Metoda Newtona rozwiązywania równań nieliniowych c. Rozwiązywanie układów nieliniowych równań stanu ustalonego metodą Newtona-Raphsona

Metoda Newtona (znana również jako metoda styczna) to iteracyjna metoda numeryczna służąca do znajdowania pierwiastka (zera) danej funkcji. Metodę tę po raz pierwszy zaproponował angielski fizyk, matematyk i astronom Izaak Newton (1643-1727), pod którego imieniem zyskała sławę.

Metodę opisał Izaak Newton w rękopisie De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (łac. .O analiza przez równania szeregów nieskończonych), zaadresowanej w 1669 roku do Barrowa oraz w dziele De metodis fluxionum et serierum infinitarum (łac. Metoda fluksji i szeregów nieskończonych) czy Geometria analytica ( łac.Analityczny geometria) w dziełach zebranych Newtona, napisanych w 1671 roku. Jednakże opis metody różnił się znacznie od jej obecnej prezentacji: Newton zastosował swoją metodę wyłącznie do wielomianów. Nie obliczał kolejnych przybliżeń xn, lecz ciąg wielomianów i w rezultacie otrzymał przybliżone rozwiązanie x.

Metoda ta została po raz pierwszy opublikowana w traktacie Algebra autorstwa Johna Wallisa w 1685 roku, na którego prośbę została pokrótce opisana przez samego Newtona. W 1690 roku Joseph Raphson opublikował uproszczony opis w swoim dziele Analysis aequationum universalis (łac. Analiza ogólna równania). Raphson uważał metodę Newtona za czysto algebraiczną i ograniczył jej zastosowanie do wielomianów, ale opisał ją w kategoriach kolejnych przybliżeń x n zamiast trudniejszej do zrozumienia sekwencji wielomianów stosowanej przez Newtona.

Wreszcie w 1740 roku Thomas Simpson opisał metodę Newtona jako iteracyjną metodę rozwiązywania problemów pierwszego rzędu równania nieliniowe stosując przedstawioną tutaj pochodną. W tej samej publikacji Simpson uogólnił metodę na przypadek układu dwóch równań i zauważył, że metodę Newtona można zastosować również do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych poprzez znalezienie zera pochodnej lub gradientu.

Zgodnie z tą metodą zadanie znalezienia pierwiastka funkcji sprowadza się do zadania znalezienia punktu przecięcia z osią x stycznej wykreślonej do wykresu funkcji.

Ryc.1 . Wykres zmiany funkcji

Linię styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie wykresu funkcji wyznacza pochodna tej funkcji w rozpatrywanym punkcie, która z kolei jest wyznaczana przez tangens kąta α (). Punkt przecięcia stycznej z osią odciętych wyznacza się na podstawie zależności w trójkąt prostokątny: tangens kątaw trójkącie prostokątnym jest określana przez stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej strony trójkąta. Zatem na każdym kroku tworzona jest styczna do wykresu funkcji w punkcie kolejnego przybliżenia . Punkt przecięcia stycznej z osią Wół będzie kolejnym punktem podejścia. Zgodnie z rozważaną metodą obliczenie przybliżonej wartości pierwiastkaI-iteracje przeprowadza się według wzoru:

Nachylenie prostej jest dopasowywane na każdym kroku w najlepszy możliwy sposób, należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że algorytm nie bierze pod uwagę krzywizny wykresu i dlatego podczas procesu obliczeń pozostaje nieznana w jakim kierunku wykres może się odchylać.

Warunkiem zakończenia procesu iteracyjnego jest spełnienie warunku:

Gdzie ˗ błąd dopuszczalny w wyznaczaniu pierwiastka.

Metoda ma zbieżność kwadratową. Kwadratowa szybkość zbieżności oznacza, że ​​liczba poprawnych znaków w przybliżeniu podwaja się z każdą iteracją.

Uzasadnienie matematyczne

Niech zostanie podana funkcja rzeczywista, która jest określona i ciągła w rozpatrywanym obszarze. Konieczne jest znalezienie prawdziwego pierwiastka danej funkcji.

Wyprowadzenie równania opiera się na metodzie proste iteracje, zgodnie z którym równanie sprowadza się do równania równoważnego dowolnej funkcji. Wprowadźmy koncepcję odwzorowania skurczowego, które definiuje relacja .

Dla najlepszej zbieżności metody warunek musi być spełniony w punkcie kolejnego przybliżenia. Wymóg ten oznacza, że ​​pierwiastek funkcji musi odpowiadać ekstremum funkcji.

Pochodna mapy skurczudefiniuje się następująco:

Wyraźmy zmienną z tego wyrażeniaz zastrzeżeniem wcześniej przyjętego stwierdzenia, że ​​gdy konieczne jest zapewnienie warunku. W efekcie otrzymujemy wyrażenie definiujące zmienną:

Biorąc to pod uwagę, funkcja kompresji wygląda następująco:

Zatem algorytm znajdowania numerycznego rozwiązania równania sprowadza się do iteracyjnej procedury obliczeniowej:

Algorytm znajdowania pierwiastka równania nieliniowego metodą

1. Ustaw punkt początkowy przybliżonej wartości pierwiastka funkcji, a także błąd obliczeniowy (mała liczba dodatnia) i początkowy krok iteracji ().

2. Oblicz przybliżoną wartość pierwiastka funkcji zgodnie ze wzorem:

3. Przybliżoną wartość pierwiastka sprawdzamy pod kątem określonej dokładności, w przypadku:

Jeśli różnica między dwoma kolejnymi przybliżeniami będzie mniejsza niż określona dokładność, proces iteracyjny kończy się.

Jeżeli różnica pomiędzy dwoma kolejnymi przybliżeniami nie osiąga wymaganej dokładności, należy kontynuować proces iteracyjny i przejść do kroku 2 rozpatrywanego algorytmu.

Przykład rozwiązywania równań

metodąNewtona dla równania z jedną zmienną

Jako przykład rozważ rozwiązanie równania nieliniowego za pomocą tej metodyNewtona dla równania z jedną zmienną. Pierwiastek należy znaleźć z dokładnością w pierwszym przybliżeniu.

