Notacja algebraiczna Liczba zespolona................................................................ | |||
Płaszczyzna liczb zespolonych .................................................. ............... ............... ........................... ... | |||
Zespolone liczby sprzężone .................................................. .................. .................................. ........................... | |||
Działania na liczbach zespolonych w formie algebraicznej .................................. ...... .... | |||
Dodawanie liczb zespolonych .................................................. .................................................. .............. | |||
Odejmowanie liczb zespolonych .................................................. .................. .................................. ........................ | |||
Mnożenie liczb zespolonych .................................................. ............. .................. ............... | |||
Dzielenie liczb zespolonych .................................................. ........................................... .............. ... | |||
Trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej............................................ ........................ | |||
Działania na liczbach zespolonych w formie trygonometrycznej .................................. ........... | |||
Mnożenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej .................................. ........... | |||
Dzielenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej .................................................. ........... ... | |||
Podnoszenie liczby zespolonej do dodatniej potęgi całkowitej .................................................. ........... | |||
Wyodrębnianie pierwiastka dodatniego stopnia całkowitego z liczby zespolonej............................ | |||
Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wymiernej .................................. .................. ...... | |||
Seria złożona .................................................. .................................................... ........... ............... | |||
Zespolony szereg liczbowy .................................................. .................. .................................. ........................... | |||
Szereg potęgowy w płaszczyźnie zespolonej............................................ ........................ | |||
Dwustronna szereg potęgowy w płaszczyźnie zespolonej............................................ ...... | |||
Funkcje zmiennej zespolonej............................................ ...................................... | |||
Podstawowe funkcje elementarne .................................................. ........................................... . | |||
Wzory Eulera .................................................................. .................................................... ........... ............... | |||
Wykładnicza forma reprezentacji liczby zespolonej............................................ .............. . | |||
Zależność funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych............................ | |||
Funkcja logarytmiczna .................................................. .................................................... ........... ... | |||
Ogólne funkcje wykładnicze i ogólne funkcje potęgowe............................................ ............... | |||
Różniczkowanie funkcji zmiennej zespolonej............................................ ........... ... | |||
Warunki Cauchy’ego-Riemanna .................................................. ...................................................... ........................ | |||
Wzory do obliczania pochodnej .................................................. ....... .................................. | |||
Własności operacji różniczkowania............................................ .................................................. | |||
Własności części rzeczywistej i urojonej funkcji analitycznej............................ | |||
Rekonstrukcja funkcji zmiennej zespolonej z jej rzeczywistej lub urojonej |
|||
Metoda numer 1. Korzystanie z całki po krzywej .................................................. ....... ....... | |||
Metoda nr 2. Bezpośrednie zastosowanie warunków Cauchy’ego-Riemanna .................................. | |||
Metoda numer 3. Poprzez pochodną szukanej funkcji............................................ ........................ | |||
Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej............................................ ........................ | |||
Całkowy wzór Cauchy’ego .................................................. ...................................................... ........... ... | |||
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora i Laurenta............................................ ............................... | |||
Zera i punkty osobliwe funkcji zmiennej zespolonej............................ ............. ...... | |||
Zera funkcji zmiennej zespolonej............................................ ........................ | |||
Izolowane punkty osobliwe funkcji zmiennej zespolonej............................ | |||
14.3 Punkt w nieskończoności jako punkt osobliwy funkcji zmiennej zespolonej
Odliczenia .................................................. ....... .................................. ............. .................................. ... | |||
Odliczenie w punkcie końcowym............................................ ...................................................... ........... ...... | |||
Pozostałość funkcji w punkcie w nieskończoności............................................ ............... | |||
Obliczanie całek za pomocą reszt............................................ .............. ............... | |||
Pytania testowe .................................................. ............. .................. .................. ....... | |||
Literatura................................................. .................................................. .................................. | |||
Indeks tematyczny............................................ .................................................. .............. .............. | |||
Przedmowa
Prawidłowe rozłożenie czasu i wysiłku podczas przygotowań do części teoretycznej i praktycznej egzaminu lub certyfikacji modułu jest dość trudne, zwłaszcza że w trakcie sesji zawsze jest za mało czasu. I jak pokazuje praktyka, nie każdy może sobie z tym poradzić. W rezultacie podczas egzaminu część uczniów rozwiązuje zadania poprawnie, ale trudno jest im odpowiedzieć na najprostsze zagadnienia teoretyczne, podczas gdy inni mogą sformułować twierdzenie, ale nie mogą go zastosować.
