Ang video tutorial na ito ay makakatulong sa mga user na magkaroon ng ideya ng tema ng Pyramid. Tamang pyramid. Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid at bibigyan ito ng kahulugan. Isaalang-alang natin kung ano ang isang regular na pyramid at kung ano ang mga katangian nito. Pagkatapos ay patunayan namin ang theorem tungkol sa lateral surface ng isang regular na pyramid.
Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid at bibigyan ito ng kahulugan.
Isaalang-alang ang isang polygon A 1 A 2...Isang n, na nasa α plane, at ang punto P, na hindi namamalagi sa α plane (Larawan 1). Ikonekta natin ang mga tuldok P may mga taluktok A 1, A 2, A 3, … Isang n. Nakukuha namin n mga tatsulok: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R at iba pa.
Kahulugan. Polyhedron RA 1 A 2 ...A n, binubuo ng n-parisukat A 1 A 2...Isang n At n mga tatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ang tinatawag n- pyramid ng karbon. kanin. 1.
kanin. 1
Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD(Larawan 2).
R- tuktok ng pyramid.
ABCD- ang base ng pyramid.
RA- gilid tadyang.
AB- base rib.
Mula sa punto R ihulog natin ang patayo RN sa base plane ABCD. Ang perpendikular na iginuhit ay ang taas ng pyramid.
kanin. 2
Ang buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng lateral surface, iyon ay, ang lugar ng lahat ng lateral faces, at ang lugar ng base:
S puno = S gilid + S pangunahing
Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung:
- ang base nito ay isang regular na polygon;
- ang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng base ay ang taas nito.
Paliwanag gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid
Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD(Larawan 3).
R- tuktok ng pyramid. Base ng pyramid ABCD- isang regular na may apat na gilid, iyon ay, isang parisukat. Dot TUNGKOL SA, ang punto ng intersection ng mga diagonal, ay ang sentro ng parisukat. Ibig sabihin, RO ay ang taas ng pyramid.
kanin. 3
Paliwanag: sa tama n Sa isang tatsulok, ang gitna ng inscribed na bilog at ang gitna ng circumcircle ay nag-tutugma. Ang sentrong ito ay tinatawag na sentro ng polygon. Minsan sinasabi nila na ang vertex ay naka-project sa gitna.
Ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito ay tinatawag apothem at itinalaga h a.
1. lahat ng lateral edge ng isang regular na pyramid ay pantay;
2. Ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.
Magbibigay kami ng patunay ng mga katangiang ito gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.
Ibinigay: PABCD- regular na quadrangular pyramid,
ABCD- parisukat,
RO- taas ng pyramid.
Patunayan:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Tingnan ang Fig. 4.
kanin. 4
Patunay.
RO- taas ng pyramid. Ibig sabihin, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta JSC, VO, SO At GAWIN nakahiga sa loob nito. Kaya mga tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD- hugis-parihaba.
Isaalang-alang ang isang parisukat ABCD. Mula sa mga katangian ng isang parisukat ito ay sumusunod na AO = VO = CO = GAWIN.
Pagkatapos ay ang mga tamang tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD binti RO- pangkalahatan at mga binti JSC, VO, SO At GAWIN ay pantay, na nangangahulugan na ang mga tatsulok na ito ay pantay sa dalawang panig. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga segment, RA = PB = RS = PD. Point 1 ay napatunayan na.
Mga segment AB At Araw ay pantay dahil sila ay mga gilid ng parehong parisukat, RA = PB = RS. Kaya mga tatsulok AVR At VSR - isosceles at pantay sa tatlong panig.
Sa katulad na paraan, nakita natin ang mga tatsulok ABP, VCP, CDP, DAP ay isosceles at pantay, gaya ng kinakailangan na patunayan sa talata 2.
Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem:
Upang patunayan ito, pumili tayo ng isang regular na triangular na pyramid.
Ibinigay: RAVS- regular na tatsulok na pyramid.
AB = BC = AC.
RO- taas.
Patunayan: 
. Tingnan ang Fig. 5.
kanin. 5
Patunay.
RAVS- regular na tatsulok na pyramid. Iyon ay AB= AC = BC. Hayaan TUNGKOL SA- gitna ng tatsulok ABC, Pagkatapos RO ay ang taas ng pyramid. Sa base ng pyramid ay matatagpuan ang isang equilateral triangle ABC. Tandaan na 
.
