Wielkość skalarna T, równa sumie energii kinetycznych wszystkich punktów układu, nazywana jest energią kinetyczną układu.
Energia kinetyczna jest cechą ruchu translacyjnego i obrotowego układu. Na jego zmianę wpływa działanie sił zewnętrznych, a ponieważ jest skalarem, nie zależy od kierunku ruchu części układu.
Znajdźmy energię kinetyczną dla różnych przypadków ruchu:
1.Ruch do przodu
Prędkości wszystkich punktów układu są równe prędkości środka masy. Następnie
Energia kinetyczna układu podczas ruchu postępowego jest równa połowie iloczynu masy układu i kwadratu prędkości środka masy.
2. Ruch obrotowy (ryc. 77)
Prędkość dowolnego punktu na ciele: . Następnie
lub korzystając ze wzoru (15.3.1):
Energia kinetyczna ciała podczas obrotu jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności ciała względem osi obrotu i kwadratu jego prędkości kątowej.
3. Ruch płaszczyznowo-równoległy
Dla danego ruchu energia kinetyczna składa się z energii ruchów translacyjnych i obrotowych
Ogólny przypadek ruchu daje wzór na obliczenie energii kinetycznej podobny do poprzedniego.
Definicję pracy i mocy zrobiliśmy w paragrafie 3 rozdziału 14. Tutaj przyjrzymy się przykładom obliczania pracy i mocy sił działających na układ mechaniczny.
1.Praca sił grawitacyjnych. Niech , współrzędne początkowego i końcowego położenia punktu k ciała. Praca wykonana przez siłę grawitacji działającą na tę cząstkę masy będzie wynosić 
. Następnie Praca na pełen etat:
gdzie P jest ciężarem układu punktów materialnych, jest przemieszczeniem środka ciężkości w pionie C.
2. Praca sił przyłożonych do obracającego się ciała.
Zgodnie z zależnością (14.3.1) możemy napisać , natomiast ds zgodnie z rysunkiem 74, ze względu na jego nieskończoną małość, można przedstawić w postaci 
- nieskończenie mały kąt obrotu ciała. Następnie
Ogrom 
zwany momentem obrotowym.
Przepisujemy wzór (19.1.6) jako
Praca elementarna jest równa iloczynowi momentu obrotowego i elementarnego obrotu.
Obracając się o końcowy kąt mamy:
Jeśli moment obrotowy jest wtedy stała
i wyznaczamy potęgę z zależności (14.3.5)
jako iloczyn czasów momentu obrotowego prędkość kątowa ciała.
Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej udowodnione dla punktu (§ 14.4) będzie obowiązywać dla dowolnego punktu układu
Układając takie równania dla wszystkich punktów układu i dodając je wyraz po wyrazie, otrzymujemy:
lub zgodnie z (19.1.1):
co jest wyrażeniem twierdzenia o energii kinetycznej układu w forma różnicowa.
Całkując (19.2.2) otrzymujemy:
Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej w jej ostatecznej postaci: zmiana energii kinetycznej układu podczas pewnego końcowego przemieszczenia jest równa sumie pracy wykonanej przy tym przemieszczeniu wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych przyłożonych do układu.
Podkreślmy to siły wewnętrzne nie są wykluczone. W przypadku układu niezmiennego suma pracy wykonanej przez wszystkie siły wewnętrzne wynosi zero i
Jeżeli wiązania nałożone na układ nie zmieniają się w czasie, wówczas siły, zarówno zewnętrzne, jak i wewnętrzne, można podzielić na wiązania aktywne i reakcyjne i można teraz zapisać równanie (19.2.2):
W dynamice wprowadzono koncepcję „idealnego” układu mechanicznego. Jest to układ, w którym obecność połączeń nie wpływa na zmianę energii kinetycznej, tj
Takie połączenia, które nie zmieniają się w czasie i których suma pracy przy elementarnym przemieszczeniu wynosi zero, nazywamy idealnymi i zapiszemy równanie (19.2.5):
Energia potencjalna punktu materialnego w danym położeniu M jest wielkością skalarną P, równą pracy, jaką wykonają siły pola podczas przesuwania punktu z położenia M do zera
P = A (mies.) (19.3.1)
Energia potencjalna zależy od położenia punktu M, czyli od jego współrzędnych
P = P(x,y,z) (19.3.2)
Wyjaśnijmy tutaj, że pole siłowe to część objętości przestrzennej, w której każdym punkcie na cząstkę działa siła o określonej wielkości i kierunku, w zależności od położenia cząstki, czyli od współrzędnych x, y, z. Na przykład pole grawitacyjne Ziemi.
