Przykładowe rozwiązanie metody stycznej. Temat zajęć: Metoda Newtona rozwiązywania równań nieliniowych



Słowa kluczowe:

Cel pracy: badać metody rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą i testować je w pracach eksperymentalnych.

Cele pracy:

1. Analizować literatura specjalna i wybierz najbardziej racjonalne metody rozwiązywania równań nieliniowych, pozwalające na głębokie przestudiowanie i przyswojenie ten temat wszyscy absolwenci szkół średnich.
2. Opracować niektóre aspekty metodologii rozwiązywania równań nieliniowych z wykorzystaniem ICT.
3. Poznaj metody rozwiązywania równań nieliniowych:

– Metoda krokowa

– Metoda halvingu

– metoda Newtona

Wstęp.

Bez umiejętności matematycznych niemożliwe jest skuteczne opanowanie metod rozwiązywania problemów z fizyki, chemii, biologii i innych przedmiotów. Cały kompleks nauk przyrodniczych jest budowany i rozwijany w oparciu o wiedzę matematyczną. Na przykład badanie szeregu aktualnych problemów fizyki matematycznej prowadzi do konieczności rozwiązywania równań nieliniowych. Rozwiązywanie równań nieliniowych jest niezbędne w optyce nieliniowej, fizyce plazmy, teorii nadprzewodnictwa i fizyce niskich temperatur. Literatury na ten temat jest wystarczająco dużo, jednak wiele podręczników i artykułów jest trudnych do zrozumienia dla ucznia szkoły średniej. W artykule omówiono metody rozwiązywania równań nieliniowych, które można wykorzystać do rozwiązywania problemów stosowanych w fizyce i chemii. Ciekawym aspektem jest aplikacja Technologie informacyjne do rozwiązywania równań i problemów matematycznych.

Metoda krokowa.

Niech będzie konieczne rozwiązanie równania nieliniowego o postaci F(x)=0. Załóżmy również, że dany jest nam określony interwał wyszukiwania. Należy znaleźć przedział [a,b] o długości h, zawierający pierwszy pierwiastek równania, zaczynając od lewej krawędzi przedziału poszukiwań.

Ryż. 1. Metoda krokowa

Istnieje kilka sposobów rozwiązania takiego problemu. Metoda krokowa jest najprostszą z numerycznych metod rozwiązywania nierówności, jednak aby uzyskać dużą dokładność, konieczne jest znaczne zmniejszenie kroku, a to znacznie wydłuża czas obliczeń. Algorytm rozwiązywania równań za pomocą Ta metoda składa się z dwóch etapów.

Iscena. Separacja korzeni.

Na tym etapie wyznaczane są sekcje, z których każda zawiera tylko jeden pierwiastek równania. Istnieje kilka opcji realizacji tego etapu:

• Podstawiamy wartości X (najlepiej jakimś dość małym krokiem) i sprawdzamy, gdzie funkcja zmienia znak. Jeżeli funkcja zmieniła swój znak, oznacza to, że w obszarze pomiędzy poprzednią a obecną wartością X znajduje się pierwiastek (jeżeli funkcja nie zmienia charakteru swojego zwiększania/zmniejszania, to możemy powiedzieć, że istnieje tylko jeden pierwiastek w tym przedziale).
• Metoda graficzna. Budujemy wykres i oceniamy, w jakich przedziałach leży jeden pierwiastek.
• Zbadajmy właściwości określonej funkcji.

IIscena. Udoskonalenie korzeni.

Na tym etapie wyjaśnia się znaczenie pierwiastków ustalonego wcześniej równania. Z reguły na tym etapie stosuje się metody iteracyjne. Na przykład metoda pół podziału(dychotomie) lub metoda Newtona.

Metoda dzielenia połówkowego

Szybka i dość prosta metoda numeryczna rozwiązywania równań, polegająca na sekwencyjnym zawężaniu przedziału zawierającego jedyny pierwiastek równania F(x) = 0, aż do osiągnięcia określonej dokładności E. Metodę tę zwykle stosuje się przy rozwiązywaniu równania kwadratowe i równania wyższych stopni. Metoda ta ma jednak istotną wadę – jeśli segment [a, b] zawiera więcej niż jeden pierwiastek, to nie będzie w stanie osiągnąć dobrych wyników.

Ryż. 2. Metoda dychotomiczna

Algorytm tej metody jest następujący:

‒ Wyznacz nowe przybliżenie pierwiastka x w środku odcinka [a;b]: x=(a+b)/2.

– Znajdź wartości funkcji w punktach a i x: F(a) i F(x).

– Sprawdź warunek F(a)*F(x)

– Przejdź do kroku 1 i ponownie podziel segment na pół. Kontynuuj algorytm aż do warunku |F(x)|

Metoda Newtona

Najdokładniejsza z metod rozwiązywania numerycznego; nadaje się do rozwiązywania bardzo złożonych równań, ale komplikuje go konieczność obliczania pochodnych na każdym kroku. oznacza, że ​​jeśli x n jest pewnym przybliżeniem pierwiastka równania , to kolejne przybliżenie definiuje się jako pierwiastek stycznej do funkcji f(x) narysowanej w punkcie xn.

Równanie styczne do funkcji f(x) w punkcie x n ma postać:

W równaniu stycznym umieszczamy y = 0 i x = x n +1.

Wówczas algorytm obliczeń sekwencyjnych w metodzie Newtona wygląda następująco:

Zbieżność metody stycznej jest kwadratowa, rząd zbieżności wynosi 2.

Zatem zbieżność metody stycznej Newtona jest bardzo szybka.

Bez żadnych zmian metodę uogólnia się na przypadek złożony. Jeśli pierwiastek x i jest pierwiastkiem drugiej wielokrotności lub wyższej, to rząd zbieżności maleje i staje się liniowy.

Wadą metody Newtona jest jej lokalność, ponieważ gwarantuje ona zbieżność dla dowolnego przybliżenia początkowego tylko wtedy, gdy warunek jest spełniony wszędzie , w sytuacji odwrotnej zbieżność zachodzi tylko w pewnym sąsiedztwie pierwiastka.

Do równania zwykle stosuje się metodę Newtona (metodę styczną). f(x) = 0 ma pierwiastek i spełnione są następujące warunki:

1) funkcja y=f(x) zdefiniowane i ciągłe w ;

2) f(a) f(b) (funkcja przyjmuje wartości różnych znaków na końcach odcinka [ a;b]);

3) instrumenty pochodne f”(x) I f""(x) zachowaj znak na przedziale [ a;b] (tj. funkcja k(x) albo wzrasta, albo maleje w segmencie [ a;b], zachowując kierunek wypukłości);

Znaczenie tej metody jest następujące: na segmencie [ a;b] taki numer został wybrany x 0, w którym f(x 0) ma ten sam znak co f""(x 0), czyli warunek jest spełniony f(x 0) f""(x) > 0. W ten sposób wybierany jest punkt z odciętą x 0, w którym styczna do krzywej y=f(x) w segmencie [ a;b] przecina oś Wół. Za punkt x 0 Po pierwsze, wygodnie jest wybrać jeden z końców segmentu.