Opcja rozwiązywania równania nieliniowego w pakiecie oprogramowaniaMatematykaprzedstawiono na rysunku 3.

Wyniki obliczeń, czyli dynamikę zmian przybliżonej wartości pierwiastka, a także błędy obliczeniowe w zależności od kroku iteracji, przedstawiono w formie graficznej (patrz rys. 2).

Ryc.2. Wyniki obliczeń metodą Newtona dla równania z jedną zmienną

Aby zapewnić określoną dokładność przy poszukiwaniu przybliżonej wartości pierwiastka równania w zakresie, należy wykonać 4 iteracje. W ostatnim kroku iteracji przybliżona wartość pierwiastka równania nieliniowego zostanie wyznaczona przez wartość: .

Ryc.3 . Lista programów wMatematyka

Modyfikacje metody Newtona dla równania z jedną zmienną

Istnieje kilka modyfikacji metody Newtona, które mają na celu uproszczenie procesu obliczeniowego.

Uproszczona metoda Newtona

Zgodnie z metodą Newtona na każdym etapie iteracji konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji f(x), co wiąże się ze wzrostem kosztów obliczeniowych. Aby obniżyć koszty związane z obliczeniem pochodnej na każdym etapie obliczeń, można we wzorze zastąpić pochodną f’(x n) w punkcie x n pochodną f’(x 0) w punkcie x 0. Zgodnie z tą metodą obliczeniową przybliżoną wartość pierwiastka określa się za pomocą następującego wzoru:Zmodyfikowana metoda Newtona

Metoda różnicowa Newtona

W rezultacie przybliżona wartość pierwiastka funkcji f(x) zostanie wyznaczona wyrażeniem metody różnicowej Newtona:

Metoda dwuetapowa Newtona

Zgodnie z metodą Newtona na każdym etapie iteracji konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji f(x), co nie zawsze jest wygodne, a czasami praktycznie niemożliwe. Ta metoda pozwala na zastąpienie pochodnej funkcji stosunkiem różnicy (wartość przybliżona):

W rezultacie przybliżoną wartość pierwiastka funkcji f(x) wyznaczymy za pomocą następującego wyrażenia:

Gdzie

Ryc.5 . Metoda dwuetapowa Newtona

Metoda siecznych jest metodą dwuetapową, czyli nowym przybliżeniemokreślona w dwóch poprzednich iteracjach I . Metoda musi określać dwa początkowe przybliżenia I . Stopień zbieżności metody będzie liniowy.

• Z powrotem
• Do przodu

Aby dodać komentarz do artykułu należy zarejestrować się na stronie.

2. Metoda Newtona rozwiązywania układów równań nieliniowych.

Metoda ta charakteryzuje się znacznie szybszą zbieżnością niż prosta metoda iteracyjna. Metoda Newtona dla układu równań (1.1) opiera się na wykorzystaniu rozwinięcia funkcji

, Gdzie
(2.1)

w szeregu Taylora, z terminami zawierającymi drugą lub więcej wysokie zamówienia instrumenty pochodne są odrzucane. Podejście to pozwala zastąpić rozwiązanie jednego układu nieliniowego (1.1) rozwiązaniem kilku układów liniowych.

Zatem rozwiążemy układ (1.1) metodą Newtona. W obszarze D wybierz dowolny punkt
i nazwać to zerowym przybliżeniem dokładnego rozwiązania pierwotnego układu. Rozwińmy teraz funkcje (2.1) na szereg Taylora w sąsiedztwie punktu . Będzie miał

Ponieważ lewa strona (2.2) musi zniknąć zgodnie z (1.1), to prawa strona (2.2) również musi zniknąć. Zatem z (2.2) mamy

Wszystkie pochodne cząstkowe z (2.3) należy obliczyć w punkcie .

(2.3) jest układem liniowym równania algebraiczne względem niewiadomych Układ ten można rozwiązać metodą Cramera, jeżeli jego główna wyznacznika jest różna od zera, a ilości można znaleźć

Teraz możemy udoskonalić przybliżenie zera, konstruując pierwsze przybliżenie ze współrzędnymi

te.
. (2.6)

Sprawdźmy, czy przybliżenie (2.6) zostało uzyskane z wystarczającą dokładnością. Aby to zrobić, sprawdźmy warunek

,
(2.7)

Gdzie z góry określona mała liczba dodatnia (dokładność, z jaką należy rozwiązać układ (1.1). Jeżeli warunek (2.7) jest spełniony, wówczas jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1) wybierzemy (2.6) i zakończymy obliczenia. Jeżeli warunek (2.7) nie jest spełniony, to wykonujemy następującą akcję. W systemie (2.3) zamiast
weźmy zaktualizowane wartości

, (2.8)

te. Zróbmy to następujące działania

. (2.9)

Następnie układ (2.3) będzie układem liniowych równań algebraicznych dla wielkości. Po ustaleniu tych wielkości następuje kolejne drugie przybliżenie
do rozwiązania układu (1.1) znajdujemy korzystając ze wzorów

Sprawdźmy teraz warunek (2.7)

Jeżeli ten warunek jest spełniony, to kończymy obliczenia przyjmując drugie przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1)
. Jeżeli ten warunek nie jest spełniony, to kontynuujemy konstruowanie kolejnego przybliżenia, uwzględniając (2.3)
Konieczne jest budowanie przybliżeń, dopóki warunek nie zostanie spełniony.

Robocze wzory metody Newtona na rozwiązanie układu (1.1) można zapisać w postaci.

Oblicz sekwencję

Tutaj
są rozwiązaniem systemu

Sformułujmy algorytm obliczeniowy korzystając ze wzorów (2.11)-(2.13).

1. Wybierzmy przybliżenie zerowe należące do obszaru D.

2. W układzie liniowych równań algebraicznych (2.13) ustalamy
,A .

3. Rozwiążmy układ (2.13) i znajdźmy ilości
.

4. We wzorach (2.12) umieszczamy
i obliczyć składniki następnego przybliżenia.

5. Sprawdźmy warunek (2.7) dla: (Zobacz algorytm obliczania maksimum kilku wielkości.)

6. Jeżeli ten warunek jest spełniony, to kończymy obliczenia wybierając przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1). Jeśli ten warunek nie jest spełniony, przejdź do kroku 7.