Nazywa się funkcję U współrzędnych, których różniczka jest równa pracy funkcja zasilania. Pole siłowe, dla którego istnieje funkcja siły, zwany potencjalne pole siłowe, a siły działające w tym polu to potencjalne siły.
Pozwalać punktów zerowych dla dwóch funkcji siłowych P(x,y,z) i U(x,y,z) pokrywają się.
Korzystając ze wzoru (14.3.5) otrzymujemy, tj. dA = dU(x,y,z) i
gdzie U jest wartością funkcji siły w punkcie M. Stąd
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
Energia potencjalna w dowolnym punkcie pola siłowego jest równa wartości funkcji siły w tym punkcie, przyjętej z przeciwnym znakiem.
Oznacza to, że rozważając właściwości pola siłowego, zamiast funkcji siły możemy wziąć pod uwagę energię potencjalną i w szczególności równanie (19.3.3) zostanie przepisane jako
Praca wykonana przez siłę potencjalną jest równa różnicy między wartościami energii potencjalnej poruszającego się punktu w położeniu początkowym i końcowym.
W szczególności praca grawitacji:
Niech wszystkie siły działające na układ będą potencjalne. Wtedy dla każdego punktu k układu praca jest równa
Wtedy będą istniały wszystkie siły, zarówno zewnętrzne, jak i wewnętrzne
gdzie jest energia potencjalna całego układu.
Podstawiamy te sumy do wyrażenia na energię kinetyczną (19.2.3):
lub wreszcie:
Podczas poruszania się pod wpływem sił potencjalnych suma energii kinetycznej i potencjalnej układu w każdym z jego położeń pozostaje stała. Jest to prawo zachowania energii mechanicznej.
Obciążenie o masie 1 kg drga swobodnie zgodnie z prawem x = 0,1sinl0t. Współczynnik sztywności sprężyny c = 100 N/m. Wyznacz całkowitą energię mechaniczną ładunku przy x = 0,05 m, jeśli przy x = 0 energia potencjalna wynosi zero 
. (0,5)
Spadające obciążenie o masie m = 4 kg powoduje obrót cylindra o promieniu R = 0,4 m za pomocą gwintu. Moment bezwładności cylindra względem osi obrotu wynosi I = 0,2. Wyznacz energię kinetyczną układu ciał w chwili, gdy prędkość ładunku v = 2m/s 
. (10,5)
Ustaw wartości masy ciała za pomocą suwakówM, kąt nachylenia płaszczyznyA, siła zewnętrzna F wew , współczynnik tarciaMi przyspieszenie A wskazane w Tabeli 1 dla Twojego zespołu.
Jednocześnie włącz stoper i naciśnij przycisk „Start”. Wyłącz stoper, gdy Twoje ciało zatrzyma się na końcu równia pochyła.
Wykonaj to doświadczenie 10 razy i zapisz w tabeli wyniki pomiaru czasu ześlizgu się ciała z pochyłej płaszczyzny. 2.