Rozważmy ten algorytm na konkretnym przykładzie.

Przyjmijmy funkcję rosnącą y = f(x) =x 2– 2, ciągły w segmencie (0;2) i posiadający fa "(x) =2x>0 I fa ""(x) = 2> 0.

W naszym przypadku równanie styczne ma postać: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). W jako punkt x 0 wybieramy punkt B 1 (b; f(b)) = (2,2). Narysuj styczną do funkcji y = f(x) w punkcie B 1 i oznacz punkt przecięcia stycznej i osi Wół kropka x 1. Otrzymujemy równanie pierwszej stycznej: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Wół: x 1 =

Ryż. 3. Konstrukcja pierwszej stycznej do wykresu funkcji f(x)

y=f(x) Wół przez punkt x 1, rozumiemy o co chodzi B2 =(1,5; 0,25). Narysuj ponownie styczną do funkcji y = f(x) w punkcie B 2 i oznacz punkt przecięcia stycznej i Wół kropka x 2.

Równanie drugiej stycznej: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Punkt przecięcia stycznej i osi Wół: x 2 =.

Następnie znajdujemy punkt przecięcia funkcji y=f(x) i prostopadłą poprowadzoną do osi Wół przez punkt x 2 otrzymamy punkt B 3 i tak dalej.

Ryż. 4. Konstrukcja drugiej stycznej do wykresu funkcji f(x)

Pierwsze przybliżenie pierwiastka określa wzór:

= 1.5.

Drugie przybliżenie pierwiastka określa wzór:

=

Trzecie przybliżenie pierwiastka określa wzór:

Zatem , I Przybliżenie pierwiastka określa się ze wzoru:

Obliczenia przeprowadza się do momentu uzyskania miejsc po przecinku potrzebnych do dopasowania odpowiedzi lub osiągnięcia określonej precyzji e – do momentu spełnienia nierówności |xi-xi-1|

W naszym przypadku porównajmy przybliżenie uzyskane w kroku trzecim z rzeczywistą odpowiedzią. Jak widać już w trzecim kroku otrzymaliśmy błąd mniejszy niż 0,000002.

Rozwiązywanie równań za pomocą CADMatematyka

Dla najprostszych równań postaci F(X) = 0 rozwiązanie w programie MathCAD można znaleźć za pomocą funkcji źródło.

źródło(F (X 1 , X 2 , … ) , X 1 , a, b ) - zwraca wartość X 1 , należący do segmentu [ a, b ] , w którym wyrażenie lub funkcja F (X ) ma wartość 0. Obydwa argumenty tej funkcji muszą być skalarami. Funkcja zwraca skalar.

Ryż. 5. Rozwiązywanie równania nieliniowego w programie MathCAD (funkcja pierwiastkowa)

Jeśli w wyniku zastosowania tej funkcji pojawi się błąd, może to oznaczać, że równanie nie ma pierwiastków lub pierwiastki równania znajdują się daleko od początkowego przybliżenia, wyrażenie ma charakter lokalny maks I min między przybliżeniem początkowym a pierwiastkami.

Aby ustalić przyczynę błędu, należy sprawdzić wykres funkcji F(X). Pomoże to ustalić obecność pierwiastków równania F(X) = 0 i jeśli istnieją, to w przybliżeniu określ ich wartości. Im dokładniejsze zostanie wybrane początkowe przybliżenie pierwiastka, tym szybciej zostanie znaleziona jego dokładna wartość.

Jeżeli początkowe przybliżenie nie jest znane, wówczas zaleca się skorzystanie z funkcji rozwiązywać . Ponadto, jeśli równanie zawiera kilka zmiennych, należy wskazać po słowo kluczowe rozwiązanie to lista zmiennych, dla których rozwiązano równanie.

Ryż. 6. Rozwiązywanie równania nieliniowego w programie MathCAD (funkcja rozwiązania)

Wniosek

W badaniu zbadano, w jaki sposób metody matematyczne oraz rozwiązywanie równań z wykorzystaniem programowania w systemie CAD MathCAD. Różne metody mają swoje zalety i wady. Należy zaznaczyć, że zastosowanie konkretnej metody zależy od warunków początkowych danego równania. Te równania, które można dobrze rozwiązać znanymi w szkole metodami faktoryzacji itp., nie mają sensu rozwiązywać więcej w złożony sposób. Zadania matematyki stosowanej, ważne dla fizyki i chemii, wymagające skomplikowanych operacji obliczeniowych przy rozwiązywaniu równań, z powodzeniem rozwiązuje się na przykład za pomocą programowania. Dobrze jest je rozwiązać metodą Newtona.

Aby wyjaśnić pierwiastki, możesz zastosować kilka metod rozwiązania tego samego równania. To właśnie te badania stały się podstawą niniejszej pracy. Jednocześnie łatwo jest zobaczyć, która metoda jest najskuteczniejsza przy rozwiązywaniu poszczególnych etapów równania, a jakiej metody lepiej na tym etapie nie stosować.

Badany materiał z jednej strony pomaga poszerzyć i pogłębić wiedzę matematyczną oraz zaszczepić zainteresowanie matematyką. Z drugiej strony ważna jest umiejętność rozwiązywania rzeczywistych problemów matematycznych dla tych, którzy planują zdobycie zawodów technicznych i inżynierskich. Dlatego ta praca ma znaczenie dalsza edukacja(na przykład w instytucji szkolnictwa wyższego).

Literatura:

1. Mityakov S. N. Informatyka. Złożony materiały edukacyjne. - N. Nowogród: Niżny Nowogród. państwo technologia uniwersytet, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teoria rozgałęzionych rozwiązań równań nieliniowych. M.: Nauka, 1969. - 527 s.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów szkół technicznych - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Matematyka: instruktaż. - Rostów n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. słownik encyklopedyczny młody matematyk. - M.: Pedagogika, 1989.
6. Korn G., Korn T. Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Wyższa matematyka oparta na Mathcadzie. Kurs ogólny. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Metody numeryczne oparte na programie Mathcad. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Słowa kluczowe: równania nieliniowe, matematyka stosowana, CAD MathCAD, metoda Newtona, metoda krokowa, metoda dychotomii..

Adnotacja: Artykuł poświęcony jest badaniu metod rozwiązywania równań nieliniowych, w tym z wykorzystaniem systemu komputerowego wspomagania projektowania MathCAD. Rozważono metodę krokową, metody połówkowe i metody Newtona, podano szczegółowe algorytmy stosowania tych metod, oraz analiza porównawcza określone metody.

