Dom Pokryty język Rozwiązanie Perelmana hipotezy Poincarégo. Milion dolarów za dziurę w pączku

Pokryty język

Rozwiązanie Perelmana hipotezy Poincarégo. Milion dolarów za dziurę w pączku

Jaka jest istota twierdzenia Poincarégo?

E udowodniła rudowłosa Sophia, ale ona też jest rudowłosa....
Najważniejsze jest to, że Wszechświat nie ma kształtu kuli, ale przypomina pączek.
Znaczenie hipotezy Poincarégo w jej pierwotnym sformułowaniu jest takie, że dla każdego trójwymiarowego ciała bez dziur następuje transformacja, która pozwoli na przekształcenie go w kulę bez cięcia i klejenia. Jeśli wydaje się to oczywiste, to co, jeśli przestrzeń nie jest trójwymiarowa, ale zawiera dziesięć lub jedenaście wymiarów (to znaczy mówimy o uogólnionym sformułowaniu hipotezy Poincarégo, co udowodnił Perelman)
nie da się tego opisać w 2 słowach
W 1900 roku Poincaré zasugerował, że trójwymiarowa rozmaitość ze wszystkimi grupami homologii kuli jest homeomorficzna wobec kuli. W 1904 roku znalazł także kontrprzykład, zwany obecnie sferą Poincarégo, i sformułował ostateczną wersję swojej hipotezy. Próby udowodnienia hipotezy Poincarégo doprowadziły do licznych postępów w topologii rozmaitości.
Dowody uogólnionej hipotezy Poincarégo dla n #10878; 5 zostały uzyskane na początku lat 60. i 70. XX wieku niemal jednocześnie przez Smale'a, niezależnie i innymi metodami przez Stallingsa (angielski) (dla n #10878; 7 jego dowód został rozszerzony na przypadki n = 5 i 6 przez Zeemana (angielski)) . Dowód znacznie trudniejszego przypadku n = 4 uzyskał dopiero w 1982 roku Friedman. Z twierdzenia Nowikowa o niezmienności topologicznej klas charakterystycznych Pontriagina wynika, że w dużych wymiarach istnieją rozmaitości równoważne homotopijnie, ale nie homeomorficzne.
Dowód pierwotnej hipotezy Poincarégo (i bardziej ogólnej hipotezy Trstona) znalazł dopiero w 2002 roku Grigory Perelman. Następnie dowód Perelmana został zweryfikowany i zaprezentowany w rozszerzonej formie przez co najmniej trzy grupy naukowców. 1 Dowód wykorzystuje przepływ Ricciego w chirurgii i w dużej mierze jest zgodny z planem nakreślonym przez Hamiltona, który również jako pierwszy zastosował przepływ Ricciego.
kto to jest
Twierdzenie Poincarego:
Twierdzenie Poincarégo o polach wektorowych
Twierdzenie Poincarégo Bendixsona
Twierdzenie Poincarégo o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu
Hipoteza Poincarégo o sferze homotopii
Twierdzenie Poincarégo o powrocie
O który pytasz?
W teorii układów dynamicznych twierdzenie Poincarégo o klasyfikacji homeomorfizmów koła opisuje możliwe typy odwracalnej dynamiki na okręgu, w zależności od liczby rotacji p(f) iterowanego odwzorowania f. Z grubsza okazuje się, że dynamika iteracji mapowania jest w pewnym stopniu zbliżona do dynamiki obrotu o odpowiedni kąt.
Mianowicie, niech dany będzie homeomorfizm koła f. Następnie:
1) Liczba rotacji jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy f ma punkty okresowe. W tym przypadku mianownikiem liczby rotacyjnej jest okres dowolnego punktu okresowego, a porządek cykliczny na okręgu punktów dowolnej orbity okresowej jest taki sam, jak punkty orbity rotacyjnej na p(f). Co więcej, każda trajektoria ma tendencję do pewnej okresowości zarówno w czasie do przodu, jak i do tyłu (trajektorie graniczne a- i -w mogą być różne).
2) Jeśli liczba rotacji f jest niewymierna, możliwe są dwie opcje:
i) albo f ma gęstą orbitę, w którym to przypadku homeomorfizm f jest sprzężony z rotacją przez p(f). W tym przypadku wszystkie orbity f są gęste (ponieważ dotyczy to irracjonalnej rotacji);
ii) albo f ma zbiór niezmienników Cantora C, który jest jedynym minimalnym zbiorem systemu. W tym przypadku wszystkie trajektorie mają tendencję do C zarówno w czasie do przodu, jak i do tyłu. Ponadto odwzorowanie f jest półsprzężone z rotacją o p(f): dla pewnego odwzorowania h stopnia 1 p o f = R p (f) o h
Co więcej, zbiór C jest dokładnie zbiorem punktów wzrostu h; innymi słowy, z topologicznego punktu widzenia, h załamuje przedziały dopełnienia C.
sedno sprawy to 1 milion dolarów
Fakt, że nikt jej nie rozumie oprócz 1 osoby
We francuskiej polityce zagranicznej...
Tutaj Lka odpowiedział najlepiej ze wszystkich http://otvet.mail.ru/question/24963208/
Genialny matematyk, paryski profesor Henri Poincaré zajmował się różnymi dziedzinami tej nauki. Niezależnie i niezależnie od pracy Einsteina w 1905 roku przedstawił główne zasady Szczególnej Teorii Względności. Swoją słynną hipotezę sformułował już w 1904 roku, więc jej rozwiązanie zajęło około stu lat.
Poincaré był jednym z twórców topologii, nauki o właściwościach figur geometrycznych, które nie zmieniają się pod wpływem odkształceń zachodzących bez przerw. Na przykład balon można łatwo zdeformować i nadać mu różne kształty, tak jak ma to miejsce w przypadku dzieci w parku. Ale będziesz musiał przeciąć piłkę, aby skręcić ją w pączek (lub, w języku geometrycznym, torus); nie ma innego sposobu. I odwrotnie: weź gumowy pączek i spróbuj zamienić go w kulę. Jednak to nadal nie zadziała. Zgodnie z ich właściwościami topologicznymi powierzchnie kuli i torusa są niezgodne lub niehomeomorficzne. Natomiast wszelkie powierzchnie bez dziur (powierzchnie zamknięte) są homeomorficzne i mogą się odkształcać i przekształcać w kulę.
Jeśli w XIX wieku wszystko zostało zdecydowane w sprawie dwuwymiarowych powierzchni kuli i torusa, w przypadku bardziej wielowymiarowych przypadków trwało to znacznie dłużej. W istocie jest to istota hipotezy Poincarégo, która rozszerza ten wzór na przypadki wielowymiarowe. Upraszczając nieco, hipoteza Poincarégo stwierdza: Każda prosto połączona zamknięta n-wymiarowa rozmaitość jest homeomorficzna z n-wymiarową sferą. Zabawne, że opcja z trójwymiarowymi powierzchniami okazała się najtrudniejsza. W 1960 r. hipoteza została udowodniona dla wymiaru 5 i wyższych, w 1981 r. dla n=4. Przeszkodą była właśnie trójwymiarowość.
Rozwijając zaproponowane przez nich w latach 80. pomysły Williama Trsena i Richarda Hamiltona, Grigory Perelman zastosował specjalne równanie płynnej ewolucji do powierzchni trójwymiarowych. I był w stanie wykazać, że pierwotna trójwymiarowa powierzchnia (jeśli nie ma w niej nieciągłości) koniecznie ewoluuje w trójwymiarową kulę (jest to powierzchnia czterowymiarowej kuli i istnieje ona w czterowymiarowej przestrzeń). Zdaniem wielu ekspertów był to pomysł nowej generacji, którego rozwiązanie otwiera nowe horyzonty przed naukami matematycznymi.
Ciekawe, że z jakiegoś powodu sam Perelman nie zadał sobie trudu doprowadzenia swojej decyzji do ostatecznego blasku. Po opisaniu rozwiązania jako całości w przeddruku Wzór na entropię przepływu Ricciego i jego zastosowania geometryczne w listopadzie 2002 r., w marcu 2003 r. uzupełnił dowód i przedstawił go w przeddruku Przepływ Ricciego z operacją na trzech rozmaitościach, a także zgłosił na temat metody w cyklu wykładów, które wygłosił w 2003 roku na zaproszenie szeregu uczelni. Żaden z recenzentów nie znalazł błędów w zaproponowanej przez niego wersji, natomiast Perelman nie opublikował publikacji w recenzowanej publikacji naukowej (co było w szczególności warunkiem koniecznym otrzymania Nagrody Instytutu Matematycznego Claya). Jednak w 2006 roku, w oparciu o jego metodę, opublikowano cały zestaw dowodów, w których matematycy amerykańscy i chińscy szczegółowo i całkowicie zbadali problem, uzupełnili punkty pominięte przez Perelmana i przedstawili ostateczny dowód hipotezy Poincarégo.
Uogólniona hipoteza Poincarégo stwierdza, że:
Dla dowolnego n dowolna rozmaitość wymiaru n jest homotopią równoważną kuli o wymiarze n wtedy i tylko wtedy, gdy jest z nią homeomorficzna.
Oryginalna hipoteza Poincarégo jest szczególnym przypadkiem uogólnionego hipotezy dla n = 3.
Dla wyjaśnienia idź do lasu na grzyby, idzie tam Grigorij Perelman)
Twierdzenie Poincarégo o powrocie jest jednym z podstawowych twierdzeń teorii ergodycznej. Jego istotą jest to, że przy zachowującym miarę odwzorowaniu przestrzeni na siebie, prawie każdy punkt powróci do swojego początkowego sąsiedztwa. Pełne sformułowanie twierdzenia jest następujące: 1:
Niech będzie zachowującą miarę transformacją przestrzeni o skończonej mierze i niech będzie zbiorem mierzalnym. Potem dla każdego naturalnego
.
Twierdzenie to ma nieoczekiwaną konsekwencję: okazuje się, że jeśli w naczyniu podzielonym przegrodą na dwie komory, z których jedna jest wypełniona gazem, a druga pusta, to przegroda zostanie usunięta, to po pewnym czasie wszystkie cząsteczki gazu ponownie zebrać w oryginalnej części naczynia. Rozwiązaniem tego paradoksu jest to, że pewien czas jest rzędu miliardów lat.
ma twierdzenia jak zabite psy w Korei...
wszechświat jest kulisty... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Wczoraj naukowcy ogłosili, że wszechświat jest zamrożoną substancją... i poprosili o mnóstwo pieniędzy, żeby to udowodnić... znowu Meriko włączą prasę drukarską... dla zabawy jajogłowych...
Spróbuj udowodnić, gdzie jest góra i dół przy zerowej grawitacji.
Wczoraj był wspaniały film o KULTURZE, w którym szczegółowo wyjaśniono ten problem. Może nadal go mają?
http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
Zaloguj się do Yandex i napisz Film o Perelmanie i przejdź do filmu