TABELA 1. Początkowe parametry doświadczenia
|
Bryg. nr. |
||||||
|
m, kg |
||||||
|
M |
0,10 |
|||||
|
a, stopień |
||||||
|
F w, N |
||||||
|
a, m/s 2 |
TABELA 2. Wyniki pomiarów i obliczeń
|
Bez zmiany |
Przeciętny oznaczający |
Pogr. |
||||||||||
|
t, s |
||||||||||||
|
v, m/s |
||||||||||||
|
S, m |
||||||||||||
|
W k, J |
||||||||||||
|
Wp, J |
||||||||||||
|
Atr, J |
||||||||||||
|
A w, J |
||||||||||||
|
W pełny, J |
W p = - energia potencjalna ciała w górnym punkcie pochyłej płaszczyzny; |
- działanie siły zewnętrznej na odcinku zniżaniaTwierdzenie o energii kinetycznej punktu w postaci różniczkowej
Mnożąc skalarnie obie strony równania ruchu punktu materialnego przez elementarne przemieszczenie punktu, otrzymujemy
lub, ponieważ , wtedy
Wielkość skalarna lub połowa iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości nazywana jest energią kinetyczną punktu lub siłą życiową punktu.
Ostatnia równość stanowi treść twierdzenia o energii kinetycznej punktu w postaci różniczkowej, które stwierdza: różniczka energii kinetycznej punktu jest równa pracy elementarnej działającej na punkt siły.
Fizyczne znaczenie twierdzenia o energii kinetycznej jest takie, że praca wykonana przez siłę działającą na punkt kumuluje się w nim jako energia kinetyczna ruchu.
Twierdzenie o energii kinetycznej punktu w postaci całkowej
Niech punkt przesunie się z pozycji A do pozycji B, mijając po swojej trajektorii końcowy łuk AB (ryc. 113). Całkowanie równości od A do B:
gdzie są prędkościami punktu w pozycjach A i B, odpowiednio.
Ostatnia równość stanowi treść twierdzenia o energii kinetycznej punktu w postaci całkowej, które głosi, że: zmiana energii kinetycznej punktu w pewnym okresie czasu jest równa pracy wykonanej w tym czasie przez działająca na nią siła.
Otrzymane twierdzenie jest ważne, gdy punkt porusza się pod wpływem dowolnej siły. Jednakże, jak wskazano, aby obliczyć całkowitą pracę wykonaną przez siłę, konieczne jest obliczenie przypadek ogólny znać równania ruchu punktu.
Dlatego twierdzenie o energii kinetycznej, ogólnie rzecz biorąc, nie daje pierwszej całki równań ruchu.
Całka energetyczna
Twierdzenie o energii kinetycznej podaje pierwszą całkę równań ruchu punktu, jeśli całkowitą pracę wykonaną przez siłę można wyznaczyć bez odwoływania się do równań ruchu. To drugie jest możliwe, jak wskazano wcześniej, jeśli siła działająca na punkt należy do pola siłowego. W tym przypadku wystarczy znać jedynie trajektorię punktu. Niech trajektoria punktu będzie jakąś krzywą, wówczas współrzędne jego punktów można wyrazić poprzez łuk trajektorii, a zatem siłę zależną od współrzędnych punktu można wyrazić poprzez
a twierdzenie o energii kinetycznej daje pierwszą całkę postaci
gdzie są łuki trajektorii odpowiadające punktom A i jest rzutem siły na styczną do trajektorii (ryc. 113).
Energia potencjalna i zasada zachowania energii mechanicznej punktu
Szczególnie interesujący jest ruch punktu w polu potencjalnym, ponieważ twierdzenie o energii kinetycznej daje bardzo ważną całkę równań ruchu.
W polu potencjalnym całkowita praca wykonana przez siłę jest równa różnicy między wartościami funkcji siły na końcu i na początku ścieżki:
Dlatego twierdzenie o energii kinetycznej w tym przypadku zapisuje się jako:
Funkcja siły przyjmowana z przeciwnym znakiem nazywa się energią potencjalną punktu i jest oznaczona literą P:
Energię potencjalną, a także funkcję siły określa się do dowolnej stałej, której wartość wyznaczana jest poprzez wybór powierzchni o poziomie zerowym. Suma energii kinetycznej i potencjalnej punktu nazywa się całkowitą energią mechaniczną punktu.
