UKŁAD JEDNORODNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Układ jednorodny równania liniowe zwany systemem formy

To oczywiste, że w tym przypadku , ponieważ wszystkie elementy jednej z kolumn tych wyznaczników są równe zero.

Ponieważ niewiadome znajdują się zgodnie ze wzorami , to w przypadku, gdy Δ ≠ 0, układ ma jednoznaczne rozwiązanie zerowe X = y = z= 0. Jednak w przypadku wielu problemów interesującym pytaniem jest to, czy układ jednorodny ma rozwiązania inne niż zero.

Twierdzenie. W celu układu liniowego równania jednorodne miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ ≠ 0.

Jeśli więc wyznacznik Δ ≠ 0, to układ ma rozwiązanie jednoznaczne. Jeśli Δ ≠ 0, to układ liniowych równań jednorodnych ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Przykłady.

Wektory własne i wartości własne macierzy

Niech będzie dana macierz kwadratowa , X– jakaś macierz-kolumna, której wysokość pokrywa się z rzędem macierzy A. .

W wielu problemach musimy wziąć pod uwagę równanie X

gdzie λ jest pewną liczbą. Oczywiste jest, że dla dowolnego λ równanie to ma rozwiązanie zerowe.

Nazywa się liczbę λ, dla której to równanie ma niezerowe rozwiązania wartość własna matryce A, A X dla takiego λ nazywa się wektor własny matryce A.

Znajdźmy wektor własny macierzy A. Ponieważ mi∙X = X, wówczas równanie macierzowe można przepisać jako Lub . W rozszerzonej formie równanie to można przepisać jako układ równań liniowych. Naprawdę .

I dlatego

Otrzymaliśmy w ten sposób układ jednorodnych równań liniowych do wyznaczania współrzędnych x 1, x 2, x 3 wektor X. Aby układ miał rozwiązania niezerowe konieczne i wystarczające jest, aby wyznacznik układu był równy zeru, tj.

Jest to równanie trzeciego stopnia dla λ. To jest nazwane równanie charakterystyczne matryce A i służy do określenia wartości własnych λ.

Każda wartość własna λ odpowiada wektorowi własnemu X, którego współrzędne wyznaczane są z układu przy odpowiedniej wartości λ.

Przykłady.

ALGEBRA WEKTOROWA. KONCEPCJA WEKTORA

Studiując różne gałęzie fizyki, istnieją wielkości, które są całkowicie określone poprzez określenie ich wartości liczbowych, na przykład długości, powierzchni, masy, temperatury itp. Wielkości takie nazywane są skalarami. Jednak oprócz nich istnieją również wielkości, dla których, oprócz wartości liczbowej, konieczna jest znajomość ich kierunku w przestrzeni, np. siły działającej na ciało, prędkości i przyspieszenia ciała. ciało poruszające się w przestrzeni, napięcie pole magnetyczne w danym punkcie przestrzeni itp. Wielkości takie nazywane są wielkościami wektorowymi.

Wprowadźmy ścisłą definicję.

Odcinek reżyserowany Nazwijmy odcinek, po którego końcach wiadomo, który z nich jest pierwszy, a który drugi.

Wektor nazywany segmentem skierowanym mającym określoną długość, tj. Jest to odcinek o określonej długości, w którym jeden z ograniczających go punktów przyjmuje się za początek, a drugi za koniec. Jeśli A– początek wektora, B jest jego końcem, wówczas wektor oznacza się symbolem, ponadto wektor często oznacza się pojedynczą literą. Na rysunku wektor jest oznaczony segmentem, a jego kierunek strzałką.

Moduł Lub długość Wektor nazywa się długością skierowanego odcinka, który go definiuje. Oznaczone przez || lub ||.

Jako wektory uwzględnimy także tzw. wektor zerowy, którego początek i koniec pokrywają się. Jest wyznaczony. Wektor zerowy nie ma określonego kierunku, a jego moduł wynosi zero ||=0.

Nazywa się wektory współliniowy, jeżeli znajdują się na tej samej linii lub na liniach równoległych. Co więcej, jeśli wektory i są w tym samym kierunku, napiszemy , przeciwnie.

Nazywa się wektory położone na liniach prostych równoległych do tej samej płaszczyzny współpłaszczyznowy.

Nazywa się te dwa wektory równy, jeśli są współliniowe, mają ten sam kierunek i są równej długości. W tym wypadku piszą.

Z definicji równości wektorów wynika, że ​​wektor może być transportowany równolegle do siebie, umieszczając swój początek w dowolnym punkcie przestrzeni.

Na przykład.