Grigorij Perelman. odmawiacz

Wasilij Maksimow

W sierpniu 2006 roku ogłoszono nazwiska najlepszych matematyków na świecie, którzy otrzymali prestiżowy Medal Fieldsa – swego rodzaju odpowiednik Nagrody Nobla, której matematycy, za kaprysem Alfreda Nobla, zostali pozbawieni. Medal Fieldsa – oprócz odznaki honorowej, zwycięzcy otrzymują czek na piętnaście tysięcy dolarów kanadyjskich – przyznawany jest przez Międzynarodowy Kongres Matematyków co cztery lata. Została założona przez kanadyjskiego naukowca Johna Charlesa Fieldsa i została po raz pierwszy nagrodzona w 1936 roku. Od 1950 roku Medal Fieldsa jest regularnie nadawany osobiście przez króla Hiszpanii za jego wkład w rozwój nauk matematycznych. Laureatami nagród może zostać od jednego do czterech naukowców w wieku poniżej czterdziestu lat. Nagrodę otrzymało już czterdziestu czterech matematyków, w tym ośmiu Rosjan.

Grigorij Perelman. Henri Poincaré.

W 2006 roku laureatami zostali Francuz Wendelin Werner, Australijczyk Terence Tao oraz dwóch Rosjan – pracujący w USA Andrey Okunkov i Grigorij Perelman, naukowiec z Petersburga. Jednak w ostatniej chwili okazało się, że Perelman odmówił przyjęcia tej prestiżowej nagrody – jak zapowiadali organizatorzy, „dla zasady”.

Tak ekstrawagancki czyn rosyjskiego matematyka nie był zaskoczeniem dla osób, które go znały. To nie pierwszy raz, kiedy odmawia przyznania nagród matematycznych, tłumacząc swoją decyzję faktem, że nie lubi ceremonialnych wydarzeń i niepotrzebnego szumu wokół jego nazwiska. Dziesięć lat temu, w 1996 roku, Perelman odmówił przyznania nagrody Europejskiego Kongresu Matematycznego, powołując się na nieukończenie prac nad nominowanym do nagrody problemem naukowym i nie był to ostatni przypadek. Rosyjski matematyk zdawał się za cel swojego życia postawił sobie zaskoczenie ludzi, wbrew opinii publicznej i środowisku naukowemu.

Grigorij Jakowlewicz Perelman urodził się 13 czerwca 1966 roku w Leningradzie. Od najmłodszych lat lubił nauki ścisłe, znakomicie ukończył słynną 239. szkołę średnią z dogłębną nauką matematyki, wygrał liczne olimpiady matematyczne: na przykład w 1982 r. Jako członek zespołu sowieckich uczniów brał udział w Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej, która odbyła się w Budapeszcie. Bez egzaminów Perelman został zapisany na Wydział Mechaniki i Matematyki Uniwersytetu w Leningradzie, gdzie studiował z doskonałymi ocenami, nadal wygrywając konkursy matematyczne na wszystkich poziomach. Po ukończeniu studiów z wyróżnieniem rozpoczął studia podyplomowe w petersburskiej filii Instytutu Matematycznego Steklov. Jego opiekunem naukowym był słynny matematyk, akademik Aleksandrow. Po obronie pracy doktorskiej Grigorij Perelman pozostał w instytucie, w laboratorium geometrii i topologii. Znana jest jego praca nad teorią przestrzeni Aleksandrowa, udało mu się znaleźć dowody na wiele ważnych przypuszczeń. Pomimo licznych ofert z wiodących zachodnich uniwersytetów Perelman woli pracować w Rosji.