Metoda Newtona (znana również jako metoda styczna) to iteracyjna metoda numeryczna służąca do znajdowania pierwiastka (zera) danej funkcji. Metodę tę po raz pierwszy zaproponował angielski fizyk, matematyk i astronom Izaak Newton (1643-1727), pod którego imieniem zyskała sławę.

Metodę opisał Izaak Newton w rękopisie De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (łac. .O analiza przez równania szeregów nieskończonych), zaadresowanej w 1669 roku do Barrowa oraz w dziele De metodis fluxionum et serierum infinitarum (łac. Metoda fluksji i szeregów nieskończonych) czy Geometria analytica ( łac.Analityczny geometria) w dziełach zebranych Newtona, napisanych w 1671 roku. Jednakże opis metody różnił się znacznie od jej obecnej prezentacji: Newton zastosował swoją metodę wyłącznie do wielomianów. Nie obliczał kolejnych przybliżeń xn, lecz ciąg wielomianów i w rezultacie otrzymał przybliżone rozwiązanie x.

Metoda ta została po raz pierwszy opublikowana w traktacie Algebra autorstwa Johna Wallisa w 1685 roku, na którego prośbę został pokrótce opisany przez samego Newtona. W 1690 roku Joseph Raphson opublikował uproszczony opis w swoim dziele Analysis aequationum universalis (łac. Analiza ogólna równania). Raphson uważał metodę Newtona za czysto algebraiczną i ograniczył jej zastosowanie do wielomianów, ale opisał ją w kategoriach kolejnych przybliżeń x n zamiast trudniejszej do zrozumienia sekwencji wielomianów stosowanej przez Newtona.

Wreszcie w 1740 roku Thomas Simpson opisał metodę Newtona jako iteracyjną metodę pierwszego rzędu rozwiązywania równań nieliniowych przy użyciu pochodnych, jak opisano tutaj. W tej samej publikacji Simpson uogólnił metodę na przypadek układu dwóch równań i zauważył, że metodę Newtona można zastosować również do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych poprzez znalezienie zera pochodnej lub gradientu.

Zgodnie z tą metodą zadanie znalezienia pierwiastka funkcji sprowadza się do zadania znalezienia punktu przecięcia z osią x stycznej wykreślonej do wykresu funkcji.

Ryc.1 . Wykres zmiany funkcji

Linię styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie wykresu funkcji wyznacza pochodna tej funkcji w rozpatrywanym punkcie, która z kolei jest wyznaczana przez tangens kąta α (). Punkt przecięcia stycznej z osią odciętych wyznacza się na podstawie zależności w trójkąt prostokątny: tangens kątaw trójkącie prostokątnym jest określana przez stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej strony trójkąta. Zatem na każdym kroku tworzona jest styczna do wykresu funkcji w punkcie kolejnego przybliżenia . Punkt przecięcia stycznej z osią Wół będzie kolejnym punktem podejścia. Zgodnie z rozważaną metodą obliczenie przybliżonej wartości pierwiastkaI-iteracje przeprowadza się według wzoru:

Nachylenie prostej jest dopasowywane na każdym kroku w najlepszy możliwy sposób, należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że algorytm nie bierze pod uwagę krzywizny wykresu i dlatego podczas procesu obliczeń pozostaje nieznana w jakim kierunku wykres może się odchylać.

Warunkiem zakończenia procesu iteracyjnego jest spełnienie warunku:

Gdzie ˗ błąd dopuszczalny w wyznaczaniu pierwiastka.

Metoda ma zbieżność kwadratową. Kwadratowa szybkość zbieżności oznacza, że ​​liczba poprawnych znaków w przybliżeniu podwaja się z każdą iteracją.

Uzasadnienie matematyczne

Niech zostanie podana funkcja rzeczywista, która jest określona i ciągła w rozpatrywanym obszarze. Konieczne jest znalezienie prawdziwego pierwiastka danej funkcji.

Wyprowadzenie równania opiera się na metodzie proste iteracje, zgodnie z którym równanie sprowadza się do równania równoważnego dowolnej funkcji. Wprowadźmy koncepcję odwzorowania skurczowego, które definiuje relacja .

Dla najlepszej zbieżności metody warunek musi być spełniony w punkcie kolejnego przybliżenia. Wymóg ten oznacza, że ​​pierwiastek funkcji musi odpowiadać ekstremum funkcji.

Pochodna mapy skurczudefiniuje się następująco:

Wyraźmy zmienną z tego wyrażeniaz zastrzeżeniem wcześniej przyjętego stwierdzenia, że ​​gdy konieczne jest zapewnienie warunku. W efekcie otrzymujemy wyrażenie definiujące zmienną:

Biorąc to pod uwagę, funkcja kompresji wygląda następująco:

Zatem algorytm znajdowania numerycznego rozwiązania równania sprowadza się do iteracyjnej procedury obliczeniowej:

Algorytm znajdowania pierwiastka równania nieliniowego metodą

1. Ustaw punkt początkowy przybliżonej wartości pierwiastka funkcji, a także błąd obliczeniowy (mała liczba dodatnia) i początkowy krok iteracji ().

2. Oblicz przybliżoną wartość pierwiastka funkcji zgodnie ze wzorem:

3. Przybliżoną wartość pierwiastka sprawdzamy pod kątem określonej dokładności, w przypadku:

Jeśli różnica między dwoma kolejnymi przybliżeniami stanie się mniejsza niż określona dokładność, proces iteracyjny kończy się.

Jeżeli różnica pomiędzy dwoma kolejnymi przybliżeniami nie osiąga wymaganej dokładności, należy kontynuować proces iteracyjny i przejść do kroku 2 rozpatrywanego algorytmu.

Przykład rozwiązywania równań

metodąNewtona dla równania z jedną zmienną

Jako przykład rozważ rozwiązanie równania nieliniowego za pomocą tej metodyNewtona dla równania z jedną zmienną. Pierwiastek należy znaleźć z dokładnością w pierwszym przybliżeniu.

Opcja rozwiązywania równania nieliniowego w pakiecie oprogramowaniaMatematykaprzedstawiono na rysunku 3.

Wyniki obliczeń, czyli dynamikę zmian przybliżonej wartości pierwiastka, a także błędy obliczeniowe w zależności od kroku iteracji, przedstawiono w formie graficznej (patrz rys. 2).

Ryc.2. Wyniki obliczeń metodą Newtona dla równania z jedną zmienną

Aby zapewnić określoną dokładność przy poszukiwaniu przybliżonej wartości pierwiastka równania w zakresie, należy wykonać 4 iteracje. W ostatnim kroku iteracji przybliżona wartość pierwiastka równania nieliniowego zostanie wyznaczona przez wartość: .

