Poszczególne typy liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu. Równania różniczkowe drugiego i wyższego rzędu

Podstawy rozwiązywania niejednorodności liniowej równania różniczkowe drugiego rzędu (LNDU-2) z stałe współczynniki(komputer)

LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami $p$ i $q$ ma postać $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, gdzie $f\left(x \right)$ jest funkcją ciągłą.

W odniesieniu do LNDU 2 z PC, poniższe dwa stwierdzenia są prawdziwe.

Załóżmy, że jakaś funkcja $U$ jest dowolnym częściowym rozwiązaniem niejednorodnego równania różniczkowego. Załóżmy także, że pewna funkcja $Y$ jest rozwiązaniem ogólnym (GS) odpowiedniego liniowego równania różniczkowego jednorodnego (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Wtedy GR LHDE-2 jest równe sumie wskazanych rozwiązań prywatnych i ogólnych, czyli $y=U+Y$.

Jeśli prawa część LPDE drugiego rzędu jest sumą funkcji, czyli $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, to najpierw możemy znaleźć PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ odpowiadające każdej z funkcji $f_ (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a następnie wpisz CR LNDU-2 w postać $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Rozwiązanie LPDE drugiego rzędu z PC

Jest oczywiste, że rodzaj tego czy innego PD $U$ danego LNDU-2 zależy od konkretnej postaci jego prawej strony $f\left(x\right)$. Najprostsze przypadki poszukiwania PD LNDU-2 formułuje się w postaci czterech poniższych reguł.

Zasada nr 1.

Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, czyli nazywa się to wielomian stopnia $n$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(n) \left(x\right)$ to kolejny wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków równanie charakterystyczne odpowiadający LOD-2, równy zero. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ wyznacza się metodą współczynników nieokreślonych (UK).

Zasada nr 2.

Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, gdzie $Q_(n ) \ left(x\right)$ to kolejny wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2 równy $\alfa $. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ wyznacza się metodą NC.

Zasada nr 3.

Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, gdzie znajdują się $a$, $b$ i $\beta$ znane liczby. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, gdzie $A$ i $B$ to nieznane współczynniki, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, równa $i\cdot \beta $. Współczynniki $A$ i $B$ wyznaczane są metodą nieniszczącą.

Zasada nr 4.

Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, gdzie $P_(n) \left(x\right)$ to wielomian stopnia $ n$, a $P_(m) \left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $m$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(s) \left(x\right)$ i $ R_(s) \left(x\right)$ są wielomianami stopnia $s$, liczba $s$ to maksimum dwóch liczb $n$ i $m$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, równego $\alpha +i\cdot \beta $. Współczynniki wielomianów $Q_(s) \left(x\right)$ i $R_(s) \left(x\right)$ wyznacza się metodą NC.

Metoda NK polega na zastosowaniu następującej reguły. Aby znaleźć nieznane współczynniki wielomianu wchodzące w skład częściowego rozwiązania niejednorodnego równania różniczkowego LNDU-2, należy:

• zastąp zapisane PD $U$ ogólna perspektywa, V lewa strona LNDU-2;
• po lewej stronie LNDU-2 wykonaj uproszczenia i grupuj wyrazy o tych samych potęgach $x$;
• w powstałej tożsamości zrównaj współczynniki wyrazów z tymi samymi potęgami $x$ lewej i prawej strony;
• rozwiązać powstały układ równań liniowych dla nieznanych współczynników.

Przykład 1

Zadanie: znajdź LUB LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Znajdź także PD , spełniając warunki początkowe $y=6$ dla $x=0$ i $y"=1$ dla $x=0$.

Zapisujemy odpowiedni LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Równanie charakterystyczne: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Pierwiastkami równania charakterystycznego są: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Te korzenie są ważne i odrębne. Zatem OR odpowiedniego LODE-2 ma postać: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Prawa strona tego LNDU-2 ma postać $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Należy uwzględnić współczynnik wykładnika $\alpha =3$. Współczynnik ten nie pokrywa się z żadnym z pierwiastków równania charakterystycznego. Dlatego PD tego LNDU-2 ma postać $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Współczynników $A$, $B$ będziemy szukać metodą NC.