Twierdzenie o energii kinetycznej punktu, jeśli siła należy do pola potencjalnego, zapisuje się jako:
gdzie są wartości energii potencjalnej odpowiadające punktom A i B. Powstałe równanie stanowi treść prawa zachowania energii mechanicznej dla punktu, które stwierdza: podczas poruszania się w polu potencjalnym suma energii kinetycznej i energia potencjalna punktu pozostaje stała.
Ponieważ prawo zachowania energii mechanicznej obowiązuje tylko dla sił należących do pól potencjalnych, siły takiego pola nazywane są konserwatywnymi (od łacińskiego czasownika conservare – zachować), co podkreśla spełnienie sformułowanego prawa w tym przypadku. Należy zauważyć, że jeśli pojęcie energii kinetycznej ma w swojej definicji podstawy fizyczne, to pojęcie energii potencjalnej ich nie ma. Pojęcie energii potencjalnej w w pewnym sensie jest wielkością fikcyjną, zdefiniowaną w taki sposób, że zmiany jej wartości dokładnie odpowiadają zmianom energii kinetycznej. Wprowadzenie tej wielkości związanej z ruchem ułatwia opis ruchu i dzięki temu odgrywa znaczącą rolę w tzw opis energii ruch opracowany przez mechanikę analityczną. To drugie oznacza znaczenie wprowadzenia tej wartości.
Wynikowa praca wszystkich sił przyłożonych do ciała jest równa zmianie energii kinetycznej ciała.
Twierdzenie to jest prawdziwe nie tylko dla ruchu postępowego ciała sztywnego, ale także w przypadku jego ruchu dowolnego.
Energię kinetyczną posiadają jedynie ciała w ruchu, dlatego nazywa się ją energią ruchu.
§ 8. Siły konserwatywne (potencjalne).
Pole sił konserwatywnych
def.
Siły, których działanie nie zależy od drogi, po której poruszało się ciało, ale zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała, nazywane są siłami zachowawczymi (potencjalnymi).
def.
Pole siłowe to obszar przestrzeni, w każdym punkcie którego siła jest przykładana do umieszczonego tam ciała, zmieniając się w sposób naturalny z punktu do punktu w przestrzeni.
def.
Pole, które nie zmienia się w czasie, nazywa się stacjonarnym.
Można udowodnić następujące 3 stwierdzenia
1) Praca wykonana przez siły zachowawcze wzdłuż dowolnej zamkniętej ścieżki jest równa 0.
Dowód:
2) Jednorodne pole sił jest zachowawcze.
def.
Pole nazywamy jednorodnym, jeśli we wszystkich jego punktach siły działające na umieszczone w nim ciało mają tę samą wielkość i kierunek.
Dowód:
3) Pole sił centralnych, w którym wielkość siły zależy tylko od odległości od środka, jest zachowawcze.
def.
Pole sił centralnych to pole sił, w którym w każdym punkcie siła skierowana wzdłuż linii przechodzącej przez ten sam stały punkt – środek pola – działa na poruszające się w nim ciało punktowe.
W ogólnym przypadku takie pole sił centralnych nie jest konserwatywne. Jeżeli w polu sił centralnych wielkość siły zależy tylko od odległości do środka pola siłowego (O), tj. , to takie pole jest konserwatywne (potencjalne).
Dowód:
gdzie jest funkcja pierwotna.
§ 9. Energia potencjalna.
Zależność siły od energii potencjalnej
na polu sił konserwatywnych
Wybierzmy początek współrzędnych jako pole sił zachowawczych, tj.
Energia potencjalna ciała w polu sił zachowawczych. Funkcja ta jest określona jednoznacznie (zależy tylko od współrzędnych), ponieważ praca sił konserwatywnych nie zależy od rodzaju ścieżki.
Znajdźmy połączenie w polu sił zachowawczych podczas przenoszenia ciała z punktu 1 do punktu 2.
Praca sił zachowawczych jest równa zmianie energii potencjalnej o przeciwnym znaku.
Energia potencjalna ciała pola sił zachowawczych to energia wynikająca z obecności pola siłowego wynikającego z pewnego oddziaływania dane ciało z zewnętrznym ciałem (ciałami), o którym mówi się, że tworzy pole siłowe.