Niniejsze wytyczne dotyczące przygotowania do egzaminu z kursu „Teoria funkcji zmiennej zespolonej” (TFCP) są próbą rozwiązania tej sprzeczności i zapewnienia jednoczesnego powtarzania materiału teoretycznego i praktycznego kursu. Kierując się zasadą „Teoria bez praktyki jest martwa, praktyka bez teorii jest ślepa”, zawierają zarówno teoretyczne zapisy zajęć na poziomie definicji i sformułowań, jak i przykłady ilustrujące zastosowanie każdego danego stanowiska teoretycznego, a tym samym ułatwiające jego zapamiętywanie i rozumienie.
Cel proponowanego zalecenia metodologiczne– pomóc uczniowi przygotować się do egzaminu na poziomie podstawowym. Innymi słowy, opracowano rozszerzony podręcznik roboczy zawierający główne punkty wykorzystywane na zajęciach na kursie TFKP i niezbędne podczas wykonywania Praca domowa i przygotowanie do zdarzeń kontrolnych. Oprócz niezależna praca studentów, ta elektroniczna publikacja edukacyjna może być wykorzystywana podczas prowadzenia zajęć w j interaktywny formularz przy użyciu tablicy elektronicznej lub w celu umieszczenia w systemie kształcenia na odległość.
Należy pamiętać, że ta praca nie zastępuje podręczników ani notatek z wykładów. W celu dogłębnej analizy materiału zaleca się zapoznanie z odpowiednimi sekcjami opublikowanymi przez MSTU. NE Podstawowy podręcznik Baumana.
Na końcu podręcznika znajduje się spis polecanej literatury oraz indeks tematyczny, w którym uwzględniono wszystko, co zostało podkreślone w tekście pogrubiona kursywa warunki. Indeks składa się z hiperłączy do sekcji, w których te terminy są ściśle zdefiniowane lub opisane oraz gdzie podano przykłady ilustrujące ich użycie.
Podręcznik przeznaczony jest dla studentów II roku wszystkich wydziałów MSTU. NE Baumana.
1. Algebraiczna forma zapisu liczby zespolonej
Zapis postaci z = x + iy, gdzie x,y są liczbami rzeczywistymi, i jest jednostką urojoną (tj. i 2 = - 1)
nazywa się algebraiczną formą zapisu liczby zespolonej z. W tym przypadku x nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej i oznacza się przez Re z (x = Re z), y nazywa się częścią urojoną liczby zespolonej i oznacza się Im z (y = Im z).
Przykład. Liczba zespolona z = 4− 3i ma część rzeczywistą Rez = 4 i część urojoną Imz = − 3.
2. Zespolona płaszczyzna liczb
W rozważane są teorie funkcji zmiennej zespolonejpłaszczyzna liczb zespolonych, co jest oznaczone albo za pomocą liter oznaczających liczby zespolone z, w, itp.
Nazywa się oś poziomą płaszczyzny zespolonej prawdziwa oś, umieszcza się na nim liczby rzeczywiste z = x + 0i = x.
Oś pionowa płaszczyzny zespolonej nazywana jest osią urojoną;
3. Zespolone liczby sprzężone
Nazywa się liczby z = x + iy i z = x - iy złożony koniugat. Na płaszczyźnie zespolonej odpowiadają one punktom symetrycznym względem osi rzeczywistej.