DZIAŁANIA LINIOWE NA WEKTORACH

1. Mnożenie wektora przez liczbę.

   Iloczyn wektora i liczby λ jest nowym wektorem takim, że:

   Iloczyn wektora i liczby λ jest oznaczony przez .

   

   Na przykład, istnieje wektor skierowany w tym samym kierunku co wektor i mający długość o połowę krótszą od wektora.

   Wprowadzona operacja ma następującą postać nieruchomości:

2. Dodatek wektorowy.

   Niech i będą dwoma dowolnymi wektorami. Weźmy dowolny punkt O i skonstruuj wektor. Potem od rzeczy A odłóżmy wektor na bok. Nazywa się wektor łączący początek pierwszego wektora z końcem drugiego kwota tych wektorów i jest oznaczone .

   

   Sformułowana definicja dodawania wektorów nazywa się reguła równoległoboku, ponieważ tę samą sumę wektorów można otrzymać w następujący sposób. Odłóżmy od tematu O wektory i . Zbudujmy równoległobok na tych wektorach OABC. Skoro wektory, to wektor, który jest przekątną równoległoboku narysowanego od wierzchołka O, będzie oczywiście sumą wektorów.

   

   Łatwo jest sprawdzić poniższe właściwości dodawania wektorów.

3. Różnica wektorowa.

   Nazywa się wektor współliniowy z danym wektorem, równy długości i przeciwnie skierowany naprzeciwko wektor dla wektora i jest oznaczony przez . Przeciwny wektor można uznać za wynik pomnożenia wektora przez liczbę λ = –1: .

Wartości własne (liczby) i wektory własne.
Przykłady rozwiązań

Bądź sobą

Z obu równań wynika, że ​​.

Ujmijmy to zatem: .

W rezultacie: – drugi wektor własny.

Powtórzmy ważne punkty rozwiązania:

– powstały system z pewnością tak wspólna decyzja(równania są liniowo zależne);

– wybieramy „y” w taki sposób, aby było liczbą całkowitą, a pierwsza współrzędna „x” była liczbą całkowitą, dodatnią i jak najmniejszą.

– sprawdzamy, czy dane rozwiązanie spełnia każde równanie układu.

Odpowiedź .

Mediator " punkty kontrolne” było w zupełności wystarczające, więc sprawdzanie równości jest w zasadzie niepotrzebne.

W różnych źródłach informacji współrzędne wektorów własnych są często zapisywane nie w kolumnach, ale w wierszach, na przykład: (i szczerze mówiąc, sam jestem przyzwyczajony do zapisywania ich liniami). Ta opcja jest do przyjęcia, ale w świetle tematu przekształcenia liniowe technicznie wygodniejszy w użyciu wektory kolumnowe.

Być może rozwiązanie wydawało ci się bardzo długie, ale dzieje się tak tylko dlatego, że bardzo szczegółowo skomentowałem pierwszy przykład.

Przykład 2

Matryce

Trenujmy sami! Przybliżony przykład końcowego zadania na koniec lekcji.

Czasami trzeba to zrobić dodatkowe zadanie, a mianowicie:

napisz rozkład macierzy kanonicznej

Co to jest?

Jeżeli wektory własne macierzy mają postać podstawa, to można to przedstawić jako:

Gdzie jest macierzą złożoną ze współrzędnych wektorów własnych, – przekątna macierz z odpowiednimi wartościami własnymi.

Ten rozkład macierzy nazywa się kanoniczny Lub przekątna.

Spójrzmy na macierz z pierwszego przykładu. Jego wektory własne liniowo niezależny(niewspółliniowy) i tworzą bazę. Stwórzmy macierz ich współrzędnych:

NA główna przekątna matryce w odpowiedniej kolejności znajdują się wartości własne, a pozostałe elementy są równe zeru:
– Jeszcze raz podkreślam znaczenie porządku: „dwa” odpowiada 1. wektorowi i dlatego znajduje się w 1. kolumnie, „trzy” – 2. wektorowi.

Przez do zwykłego algorytmu odkrycie odwrotna macierz Lub Metoda Gaussa-Jordana znaleźliśmy . Nie, to nie jest literówka! - przed tobą rzadkie wydarzenie, jak zaćmienie słońca, kiedy odwrotność zbiegła się z pierwotną matrycą.

Pozostaje zapisać rozkład kanoniczny macierzy:

Układ można rozwiązać za pomocą elementarnych przekształceń i będziemy się do tego odwoływać w poniższych przykładach Ta metoda. Ale tutaj metoda „szkolna” działa znacznie szybciej. Z trzeciego równania wyrażamy: – podstawiamy do drugiego równania:

Ponieważ pierwsza współrzędna wynosi zero, otrzymujemy układ, z którego z każdego równania wynika, że ​​.

