Równanie różniczkowe Bernoulliego jest równaniem postaci
gdzie n≠0,n≠1.
Równanie to można przekształcić za pomocą podstawienia
Na praktyce równanie różniczkowe Bernoulli zwykle nie prowadzi do równania liniowego, ale jest natychmiast rozwiązywany przy użyciu tych samych metod, co równanie liniowe - albo metodą Bernoulliego, albo metodą wariacji dowolnej stałej.
Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać równanie różniczkowe Bernoulliego za pomocą podstawienia y=uv (metoda Bernoulliego). Schemat rozwiązania jest taki sam jak dla .
Przykłady. Rozwiąż równania:
1) y’x+y=-xy².
To jest równanie różniczkowe Bernoulliego. Doprowadźmy to do standardowej formy. Aby to zrobić, podziel obie części przez x: y’+y/x=-y². Tutaj p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Ale nie potrzebujemy tego do rozwiązania standardowy widok. Będziemy pracować z formą zapisu podaną w warunku.
1) Zastąpienie y=uv, gdzie u=u(x) i v=v(x) to kilka nowych funkcji x. Wtedy y’=(uv)’=u’v+v’u. Otrzymane wyrażenia podstawiamy pod warunek: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Otwórzmy nawiasy: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Teraz zgrupujmy wyrazy za pomocą v: v+v’ux=-xu²v² (I) (nie dotykamy wyrazu stopniem v, który znajduje się po prawej stronie równania). Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zero: u’x+u=0. To jest równanie z rozdzielnymi zmiennymi u i x. Po rozwiązaniu problemu, znajdziemy Cię. Podstawiamy u=du/dx i rozdzielamy zmienne: x·du/dx=-u. Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez xu≠0:
(znajmując u C, przyjmujemy, że jest ono równe zero).
3) W równaniu (I) podstawiamy =0 i otrzymaną funkcję u=1/x. Mamy równanie: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Po uproszczeniu: v’=-(1/x)·v². Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi v i x. Zastępujemy v’=dv/dx i oddzielamy zmienne: dv/dx=-(1/x)·v². Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez v²≠0:
(wzięliśmy -C, aby mnożąc obie strony przez -1, mogliśmy pozbyć się minusa). Zatem pomnóż przez (-1):
(można by wziąć nie C, ale ln│C│ i w tym przypadku byłoby to v=1/ln│Cx│).
2) 2y’+2y=xy².
Upewnijmy się, że jest to równanie Bernoulliego. Dzieląc obie części przez 2, otrzymujemy y’+y=(x/2) y². Tutaj p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Równanie rozwiązujemy metodą Bernoulliego.
1) Zastąpienie y=uv, y’=u’v+v’u. Zastępujemy te wyrażenia pierwotnym warunkiem: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Otwórz nawiasy: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Pogrupujmy teraz terminy zawierające v: +2v’u=xu²v² (II). Wymagamy, aby wyrażenie w nawiasie było równe zero: 2u’+2u=0, stąd u’+u=0. Jest to równanie rozłączne dla u i x. Rozwiążmy to i znajdźmy cię. Podstawiamy u’=du/dx, skąd du/dx=-u. Mnożąc obie strony równania przez dx i dzieląc przez u≠0, otrzymujemy: du/u=-dx. Zintegrujmy:
3) Podstaw w (II) =0 i
Teraz podstawiamy v’=dv/dx i oddzielamy zmienne:
Zintegrujmy:
Lewa strona równości to całka tabelaryczna, całkę po prawej stronie oblicza się za pomocą wzoru całkowania przez części:
Podstawiając znalezione v i du, korzystając ze wzoru na całkowanie przez części, otrzymujemy:
I od
Zróbmy C=-C:
4) Ponieważ y=uv, podstawiamy znalezione funkcje u i v:
3) Całkuj równanie x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Podziel obie strony równania przez x²(x-1)≠0 i przesuń wyraz z y² na prawą stronę:
To jest równanie Bernoulliego
1) Zastąpienie y=uv, y’=u’v+v’u. Jak zwykle zastępujemy te wyrażenia pierwotnym warunkiem: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Stąd x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Grupujemy terminy zawierające v (v² – nie dotykaj):
v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zeru: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, stąd x²(x-1)u’=x(x-2)u. W równaniu oddzielamy zmienne u i x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez x²(x-1)u≠0:
Po lewej stronie równania znajduje się całka tabelaryczna. Ułamek racjonalny po prawej stronie musisz rozłożyć na proste ułamki:
Przy x=1: 1-2=A·0+B·1, skąd B=-1.