Jego najbardziej znaczącym sukcesem było rozwiązanie w 2002 roku słynnej hipotezy Poincarégo, opublikowanej w 1904 roku i od tego czasu niepotwierdzonej. Perelman pracował nad nim przez osiem lat. Hipotezę Poincarégo uznano za jedną z największych zagadek matematycznych, a jej rozwiązanie uznano za najważniejsze osiągnięcie nauk matematycznych: natychmiastowo przyspieszyło badania nad problemami fizycznych i matematycznych podstaw wszechświata. Najwybitniejsze umysły planety przewidywały jego rozwiązanie dopiero za kilka dekad, a Clay Institute of Mathematics w Cambridge w stanie Massachusetts umieścił problem Poincarégo wśród siedmiu najciekawszych nierozwiązanych problemów matematycznych tysiąclecia, których rozwiązanie każdego z nich obiecano nagrodę w wysokości miliona dolarów (Problemy z Nagrodą Milenijną).

Hipoteza (czasami nazywana problemem) francuskiego matematyka Henriego Poincarégo (1854–1912) jest sformułowana w następujący sposób: każda zamknięta, prosto połączona przestrzeń trójwymiarowa jest homeomorficzna z trójwymiarową kulą. Aby wyjaśnić, użyj jasnego przykładu: jeśli owiniesz jabłko gumką, to w zasadzie zaciskając taśmę możesz ścisnąć jabłko w punkt. Jeśli owiniesz pączka tą samą taśmą, nie da się go ścisnąć do punktu bez rozerwania pączka lub gumy. W tym kontekście jabłko nazywane jest figurą „po prostu połączoną”, ale pączek nie jest po prostu połączony. Prawie sto lat temu Poincaré ustalił, że dwuwymiarowa kula jest po prostu połączona i zasugerował, że trójwymiarowa kula również jest po prostu połączona. Najlepsi matematycy na świecie nie byli w stanie udowodnić tej hipotezy.

Aby zakwalifikować się do Nagrody Instytutu Claya, Perelman musiał jedynie opublikować swoje rozwiązanie w jednym z czasopism naukowych, a jeśli w ciągu dwóch lat nikt nie znajdzie błędu w jego obliczeniach, wówczas rozwiązanie zostanie uznane za prawidłowe. Jednak Perelman od samego początku odstąpił od zasad, publikując swoją decyzję na stronie preprintu Laboratorium Naukowego Los Alamos. Być może obawiał się, że do jego obliczeń wkradł się błąd – podobna historia wydarzyła się już w matematyce. W 1994 roku angielski matematyk Andrew Wiles zaproponował rozwiązanie słynnego twierdzenia Fermata, a kilka miesięcy później okazało się, że do jego obliczeń wkradł się błąd (choć później go poprawiono, a sensacja nadal pozostała). Nadal nie ma oficjalnej publikacji dowodu hipotezy Poincarégo, ale istnieje autorytatywna opinia najlepszych matematyków na świecie potwierdzająca poprawność obliczeń Perelmana.

Medal Fieldsa został przyznany Grigorijowi Perelmanowi właśnie za rozwiązanie problemu Poincarégo. Ale rosyjski naukowiec odmówił nagrody, na którą niewątpliwie zasługuje. „Gregory powiedział mi, że czuje się odizolowany od międzynarodowej społeczności matematycznej, poza tą społecznością i dlatego nie chce otrzymać nagrody” – powiedział na konferencji prasowej Anglik John Ball, prezes Światowej Unii Matematyków (WUM), Madryt.

Krążą pogłoski, że Grigorij Perelman zamierza całkowicie porzucić naukę: sześć miesięcy temu zrezygnował z rodzinnego Instytutu Matematycznego Steklov i mówią, że nie będzie już studiował matematyki. Być może rosyjski naukowiec uważa, że udowadniając słynną hipotezę, zrobił dla nauki wszystko, co mógł. Ale kto podejmie się dyskusji nad tokiem myślenia tak bystrego naukowca i niezwykłej osoby? Perelman odmawia jakichkolwiek komentarzy i powiedział gazecie The Daily Telegraph: „Żadne z tego, co mogę powiedzieć, nie leży w najmniejszym interesie publicznym”. Jednak czołowe publikacje naukowe były jednomyślne w swoich ocenach, gdy donosiły, że „Grigory Perelman, rozwiązując twierdzenie Poincarégo, dorównał największym geniuszom przeszłości i teraźniejszości”.

Miesięcznik i wydawnictwo literacko-dziennikarskie.

Naukowcy uważają, że 38-letni rosyjski matematyk Grigorij Perelman zaproponował prawidłowe rozwiązanie problemu Poincarégo. Keith Devlin, profesor matematyki na Uniwersytecie Stanforda, powiedział to podczas festiwalu nauki w Exeter (Wielka Brytania).

Problem Poincarégo (zwany także problemem lub hipotezą) to jeden z siedmiu najważniejszych problemów matematycznych, za rozwiązanie którego przyznano nagrodę w wysokości miliona dolarów. To właśnie przyciągnęło tak szerokie zainteresowanie wynikami uzyskanymi przez Grigorija Perelmana, pracownika laboratorium fizyki matematycznej.

O dorobku Perelmana naukowcy z całego świata dowiedzieli się z dwóch preprintów (artykułów poprzedzających pełnoprawną publikację naukową), zamieszczonych przez autora w listopadzie 2002 i marcu 2003 roku na stronie internetowej archiwum prac wstępnych Laboratorium Naukowego Los Alamos.

Zgodnie z zasadami przyjętymi przez Naukową Radę Doradczą Instytutu Claya, nowa hipoteza musi zostać opublikowana w specjalistycznym czasopiśmie o „międzynarodowej renomie”. Ponadto, zgodnie z regulaminem Instytutu, decyzję o wypłacie nagrody podejmuje ostatecznie „wspólnota matematyczna”: dowód nie może zostać obalony w ciągu dwóch lat od publikacji. Każdy dowód jest sprawdzany przez matematyków w różnych krajach świata.

Problem Poincarégo

Urodzony 13 czerwca 1966 roku w Leningradzie, w rodzinie pracowniczej. Ukończył słynne Liceum nr 239 z pogłębioną nauką matematyki. W 1982 roku jako członek zespołu sowieckich uczniów brał udział w Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej, która odbyła się w Budapeszcie. Zapisał się na matematykę i mechanikę na Uniwersytecie Państwowym w Leningradzie bez egzaminów. Jest laureatem wydziałowych, miejskich i ogólnounijnych studenckich olimpiad matematycznych. Otrzymał stypendium Lenina. Po ukończeniu uniwersytetu Perelman wstąpił na studia podyplomowe w petersburskiej filii Instytutu Matematycznego Steklov. Kandydat nauk fizycznych i matematycznych. Pracuje w laboratorium fizyki matematycznej.

Problem Poincarégo dotyczy obszaru tzw. topologii rozmaitości – przestrzeni ułożonych w specjalny sposób, które mają różne wymiary. Rozmaitości dwuwymiarowe można zwizualizować np. na przykładzie powierzchni ciał trójwymiarowych – kuli (powierzchnia kuli) czy torusa (powierzchnia obrączki).

