim.

24. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia x to stosunek liczby wyników korzystnych dla zdarzenia A do całkowitej liczby wszystkich równie możliwych, parami niezgodnych i jednoznacznie możliwych wyników eksperymentu. P(A) =

Właściwości prawdopodobieństwa zdarzenia:

Dla dowolnego zdarzenia A 0<=m<=n

Dzieląc każdy wyraz przez n, otrzymujemy dla prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia A: 0<=Р(А) <=1

Jeśli m=0, to zdarzenie jest niemożliwe: P(A)=0

Jeśli m=n, to zdarzenie jest wiarygodne: P(A)=1

Jeśli m

25. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Przykłady.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wymaga uwzględnienia skończonej liczby elementarnych wyników i równie możliwych. Jednak w praktyce często zdarzają się testy, w których liczba możliwych wyników jest nieskończona.

ODA. Jeżeli punkt pojawia się losowo w jednowymiarowym, dwuwymiarowym lub trójwymiarowym obszarze miary S (miarą jest jego długość, pole lub objętość), to prawdopodobieństwo jego pojawienia się w części tego obszaru miary S jest równe Do

gdzie S jest miarą geometryczną wyrażającą całkowitą liczbę wszystko możliwe i równie możliwe wyniki tego testu, a S I– miara wyrażająca liczbę wyników korzystnych dla zdarzenia A.

Przykład 1. Okrąg o promieniu R umieszczono w mniejszym okręgu o promieniu r. Znajdź prawdopodobieństwo, że punkt wrzucony losowo do większego okręgu również wpadnie do małego okręgu.

Przykład 2. Niech odcinek o długości l będzie zawarty w odcinku o długości L. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia A „losowo rzucony punkt spadnie na odcinek o długości l”.

Przykład 3. W okręgu wybierany jest losowo punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jego odległość od środka okręgu jest większa niż połowa?

Przykład 4. Obie osoby umówiły się na spotkanie w określonym miejscu między drugą a trzecią po południu. Pierwsza osoba, która przyjdzie, czeka na drugą osobę przez 10 minut, a następnie wychodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania tych osób, jeśli każda z nich może przybyć w dowolnym momencie w określonej godzinie, niezależnie od drugiej?

26. Elementy kombinatoryki: lokowanie, permutacja, kombinacje.

1) Permutacja nazywa się porządkiem ustalonym w skończonym zbiorze.

Liczbę wszystkich różnych permutacji oblicza się ze wzoru

2) Umiejscowienie z N elementy wg M nazwać cokolwiek uporządkowany podzbiór głównego zbioru zawierający m elementów.

3) Kombinacja z N elementy wg M nazwać cokolwiek nieporządny podzbiór głównego zbioru zawierającego elementy.

Nazywa się równanie różniczkowe y" +a 0 (x)y=b(x)y n Równanie Bernoulliego.
Ponieważ przy n=0 otrzymujemy równanie liniowe, a przy n=1 - przy zmiennych rozłącznych, zakładamy, że n ≠ 0 i n ≠ 1. Podzielimy obie strony (1) przez y n. Następnie, stawiając , mamy . Zastępując to wyrażenie, otrzymujemy , lub, co jest tym samym, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Jest to równanie liniowe, które umiemy rozwiązać.

Cel usługi. Aby sprawdzić rozwiązanie, można skorzystać z kalkulatora internetowego Równania różniczkowe Bernoulliego.

=

Przykład 1. Znajdź ogólne rozwiązanie równania y" + 2xy = 2xy 3. To jest równanie Bernoulliego dla n=3. Dzieląc obie strony równania przez y 3 otrzymujemy. Dokonaj zmiany. Następnie i dlatego równanie zostaje zapisane jako -z " + 4xz = 4x. Rozwiązując to równanie metodą zmiany dowolnej stałej, otrzymujemy Gdzie lub, co jest takie samo, .