7. Połóżmy
dla wszystkich .

8. Wykonajmy krok 3, kładąc
.

Geometrycznie algorytm ten można zapisać jako:

Algorytm. Obliczanie maksimum kilku wielkości.

Przykład. Rozważmy zastosowanie metody Newtona do rozwiązania układu dwóch równań.

Rozwiąż z dokładnością do metody Newtona następujący system równania nieliniowe

, (2.14)

Tutaj
. Wybierzmy przybliżenie zerowe
, należący do dziedziny D. Skonstruujmy układ liniowych równań algebraicznych (2.3). Będzie wyglądać

(2.15)

Oznaczmy

Rozwiążmy układ (2.15) ze względu na niewiadome
, na przykład metoda Cramera. W formularzu zapisujemy wzory Cramera

(2.17)

gdzie jest głównym wyznacznikiem układu (2.15)

(2.18)

oraz wyznaczniki pomocnicze układu (2.15) mają postać

.

Podstawiamy znalezione wartości do (2.16) i znajdujemy składowe pierwszego przybliżenia
do rozwiązania układu (2.15).

Sprawdźmy warunek

, (2.19)

jeżeli warunek ten jest spełniony, to obliczenia kończymy przyjmując pierwsze przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (2.15), czyli tj.
. Jeżeli warunek (2.19) nie jest spełniony, wówczas ustalamy
,
i będziemy budować nowy system liniowe równania algebraiczne (2.15). Po rozwiązaniu problemu znajdujemy drugie przybliżenie
. Sprawdźmy to. Jeżeli ten warunek jest spełniony, to jako przybliżone rozwiązanie wybieramy układ (2.15)
. Jeśli warunek on nie jest spełniony, ustawiamy
,
i skonstruuj następujący system (2.15), aby znaleźć
itp.

Zadania

Wszystkie zadania wymagają:

Opracuj program numerycznej implementacji metody według zaproponowanego algorytmu.

Uzyskaj wyniki obliczeń.

Sprawdź swoje wyniki.

Dany jest układ dwóch równań nieliniowych.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Rozdział 3. Numeryczne metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE).

Cel pracy. Wprowadzenie do niektórych przybliżonych metod rozwiązywania SLAE i ich numerycznej implementacji na komputerze PC.

Uwagi wstępne. Wszystkie metody rozwiązywania SLAE są zwykle podzielone na dwie duże grupy. Do pierwszej grupy zaliczają się metody, które potocznie nazywane są dokładnymi. Metody te pozwalają nam znaleźć dla dowolnego systemu dokładne wartości niewiadomych po skończonej liczbie operacji arytmetycznych, z których każda jest wykonywana dokładnie.

Do drugiej grupy zaliczają się wszystkie metody, które nie są dokładne. Nazywa się je iteracyjnymi, numerycznymi lub przybliżonymi. Dokładne rozwiązanie przy zastosowaniu takich metod uzyskuje się w wyniku niekończącego się procesu przybliżeń. Atrakcyjną cechą takich metod jest ich samokorekta i łatwość wdrożenia na komputerze PC.

Rozważmy kilka przybliżonych metod rozwiązywania SLAE i skonstruujmy algorytmy ich numerycznej implementacji. Przybliżone rozwiązanie SLAE otrzymamy z dokładnością , gdzie jest to bardzo mała liczba dodatnia.

1. Metoda iteracyjna.

Niech SLAE będzie podane w formie

(1.1)

Układ ten można zapisać w postaci macierzowej

, (1.2)

Gdzie
- macierz współczynników niewiadomych w układzie (1.1),
- kolumna wolnych członków,
- kolumna niewiadomych układu (1.1).

. (1.3)

Rozwiążmy układ (1.1) metodą iteracyjną. Aby to zrobić, wykonamy następujące kroki.

Po pierwsze. Wybierzmy przybliżenie zerowe

(1.4)

do dokładnego rozwiązania (1.3) układu (1.1). Składowymi przybliżenia zera mogą być dowolne liczby. Jednak wygodniej jest przyjmować zera jako składniki przybliżenia zera
, czyli darmowe warunki systemu (1.1)

Po drugie. Podstawiamy składniki przybliżenia zera do prawa strona system (1.1) i obliczyć

(1.5)

Wielkości po lewej stronie w (1.5) są składnikami pierwszego przybliżenia
Działania, które doprowadziły do ​​pierwszego przybliżenia, nazywane są iteracją.

Trzeci. Sprawdźmy zero i pierwsze przybliżenie dla

(1.6)

Jeżeli spełnione są wszystkie warunki (1.6), to dla przybliżonego rozwiązania układu (1.1) wybieramy albo , albo nie ma to znaczenia, gdyż różnią się od siebie nie więcej niż o i dokończmy obliczenia. Jeżeli choć jeden z warunków (1.6) nie jest spełniony, to przechodzimy do kolejnej akcji.

Po czwarte. Wykonajmy kolejną iterację, tj. w prawą stronę układu (1.1) podstawiamy składowe pierwszego przybliżenia i obliczamy składowe drugiego przybliżenia
, Gdzie

Po piąte. Sprawdźmy
i dalej, tj. Sprawdźmy warunek (1.6) dla tych przybliżeń. Jeżeli spełnione są wszystkie warunki (1.6), to dla przybliżonego rozwiązania układu (1.1) wybierzemy albo , albo nie ma to znaczenia, gdyż różnią się od siebie nie więcej niż. W przeciwnym razie następną iterację skonstruujemy, podstawiając składniki drugiego przybliżenia po prawej stronie układu (1.1).

Iteracje należy budować aż do uzyskania dwóch sąsiednich przybliżeń
i będą się od siebie różnić nie więcej niż o .

Roboczy wzór metody iteracyjnej rozwiązywania układu (1.1) można zapisać jako

Algorytm numerycznej realizacji wzoru (1.7) może wyglądać następująco.

Warunki wystarczające na zbieżność metody iteracyjnej dla układu (1.1) mają postać

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Prosta metoda iteracyjna.