Ryc.3 . Lista programów wMatematyka

Modyfikacje metody Newtona dla równania z jedną zmienną

Istnieje kilka modyfikacji metody Newtona, które mają na celu uproszczenie procesu obliczeniowego.

Uproszczona metoda Newtona

Zgodnie z metodą Newtona na każdym etapie iteracji konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji f(x), co wiąże się ze wzrostem kosztów obliczeniowych. Aby obniżyć koszty związane z obliczeniem pochodnej na każdym etapie obliczeń, można we wzorze zastąpić pochodną f’(x n) w punkcie x n pochodną f’(x 0) w punkcie x 0. Zgodnie z tą metodą obliczeniową przybliżoną wartość pierwiastka określa się za pomocą następującego wzoru:Zmodyfikowana metoda Newtona

Metoda różnicowa Newtona

W efekcie przybliżona wartość pierwiastka funkcji f(x) zostanie wyznaczona wyrażeniem metody różnicowej Newtona:

Metoda dwuetapowa Newtona

Zgodnie z metodą Newtona na każdym etapie iteracji konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji f(x), co nie zawsze jest wygodne, a czasami praktycznie niemożliwe. Ta metoda pozwala na zastąpienie pochodnej funkcji stosunkiem różnicy (wartość przybliżona):

W rezultacie przybliżoną wartość pierwiastka funkcji f(x) wyznaczymy za pomocą następującego wyrażenia:

Gdzie

Ryc.5 . Metoda dwuetapowa Newtona

Metoda siecznych jest metodą dwuetapową, czyli nowym przybliżeniemokreślona w dwóch poprzednich iteracjach I . Metoda musi określać dwa początkowe przybliżenia I . Stopień zbieżności metody będzie liniowy.

• Z powrotem
• Do przodu

Aby dodać komentarz do artykułu należy zarejestrować się na stronie.

2. Metoda Newtona rozwiązywania układów równań nieliniowych.

Metoda ta charakteryzuje się znacznie szybszą zbieżnością niż prosta metoda iteracyjna. Metoda Newtona dla układu równań (1.1) opiera się na wykorzystaniu rozwinięcia funkcji

, Gdzie
(2.1)

w szeregu Taylora, z terminami zawierającymi drugą lub więcej wysokie zamówienia instrumenty pochodne są odrzucane. Takie podejście pozwala rozwiązać jeden układ nieliniowy(1.1) zastępuje się rozwiązaniem szeregu układów liniowych.

Zatem rozwiążemy układ (1.1) metodą Newtona. W obszarze D wybierz dowolny punkt
i nazwać to zerowym przybliżeniem dokładnego rozwiązania pierwotnego układu. Rozwińmy teraz funkcje (2.1) na szereg Taylora w sąsiedztwie punktu . Będzie miał

Ponieważ lewa strona (2.2) musi zniknąć zgodnie z (1.1), to prawa strona (2.2) również musi zniknąć. Zatem z (2.2) mamy

Wszystkie pochodne cząstkowe z (2.3) należy obliczyć w punkcie .

(2.3) jest układem liniowym równania algebraiczne względem niewiadomych Układ ten można rozwiązać metodą Cramera, jeśli jego główna wyznacznika jest różna od zera, a ilości można znaleźć

Teraz możemy udoskonalić przybliżenie zera, konstruując pierwsze przybliżenie ze współrzędnymi

te.
. (2.6)

Sprawdźmy, czy przybliżenie (2.6) zostało uzyskane z wystarczającą dokładnością. Aby to zrobić, sprawdźmy warunek

,
(2.7)

Gdzie z góry określona mała liczba dodatnia (dokładność, z jaką należy rozwiązać układ (1.1). Jeżeli warunek (2.7) jest spełniony, to jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1) wybieramy (2.6) i kończymy obliczenia. Jeżeli warunek (2.7) nie jest spełniony, to wykonujemy następującą akcję. W systemie (2.3) zamiast
weźmy zaktualizowane wartości

, (2.8)

te. Zróbmy to następujące działania

. (2.9)

Następnie układ (2.3) będzie układem liniowych równań algebraicznych dla wielkości. Po ustaleniu tych wielkości następuje kolejne drugie przybliżenie
do rozwiązania układu (1.1) znajdujemy korzystając ze wzorów

Sprawdźmy teraz warunek (2.7)

Jeżeli ten warunek jest spełniony, to kończymy obliczenia przyjmując drugie przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1)
. Jeżeli ten warunek nie jest spełniony, to kontynuujemy konstruowanie kolejnego przybliżenia, uwzględniając (2.3)
Konieczne jest budowanie przybliżeń, dopóki warunek nie zostanie spełniony.

Robocze wzory metody Newtona na rozwiązanie układu (1.1) można zapisać w postaci.

Oblicz sekwencję

Tutaj
są rozwiązaniem systemu

Sformułujmy algorytm obliczeniowy korzystając ze wzorów (2.11)-(2.13).

1. Wybierzmy przybliżenie zerowe należące do obszaru D.

2. W układzie liniowych równań algebraicznych (2.13) ustalamy
,A .

3. Rozwiążmy układ (2.13) i znajdźmy ilości
.

4. We wzorach (2.12) umieszczamy
i obliczyć składniki następnego przybliżenia.

5. Sprawdźmy warunek (2.7) dla: (Zobacz algorytm obliczania maksimum kilku wielkości.)

6. Jeżeli ten warunek jest spełniony, to kończymy obliczenia wybierając przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1). Jeśli ten warunek nie jest spełniony, przejdź do kroku 7.

7. Połóżmy
dla wszystkich .

8. Wykonajmy krok 3, kładąc
.

Geometrycznie algorytm ten można zapisać jako:

Algorytm. Obliczanie maksimum kilku wielkości.

Przykład. Rozważmy zastosowanie metody Newtona do rozwiązania układu dwóch równań.

Rozwiąż z dokładnością do metody Newtona następujący system równania nieliniowe

, (2.14)

Tutaj
. Wybierzmy przybliżenie zerowe
, należący do dziedziny D. Skonstruujmy układ liniowych równań algebraicznych (2.3). Będzie wyglądać

(2.15)

Oznaczmy

Rozwiążmy układ (2.15) ze względu na niewiadome
, na przykład metoda Cramera. W formularzu zapisujemy wzory Cramera

(2.17)

gdzie jest głównym wyznacznikiem układu (2.15)

(2.18)

oraz wyznaczniki pomocnicze układu (2.15) mają postać

.

Podstawiamy znalezione wartości do (2.16) i znajdujemy składowe pierwszego przybliżenia
do rozwiązania układu (2.15).

