Parabola to nieskończona krzywa, która składa się z punktów w równej odległości od danej linii, zwanych kierownicą paraboli, oraz z danego punktu, ogniska paraboli. Parabola jest przekrojem stożkowym, to znaczy reprezentuje przecięcie płaszczyzny i stożka kołowego.
W ogólna perspektywa równanie matematyczne paraboli ma postać: y=ax^2+bx+c, gdzie a nie jest równe zero, b odzwierciedla poziome przemieszczenie wykresu funkcji względem początku, a c jest przemieszczeniem pionowym wykres funkcji względem początku. Ponadto, jeśli a>0, to podczas rysowania wykresu będą one skierowane w górę, a jeśli aWłaściwości paraboli
Parabola jest krzywą drugiego rzędu, której oś symetrii przechodzi przez ognisko paraboli i jest prostopadła do kierownicy paraboli.
Parabola ma szczególną właściwość optyczną polegającą na skupianiu promieni światła równoległych do jej osi symetrii i skierowanych do paraboli w wierzchołku paraboli oraz rozogniskowaniu wiązki światła skierowanej na wierzchołek paraboli na promienie światła równoległe względem siebie tę samą oś.
Jeśli odzwierciedlisz parabolę względem dowolnej stycznej, wówczas obraz paraboli pojawi się na jej kierownicy. Wszystkie parabole są do siebie podobne, czyli na każde dwa punkty A i B jednej paraboli przypadają punkty A1 i B1, dla których twierdzenie |A1,B1| = |A,B|*k, gdzie k jest współczynnikiem podobieństwa, który w wartości liczbowej jest zawsze większy od zera.
Manifestacja paraboli w życiu
Niektóre ciała kosmiczne, takie jak komety czy asteroidy, przelatują w pobliżu dużych obiektów kosmicznych wysoka prędkość mają trajektorię w kształcie paraboli. Ta właściwość małych ciał kosmicznych jest wykorzystywana w manewrach grawitacyjnych statków kosmicznych.
Aby wyszkolić przyszłych kosmonautów, na ziemi odbywają się specjalne loty samolotów po trajektorii parabolicznej, uzyskując w ten sposób efekt nieważkości w polu grawitacyjnym Ziemi.
W życiu codziennym parabole można znaleźć w różnych oprawach oświetleniowych. Wynika to z właściwości optycznych paraboli. Jednym z najnowszych sposobów wykorzystania paraboli, bazującym na jej właściwościach skupiania i rozogniskowania promieni świetlnych, są panele słoneczne, które coraz częściej wchodzą w skład sektora dostaw energii w południowych regionach Rosji.
Funkcja w postaci gdzie jest wywoływana funkcja kwadratowa.
Wykres funkcji kwadratowej – parabola.
Rozważmy przypadki:
PRZYPADKU KLASYCZNA PARABOLA
To jest , ,
Aby skonstruować, wypełnij tabelę, podstawiając wartości x do wzoru:
Zaznacz punkty (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na płaszczyźnie współrzędnych (im mniejszy krok przyjmujemy wartości x (w w tym przypadku krok 1), a im więcej wartości x przyjmiemy, tym gładsza będzie krzywa), otrzymamy parabolę:
Łatwo zauważyć, że jeśli przyjmiemy przypadek , , to znaczy, że otrzymamy parabolę symetryczną względem osi (oh). Łatwo to sprawdzić, wypełniając podobną tabelę:
II PRZYPADEK „a” JEST INNE OD JEDNOSTKI
Co się stanie, jeśli weźmiemy , ,? Jak zmieni się zachowanie paraboli? Z tytułem="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Na pierwszym zdjęciu (patrz wyżej) wyraźnie widać, że punkty z tabeli dla paraboli (1;1), (-1;1) zostały zamienione na punkty (1;4), (1;-4), to znaczy przy tych samych wartościach rzędna każdego punktu jest mnożona przez 4. Stanie się to w przypadku wszystkich kluczowych punktów oryginalnej tabeli. Podobnie rozumujemy w przypadku rysunków 2 i 3.
A kiedy parabola „staje się szersza” od paraboli:
Podsumujmy:
1)Znak współczynnika określa kierunek gałęzi. Z tytułem="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Całkowita wartość współczynnik (moduł) odpowiada za „rozszerzanie” i „kompresję” paraboli. Im większe, tym węższa parabola, im mniejsze |a|, tym szersza parabola.
PRZYPADEK III, WYSTĘPUJE „C”.
Wprowadźmy teraz do gry (to znaczy rozważmy przypadek, kiedy) rozważymy parabole postaci . Nietrudno zgadnąć (zawsze można odwołać się do tabeli), że parabola przesunie się w górę lub w dół wzdłuż osi w zależności od znaku:
PRZYPADEK IV WYSTĘPUJE „b”.