Niech układ liniowych równań algebraicznych (SLAE) będzie podany w postaci

(2.1)

Aby rozwiązać układ (2.1) prostą metodą iteracyjną, należy go najpierw sprowadzić do postaci

(2.2)

W systemie (2.2) -te równanie jest -tym równaniem układu (2.1), rozwiązanym względem -tej niewiadomej (
).

Metodę rozwiązania układu (2.1), polegającą na sprowadzeniu go do układu (2.2), a następnie rozwiązaniu układu (2.2) metodą iteracyjną, nazywamy prostą metodą iteracyjną układu (2.1).

Zatem działające wzory prostej metody iteracyjnej rozwiązywania układu (2.1) będą miały postać

(2.3)

Wzory (2.3) można zapisać w postaci

Algorytm numerycznej realizacji prostej metody iteracyjnej dla układu (2.1) według wzorów (2.4) może wyglądać następująco.

Algorytm ten można zapisać geometrycznie.

Warunki wystarczające na zbieżność prostej metody iteracyjnej dla układu (2.1) mają postać

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacjonarna metoda Seidla.

Metoda Seidela rozwiązywania SLAE różni się od metody iteracyjnej tym, że po znalezieniu przybliżenia dla -tej składowej natychmiast używamy jej do znalezienia następnego
,
, …, -ty składnik. Takie podejście pozwala na więcej wysoka prędkość zbieżność metody Seidla w porównaniu z metodą iteracyjną.

Niech SLAE będzie podane w formie

(3.1)

Pozwalać
- zerowe przybliżenie rozwiązania dokładnego
systemy (3.1). I niech się znajdzie przybliżenie
. Zdefiniujmy komponenty
przybliżenie za pomocą wzorów

(3.2)

Wzory (3.2) można zapisać w formie zwartej

,
,
(3.3)

Algorytm numerycznej realizacji metody Seidla rozwiązywania układu (3.1) za pomocą wzorów (3.3) może wyglądać następująco.

1. Wybierzmy np.
,

2. Połóżmy .

3. Obliczmy dla wszystkich.

4. Sprawdzimy warunki dla każdego
.

5. Jeżeli zostaną spełnione wszystkie warunki z punktu 4, wówczas wybierzemy rozwiązanie układu (3.1) lub jako przybliżone i zakończymy obliczenia. Jeśli przynajmniej jeden warunek z kroku 4 nie jest spełniony, przejdź do kroku 6.

6. Odłóżmy to i przejdźmy do kroku 3.

Algorytm ten można zapisać geometrycznie.

Warunek wystarczający zbieżności metody Seidla dla układu (3.1) ma postać
, .

4. Niestacjonarna metoda Seidla.

Ta metoda rozwiązywania SLAE (3.1) zapewnia jeszcze większą szybkość zbieżności metody Seidla.

Znajdźmy jakoś składowe th przybliżenia i th przybliżenia dla układu (3.1).

Obliczmy wektor korekcyjny

Obliczmy wartości

, (4.2)

Uzgodnijmy ilości
, w kolejności malejącej.

W tej samej kolejności przepisujemy równania w układzie (3.1) i niewiadome w tym układzie: Liniowyalgebra I nieliniowy ... KierownictwoDla laboratorium PracujePrzez ... metodologiczny instrukcje DlapraktycznyPracujePrzez Dlastudenci ...

Literatura dydaktyczna (przyrodnicza i techniczna) 2000-2011 Cykl PO – 10 lat Cykl CD – 5 lat

Literatura

... NaturalnyNauki ogólnie 1. Astronomia [Tekst]: podręcznik Dla ... Liczbowymetody: Liniowyalgebra I nieliniowy ... KierownictwoDla laboratorium PracujePrzez ... metodologiczny instrukcje DlapraktycznyPracujePrzez dyscyplina „Ekonomika transportu” Dlastudenci ...

- nauki przyrodnicze (1)

Instruktaż

... kierownictwoDlastudenci i nauczycieli, zamierzone Dla używać nie tylko do nauki metodypraca... produkcja praktyczny umiejętności korzystania z prawdziwych danych. Metodyczny zalecenia Przez spełnienie testu pracaPrzez Ten...

- nauki przyrodnicze - nauki fizyczne i matematyczne - nauki chemiczne - nauki o ziemi (geodezyjne geofizyczne nauki geologiczne i geograficzne)

Dokument

... Dlastudencinaturalnie- ... PracujePrzez dyscyplina „Genetyka i selekcja”, poświęcona obecne problemy Ten Nauki. Usystematyzowane, niezależne StanowiskostudenciPrzez teoretyczne i praktyczny ... liniowy, nieliniowy, dynamiczny. Wszystko metody ...

- nauki przyrodnicze - nauki fizyczne i matematyczne - nauki chemiczne - nauki o ziemi (geodetyczne, geofizyczne nauki geologiczne i geograficzne) (7)

Lista podręczników

Wyznacznik Eremina liniowy I nieliniowyalgebra : liniowy I nieliniowy programowanie: nowe metoda/ Eremin, Michaił... Dlastudenci oraz wykładowcy specjalności geologicznych na uczelniach wyższych. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktycznykierownictwoPrzez ...



Słowa kluczowe:

Cel pracy: badać metody rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą i testować je w pracach eksperymentalnych.

Cele pracy:

1. Analizować literatura specjalna i wybierz najbardziej racjonalne metody rozwiązywania równań nieliniowych, pozwalające na głębokie przestudiowanie i przyswojenie ten temat wszyscy absolwenci szkół średnich.
2. Opracować niektóre aspekty metodologii rozwiązywania równań nieliniowych z wykorzystaniem ICT.
3. Poznaj metody rozwiązywania równań nieliniowych:

– Metoda krokowa

– Metoda halvingu

– metoda Newtona

Wstęp.