4. Działania na liczbach zespolonych w formie algebraicznej
4.1 Dodawanie liczb zespolonych
Suma dwóch liczb zespolonych | z 1= x 1+ iy 1 | oraz z 2 = x 2 + iy 2 nazywa się liczbą zespoloną |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + ja (y 1+ y 2) . | operacja | dodatek |
||||||||||
liczby zespolone jest podobna do operacji dodawania dwumianów algebraicznych. | |||||||||||||
Przykład. Suma dwóch liczb zespolonych z 1 = 3+ 7i i z 2 | = −1 +2 ja | będzie liczbą zespoloną |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 ja ) +(−1 +2 ja ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) ja =2 +9 ja . | |||||||||||||
Oczywiście, | sumę w sposób kompleksowy | sprzężony | Jest | prawdziwy | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Odejmowanie liczb zespolonych | |||||||||||||
Różnica dwóch liczb zespolonych z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | zwany | wyczerpujący |
||||||||||
liczba z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + ja (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Przykład. Różnica dwóch liczb zespolonych | z 1 =3 −4 tj | i z 2 | = −1 +2 ja | będzie kompleksowo |
|||||||||
liczba z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) ja = 4− 6i . | |||||||||||||
Przez różnicę | złożony koniugat | Jest | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Mnożenie liczb zespolonych | |||||||||||||
Iloczyn dwóch liczb zespolonych | z 1= x 1+ iy 1 | i z 2= x 2+ iy 2 | zwany złożonym |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + ja (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Zatem operacja mnożenia liczb zespolonych jest podobna do operacji mnożenia dwumianów algebraicznych, biorąc pod uwagę fakt, że i 2 = - 1.
Strona 2 z 3
Postać algebraiczna liczby zespolonej.
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych.
Zapoznaliśmy się już z formą algebraiczną liczby zespolonej - jest to postać algebraiczna liczby zespolonej. Dlaczego mówimy o formie? Faktem jest, że istnieją również formy trygonometryczne i wykładnicze liczb zespolonych, co zostanie omówione w następnym akapicie.
Operacje na liczbach zespolonych nie są szczególnie trudne i niewiele różnią się od zwykłej algebry.
Dodawanie liczb zespolonych
Przykład 1
Dodaj dwie liczby zespolone,
Aby dodać dwie liczby zespolone, należy dodać ich części rzeczywiste i urojone:
Proste, prawda? Akcja jest na tyle oczywista, że nie wymaga dodatkowego komentarza.
W ten prosty sposób możesz znaleźć sumę dowolnej liczby wyrazów: zsumuj części rzeczywiste i zsumuj części urojone.
W przypadku liczb zespolonych obowiązuje zasada pierwszej klasy: 
– zmiana układu warunków nie powoduje zmiany kwoty.
Odejmowanie liczb zespolonych
Przykład 2
Znajdź różnice między liczbami zespolonymi i , jeśli ,
Działanie jest podobne do dodawania, z tą różnicą, że odejmowanie należy umieścić w nawiasie, a następnie nawiasy należy otworzyć w standardowy sposób poprzez zmianę znaku:
Wynik nie powinien być mylący; otrzymana liczba składa się z dwóch, a nie trzech części. Po prostu prawdziwą częścią jest związek: . Dla jasności odpowiedź można przepisać w następujący sposób: .
Obliczmy drugą różnicę:
Tutaj część rzeczywista jest również złożona:
Aby uniknąć niedopowiedzeń, podam krótki przykład z „złą” częścią wyobrażoną: . Tutaj nie można już obejść się bez nawiasów.
Mnożenie liczb zespolonych
Nadszedł czas, aby przedstawić Państwu słynną równość:
Przykład 3
Znajdź iloczyn liczb zespolonych,
Oczywiście praca powinna być napisana w następujący sposób:
Co to sugeruje? Aż prosi się o otwarcie nawiasów zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów. To właśnie musisz zrobić! Wszystkie operacje algebraiczne są ci znane, najważniejsze jest, aby o tym pamiętać i bądź ostrożny.
Powtórzmy, omg, szkolną zasadę mnożenia wielomianów: aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz innego wielomianu.
Napiszę to szczegółowo:
Mam nadzieję, że dla wszystkich było to jasne
Uwaga i jeszcze raz uwaga, najczęściej popełniane są błędy w znakach.