Kiedy parabola „oderwie się” od osi i ostatecznie „przejdzie” po całej płaszczyźnie współrzędnych? Kiedy to przestanie być równe?
Tutaj, aby skonstruować parabolę, której potrzebujemy wzór na obliczenie wierzchołka: , .
Zatem w tym momencie (jak w punkcie (0;0) nowy system współrzędne) zbudujemy parabolę, co już możemy zrobić. Jeśli mamy do czynienia z przypadkiem, to od wierzchołka kładziemy jeden segment jednostkowy w prawo, drugi w górę, - wynikowy punkt jest nasz (podobnie krok w lewo, krok w górę to nasz punkt); jeśli mamy do czynienia np. z wierzchołkiem, to od wierzchołka umieszczamy jeden segment jednostkowy w prawo, dwa w górę itd.
Na przykład wierzchołek paraboli:
Teraz najważniejszą rzeczą do zrozumienia jest to, że w tym wierzchołku zbudujemy parabolę zgodnie ze wzorem paraboli, ponieważ w naszym przypadku.
Podczas konstruowania paraboli po znalezieniu współrzędnych wierzchołka bardzoWygodnie jest wziąć pod uwagę następujące punkty:
1) parabola z pewnością przejdzie przez ten punkt . Rzeczywiście, podstawiając x=0 do wzoru, otrzymujemy, że . Oznacza to, że rzędna punktu przecięcia paraboli z osią (oy) wynosi . W naszym przykładzie (powyżej) parabola przecina rzędną w punkcie , ponieważ .
2) oś symetrii parabole jest linią prostą, więc wszystkie punkty paraboli będą względem niej symetryczne. W naszym przykładzie od razu bierzemy punkt (0; -2) i budujemy go symetrycznie względem osi symetrii paraboli, otrzymujemy punkt (4; -2), przez który parabola przejdzie.
3) Równając , znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (oh). Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie. W zależności od dyskryminatora otrzymamy jeden (, ), dwa ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . W poprzednim przykładzie nasz pierwiastek z dyskryminatora nie jest liczbą całkowitą; podczas konstruowania nie ma większego sensu dla nas znajdowanie pierwiastków, ale wyraźnie widzimy, że będziemy mieli dwa punkty przecięcia z osią (oh) (od title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Więc rozpracujmy to
Algorytm konstruowania paraboli, jeśli jest ona podana w postaci
1) określić kierunek gałęzi (a>0 – w górę, a<0 – вниз)
2) współrzędne wierzchołka paraboli znajdujemy ze wzoru , .
3) wyznaczamy punkt przecięcia paraboli z osią (oy) korzystając ze składnika wolnego, konstruujemy punkt symetryczny do tego punktu względem osi symetrii paraboli (należy zaznaczyć, że zdarza się, że nieopłacalne jest wyznaczanie ten punkt, na przykład, ponieważ wartość jest duża... pomijamy ten punkt...)
4) W znalezionym punkcie - wierzchołku paraboli (jak w punkcie (0;0) nowego układu współrzędnych) konstruujemy parabolę. If title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Punkty przecięcia paraboli z osią (oy) (jeśli jeszcze nie „wypłynęły na powierzchnię”) znajdujemy rozwiązując równanie
Przykład 1
Przykład 2
Notatka 1. Jeżeli początkowo parabolę podamy nam w postaci , gdzie jest kilka liczb (np. ), to jeszcze łatwiej będzie ją skonstruować, bo mamy już podane współrzędne wierzchołka. Dlaczego?
Weźmy trójmian kwadratowy i wyodrębnijmy z niego cały kwadrat: Spójrz, mamy to , . Ty i ja wcześniej nazywaliśmy wierzchołek paraboli, to znaczy teraz.
Na przykład, . Zaznaczamy wierzchołek paraboli na płaszczyźnie, rozumiemy, że gałęzie są skierowane w dół, parabola jest rozwinięta (względem ). Oznacza to, że realizujemy punkty 1; 3; 4; 5 z algorytmu konstruowania paraboli (patrz wyżej).
Uwaga 2. Jeśli parabolę podamy w podobnej postaci (czyli przedstawimy jako iloczyn dwóch czynników liniowych), to od razu widzimy punkty przecięcia paraboli z osią (ox). W tym przypadku – (0;0) i (4;0). W pozostałej części postępujemy zgodnie z algorytmem, otwierając nawiasy.
Parabola to zbiór punktów na płaszczyźnie w jednakowej odległości od danego punktu F i danej prostej d, która nie przechodzi przez dany punkt. Ta geometryczna definicja wyraża właściwość reżyserska paraboli.