I jeszcze raz zwróć uwagę na obowiązkową obecność zależności liniowej. Jeśli zostanie uzyskane tylko trywialne rozwiązanie , wówczas albo wartość własna została znaleziona niepoprawnie, albo system został skompilowany/rozwiązany z błędem.

Kompaktowe współrzędne dają wartość

Wektor własny:

I jeszcze raz sprawdzamy, czy rozwiązanie zostało znalezione spełnia każde równanie układu. W kolejnych akapitach i w kolejnych zadaniach polecam przyjąć to życzenie jako zasadę obowiązującą.

2) Dla wartości własnej, korzystając z tej samej zasady, otrzymujemy następujący system:

Z drugiego równania układu wyrażamy: – podstawiamy do trzeciego równania:

Ponieważ współrzędna „zeta” jest równa zeru, z każdego równania, z którego wynika, otrzymujemy układ zależność liniowa.

Pozwalać

Sprawdzam, czy jest to rozwiązanie spełnia każde równanie układu.

Zatem wektor własny to: .

3) I wreszcie system odpowiada wartości własnej:

Drugie równanie wygląda na najprostsze, więc wyrażmy je i podstawimy do równań 1. i 3.:

Wszystko jest w porządku – powstała zależność liniowa, którą podstawiamy do wyrażenia:

W efekcie „x” i „y” wyrażono poprzez „z”: . W praktyce nie jest konieczne osiągnięcie dokładnie takich relacji, w niektórych przypadkach wygodniej jest wyrazić zarówno poprzez, jak i poprzez. Lub nawet „trenuj” - na przykład „X” do „I” i „I” do „Z”

Ujmijmy to zatem:

Sprawdzamy, czy znaleziono rozwiązanie spełnia każde równanie układu i zapisuje trzeci wektor własny

Odpowiedź: wektory własne:

Geometrycznie wektory te definiują trzy różne kierunki przestrzenne ("Tam i z powrotem"), według którego transformacja liniowa przekształca niezerowe wektory (wektory własne) w wektory współliniowe.

Jeśli warunek wymagał znalezienia rozkładu kanonicznego, to jest to tutaj możliwe, ponieważ różne wartości własne odpowiadają różnym liniowo niezależnym wektorom własnym. Tworzenie matrycy z ich współrzędnych macierz diagonalna z odpowiedni wartości własne i znajdź odwrotna macierz .

Jeśli pod warunkiem musisz napisać macierz transformacji liniowej na podstawie wektorów własnych, wówczas podajemy odpowiedź w formularzu . Jest różnica i to znacząca! Ponieważ ta macierz jest macierzą „de”.

Problem z większą ilością proste obliczenia Dla niezależna decyzja:

Przykład 5

Znajdź wektory własne transformacji liniowej podane przez macierz

Szukając własnych liczb, staraj się nie dochodzić do wielomianu trzeciego stopnia. Ponadto Twoje rozwiązania systemowe mogą różnić się od moich rozwiązań – tutaj nie ma pewności; a wektory, które znajdziesz, mogą różnić się od wektorów przykładowych aż do proporcjonalności ich odpowiednich współrzędnych. Na przykład i. Bardziej estetyczne jest przedstawienie odpowiedzi w formularzu, ale nie ma nic złego w tym, że poprzestaniemy na drugiej opcji. Wszystko ma jednak rozsądne granice, wersja nie wygląda już zbyt dobrze.

Przybliżona ostateczna próbka zadania na końcu lekcji.

Jak rozwiązać problem w przypadku wielu wartości własnych?

Algorytm ogólny pozostaje taki sam, ale ma swoją własną charakterystykę i wskazane jest utrzymanie niektórych części rozwiązania w bardziej rygorystycznym stylu akademickim:

Przykład 6

Znajdź wartości własne i wektory własne

Rozwiązanie

Oczywiście, kapitalizujmy wspaniałą pierwszą kolumnę:

I po rozkładzie trójmian kwadratowy przez mnożniki:

W rezultacie uzyskuje się wartości własne, z których dwie są wielokrotnościami.