Podobnie jak suma, iloczyn liczb zespolonych jest przemienny, to znaczy, że prawdziwa jest równość: .
W literatura edukacyjna a w Internecie łatwo znaleźć specjalny wzór na obliczenie iloczynu liczb zespolonych. Użyj go, jeśli chcesz, ale wydaje mi się, że podejście z mnożeniem wielomianów jest bardziej uniwersalne i jaśniejsze. Nie podam wzoru, myślę, że tak w tym przypadku- To zapychanie głowy trocinami.
Podział liczb zespolonych
Przykład 4
Biorąc pod uwagę liczby zespolone, . Znajdź iloraz.
Zróbmy iloraz:
Dokonuje się podziału liczb poprzez pomnożenie mianownika i licznika przez sprzężone wyrażenie mianownika.
Zapamiętajmy brodatą formułę i spójrzmy na nasz mianownik: . Mianownik już ma , więc wyrażenie sprzężone w tym przypadku to , to znaczy
Zgodnie z zasadą mianownik należy pomnożyć przez , a żeby nic się nie zmieniło, licznik należy pomnożyć przez tę samą liczbę:
Napiszę to szczegółowo:
Wybrałem „dobry” przykład: jeśli weźmiemy dwie liczby „od zera”, to w wyniku dzielenia prawie zawsze otrzymamy ułamki, coś w rodzaju .
W niektórych przypadkach przed podzieleniem ułamka wskazane jest jego uproszczenie, na przykład rozważenie ilorazu liczb: . Przed dzieleniem pozbywamy się niepotrzebnych minusów: w liczniku i mianowniku usuwamy minusy z nawiasów i zmniejszamy te minusy: 
. Dla tych, którzy lubią rozwiązywać, podam poprawną odpowiedź:
Rzadko, ale występuje następujące zadanie:
Przykład 5
Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną. Zapisz tę liczbę w formie algebraicznej (tj. w formie).
Technika jest taka sama - mnożymy mianownik i licznik przez sprzężenie wyrażenia do mianownika. Spójrzmy jeszcze raz na formułę. Mianownik zawiera już , więc mianownik i licznik należy pomnożyć przez wyrażenie sprzężone, czyli przez:
W praktyce mogą z łatwością zaproponować wyrafinowany przykład, w którym trzeba wykonać wiele operacji na liczbach zespolonych. Bez paniki: bądź ostrożny, przestrzegaj zasad algebry, zwykłej procedury algebraicznej i pamiętaj o tym.
Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej
W tym akapicie jest więcej porozmawiamy o postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Forma demonstracyjna w zadania praktyczne jest znacznie mniej powszechne. Polecam pobrać i w miarę możliwości wydrukować tabele trygonometryczne, materiał metodologiczny można znaleźć na stronie Wzory matematyczne i stoły. Bez stolików nie zajedziesz daleko.
Dowolną liczbę zespoloną (z wyjątkiem zera) można zapisać w formie trygonometrycznej: 
, gdzie to jest moduł liczby zespolonej, A - argument liczbowy zespolony. Nie uciekajmy, wszystko jest prostsze niż się wydaje.
Przedstawmy liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Dla pewności i prostoty wyjaśnienia umieścimy go w pierwszej ćwiartce współrzędnych, tj. Wierzymy, że:
Moduł liczby zespolonej jest odległością od początku do odpowiedniego punktu na płaszczyźnie zespolonej. Mówiąc najprościej, moduł to długość wektor promienia, który na rysunku jest zaznaczony na czerwono.
Moduł liczby zespolonej jest zwykle oznaczany przez: lub
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, łatwo jest wyprowadzić wzór na znalezienie modułu liczby zespolonej: . Ta formuła sprawiedliwy dla każdego oznacza „a” i „być”.
Notatka: Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem pojęcia moduł liczby rzeczywistej, jako odległość od punktu do początku.
Argument liczby zespolonej zwany narożnik między dodatnia półoś rzeczywista oś i wektor promienia narysowany od początku do odpowiedniego punktu. Argument nie zdefiniowany dla pojedynczy: .