Znajdujemy pierwszą pochodną Republiki Czeskiej:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Znajdujemy drugą pochodną Republiki Czeskiej:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Podstawiamy funkcje $U""$, $U"$ i $U$ zamiast $y""$, $y"$ i $y$ do podanego NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ponadto, ponieważ wykładnik $e^(3\cdot x)$ jest uwzględniany jako współczynnik we wszystkich komponentach, to można je pominąć.Otrzymujemy:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Wykonujemy działania po lewej stronie powstałej równości:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Stosujemy metodę NDT. Otrzymujemy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Rozwiązaniem tego układu jest: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ dla naszego problemu wygląda następująco: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ dla naszego problemu wygląda następująco: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ lewy(-2\cdot x-1\prawy)\cdot e^(3\cdot x) $.

Aby znaleźć PD spełniający podane warunki początkowe, znajdujemy pochodną $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Podstawiamy do $y$ i $y"$ warunki początkowe $y=6$ za $x=0$ i $y"=1$ za $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Otrzymaliśmy układ równań:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Rozwiążmy to. Znajdujemy $C_(1) $ korzystając ze wzoru Cramera, a $C_(2) $ wyznaczamy z pierwszego równania:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ rozpocząć(tablica)(cc) (1) i (1) \\ (-3) i (6) \end(tablica)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Zatem PD tego równania różniczkowego ma postać: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Tutaj zastosujemy metodę wariacji stałych Lagrange'a do rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Szczegółowy opis tę metodę rozwiązywania równań dowolnego rzędu opisano na stronie
Rozwiązywanie liniowych niejednorodnych równań różniczkowych wyższych rzędów metodą Lagrange'a >>>.

Przykład 1

Rozwiąż równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, korzystając z metody wariacji stałych Lagrange'a:
(1)

Rozwiązanie

Najpierw rozwiązujemy jednorodne równanie różniczkowe:
(2)

To jest równanie drugiego rzędu.

Rozwiązanie równania kwadratowego:
.
Wiele korzeni: . Podstawowy układ rozwiązań równania (2) ma postać:
(3) .
Stąd otrzymujemy ogólne rozwiązanie równanie jednorodne (2):
(4) .

Zmienianie stałych C 1 i C 2 . Oznacza to, że stałe w (4) zastępujemy funkcjami:
.
Szukasz rozwiązania oryginalne równanie(1) jako:
(5) .

Znajdowanie pochodnej:
.
Połączmy funkcje i równanie:
(6) .
Następnie
.

Znajdujemy drugą pochodną:
.
Podstaw do pierwotnego równania (1):
(1) ;



.
Ponieważ i spełniają jednorodne równanie (2), suma wyrazów w każdej kolumnie trzech ostatnich wierszy daje zero, a poprzednie równanie przyjmuje postać:
(7) .
Tutaj .

Razem z równaniem (6) otrzymujemy układ równań do wyznaczania funkcji oraz:
(6) :
(7) .

Rozwiązywanie układu równań

Rozwiązujemy układ równań (6-7). Zapiszmy wyrażenia dla funkcji i:
.
Znajdujemy ich pochodne:
;
.

Rozwiązujemy układ równań (6-7) metodą Cramera. Obliczamy wyznacznik macierzy układu:

.
Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:
;
.

Znaleźliśmy więc pochodne funkcji:
;
.
Zintegrujmy (patrz Metody integrowania korzeni). Dokonanie zamiany
; ; ; .

.
.

;
.

Odpowiedź

Przykład 2

Rozwiąż równanie różniczkowe metodą wariacji stałych Lagrange'a:
(8)

Rozwiązanie

Krok 1. Rozwiązanie równania jednorodnego

Rozwiązujemy jednorodne równanie różniczkowe:

(9)
Szukamy rozwiązania w postaci . Tworzymy równanie charakterystyczne:

To równanie ma złożone pierwiastki:
.
Podstawowy układ rozwiązań odpowiadający tym pierwiastkom ma postać:
(10) .
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (9):
(11) .

Krok 2. Wariacja stałych - zastępowanie stałych funkcjami

Teraz zmieniamy stałe C 1 i C 2 . Oznacza to, że stałe w (11) zastępujemy funkcjami:
.
Szukamy rozwiązania pierwotnego równania (8) w postaci:
(12) .