Znajdźmy wektory własne:

1) Rozprawmy się z samotnym żołnierzem według „uproszczonego” schematu:

Z dwóch ostatnich równań wyraźnie widać równość, którą oczywiście należy podstawić do pierwszego równania układu:

Lepszej kombinacji nie znajdziesz:
Wektor własny:

2-3) Teraz usuwamy kilku wartowników. W w tym przypadku może się udać albo dwa, albo jeden wektor własny. Niezależnie od krotności pierwiastków, podstawiamy wartość do wyznacznika co przynosi nam następny jednorodny układ równań liniowych:

Wektory własne są dokładnie wektorami
podstawowy system rozwiązań

Właściwie przez całą lekcję nie robiliśmy nic innego, jak tylko znajdowaliśmy wektory układu podstawowego. Tyle, że na razie określenie to nie było szczególnie potrzebne. Swoją drogą, ci sprytni studenci, którzy przegapili temat w kostiumach kamuflażowych równania jednorodne, będę zmuszony go teraz zapalić.

Jedynym działaniem było usunięcie dodatkowych linii. Rezultatem jest macierz jeden na trzy z formalnym „krokiem” pośrodku.
– zmienna podstawowa, – zmienne wolne. Istnieją zatem dwie zmienne wolne istnieją również dwa wektory układu podstawowego.

Wyraźmy zmienną podstawową za pomocą zmiennych wolnych: . Mnożnik zera przed „X” pozwala mu przyjmować absolutnie dowolne wartości (co wyraźnie widać z układu równań).

W kontekście tego problemu wygodniej jest zapisać ogólne rozwiązanie nie w rzędzie, ale w kolumnie:

Para odpowiada wektorowi własnemu:
Para odpowiada wektorowi własnemu:

Notatka : wyrafinowani czytelnicy mogą wybrać te wektory ustnie – po prostu analizując system , ale tutaj potrzebna jest pewna wiedza: są trzy zmienne, ranga macierzy systemu- jeden, co oznacza podstawowy system decyzyjny składa się z 3 – 1 = 2 wektorów. Jednak znalezione wektory są wyraźnie widoczne nawet bez tej wiedzy, wyłącznie na poziomie intuicyjnym. W tym przypadku trzeci wektor zostanie zapisany jeszcze „piękniej”: . Ostrzegam jednak, że w innym przykładzie prosty wybór może nie być możliwy, dlatego klauzula przeznaczona jest dla osób doświadczonych. Ponadto, dlaczego nie wziąć, powiedzmy, jako trzeciego wektora? Przecież jego współrzędne spełniają również każde równanie układu i wektory liniowo niezależny. Ta opcja jest w zasadzie odpowiednia, ale „krzywa”, ponieważ „inny” wektor jest liniową kombinacją wektorów układu podstawowego.

Odpowiedź: wartości własne: , wektory własne:

Podobny przykład rozwiązania niezależnego:

Przykład 7

Znajdź wartości własne i wektory własne

Przybliżona próbka ostatecznego projektu na koniec lekcji.

Należy zauważyć, że zarówno w szóstym, jak i siódmym przykładzie otrzymano potrójną liniowo niezależnych wektorów własnych, a zatem pierwotna macierz jest reprezentatywna w rozkładzie kanonicznym. Ale takie maliny nie zdarzają się we wszystkich przypadkach:

Przykład 8

Rozwiązanie: Utwórzmy i rozwiążmy równanie charakterystyczne:

Rozwińmy wyznacznik w pierwszej kolumnie:

Dalsze uproszczenia przeprowadzamy zgodnie z rozważaną metodą, unikając wielomianu trzeciego stopnia:

– wartości własne.

Znajdźmy wektory własne:

1) Nie ma trudności z rootem:

Nie zdziw się, oprócz zestawu, w użyciu są także zmienne – tutaj nie ma żadnej różnicy.

Z 3. równania wyrażamy to i podstawiamy do 1. i 2. równania:

Z obu równań wynika:

Niech więc:

2-3) Dla wielu wartości otrzymujemy system .