Sprawdźmy warunek

, (2.19)

jeżeli warunek ten jest spełniony, to obliczenia kończymy przyjmując pierwsze przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (2.15), czyli tj.
. Jeżeli warunek (2.19) nie jest spełniony, wówczas ustalamy
,
i będziemy budować nowy system liniowe równania algebraiczne (2.15). Po rozwiązaniu tego znajdujemy drugie przybliżenie
. Sprawdźmy to. Jeżeli ten warunek jest spełniony, to jako przybliżone rozwiązanie wybieramy układ (2.15)
. Jeśli warunek on nie jest spełniony, ustawiamy
,
i skonstruuj następujący system (2.15), aby znaleźć
itp.

Zadania

Wszystkie zadania wymagają:

Opracuj program numerycznej implementacji metody według zaproponowanego algorytmu.

Uzyskaj wyniki obliczeń.

Sprawdź swoje wyniki.

Dany jest układ dwóch równań nieliniowych.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Rozdział 3. Numeryczne metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE).

Cel pracy. Wprowadzenie do niektórych przybliżonych metod rozwiązywania SLAE i ich numerycznej implementacji na komputerze PC.

Uwagi wstępne. Wszystkie metody rozwiązywania SLAE są zwykle podzielone na dwie duże grupy. Do pierwszej grupy zaliczają się metody, które potocznie nazywane są dokładnymi. Metody te pozwalają nam znaleźć dla dowolnego systemu dokładne wartości niewiadomych po skończonej liczbie operacji arytmetycznych, z których każda jest wykonywana dokładnie.

Do drugiej grupy zaliczają się wszystkie metody, które nie są dokładne. Nazywa się je iteracyjnymi, numerycznymi lub przybliżonymi. Dokładne rozwiązanie przy zastosowaniu takich metod uzyskuje się w wyniku niekończącego się procesu przybliżeń. Atrakcyjną cechą takich metod jest ich samokorekta i łatwość wdrożenia na komputerze PC.

Rozważmy kilka przybliżonych metod rozwiązywania SLAE i skonstruujmy algorytmy ich numerycznej implementacji. Przybliżone rozwiązanie SLAE otrzymamy z dokładnością , gdzie jest to bardzo mała liczba dodatnia.

1. Metoda iteracyjna.

Niech SLAE będzie podane w formie

(1.1)

Układ ten można zapisać w postaci macierzowej

, (1.2)

Gdzie
- macierz współczynników niewiadomych w układzie (1.1),
- kolumna wolnych członków,
- kolumna niewiadomych układu (1.1).

. (1.3)

Rozwiążmy układ (1.1) metodą iteracyjną. Aby to zrobić, wykonamy następujące kroki.

Po pierwsze. Wybierzmy przybliżenie zerowe

(1.4)

do dokładnego rozwiązania (1.3) układu (1.1). Składowymi przybliżenia zera mogą być dowolne liczby. Jednak wygodniej jest przyjmować zera jako składniki przybliżenia zera
, czyli darmowe warunki systemu (1.1)

Po drugie. Podstawiamy składniki przybliżenia zera do prawa strona system (1.1) i obliczyć

(1.5)

Wielkości po lewej stronie w (1.5) są składnikami pierwszego przybliżenia
Działania, które doprowadziły do ​​pierwszego przybliżenia, nazywane są iteracją.

Trzeci. Sprawdźmy zero i pierwsze przybliżenie dla

(1.6)

Jeżeli spełnione są wszystkie warunki (1.6), to dla przybliżonego rozwiązania układu (1.1) wybieramy albo , albo nie ma to znaczenia, gdyż różnią się od siebie nie więcej niż o i dokończmy obliczenia. Jeżeli choć jeden z warunków (1.6) nie jest spełniony to przechodzimy do kolejnej akcji.

Po czwarte. Wykonajmy kolejną iterację, tj. w prawą stronę układu (1.1) podstawiamy składowe pierwszego przybliżenia i obliczamy składowe drugiego przybliżenia
, Gdzie

Po piąte. Sprawdźmy
i dalej, tj. Sprawdźmy warunek (1.6) dla tych przybliżeń. Jeżeli spełnione są wszystkie warunki (1.6), to dla przybliżonego rozwiązania układu (1.1) wybierzemy albo , albo nie ma to znaczenia, gdyż różnią się od siebie nie więcej niż . W przeciwnym razie następną iterację skonstruujemy, podstawiając składniki drugiego przybliżenia po prawej stronie układu (1.1).

Iteracje należy budować aż do uzyskania dwóch sąsiednich przybliżeń
i będą różnić się od siebie nie więcej niż o .

Roboczy wzór metody iteracyjnej rozwiązywania układu (1.1) można zapisać jako

Algorytm numerycznej realizacji wzoru (1.7) może wyglądać następująco.

Warunki wystarczające na zbieżność metody iteracyjnej dla układu (1.1) mają postać

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Prosta metoda iteracyjna.

Niech układ liniowych równań algebraicznych (SLAE) będzie podany w postaci

(2.1)

Aby rozwiązać układ (2.1) prostą metodą iteracyjną, należy go najpierw sprowadzić do postaci

(2.2)

W systemie (2.2) -te równanie jest -tym równaniem układu (2.1), rozwiązanym względem -tej niewiadomej (
).

Metodę rozwiązania układu (2.1), polegającą na sprowadzeniu go do układu (2.2), a następnie rozwiązaniu układu (2.2) metodą iteracyjną, nazywamy prostą metodą iteracyjną układu (2.1).

Zatem działające wzory prostej metody iteracyjnej rozwiązywania układu (2.1) będą miały postać

(2.3)

Wzory (2.3) można zapisać w postaci

Algorytm numerycznej realizacji prostej metody iteracyjnej dla układu (2.1) według wzorów (2.4) może wyglądać następująco.

Algorytm ten można zapisać geometrycznie.

Warunki wystarczające na zbieżność prostej metody iteracyjnej dla układu (2.1) mają postać

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacjonarna metoda Seidla.

Metoda Seidela rozwiązywania SLAE różni się od metody iteracyjnej tym, że po znalezieniu pewnego przybliżenia dla -tej składowej, natychmiast używamy jej do znalezienia następnego
,
, …, -ty składnik. Takie podejście pozwala na więcej wysoka prędkość zbieżność metody Seidla w porównaniu z metodą iteracyjną.

Niech SLAE będzie podane w formie

(3.1)

Pozwalać
- zerowe przybliżenie rozwiązania dokładnego
systemy (3.1). I niech się znajdzie przybliżenie
. Zdefiniujmy komponenty
przybliżenie za pomocą wzorów

(3.2)

Wzory (3.2) można zapisać w formie zwartej

,
,
(3.3)

Algorytm numerycznej realizacji metody Seidla rozwiązywania układu (3.1) za pomocą wzorów (3.3) może wyglądać następująco.

