Równanie różniczkowe Bernoulliego to równanie postaci

gdzie n≠0,n≠1.

Równanie to można przekształcić za pomocą podstawienia

w równanie liniowe

W praktyce równania różniczkowego Bernoulliego zwykle nie redukuje się do równania liniowego, ale natychmiast rozwiązuje się je tymi samymi metodami, co równanie liniowe - albo metodą Bernoulliego, albo metodą wariacji dowolnej stałej.

Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać równanie różniczkowe Bernoulliego za pomocą podstawienia y=uv (metoda Bernoulliego). Schemat rozwiązania jest taki sam jak dla .

Przykłady. Rozwiąż równania:

1) y’x+y=-xy².

To jest równanie różniczkowe Bernoulliego. Doprowadźmy to do standardowej formy. Aby to zrobić, podziel obie części przez x: y’+y/x=-y². Tutaj p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Ale nie potrzebujemy tego do rozwiązania standardowy widok. Będziemy pracować z formą zapisu podaną w warunku.

1) Zastąpienie y=uv, gdzie u=u(x) i v=v(x) to kilka nowych funkcji x. Wtedy y’=(uv)’=u’v+v’u. Otrzymane wyrażenia podstawiamy pod warunek: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Otwórzmy nawiasy: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Teraz zgrupujmy wyrazy za pomocą v: v+v’ux=-xu²v² (I) (nie dotykamy wyrazu stopniem v, który znajduje się po prawej stronie równania). Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zero: u’x+u=0. To jest równanie z rozdzielnymi zmiennymi u i x. Po rozwiązaniu problemu, znajdziemy Cię. Podstawiamy u=du/dx i oddzielamy zmienne: x·du/dx=-u. Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez xu≠0:

(znajmując u C, przyjmujemy, że jest ono równe zero).

3) W równaniu (I) podstawiamy =0 i otrzymaną funkcję u=1/x. Mamy równanie: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Po uproszczeniu: v’=-(1/x)·v². Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi v i x. Zastępujemy v’=dv/dx i oddzielamy zmienne: dv/dx=-(1/x)·v². Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez v²≠0:

(wzięliśmy -C, aby mnożąc obie strony przez -1 pozbyć się minusa). Zatem pomnóż przez (-1):

(można przyjąć nie C, ale ln│C│ i w tym przypadku byłoby to v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Upewnijmy się, że jest to równanie Bernoulliego. Dzieląc obie części przez 2, otrzymujemy y’+y=(x/2) y². Tutaj p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Równanie rozwiązujemy metodą Bernoulliego.

1) Zastąpienie y=uv, y’=u’v+v’u. Zastępujemy te wyrażenia pierwotnym warunkiem: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Otwórz nawiasy: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Pogrupujmy teraz terminy zawierające v: +2v’u=xu²v² (II). Wymagamy, aby wyrażenie w nawiasie było równe zeru: 2u’+2u=0, stąd u’+u=0. Jest to równanie rozłączne dla u i x. Rozwiążmy to i znajdźmy cię. Podstawiamy u’=du/dx, skąd du/dx=-u. Mnożąc obie strony równania przez dx i dzieląc przez u≠0, otrzymujemy: du/u=-dx. Zintegrujmy:

3) Podstaw w (II) =0 i

Teraz podstawiamy v’=dv/dx i oddzielamy zmienne:

Zintegrujmy:

Lewa strona równości to całka tabelaryczna, całkę po prawej stronie oblicza się za pomocą wzoru całkowania przez części:

Podstawiając znalezione v i du, korzystając ze wzoru na całkowanie przez części, otrzymujemy:

I od

Zróbmy C=-C:

4) Ponieważ y=uv, podstawiamy znalezione funkcje u i v:

3) Całkuj równanie x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Podzielmy obie strony równania przez x²(x-1)≠0 i przesuńmy wyraz z y² na prawą stronę:

To jest równanie Bernoulliego

1) Zastąpienie y=uv, y’=u’v+v’u. Jak zwykle zastępujemy te wyrażenia pierwotnym warunkiem: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Stąd x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Grupujemy terminy zawierające v (v² – nie dotykaj):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zeru: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, stąd x²(x-1)u’=x(x-2)u. W równaniu oddzielamy zmienne u i x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Mnożymy obie strony równania przez dx i dzielimy przez x²(x-1)u≠0:

Po lewej stronie równania znajduje się całka tabelaryczna. Ułamek racjonalny po prawej stronie musisz rozłożyć na proste ułamki:

Przy x=1: 1-2=A·0+B·1, skąd B=-1.