Zapiszmy macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

www.strona pozwala znaleźć. Witryna wykonuje obliczenia. W ciągu kilku sekund serwer poda prawidłowe rozwiązanie. Równanie charakterystyczne macierzy będzie wyrażenie algebraiczne, znalezione przez regułę obliczania wyznacznika matryce matryce, natomiast wzdłuż głównej przekątnej wystąpią różnice w wartościach elementów diagonalnych i zmiennej. Podczas obliczania równanie charakterystyczne macierzy online, każdy element matryce zostanie pomnożona przez odpowiednie inne elementy matryce. Znajdź w trybie online możliwe tylko dla kwadratu matryce. Znalezienie operacji równanie charakterystyczne macierzy online sprowadza się do obliczenia sumy algebraicznej iloczynu pierwiastków matryce w wyniku znalezienia wyznacznika matryce, jedynie w celu ustalenia równanie charakterystyczne macierzy online. Ta operacja zajmuje w teorii szczególne miejsce matryce, pozwala znaleźć wartości własne i wektory za pomocą pierwiastków. Zadanie znalezienia równanie charakterystyczne macierzy online składa się z mnożenia elementów matryce następnie sumowanie tych produktów według określonej reguły. www.strona znajdzie równanie charakterystyczne macierzy dany wymiar w trybie online. Obliczenie równanie charakterystyczne macierzy online biorąc pod uwagę jego wymiar, jest to znalezienie wielomianu o współczynnikach liczbowych lub symbolicznych, znalezionych zgodnie z regułą obliczania wyznacznika matryce- jako suma iloczynów odpowiednich elementów matryce, jedynie w celu ustalenia równanie charakterystyczne macierzy online. Znajdowanie wielomianu ze względu na zmienną dla kwadratu matryce, jako definicja równanie charakterystyczne macierzy, powszechne w teorii matryce. Znaczenie pierwiastków wielomianu równanie charakterystyczne macierzy online służy do wyznaczania wektorów własnych i wartości własnych dla matryce. Co więcej, jeśli wyznacznik matryce będzie wtedy równa zeru równanie charakterystyczne macierzy będzie nadal istnieć, w przeciwieństwie do sytuacji odwrotnej matryce. Aby obliczyć równanie charakterystyczne macierzy lub znajdź kilka na raz równania charakterystyczne macierzy, musisz poświęcić dużo czasu i wysiłku, a nasz serwer znajdzie to w ciągu kilku sekund równanie charakterystyczne macierzy online. W tym przypadku odpowiedź na znalezienie równanie charakterystyczne macierzy online będzie poprawny i z wystarczającą dokładnością, nawet jeśli liczby zostaną znalezione równanie charakterystyczne macierzy online będzie irracjonalne. Na stronie www.strona W elementach dozwolone są wpisy znakowe matryce, to jest równanie charakterystyczne macierzy online można przedstawić w ogólnej formie symbolicznej podczas obliczeń równanie charakterystyczne macierzy online. Przy rozwiązywaniu problemu znalezienia warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź równanie charakterystyczne macierzy online korzystanie z witryny www.strona. Podczas wykonywania operacji obliczania wielomianu - równanie charakterystyczne macierzy, przy rozwiązywaniu tego problemu należy zachować ostrożność i szczególną koncentrację. Z kolei nasza strona pomoże Ci sprawdzić decyzję w danym temacie równanie charakterystyczne macierzy online. Jeśli nie masz czasu na długie sprawdzanie rozwiązanych problemów, to www.strona z pewnością będzie wygodnym narzędziem do sprawdzania przy znajdowaniu i obliczaniu równanie charakterystyczne macierzy online.

Wektor własny macierzy kwadratowej to taki, który pomnożony przez daną macierz daje wektor współliniowy. W prostych słowach, mnożąc macierz przez wektor własny, ten ostatni pozostaje taki sam, ale pomnożony przez określoną liczbę.

Definicja

Wektor własny jest niezerowym wektorem V, który pomnożony przez macierz kwadratową M sam zostaje powiększony o pewną liczbę λ. W notacji algebraicznej wygląda to następująco:

M × V = λ × V,

gdzie λ jest wartością własną macierzy M.

Rozważmy przykład numeryczny. Dla ułatwienia zapisu liczby w macierzy będą oddzielone średnikiem. Miejmy macierz:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pomnóżmy to przez wektor kolumnowy:

• V = -2;

Kiedy mnożymy macierz przez wektor kolumnowy, otrzymujemy również wektor kolumnowy. Ścisły język matematyczny Wzór na pomnożenie macierzy 2 × 2 przez wektor kolumnowy wyglądałby następująco:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 oznacza element macierzy M znajdujący się w pierwszym rzędzie i pierwszej kolumnie, natomiast M22 oznacza element znajdujący się w drugim rzędzie i drugiej kolumnie. Dla naszej macierzy elementy te są równe M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Dla wektora kolumnowego wartości te są równe V11 = –2, V21 = 1. Zgodnie z tym wzorem otrzymujemy następujący wynik iloczynu macierzy kwadratowej przez wektor:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Dla wygody napiszmy wektor kolumnowy w wierszu. Zatem pomnożyliśmy macierz kwadratową przez wektor (-2; 1), w wyniku czego otrzymaliśmy wektor (4; -2). Oczywiście jest to ten sam wektor pomnożony przez λ = -2. Lambda w tym przypadku oznacza wartość własną macierzy.