Energia potencjalna pola sił zachowawczych charakteryzuje zdolność ciała do wykonania pracy i jest liczbowo równa pracy sił zachowawczych, aby przesunąć ciało do początku współrzędnych (lub do punktu o zerowej energii). Zależy to od wyboru poziomu zerowego i może być ujemne. W każdym razie, a zatem także w przypadku pracy elementarnej, tj. lub , gdzie jest rzutem siły na kierunek ruchu lub elementarne przemieszczenie. Stąd, . Ponieważ możemy poruszać ciałem w dowolnym kierunku, to jest to prawdą dla dowolnego kierunku. Rzut siły zachowawczej na dowolny kierunek jest równy pochodnej energii potencjalnej w tym kierunku o przeciwnym znaku.
Uwzględniając rozwinięcie wektorów i ze względu na bazę , otrzymujemy to
Z drugiej strony od Analiza matematyczna wiadomo, że pełny mechanizm różnicowy funkcje kilku zmiennych równa sumie iloczyny pochodnych cząstkowych ze względu na argumenty i różniczki argumentów, tj. , co oznacza z relacji, którą otrzymujemy
Aby zapisać te relacje w sposób bardziej zwięzły, można skorzystać z koncepcji gradientu funkcji.
def.
Gradient jakiejś skalarnej funkcji współrzędnych jest wektorem o współrzędnych równych odpowiednim pochodnym cząstkowym tej funkcji.
W naszym przypadku
def.
Powierzchnia ekwipotencjalna to geometryczne miejsce punktów w polu sił zachowawczych, których wartości energii potencjalnej są takie same, tj. .
Ponieważ z definicji powierzchni ekwipotencjalnej wynika, że dla punktów na tej powierzchni , jako pochodna stałej, zatem .
Zatem siła zachowawcza jest zawsze prostopadła do powierzchni ekwipotencjalnej i skierowana jest w kierunku spadku energii potencjalnej. (P1 > P2 > P3).
§ 10. Energia potencjalna oddziaływania.
Konserwatywne układy mechaniczne
Rozważmy układ dwóch oddziałujących ze sobą cząstek. Niech siły ich oddziaływania będą centralne, a wielkość siły zależy od odległości między cząstkami (takimi siłami są siły grawitacyjne i elektryczne siły Coulomba). Jest oczywiste, że siły oddziaływania między dwiema cząstkami mają charakter wewnętrzny.
Uwzględniając trzecie prawo Newtona (), otrzymujemy, tj. praca sił wewnętrznych oddziaływania między dwiema cząstkami jest zdeterminowana zmianą odległości między nimi.
Tę samą pracę wykonanoby, gdyby pierwsza cząstka znajdowała się w spoczynku w początku układu współrzędnych, a druga otrzymała przemieszczenie równe przyrostowi wektora jej promienia, tzn. pracę wykonaną przez siły wewnętrzne można obliczyć, rozważając, że jedna cząstka jest nieruchoma, a drugi porusza się w polu sił centralnych, których wielkość jest jednoznacznie określona przez odległość między cząstkami. W §8 wykazaliśmy, że pole takich sił (czyli pole sił centralnych, w którym wielkość siły zależy jedynie od odległości od środka) jest zachowawcze, co oznacza, że ich pracę można uznać za zmniejszenie energia potencjalna (zdefiniowana zgodnie z §9 dla pola sił zachowawczych).
W rozpatrywanym przypadku energia ta powstaje w wyniku oddziaływania dwóch cząstek tworzących układ zamknięty. Nazywa się to energią potencjalną interakcji (lub wzajemną energią potencjalną). Zależy to również od wyboru poziomu zerowego i może być ujemne.
def.
Układ mechaniczny ciał sztywnych, pomiędzy którymi siły wewnętrzne są zachowawcze, nazywany jest konserwatywnym układem mechanicznym.
Można wykazać, że potencjalna energia interakcji konserwatywnego układu cząstek N składa się z potencjalnych energii interakcji cząstek zebranych parami, które można sobie wyobrazić.