Bez umiejętności matematycznych niemożliwe jest skuteczne opanowanie metod rozwiązywania problemów z fizyki, chemii, biologii i innych przedmiotów. Cały kompleks nauk przyrodniczych jest budowany i rozwijany w oparciu o wiedzę matematyczną. Na przykład badanie szeregu aktualnych problemów fizyki matematycznej prowadzi do konieczności rozwiązywania równań nieliniowych. Rozwiązywanie równań nieliniowych jest konieczne w optyce nieliniowej, fizyce plazmy, teorii nadprzewodnictwa i fizyce niskich temperatur. Literatury na ten temat jest wystarczająco dużo, jednak wiele podręczników i artykułów jest trudnych do zrozumienia dla ucznia szkoły średniej. W artykule omówiono metody rozwiązywania równań nieliniowych, które można wykorzystać do rozwiązywania problemów stosowanych w fizyce i chemii. Ciekawym aspektem jest aplikacja Technologie informacyjne do rozwiązywania równań i problemów matematycznych.

Metoda krokowa.

Niech będzie konieczne rozwiązanie równania nieliniowego o postaci F(x)=0. Załóżmy też, że dany jest nam określony interwał wyszukiwania. Należy znaleźć przedział [a,b] o długości h, zawierający pierwszy pierwiastek równania, zaczynając od lewej krawędzi przedziału poszukiwań.

Ryż. 1. Metoda krokowa

Istnieje kilka sposobów rozwiązania takiego problemu. Metoda krokowa jest najprostszą z numerycznych metod rozwiązywania nierówności, jednak aby uzyskać dużą dokładność, konieczne jest znaczne zmniejszenie kroku, a to znacznie wydłuża czas obliczeń. Algorytm rozwiązywania równań za pomocą Ta metoda składa się z dwóch etapów.

Iscena. Separacja korzeni.

Na tym etapie wyznaczane są sekcje, z których każda zawiera tylko jeden pierwiastek równania. Istnieje kilka opcji realizacji tego etapu:

• Podstawiamy wartości X (najlepiej jakimś dość małym krokiem) i sprawdzamy, gdzie funkcja zmienia znak. Jeżeli funkcja zmieniła swój znak, oznacza to, że w obszarze pomiędzy poprzednią a obecną wartością X znajduje się pierwiastek (jeżeli funkcja nie zmienia charakteru swojego zwiększania/zmniejszania, to możemy powiedzieć, że istnieje tylko jeden pierwiastek w tym przedziale).
• Metoda graficzna. Budujemy wykres i oceniamy, w jakich przedziałach leży jeden pierwiastek.
• Zbadajmy właściwości określonej funkcji.

IIscena. Udoskonalenie korzeni.

Na tym etapie wyjaśnia się znaczenie pierwiastków ustalonego wcześniej równania. Z reguły na tym etapie stosuje się metody iteracyjne. Na przykład metoda pół podziału(dychotomie) lub metoda Newtona.

Metoda dzielenia połówkowego

Szybka i dość prosta metoda numeryczna rozwiązywania równań, polegająca na sekwencyjnym zawężaniu przedziału zawierającego jedyny pierwiastek równania F(x) = 0, aż do osiągnięcia określonej dokładności E. Metodę tę zwykle stosuje się przy rozwiązywaniu równania kwadratowe i równania wyższych stopni. Metoda ta ma jednak istotną wadę – jeśli segment [a, b] zawiera więcej niż jeden pierwiastek, to nie będzie w stanie osiągnąć dobrych wyników.

Ryż. 2. Metoda dychotomiczna

Algorytm tej metody jest następujący:

‒ Wyznacz nowe przybliżenie pierwiastka x w środku odcinka [a;b]: x=(a+b)/2.

– Znajdź wartości funkcji w punktach a i x: F(a) i F(x).

– Sprawdź warunek F(a)*F(x)

– Przejdź do kroku 1 i ponownie podziel segment na pół. Kontynuuj algorytm aż do warunku |F(x)|

Metoda Newtona

Najdokładniejsza z metod rozwiązywania numerycznego; nadaje się do rozwiązywania bardzo złożonych równań, ale komplikuje go konieczność obliczania pochodnych na każdym kroku. oznacza, że ​​jeśli x n jest pewnym przybliżeniem pierwiastka równania , to kolejne przybliżenie definiuje się jako pierwiastek stycznej do funkcji f(x) narysowanej w punkcie xn.

Równanie styczne do funkcji f(x) w punkcie x n ma postać:

W równaniu stycznym umieszczamy y = 0 i x = x n +1.

Wówczas algorytm obliczeń sekwencyjnych w metodzie Newtona wygląda następująco:

Zbieżność metody stycznej jest kwadratowa, rząd zbieżności wynosi 2.

Zatem zbieżność metody stycznej Newtona jest bardzo szybka.

Bez żadnych zmian metodę uogólnia się na przypadek złożony. Jeśli pierwiastek x i jest pierwiastkiem drugiej wielokrotności lub wyższej, to rząd zbieżności maleje i staje się liniowy.

Do wad metody Newtona należy jej lokalność, ponieważ zbieżność dla dowolnego przybliżenia początkowego jest gwarantowana tylko wtedy, gdy warunek jest wszędzie spełniony , w sytuacji odwrotnej zbieżność zachodzi tylko w pewnym sąsiedztwie pierwiastka.

Do równania zwykle stosuje się metodę Newtona (metodę styczną). f(x) = 0 ma pierwiastek i spełnione są następujące warunki:

1) funkcja y=f(x) zdefiniowane i ciągłe w ;

2) f(a) f(b) (funkcja przyjmuje wartości różnych znaków na końcach odcinka [ a;b]);

3) instrumenty pochodne f”(x) I f""(x) zachowaj znak na przedziale [ a;b] (tj. funkcja k(x) albo wzrasta, albo maleje w segmencie [ a;b], zachowując kierunek wypukłości);

Znaczenie tej metody jest następujące: na segmencie [ a;b] taki numer został wybrany x 0, w którym f(x 0) ma ten sam znak co f""(x 0), czyli warunek jest spełniony f(x 0) f""(x) > 0. W ten sposób wybierany jest punkt z odciętą x 0, w którym styczna do krzywej y=f(x) w segmencie [ a;b] przecina oś Wół. Za punkt x 0 Po pierwsze, wygodnie jest wybrać jeden z końców segmentu.

Rozważmy ten algorytm na konkretnym przykładzie.