Przy x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, skąd A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Zgodnie z własnościami logarytmów: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, skąd u=x²/(x-1).

3) W równości (III) podstawiamy =0 i u=x²/(x-1). Otrzymujemy: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, zastąp:

zamiast C bierzemy - C, więc mnożąc obie części przez (-1) pozbywamy się minusów:

Sprowadźmy teraz wyrażenia po prawej stronie do wspólnego mianownika i znajdźmy v:

4) Ponieważ y=uv, podstawiając znalezione funkcje u i v, otrzymujemy:

Przykłady autotestu:

1) Upewnijmy się, że jest to równanie Bernoulliego. Dzieląc obie strony przez x, mamy:

1) Zastąpienie y=uv, skąd y’=u’v+v’u. Podstawiamy te y i y’ do stanu pierwotnego:

2) Zgrupuj terminy za pomocą v:

Teraz wymagamy, aby wyrażenie w nawiasach było równe zero i znalazło u z tego warunku:

Całkujmy obie strony równania:

3) W równaniu (*) podstawiamy =0 i u=1/x²:

Całkujmy obie strony otrzymanego równania.

Liniowy równania różniczkowe 1. zamówienie
oraz równanie Bernoulliego

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie liniowe względem nieznanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami x, ciągłymi w obszarze, w którym równanie (1) wymaga całkowania.

Jeżeli q(x)\equiv0 , to wywoływane jest równanie (1). liniowy jednorodny. Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi i ma wspólna decyzja

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Wspólna decyzja Nie równanie jednorodne może być znaleziony metoda zmiany dowolnej stałej, co polega na tym, że rozwiązania równania (1) szuka się w postaci

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), gdzie C(x) jest nową nieznaną funkcją x.

Przykład 1. Rozwiązać równanie y"+2xy=2xe^(-x^2).

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę stałej zmienności. Rozważmy jednorodne równanie y"+2xy=0 odpowiadające temu niejednorodnemu równaniu. Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać y=Ce^(-x^2) .

Szukamy ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y=C(x)e^(-x^2), gdzie C(x) jest nieznaną funkcją x. Podstawiając otrzymujemy C"(x)=2x, skąd C(x)=x^2+C. Zatem ogólnym rozwiązaniem równania niejednorodnego będzie: y=(x^2+C)e^(-x^2), gdzie C jest stałą całkowania.

Komentarz. Może się okazać, że równanie różniczkowe jest liniowe w funkcji x w funkcji y. Normalna postać takiego równania to

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Przykład 2. Rozwiązać równanie \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Rozwiązanie. To równanie jest liniowe, jeśli rozważymy x jako funkcję y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Stosujemy metodę wariacji dowolnej stałej. Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

które jest równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(stała).

Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci , gdzie C(y) jest nieznaną funkcją y. Podstawiając, otrzymujemy

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y Lub C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Stąd mamy całkowanie przez części

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(wyrównane)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Podstawiając to równanie do x=C(y)e^(\sin(y)), otrzymujemy ogólne rozwiązanie pierwotnego równania, a zatem i tego równania:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Oryginalne równanie można również zintegrować w następujący sposób. Wierzymy

y=u(x)v(x),

gdzie u(x) i v(x) są nieznanymi funkcjami x, z których jedną, na przykład v(x), można wybrać dowolnie.

Podstawiając y=u(x)v(x) do , po transformacji otrzymujemy

vu"+(pv+v")u=q(x).