Przy x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, skąd A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Zgodnie z własnościami logarytmów: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, skąd u=x²/(x-1).
3) W równości (III) podstawiamy =0 i u=x²/(x-1). Otrzymujemy: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, zastąp:
zamiast C bierzemy - C, więc mnożąc obie części przez (-1) pozbywamy się minusów:
Sprowadźmy teraz wyrażenia po prawej stronie do wspólnego mianownika i znajdźmy v:
4) Ponieważ y=uv, podstawiając znalezione funkcje u i v, otrzymujemy:
Przykłady autotestu:
1) Upewnijmy się, że jest to równanie Bernoulliego. Dzieląc obie strony przez x, mamy:
1) Zastąpienie y=uv, skąd y’=u’v+v’u. Podstawiamy te y i y’ do stanu pierwotnego:
2) Zgrupuj terminy za pomocą v:
Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zero i znalazło u z tego warunku:
Całkujmy obie strony równania:
3) W równaniu (*) podstawiamy =0 i u=1/x²:
Całkujmy obie strony otrzymanego równania.
Równanie w postaci y' + P(x)y = Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są znanymi funkcjami x, liniowymi względem funkcji y i jej pochodnej y', nazywa się liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu.
Jeśli q(x)=0, równanie nazywa się liniowym równaniem jednorodnym. q(x)=0 – liniowe równanie niejednorodne.
Równanie liniowe sprowadza się do dwóch równań z rozłącznymi zmiennymi za pomocą podstawienia y = u*v, gdzie u = u(x) i v = v(x) są pomocniczymi funkcjami ciągłymi.
Zatem y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),
następnie przepisujemy oryginalne równanie do postaci: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).
Ponieważ nieznanej funkcji y szuka się jako iloczynu dwóch funkcji, jedną z nich można wybrać dowolnie, drugą można wyznaczyć równaniem (2).
Wybierzmy tak, aby v’ + P(x)*v = 0 (3). W tym celu wystarczy, że v(x) będzie częściowym rozwiązaniem równania (3) (przy C = 0). Znajdźmy to rozwiązanie:
V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)
Podstawiając funkcję (4) do równania (2) otrzymujemy drugie równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego znajdujemy funkcję u(x):
u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; ty = +C (5)
Wreszcie otrzymujemy:
y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)
Równanie Bernoulliego:y’ + y = X* y 3
Równanie to ma postać: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są funkcjami ciągłymi.
Jeśli n = 0, wówczas równanie Bernoulliego staje się liniowym równaniem różniczkowym. Jeśli n = 1, równanie staje się równaniem rozłącznym.
Ogólnie, gdy n ≠ 0, 1, równ. Bernoulliego sprowadza się do liniowego równania różniczkowego za pomocą podstawienia: z = y 1- n
Nowe równanie różniczkowe dla funkcji z(x) ma postać: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) i można je rozwiązać w taki sam sposób, jak różniczki liniowe. Równania pierwszego rzędu.
20. Równania różniczkowe wyższych rzędów.
Rozważmy równanie, które nie zawiera jawnie funkcji:
Rząd tego równania zmniejsza się o jeden za pomocą podstawienia:
Rzeczywiście, zatem:
I otrzymujemy równanie, w którym rząd jest obniżany o jeden:
Róż. równania rzędu wyższego od drugiego mają postać i , gdzie są liczbami rzeczywistymi, oraz funkcję k(x) ciągły w przedziale całkowania X.
Nie zawsze da się rozwiązać takie równania analitycznie i zazwyczaj stosuje się metody przybliżone. Jednak w niektórych przypadkach można je znaleźć wspólna decyzja.