Co więcej, postęp rozwiązania jest taki sam jak w przykładzie 1. Dochodzimy do następny system równania do wyznaczania funkcji oraz:
(13) :
(14) .
Tutaj .

Rozwiązywanie układu równań

Rozwiążmy ten system. Zapiszmy wyrażenia dla funkcji i :
.
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.

Rozwiązujemy układ równań (13-14) metodą Cramera. Wyznacznik macierzy układu:

.
Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:
;
.

.
Ponieważ , znak modułu pod znakiem logarytmu można pominąć. Pomnóż licznik i mianownik przez:
.
Następnie
.

Ogólne rozwiązanie pierwotnego równania:


.

Liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu zwane równaniem postaci

y"" + P(X)y" + Q(X)y = F(X) ,

Gdzie y jest funkcją, którą należy znaleźć, oraz P(X) , Q(X) I F(X) - funkcje ciągłe w pewnym przedziale ( a, b) .

Jeśli prawa strona równania wynosi zero ( F(X) = 0), wówczas wywoływane jest równanie liniowe równanie jednorodne . Praktyczna część tej lekcji będzie poświęcona głównie takim równaniom. Jeżeli prawa strona równania nie jest równa zeru ( F(X) ≠ 0), wówczas równanie nazywa się .

W zadaniach, dla których mamy rozwiązać równanie y"" :

y"" = −P(X)y" − Q(X)y + F(X) .

Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu mają unikalne rozwiązanie Problemy Cauchy’ego .

Liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu i jego rozwiązanie

Rozważ liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu:

y"" + P(X)y" + Q(X)y = 0 .

Jeśli y1 (X) I y2 (X) są szczególnymi rozwiązaniami tego równania, to prawdziwe są następujące stwierdzenia:

1) y1 (X) + y 2 (X) - jest również rozwiązaniem tego równania;

2) Cy1 (X) , Gdzie C- dowolna stała (stała) jest również rozwiązaniem tego równania.

Z tych dwóch stwierdzeń wynika, że ​​funkcja

C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X)

jest również rozwiązaniem tego równania.

Powstaje zasadne pytanie: czy to jest rozwiązanie ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu , czyli takie rozwiązanie, w którym dla różnych wartości C1 I C2 Czy możliwe jest uzyskanie wszystkich możliwych rozwiązań równania?

Odpowiedź na to pytanie brzmi: być może, ale pod pewnymi warunkami. Ten od tego, jakie właściwości powinny mieć dane rozwiązania y1 (X) I y2 (X) .

I ten stan nazywa się stanem niezależność liniowa rozwiązania prywatne.

Twierdzenie. Funkcjonować C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) jest ogólnym rozwiązaniem liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu, jeśli funkcje y1 (X) I y2 (X) liniowo niezależny.

Definicja. Funkcje y1 (X) I y2 (X) nazywane są liniowo niezależnymi, jeśli ich stosunek jest stały niezerowy:

y1 (X)/y 2 (X) = k ; k = konst ; k ≠ 0 .

Jednak określenie z definicji, czy te funkcje są liniowo niezależne, jest często bardzo pracochłonne. Istnieje sposób ustalenia liniowej niezależności za pomocą wyznacznika Wrońskiego W(X) :

Jeżeli wyznacznik Wrońskiego nie jest równy zero, to rozwiązania są liniowo niezależne . Jeżeli wyznacznik Wrońskiego wynosi zero, wówczas rozwiązania są zależne liniowo.

Przykład 1. Znajdź ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Całkujemy dwukrotnie i jak łatwo zauważyć, aby różnica między drugą pochodną funkcji a samą funkcją była równa zero, rozwiązania należy skojarzyć z wykładnikiem, którego pochodna jest sobie równa. Oznacza to, że rozwiązania częściowe to i .

Ponieważ wyznacznik Wrońskiego

nie jest równa zeru, to rozwiązania te są liniowo niezależne. Dlatego ogólne rozwiązanie tego równania można zapisać jako

.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach: teoria i praktyka

Liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach zwane równaniem postaci

y"" + py" + q = 0 ,

Gdzie P I Q- wartości stałe.