1. Wybierzmy np.
,

2. Połóżmy .

3. Obliczmy dla wszystkich.

4. Sprawdzimy warunki dla każdego
.

5. Jeżeli zostaną spełnione wszystkie warunki z punktu 4, wówczas wybierzemy rozwiązanie układu (3.1) lub jako przybliżone i zakończymy obliczenia. Jeśli przynajmniej jeden warunek z kroku 4 nie jest spełniony, przejdź do kroku 6.

6. Odłóżmy to i przejdźmy do kroku 3.

Algorytm ten można zapisać geometrycznie.

Warunek wystarczający zbieżności metody Seidla dla układu (3.1) ma postać
, .

4. Niestacjonarna metoda Seidla.

Ta metoda rozwiązywania SLAE (3.1) zapewnia jeszcze większą szybkość zbieżności metody Seidla.

Znajdźmy jakoś składowe th przybliżenia i th przybliżenia dla układu (3.1).

Obliczmy wektor korekcyjny

Obliczmy wartości

, (4.2)

Uzgodnijmy ilości
, w kolejności malejącej.

W tej samej kolejności przepisujemy równania w układzie (3.1) i niewiadome w tym układzie: Liniowyalgebra I nieliniowy ... KierownictwoDla laboratorium PracujePrzez ... metodologiczny instrukcje DlapraktycznyPracujePrzez Dlastudenci ...

Literatura dydaktyczna (przyrodnicza i techniczna) 2000-2011 Cykl PO – 10 lat Cykl CD – 5 lat

Literatura

... NaturalnyNauki ogólnie 1. Astronomia [Tekst]: podręcznik Dla ... Liczbowymetody: Liniowyalgebra I nieliniowy ... KierownictwoDla laboratorium PracujePrzez ... metodologiczny instrukcje DlapraktycznyPracujePrzez dyscyplina „Ekonomika transportu” Dlastudenci ...

- nauki przyrodnicze (1)

Instruktaż

... kierownictwoDlastudenci i nauczycieli, zamierzone Dla używać nie tylko do nauki metodypraca... produkcja praktyczny umiejętności korzystania z prawdziwych danych. Metodyczny zalecenia Przez spełnienie testu pracaPrzez Ten...

- nauki przyrodnicze - nauki fizyczne i matematyczne - nauki chemiczne - nauki o ziemi (geodezyjne geofizyczne nauki geologiczne i geograficzne)

Dokument

... Dlastudencinaturalnie- ... PracujePrzez dyscyplina „Genetyka i selekcja”, poświęcona obecne problemy Ten Nauki. Usystematyzowane, niezależne StanowiskostudenciPrzez teoretyczne i praktyczny ... liniowy, nieliniowy, dynamiczny. Wszystko metody ...

- nauki przyrodnicze - nauki fizyczne i matematyczne - nauki chemiczne - nauki o ziemi (geodetyczne, geofizyczne nauki geologiczne i geograficzne) (7)

Lista podręczników

Wyznacznik Eremina liniowy I nieliniowyalgebra : liniowy I nieliniowy programowanie: nowe metoda/ Eremin, Michaił... Dlastudenci oraz wykładowcy specjalności geologicznych na uczelniach wyższych. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktycznykierownictwoPrzez ...

Rozwiązywanie równań nieliniowych metodą Newtona

Aby rozwiązać problemy z energią elektryczną, istnieje kilka modyfikacji tej metody. Umożliwiają zwiększenie szybkości zbieżności procesu iteracyjnego i skrócenie czasu obliczeń.

Podstawy godność metoda - charakteryzuje się szybką zbieżnością.

Idea metody polega na sekwencyjnym zastępowaniu przy każdej iteracji obliczeń pierwotnego nieliniowego układu równań jakimś pomocniczym liniowym układem równań, którego rozwiązanie pozwala uzyskać kolejne przybliżenie niewiadomych, bliższe rozwiązania pożądanego ( linearyzacja).

Rozważmy równanie nieliniowe w ogólna perspektywa:

Wymaganym rozwiązaniem równania jest punkt, w którym krzywa przecina oś x.

Ustalamy początkowe przybliżenie niewiadomej x (0). Określ wartość funkcji w tym punkcie w(x(0)) i narysuj styczną do krzywej w punkcie B. Punkt przecięcia tej stycznej z osią x wyznacza kolejne przybliżenie niewiadomej x (1) itp.

Rozwińmy równanie (1) na szereg Taylora w pobliżu punktu x (0). Rozważmy wyrazy rozwinięcia zawierające tylko pierwszą pochodną:

(2)

x – x (0) = Δx- poprawka do nieznanego. Jeśli to zdefiniujemy, możemy wyznaczyć kolejne przybliżenie.

Z (2) ustalamy poprawkę (3)

Następnie następujące przybliżenie: (5)

Podobnie dostajemy Do-e przybliżenia:

Ten powtarzalna formuła metody Newtona do rozwiązywania równań nieliniowych. Pozwala na wyznaczenie kolejnych przybliżeń niewiadomych.

Wzór (6) można uzyskać w inny sposób z rysunku:

Proces iteracyjny zbiega się, jeśli maleje i zbliża się 0 . Wynik zostanie osiągnięty, jeśli .

Komentarz do interpretacji geometrycznej

Etap iteracyjny metody sprowadza się do zastąpienia krzywej linią prostą, co opisuje lewa strona równania (2). Jest styczna do krzywej w punkcie . Proces ten nazywa się linearyzacja. Punkt przecięcia stycznej do krzywej z osią X daje kolejne przybliżenie nieznanej. Dlatego ta metoda nazywa się metoda styczna.

Przykład:

Przykład:

Aby wyznaczyć tą metodą wszystkie pierwiastki równania nieliniowego, należy je wyznaczyć w dowolny sposób przybliżony położenie tych korzeni i wyznacz w ich pobliżu wstępne przybliżenia.

Prostym sposobem określenia obszaru, na którym znajdują się korzenie, jest tabulacja.

Proces iteracyjny Newtona nie zbiega się, jeśli początkowe przybliżenia zostaną wybrane tak, że:

Proces albo nie jest zbieżny, albo jest zbieżny bardzo słabo.

Metoda Newtona-Raphsona rozwiązywania SNAU

Raphson pokazał, że do rozwiązania zaproponowano iteracyjną metodę Newtona jeden nieliniowy równania, można wykorzystać do rozwiązania systemy równania nieliniowe.