Wektor własny macierzy jest wektorem współliniowym, czyli obiektem, który nie zmienia swojego położenia w przestrzeni po pomnożeniu przez macierz. Pojęcie kolinearności w algebrze wektorowej jest podobne do pojęcia równoległości w geometrii. W interpretacji geometrycznej wektory współliniowe są równoległymi odcinkami o różnych długościach. Od czasów Euklidesa wiemy, że na jedną prostą przypada nieskończona liczba prostych równoległych do niej, zatem logiczne jest założenie, że każda macierz ma nieskończoną liczbę wektorów własnych.

Z poprzedniego przykładu jasno wynika, że ​​wektorami własnymi mogą być (-8; 4), (16; -8) i (32, -16). Są to wszystkie wektory współliniowe odpowiadające wartości własnej λ = -2. Mnożąc pierwotną macierz przez te wektory, nadal otrzymamy wektor różniący się od oryginału 2 razy. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów znalezienia wektora własnego konieczne jest znalezienie tylko liniowo niezależnych obiektów wektorowych. Najczęściej dla macierzy n × n istnieje n wektorów własnych. Nasz kalkulator jest przeznaczony do analizy macierzy kwadratowych drugiego rzędu, więc prawie zawsze w wyniku zostaną znalezione dwa wektory własne, z wyjątkiem przypadków, gdy się pokrywają.

W powyższym przykładzie znaliśmy z góry wektor własny oryginalnej macierzy i jasno określiliśmy liczbę lambda. Jednak w praktyce wszystko dzieje się na odwrót: najpierw znajdują się wartości własne, a dopiero potem wektory własne.

Algorytm rozwiązania

Spójrzmy jeszcze raz na pierwotną macierz M i spróbujmy znaleźć oba jej wektory własne. Zatem macierz wygląda następująco:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Najpierw należy wyznaczyć wartość własną λ, co wymaga obliczenia wyznacznika macierzy:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

Macierz tę uzyskuje się odejmując niewiadomą λ od elementów na głównej przekątnej. Wyznacznik wyznacza się za pomocą standardowego wzoru:

• detA = M11 × M21 – M12 × M22
• detA = (0 – λ) × (10 – λ) – 24

Ponieważ nasz wektor musi być różny od zera, przyjmujemy otrzymane równanie jako liniowo zależne i przyrównujemy naszą wyznacznik detA do zera.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

Otwórzmy nawiasy i uzyskajmy równanie charakterystyczne macierzy:

λ 2 - 10 λ - 24 = 0

To jest standardowe równanie kwadratowe, które należy rozwiązać za pomocą dyskryminatora.

re = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Pierwiastkiem dyskryminatora jest sqrt(D) = 14, zatem λ1 = -2, λ2 = 12. Teraz dla każdej wartości lambda musimy znaleźć wektor własny. Wyraźmy współczynniki systemowe dla λ = -2.

• M - λ × mi = 2; 4;
• 6; 12.

W tym wzorze E jest macierzą tożsamości. Na podstawie otrzymanej macierzy tworzymy układ równań liniowych:

2x + 4 lata = 6x + 12 lat,

gdzie x i y są elementami wektorów własnych.

Zbierzmy wszystkie X po lewej stronie i wszystkie Y po prawej. Oczywiście - 4x = 8 lat. Podziel wyrażenie przez - 4 i otrzymaj x = –2y. Teraz możemy wyznaczyć pierwszy wektor własny macierzy, przyjmując dowolne wartości niewiadomych (pamiętajmy o nieskończoności wektorów własnych liniowo zależnych). Weźmy y = 1, następnie x = –2. Dlatego pierwszy wektor własny wygląda jak V1 = (–2; 1). Wróć na początek artykułu. To właśnie ten obiekt wektorowy pomnożyliśmy macierz, aby zademonstrować koncepcję wektora własnego.

Znajdźmy teraz wektor własny dla λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Stwórzmy ten sam układ równań liniowych;

• -12x + 4 lata = 6x - 2 lata
• -18x = -6 lat
• 3x = y.

Teraz bierzemy x = 1, zatem y = 3. Zatem drugi wektor własny wygląda jak V2 = (1; 3). Mnożąc pierwotną macierz przez zadany wektor, otrzymamy zawsze ten sam wektor pomnożony przez 12. Na tym kończy się algorytm rozwiązania. Teraz wiesz, jak ręcznie wyznaczyć wektor własny macierzy.

• wyznacznik;
• ślad, czyli suma elementów na głównej przekątnej;
• ranga, czyli maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy/kolumn.