O tym, że jest to równanie drugiego rzędu, świadczy obecność drugiej pochodnej żądanej funkcji, a o jej jednorodności świadczy zero po prawej stronie. Wspomniane już powyżej wartości nazywane są współczynnikami stałymi.

Do rozwiązać liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach , należy najpierw rozwiązać tzw. równanie charakterystyczne postaci

k² + pk + Q = 0 ,

co, jak widać, jest zwykłym równaniem kwadratowym.

W zależności od rozwiązania równania charakterystycznego możliwe są trzy różne opcje rozwiązania liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach , które teraz przeanalizujemy. Dla całkowitej pewności założymy, że wszystkie rozwiązania szczegółowe zostały sprawdzone przez wyznacznik Wrońskiego i nie we wszystkich przypadkach jest on równy zero. Wątpiący mogą jednak sprawdzić to sami.

Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i różne

Innymi słowy, . W tym przypadku rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

.

Przykład 2. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Przykład 3. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne ma postać , pierwiastki są rzeczywiste i odrębne. Odpowiednie częściowe rozwiązania równania to: i . Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

.

Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i równe

To jest, . W tym przypadku rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

.

Przykład 4. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne ma równe pierwiastki. Odpowiednie częściowe rozwiązania równania to: i . Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

Przykład 5. Rozwiąż liniowe jednorodne równanie różniczkowe

.

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne ma równe pierwiastki. Odpowiednie częściowe rozwiązania równania to: i . Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie

Akademia Rolnicza”

Katedra Matematyki Wyższej

Wytyczne

przestudiowanie tematu „Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu” przez studentów wydziału rachunkowości edukacji korespondencyjnej (NISPO)

Gorki, 2013

Liniowe równania różniczkowe

drugiego rzędu ze stałymiwspółczynniki

Liniowe jednorodne równania różniczkowe

Liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach zwane równaniem postaci

te. równanie, które zawiera żądaną funkcję i jej pochodne tylko w pierwszym stopniu i nie zawiera ich iloczynów. W tym równaniu I
- kilka liczb i funkcja
podawane w określonym odstępie czasu
.

Jeśli
na przerwie
, wówczas równanie (1) przyjmie postać

, (2)

i nazywa się liniowy jednorodny . W przeciwnym razie wywoływane jest równanie (1). liniowa niejednorodność .

Rozważmy funkcję złożoną

, (3)

Gdzie
I
- rzeczywiste funkcje. Jeżeli funkcja (3) jest złożonym rozwiązaniem równania (2), to część rzeczywista
i część urojona
rozwiązania
oddzielnie są rozwiązaniami tego samego jednorodnego równania. Zatem wszystko kompleksowe rozwiązanie równanie (2) generuje dwa rzeczywiste rozwiązania tego równania.

Roztwory jednorodne równanie liniowe mają właściwości:

Jeśli jest rozwiązaniem równania (2), to funkcją
, Gdzie Z– dowolna stała będzie również rozwiązaniem równania (2);

Jeśli I istnieją rozwiązania równania (2), a następnie funkcja
będzie także rozwiązaniem równania (2);

Jeśli I istnieją rozwiązania równania (2), a następnie ich kombinacja liniowa
będzie również rozwiązaniem równania (2), gdzie I
– dowolne stałe.

Funkcje
I
są nazywane liniowo zależne na przerwie
, jeśli takie liczby istnieją I
, nie równa się jednocześnie zeru, że na tym przedziale jest równość

Jeśli równość (4) występuje tylko wtedy, gdy
I
, a następnie funkcje
I
są nazywane liniowo niezależny na przerwie
.

Przykład 1 . Funkcje
I
są liniowo zależne, ponieważ
na całej osi liczbowej. W tym przykładzie
.

Przykład 2 . Funkcje
I
są liniowo niezależne w dowolnym przedziale, ponieważ równość
jest możliwe tylko w przypadku gdy
, I
.

Budowa rozwiązanie ogólne liniowy jednorodny

równania

Aby znaleźć ogólne rozwiązanie równania (2), należy znaleźć dwa jego liniowo niezależne rozwiązania I . Kombinacja liniowa tych rozwiązań
, Gdzie I
są dowolnymi stałymi i dadzą ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego.