Twierdzenie.
Rozwiązanie ogólne y 0 liniowe jednorodne równanie różniczkowe na przedziale X z włączonymi współczynnikami ciągłymi X jest kombinacją liniową N liniowo niezależne rozwiązania cząstkowe LODE z dowolnym stałe współczynniki , to jest .
Twierdzenie.
Wspólna decyzja y liniowa niejednorodna różnica
równania na przedziale X z ciągłymi na tym samym
między X współczynniki i funkcja k(x) reprezentuje kwotę
Gdzie y 0 jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego LODE i pewnym szczególnym rozwiązaniem pierwotnego LODE.
Zatem ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego ze stałymi
szukam współczynników w postaci , gdzie - trochę
jego prywatne rozwiązanie i – rozwiązanie ogólne odpowiadającej różniczki jednorodnej
równania
21. Testy i wydarzenia. Rodzaje wydarzeń. Przykłady.
Testowanie polega na stworzeniu pewnego zestawu warunków wystąpienia zdarzeń. Przykład: rzucanie kostką
Zdarzenie – wystąpienie/niewystąpienie takiego lub innego wyniku testu; wynik testu. Przykład: wyrzucenie liczby 2
Zdarzenie losowe to zdarzenie, które może, ale nie musi wystąpić podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby większej niż 5
Niezawodny - zdarzenie, które nieuchronnie wystąpi podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby większej lub równej 1
Możliwe - zdarzenie, które może nastąpić podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby 6
Niemożliwe - zdarzenie, które nie może wystąpić podczas danego testu. Przykład: wyrzucenie liczby 7
Niech A będzie jakimś zdarzeniem. Przez zdarzenie przeciwne będziemy rozumieć zdarzenie polegające na niezaistnieniu zdarzenia A. Oznaczenie: Ᾱ. Przykład: A – wyrzucono liczbę 2, Ᾱ – wyrzucono dowolną inną liczbę
Zdarzenia A i B są niezgodne, jeśli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie drugiego w tej samej próbie. Przykład: uzyskanie liczb 1 i 3 na tym samym rzucie.
Zdarzenia A i B nazywane są wspólnymi, jeśli mogą wystąpić w jednej próbie. Przykład: uzyskanie liczby większej niż 2 i liczby 4 w tym samym rzucie.
22. Kompletna grupa wydarzeń. Przykłady.
Pełna grupa zdarzeń - zdarzenia A, B, C, D, ..., L, które uważa się za jedyne możliwe, jeśli w wyniku każdego testu przynajmniej jedno z nich na pewno nastąpi. Przykład: na kostce pojawia się liczba 1, liczba 2, 3, 4, 5, 6.
23. Częstotliwość zdarzeń. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa.
Niech zostanie wykonanych n testów i zdarzenie A wystąpi m razy. Ten stosunek m:n to częstotliwość występowania zdarzenia A.
def. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to stała liczba związana z danym zdarzeniem, wokół której w długich seriach testów oscyluje częstotliwość występowania tego zdarzenia.
Prawdopodobieństwo oblicza się przed eksperymentem, a częstotliwość po nim.
24. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa zdarzenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia x to stosunek liczby wyników korzystnych dla zdarzenia A do całkowitej liczby wszystkich równie możliwych, parami niezgodnych i jednoznacznie możliwych wyników eksperymentu. P(A) =
Właściwości prawdopodobieństwa zdarzenia:
Dla dowolnego zdarzenia A 0<=m<=n
Dzieląc każdy wyraz przez n, otrzymujemy dla prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia A: 0<=Р(А) <=1
Jeśli m=0, to zdarzenie jest niemożliwe: P(A)=0
Jeśli m=n, to zdarzenie jest wiarygodne: P(A)=1
Jeśli m 25. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Przykłady. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wymaga uwzględnienia skończonej liczby elementarnych wyników i równie możliwych. Jednak w praktyce często zdarzają się testy, w których liczba możliwych wyników jest nieskończona. ODA. Jeżeli punkt pojawia się losowo w jednowymiarowym, dwuwymiarowym lub trójwymiarowym obszarze miary S (miarą jest jego długość, pole lub objętość), to prawdopodobieństwo jego pojawienia się w części tego obszaru miary S jest równe Do gdzie S jest miarą geometryczną wyrażającą całkowitą liczbę wszystko możliwe i równie możliwe wyniki tego testu, a S I– miara wyrażająca liczbę wyników korzystnych dla zdarzenia A. Przykład 1. Okrąg o promieniu R umieszczono w mniejszym okręgu o promieniu r. Znajdź prawdopodobieństwo, że punkt wrzucony losowo do większego okręgu również wpadnie do małego okręgu. Przykład 2. Niech odcinek o długości l będzie zawarty w odcinku o długości L. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia A „losowo rzucony punkt spadnie na odcinek o długości l”. Przykład 3. W okręgu wybierany jest losowo punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jego odległość od środka okręgu jest większa niż połowa? Przykład 4. Obie osoby umówiły się na spotkanie w określonym miejscu między drugą a trzecią po południu. Pierwsza osoba, która przyjdzie, czeka na drugą osobę przez 10 minut, a następnie wychodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania tych osób, jeśli każda z nich może przybyć w dowolnym momencie w określonej godzinie, niezależnie od drugiej? 26. Elementy kombinatoryki: lokowanie, permutacja, kombinacje. 1) Permutacja nazywa się porządkiem ustalonym w skończonym zbiorze. Liczbę wszystkich różnych permutacji oblicza się ze wzoru 2) Umiejscowienie z N elementy wg M nazwać cokolwiek uporządkowany
podzbiór głównego zbioru zawierający m elementów. 3) Kombinacja z N elementy wg M nazwać cokolwiek nieporządny
podzbiór głównego zbioru zawierającego elementy. Nazywa się równanie różniczkowe y" +a 0 (x)y=b(x)y n Równanie Bernoulliego.
Cel usługi. Aby sprawdzić rozwiązanie, można skorzystać z kalkulatora internetowego Równania różniczkowe Bernoulliego. Przykład 1. Znajdź ogólne rozwiązanie równania y" + 2xy = 2xy 3. To jest równanie Bernoulliego dla n=3. Dzieląc obie strony równania przez y 3 otrzymujemy. Dokonaj zmiany. Następnie i dlatego równanie zostaje zapisane jako -z " + 4xz = 4x. Rozwiązując to równanie metodą zmiany dowolnej stałej, otrzymujemy Gdzie lub, co jest takie samo, . Przykład 2. y"+y+y 2 =0 Podziel przez y 2 Wykonujemy wymianę: Otrzymujemy: -z" + z = -1 lub z" - z = 1 Przykład 3. xy’+2y+x 5 y 3 mi x =0 Równanie Bernoulliego jest jednym z najbardziej znanych nieliniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. Jest to napisane w formie Gdzie A(X) I B(X) są funkcjami ciągłymi. Jeśli M= 0, wówczas równanie Bernoulliego staje się liniowym równaniem różniczkowym. W przypadku gdy M= 1, równanie staje się równaniem rozłącznym. Ogólnie kiedy M≠ 0,1, równanie Bernoulliego sprowadza się do liniowego równania różniczkowego za pomocą podstawienia Nowe równanie różniczkowe funkcji z(X) ma postać i można je rozwiązać metodami opisanymi na stronie Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. METODA BERNOULEGO. Rozważane równanie można rozwiązać metodą Bernoulliego. Aby to zrobić, szukamy rozwiązania pierwotnego równania w postaci iloczynu dwóch funkcji: gdzie ty, w- funkcje z X. Różniczkowanie: Zastąp pierwotne równanie (1): (2) Jak w Weźmy dowolne niezerowe rozwiązanie równania: (3) Równanie (3) jest równaniem z rozłącznymi zmiennymi. Po znalezieniu konkretnego rozwiązania v = v(x), zamień go na (2). Ponieważ spełnia równanie (3), wyrażenie w nawiasach przyjmuje wartość zero. Otrzymujemy: Jest to również równanie rozłączne. Znajdujemy jego rozwiązanie ogólne, a wraz z nim rozwiązanie pierwotnego równania y = UV. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci zwany równanie różnic całkowitych, jeśli jego lewa strona reprezentuje całkowitą różnicę jakiejś funkcji, tj. Twierdzenie. Aby równanie (1) było równaniem w różniczkach całkowitych, konieczne i wystarczające jest, aby w jakiejś prosto powiązanej dziedzinie zmian zmiennych warunek był spełniony Całka ogólna równania (1) ma postać lub Przykład 1.