Przykład 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Podziel przez y 2
y"/r 2 + 1/r = -1

Wykonujemy wymianę:
z=1/y n-1 , tj. z = 1/rok 2-1 = 1/rok
z = 1/r
z"= -y"/y 2

Otrzymujemy: -z" + z = -1 lub z" - z = 1

Przykład 3. xy’+2y+x 5 y 3 mi x =0
Rozwiązanie.
a) Rozwiązanie poprzez równanie Bernoulliego.
Przedstawmy to w postaci: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . To jest równanie Bernoulliego dla n=3. Dzieląc obie strony równania przez y 3 otrzymujemy: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Dokonujemy podstawienia: z=1/y 2. Wtedy z"=-2/y 3 i dlatego równanie przepisuje się w postaci : -xz"/2+2z=-x 5 e x. Jest to równanie niejednorodne. Rozważmy odpowiednie równanie jednorodne: -xz"/2+2z=0
1. Rozwiązując to otrzymujemy: z"=4z/x

Całkując otrzymujemy:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Szukamy teraz rozwiązania pierwotnego równania w postaci: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 mi x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x lub C(x)" = 2e x . Całkując otrzymujemy: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Z warunku y(x)=C(x)y otrzymujemy: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) lub y = Cx 4 +2x 4 e x. Ponieważ z=1/y 2, otrzymujemy: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Równanie Bernoulliego jest jednym z najbardziej znanych nieliniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. Jest to napisane w formie

Gdzie A(X) I B(X) są funkcjami ciągłymi. Jeśli M= 0, wówczas równanie Bernoulliego staje się liniowym równaniem różniczkowym. W przypadku gdy M= 1, równanie staje się równaniem rozłącznym. Ogólnie kiedy M≠ 0,1, równanie Bernoulliego sprowadza się do liniowego równania różniczkowego za pomocą podstawienia

Nowe równanie różniczkowe funkcji z(X) ma postać

i można je rozwiązać metodami opisanymi na stronie Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu.

METODA BERNOULEGO.

Rozważane równanie można rozwiązać metodą Bernoulliego. Aby to zrobić, szukamy rozwiązania pierwotnego równania w postaci iloczynu dwóch funkcji: gdzie ty, w- funkcje z X. Różniczkowanie: Zastąp pierwotne równanie (1): (2) Jak w Weźmy dowolne niezerowe rozwiązanie równania: (3) Równanie (3) jest równaniem z rozłącznymi zmiennymi. Po znalezieniu konkretnego rozwiązania v = v(x), zamień go na (2). Ponieważ spełnia równanie (3), wyrażenie w nawiasach przyjmuje wartość zero. Otrzymujemy: Jest to również równanie rozłączne. Znajdujemy jego rozwiązanie ogólne, a wraz z nim rozwiązanie pierwotnego równania y = UV.

64. Równanie różnic całkowitych. Czynnik integrujący. Metody rozwiązania

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci

zwany równanie różnic całkowitych, jeśli jego lewa strona reprezentuje całkowitą różnicę jakiejś funkcji, tj.

Twierdzenie. Aby równanie (1) było równaniem w różniczkach całkowitych, konieczne i wystarczające jest, aby w jakiejś prosto powiązanej dziedzinie zmian zmiennych warunek był spełniony

Całka ogólna równania (1) ma postać lub

Przykład 1. Rozwiązać równanie różniczkowe.

Rozwiązanie. Sprawdźmy, czy to równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym:

a więc to jest warunek (2) jest spełniony. Zatem to równanie jest równaniem różnic całkowitych i

dlatego gdzie jest nadal niezdefiniowaną funkcją.

Całkując, otrzymujemy . Pochodna cząstkowa znalezionej funkcji musi być równa, co daje skąd tak, że Zatem,.

Całka ogólna pierwotnego równania różniczkowego.

Całkując niektóre równania różniczkowe, wyrazy można pogrupować w taki sposób, aby uzyskać łatwo całkowalne kombinacje.

65. Różniczkowe równania liniowe zwyczajne wyższych rzędów: jednorodne i niejednorodne. Liniowy operator różniczkowy, jego własności (z dowodem).

Liniowy operator różniczkowy i jego własności. Zbiór funkcji mających na przedziale ( A , B ) nie mniej N pochodne, tworzy przestrzeń liniową. Weź pod uwagę operatora L N (y ), który wyświetla funkcję y (X ), mając pochodne, na funkcję mającą k - N pochodne.