Będziemy szukać liniowo niezależnych rozwiązań równania (2) w postaci

, (5)

Gdzie – pewna liczba. Następnie
,
. Podstawmy te wyrażenia do równania (2):

Lub
.

Ponieważ
, To
. Zatem funkcja
będzie rozwiązaniem równania (2), jeśli spełni równanie

. (6)

Równanie (6) nazywa się równanie charakterystyczne dla równania (2). To równanie jest algebraicznym równaniem kwadratowym.

Pozwalać I istnieją pierwiastki tego równania. Mogą być albo rzeczywiste i różne, albo złożone, albo rzeczywiste i równe. Rozważmy te przypadki.

Niech korzenie I równania charakterystyczne są rzeczywiste i odrębne. Wtedy rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, gdyż zachodzi równość
można przeprowadzić tylko wtedy, gdy
, I
. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać

,

Gdzie I
- dowolne stałe.

Przykład 3
.

Rozwiązanie . Równanie charakterystyczne dla tej różnicy będzie następujące
. Po rozwiązaniu tego równania kwadratowego znajdujemy jego pierwiastki
I
. Funkcje
I
są rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania jest następujące
.

Liczba zespolona zwane wyrażeniem formy
, Gdzie I są liczbami rzeczywistymi i
zwaną jednostką urojoną. Jeśli
, a następnie numer
nazywa się czysto urojonym. Jeśli
, a następnie numer
jest identyfikowany liczbą rzeczywistą .

Numer nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej, oraz - część urojona. Jeśli dwie liczby zespolone różnią się od siebie jedynie znakiem części urojonej, wówczas nazywa się je koniugatem:
,
.

Przykład 4 . Rozwiąż równanie kwadratowe
.

Rozwiązanie . Równanie dyskryminacyjne
. Następnie. Podobnie,
. Zatem to równanie kwadratowe ma sprzężone pierwiastki zespolone.

Niech pierwiastki równania charakterystycznego będą zespolone, tj.
,
, Gdzie
. Rozwiązania równania (2) można zapisać w postaci
,
Lub
,
. Według wzorów Eulera

,
.

Następnie ,. Jak wiadomo, jeśli funkcja zespolona jest rozwiązaniem liniowego równania jednorodnego, to rozwiązaniami tego równania są zarówno części rzeczywiste, jak i urojone tej funkcji. Zatem rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Od równości

można wykonać tylko wtedy, gdy
I
, to rozwiązania te są liniowo niezależne. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać

Gdzie I
- dowolne stałe.

Przykład 5 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Równanie
jest charakterystyczna dla danego mechanizmu różnicowego. Rozwiążmy to i uzyskajmy złożone korzenie
,
. Funkcje
I
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania to:

Niech pierwiastki równania charakterystycznego będą rzeczywiste i równe, tj.
. Wtedy rozwiązaniami równania (2) są funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ wyrażenie może być identycznie równe zeru tylko wtedy, gdy
I
. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać
.

Przykład 6 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Równanie charakterystyczne
ma równe pierwiastki
. W tym przypadku liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego są funkcje
I
. Rozwiązanie ogólne ma postać
.

Niejednorodne liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

i specjalna prawa strona

Ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania (1) jest równe sumie rozwiązania ogólnego
odpowiednie równanie jednorodne i dowolne szczególne rozwiązanie
równanie niejednorodne:
.

W niektórych przypadkach szczególne rozwiązanie niejednorodnego równania można znaleźć po prostu w postaci prawej strony
równanie (1). Przyjrzyjmy się przypadkom, w których jest to możliwe.

te. prawa strona niejednorodnego równania jest wielomianem stopnia M. Jeśli
nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci wielomianu stopnia M, tj.

Szanse
ustalane są w procesie poszukiwania konkretnego rozwiązania.

Jeśli
jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci

Przykład 7 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Odpowiednie równanie jednorodne dla tego równania to
. Jego charakterystyczne równanie
ma korzenie
I
. Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego ma postać
.