Rozwiązać równanie różniczkowe.
Rozwiązanie.
Sprawdźmy, czy to równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym:
a więc to jest warunek (2) jest spełniony. Zatem to równanie jest równaniem różnic całkowitych i
dlatego gdzie jest nadal niezdefiniowaną funkcją.
Całkując, otrzymujemy . Pochodna cząstkowa znalezionej funkcji musi być równa, co daje skąd tak, że Zatem,.
Całka ogólna pierwotnego równania różniczkowego.
Całkując niektóre równania różniczkowe, wyrazy można pogrupować w taki sposób, aby uzyskać łatwo całkowalne kombinacje.
Liniowy operator różniczkowy i jego własności. Zbiór funkcji mających na przedziale ( A
, B
) nie mniej N
pochodne, tworzy przestrzeń liniową. Weź pod uwagę operatora L
N
(y
), który wyświetla funkcję y
(X
), mając pochodne, na funkcję mającą k
- N
pochodne. Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie liniowe względem nieznanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x), gdzie p(x) i q(x) są funkcjami x, ciągłymi w obszarze, w którym równanie (1) wymaga całkowania. Jeżeli q(x)\equiv0 , to wywoływane jest równanie (1). liniowy jednorodny. Jest to równanie rozłączne i ma rozwiązanie ogólne Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!, Można znaleźć ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego metoda zmiany dowolnej stałej, co polega na tym, że rozwiązania równania (1) szuka się w postaci Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), gdzie C(x) jest nową nieznaną funkcją x. Przykład 1. Rozwiąż równanie y"+2xy=2xe^(-x^2) . Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji stałej. Rozważmy jednorodne równanie y"+2xy=0 odpowiadające temu niejednorodnemu równaniu. Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać y=Ce^(-x^2) . Szukamy ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y=C(x)e^(-x^2), gdzie C(x) jest nieznaną funkcją x. Podstawiając otrzymujemy C"(x)=2x, skąd C(x)=x^2+C. Zatem ogólnym rozwiązaniem niejednorodnego równania będzie y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , gdzie C - stała całkowania. Komentarz. Może się okazać, że równanie różniczkowe jest liniowe w funkcji x w funkcji y. Normalna postać takiego równania to \frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y). Przykład 2. Rozwiązać równanie \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y). Rozwiązanie. To równanie jest liniowe, jeśli rozważymy x jako funkcję y: \frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y). Stosujemy metodę wariacji dowolnej stałej. Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne \frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0, które jest równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(stała). Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci x=C(y)e^(\sin(y)), gdzie C(y) jest nieznaną funkcją y. Podstawiając, otrzymujemy C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y Lub C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y. Stąd mamy całkowanie przez części \begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(wyrównane) Więc, C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C. X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y)) Oryginalne równanie można również zintegrować w następujący sposób. Wierzymy Y=u(x)v(x), gdzie u(x) i v(x) są nieznanymi funkcjami x, z których jedną, na przykład v(x), można wybrać dowolnie. Podstawiając y=u(x)v(x) do , po transformacji otrzymujemy Vu"+(pv+v")u=q(x). Wyznaczając v(x) z warunku v"+pv=0, z vu"+(pv+v")u=q(x) znajdujemy funkcję u(x) i w konsekwencji rozwiązanie y=uv równanie \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) możemy przyjąć dowolne częste rozwiązanie równania v"+pv=0,~v\not\równoważnik0. Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4. Rozwiązanie. Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci y=u(x)v(x) ; mamy y"=u"v+uv. Podstawiając wyrażenie y i y" do pierwotnego równania, otrzymamy X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) Lub x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1) Funkcję v=v(x) znajdujemy z warunku x(x-1)v"+v=0. Biorąc dowolne rozwiązanie ostatniego równania, np. v=\frac(x)(x-1) i podstawiając go, otrzymujemy równanie u"=2x-1, z którego znajdujemy funkcję u(x)=x^2-x+C. Dlatego ogólne rozwiązanie równania x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) będzie Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), Lub y=\frac(Cx)(x-1)+x^2. Korzystając z warunku początkowego y|_(x=2)=4, otrzymujemy równanie na znalezienie C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, skąd C=0 ; więc rozwiązaniem postawionego problemu Cauchy'ego będzie funkcja y=x^2. Przykład 4. Wiadomo, że istnieje związek pomiędzy prądem i a siłą elektromotoryczną E w obwodzie mającym rezystancję R i indukcyjność własną L E=Ri+L\frac(di)(dt), gdzie R i L są stałymi. Jeśli uznamy E za funkcję czasu t, otrzymamy liniowe niejednorodne równanie dla prądu i: \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L). Znajdź aktualną siłę i(t) dla przypadku, gdy E=E_0=\text(stała) i i(0)=I_0 . Rozwiązanie. Mamy \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Korzystając z warunku początkowego (13), otrzymujemy z C=I_0-\frac(E_0)(R), więc pożądane rozwiązanie będzie I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t). To pokazuje, że w chwili t\to+\infty natężenie prądu i(t) dąży do stałej wartości \frac(E_0)(R) . Przykład 5. Podana jest rodzina C_\alfa krzywych całkowych liniowego niejednorodnego równania y"+p(x)y=q(x). Pokaż, że styczne w odpowiednich punktach krzywych C_\alpha określonych równaniem liniowym przecinają się w jednym punkcie (rys. 13). Rozwiązanie. Rozważmy styczną do dowolnej krzywej C_\alfa w punkcie M(x,y). Równanie stycznej w punkcie M(x,y) ma postać \eta-q(x)(\xi-x)=y, gdzie \xi,\eta są bieżącymi współrzędnymi punktu stycznego. Z definicji w odpowiednich punktach x jest stałe, a y jest zmienne. Biorąc dowolne dwie styczne do prostych C_\alpha w odpowiednich punktach, dla współrzędnych punktu S ich przecięcia otrzymujemy \xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)). To pokazuje, że wszystkie styczne do krzywych C_\alpha w odpowiednich punktach (x jest stałe) przecinają się w tym samym punkcie S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right). Eliminując argument x w systemie, otrzymujemy równanie miejsca punktów S\dwukropek f(\xi,\eta)=0. Przykład 6. Znajdź rozwiązanie równania y"-y=\cos(x)-\sin(x), spełniając warunek: y jest ograniczone do y\to+\infty . Rozwiązanie. Ogólne rozwiązanie tego równania to y=Ce^x+\sin(x) . Każde rozwiązanie równania otrzymanego z rozwiązania ogólnego dla C\ne0 będzie nieograniczone, ponieważ dla x\to+\infty funkcja \sin(x) jest ograniczona i e^x\to+\infty . Wynika z tego, że to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie y=\sin(x) , ograniczone w x\to+\infty , które otrzymuje się z ogólnego rozwiązania w C=0 . Równanie różniczkowe Bernoulliego wygląda jak \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, gdzie n\ne0;1 (dla n=0 i n=1 to równanie jest liniowe). Korzystanie z zamiany zmiennych z=\frac(1)(y^(n-1)) Równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego i całkuje jako równanie liniowe. Przykład 7. Rozwiąż równanie Bernoulliego y"-xy=-xy^3. Rozwiązanie. Podziel obie strony równania przez y^3: \frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x Dokonywanie zmiennej zmiany \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", Gdzie \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po podstawieniu ostatnie równanie zamienia się w równanie liniowe -\frac(z")(2)-xz=-x lub z"+2xz=2x, którego ogólne rozwiązanie to z=1+Ce^(-x^2). \frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) Lub y^2(1+Ce^(-x^2))=1. Komentarz. Równanie Bernoulliego można również całkować metodą wariacji stałej, np. równaniem liniowym, i stosując podstawienie y(x)=u(x)v(x). Przykład 8. Rozwiąż równanie Bernoulliego xy"+y=y^2\ln(x). . Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji dowolnej stałej. Ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego xy"+y=0 ma postać y=\frac(C)(x). Ogólnego rozwiązania równania szukamy w postaci y=\frac(C(x)) (x), gdzie C(x) - nowa nieznana funkcja. Podstawiając do pierwotnego równania, mamy C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2). Aby znaleźć funkcję C(x), otrzymujemy równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego oddzielając zmienne i całkując, znajdujemy \frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)). A więc ogólne rozwiązanie pierwotnego równania y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)). Niektóre równania nieliniowe pierwszego rzędu można sprowadzić do równań liniowych lub równań Bernoulliego, korzystając z pomyślnie znalezionej zmiany zmiennych. Przykład 9. Rozwiązać równanie y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0. Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0.. Dzielenie obu stron równania przez 2\cos^2\frac(y)(2), otrzymujemy \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nazwaoperatora(tg)\frac(y)(2)+x=0. Wymiana \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje to równanie do liniowego \frac(dz)(dx)+z=-x, którego ogólne rozwiązanie to z=1-x+Ce^(-x) . Zastępując z jego wyrażeniem w postaci y, otrzymujemy całkę ogólną tego równania \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x). W niektórych równaniach pożądana funkcja y(x) może znajdować się pod znakiem całki. W takich przypadkach czasami można sprowadzić to równanie do równania różniczkowego poprzez różniczkowanie. Przykład 10. Rozwiązać równanie x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0. Rozwiązanie. Różniczkując obie strony tego równania względem x, otrzymujemy \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) lub Źródło informacji
Ponieważ przy n=0 otrzymujemy równanie liniowe, a przy n=1 - przy zmiennych rozłącznych, zakładamy, że n ≠ 0 i n ≠ 1. Podzielimy obie strony (1) przez y n. Następnie, stawiając , mamy . Zastępując to wyrażenie, otrzymujemy , lub, co jest tym samym, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Jest to równanie liniowe, które umiemy rozwiązać.
y"+y = -y 2
y"/r 2 + 1/r = -1
z=1/y n-1 , tj. z = 1/rok 2-1 = 1/rok
z = 1/r
z"= -y"/y 2
Rozwiązanie.
a) Rozwiązanie poprzez równanie Bernoulliego.
Przedstawmy to w postaci: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . To jest równanie Bernoulliego dla n=3. Dzieląc obie strony równania przez y 3 otrzymujemy: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Dokonujemy podstawienia: z=1/y 2. Wtedy z"=-2/y 3 i dlatego równanie przepisuje się w postaci : -xz"/2+2z=-x 5 e x. Jest to równanie niejednorodne. Rozważmy odpowiednie równanie jednorodne: -xz"/2+2z=0
1. Rozwiązując to otrzymujemy: z"=4z/x
Całkując otrzymujemy:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Szukamy teraz rozwiązania pierwotnego równania w postaci: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 mi x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x lub C(x)" = 2e x . Całkując otrzymujemy: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Z warunku y(x)=C(x)y otrzymujemy: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) lub y = Cx 4 +2x 4 e x. Ponieważ z=1/y 2, otrzymujemy: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x64. Równanie różnic całkowitych. Czynnik integrujący. Metody rozwiązania
65. Różniczkowe równania liniowe zwyczajne wyższych rzędów: jednorodne i niejednorodne. Liniowy operator różniczkowy, jego własności (z dowodem).
Podstawiając to równanie do x=C(y)e^(\sin(y)) otrzymujemy ogólne rozwiązanie pierwotnego równania, a co za tym idzie tego równania: Równanie Bernoulliego
Stąd otrzymujemy całkę ogólną tego równania