Własność kierownicza paraboli
Punkt F nazywany jest ogniskiem paraboli, linia d jest kierownicą paraboli, punkt środkowy O prostopadłej obniżonej z ogniska do kierownicy jest wierzchołkiem paraboli, odległość p od ogniska do kierownicy jest parametrem paraboli, a odległość \frac(p)(2) od wierzchołka paraboli do jej ogniska jest ogniskową (ryc. 3.45a). Linię prostą prostopadłą do kierownicy i przechodzącą przez ognisko nazywamy osią paraboli (ogniskową osią paraboli). Odcinek FM łączący dowolny punkt M paraboli z jej ogniskiem nazywany jest promieniem ogniskowym punktu M. Odcinek łączący dwa punkty paraboli nazywa się cięciwą paraboli.
Dla dowolnego punktu paraboli stosunek odległości od ogniska do odległości do kierownicy jest równy jeden. Porównując właściwości kierunkowe , i parabol, dochodzimy do wniosku, że ekscentryczność paraboli z definicji równa jeden (e=1).
Definicja geometryczna paraboli, wyrażając jego właściwość reżyserską, jest równoznaczne z jego definicją analityczną - linią podaną przez równanie kanoniczne parabole:
Rzeczywiście, wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych (ryc. 3.45, b). Za początek układu współrzędnych przyjmujemy wierzchołek O paraboli; linię prostą przechodzącą przez ognisko prostopadłą do kierownicy przyjmujemy jako oś odciętych (kierunek dodatni przebiega od punktu O do punktu F); Za oś rzędnych przyjmijmy prostą prostopadłą do osi odciętych i przechodzącą przez wierzchołek paraboli (kierunek na osi rzędnych dobieramy tak, aby prostokątny układ współrzędnych Oxy był prawidłowy).
Utwórzmy równanie paraboli, korzystając z jej definicji geometrycznej, która wyraża właściwość kierunkową paraboli. W wybranym układzie współrzędnych wyznaczamy współrzędne ogniska F\!\lewo(\frac(p)(2);\,0\prawo) oraz równanie kierownicy x=-\frac(p)(2) . Dla dowolnego punktu M(x,y) należącego do paraboli mamy:
FM=MM_d,
Gdzie M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right) - rzut ortograficzny wskazuje M(x,y) na kierownicę. Zapisujemy to równanie w postaci współrzędnych:
\sqrt((\lewo(x-\frac(p)(2)\prawo)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Podnosimy obie strony równania do kwadratu: (\lewo(x-\frac(p)(2)\prawo)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Przynosząc podobne warunki, otrzymujemy kanoniczne równanie paraboli
y^2=2\cdot p\cdot x, te. wybrany układ współrzędnych jest kanoniczny.
Rozumując Odwrotna kolejność, można wykazać, że wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równanie (3.51), i tylko one, należą do zbioru punktów zwanego parabolą. Zatem analityczna definicja paraboli jest równoważna jej definicji geometrycznej, która wyraża właściwość kierunkową paraboli.
Równanie paraboli w biegunowym układzie współrzędnych
Równanie paraboli w biegunowym układzie współrzędnych Fr\varphi (ryc. 3.45, c) ma postać
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), gdzie p jest parametrem paraboli, a e=1 jest jej mimośrodem.
Faktycznie, jako biegun biegunowego układu współrzędnych wybieramy ognisko F paraboli, a jako oś biegunową - półprostą mającą początek w punkcie F, prostopadłą do kierownicy i nie przecinającą jej (ryc. 3.45, c) . Wtedy dla dowolnego punktu M(r,\varphi) należącego do paraboli, zgodnie z definicją geometryczną (właściwością kierunkową) paraboli, mamy MM_d=r. Ponieważ MM_d=p+r\cos\varphi, otrzymujemy równanie paraboli w postaci współrzędnych:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
co było do okazania Zauważ, że we współrzędnych biegunowych równania elipsy, hiperboli i paraboli pokrywają się, ale opisują różne linie, ponieważ różnią się mimośrodami (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 dla ).
Znaczenie geometryczne parametru w równaniu paraboli
Wyjaśnijmy znaczenie geometryczne parametr p w kanonicznym równaniu paraboli. Podstawiając x=\frac(p)(2) do równania (3.51) otrzymujemy y^2=p^2, czyli y=\pm p . Dlatego parametr p jest połową długości cięciwy paraboli przechodzącej przez jej ognisko prostopadłe do osi paraboli.
Parametr ogniskowy paraboli, a także dla elipsy i hiperboli, nazywa się połową długości cięciwy przechodzącej przez jej ognisko prostopadle do osi ogniskowej (patrz ryc. 3.45, c). Z równania paraboli we współrzędnych biegunowych w \varphi=\frac(\pi)(2) otrzymujemy r=p, tj. parametr paraboli pokrywa się z jej parametrem ogniskowym.