Program działa według powyższego algorytmu, maksymalnie skracając proces rozwiązania. Warto zaznaczyć, że w programie lambda oznaczona jest literą „c”. Spójrzmy na przykład numeryczny.

Przykład działania programu

Spróbujmy wyznaczyć wektory własne dla następującej macierzy:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Wprowadźmy te wartości do komórek kalkulatora i uzyskajmy odpowiedź w następującej formie:

• Ranga matrycy: 2;
• Wyznacznik macierzy: 18;
• Ślad matrycy: 19;
• Obliczanie wektora własnego: c 2 − 19,00c + 18,00 (równanie charakterystyczne);
• Obliczenie wektora własnego: 18 (pierwsza wartość lambda);
• Obliczenie wektora własnego: 1 (druga wartość lambda);
• Układ równań dla wektora 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Układ równań dla wektora 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Wektor własny 1: (1; 1);
• Wektor własny 2: (-3,25; 1).

W ten sposób otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne wektory własne.

Wniosek

Algebra liniowa i geometria analityczna to standardowe przedmioty dla każdego studenta pierwszego roku inżynierii. Duża liczba wektorów i macierzy jest przerażająca, a przy tak uciążliwych obliczeniach łatwo jest popełnić błąd. Nasz program pozwoli studentom sprawdzić swoje obliczenia lub automatycznie rozwiązać problem znalezienia wektora własnego. W naszym katalogu znajdziesz inne kalkulatory algebry liniowej, wykorzystaj je na studiach lub w pracy.

Macierze diagonalne mają najprostszą strukturę. Powstaje pytanie, czy można znaleźć bazę, w której macierz operatora liniowego miałaby postać diagonalną. Taka podstawa istnieje.
Dana jest nam przestrzeń liniowa R n i działający w niej operator liniowy A; w tym przypadku operator A bierze w siebie R n, czyli A:R n → R n .

Definicja. Niezerowy wektor nazywany jest wektorem własnym operatora A, jeśli operator A przekłada się na wektor współliniowy. Liczba λ nazywana jest wartością własną lub wartością własną operatora A, odpowiadającą wektorowi własnemu.
Zwróćmy uwagę na niektóre właściwości wartości własnych i wektorów własnych.
1. Dowolna kombinacja liniowa wektorów własnych operator A odpowiadający tej samej wartości własnej λ jest wektorem własnym o tej samej wartości własnej.
2. Wektory własne operator A z parami różnymi wartościami własnymi λ 1 , λ 2 , …, λ m są liniowo niezależne.
3. Jeśli wartości własne λ 1 = λ 2 = λ m = λ, to wartość własna λ odpowiada nie więcej niż m liniowo niezależnym wektorom własnym.

Zatem, jeśli istnieje n liniowo niezależnych wektorów własnych , odpowiadające różnym wartościom własnym λ 1, λ 2, ..., λ n, wówczas są one liniowo niezależne, dlatego można je przyjąć jako podstawę przestrzeni R n. Znajdźmy postać macierzy operatora liniowego A na podstawie jego wektorów własnych, dla których będziemy działać z operatorem A na podstawie wektorów bazowych: Następnie .
Zatem macierz operatora liniowego A na podstawie jego wektorów własnych ma postać diagonalną, a wartości własne operatora A są wzdłuż przekątnej.
Czy istnieje inna baza, w której macierz ma postać diagonalną? Odpowiedź na to pytanie daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Macierz operatora liniowego A w bazie (i = 1..n) ma postać diagonalną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wektory bazy są wektorami własnymi operatora A.

Zasada znajdowania wartości własnych i wektorów własnych

Niech będzie dany wektor , gdzie x 1, x 2, …, x n są współrzędnymi wektora względem podstawy i jest wektorem własnym operatora liniowego A odpowiadającym wartości własnej λ, to znaczy. Zależność tę można zapisać w postaci macierzowej

. (*)

Równanie (*) można uznać za równanie do znalezienia , i , czyli interesują nas nietrywialne rozwiązania, ponieważ wektor własny nie może wynosić zero. Wiadomo, że nietrywialne rozwiązania jednorodnego układu równań liniowych istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy det(A - λE) = 0. Zatem aby λ było wartością własną operatora A konieczne i wystarczające jest, aby det(A - λE ) = 0.
Jeśli równanie (*) zapiszemy szczegółowo w postaci współrzędnych, otrzymamy układ liniowych równań jednorodnych:

(1)
Gdzie - macierz operatora liniowego.