Przyjmijmy funkcję rosnącą y = f(x) =x 2– 2, ciągły w segmencie (0;2) i posiadający fa "(x) =2x>0 I fa ""(x) = 2> 0.

W naszym przypadku równanie styczne ma postać: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). W jako punkt x 0 wybieramy punkt B 1 (b; f(b)) = (2,2). Narysuj styczną do funkcji y = f(x) w punkcie B 1 i oznacz punkt przecięcia stycznej i osi Wół kropka x 1. Otrzymujemy równanie pierwszej stycznej: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Wół: x 1 =

Ryż. 3. Konstrukcja pierwszej stycznej do wykresu funkcji f(x)

y=f(x) Wół przez punkt x 1, rozumiemy o co chodzi B2 =(1,5; 0,25). Narysuj ponownie styczną do funkcji y = f(x) w punkcie B 2 i oznacz punkt przecięcia stycznej i Wół kropka x 2.

Równanie drugiej stycznej: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Punkt przecięcia stycznej i osi Wół: x 2 =.

Następnie znajdujemy punkt przecięcia funkcji y=f(x) i prostopadłą poprowadzoną do osi Wół przez punkt x 2 otrzymamy punkt B 3 i tak dalej.

Ryż. 4. Konstrukcja drugiej stycznej do wykresu funkcji f(x)

Pierwsze przybliżenie pierwiastka określa wzór:

= 1.5.

Drugie przybliżenie pierwiastka określa wzór:

=

Trzecie przybliżenie pierwiastka określa wzór:

Zatem ,I Przybliżenie pierwiastka określa się ze wzoru:

Obliczenia przeprowadza się do momentu uzyskania miejsc po przecinku potrzebnych do dopasowania odpowiedzi lub osiągnięcia określonej precyzji e – do momentu spełnienia nierówności |xi-xi-1|

W naszym przypadku porównajmy przybliżenie uzyskane w kroku trzecim z rzeczywistą odpowiedzią. Jak widać już w trzecim kroku otrzymaliśmy błąd mniejszy niż 0,000002.

Rozwiązywanie równań za pomocą CADMatematyka

Dla najprostszych równań postaci F(X) = 0 rozwiązanie w MathСAD znajduje się za pomocą funkcji źródło.

źródło(F (X 1 , X 2 , … ) , X 1 , a, b ) - zwraca wartość X 1 , należący do segmentu [ a, b ] , w którym wyrażenie lub funkcja F (X ) ma wartość 0. Obydwa argumenty tej funkcji muszą być skalarami. Funkcja zwraca skalar.

Ryż. 5. Rozwiązywanie równania nieliniowego w programie MathCAD (funkcja pierwiastkowa)

Jeśli w wyniku zastosowania tej funkcji pojawi się błąd, może to oznaczać, że równanie nie ma pierwiastków lub pierwiastki równania znajdują się daleko od początkowego przybliżenia, wyrażenie ma charakter lokalny maks I min między przybliżeniem początkowym a pierwiastkami.

Aby ustalić przyczynę błędu, należy sprawdzić wykres funkcji F(X). Pomoże to ustalić obecność pierwiastków równania F(X) = 0 i jeśli istnieją, to w przybliżeniu określ ich wartości. Im dokładniejsze zostanie wybrane początkowe przybliżenie pierwiastka, tym szybciej zostanie znaleziona jego dokładna wartość.

Jeżeli początkowe przybliżenie nie jest znane, wówczas zaleca się skorzystanie z funkcji rozwiązywać . Ponadto, jeśli równanie zawiera kilka zmiennych, należy wskazać po słowo kluczowe rozwiązanie to lista zmiennych, dla których rozwiązano równanie.

Ryż. 6. Rozwiązywanie równania nieliniowego w programie MathCAD (funkcja rozwiązania)

Wniosek

W badaniu zbadano, w jaki sposób metody matematyczne oraz rozwiązywanie równań z wykorzystaniem programowania w systemie CAD MathCAD. Różne metody mają swoje zalety i wady. Należy zaznaczyć, że zastosowanie konkretnej metody zależy od warunków początkowych danego równania. Te równania, które można dobrze rozwiązać znanymi w szkole metodami faktoryzacji itp., nie mają sensu rozwiązywać więcej w złożony sposób. Zadania matematyki stosowanej, ważne dla fizyki i chemii, wymagające skomplikowanych operacji obliczeniowych przy rozwiązywaniu równań, z powodzeniem rozwiązuje się na przykład za pomocą programowania. Dobrze jest je rozwiązać metodą Newtona.

Aby wyjaśnić pierwiastki, możesz zastosować kilka metod rozwiązania tego samego równania. To właśnie te badania stały się podstawą niniejszej pracy. Jednocześnie łatwo jest zobaczyć, która metoda jest najskuteczniejsza przy rozwiązywaniu poszczególnych etapów równania, a jakiej metody lepiej na tym etapie nie stosować.

Badany materiał z jednej strony pomaga poszerzyć i pogłębić wiedzę matematyczną oraz zaszczepić zainteresowanie matematyką. Z drugiej strony ważna jest umiejętność rozwiązywania rzeczywistych problemów matematycznych dla tych, którzy planują zdobycie zawodów technicznych i inżynierskich. Dlatego ta praca ma znaczenie dalsza edukacja(na przykład w instytucji szkolnictwa wyższego).

Literatura:

1. Mityakov S. N. Informatyka. Złożony materiały edukacyjne. - N. Nowogród: Niżny Nowogród. państwo technologia uniwersytet, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teoria rozgałęzionych rozwiązań równań nieliniowych. M.: Nauka, 1969. - 527 s.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów uczelni technicznych - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Matematyka: instruktaż. - Rostów n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. słownik encyklopedyczny młody matematyk. - M.: Pedagogika, 1989.
6. Korn G., Korn T. Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Wyższa matematyka oparta na Mathcadzie. Kurs ogólny. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Metody numeryczne oparte na programie Mathcad. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Słowa kluczowe: równania nieliniowe, matematyka stosowana, CAD MathCAD, metoda Newtona, metoda krokowa, metoda dychotomii..