Uwagi 3.11.
1. Parametr p paraboli charakteryzuje jej kształt. Im większe p, tym szersze gałęzie paraboli, im p jest bliższe zeru, tym węższe gałęzie paraboli (ryc. 3.46).
2. Równanie y^2=-2px (dla p>0) definiuje parabolę, która znajduje się na lewo od osi rzędnych (rys. 3.47,a). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego poprzez zmianę kierunku osi x (3.37). Na ryc. Rysunek 3.47,a pokazuje dany układ współrzędnych Oxy i kanoniczny Ox"y".
3. Równanie (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 definiuje parabolę z wierzchołkiem O”(x_0,y_0), której oś jest równoległa do osi odciętej (ryc. 3.47,6). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego za pomocą translacji równoległej (3.36).
Równanie (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, definiuje także parabolę z wierzchołkiem O”(x_0,y_0), której oś jest równoległa do osi rzędnych (ryc. 3.47, c). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego za pomocą translacji równoległej (3.36) i zmiany nazwy osie współrzędnych (3.38) Na ryc. 3.47,b,c przedstawiamy dane układy współrzędnych Oxy i kanoniczne układy współrzędnych Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 jest parabolą z wierzchołkiem w punkcie O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), którego oś jest równoległa do osi rzędnych, gałęzie paraboli skierowane są w górę (dla a>0) lub w dół (dla<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
co sprowadza się do postaci kanonicznej (y")^2=2px" , gdzie p=\lewo|\frac(1)(2a)\prawo|, używając zamiennika y"=x+\frac(b)(2a) I x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
Znak dobiera się tak, aby pokrywał się ze znakiem wiodącego współczynnika a. To zastąpienie odpowiada składowi: transfer równoległy (3.36) z x_0=-\frac(b)(2a) I y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), zmieniając nazwę osi współrzędnych (3.38), a w przypadku a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 i a<0 соответственно.
5. Oś x kanonicznego układu współrzędnych to oś symetrii paraboli, gdyż zastąpienie zmiennej y przez -y nie zmienia równania (3.51). Inaczej mówiąc, współrzędne punktu M(x,y) należącego do paraboli oraz współrzędne punktu M”(x,-y), symetrycznego do punktu M względem osi x, spełniają równanie (3.S1) Wywoływane są osie kanonicznego układu współrzędnych główne osie paraboli.
Przykład 3.22. Narysuj parabolę y^2=2x w kanonicznym układzie współrzędnych Oxy. Znajdź parametr ogniskowy, współrzędne ogniskowe i równanie kierownicy.
Rozwiązanie. Konstruujemy parabolę, biorąc pod uwagę jej symetrię względem osi odciętej (ryc. 3.49). Jeśli to konieczne, określ współrzędne niektórych punktów paraboli. Na przykład, podstawiając x=2 do równania paraboli, otrzymamy y^2=4~\Strzałka w lewo~y=\pm2. Zatem punkty o współrzędnych (2;2),\,(2;-2) należą do paraboli.
Porównując podane równanie z równaniem kanonicznym (3.S1), wyznaczamy parametr ogniskowy: p=1. Współrzędne ostrości x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, tj. F\!\lewo(\frac(1)(2),\,0\prawo). Tworzymy równanie kierownicy x=-\frac(p)(2) , tj. x=-\frac(1)(2) .
Ogólne właściwości elipsy, hiperboli, paraboli
1. Właściwość kierunkową można zastosować jako pojedynczą definicję elipsy, hiperboli i paraboli (patrz ryc. 3.50): miejsce punktów na płaszczyźnie, dla każdego z których stosunek odległości do danego punktu F (ogniska) do odległości do danej prostej d (kierownicy) nieprzechodzącej przez dany punkt jest stały i równy mimośrodowi e , jest nazywany:
a) jeśli 0\leqslant e<1 ;
b) jeśli e>1;
c) parabola, jeśli e=1.
2. Elipsę, hiperbolę i parabolę uzyskuje się jako płaszczyzny w przekrojach okrągłego stożka i dlatego nazywa się je sekcje stożkowe. Ta właściwość może również służyć jako geometryczna definicja elipsy, hiperboli i paraboli.
3. Wspólne właściwości elipsy, hiperboli i paraboli obejmują nieruchomość dwusektorowa ich styczne. Pod tangens do prostej w pewnym punkcie K rozumie się położenie graniczne siecznej KM, gdy punkt M pozostający na rozpatrywanej prostej zmierza do punktu K. Nazywa się prostą prostopadłą do stycznej do prostej i przechodzącą przez punkt styczności normalna do tej linii.