Łatwo sobie wyobrazić, co stanie się z balonem, jeśli zostanie zdeformowany (zgięty, skręcony, pociągnięty, ściśnięty, ściśnięty, opróżniony lub nadmuchany). Oczywiste jest, że przy wszystkich powyższych odkształceniach piłka będzie zmieniać swój kształt w szerokim zakresie. Nigdy jednak nie uda nam się zamienić kulki w pączek (i odwrotnie) bez zerwania ciągłości jej powierzchni, czyli bez jej rozerwania. W tym przypadku topolodzy twierdzą, że kula (kula) nie jest homeomorficzna w stosunku do torusa (pączka). Oznacza to, że powierzchni tych nie da się ze sobą zmapować. Krótko mówiąc, kula i torus różnią się właściwościami topologicznymi. A powierzchnia balonu, przy wszystkich możliwych odkształceniach, jest homeomorficzna w stosunku do kuli, tak jak powierzchnia koła ratunkowego w stosunku do torusa. Innymi słowy, każda zamknięta dwuwymiarowa powierzchnia, która nie ma otworów przelotowych, ma takie same właściwości topologiczne jak dwuwymiarowa kula.

TOPOLOGIA, dział matematyki zajmujący się badaniem właściwości figur (lub przestrzeni), które zachowują się pod wpływem ciągłych odkształceń, takich jak rozciąganie, ściskanie czy zginanie. Odkształcenie ciągłe to odkształcenie figury, w którym nie ma pęknięć (tj. naruszenia integralności figury) ani sklejenia (tj. identyfikacji jej punktów).
TRANSFORMACJA TOPOLOGICZNA jednej figury geometrycznej na drugą to odwzorowanie dowolnego punktu P pierwszej figury na punkt P' innej figury, które spełnia następujące warunki: 1) każdy punkt P pierwszej figury musi odpowiadać jednemu i tylko jednemu punkt P' drugiej figury i odwrotnie; 2) Odwzorowanie musi być wzajemnie ciągłe. Na przykład istnieją dwa punkty P i N należące do tej samej figury. Jeżeli, gdy punkt P przesuwa się do punktu N, odległość między nimi dąży do zera, to odległość między punktami P' i N' innej figury również powinna dążyć do zera i odwrotnie.
HOMEOMORFIZM. Figury geometryczne, które przekształcają się w siebie podczas transformacji topologicznych, nazywane są homeomorficznymi. Okrąg i granica kwadratu są homeomorficzne, ponieważ można je przekształcić w siebie poprzez transformację topologiczną (tj. Zginanie i rozciąganie bez zrywania lub sklejania, na przykład rozciąganie granicy kwadratu do okręgu wokół niego opisanego) . Obszar, w którym dowolna zamknięta prosta (tj. homeomorficzna z kołem) krzywa może zostać zawężona do punktu, pozostając przez cały czas w tym obszarze, nazywa się po prostu spójnym, a odpowiadająca mu właściwość obszaru jest po prostu spójna. Jeśli jakiejś zamkniętej prostej krzywej tego obszaru nie można zawęzić do punktu, który cały czas pozostaje w tym obszarze, wówczas obszar nazywa się wielokrotnie spójnym, a odpowiadająca mu właściwość obszaru nazywana jest wielokrotnie spójnym.

Problem Poincarégo stwierdza to samo dla rozmaitości trójwymiarowych (w przypadku rozmaitości dwuwymiarowych, takich jak kula, ten punkt został udowodniony już w XIX wieku). Jak zauważył francuski matematyk, jedną z najważniejszych właściwości dwuwymiarowej kuli jest to, że każdą leżącą na niej zamkniętą pętlę (na przykład lasso) można przeciągnąć w jedno miejsce bez opuszczania powierzchni. W przypadku torusa nie zawsze jest to prawdą: pętla przechodząca przez otwór zostanie przeciągnięta do punktu, gdy torus zostanie przerwany, lub gdy pęknie sama pętla. W 1904 roku Poincaré zaproponował, że jeśli pętla może skurczyć się do punktu na zamkniętej trójwymiarowej powierzchni, to taka powierzchnia jest homeomorficzna z trójwymiarową kulą. Udowodnienie tej hipotezy okazało się niezwykle trudnym zadaniem.

Wyjaśnijmy od razu: sformułowanie problemu Poincarégo, o którym wspominaliśmy, nie mówi wcale o trójwymiarowej kuli, którą bez większych trudności możemy sobie wyobrazić, ale o trójwymiarowej kuli, czyli o powierzchni czterowymiarowej -wymiarowa kula, którą znacznie trudniej sobie wyobrazić. Jednak pod koniec lat pięćdziesiątych nagle stało się jasne, że wielowymiarowe rozmaitości są znacznie łatwiejsze w obsłudze niż trójwymiarowe i czterowymiarowe. Oczywiście brak przejrzystości nie jest główną trudnością, z jaką spotykają się matematycy w swoich badaniach.

Problem podobny do problemu Poincarégo dla wymiarów 5 i wyższych został rozwiązany w 1960 roku przez Stephena Smale'a, Johna Stallingsa i Andrew Wallace'a. Podejścia stosowane przez tych naukowców okazały się jednak nieodpowiednie do zastosowania w przypadku rozmaitości czterowymiarowych. Dla nich problem Poincarégo udowodnił dopiero w 1981 roku Michael Freedman. Najtrudniejszy okazał się przypadek trójwymiarowy; Grigorij Perelman proponuje swoje rozwiązanie.

Warto zaznaczyć, że Perelman ma rywala. W kwietniu 2002 roku Martin Dunwoody, profesor matematyki na Brytyjskim Uniwersytecie w Southampton, zaproponował swoją metodę rozwiązania problemu Poincarégo i obecnie oczekuje na werdykt Instytutu Claya.

Eksperci uważają, że rozwiązanie problemu Poincarégo umożliwi poważny krok w matematycznym opisie procesów fizycznych w złożonych obiektach trójwymiarowych i da nowy impuls rozwojowi topologii komputerów. Metoda zaproponowana przez Grigorija Perelmana doprowadzi do otwarcia nowego kierunku w geometrii i topologii. Matematyk z Petersburga może śmiało kwalifikować się do Nagrody Fieldsa (analogicznie do Nagrody Nobla, która nie jest przyznawana w matematyce).

Tymczasem niektórzy uważają zachowanie Grigorija Perelmana za dziwne. Oto co pisze brytyjska gazeta The Guardian: "Najprawdopodobniej podejście Perelmana do rozwiązania problemu Poincarégo jest prawidłowe. Ale nie wszystko jest takie proste. Perelman nie dostarcza dowodów na to, że praca została opublikowana jako pełnoprawna publikacja naukowa (przeddruki nie są uważane za takie). A to konieczne, jeśli ktoś chce otrzymać nagrodę od Instytutu Claya. Poza tym w ogóle nie interesuje się pieniędzmi.

Najwyraźniej dla Grigorija Perelmana, podobnie jak dla prawdziwego naukowca, pieniądze nie są najważniejsze. Aby rozwiązać którykolwiek z tak zwanych „problemów milenijnych”, prawdziwy matematyk sprzeda duszę diabłu.

Lista milenijna

8 sierpnia 1900 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Paryżu matematyk David Hilbert nakreślił listę problemów, które jego zdaniem będą musiały zostać rozwiązane w XX wieku. Na liście znalazły się 23 pozycje. Do tej pory rozwiązano dwadzieścia jeden z nich. Ostatnim problemem na liście Hilberta do rozwiązania było słynne twierdzenie Fermata, którego naukowcy nie byli w stanie rozwiązać przez 358 lat. W 1994 roku swoje rozwiązanie zaproponował Brytyjczyk Andrew Wiles. Okazało się, że to prawda.