Ponieważ
nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wówczas będziemy szukać szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci funkcji
. Znajdźmy pochodne tej funkcji
,
i podstaw je do tego równania:

Lub . Przyrównajmy współczynniki dla i wolni członkowie:
Zdecydowawszy ten system, otrzymujemy
,
. Wtedy szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego ma postać
, a rozwiązaniem ogólnym danego równania niejednorodnego będzie suma rozwiązania ogólnego odpowiedniego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
.

Niech równanie niejednorodne będzie miało postać

Jeśli
nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci. Jeśli
jest pierwiastkiem charakterystycznego równania krotności k (k=1 lub k=2), to w tym przypadku szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego będzie miało postać .

Przykład 8 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Równanie charakterystyczne dla odpowiedniego równania jednorodnego ma postać
. Jego korzenie
,
. W takim przypadku ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego zapisuje się w postaci
.

Ponieważ liczba 3 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, należy szukać konkretnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci
. Znajdźmy pochodne pierwszego i drugiego rzędu:

Podstawiamy do równania różniczkowego:
+ +,
+,.

Przyrównajmy współczynniki dla i wolni członkowie:

Stąd
,
. Wtedy szczególne rozwiązanie tego równania ma postać
i rozwiązanie ogólne

.

Metoda Lagrange'a wariacji dowolnych stałych

Metodę zmieniania dowolnych stałych można zastosować do dowolnego niejednorodnego równania liniowego o stałych współczynnikach, niezależnie od rodzaju prawej strony. Ta metoda pozwala zawsze znaleźć ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego, jeśli znane jest ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego.

Pozwalać
I
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (2). Zatem ogólne rozwiązanie tego równania jest następujące
, Gdzie I
- dowolne stałe. Istota metody zmiennych dowolnych stałych polega na tym, że ogólnego rozwiązania równania (1) szuka się w postaci

Gdzie
I
- nowe nieznane funkcje, które należy znaleźć. Ponieważ istnieją dwie nieznane funkcje, aby je znaleźć, potrzebne są dwa równania zawierające te funkcje. Te dwa równania tworzą system

który jest liniowym algebraicznym układem równań ze względu na
I
. Znajdujemy rozwiązanie tego układu
I
. Całkując obie strony otrzymanych równości, znajdujemy

I
.

Podstawiając te wyrażenia do (9) otrzymujemy ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania liniowego (1).

Przykład 9 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego odpowiadającego danemu równaniu różniczkowemu to
. Jego korzenie są złożone
,
. Ponieważ
I
, To
,
, a ogólne rozwiązanie równania jednorodnego ma postać. Następnie będziemy szukać ogólnego rozwiązania tego niejednorodnego równania w postaci gdzie
I
- nieznane funkcje.

Układ równań do znajdowania tych nieznanych funkcji ma postać

Po rozwiązaniu tego systemu znajdujemy
,
. Następnie

,
. Podstawmy otrzymane wyrażenia do wzoru na rozwiązanie ogólne:

Jest to ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego, otrzymane metodą Lagrange'a.

Pytania do samokontroli wiedzy

Jakie równanie różniczkowe nazywa się liniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami?

Które liniowe równanie różniczkowe nazywamy jednorodnym, a które niejednorodnym?

Jakie właściwości ma liniowe równanie jednorodne?

Jakie równanie nazywa się charakterystycznym dla liniowego równania różniczkowego i jak je uzyskać?

W jakiej formie zapisane jest ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach w przypadku różnych pierwiastków równania charakterystycznego?

W jakiej formie zapisane jest ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach w przypadku równych pierwiastków równania charakterystycznego?

W jakiej formie zapisywane jest ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach w przypadku zespolonych pierwiastków równania charakterystycznego?

Jak zapisuje się ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania?

W jakiej postaci szuka się szczególnego rozwiązania liniowego równania niejednorodnego, jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego są różne i nierówne zeru, a prawa strona równania jest wielomianem stopnia M?

W jakiej postaci szuka się konkretnego rozwiązania liniowego równania niejednorodnego, jeśli wśród pierwiastków równania charakterystycznego jest jedno zero, a prawa strona równania jest wielomianem stopnia M?

Na czym polega istota metody Lagrange’a?