Dwusieczna właściwość stycznych (i normalnych) do elipsy, hiperboli i paraboli jest sformułowana w następujący sposób: styczna (normalna) do elipsy lub hiperboli tworzy kąty równe z promieniami ogniskowymi punktu stycznego(ryc. 3.51, a, b); styczna (normalna) do paraboli tworzy równe kąty z promieniem ogniskowym punktu styczności i prostopadłą opadającą z niej do kierownicy(ryc. 3.51, c). Inaczej mówiąc, styczna do elipsy w punkcie K jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta F_1KF_2 (a normalna jest dwusieczną kąta wewnętrznego F_1KF_2 trójkąta); styczna do hiperboli jest dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta F_1KF_2 (a normalna jest dwusieczną kąta zewnętrznego); styczna do paraboli jest dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta FKK_d (a normalna jest dwusieczną kąta zewnętrznego). Własność dwusieczną stycznej do paraboli można sformułować w taki sam sposób, jak w przypadku elipsy i hiperboli, jeśli założymy, że parabola ma drugie ognisko w punkcie w nieskończoności.
4. Z właściwości dwusektorowych wynika właściwości optyczne elipsy, hiperboli i paraboli, wyjaśniający fizyczne znaczenie terminu „fokus”. Wyobraźmy sobie powierzchnie utworzone przez obrót elipsy, hiperboli lub paraboli wokół osi ogniskowej. Jeśli na te powierzchnie zostanie nałożona powłoka odblaskowa, uzyskuje się zwierciadła eliptyczne, hiperboliczne i paraboliczne. Zgodnie z prawem optyki kąt padania promienia świetlnego na lustro jest równy kątowi odbicia, tj. promienie padające i odbite tworzą kąty równe z normalną do powierzchni, a oba promienie i oś obrotu leżą w tej samej płaszczyźnie. Stąd otrzymujemy następujące właściwości:
– jeśli źródło światła znajduje się w jednym z ognisk zwierciadła eliptycznego, wówczas promienie światła odbite od lustra gromadzą się w innym ognisku (ryc. 3.52, a);
– jeżeli źródło światła znajduje się w jednym z ognisk zwierciadła hiperbolicznego, to promienie światła odbite od zwierciadła rozchodzą się tak, jakby pochodziły z innego ogniska (ryc. 3.52, b);
– jeśli źródło światła znajduje się w ognisku zwierciadła parabolicznego, wówczas promienie świetlne odbite od zwierciadła biegną równolegle do osi ogniskowej (ryc. 3.52, c).
5. Własność diametryczna elipsę, hiperbolę i parabolę można sformułować w następujący sposób:
– punkty środkowe równoległych cięciw elipsy (hiperbola) leżą na jednej linii prostej przechodzącej przez środek elipsy (hiperbola);
– punkty środkowe równoległych cięciw paraboli leżą na prostej, współliniowej osi symetrii paraboli.
Nazywa się miejsce geometryczne środków wszystkich równoległych cięciw elipsy (hiperbola, parabola) średnica elipsy (hiperbola, parabola), koniuguj do tych akordów.
Jest to definicja średnicy w wąskim znaczeniu (patrz przykład 2.8). Wcześniej definicję średnicy podawano w szerokim znaczeniu, gdzie średnica elipsy, hiperboli, paraboli i innych linii drugiego rzędu jest linią prostą zawierającą środki wszystkich równoległych cięciw. W wąskim sensie średnicą elipsy jest dowolna cięciwa przechodząca przez jej środek (ryc. 3.53, a); średnicą hiperboli jest dowolna linia prosta przechodząca przez środek hiperboli (z wyjątkiem asymptot) lub część takiej linii prostej (ryc. 3.53,6); Średnicą paraboli jest dowolny promień wychodzący z określonego punktu paraboli i współliniowy z osią symetrii (ryc. 3.53, c).
Dwie średnice, z których każda przecina wszystkie cięciwy równoległe do drugiej średnicy, nazywane są sprzężonymi. Na ryc. 3.53 pogrubione linie pokazują sprzężone średnice elipsy, hiperboli i paraboli.
Styczną do elipsy (hiperboli, paraboli) w punkcie K można zdefiniować jako położenie graniczne siecznych równoległych M_1M_2, gdy punkty M_1 i M_2 pozostające na rozpatrywanej prostej zmierzają do punktu K. Z tej definicji wynika, że styczna równoległa do cięciw przechodzi przez koniec sprzężenia średnicy z tymi cięciwami.
6. Elipsa, hiperbola i parabola, oprócz podanych powyżej, mają liczne właściwości geometryczne i zastosowania fizyczne. Przykładowo rys. 3.50 może służyć jako ilustracja trajektorii obiektów kosmicznych znajdujących się w pobliżu środka ciężkości F.