Wyznaczając v(x) na podstawie warunku v"+pv=0, następnie znajdujemy z vu"+(pv+v")u=q(x) funkcja u(x) i w konsekwencji rozwiązanie równania y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) możemy przyjąć dowolne częste rozwiązanie równania v"+pv=0,~v\not\równoważnik0.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Rozwiązanie. Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci y=u(x)v(x) ; mamy y"=u"v+uv". Podstawianie wyrażenia y i y" do oryginalne równanie, będzie miał

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) Lub x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Funkcję v=v(x) znajdujemy z warunku x(x-1)v"+v=0. Biorąc dowolne rozwiązanie ostatniego równania, np. v=\frac(x)(x-1) i podstawiając go, otrzymujemy równanie u"=2x-1, z którego znajdujemy funkcję u(x)=x^2-x+C. Dlatego ogólne rozwiązanie równania x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) będzie

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), Lub y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Korzystając z warunku początkowego y|_(x=2)=4, otrzymujemy równanie na znalezienie C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, skąd C=0 ; więc rozwiązaniem postawionego problemu Cauchy'ego będzie funkcja y=x^2.

Przykład 4. Wiadomo, że istnieje związek pomiędzy prądem i a siłą elektromotoryczną E w obwodzie mającym rezystancję R i indukcyjność własną L E=Ri+L\frac(di)(dt), gdzie R i L są stałymi. Jeśli uznamy E za funkcję czasu t, otrzymamy liniowe niejednorodne równanie dla natężenia prądu i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Znajdź aktualną siłę i(t) dla przypadku, gdy E=E_0=\text(stała) i i(0)=I_0 .

Rozwiązanie. Mamy \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Korzystając z warunku początkowego (13), otrzymujemy z C=I_0-\frac(E_0)(R), więc pożądane rozwiązanie będzie

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

To pokazuje, że w chwili t\to+\infty natężenie prądu i(t) dąży do stałej wartości \frac(E_0)(R) .

Przykład 5. Podana jest rodzina C_\alfa krzywych całkowych liniowego niejednorodnego równania y"+p(x)y=q(x).

Pokaż, że styczne w odpowiednich punktach krzywych C_\alpha określonych równaniem liniowym przecinają się w jednym punkcie (rys. 13).

Rozwiązanie. Rozważmy styczną do dowolnej krzywej C_\alpha w punkcie M(x,y). Równanie stycznej w punkcie M(x,y) ma postać

\eta-q(x)(\xi-x)=y, gdzie \xi,\eta są bieżącymi współrzędnymi punktu stycznego.

Z definicji w odpowiednich punktach x jest stałe, a y jest zmienne. Biorąc dowolne dwie styczne do prostych C_\alpha w odpowiednich punktach, dla współrzędnych punktu S ich przecięcia otrzymujemy

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To pokazuje, że wszystkie styczne do krzywych C_\alpha w odpowiednich punktach (x jest stałe) przecinają się w tym samym punkcie

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminując argument x w systemie, otrzymujemy równanie miejsca punktów S\dwukropek f(\xi,\eta)=0.

Przykład 6. Znajdź rozwiązanie równania y"-y=\cos(x)-\sin(x), spełniając warunek: y jest ograniczone do y\to+\infty .

Rozwiązanie. Ogólne rozwiązanie tego równania to y=Ce^x+\sin(x) . Każde rozwiązanie równania otrzymanego z rozwiązania ogólnego dla C\ne0 będzie nieograniczone, ponieważ dla x\to+\infty funkcja \sin(x) jest ograniczona i e^x\to+\infty . Wynika z tego, że to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie y=\sin(x) , ograniczone w x\to+\infty , które otrzymuje się z ogólnego rozwiązania w C=0 .

Równanie Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, gdzie n\ne0;1 (dla n=0 i n=1 to równanie jest liniowe).

Korzystanie z zamiany zmiennych z=\frac(1)(y^(n-1)) Równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego i całkuje jako równanie liniowe.

Przykład 7. Rozwiąż równanie Bernoulliego y"-xy=-xy^3.

Rozwiązanie. Podziel obie strony równania przez y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Dokonywanie zmiennej zmiany \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", Gdzie \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po podstawieniu ostatnie równanie zamienia się w równanie liniowe

-\frac(z")(2)-xz=-x lub z"+2xz=2x, którego ogólne rozwiązanie to z=1+Ce^(-x^2).

Stąd otrzymujemy całkę ogólną tego równania

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) Lub y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentarz. Równanie Bernoulliego można również całkować metodą wariacji stałej, np. równaniem liniowym, i stosując podstawienie y(x)=u(x)v(x).