Zasada, o której mowa, jest w rzeczywistości podobna do współrzędne biegunowe, gdzie promień biegunowy i kąt biegunowy jednoznacznie definiują punkt.
Argument liczby zespolonej jest standardowo oznaczany: lub
Z rozważań geometrycznych otrzymujemy następujący wzór na znalezienie argumentu:
. Uwaga! Ta formuła działa tylko w prawej półpłaszczyźnie! Jeśli liczba zespolona nie znajduje się w 1. lub 4. ćwiartce współrzędnych, wówczas wzór będzie nieco inny. Przeanalizujemy również te przypadki.
Ale najpierw spójrzmy na najprostsze przykłady, gdy liczby zespolone znajdują się na osiach współrzędnych.
Przykład 7
Zróbmy rysunek:
W rzeczywistości zadanie ma charakter ustny. Dla jasności przepiszę postać trygonometryczną liczby zespolonej: 
Pamiętajmy mocno, moduł – długość(co zawsze jest nieujemne), argumentem jest narożnik.
1) Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument. To oczywiste. Obliczenie formalne przy użyciu wzoru: .
Jest to oczywiste (liczba leży bezpośrednio na rzeczywistej półosi dodatniej). Zatem liczba w formie trygonometrycznej to: 
.
Działanie odwrotnej kontroli jest jasne jak słońce:
2) Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument. To oczywiste. Obliczenie formalne przy użyciu wzoru: .
Oczywiście (lub 90 stopni). Na rysunku narożnik jest oznaczony kolorem czerwonym. Zatem liczba w formie trygonometrycznej to: 
.
Korzystanie z tabeli wartości funkcje trygonometryczne, łatwo jest odzyskać postać algebraiczną liczby (jednocześnie sprawdzając):
3) Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument. To oczywiste. Obliczenie formalne przy użyciu wzoru: .
Oczywiście (lub 180 stopni). Na rysunku narożnik zaznaczony jest na niebiesko. Zatem liczba w formie trygonometrycznej to: 
.
Badanie:
4) I czwarty ciekawy przypadek. Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument. To oczywiste. Obliczenie formalne przy użyciu wzoru: .
Argument można zapisać na dwa sposoby: Pierwszy sposób: (270 stopni) i odpowiednio: 
. Badanie:
Jednak następująca zasada jest bardziej standardowa: Jeśli kąt jest większy niż 180 stopni, wówczas jest on zapisywany ze znakiem minus i odwrotną orientacją („przewijaniem”) kąta: (minus 90 stopni), kąt jest zaznaczony na rysunku zielony. Łatwo to zobaczyć i są pod tym samym kątem.
Zatem wpis ma postać: 
Uwaga! W żadnym wypadku nie należy używać parzystości cosinusa, nieparzystości sinusa i dalej „upraszczać” zapis:
Swoją drogą, warto o tym pamiętać wygląd i właściwości funkcji trygonometrycznych i odwrotnych funkcji trygonometrycznych, materiały referencyjne znajdują się w ostatnich akapitach strony Wykresy i właściwości głównego funkcje elementarne . A liczb zespolonych nauczysz się znacznie łatwiej!
Projektując najprostsze przykłady należy napisać: „jest oczywiste, że moduł jest równy... jest oczywiste, że argument jest równy...”. Jest to naprawdę oczywiste i łatwe do rozwiązania werbalnie.
Przejdźmy do rozważenia bardziej powszechnych przypadków. Jak już wspomniałem, z modułem nie ma problemów; zawsze należy stosować formułę. Ale wzory na znalezienie argumentu będą różne, zależy to od ćwiartki współrzędnych, w której znajduje się liczba. W tym przypadku możliwe są trzy opcje (warto je zapisać w notatniku):
1) Jeśli (pierwsza i czwarta ćwiartka współrzędnych lub prawa półpłaszczyzna), to argument należy znaleźć za pomocą wzoru.
2) Jeśli (2. ćwiartka współrzędnych), to argument należy znaleźć za pomocą wzoru 
.