Rozważmy prostą na płaszczyźnie i punkt nie leżący na tej prostej. I elipsa, I hiperbola można zdefiniować w sposób jednolity jako miejsce geometryczne punktów, dla których stosunek odległości do danego punktu do odległości do danej prostej jest wartością stałą
ranga ε. Przy 0 1 - hiperbola. Parametr ε wynosi ekscentryczność zarówno elipsy, jak i hiperboli. Spośród możliwych dodatnich wartości parametru ε jedna, a mianowicie ε = 1, okazuje się niewykorzystana. Wartość ta odpowiada geometrycznemu położeniu punktów w jednakowej odległości od danego punktu i od danej prostej.
Definicja 8.1. Nazywa się zbiór punktów na płaszczyźnie w równej odległości od stałego punktu i od ustalonej linii parabola.
Nazywa się punkt stały ognisko paraboli, a linia prosta - kierownica paraboli. Jednocześnie uważa się, że ekscentryczność paraboli równy jeden.
Z rozważań geometrycznych wynika, że parabola jest symetryczna względem prostej prostopadłej do kierownicy i przechodzącej przez ognisko paraboli. Ta linia prosta nazywana jest osią symetrii paraboli lub po prostu oś paraboli. Parabola przecina swoją oś symetrii w jednym punkcie. Ten punkt nazywa się wierzchołek paraboli. Znajduje się w środku odcinka łączącego ognisko paraboli z punktem przecięcia jej osi ze kierownicą (ryc. 8.3).
Równanie paraboli. Aby wyprowadzić równanie paraboli, wybieramy na płaszczyźnie pochodzenie w wierzchołku paraboli, jak oś x- oś paraboli, której dodatni kierunek jest określony przez położenie ogniska (patrz ryc. 8.3). Ten układ współrzędnych nazywa się kanoniczny dla danej paraboli i odpowiadających jej zmiennych kanoniczny.
Oznaczmy odległość od ogniska do kierownicy przez p. Jest on nazywany parametr ogniskowy paraboli.
Wówczas ognisko ma współrzędne F(p/2; 0), a kierownica d jest opisana równaniem x = - p/2. Miejsce punktów M(x; y), w jednakowej odległości od punktu F i prostej d, wyznacza równanie
Podnieś równanie (8.2) i przedstaw podobne. Otrzymujemy równanie
który jest nazywany kanoniczne równanie paraboli.
Należy zauważyć, że podniesienie kwadratu w tym przypadku jest równoważną transformacją równania (8.2), ponieważ obie strony równania są nieujemne, podobnie jak wyrażenie pod pierwiastkiem.
Rodzaj paraboli. Jeżeli parabolę y 2 = x, której postać uważamy za znaną, skompresujemy wzdłuż osi odciętych ze współczynnikiem 1/(2р), wówczas otrzymamy parabolę o postaci ogólnej, którą opisuje równanie (8.3).
Przykład 8.2. Znajdźmy współrzędne ogniska i równanie kierownicy paraboli, jeśli przechodzi ona przez punkt, którego współrzędne kanoniczne wynoszą (25; 10).
We współrzędnych kanonicznych równanie paraboli ma postać y 2 = 2px. Ponieważ punkt (25; 10) leży na paraboli, to 100 = 50p, a zatem p = 2. Zatem y 2 = 4x jest równaniem kanonicznym paraboli, x = - 1 jest równaniem jej kierownicy, a fokus znajduje się w punkcie (1; 0 ).
Własność optyczna paraboli. Parabola ma następujące cechy właściwość optyczna. Jeśli w ognisku paraboli umieścimy źródło światła, wówczas wszystkie promienie świetlne po odbiciu od paraboli będą równoległe do osi paraboli (ryc. 8.4). Właściwość optyczna oznacza, że w dowolnym punkcie M paraboli wektor normalny styczna tworzy kąty równe z promieniem ogniskowym MF i osią odciętych.
Definicja 1. Parabola to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, z których każdy jest jednakowo oddalony od danego punktu, tzw centrum, i od danej linii nie przechodzącej przez dany punkt i tzw dyrektorka szkoły.
Utwórzmy równanie paraboli z ogniskiem w danym punkcie F i którego kierownicą jest linia D, nie przechodzić F. Wybierzmy prostokątny układ współrzędnych w następujący sposób: oś Oh przejdźmy przez fokus F prostopadle do reżysera D w kierunku od D Do F, i pochodzenie O Umieśćmy go pośrodku pomiędzy ogniskiem a kierownicą (ryc. 1).
Definicja 2. Odległość ostrości F do dyrektorki D zwany parametr paraboli i jest oznaczony przez p(str> 0).