Przykład 8. Rozwiąż równanie Bernoulliego xy"+y=y^2\ln(x). .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji dowolnej stałej. Ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego xy"+y=0 ma postać y=\frac(C)(x). Ogólnego rozwiązania równania szukamy w postaci y=\frac(C(x)) (x) , gdzie C(x) - nowa nieznana funkcja. Podstawiając do pierwotnego równania, mamy

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Aby znaleźć funkcję C(x), otrzymujemy równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego oddzielając zmienne i całkując, znajdujemy

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

A więc ogólne rozwiązanie pierwotnego równania y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Niektóre Nie równania liniowe Równania pierwszego rzędu, za pomocą pomyślnie znalezionej zmiany zmiennych, sprowadza się do równań liniowych lub równań Bernoulliego.

Przykład 9. Rozwiązać równanie y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dzielenie obu stron równania przez 2\cos^2\frac(y)(2), otrzymujemy \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nazwaoperatora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Wymiana \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje to równanie do liniowego \frac(dz)(dx)+z=-x, którego ogólne rozwiązanie to z=1-x+Ce^(-x) .

Zastępując z jego wyrażeniem w postaci y, otrzymujemy całkę ogólną tego równania \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

W niektórych równaniach pożądana funkcja y(x) może znajdować się pod znakiem całki. W takich przypadkach czasami można sprowadzić to równanie do równania różniczkowego poprzez różniczkowanie.

Przykład 10. Rozwiązać równanie x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Rozwiązanie. Różniczkując obie strony tego równania względem x, otrzymujemy

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) Lub \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Różniczkując ponownie względem x, otrzymamy liniowe równanie jednorodne względem y(x)\dwukropek

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) Lub x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Oddzielamy zmienne i całkujemy y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Rozwiązanie to, jak łatwo można sprawdzić, spełnia pierwotne równanie.

Równanie różniczkowe Bernoulliego jest równaniem postaci:
, gdzie n ≠ 0 , n ≠ 1 , p i q są funkcjami x.

Rozwiązywanie równania różniczkowego Bernoulliego poprzez redukcję do równania liniowego

Rozważmy równanie różniczkowe Bernoulliego:
(1) ,
gdzie n ≠ 0 , n ≠ 1 , p i q są funkcjami x.
Podzielmy to przez yn. Kiedy y ≠ 0 lub n< 0 mamy:
(2) .
Równanie to można sprowadzić do równania liniowego za pomocą zmiany zmiennej:
.
Pokażmy to. Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej:
;
.
Podstawmy (2) i przekształć:
;
.
Jest to liniowe, względem z, równanie różniczkowe. Po rozwiązaniu dla n > 0 , powinniśmy rozważyć przypadek y = 0 . Kiedy n > 0 , y = 0 jest również rozwiązaniem równania (1) i należy je uwzględnić w odpowiedzi.

Rozwiązanie metodą Bernoulliego

Równanie, o którym mowa (1) można również rozwiązać metodą Bernoulliego. Aby to zrobić, szukamy rozwiązania pierwotnego równania w postaci iloczynu dwóch funkcji:
y = u·v,
gdzie u i v są funkcjami x. Różniczkuj względem x:
y′ = u′ v + u v′ .
Podstaw do pierwotnego równania (1) :
;
(3) .
Ponieważ v bierzemy dowolne niezerowe rozwiązanie równania:
(4) .
Równanie (4) jest równaniem ze zmiennymi rozłącznymi. Rozwiązujemy to i znajdujemy konkretne rozwiązanie v = v (X). Podstawiamy konkretne rozwiązanie do (3) . Ponieważ spełnia równanie (4) , wówczas wyrażenie w nawiasach staje się zerem. Otrzymujemy:
;
.
Tutaj v jest już znaną funkcją x. Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi. Znajdujemy jego rozwiązanie ogólne, a wraz z nim rozwiązanie pierwotnego równania y = uv.

Przykład rozwiązania równania różniczkowego Bernoulliego

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie

Na pierwszy rzut oka to równanie różniczkowe nie wydaje się podobne do równania Bernoulliego. Jeśli uznamy x za zmienną niezależną, a y za zmienną zależną (to znaczy, jeśli y jest funkcją x), to jest to prawdą. Jeśli jednak uznamy y za zmienną niezależną, a x za zmienną zależną, wówczas łatwo zauważyć, że jest to równanie Bernoulliego.