Adnotacja: Artykuł poświęcony jest badaniu metod rozwiązywania równań nieliniowych, w tym z wykorzystaniem systemu komputerowego wspomagania projektowania MathCAD. Rozważono metodę krokową, metody połówkowe i metody Newtona, podano szczegółowe algorytmy stosowania tych metod, oraz analiza porównawcza określone metody.

Na przykład:

Ustawmy zadanie do znalezienia ważny pierwiastki tego równania.

I na pewno są! - z artykułów dot wykresy funkcji I równania matematyki wyższej doskonale wiesz, jaki jest harmonogram funkcja wielomianu dziwny stopień przecina oś co najmniej raz, dlatego nasze równanie ma co najmniej jeden prawdziwy korzeń. Jeden. Lub dwa. Albo trzy.

Najpierw aż prosi się o sprawdzenie dostępności racjonalny korzenie. Według odpowiednie twierdzenie, tylko cyfry 1, –1, 3, –3 mogą pretendować do tego „tytułu”, a poprzez bezpośrednie podstawienie łatwo upewnić się, że żadna z nich „nie pasuje”. Zatem irracjonalne wartości pozostają. Można znaleźć pierwiastek(y) niewymierny(e) wielomianu stopnia 3 Dokładnie (wyrażać poprzez rodniki) przy pomocy tzw Formuły Cardano jednak metoda ta jest dość kłopotliwa. Ale dla wielomianów piątego i wyższego stopnia nie ma w ogóle ogólnej metody analitycznej, a ponadto w praktyce istnieje wiele innych równań, w których dokładne wartości nie da się uzyskać prawdziwych korzeni (chociaż istnieją).

Jednak w zastosowaniu (na przykład inżynieria) problemów, bardziej niż dopuszczalne jest stosowanie obliczonych wartości przybliżonych z pewną dokładnością.

Ustawmy dokładność dla naszego przykładu. Co to znaczy? Oznacza to, że musimy znaleźć TAKĄ przybliżoną wartość pierwiastka (korzenie) w którym my gwarantujemy, że mylimy się nie więcej niż o 0,001 (jedna tysięczna) .

Jest całkowicie jasne, że rozwiązania nie można rozpocząć „przypadkowo”, a zatem w pierwszym kroku od korzeni oddzielny. Oddzielenie korzenia oznacza znalezienie wystarczająco małego (zwykle pojedynczego) odcinka, do którego należy ten korzeń i na którym nie ma innych korzeni. Najprostszy i najbardziej dostępny graficzna metoda separacji korzeni. Zbudujmy punkt po punkcie wykres funkcji :

Z rysunku wynika, że ​​równanie najwyraźniej ma jeden pierwiastek rzeczywisty należący do odcinka. Na końcach tego przedziału funkcja przyjmuje wartości różnych znaków: i z faktu ciągłość funkcji na odcinku natychmiast widoczne elementarny sposób doprecyzowanie pierwiastka: podziel przedział na pół i wybierz segment, na którego końcach zajmuje się funkcja różne znaki. W w tym przypadku jest to oczywiście segment. Powstały przedział dzielimy na pół i ponownie wybieramy segment „inny znak”. I tak dalej. Takie sekwencyjne działania nazywane są iteracje. W takim przypadku należy je prowadzić tak długo, aż długość odcinka będzie mniejsza niż dwukrotność dokładności obliczeń, a jako przybliżoną wartość pierwiastka należy przyjąć środek ostatniego odcinka o „innym znaku”.

Rozważany schemat otrzymał naturalną nazwę - metoda dzielenia połówkowego. Wadą tej metody jest szybkość. Powoli. Tak wolno. Zanim osiągniemy wymaganą dokładność, konieczne będzie wykonanie zbyt wielu iteracji. Z rozwojem technologia komputerowa To oczywiście nie jest problem, ale po to właśnie jest matematyka, żeby szukać jak najbardziej racjonalnych rozwiązań.

I jeden z wielu skuteczne sposoby znalezienie przybliżonej wartości pierwiastka jest dokładne metoda styczna. Krótka geometryczna istota metody jest następująca: po pierwsze, przy użyciu specjalnego kryterium (więcej o tym nieco później) wybrany zostanie jeden z końców segmentu. Ten koniec nazywa się wstępny przybliżenie pierwiastka, w naszym przykładzie: . Teraz rysujemy styczną do wykresu funkcji na odciętej (niebieska kropka i fioletowa styczna):

Ta styczna przecięła oś x w żółtym punkcie i zauważ, że w pierwszym kroku prawie „trafiliśmy w pierwiastek”! To będzie Pierwszy podejście do korzeni. Następnie obniżamy żółtą prostopadle do wykresu funkcji i „dochodzimy” do pomarańczowego punktu. Ponownie rysujemy styczną przez pomarańczowy punkt, który przetnie oś jeszcze bliżej pierwiastka! I tak dalej. Nietrudno zrozumieć, że stosując metodę styczną zbliżamy się do celu skokowo, a osiągnięcie dokładności zajmie dosłownie kilka iteracji.

Ponieważ styczna jest zdefiniowana przez pochodna funkcji, wówczas ta lekcja znalazła się w sekcji „Instrumenty pochodne” jako jedno z jej zastosowań. I bez wchodzenia w szczegóły teoretyczne uzasadnienie metody, rozważę techniczną stronę problemu. W praktyce opisany powyżej problem występuje w przybliżeniu w następującym sformułowaniu:

Przykład 1

Używając metoda graficzna znajdź przedział, w którym znajduje się pierwiastek rzeczywisty równania. Korzystając z metody Newtona, uzyskaj przybliżoną wartość pierwiastka z dokładnością do 0,001

Oto „oszczędna wersja” zadania, w której natychmiast stwierdza się obecność jednego prawidłowego rdzenia.

Rozwiązanie: na pierwszym kroku korzeń powinien być oddzielony graficznie. Można to zrobić poprzez plotowanie (patrz ilustracje powyżej), ale takie podejście ma wiele wad. Po pierwsze, nie jest faktem, że wykres jest prosty (nie wiemy z góry), A oprogramowanie– nie zawsze jest pod ręką. I po drugie (konsekwencja z 1.), z dużym prawdopodobieństwem wynikiem nie będzie nawet rysunek schematyczny, ale rysunek przybliżony, co oczywiście nie jest dobre.