Jednocześnie, aby rozwiązać układy równań nieliniowych, należy wziąć pod uwagę zbiór (wektor), a nie jedną niewiadomą nieznany:

zamiast jednego równania resztowego, rozważamy wektor reszt równania układu:

Zastępuje się jedną pochodną w (6). matryca instrumentów pochodnych. Operację dzielenia w (6) zastępuje się mnożeniem przez odwracać matryca instrumentów pochodnych. W tym przypadku metoda Newtona-Raphsona różni się od metody Newtona przejściem od problemu jednowymiarowego do wielowymiarowy.

Rozważmy układ rzeczywistych nieliniowych równań algebraicznych:

(7)

Można to zapisać w postaci macierzowej:

Gdzie X= x 2 – wektor – kolumna niewiadomych;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – funkcja wektorowa.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Pozwalać - wstępne przybliżenia niewiadomych. Rozwińmy każde równanie układu (7) w szereg Taylora w pobliżu punktu X (0), czyli dokonamy przybliżonej zamiany pierwotnych równań nieliniowych na równania liniowe, w których zachowana jest tylko I pochodna (linearyzacja). W rezultacie układ równań (7) przyjmuje postać:

(9)

W efekcie dostaliśmy układ równań liniowych(układ linearny), w którym niewiadomymi są poprawki. Współczynniki niewiadomych w tym układzie są pierwszymi pochodnymi równań w j pierwotnego układu nieliniowego dla wszystkich niewiadomych Xi.. Tworzą macierz współczynników – Macierz Jacobiego:

=

Każdy wiersz macierzy składa się z pierwszych pochodnych kolejnego równania układu nieliniowego po wszystkich niewiadomych.

Zapiszmy zlinearyzowany układ (9) w postaci macierzowej:

(10)

Oto wektor reszt równań układu pierwotnego. Jego elementy otrzymuje się przez podstawienie kolejnych przybliżeń niewiadomych do równań układu nieliniowego;

- Macierz Jakobiana. Jego elementy są pierwszymi pochodnymi cząstkowymi wszystkich równań układu pierwotnego ze względu na wszystkie niewiadome;

- wektor korekcyjny do pożądanych niewiadomych. W każdej iteracji można zapisać:

Układ (10), uwzględniając przyjętą notację, można zapisać:

(12)

Ten system liniowy w sprawie poprawek ΔХ (k).

Układ (13) to zlinearyzowany układ równań, który zastępuje pierwotny SNAU na każdym etapie procesu iteracyjnego.

Układ (13) rozwiązujemy dowolną znaną metodą, w wyniku czego znajdujemy wektor korekcyjny . Następnie z (11) możemy znaleźć kolejne podejścia nieznany:

To. każdy krok iteracyjny Proces polega na rozwiązaniu układu liniowego (13) i wyznaczeniu kolejnego przybliżenia z (14).

Z (11) i (12) możemy otrzymać generał formuła powtarzalności(w postaci matrycy), odpowiadający metodzie Newtona – Raphsona:

(15)

Ma strukturę odpowiadającą wzorowi (6).

W obliczeniach praktycznych wykorzystuje się wzór (15). rzadko, ponieważ w tym przypadku konieczne jest odwracanie macierzy Jakobianu (o dużym wymiarze) przy każdej iteracji obliczeń. W rzeczywistych obliczeniach poprawki wyznaczane są w wyniku rozwiązania układu liniowego (13).

Kontrola kompletacji Proces iteracyjny realizujemy wykorzystując wektor reszt:

Warunek ten musi być spełniony dla reszt wszyscy równania układu.

Algorytm rozwiązywania SNAU metodą Newtona-Raphsona

1. Określenie wektora początkowych przybliżeń niewiadomych.

Ustawianie dokładności obliczeń є , inne parametry obliczeniowe

2. Wyznaczanie reszt równań nieliniowych w punkcie aproksymacji;

2.3. Wyznaczanie elementów macierzy Jakobianu w punkcie kolejnego przybliżenia niewiadomych;

2.4. Rozwiązanie układu linearyzowanego (13) dowolną znaną metodą. Wyznaczanie poprawek do niewiadomych.

2.5. Wyznaczanie kolejnego przybliżenia niewiadomych zgodnie z (14).

2.6. Monitorowanie zakończenia procesu iteracji zgodnie z (16). Jeśli warunek nie jest spełniony, wróć do kroku 2.

Przykład:

Rozwiąż SLAE metodą Newtona-Raphsona:

(rozwiązanie X 1 = X 2 = 2)

Zapiszmy równania w postaci reszt:

Definiujemy elementy macierzy Jakobianu:

Macierz Jakobiana:

Zaimplementujmy algorytm metody Newtona-Raphsona:

1) Pierwsza iteracja:

Wstępne przybliżenia

Pozostałości

Macierz Jakobiana:

Zlinearyzowany układ równań:

Pierwsze przybliżenie niewiadomych:

2) Druga iteracja

3) Trzecia iteracja:

… ……… …… …… …… ……..

Rozwiązywanie układów równań stanu ustalonego metodą Newtona-Raphsona

Nieliniowe równanie stanu ustalonego w postaci bilansu mocy dla tego węzła ma postać:

(17)

Jest to równanie ze złożonymi niewiadomymi i współczynnikami. Aby takie równania postaci (17) można było się zdecydować metodą Newtona-Raphsona dokonuje się ich transformacji: rozdziela się części rzeczywiste i urojone. W rezultacie każdy złożone równanie postać (17) rozkłada się na dwa równania rzeczywiste, które odpowiadają bilansowi mocy czynnej i biernej w węźle:

Oto określone moce w węźle;

Nieznane składowe napięcia w węzłach. Są potrzebni

ustalona w wyniku obliczeń.

Po prawej stronie równań (18) znajduje się obliczona sumaryczna moc przepływów w gałęziach dochodzących do th węzła.

Zapiszmy te równania (18) w postaci pozostałości:

Reszty równań (19) odpowiadają obliczonym brak równowagi moc czynna i bierna w węźle VI.

Reszty opisują tryb węzła і i są nieliniowymi funkcjami nieznanych napięć w węzłach. Konieczne jest -> 0.

Układ rozwiążemy metodą Newtona-Raphsona 2n równania postaci (19), czyli do rozwiązania problemu obliczenia stanu ustalonego sieci elektrycznej metodą Newtona-Raphsona, potrzebne są:

1) tworzą system 2n równania postaci (19) dla wszystkich węzłów sieci elektrycznej z wyjątkiem bilansujących;

2) organizować proces iteracyjny metody Newtona-Raphsona

rozwiązać ten układ równań. W wyniku decyzji

uzyskujemy wymagane składowe naprężeń w węzłach.

Zapiszmy ten układ równań w postaci ogólnej:

(20)

Mamy system 2 nieliniowy równania resztowe z 2 niewiadomymi, które. Nieznane w nim elementy to elementy napięciowe – moduły i kątowniki.