Z ryc. 1 jest to jasne p = FK, dlatego ognisko ma współrzędne F (p/2; 0), a równanie kierownicy ma postać X= – r/2, Lub
Pozwalać M(x;y) jest dowolnym punktem paraboli. Połączmy kropki M Z F i spędzimy MN zm. Bezpośrednio z rys. 1 jest to jasne
i zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami 
Zgodnie z definicją paraboli, MF = MN, (1)
stąd, 
(2)
Równanie (2) jest wymaganym równaniem paraboli. Aby uprościć równanie (2), przekształcamy je w następujący sposób:
te.,
Współrzędne X I Na zwrotnica M parabole spełniają warunek (1), a zatem równanie (3).
Definicja 3. Równanie (3) nazywa się równanie kanoniczne paraboli.
2. Badanie kształtu paraboli za pomocą jej równania. Wyznaczmy kształt paraboli korzystając z jej równania kanonicznego (3).
1) Współrzędne punktu O (0; 0) spełniają równanie (3), zatem parabola określona tym równaniem przechodzi przez początek.
2) Ponieważ w równaniu (3) zmienna Na zawarte tylko w nawet stopień, a następnie parabola y2 = 2 piksele symetrycznie względem osi odciętej.
3) Od p > 0, to z (3) wynika x ≥ 0. W konsekwencji parabola y2 = 2 piksele znajduje się na prawo od osi Jednostka organizacyjna.
4) W miarę wzrostu odciętej X z 0 do +∞ rzędnej Na różni się od 0 zanim ± ∞, tj. punkty paraboli oddalają się od osi w sposób nieograniczony Oh i od osi Jednostka organizacyjna.
Parabola y2 = 2 piksele ma kształt pokazany na rys. 2.
Definicja 4. Oś Oh zwany oś symetrii paraboli. Kropka O (0; 0) nazywa się przecięcie paraboli z osią symetrii wierzchołek paraboli. Odcinek FM zwany promień ogniska zwrotnica M.
Komentarz. Aby utworzyć równanie paraboli o postaci y2 = 2 piksele specjalnie wybraliśmy prostokątny układ współrzędnych (patrz punkt 1). Jeśli układ współrzędnych zostanie wybrany w inny sposób, wówczas równanie paraboli będzie miało inną postać.
A
Na przykład, jeśli pokierujesz osią Oh od ostrości do reżysera (ryc. 3, A
y2 = –2px. (4)
F(–р/2; 0) i dyrektorka D dane równaniem x = p/2.
Jeżeli oś Jednostka organizacyjna przejdźmy przez fokus F D w kierunku od D Do F i pochodzenie O umieść go pośrodku pomiędzy ogniskiem a kierownicą (ryc. 3, B), to równanie paraboli jest przykładem postaci
x 2 = 2ru . (5)
Ognisko takiej paraboli ma współrzędne F (0; p/2) i dyrektorka D dane równaniem y=–p/2.
Jeżeli oś Jednostka organizacyjna przejdźmy przez fokus F prostopadle do reżysera D w kierunku od F Do D(ryc. 3, V), wówczas równanie paraboli przyjmuje postać
x 2 = –2ru (6)
Jego współrzędne skupienia będą F (0; –р/2) i równanie kierownicy D będzie y = p/2.
Mówi się, że równania (4), (5), (6) mają najprostszą postać.
3. Równoległe przeniesienie paraboli. Niech będzie dana parabola z wierzchołkiem w punkcie O” (a; b), którego oś symetrii jest równoległa do osi Jednostka organizacyjna, a gałęzie są skierowane w górę (ryc. 4). Trzeba ułożyć równanie paraboli.
(9)
Definicja 5. Równanie (9) nazywa się równanie paraboli z przesuniętym wierzchołkiem.
Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
Układanie 
będzie miał 
(10)
Nie jest trudno to komukolwiek pokazać A, B, C harmonogram trójmian kwadratowy(10) jest parabolą w znaczeniu definicji 1. Równanie paraboli w postaci (10) było badane na szkolnym kursie algebry.
ĆWICZENIA DO NIEZALEŻNEGO ROZWIĄZANIA
nr 1. Napisz równanie okręgu:
A. ze środkiem w początku układu współrzędnych i promieniem 7;
B. ze środkiem w punkcie (-1;4) i promieniem 2.
Skonstruuj dane okręgu w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych.
Nr 2. Ułóż równanie kanoniczne elipsy z wierzchołkami
i sztuczki 
Nr 3. Skonstruuj elipsę określoną równaniem kanonicznym:
1) 2) 
Nr 4. Ułóż równanie kanoniczne elipsy z wierzchołkami
i sztuczki 
Nr 5. Ułóż równanie kanoniczne hiperboli z wierzchołkami
i sztuczki
Numer 6. Ułóż równanie kanoniczne hiperboli, jeśli:
1. odległość pomiędzy ogniskami i pomiędzy wierzchołkami
2. półoś rzeczywista i mimośród;
3. skupia się na osi, rzeczywista oś to 12, a urojona oś to 8.
nr 7. Skonstruuj hiperbolę daną równaniem kanonicznym:
1) 2) 
.