Idąc za przykładem Gilberta, pod koniec ubiegłego wieku wielu matematyków próbowało sformułować podobne zadania strategiczne na XXI wiek. Jedna z tych list stała się powszechnie znana dzięki bostońskiemu miliarderowi Landonowi T. Clayowi. W 1998 roku za jego fundusze ufundowano i ustanowiono nagrody w Cambridge (Massachusetts, USA) za rozwiązanie szeregu najważniejszych problemów współczesnej matematyki. 24 maja 2000 r. eksperci instytutu wytypowali siedem problemów – według wielomilionowej kwoty przeznaczonej na nagrodę. Lista nosi nazwę Problemy związane z Nagrodą Milenijną:

1. Problem Cooka (sformułowany w 1971 r.)

Załóżmy, że będąc w dużej firmie, chcesz mieć pewność, że Twój przyjaciel też tam będzie. Jeśli powiedzą Ci, że siedzi w kącie, to ułamek sekundy wystarczy, abyś rzucił okiem i przekonał się o prawdziwości informacji. Bez tej informacji będziesz zmuszony chodzić po całym pomieszczeniu, rozglądając się za gośćmi. Sugeruje to, że rozwiązanie problemu często zajmuje więcej czasu niż sprawdzenie poprawności rozwiązania.

Stephen Cook sformułował problem: czy sprawdzenie poprawności rozwiązania problemu może trwać dłużej niż uzyskanie samego rozwiązania, niezależnie od algorytmu weryfikacji. Problem ten jest także jednym z nierozwiązanych problemów w dziedzinie logiki i informatyki. Jego rozwiązanie może zrewolucjonizować podstawy kryptografii stosowanej w transmisji i przechowywaniu danych.

2. Hipoteza Riemanna (sformułowana w 1859 r.)

Niektórych liczb całkowitych nie można wyrazić jako iloczynu dwóch mniejszych liczb całkowitych, na przykład 2, 3, 5, 7 itd. Liczby takie nazywane są liczbami pierwszymi i odgrywają ważną rolę w czystej matematyce i jej zastosowaniach. Rozkład liczb pierwszych w szeregu wszystkich liczb naturalnych nie przebiega według żadnego schematu. Jednak niemiecki matematyk Riemann poczynił przypuszczenia dotyczące właściwości ciągu liczb pierwszych. Jeśli Hipoteza Riemanna zostanie udowodniona, doprowadzi to do rewolucyjnej zmiany w naszej wiedzy na temat szyfrowania i bezprecedensowego przełomu w bezpieczeństwie Internetu.

3. Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera (sformułowana w 1960 r.)

Związany z opisem zbioru rozwiązań niektórych równań algebraicznych w kilku zmiennych o współczynnikach całkowitych. Przykładem takiego równania jest wyrażenie x 2 + y 2 = z 2. Euklides podał pełny opis rozwiązań tego równania, ale w przypadku bardziej złożonych równań znalezienie rozwiązań staje się niezwykle trudne.

4. Hipoteza Hodge’a (sformułowana w 1941 r.)

W XX wieku matematycy odkryli potężną metodę badania kształtu złożonych obiektów. Główną ideą jest użycie prostych „cegieł” zamiast samego przedmiotu, które skleja się ze sobą i tworzą jego podobieństwo. Hipoteza Hodge'a wiąże się z pewnymi założeniami dotyczącymi właściwości takich „cegiełek” i obiektów.

5. Równania Naviera – Stokesa (sformułowane w 1822 r.)

Jeśli popłyniesz łódką po jeziorze, powstaną fale, a jeśli polecisz samolotem, w powietrzu pojawią się burzliwe prądy. Zakłada się, że te i inne zjawiska opisują równania zwane równaniami Naviera-Stokesa. Rozwiązania tych równań są nieznane i nie wiadomo nawet, jak je rozwiązać. Należy wykazać, że rozwiązanie istnieje i jest funkcją dostatecznie gładką. Rozwiązanie tego problemu znacząco zmieni metody prowadzenia obliczeń hydro- i aerodynamicznych.

6. Problem Poincarégo (sformułowany w 1904 r.)

Jeśli naciągniesz gumkę na jabłko, możesz powoli przesuwając gumkę, nie odrywając jej od powierzchni, ścisnąć je do pewnego punktu. Z drugiej strony, jeśli ta sama gumka jest odpowiednio naciągnięta wokół pączka, nie ma możliwości ściśnięcia gumki do pewnego stopnia bez rozerwania taśmy lub złamania pączka. Mówią, że powierzchnia jabłka jest po prostu połączona, ale powierzchnia pączka nie. Okazało się, że udowodnienie, że tylko kula jest po prostu połączona, było tak trudne, że matematycy wciąż szukają prawidłowej odpowiedzi.

7. Równania Yang-Millsa (sformułowane w 1954 r.)

Równania fizyki kwantowej opisują świat cząstek elementarnych. Fizycy Young i Mills, odkrywszy związek między geometrią a fizyką cząstek, napisali swoje równania. W ten sposób znaleźli sposób na ujednolicenie teorii oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych. Równania Yanga-Millsa implikowały istnienie cząstek, które faktycznie obserwowano w laboratoriach na całym świecie, zatem teoria Yanga-Millsa jest akceptowana przez większość fizyków, mimo że w ramach tej teorii nadal nie można przewidzieć masy cząstek elementarnych.

Michaił Witebski

„Problem, który został rozwiązany Perelmana, jest wymogiem udowodnienia hipotezy wysuniętej w 1904 roku przez wielkiego francuskiego matematyka Henri Poincaré(1854-1912) i noszący jego imię. Trudno powiedzieć lepiej o roli Poincarégo w matematyce, niż robi się to w encyklopedii: „Działa Poincarégo w dziedzinie matematyki z jednej strony dopełniają kierunek klasyczny, z drugiej zaś otwierają drogę do rozwoju nowej matematyki, gdzie wraz z zależnościami ilościowymi ustalane są fakty o charakterze jakościowym” (TSB, wyd. 3, t. 2). Hipoteza Poincarégo ma właśnie charakter jakościowy – podobnie jak cały obszar matematyki (mianowicie topologia), do którego się odnosi i w tworzeniu którego Poincaré wziął decydujący udział.

We współczesnym języku hipoteza Poincarégo brzmi tak: każda prosto połączona zwarta trójwymiarowa rozmaitość bez brzegów jest homeomorficzna z trójwymiarową kulą.

W kolejnych akapitach postaramy się przynajmniej częściowo i bardzo z grubsza wyjaśnić znaczenie tej przerażającej formuły słownej. Na początek zauważamy, że zwykła kula będąca powierzchnią zwykłej kuli jest dwuwymiarowa (a sama kula jest trójwymiarowa). Sfera dwuwymiarowa składa się ze wszystkich punktów przestrzeni trójwymiarowej, które są w jednakowej odległości od jakiegoś wybranego punktu, zwanego środkiem, który nie należy do kuli. Trójwymiarowa kula składa się ze wszystkich punktów czterowymiarowej przestrzeni, które są w jednakowej odległości od jej środka (który nie należy do kuli). W przeciwieństwie do kul dwuwymiarowych, kule trójwymiarowe niedostępne naszą bezpośrednią obserwacją i równie trudno nam je sobie wyobrazić, jak Wasilijowi Iwanowiczowi wyobrazić sobie trójmian kwadratowy ze słynnego dowcipu. Możliwe jest jednak, że wszyscy znajdujemy się w sferze trójwymiarowej, to znaczy, że nasz Wszechświat jest kulą trójwymiarową.