Gdzie jest energia potencjalna oddziaływania między dwiema cząstkami i-tą i j-tą. Wskaźniki i i j w sumie przyjmują niezależne wartości 1,2,3, ..., N. Biorąc pod uwagę, że ta sama energia potencjalna oddziaływania i-tej i j-tej cząstki ze sobą, to po zsumowaniu , energia zostanie pomnożona przez 2, w wyniku czego przed kwotą pojawi się współczynnik. Ogólnie rzecz biorąc, potencjalna energia interakcji układu N cząstek będzie zależeć od położenia lub współrzędnych wszystkich cząstek. Łatwo zauważyć, że energia potencjalna cząstki w polu sił zachowawczych jest rodzajem energii potencjalnej oddziaływania układu cząstek, ponieważ pole siłowe jest wynikiem wzajemnego oddziaływania ciał.
§ 11. Prawo zachowania energii w mechanice.
Pozwalać solidny posuwa się do przodu pod wpływem sił konserwatywnych i niekonserwatywnych, tj. przypadek ogólny. Wtedy wypadkowa wszystkich sił działających na ciało wynosi . Praca wypadkowej wszystkich sił w tym przypadku.
Z twierdzenia o energii kinetycznej i biorąc to pod uwagę, otrzymujemy
Całkowita energia mechaniczna ciała
Jeśli następnie. To jest to notacja matematyczna prawo zachowania energii w mechanice pojedynczego ciała.
Sformułowanie prawa zachowania energii:
Całkowita energia mechaniczna ciała nie zmienia się, gdy nie działają siły niezachowawcze.
Dla mechanicznego układu cząstek N łatwo wykazać, że (*) ma miejsce.
W której
Pierwsza suma to całkowita energia kinetyczna układu cząstek.
Druga to całkowita energia potencjalna cząstek w zewnętrznym polu sił zachowawczych
Trzecia to energia potencjalna interakcji cząstek układu ze sobą.
Druga i trzecia suma reprezentują całkowitą energię potencjalną układu.
Praca sił niezachowawczych składa się z dwóch terminów, reprezentujących pracę sił wewnętrznych i zewnętrznych niezachowawczych.
Podobnie jak w przypadku ruchu pojedynczego ciała, dla układu mechanicznego N ciał, jeżeli , to , a zasada zachowania energii w ogólnym przypadku układu mechanicznego stwierdza:
Całkowita energia mechaniczna układu cząstek, na które działają jedynie siły zachowawcze, zostaje zachowana.
Zatem w obecności sił niezachowawczych całkowita energia mechaniczna nie jest zachowana.
Siłami niezachowawczymi są np. siła tarcia, siła oporu i inne siły, których działanie powoduje odcynowanie energii (przemianę energii mechanicznej na ciepło).
Siły prowadzące do desynizacji nazywane są dessynatywnymi. Niektóre siły niekoniecznie mają charakter docelowy.
Prawo zachowania energii jest uniwersalne i dotyczy nie tylko zjawisk mechanicznych, ale także wszystkich procesów zachodzących w przyrodzie. Całkowita ilość energii w izolowanym układzie ciał i pól zawsze pozostaje stała. Energia może przemieszczać się tylko z jednej formy do drugiej.
Biorąc pod uwagę tę równość
Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:
Co zrobimy z otrzymanym materiałem:
Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:
praca wypadkowych sił przyłożonych do ciała jest równa zmianie energii kinetycznej ciała.
Ponieważ zmiana energii kinetycznej jest równa pracy siły (3), energię kinetyczną ciała wyraża się w tych samych jednostkach co praca, czyli w dżulach.
Jeżeli początkowa prędkość ruchu ciała masowego M wynosi zero, a ciało zwiększa prędkość do tej wartości υ , to praca wykonana przez tę siłę jest równa końcowej wartości energii kinetycznej ciała:
A=Ek 2−Ek 1=M⋅υ 22−0=M⋅υ 22 .