Aby rozwiązać układ (20) metodą Newtona-Raphsona, należy napisać pomocniczy zlinearyzowany układ równań postaci (13), rozwiązując który w każdej iteracji wyznaczamy poprawki do niewiadomych:

(21)

Uwzględniając przyjętą notację, można zapisać układ (21):

(22)

gdzie jest macierz Jacobiego, jej elementy są pochodnymi cząstkowymi równań układu (20) ze względu na wszystkie niewiadome – składowe naprężeń

Wektor reszt równań układu (20). Ich wartości uzyskuje się poprzez podstawienie do równań kolejnych przybliżeń niewiadomych;

Wektor poprawek do niewiadomych:

; ─ j = ─ i (k+1) - ─ i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Do określenia elementów macierzy Jakobiana używamy zróżnicowanie analityczne, tj. Każde równanie układu (20) różniczkujemy według wymaganych wielkości – kątów i modułów naprężeń. Aby utworzyć macierz Jakobiana, należy uzyskać wyrażenia analityczne dla pochodnych poniższych gatunek:

1) Pochodna równania rezydualnego na moc czynną tego węzła względem kąta napięcia tego samego węzła: ;

2) Pochodna równania resztkowego mocy czynnej węzła w odniesieniu do kąta napięcia sąsiedniego J- węzeł: ;

3) Pochodna reszty mocy czynnej tego węzła modulo napięcia tego samego węzła: ;

4) Pochodna reszty mocy czynnej tego węzła modulo napięcia sąsiedniego węzła: ;

W podobny sposób wyznaczane są jeszcze cztery rodzaje pochodnych – pochodne z równań reszty mocy biernej węzłowego węzła dla wszystkich niewiadomych:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Uwzględniając te pochodne, macierz Jacobiego można zapisać w ogólnej postaci:

(23)

Zdefiniujmy wyrażenia analityczne dla pochodnych różniczkowanie równań układu (20) ze względu na nieznane wielkości. Wyglądają na:

(24)

Macierz Jakobiana V przypadek ogólny- macierz kwadratowa, symetryczna, o wymiarze , której elementy są pochodnymi cząstkowymi reszt z równań (nierównowaga mocy) po wszystkich niewiadomych.

Jeśli węzły nie są ze sobą połączone, wówczas odpowiadające im pochodne macierzy, macierz Jakobianu, znajdująca się poza przekątną, będą równe zeru (podobnie jak macierz przewodności) - ponieważ w odpowiednich wzorach (24) przewodność wzajemna tak ij jest czynnikiem i. tak ij =0.

Każdy wiersz macierzy jest pochodną kolejnego równania układu (20).

Wpływ ma obecność w modelowanym schemacie sieci specjalnych węzłów (węzły wspierające i bilansujące, węzły FM). Struktura układ równań stanu ustalonego i o strukturze macierzy Jakobianu:

1. Dla węzłów z zamocowanie modułu napięcia (FM), w których podane i niewiadome to i , z macierzy Jakobianu wyłączony linia instrumentów pochodnych (od Qi nie jest określony, wówczas nie można wyprowadzić równań bilansu mocy biernej (18), (19)) i kolumny pochodnych (ponieważ moduł napięciowy Ui jest znana i jest wyłączona z listy niewiadomych).

2. Dla węzłów podporowych i równoważących wyklucza się odpowiednie wiersze i kolumny macierzy;

3. Jeżeli węzły nie są bezpośrednio połączone, odpowiednie pochodne w macierzy są równe zeru.

Macierz Jakobiana można podzielić na cztery blok:

1) - pochodne z równań nierównowagi aktywny moc (20) wg rogi stres;

2) - pochodne równań nierównowagi aktywny moc przez moduły stres;

3) - pochodne równań nierównowagi reaktywny moc (20) wg rogi stres;

4) - pochodne równań nierównowagi reaktywny moc przez moduły stres.

Są to ogniwa macierzowe pochodnych cząstkowych niezbilansowania mocy czynnej i biernej pod nieznanymi kątami oraz moduły napięciowe. Ogólnie są to kwadratowe macierze wymiarów n×n.

Biorąc to pod uwagę, macierz Jakobiana można przedstawić jako blok macierze:

Gdzie podwektor nieznanych wielkości.

Biorąc to pod uwagę, wówczas zlinearyzowany układ równań (22) można zapisać w postaci:

. (25)

Rozwiązanie tego układ liniowy równania (dowolną znaną metodą) na

Dla każdej iteracji metody znajdujemy poprawki do niewiadomych, a następnie

regularny zbliżający się nieznany:

(26)

Kolejne przybliżenie niewiadomych można również uzyskać za pomocą formuła iteracyjna Metoda Newtona-Raphsona podobna do (15):

- · (27)

Wymaga to odwracania macierzy Jakobianu przy każdej iteracji – jest to uciążliwa operacja obliczeniowa.

Algorytm rozwiązywania układów równań stanu ustalonego metodą Newtona-Raphsona

1. Ustawianie wartości początkowych nieznanych napięć. Jako wstępne przybliżenia przyjmujemy: , tj. napięcia znamionowe węzłów;

2. Ustalanie warunków obliczeniowych: dokładność ε , maksymalna liczba iteracji, współczynniki przyspieszania itp.

3. Wyznaczanie reszt równań na podstawie równań (20) z kolejnymi przybliżeniami niewiadomych;

4. Wyznaczanie elementów macierzy Jacobiego zgodnie z (24) kolejnymi przybliżeniami niewiadomych;

5. Rozwiązywanie zlinearyzowanego układu równań (25) i wyznaczanie poprawek do niewiadomych;

6. Wyznaczanie kolejnych przybliżeń niewiadomych zgodnie z (26);

7. Sprawdzenie zakończenia procesu iteracyjnego:

Wartości resztowe równań dla wszystkich węzłów muszą być mniejsze niż określona dokładność.

Jeżeli warunek nie jest spełniony, to wróć do punktu 3 i powtórz obliczenia z nowymi przybliżeniami niewiadomych.

Jest wiele modyfikacje metody Newtona-Raphsona. W tym:

1. Zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona.

Macierz Jakobiana oblicza się jednorazowo dla początkowych wartości niewiadomych. W kolejnych iteracjach jest to akceptowane stały. To znacznie zmniejsza ilość obliczeń w każdej iteracji, ale zwiększa liczbę iteracji.

2. Podzielona metoda Newtona-Raphsona.

Pochodne postaci są bardzo małe i ich wartości można zignorować. W rezultacie w macierzy Jakobianu pozostają dwa bloki - pierwszy i czwarty oraz układ (25), składający się z równań rozpada się na dwa niezależne systemy wymiarów. Każdy z tych systemów jest rozwiązywany oddzielnie od drugiego. Prowadzi to do zmniejszenia ilości obliczeń i wymaganej pamięci komputera.