Zakładamy więc, że x jest funkcją y. Podstawmy i pomnóżmy przez:
;
;
(P.1) .
To jest równanie Bernoulliego, gdzie n = 2 . Różni się od równania omówionego powyżej (1) , tylko poprzez zapis zmiennych (x zamiast y). Rozwiązujemy metodą Bernoulliego. Zróbmy podstawienie:
x = u v ,
gdzie u i v są funkcjami y. Różniczkuj względem y:
.
Podstawmy (P.1):
;
(str. 2) .
Szukamy dowolnej niezerowej funkcji v (y), spełniając równanie:
(str. 3) .
Rozdzielamy zmienne:
;
;
.
Postawmy C = 0 , ponieważ potrzebujemy rozwiązania równania (str. 3).
;
.
Podstawmy (str. 2) biorąc pod uwagę, że wyrażenie w nawiasach jest równe zero (ze względu na (str. 3)):
;
;
.
Oddzielmy zmienne. Kiedy ty ≠ 0 mamy:
;
(str. 4) ;
.
W drugiej całce dokonujemy podstawienia:
;
.

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie liniowe względem nieznanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami x, ciągłymi w obszarze, w którym równanie (1) wymaga całkowania.

Jeśli q(x)\equiv0 , to wywoływane jest równanie (1). liniowy jednorodny. Jest to równanie rozłączne i ma rozwiązanie ogólne

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Można znaleźć ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego metoda zmiany dowolnej stałej, co polega na tym, że rozwiązania równania (1) szuka się w postaci

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), gdzie C(x) jest nową nieznaną funkcją x.

Przykład 1. Rozwiąż równanie y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę stałej zmienności. Rozważmy jednorodne równanie y"+2xy=0 odpowiadające temu niejednorodnemu równaniu. Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać y=Ce^(-x^2) .

Szukamy ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y=C(x)e^(-x^2), gdzie C(x) jest nieznaną funkcją x. Podstawiając otrzymujemy C"(x)=2x, skąd C(x)=x^2+C. Zatem ogólnym rozwiązaniem niejednorodnego równania będzie y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , gdzie C - stała całkowania.

Komentarz. Może się okazać, że równanie różniczkowe jest liniowe w funkcji x w funkcji y. Normalna postać takiego równania to

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Przykład 2. Rozwiązać równanie \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Rozwiązanie. To równanie jest liniowe, jeśli rozważymy x jako funkcję y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Stosujemy metodę wariacji dowolnej stałej. Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

które jest równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(stała).

Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci x=C(y)e^(\sin(y)), gdzie C(y) jest nieznaną funkcją y. Podstawiając, otrzymujemy

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y Lub C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Stąd mamy całkowanie przez części

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(wyrównane)

Więc,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Podstawiając to równanie do x=C(y)e^(\sin(y)) otrzymujemy ogólne rozwiązanie pierwotnego równania, a co za tym idzie tego równania:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Oryginalne równanie można również zintegrować w następujący sposób. Wierzymy

Y=u(x)v(x),

gdzie u(x) i v(x) są nieznanymi funkcjami x, z których jedną, na przykład v(x), można wybrać dowolnie.

Podstawiając y=u(x)v(x) do , po transformacji otrzymujemy

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Wyznaczając v(x) z warunku v"+pv=0, z vu"+(pv+v")u=q(x) znajdujemy funkcję u(x) i w konsekwencji rozwiązanie y=uv równanie \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) możemy przyjąć dowolne częste rozwiązanie równania v"+pv=0,~v\not\równoważnik0.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Rozwiązanie. Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci y=u(x)v(x) ; mamy y"=u"v+uv. Podstawiając wyrażenie y i y" do pierwotnego równania, otrzymamy

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) Lub x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Funkcję v=v(x) znajdujemy z warunku x(x-1)v"+v=0. Biorąc dowolne rozwiązanie ostatniego równania, np. v=\frac(x)(x-1) i podstawiając go, otrzymujemy równanie u"=2x-1, z którego znajdujemy funkcję u(x)=x^2-x+C. Dlatego ogólne rozwiązanie równania x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) będzie

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), Lub y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Korzystając z warunku początkowego y|_(x=2)=4, otrzymujemy równanie na znalezienie C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, skąd C=0 ; więc rozwiązaniem postawionego problemu Cauchy'ego będzie funkcja y=x^2.