W tym akapicie omówimy szczególny przypadek równania liniowe drugiego rzędu, gdy współczynniki równania są stałe, to znaczy są liczbami. Takie równania nazywane są równaniami o stałych współczynnikach. Ten typ równań znajduje szczególnie szerokie zastosowanie.

1. Liniowe jednorodne równania różniczkowe

drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

Rozważ równanie

w którym współczynniki są stałe. Zakładając, że podzielenie wszystkich wyrazów równania przez i oznaczanie

Zapiszmy to równanie w postaci

Jak wiadomo, aby znaleźć ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania drugiego rzędu, wystarczy je znać system podstawowy rozwiązania prywatne. Pokażemy, jak znaleźć podstawowy układ rozwiązań cząstkowych jednorodnego liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Będziemy szukać konkretnego rozwiązania tego równania w postaci

Różniczkując tę ​​funkcję dwukrotnie i podstawiając wyrażenia do równania (59) otrzymujemy

Ponieważ , następnie redukując przez otrzymujemy równanie

Z tego równania wyznaczane są te wartości k, dla których funkcja będzie rozwiązaniem równania (59).

Równanie algebraiczne (61) służące do wyznaczenia współczynnika k nazywa się równaniem charakterystycznym tego równania różniczkowego (59).

Równanie charakterystyczne jest równaniem drugiego stopnia i dlatego ma dwa pierwiastki. Pierwiastki te mogą być albo naprawdę odrębne, rzeczywiste i równe, albo sprzężone zespolone.

Zastanówmy się, jaką postać ma podstawowy układ poszczególnych rozwiązań w każdym z tych przypadków.

1. Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i różne: . W tym przypadku korzystając ze wzoru (60) znajdujemy dwa rozwiązania cząstkowe:

Te dwa szczególne rozwiązania tworzą podstawowy układ rozwiązań na całej osi liczbowej, gdyż wyznacznik Wrońskiego nigdzie nie znika:

W związku z tym ogólne rozwiązanie równania według wzoru (48) ma postać

2. Pierwiastki równania charakterystycznego są równe: . W tym przypadku oba pierwiastki będą prawdziwe. Stosując wzór (60) otrzymujemy tylko jedno konkretne rozwiązanie

Pokażmy, że drugie rozwiązanie szczegółowe, które wraz z pierwszym tworzy system fundamentalny, ma postać

Na początek sprawdźmy, czy funkcja jest rozwiązaniem równania (59). Naprawdę,

Ale ponieważ istnieje pierwiastek równania charakterystycznego (61). Ponadto, zgodnie z twierdzeniem Viety, Zatem . Zatem , czyli funkcja rzeczywiście jest rozwiązaniem równania (59).

Pokażemy teraz, że znalezione rozwiązania cząstkowe tworzą podstawowy układ rozwiązań. Naprawdę,

Zatem w tym przypadku ogólne rozwiązanie jednorodnego równania liniowego ma postać

3. Pierwiastki równania charakterystycznego są złożone. Jak wiadomo, złożone korzenie równanie kwadratowe z rzeczywistymi współczynnikami są sprzężone Liczby zespolone, czyli wyglądają jak: . W tym przypadku rozwiązania cząstkowe równania (59), zgodnie ze wzorem (60), będą miały postać:

Korzystając ze wzorów Eulera (patrz rozdział XI, § 5, akapit 3), wyrażenia na można zapisać jako:

Rozwiązania te mają charakter kompleksowy. Aby uzyskać prawidłowe rozwiązania, rozważ nowe funkcje

Są to liniowe kombinacje rozwiązań i dlatego same są rozwiązaniami równania (59) (patrz § 3 ust. 2 Twierdzenie 1).

Łatwo pokazać, że wyznacznik Wrońskiego dla tych rozwiązań jest różny od zera i dlatego rozwiązania te tworzą podstawowy układ rozwiązań.

Zatem ogólne rozwiązanie jednorodnego liniowego równania różniczkowego w przypadku złożonych pierwiastków równania charakterystycznego ma postać

Na zakończenie przedstawiamy tabelę wzorów ogólnego rozwiązania równania (59) w zależności od rodzaju pierwiastków równania charakterystycznego.