Cóż, po co nam niepotrzebne trudności? Wyobraźmy sobie równanie w formularzu DOKŁADNIE narysuj wykresy i zaznacz pierwiastek na rysunku (współrzędna „X” punktu przecięcia wykresów):

Oczywista zaleta Ta metoda polega na tym, że wykresy tych funkcji są budowane ręcznie znacznie dokładniej i znacznie szybciej. Swoją drogą, zwróć na to uwagę prosty skrzyżowane parabola sześcienna w jednym punkcie, co oznacza, że ​​zaproponowane równanie ma w rzeczywistości tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Ufaj ale sprawdzaj ;-)

Zatem nasz „klient” należy do segmentu, a „na oko” wynosi w przybliżeniu 0,65-0,7.

Na drugim etapie muszę wybrać wstępne przybliżenieźródło Zwykle jest to jeden z końców segmentu. Początkowe przybliżenie musi spełniać następny warunek:

Znajdźmy Pierwszy I drugi funkcje pochodne :

i sprawdź lewy koniec segmentu:

Zatem zero „nie pasowało”.

Sprawdzanie prawego końca segmentu:

- Wszystko w porządku! Wybieramy jako wstępne przybliżenie.

Na trzecim kroku Czeka nas droga do korzeni. Każde kolejne przybliżenie pierwiastka jest obliczane na podstawie poprzednich danych w następujący sposób nawracający formuły:

Proces kończy się w momencie spełnienia warunku, gdzie jest z góry określona dokładność obliczeń. W rezultacie za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmuje się „n-te” przybliżenie: .

Następne w kolejce są rutynowe obliczenia:

(zaokrąglanie przeprowadza się zwykle do 5-6 miejsc po przecinku)

Ponieważ otrzymana wartość jest większa niż , przystępujemy do pierwszego przybliżenia pierwiastka:

Obliczamy:

, zatem należy przejść do drugiego przybliżenia:

Przejdźmy do następnej rundy:

, tym samym iteracje zostają zakończone, a za drugie przybliżenie należy przyjąć przybliżoną wartość pierwiastka, którą zgodnie z podaną dokładnością należy zaokrąglić do jednej tysięcznej:

W praktyce wygodnie jest wpisać wyniki obliczeń do tabeli; aby nieco skrócić zapis, ułamek często oznacza się przez:

Jeśli to możliwe, lepiej przeprowadzić obliczenia samodzielnie w Excelu - jest to znacznie wygodniejsze i szybsze:

Odpowiedź: z dokładnością do 0,001

Przypomnę, że to sformułowanie implikuje fakt, że popełniliśmy błąd w naszej ocenie prawdziwe znaczenie pierwiastek o nie więcej niż 0,001. Wątpiący mogą sięgnąć po mikrokalkulator i ponownie podać przybliżoną wartość 0,674 cala lewa strona równania

Teraz „przeskanujmy” prawą kolumnę tabeli od góry do dołu i zauważmy, że wartości bezwzględne stale maleją. Efekt ten nazywa się konwergencja metoda pozwalająca obliczyć pierwiastek z dowolnie dużą dokładnością. Jednak zbieżność nie zawsze ma miejsce – jest ona zapewniona szereg warunków, o czym milczałem. W szczególności musi być segment, na którym izolowany jest korzeń wystarczająco mały– w przeciwnym razie wartości będą się zmieniać losowo i nie będziemy w stanie dokończyć algorytmu.

Co zrobić w takich przypadkach? Sprawdź, czy spełnione są określone warunki (patrz link powyżej) i, jeśli to konieczne, zmniejsz segment. Relatywnie więc, jeśli w analizowanym przykładzie przedział nie był dla nas odpowiedni, wówczas powinniśmy wziąć pod uwagę np. segment. W praktyce spotkałem się z takimi przypadkami i ta technika naprawdę pomaga! To samo należy zrobić, jeśli oba końce „szerokiego” segmentu nie spełniają warunku (tj. żaden z nich nie nadaje się jako wstępne przybliżenie).

Ale zazwyczaj wszystko działa jak w zegarku, choć nie bez pułapek:

Przykład 2

Określ graficznie liczbę rzeczywistych pierwiastków równania, oddziel te pierwiastki i korzystając z metody Newtona, znajdź z dokładnością przybliżone wartości pierwiastków

Warunek zadania stał się zauważalnie bardziej rygorystyczny: po pierwsze zawiera wyraźną wskazówkę, że równanie nie ma ani jednego pierwiastka, po drugie wzrosło wymaganie dokładności, a po trzecie wraz z wykresem funkcji dużo trudniej sobie z tym poradzić.

I dlatego rozwiązanie Zacznijmy od triku oszczędzającego: wyobraź sobie równanie w formie i narysuj wykresy:


Z rysunku wynika, że ​​nasze równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:

Algorytm, jak rozumiesz, należy dwukrotnie „obrócić”. Ale dotyczy to tylko najcięższych przypadków, czasami trzeba zbadać 3-4 korzenie.

1) Stosowanie kryterium Dowiedzmy się, który koniec odcinka wybrać jako początkowe przybliżenie pierwszego pierwiastka. Znajdowanie pochodnych funkcji :

Testowanie lewego końca segmentu:

- przyszedł!

Jest to zatem wstępne przybliżenie.

Pierwiastek doprecyzujemy metodą Newtona korzystając ze wzoru rekurencyjnego:
- aż do ułamka modulo nie będzie mniejsza niż wymagana dokładność:

I tutaj słowo „moduł” nabiera nieiluzorycznego znaczenia, ponieważ wartości są ujemne:


Z tego samego powodu należy zwrócić szczególną uwagę przy przechodzeniu do każdego kolejnego przybliżenia:

Pomimo dość wysokie wymagania z dokładnością, proces zakończył się ponownie przy drugim przybliżeniu: , zatem:

Dokładność do 0,0001

2) Znajdźmy przybliżoną wartość pierwiastka.

Sprawdzamy lewy koniec segmentu pod kątem wszy:

dlatego nie nadaje się jako wstępne przybliżenie.