Przykład 4. Wiadomo, że istnieje związek pomiędzy prądem i a siłą elektromotoryczną E w obwodzie mającym rezystancję R i indukcyjność własną L E=Ri+L\frac(di)(dt), gdzie R i L są stałymi. Jeśli uznamy E za funkcję czasu t, otrzymamy liniowe niejednorodne równanie dla natężenia prądu i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Znajdź aktualną siłę i(t) dla przypadku, gdy E=E_0=\text(stała) i i(0)=I_0 .

Rozwiązanie. Mamy \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Korzystając z warunku początkowego (13), otrzymujemy z C=I_0-\frac(E_0)(R), więc pożądane rozwiązanie będzie

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

To pokazuje, że w chwili t\to+\infty natężenie prądu i(t) dąży do stałej wartości \frac(E_0)(R) .

Przykład 5. Podana jest rodzina C_\alfa krzywych całkowych liniowego niejednorodnego równania y"+p(x)y=q(x).

Pokaż, że styczne w odpowiednich punktach krzywych C_\alpha określonych równaniem liniowym przecinają się w jednym punkcie (rys. 13).

Rozwiązanie. Rozważmy styczną do dowolnej krzywej C_\alpha w punkcie M(x,y). Równanie stycznej w punkcie M(x,y) ma postać

\eta-q(x)(\xi-x)=y, gdzie \xi,\eta są bieżącymi współrzędnymi punktu stycznego.

Z definicji w odpowiednich punktach x jest stałe, a y jest zmienne. Biorąc dowolne dwie styczne do prostych C_\alpha w odpowiednich punktach, dla współrzędnych punktu S ich przecięcia otrzymujemy

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To pokazuje, że wszystkie styczne do krzywych C_\alpha w odpowiednich punktach (x jest stałe) przecinają się w tym samym punkcie

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminując argument x w systemie, otrzymujemy równanie miejsca punktów S\dwukropek f(\xi,\eta)=0.

Przykład 6. Znajdź rozwiązanie równania y"-y=\cos(x)-\sin(x), spełniając warunek: y jest ograniczone do y\to+\infty .

Rozwiązanie. Ogólne rozwiązanie tego równania to y=Ce^x+\sin(x) . Każde rozwiązanie równania otrzymanego z rozwiązania ogólnego dla C\ne0 będzie nieograniczone, ponieważ dla x\to+\infty funkcja \sin(x) jest ograniczona i e^x\to+\infty . Wynika z tego, że to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie y=\sin(x) , ograniczone w x\to+\infty , które otrzymuje się z ogólnego rozwiązania w C=0 .

Równanie Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, gdzie n\ne0;1 (dla n=0 i n=1 to równanie jest liniowe).

Korzystanie z zamiany zmiennych z=\frac(1)(y^(n-1)) Równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego i całkuje jako równanie liniowe.

Przykład 7. Rozwiąż równanie Bernoulliego y"-xy=-xy^3.

Rozwiązanie. Podziel obie strony równania przez y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Dokonywanie zmiennej zmiany \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", Gdzie \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po podstawieniu ostatnie równanie zamienia się w równanie liniowe

-\frac(z")(2)-xz=-x lub z"+2xz=2x, którego ogólne rozwiązanie to z=1+Ce^(-x^2).

Stąd otrzymujemy całkę ogólną tego równania

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) Lub y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentarz. Równanie Bernoulliego można również całkować metodą wariacji stałej, np. równaniem liniowym, i stosując podstawienie y(x)=u(x)v(x).

Przykład 8. Rozwiąż równanie Bernoulliego xy"+y=y^2\ln(x). .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji dowolnej stałej. Ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego xy"+y=0 ma postać y=\frac(C)(x). Ogólnego rozwiązania równania szukamy w postaci y=\frac(C(x)) (x) , gdzie C(x) - nowa nieznana funkcja. Podstawiając do pierwotnego równania, mamy

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Aby znaleźć funkcję C(x), otrzymujemy równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego oddzielając zmienne i całkując, znajdujemy

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

A więc ogólne rozwiązanie pierwotnego równania y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Niektóre równania nieliniowe pierwszego rzędu można sprowadzić do równań liniowych lub równań Bernoulliego, korzystając z pomyślnie znalezionej zmiany zmiennych.