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie liniowe względem nieznanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami x, ciągłymi w obszarze, w którym równanie (1) wymaga całkowania.

Jeżeli q(x)\equiv0 , to wywoływane jest równanie (1). liniowy jednorodny. Jest to równanie rozłączne i ma rozwiązanie ogólne

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Można znaleźć ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego metoda zmiany dowolnej stałej, co polega na tym, że rozwiązania równania (1) szuka się w postaci

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), gdzie C(x) jest nową nieznaną funkcją x.

Przykład 1. Rozwiąż równanie y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji stałej. Rozważmy jednorodne równanie y"+2xy=0 odpowiadające temu niejednorodnemu równaniu. Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać y=Ce^(-x^2) .

Szukamy ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y=C(x)e^(-x^2), gdzie C(x) jest nieznaną funkcją x. Podstawiając otrzymujemy C"(x)=2x, skąd C(x)=x^2+C. Zatem ogólnym rozwiązaniem niejednorodnego równania będzie y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , gdzie C - stała całkowania.

Komentarz. Może się okazać, że równanie różniczkowe jest liniowe w funkcji x w funkcji y. Normalna postać takiego równania to

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Przykład 2. Rozwiązać równanie \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Rozwiązanie. To równanie jest liniowe, jeśli rozważymy x jako funkcję y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Stosujemy metodę wariacji dowolnej stałej. Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

które jest równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(stała).

Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci x=C(y)e^(\sin(y)), gdzie C(y) jest nieznaną funkcją y. Podstawiając, otrzymujemy

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y Lub C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Stąd mamy całkowanie przez części

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(wyrównane)

Więc,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Podstawiając to równanie do x=C(y)e^(\sin(y)) otrzymujemy ogólne rozwiązanie pierwotnego równania, a co za tym idzie tego równania:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Oryginalne równanie można również zintegrować w następujący sposób. Wierzymy

Y=u(x)v(x),

gdzie u(x) i v(x) są nieznanymi funkcjami x, z których jedną, na przykład v(x), można wybrać dowolnie.

Podstawiając y=u(x)v(x) do , po transformacji otrzymujemy

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Wyznaczając v(x) z warunku v"+pv=0, z vu"+(pv+v")u=q(x) znajdujemy funkcję u(x) i w konsekwencji rozwiązanie y=uv równanie \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) możemy przyjąć dowolne częste rozwiązanie równania v"+pv=0,~v\not\równoważnik0.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Rozwiązanie. Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci y=u(x)v(x) ; mamy y"=u"v+uv. Podstawiając wyrażenie y i y" do pierwotnego równania, otrzymamy

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) Lub x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Funkcję v=v(x) znajdujemy z warunku x(x-1)v"+v=0. Biorąc dowolne rozwiązanie ostatniego równania, np. v=\frac(x)(x-1) i podstawiając go, otrzymujemy równanie u"=2x-1, z którego znajdujemy funkcję u(x)=x^2-x+C. Dlatego ogólne rozwiązanie równania x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) będzie

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), Lub y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Korzystając z warunku początkowego y|_(x=2)=4, otrzymujemy równanie na znalezienie C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, skąd C=0 ; więc rozwiązaniem postawionego problemu Cauchy'ego będzie funkcja y=x^2.

Przykład 4. Wiadomo, że istnieje związek pomiędzy prądem i a siłą elektromotoryczną E w obwodzie mającym rezystancję R i indukcyjność własną L E=Ri+L\frac(di)(dt), gdzie R i L są stałymi. Jeśli uznamy E za funkcję czasu t, otrzymamy liniowe niejednorodne równanie dla prądu i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Znajdź aktualną siłę i(t) dla przypadku, gdy E=E_0=\text(stała) i i(0)=I_0 .

Rozwiązanie. Mamy \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Korzystając z warunku początkowego (13), otrzymujemy z C=I_0-\frac(E_0)(R), więc pożądane rozwiązanie będzie

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

To pokazuje, że w chwili t\to+\infty natężenie prądu i(t) dąży do stałej wartości \frac(E_0)(R) .

Przykład 5. Podana jest rodzina C_\alfa krzywych całkowych liniowego niejednorodnego równania y"+p(x)y=q(x).