3) Jeżeli (3. ćwiartka współrzędnych), to argument należy znaleźć korzystając ze wzoru 
.
Przykład 8
Przedstaw liczby zespolone w formie trygonometrycznej: , , , .
Ponieważ istnieją gotowe formuły, nie jest konieczne uzupełnianie rysunku. Ale jest jeden punkt: wtedy, gdy zostaniesz poproszony o przedstawienie liczby w formie trygonometrycznej Tak czy inaczej lepiej zrobić rysunek. Faktem jest, że rozwiązanie bez rysunku jest często odrzucane przez nauczycieli; brak rysunku jest poważnym powodem minusów i niepowodzeń.
Ech, od stu lat nic nie rysowałem ręcznie, proszę bardzo:
Jak zawsze wyszło trochę brudno =)
zaprezentuję w złożona forma liczby i , pierwsza i trzecia liczba będą przedmiotem niezależnej decyzji.
Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument.
Plan lekcji.
1. Moment organizacyjny.
2. Prezentacja materiału.
3. Praca domowa.
4. Podsumowanie lekcji.
Podczas zajęć
I. Moment organizacyjny.
II. Prezentacja materiału.
Motywacja.
Rozbudowa zbioru liczb rzeczywistych polega na dodaniu nowych liczb (urojonych) do liczb rzeczywistych. Wprowadzenie tych liczb wynika z braku możliwości wyodrębnienia pierwiastka z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wprowadzenie do pojęcia liczby zespolonej.
Liczby urojone, którymi uzupełniamy liczby rzeczywiste, zapisuje się w postaci bi, Gdzie I jest jednostką urojoną, oraz ja 2 = - 1.
Na tej podstawie otrzymujemy następującą definicję liczby zespolonej.
Definicja. Liczba zespolona jest wyrazem postaci a+bi, Gdzie A I B- liczby rzeczywiste. W takim przypadku spełnione są następujące warunki:
a) Dwie liczby zespolone za 1 + b 1 ja I za 2 + b 2 ja równe wtedy i tylko wtedy, gdy za 1 = za 2, b 1 = b 2.
b) Dodawanie liczb zespolonych określa zasada:
(za 1 + b 1 ja) + (za 2 + b 2 ja) = (za 1 + za 2) + (b 1 + b 2) ja.
c) Mnożenie liczb zespolonych określa zasada:
(za 1 + b 1 ja) (za 2 + b 2 ja) = (za 1 za 2 - b 1 b 2) + (za 1 b 2 - za 2 b 1) ja.
Postać algebraiczna liczby zespolonej.
Zapisywanie liczby zespolonej w postaci a+bi nazywa się formą algebraiczną liczby zespolonej, gdzie A– część prawdziwa, bi jest częścią urojoną, oraz B- prawdziwy numer.
Liczba zespolona a+bi uważa się za równy zeru, jeśli jego części rzeczywista i urojona są równe zeru: a = b = 0
Liczba zespolona a+bi Na b = 0 uważa się za liczbę rzeczywistą A: a + 0i = a.
Liczba zespolona a+bi Na a = 0 nazywa się czysto urojonym i jest oznaczane bi: 0 + bi = bi.
Dwie liczby zespolone z = a + bi I = a – bi, różniące się jedynie znakiem części urojonej, nazywane są sprzężonymi.
Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej.
Na liczbach zespolonych w formie algebraicznej można wykonać następujące operacje.
1) Dodatek.
Definicja. Suma liczb zespolonych z 1 = za 1 + b 1 ja I z 2 = za 2 + b 2 ja nazywa się liczbą zespoloną z, którego część rzeczywista jest równa sumie części rzeczywistych z 1 I z 2, a część urojona jest sumą części urojonych liczb z 1 I z 2, to jest z = (za 1 + za 2) + (b 1 + b 2)i.
Liczby z 1 I z 2 nazywane są terminami.