42) Potencjalne pola
Potencjalne pole
pole konserwatywne, pole wektorowe, którego cyrkulacja wzdłuż dowolnej zamkniętej trajektorii wynosi zero. Jeśli pole siłowe jest polem siłowym, oznacza to, że praca sił pola wzdłuż zamkniętej trajektorii jest równa zeru. Dla P. s. A(M) istnieje taka unikalna funkcja ty(M)(potencjał pola) że A= stopień ty(patrz Gradient). Jeżeli pole pola jest dane w domenie prosto połączonej Ω, to potencjał tego pola można znaleźć za pomocą wzoru
w której JESTEM- dowolna gładka krzywa łącząca stały punkt A od Ω z punktem M, t - wektor jednostkowy krzywej stycznej JESTEM. i / - długość łuku JESTEM. oparte na punktach A. Jeśli A(M) - P. p., potem zgnij A= 0 (patrz wir pola wektorowego). I odwrotnie, jeśli zgnilizna A= 0, a pole jest zdefiniowane w domenie prosto połączonej i jest wówczas różniczkowalne A(M) - Potencjałami są na przykład pole elektrostatyczne, pole grawitacyjne i pole prędkości podczas ruchu bezwirowego.
43) Energia potencjalna
Energia potencjalna- skalar wielkość fizyczna, charakteryzujący zdolność określonego ciała (lub punktu materialnego) do wykonania pracy ze względu na jego położenie w polu działania sił. Inna definicja: energia potencjalna jest funkcją współrzędnych, która jest terminem w układzie Lagrangianu i opisuje oddziaływanie elementów układu. Termin „energia potencjalna” został ukuty w XIX wieku przez szkockiego inżyniera i fizyka Williama Rankine’a.
Jednostką energii w układzie SI jest dżul.
Przyjmuje się, że energia potencjalna wynosi zero dla określonej konfiguracji ciał w przestrzeni, o której wyborze decyduje dogodność dalszych obliczeń. Proces wyboru tej konfiguracji nazywa się normalizacja energii potencjalnej.
Prawidłową definicję energii potencjalnej można podać jedynie w polu sił, których praca zależy tylko od początkowego i końcowego położenia ciała, a nie od trajektorii jego ruchu. Siły takie nazywane są konserwatywnymi.
Energia potencjalna jest również cechą interakcji kilku ciał lub ciała i pola.
Każdy układ fizyczny dąży do stanu o najniższej energii potencjalnej.
Energia potencjalna elastyczna deformacja charakteryzuje interakcję między częściami ciała.
Energię potencjalną w polu grawitacyjnym Ziemi w pobliżu powierzchni wyraża się w przybliżeniu wzorem:
Gdzie E s- energia potencjalna ciała, M- masa ciała, G- przyśpieszenie grawitacyjne, H- wysokość środka masy ciała powyżej dowolnie wybranego poziomu zerowego.
44) Zależność siły od energii potencjalnej
Każdemu punktowi pola potencjalnego odpowiada z jednej strony pewna wartość wektora siły działającej na ciało, a z drugiej strony pewna wartość energii potencjalnej. Dlatego musi istnieć pewien związek między siłą a energią potencjalną.
Aby ustalić to połączenie, obliczmy elementarną pracę wykonaną przez siły pola podczas niewielkiego przemieszczenia ciała w dowolnie wybranym kierunku w przestrzeni, co oznaczamy literą . Ta praca jest równa
gdzie jest rzutem siły na kierunek.
Od w w tym przypadku praca wykonana jest dzięki rezerwie energii potencjalnej, jest równa utracie energii potencjalnej na odcinku osi:
Z dwóch ostatnich wyrażeń otrzymujemy
Ostatnie wyrażenie podaje średnią wartość w przedziale. Do
aby uzyskać wartość w punkcie, musisz przejść do limitu:
w wektorze matematycznym,
gdzie a jest funkcją skalarną x, y, z, zwaną gradientem tego skalara i oznaczoną symbolem . Dlatego siła jest równa gradientowi energii potencjalnej przyjętemu z przeciwnym znakiem
45) Prawo zachowania energii mechanicznej