Pokaż, że styczne w odpowiednich punktach krzywych C_\alpha określonych równaniem liniowym przecinają się w jednym punkcie (rys. 13).

Rozwiązanie. Rozważmy styczną do dowolnej krzywej C_\alfa w punkcie M(x,y). Równanie stycznej w punkcie M(x,y) ma postać

\eta-q(x)(\xi-x)=y, gdzie \xi,\eta są bieżącymi współrzędnymi punktu stycznego.

Z definicji w odpowiednich punktach x jest stałe, a y jest zmienne. Biorąc dowolne dwie styczne do prostych C_\alpha w odpowiednich punktach, dla współrzędnych punktu S ich przecięcia otrzymujemy

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To pokazuje, że wszystkie styczne do krzywych C_\alpha w odpowiednich punktach (x jest stałe) przecinają się w tym samym punkcie

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminując argument x w systemie, otrzymujemy równanie miejsca punktów S\dwukropek f(\xi,\eta)=0.

Przykład 6. Znajdź rozwiązanie równania y"-y=\cos(x)-\sin(x), spełniając warunek: y jest ograniczone do y\to+\infty .

Rozwiązanie. Ogólne rozwiązanie tego równania to y=Ce^x+\sin(x) . Każde rozwiązanie równania otrzymanego z rozwiązania ogólnego dla C\ne0 będzie nieograniczone, ponieważ dla x\to+\infty funkcja \sin(x) jest ograniczona i e^x\to+\infty . Wynika z tego, że to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie y=\sin(x) , ograniczone w x\to+\infty , które otrzymuje się z ogólnego rozwiązania w C=0 .

Równanie Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, gdzie n\ne0;1 (dla n=0 i n=1 to równanie jest liniowe).

Korzystanie z zamiany zmiennych z=\frac(1)(y^(n-1)) Równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego i całkuje jako równanie liniowe.

Przykład 7. Rozwiąż równanie Bernoulliego y"-xy=-xy^3.

Rozwiązanie. Podziel obie strony równania przez y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Dokonywanie zmiennej zmiany \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", Gdzie \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po podstawieniu ostatnie równanie zamienia się w równanie liniowe

-\frac(z")(2)-xz=-x lub z"+2xz=2x, którego ogólne rozwiązanie to z=1+Ce^(-x^2).

Stąd otrzymujemy całkę ogólną tego równania

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) Lub y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentarz. Równanie Bernoulliego można również całkować metodą wariacji stałej, np. równaniem liniowym, i stosując podstawienie y(x)=u(x)v(x).

Przykład 8. Rozwiąż równanie Bernoulliego xy"+y=y^2\ln(x). .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji dowolnej stałej. Ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego xy"+y=0 ma postać y=\frac(C)(x). Ogólnego rozwiązania równania szukamy w postaci y=\frac(C(x)) (x), gdzie C(x) - nowa nieznana funkcja. Podstawiając do pierwotnego równania, mamy

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Aby znaleźć funkcję C(x), otrzymujemy równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego oddzielając zmienne i całkując, znajdujemy

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

A więc ogólne rozwiązanie pierwotnego równania y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Niektóre równania nieliniowe pierwszego rzędu można sprowadzić do równań liniowych lub równań Bernoulliego, korzystając z pomyślnie znalezionej zmiany zmiennych.

Przykład 9. Rozwiązać równanie y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dzielenie obu stron równania przez 2\cos^2\frac(y)(2), otrzymujemy \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nazwaoperatora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Wymiana \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje to równanie do liniowego \frac(dz)(dx)+z=-x, którego ogólne rozwiązanie to z=1-x+Ce^(-x) .

Zastępując z jego wyrażeniem w postaci y, otrzymujemy całkę ogólną tego równania \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

W niektórych równaniach pożądana funkcja y(x) może znajdować się pod znakiem całki. W takich przypadkach czasami można sprowadzić to równanie do równania różniczkowego poprzez różniczkowanie.

Przykład 10. Rozwiązać równanie x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Rozwiązanie. Różniczkując obie strony tego równania względem x, otrzymujemy

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) lub Źródło informacji