Takie jest znaczenie wyniku Perelmana dla fizyki i astronomii. Termin „po prostu połączona zwarta, trójwymiarowa rozmaitość bez krawędzi” zawiera wskazówki dotyczące przypuszczalnych właściwości naszego Wszechświata. Termin „homeomorficzny” oznacza pewien wysoki stopień podobieństwa, w pewnym sensie nierozróżnialność. Całość sformułowania oznacza zatem, że jeśli nasz Wszechświat ma wszystkie właściwości prosto połączonej zwartej trójwymiarowej rozmaitości bez krawędzi, to jest on – w tym samym „znanym sensie” – trójwymiarową kulą.

Koncepcja prostego połączenia jest dość prostą koncepcją. Wyobraźmy sobie gumkę (czyli gumową nić z przyklejonymi końcami) tak elastyczną, że jeśli jej nie przytrzymamy, skurczy się do pewnego stopnia. Od naszej gumki będziemy również wymagać, aby po naciągnięciu do pewnego punktu nie wystawała poza powierzchnię, na której ją umieściliśmy. Jeśli taką gumkę rozciągniemy w płaszczyźnie i puścimy, to od razu skurczy się do pewnego punktu. To samo stanie się, jeśli umieścimy gumkę na powierzchni globusa, czyli kuli. W przypadku powierzchni koła ratunkowego sytuacja będzie zupełnie inna: uważny czytelnik z łatwością znajdzie na tej powierzchni takie ułożenie gumki, w którym nie da się wyciągnąć gumki do punktu bez wychodzenia poza daną powierzchnię. Figurę geometryczną nazywa się po prostu połączoną, jeśli dowolny zamknięty kontur znajdujący się w granicach tej figury można zawęzić do punktu bez wykraczania poza nazwane granice. Właśnie widzieliśmy, że płaszczyzna i kula są po prostu połączone, ale powierzchnia koła ratunkowego nie jest po prostu połączona. Samolot z wyciętym otworem również nie jest po prostu połączony. Koncepcja prostego połączenia odnosi się również do figur trójwymiarowych. W ten sposób sześcian i kula są po prostu połączone: dowolny zamknięty kontur znajdujący się w ich grubości można skurczyć do punktu, a podczas procesu kurczenia kontur zawsze pozostanie w tej grubości. Ale bajgiel nie jest po prostu połączony: można w nim znaleźć kontur, którego nie można ścisnąć do takiego punktu, aby podczas procesu kurczenia kontur zawsze znajdował się w cieście bajgla. Precel również nie jest monopołączony. Można udowodnić, że trójwymiarowa kula jest po prostu połączona.

Mamy nadzieję, że czytelnik nie zapomniał różnicy między odcinkiem a interwałem, której uczy się w szkole. Odcinek ma dwa końce, składa się z tych końców i wszystkich punktów znajdujących się pomiędzy nimi. Przedział składa się tylko ze wszystkich punktów znajdujących się pomiędzy jego końcami; same końce nie są wliczane do przedziału: możemy powiedzieć, że przedział to odcinek z usuniętymi z niego końcami, a odcinek to przedział z końcami dodanymi do To. Przedział i odcinek to najprostsze przykłady rozmaitości jednowymiarowych, gdzie przedział jest rozmaitością bez krawędzi, a odcinek jest rozmaitością z krawędzią; krawędź w przypadku segmentu składa się z dwóch końców. Główną właściwością rozmaitości, leżącą u podstaw jej definicji, jest to, że w rozmaitości sąsiedztwa wszystkich punktów, z wyjątkiem punktów na krawędzi (które mogą nie istnieć), są ułożone dokładnie w ten sam sposób.

W tym przypadku otoczeniem punktu A jest zbiór wszystkich punktów położonych blisko tego punktu A. Mikroskopijna istota żyjąca w rozmaitości bez krawędzi i zdolna widzieć tylko najbliższe sobie punkty tej rozmaitości nie jest w stanie określić, w którym momencie byt jest: wokół siebie widzi zawsze to samo. Więcej przykładów rozmaitości jednowymiarowych bez krawędzi: cała linia prosta, okrąg. Przykładem figury jednowymiarowej niebędącej rozmaitością jest prosta w kształcie litery T: istnieje specjalny punkt, którego sąsiedztwo nie jest podobne do sąsiedztwa innych punktów - jest to punkt, w którym trzy segmenty się spotykają. Innym przykładem jednowymiarowej rozmaitości jest linia ósemkowa; Cztery linie zbiegają się tutaj w specjalnym punkcie. Płaszczyzna, kula i powierzchnia koła ratunkowego to przykłady dwuwymiarowych rozmaitości bez krawędzi. Rozmaitością będzie też płaszczyzna z wyciętym w niej otworem - ale z krawędzią czy bez, to zależy gdzie umieścimy obrys otworu. Jeśli odniesiemy to do dziury, otrzymamy rozmaitość bez krawędzi; jeśli pozostawimy kontur na płaszczyźnie, otrzymamy rozmaitość z krawędzią, której właśnie będzie służył ten kontur. Oczywiście mieliśmy tu na myśli idealne cięcie matematyczne, a przy prawdziwym fizycznym cięciu nożyczkami pytanie, gdzie należy kontur nie ma żadnego sensu.

Kilka słów o rozmaitościach trójwymiarowych. Kula wraz ze kulą stanowiącą jej powierzchnię jest rozmaitością z krawędzią; wskazana kula jest dokładnie tą krawędzią. Jeśli usuniemy tę kulę z otaczającej przestrzeni, otrzymamy rozmaitość bez krawędzi. Jeśli oderwiemy powierzchnię kuli, otrzymamy tak zwaną „piaskową kulkę” w żargonie matematycznym i otwartą kulę w bardziej naukowym języku. Jeśli usuniemy otwartą kulę z otaczającej przestrzeni, otrzymamy rozmaitość z krawędzią, a krawędzią będzie ta sama kula, którą oderwaliśmy od kuli. Bajgiel wraz ze skórką stanowi trójwymiarową rozmaitość z krawędzią i jeśli oderwiemy skórkę (którą traktujemy jako nieskończenie cienką, czyli jako powierzchnię), otrzymamy rozmaitość bez krawędzi w w formie „piaskowego bajgla”. Cała przestrzeń jako całość, jeśli rozumiemy ją tak, jak ją rozumie się w szkole średniej, jest trójwymiarową rozmaitością bez krawędzi.

Matematyczna koncepcja zwartości częściowo odzwierciedla znaczenie słowa „kompaktowy” w potocznym języku rosyjskim: „bliski”, „skompresowany”. Figurę geometryczną nazywamy zwartą, jeżeli przy dowolnym ułożeniu nieskończonej liczby jej punktów kumulują się one w jednym z punktów lub w wielu punktach tej samej figury. Odcinek jest zwarty: dla każdego nieskończonego zbioru jego punktów w segmencie istnieje co najmniej jeden tzw. punkt graniczny, którego każde otoczenie zawiera nieskończenie wiele elementów rozpatrywanego zbioru. Przedział nie jest zwarty: można określić zbiór jego punktów, które kumulują się w kierunku jego końca i tylko w jego kierunku - ale koniec nie należy do przedziału!