Przykład 9. Rozwiązać równanie y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dzielenie obu stron równania przez 2\cos^2\frac(y)(2), otrzymujemy \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nazwaoperatora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Wymiana \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje to równanie do liniowego \frac(dz)(dx)+z=-x, którego ogólne rozwiązanie to z=1-x+Ce^(-x) .

Zastępując z jego wyrażeniem w postaci y, otrzymujemy całkę ogólną tego równania \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

W niektórych równaniach pożądana funkcja y(x) może znajdować się pod znakiem całki. W takich przypadkach czasami można sprowadzić to równanie do równania różniczkowego poprzez różniczkowanie.

Przykład 10. Rozwiązać równanie x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Rozwiązanie. Różniczkując obie strony tego równania względem x, otrzymujemy

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) lub Źródło informacji

Równanie Bernoulliego jest jednym z najbardziej znanych nieliniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. Jest to napisane w formie

Gdzie A(X) I B(X) są funkcjami ciągłymi. Jeśli M= 0, wówczas równanie Bernoulliego staje się liniowym równaniem różniczkowym. W przypadku kiedy M= 1, równanie staje się równaniem rozłącznym. Ogólnie kiedy M≠ 0,1, równanie Bernoulliego sprowadza się do liniowego równania różniczkowego za pomocą podstawienia

Nowe równanie różniczkowe funkcji z(X) ma postać

i można je rozwiązać metodami opisanymi na stronie Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu.

METODA BERNOULEGO.

Rozważane równanie można rozwiązać metodą Bernoulliego. Aby to zrobić, szukamy rozwiązania pierwotnego równania w postaci iloczynu dwóch funkcji: gdzie ty, w- funkcje z X. Różniczkowanie: Zastąp pierwotne równanie (1): (2) Jak w Weźmy dowolne niezerowe rozwiązanie równania: (3) Równanie (3) jest równaniem z rozłącznymi zmiennymi. Po znalezieniu konkretnego rozwiązania v = v(x), zamień go na (2). Ponieważ spełnia równanie (3), wyrażenie w nawiasach przyjmuje wartość zero. Otrzymujemy: Jest to również równanie rozłączne. Znajdujemy jego rozwiązanie ogólne, a wraz z nim rozwiązanie pierwotnego równania y = UV.

64. Równanie różnic całkowitych. Czynnik integrujący. Metody rozwiązania

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci

zwany równanie w pełne dyferencjały , Jeśli to lewa strona reprezentuje całkowitą różnicę pewnej funkcji, tj.

Twierdzenie. Aby równanie (1) było równaniem w różniczkach całkowitych, konieczne i wystarczające jest, aby w jakiejś prosto powiązanej dziedzinie zmian zmiennych warunek był spełniony

Całka ogólna równania (1) ma postać lub

Przykład 1. Rozwiązać równanie różniczkowe.

Rozwiązanie. Sprawdźmy, czy to równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym:

a więc to jest warunek (2) jest spełniony. Zatem to równanie jest równaniem różnic całkowitych i

dlatego gdzie jest nadal niezdefiniowaną funkcją.

Całkując, otrzymujemy . Pochodna cząstkowa znalezionej funkcji musi być równa, co daje skąd, aby Zatem.

Całka ogólna pierwotnego równania różniczkowego.

Całkując niektóre równania różniczkowe, wyrazy można pogrupować w taki sposób, aby uzyskać łatwo całkowalne kombinacje.

65. Różniczkowe równania liniowe zwyczajne wyższych rzędów: jednorodne i niejednorodne. Liniowy operator różniczkowy, jego własności (z dowodem).

Liniowy operator różniczkowy i jego własności. Zbiór funkcji mających na przedziale ( A , B ) nie mniej N pochodne, tworzy przestrzeń liniową. Weź pod uwagę operatora L N (y ), który wyświetla funkcję y (X ), mając pochodne, na funkcję mającą k - N pochodne.