Układ (1) ma rozwiązanie niezerowe, jeśli jego wyznacznik D jest równy zero

Otrzymaliśmy równanie na znalezienie wartości własnych.
Równanie to nazywa się równaniem charakterystycznym i jego lewa strona- wielomian charakterystyczny macierzy (operator) A. Jeżeli wielomian charakterystyczny nie ma pierwiastków rzeczywistych, to macierz A nie ma wektorów własnych i nie daje się sprowadzić do postaci diagonalnej.
Niech λ 1, λ 2, …, λ n będą rzeczywistymi pierwiastkami równania charakterystycznego, a wśród nich mogą być wielokrotności. Podstawiając te wartości z kolei do układu (1), znajdujemy wektory własne.

Przykład 12. Operator liniowy A działa w R 3 zgodnie z prawem, gdzie x 1, x 2, .., x n są współrzędnymi wektora w bazie , , . Znajdź wartości własne i wektory własne tego operatora.
Rozwiązanie. Budujemy macierz tego operatora:
.
Tworzymy układ wyznaczania współrzędnych wektorów własnych:

Tworzymy równanie charakterystyczne i rozwiązujemy je:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Podstawiając λ = -1 do układu, mamy:
Lub
Ponieważ , to istnieją dwie zmienne zależne i jedna zmienna wolna.
Niech zatem x 1 będzie wolną niewiadomą Rozwiązujemy ten układ w dowolny sposób i znajdujemy rozwiązanie ogólne tego układu: Podstawowy system rozwiązania składają się z jednego rozwiązania, ponieważ n - r = 3 - 2 = 1.
Zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ = -1 ma postać: , gdzie x 1 jest dowolną liczbą różną od zera. Wybierzmy jeden wektor z tego zbioru, na przykład stawiając x 1 = 1: .
Rozumując podobnie, znajdujemy wektor własny odpowiadający wartości własnej λ = 3: .
W przestrzeni R 3 baza składa się z trzech liniowo niezależnych wektorów, ale otrzymaliśmy tylko dwa liniowo niezależne wektory własne, z których nie można złożyć bazy w R 3. W konsekwencji nie możemy sprowadzić macierzy A operatora liniowego do postaci diagonalnej.

Przykład 13. Biorąc pod uwagę macierz .
1. Udowodnić, że wektor jest wektorem własnym macierzy A. Znajdź wartość własną odpowiadającą temu wektorowi własnemu.
2. Znajdź bazę, w której macierz A ma postać diagonalną.
Rozwiązanie.
1. Jeśli , to jest wektorem własnym

.
Wektor (1, 8, -1) jest wektorem własnym. Wartość własna λ = -1.
Macierz ma postać diagonalną w bazie składającej się z wektorów własnych. Jeden z nich jest sławny. Znajdźmy resztę.
Szukamy wektorów własnych z układu:

Równanie charakterystyczne: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Znajdźmy wektor własny odpowiadający wartości własnej λ = -3:

Rząd macierzy tego układu wynosi dwa i jest równy liczbie niewiadomych, więc ten układ ma tylko rozwiązanie zerowe x 1 = x 3 = 0. x 2 tutaj może być dowolną wartością różną od zera, na przykład x 2 = 1. Zatem wektor (0,1,0) jest wektorem własnym odpowiadającym λ = -3. Sprawdźmy:
.
Jeżeli λ = 1, wówczas otrzymujemy układ
Ranga macierzy wynosi dwa. Przekreślamy ostatnie równanie.
Niech x 3 będzie wolną niewiadomą. Wtedy x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Zakładając x 3 = 1, mamy (-3,-9,1) - wektor własny odpowiadający wartości własnej λ = 1. Sprawdź:

.
Ponieważ wartości własne są rzeczywiste i odrębne, odpowiadające im wektory są liniowo niezależne, więc można je przyjąć za podstawę w R 3 . Zatem w podstawie , , macierz A ma postać:
.
Nie każdą macierz operatora liniowego A:R n → R n można sprowadzić do postaci diagonalnej, gdyż dla niektórych operatory liniowe Może istnieć mniej niż n liniowo niezależnych wektorów własnych. Jeśli jednak macierz jest symetryczna, to pierwiastek charakterystycznego równania krotności m odpowiada dokładnie m liniowo niezależnym wektorom.

Definicja. Macierz symetryczna to macierz kwadratowa, w której elementy symetryczne względem głównej przekątnej są równe, czyli w której .
Notatki. 1. Wszystkie wartości własne macierzy symetrycznej są rzeczywiste.
2. Wektory własne macierzy symetrycznej odpowiadające param różnym wartościom własnym są ortogonalne.
Jako jedno z wielu zastosowań badanej aparatury rozważamy problem określenia typu krzywej drugiego rzędu.