Z braku miejsca ograniczymy się do tego komentarza. Powiedzmy, że z rozważanych przez nas przykładów zwarte to odcinek, okrąg, kula, powierzchnie bajgla i precla, kula (wraz z kulą), bajgiel i precel (wraz z jego skórki). Natomiast interwał, płaszczyzna, piaskowana kulka, bajgiel i precel nie są zwarte. Spośród trójwymiarowych zwartych figur geometrycznych bez krawędzi najprostszą jest trójwymiarowa kula, ale takie figury nie mieszczą się w naszej zwykłej „szkolnej” przestrzeni. Być może najgłębsze z tych pojęć, które łączy hipoteza Poincare, to koncepcja homeomorfii. Homeomorfia to najwyższy poziom identyczności geometrycznej . Spróbujemy teraz przybliżyć wyjaśnienie tej koncepcji, stopniowo się do niej zbliżając.

Już w geometrii szkolnej spotykamy dwa rodzaje identyczności – zgodność figur i ich podobieństwo. Przypomnijmy, że liczby nazywane są przystającymi, jeśli pokrywają się po nałożeniu. W szkole wydaje się, że nie rozróżnia się figur przystających, dlatego zgodność nazywa się równością. Figury przystające mają te same wymiary we wszystkich szczegółach. Podobieństwo, bez wymagania tej samej wielkości, oznacza te same proporcje tych rozmiarów; dlatego podobieństwo odzwierciedla bardziej istotne podobieństwo figur niż zgodność. Geometria w ogóle jest wyższym poziomem abstrakcji niż fizyka, a fizyka jest wyższa niż materiałoznawstwo.

Weźmy na przykład łożysko kulkowe, kulę bilardową, kulę do krokieta i piłkę. Fizyka nie zagłębia się w takie szczegóły, jak materiał, z którego są wykonane, a interesują ją jedynie takie właściwości, jak objętość, waga, przewodność elektryczna itp. Dla matematyki wszystkie są kulkami, różniącymi się jedynie rozmiarem. Jeśli kule mają różne rozmiary, to są one różne dla geometrii metrycznej, ale wszystkie są takie same dla geometrii podobieństwa. Z punktu widzenia geometrii wszystkie kule i wszystkie sześciany są podobne, ale kula i sześcian nie są takie same.

Teraz spójrzmy na torus. Góra to figura geometryczna, której kształt przypomina kierownicę i koło ratunkowe. Encyklopedia definiuje torus jako figurę uzyskaną przez obrót koła wokół osi znajdującej się na zewnątrz koła. Namawiamy miłego czytelnika, aby uświadomił sobie, że kula i sześcian są do siebie „bardziej podobne” niż każde z nich do torusa. Poniższy eksperyment myślowy pozwala nam wypełnić tę intuicyjną świadomość precyzyjnym znaczeniem. Wyobraźmy sobie piłkę wykonaną z materiału na tyle giętkiego, że można ją zginać, rozciągać, ściskać i w ogóle odkształcać w dowolny sposób – po prostu nie da się jej rozerwać ani skleić. Oczywiście piłkę można wtedy zamienić w sześcian, ale nie da się zamienić w torusa. Słownik objaśniający Uszakowa definiuje precel jako ciasto (dosłownie: jak bułka maślana zakręcona) w kształcie litery B. Z całym szacunkiem do tego wspaniałego słownika, słowa „w kształcie cyfry 8” wydają mi się bardziej dokładny; Jednak z punktu widzenia wyrażonego w koncepcji homeomorfii pieczenie w kształcie cyfry 8, pieczenie w kształcie litery B i pieczenie w kształcie fity mają ten sam kształt. Nawet jeśli założymy, że piekarzom udało się uzyskać ciasto posiadające wyżej wymienione właściwości plastyczności, to bułka nie jest możliwa – bez rozdarć i sklejenia! - nie zamieniajcie się ani w bajgiel, ani w precel, tak jak dwa ostatnie wypieki w siebie. Ale możesz zamienić kulistą bułkę w sześcian lub piramidę. Uważny czytelnik z pewnością znajdzie taką formę wypieku, w którą nie da się zamienić ani bułki, ani precla, ani bajgla.

Nie nazywając tego pojęcia, zapoznaliśmy się już z homeomorfią. Dwie figury nazywane są homeomorficznymi, jeśli jedną można przekształcić w drugą w wyniku ciągłego (tj. Bez pękania i sklejania) deformacji; same takie deformacje nazywane są homeomorfizmami. Właśnie dowiedzieliśmy się, że kula jest homeomorficzna w stosunku do sześcianu i piramidy, ale nie homeomorficzna ani w stosunku do torusa, ani precla, a dwa ostatnie ciała nie są względem siebie homeomorficzne. Prosimy czytelnika o zrozumienie, że podaliśmy jedynie przybliżony opis pojęcia homeomorfii, podany w kategoriach transformacji mechanicznej.

Poruszmy filozoficzny aspekt pojęcia homeomorfii. Wyobraźmy sobie myślącą istotę żyjącą wewnątrz jakiejś figury geometrycznej i Nie mając okazję spojrzeć na tę postać z zewnątrz, „z zewnątrz”. Dla niego postać, w której żyje, tworzy Wszechświat. Wyobraźmy sobie też, że gdy otaczająca figura poddawana jest ciągłej deformacji, byt ulega deformacji wraz z nią. Jeżeli dana figurka jest kulą, to istota w żaden sposób nie jest w stanie rozróżnić, czy znajduje się w kuli, sześcianie czy piramidzie. Jednak możliwe jest, że będzie przekonany, że jego Wszechświat nie ma kształtu torusa czy precla. W ogóle istota może ustalić kształt otaczającej ją przestrzeni tylko do momentu homeomorfii, to znaczy nie jest w stanie odróżnić jednej formy od drugiej, o ile formy te są homeomorficzne.

W matematyce znaczenie hipotezy Poincare, które obecnie zmieniło się z hipotezy w twierdzenie Poincarégo-Perelmana, jest ogromne (nie bez powodu za rozwiązanie problemu zaproponowano milion dolarów), tak samo jak ogromne jest znaczenie znalezionej przez Perelmana metody jej udowodnienia, ale wyjaśnienie tego znaczenia w tym miejscu przekracza nasze możliwości. Jeśli chodzi o kosmologiczną stronę sprawy, być może znaczenie tego aspektu zostało przez dziennikarzy nieco przesadzone.

Jednak niektórzy autorytatywni eksperci twierdzą, że przełom naukowy Perelmana może pomóc w badaniu procesów powstawania czarnych dziur. Swoją drogą czarne dziury służą wprost obaleniu tezy o poznawalności świata – jednego z głównych założeń tej najbardziej zaawansowanej, jedynej prawdziwej i wszechmocnej nauki, która przez 70 lat na siłę wbijana była nam w biedne głowy. Przecież, jak uczy fizyka, z tych dziur w zasadzie nie docierają do nas żadne sygnały, więc nie da się dowiedzieć, co się tam dzieje. Generalnie niewiele wiemy o tym, jak działa nasz Wszechświat jako całość i wątpliwe jest, czy kiedykolwiek się tego dowiemy. A sam sens pytania o jego strukturę nie jest do końca jasny. Możliwe, że to pytanie jest jednym z tych, które zgodnie z nauczaniem Budda, Nie jest odpowiedź. Fizyka oferuje tylko modele urządzeń, które mniej więcej zgadzają się ze znanymi faktami. W tym przypadku fizyka z reguły korzysta z już opracowanych preparatów dostarczonych jej przez matematykę.