Dodawanie liczb zespolonych ma następujące właściwości:
1°. Przemienność: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2°. Łączność: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3°. Liczba zespolona –a –bi nazywana przeciwieństwem liczby zespolonej z = a + bi. Liczba zespolona, przeciwieństwo liczby zespolonej z, oznaczony -z. Suma liczb zespolonych z I -z równe zeru: z + (-z) = 0
Przykład 1: Wykonaj dodawanie (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) ja = 2 + 1i.
2) Odejmowanie.
Definicja. Odejmij od liczby zespolonej z 1 Liczba zespolona z 2 z, Co z + z 2 = z 1.
Twierdzenie. Różnica między liczbami zespolonymi istnieje i jest wyjątkowa.
Przykład 2: Wykonaj odejmowanie (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Mnożenie.
Definicja. Iloczyn liczb zespolonych z 1 = a 1 + b 1 ja I z 2 = a 2 + b 2 ja nazywa się liczbą zespoloną z, określone przez równość: z = (za 1 za 2 – b 1 b 2) + (za 1 b 2 + za 2 b 1)i.
Liczby z 1 I z 2 nazywane są czynnikami.
Mnożenie liczb zespolonych ma następujące właściwości:
1°. Przemienność: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2°. Łączność: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3°. Rozdzielność mnożenia względem dodawania:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4°. z = (a + bi)(a – bi) = za 2 + b 2- prawdziwy numer.
W praktyce mnożenie liczb zespolonych odbywa się według zasady mnożenia sumy przez sumę i oddzielania części rzeczywistej od urojonej.
W poniższym przykładzie rozważymy mnożenie liczb zespolonych na dwa sposoby: według reguły i mnożąc sumę przez sumę.
Przykład 3: Wykonaj mnożenie (2 + 3i) (5 – 7i).
1 sposób. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + ja.
Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + ja.
4) Podział.
Definicja. Dzielenie liczby zespolonej z 1 do liczby zespolonej z 2, oznacza znalezienie takiej liczby zespolonej z, Co z · z 2 = z 1.
Twierdzenie. Iloraz liczb zespolonych istnieje i jest unikalny, jeśli z 2 ≠ 0 + 0i.
W praktyce iloraz liczb zespolonych oblicza się, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.
Pozwalać z 1 = za 1 + b 1 ja, z 2 = za 2 + b 2 ja, Następnie
.
W poniższym przykładzie wykonamy dzielenie, korzystając ze wzoru i zasady mnożenia przez liczbę sprzężoną z mianownikiem.
Przykład 4. Znajdź iloraz 
.
5) Podniesienie do dodatniej potęgi całkowitej.
a) Potęgi jednostki urojonej.
Korzystanie z równości ja 2 = -1, łatwo jest zdefiniować dowolną dodatnią moc całkowitą jednostki urojonej. Mamy:
ja 3 = ja 2 ja = -i,
ja 4 = ja 2 ja 2 = 1,
ja 5 = ja 4 ja = ja,
ja 6 = ja 4 i 2 = -1,
ja 7 = ja 5 i 2 = -i,
ja 8 = ja 6 i 2 = 1 itp.
To pokazuje, że wartości stopni W, Gdzie N– dodatnia liczba całkowita, powtarzana okresowo w miarę wzrostu wskaźnika o 4 .
Dlatego należy zwiększyć liczbę I do dodatniej potęgi całkowitej, musimy podzielić wykładnik przez 4 i budować I do potęgi, której wykładnik jest równy reszcie dzielenia.
Przykład 5: Oblicz: (i 36 + i 17) i 23.
ja 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
ja 17 = ja 4 × 4+1 = (i 4) 4 × ja = 1 · ja = ja.
ja 23 = ja 4 × 5+3 = (i 4) 5 × ja 3 = 1 · ja 3 = - ja.
(i 36 + ja 17) · ja 23 = (1 + i) (- i) = - ja + 1= 1 – ja.
b) Podnoszenie liczby zespolonej do dodatniej potęgi całkowitej odbywa się zgodnie z zasadą podnoszenia dwumianu do odpowiedniej potęgi, ponieważ reprezentuje szczególny przypadek mnożenie identycznych czynników złożonych.
Przykład 6: Oblicz: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