Nr 8. Zapisz równanie kanoniczne paraboli, jeśli:
1) parabola leży w prawej półpłaszczyźnie symetrycznie względem osi i jej parametru;
2) parabola leży w lewej półpłaszczyźnie symetrycznie względem osi i jej parametr wynosi .
Skonstruuj te parabole, ich ogniska i kierownice.
nr 9. Określ typ prostej, jeśli jej równanie jest następujące:
PYTANIA DO AUTOTESTU
1. Wektory w przestrzeni.
1.1. Co to jest wektor?
1.2. Jaka jest wielkość bezwzględna wektora?
1.3. Jakie znasz typy wektorów w przestrzeni?
1.4. Jakie działania możesz z nimi wykonać?
1.5. Co to są współrzędne wektorowe? Jak je znaleźć?
2. Działania na wektorach określonych przez ich współrzędne.
2.1. Jakie działania można wykonać na wektorach podanych w postaci współrzędnych (reguły, równości, przykłady); jak znaleźć wartość bezwzględną takiego wektora.
2.2. Nieruchomości:
2.2.1 współliniowy;
2.2.2 prostopadłe;
2.2.3 współpłaszczyznowy;
2.2.4 wektory równe.
(sformułowania, równości).
3. Równanie prostej. Zastosowane problemy.
3.1. Jakie znasz rodzaje równań prostej (umiesz napisać i zinterpretować z nagrania);
3.2. Jak zbadać równoległość - prostopadłość dwóch prostych określonych równaniami ze współczynnikiem kątowym lub równania ogólne?
3.3. Jak znaleźć odległość punktu od linii łączącej dwa punkty?
3.4. Jak znaleźć kąt między liniami podanymi w ogólnych równaniach linii lub równaniach nachylenia?
3.5. Jak znaleźć współrzędne środka odcinka i długość tego odcinka?
4. Równanie płaszczyzny. Zastosowane problemy.
4.1. Jakie znasz rodzaje równań płaskich (umiesz napisać i zinterpretować z nagrania)?
4.2. Jak badać równoległość i prostopadłość prostych w przestrzeni?
4.3. Jak znaleźć odległość punktu od płaszczyzny i kąt między płaszczyznami?
4.4. Jak zwiedzać wzajemne porozumienie linia prosta i płaszczyzna w przestrzeni?
4.5. Rodzaje równań prostej w przestrzeni: ogólne, kanoniczne, parametryczne, przechodzące przez dwa dane punkty.
4.6. Jak znaleźć kąt między liniami prostymi a odległość między punktami w przestrzeni?
5. Linie drugiego rzędu.
5.1. Elipsa: definicja, ogniska, wierzchołki, oś większa i mniejsza, promienie ogniskowe, mimośród, równania kierownicze, najprostsze (lub kanoniczne) równania elipsy; rysunek.
5.2. Hiperbola: definicja, ogniska, wierzchołki, osie rzeczywiste i urojone, promienie ogniskowe, mimośród, równania kierownicze, najprostsze (lub kanoniczne) równania hiperboli; rysunek.
5.3. Parabola: definicja, ognisko, kierownica, wierzchołek, parametr, oś symetrii, najprostsze (lub kanoniczne) równania paraboli; rysunek.
Uwaga do 4.1, 4.2, 4.3: Dla każdej linii drugiego rzędu umieć opisać konstrukcję.
ZADANIA AUTOTESTOWE
1.Przyznane punkty: 
, gdzie N jest numerem studenta na liście.
3) znajdź odległość punktu M od płaszczyzny P.
4. Skonstruuj prostą drugiego rzędu za pomocą jej równania kanonicznego:
.
LITERATURA
1. Matematyka wyższa dla ekonomistów - Podręcznik dla uniwersytetów, wyd. N.Sh. Kremer i in., Moskwa, UNITY, 2003.
2. Barkovsky V.V., Barkovska N.V. - Matematyka Vischa dla ekonomistów – Kijów, TsUL, 2002.
3. Suworow I.F. - Kurs matematyki wyższej. - M., Szkoła Wyższa, 1967.
4. Tarasow N.P. - Kurs matematyki wyższej dla szkół technicznych. - M.; Nauka, 1969.
5. Zaitsev I.L. - Elementy matematyki wyższej dla szkół technicznych. - M.; Nauka, 1965.
6. Valutse N.N., Diligul G.D. - Matematyka dla szkół technicznych. - M.; Nauka, 1990.
7. Shipachev V.S. - Wyższa matematyka. Podręcznik dla uczelni wyższych - M.: Szkoła Wyższa, 2003.