Matematyka nie pretenduje oczywiście do ustalenia jakichkolwiek geometrycznych właściwości Wszechświata. Ale pozwala nam zrozumieć te właściwości, które odkryły inne nauki. Ponadto. Pozwala nam uczynić bardziej zrozumiałymi niektóre właściwości, które trudno sobie wyobrazić, wyjaśnia, jak to możliwe. Do takich możliwych (podkreślamy: po prostu możliwych!) właściwości zalicza się skończoność Wszechświata i jego niezorientowalność.

Przez długi czas jedynym możliwym do wyobrażenia modelem geometrycznej struktury Wszechświata była trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa, czyli przestrzeń znana każdemu z liceum. Ta przestrzeń jest nieskończona; wydawało się, że inne pomysły nie są możliwe; Myślenie o skończoności Wszechświata wydawało się szalone. Jednak teraz idea skończoności Wszechświata jest nie mniej uzasadniona niż idea jego nieskończoności. W szczególności trójwymiarowa kula jest skończona. Z korespondencji z fizykami odniosłem wrażenie, że niektórzy odpowiadali „najprawdopodobniej”. Wszechświat jest nieskończony”, podczas gdy inni mówili, „najprawdopodobniej Wszechświat jest skończony”.

Uspienski V.A. , Apologia matematyki, czyli o matematyce jako części kultury duchowej, czasopismo „Nowy Świat”, 2007, N 12, s. 141-145.

Prawie każda osoba, nawet ta, która nie ma nic wspólnego z matematyką, słyszała słowa „hipoteza Poincarégo”, ale nie każdy potrafi wyjaśnić, jaka jest jej istota. Dla wielu wyższa matematyka wydaje się czymś bardzo złożonym i niedostępnym do zrozumienia. Dlatego spróbujmy dowiedzieć się, co oznacza hipoteza Poincarégo w prostych słowach.

Treść:

Jaka jest hipoteza Poincarégo?

Oryginalne sformułowanie hipotezy brzmi następująco: „ Każda zwarta, po prostu połączona trójwymiarowa rozmaitość bez brzegów jest homeomorficzna z trójwymiarową kulą».

Kula to geometryczne trójwymiarowe ciało, jego powierzchnia nazywa się kulą, jest dwuwymiarowa i składa się z punktów trójwymiarowej przestrzeni, które są w równej odległości od jednego punktu, który nie należy do tej kuli - środka kuli . Oprócz sfer dwuwymiarowych istnieją również sfery trójwymiarowe, składające się z wielu punktów czterowymiarowej przestrzeni, które są również w równej odległości od jednego punktu nienależącego do kuli - jej środka. Jeśli na własne oczy możemy zobaczyć sfery dwuwymiarowe, to trójwymiarowe nie podlegają naszej percepcji wzrokowej.

Ponieważ nie mamy możliwości zobaczenia Wszechświata, możemy założyć, że jest to trójwymiarowa sfera, w której żyje cała ludzkość. To jest istota hipotezy Poincarégo. Mianowicie, że Wszechświat ma następujące właściwości: trójwymiarowość, bezgraniczność, po prostu łączność, zwartość. Pojęcie „homeomorfii” w hipotezie oznacza najwyższy stopień podobieństwa, podobieństwa, w przypadku Wszechświata – nierozróżnialności.

Kim jest Poincare?

Jules Henri Poincaré- największy matematyk urodzony w 1854 roku we Francji. Jego zainteresowania nie ograniczały się tylko do nauk matematycznych, studiował fizykę, mechanikę, astronomię i filozofię. Był członkiem ponad 30 akademii naukowych na całym świecie, w tym Akademii Nauk w Petersburgu. Historycy wszystkich czasów i narodów zaliczają Davida Hilberta i Henriego Poincaré do największych matematyków świata. W 1904 roku naukowiec opublikował słynną pracę zawierającą założenie znane dziś jako „hipoteza Poincarégo”. To była trójwymiarowa przestrzeń, która okazała się bardzo trudna do zbadania przez matematyków; znalezienie dowodów na inne przypadki nie było trudne. W ciągu około stulecia udowodniono prawdziwość tego twierdzenia.

Na początku XXI wieku w Cambridge ustanowiono nagrodę w wysokości miliona dolarów za rozwiązanie tego naukowego problemu, który znalazł się na liście problemów tysiąclecia. Tylko rosyjski matematyk z Petersburga Grigorij Perelman był w stanie to zrobić dla trójwymiarowej kuli. W 2006 roku za to osiągnięcie został odznaczony Medalem Fieldsa, którego jednak odmówił.

Do zasług działalności naukowej Poincarégo Można przypisać następujące osiągnięcia:

podstawy topologii (opracowanie podstaw teoretycznych różnych zjawisk i procesów);
tworzenie jakościowej teorii równań różniczkowych;
rozwój teorii funkcji amorficznych, która stała się podstawą szczególnej teorii względności;
wysunięcie twierdzenia o powrocie;
rozwój najnowszych, najskuteczniejszych metod mechaniki niebieskiej.

Dowód hipotezy

Prosto połączonej przestrzeni trójwymiarowej przypisuje się właściwości geometryczne i dzieli się na elementy metryczne, które mają między sobą odległości tworzące kąty. Dla uproszczenia bierzemy za przykład jednowymiarową rozmaitość, w której na płaszczyźnie euklidesowej do gładkiej zamkniętej krzywej w każdym punkcie rysowane są wektory styczne równe 1. Podczas przechodzenia po krzywej wektor obraca się z określoną prędkością kątową równa krzywiźnie. Im bardziej linia się wygina, tym większa jest krzywizna. Krzywizna ma nachylenie dodatnie, jeśli wektor prędkości jest obrócony w kierunku wnętrza płaszczyzny, którą dzieli linia, oraz nachylenie ujemne, jeśli jest obrócony na zewnątrz. W miejscach przegięcia krzywizna jest równa 0. Teraz każdemu punktowi krzywej przypisany jest wektor prostopadły do wektora prędkości kątowej i o długości równej wartości krzywizny. Jest skierowany do wewnątrz, gdy krzywizna jest dodatnia, i na zewnątrz, gdy krzywizna jest ujemna. Odpowiedni wektor określa kierunek i prędkość, z jaką porusza się każdy punkt na płaszczyźnie. Jeśli w dowolnym miejscu narysujesz zamkniętą krzywą, wówczas przy takiej ewolucji zamieni się ona w okrąg. Odnosi się to do przestrzeni trójwymiarowej, co należało udowodnić.

Przykład: Po odkształceniu bez pękania balon można nadać różnym kształtom. Ale nie możesz zrobić bajgla, aby to zrobić, wystarczy go pokroić. I odwrotnie, mając bajgiel, nie możesz zrobić solidnej kuli. Chociaż z dowolnej innej powierzchni bez nieciągłości podczas odkształcania można uzyskać kulę. Oznacza to, że powierzchnia ta jest homeomorficzna względem kuli. Każdą piłkę można zawiązać nitką z jednym węzłem, ale nie można tego zrobić w przypadku pączka.

Piłka to najprostsza trójwymiarowa płaszczyzna, którą można odkształcić i złożyć w punkt i odwrotnie.

Ważny! Hipoteza Poincarégo stwierdza, że zamknięta n-wymiarowa rozmaitość jest równoważna n-wymiarowej kuli, jeśli jest z nią homeomorficzna. Stało się punktem wyjścia w rozwoju teorii płaszczyzn wielowymiarowych.