Mga tatsulok RAV, RVS, RSA- pantay na isosceles triangles (ayon sa ari-arian). Ang isang tatsulok na pyramid ay may tatlong gilid na mukha: RAV, RVS, RSA. Nangangahulugan ito na ang lugar ng lateral surface ng pyramid ay:
S side = 3S RAW
Ang teorama ay napatunayan.
Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.
Ibinigay: regular na quadrangular pyramid ABCD,
ABCD- parisukat,
r= 3 m,
RO- taas ng pyramid,
RO= 4 m.
Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.
kanin. 6
Solusyon.
Ayon sa napatunayang teorama, .
Hanapin muna natin ang gilid ng base AB. Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.
Pagkatapos, m.
Hanapin ang perimeter ng parisukat ABCD na may gilid na 6 m:
Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD. Hayaan M- gitna ng gilid DC. kasi TUNGKOL SA- gitna BD, Iyon 
(m).
Tatsulok DPC- isosceles. M- gitna DC. Ibig sabihin, RM- median, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC. Pagkatapos RM- apothem ng pyramid.
RO- taas ng pyramid. Tapos, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta OM, nakahiga sa loob nito. Hanapin natin ang apothem RM mula sa isang kanang tatsulok ROM.
Ngayon ay mahahanap natin ang lateral surface ng pyramid:
Sagot: 60 m2.
Ang radius ng bilog na nakapaligid sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay katumbas ng m Ang lugar ng lateral surface ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.
Ibinigay: ABCP- regular na tatsulok na pyramid,
AB = BC = SA,
R= m,
S gilid = 18 m2.
Hanapin: . Tingnan ang Fig. 7.
kanin. 7
Solusyon.
Sa isang kanang tatsulok ABC Ang radius ng circumscribed circle ay ibinibigay. Humanap tayo ng side AB ang tatsulok na ito gamit ang batas ng mga sine.
Ang pag-alam sa gilid ng isang regular na tatsulok (m), nakita natin ang perimeter nito.
Sa pamamagitan ng theorem sa lateral surface area ng isang regular na pyramid, kung saan h a- apothem ng pyramid. Pagkatapos:
Sagot: 4 m.
Kaya, tiningnan namin kung ano ang isang pyramid, kung ano ang isang regular na pyramid, at napatunayan namin ang teorama tungkol sa lateral surface ng isang regular na pyramid. Sa susunod na aralin ay makikilala natin ang pinutol na pyramid.
Mga sanggunian
- Geometry. Baitang 10-11: aklat-aralin para sa mga mag-aaral mga institusyong pang-edukasyon(basic at profile level) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: may sakit.
- Geometry. 10-11 grade: Textbook para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyong pang-edukasyon/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: may sakit.
- Geometry. Baitang 10: Teksbuk para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon na may malalim at espesyal na pag-aaral ng matematika /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: may sakit.
- Internet portal na "Yaklass" ()
- Internet portal na "Festival ng mga ideya sa pedagogical "Una ng Setyembre" ()
- Internet portal na “Slideshare.net” ()
Takdang-Aralin
- Maaari bang maging base ng isang iregular na pyramid ang isang regular na polygon?
- Patunayan na ang magkahiwalay na mga gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
- Hanapin ang halaga ng dihedral angle sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid kung ang apothem ng pyramid ay katumbas ng gilid ng base nito.
- RAVS- regular na tatsulok na pyramid. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle sa base ng pyramid.
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Kinokolekta namin personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong kalusugan. mahahalagang kaso.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Dito mahahanap mo ang pangunahing impormasyon tungkol sa mga pyramids at mga kaugnay na formula at konsepto. Lahat sila ay pinag-aaralan sa isang mathematics tutor bilang paghahanda para sa Unified State Exam.
Isaalang-alang ang isang eroplano, isang polygon 
, nakahiga dito at isang punto S, hindi nakahiga dito. Ikonekta natin ang S sa lahat ng vertices ng polygon. Ang nagresultang polyhedron ay tinatawag na isang pyramid. Ang mga segment ay tinatawag na side ribs. 
Ang polygon ay tinatawag na base, at ang puntong S ay ang tuktok ng pyramid. Depende sa bilang n, ang pyramid ay tinatawag na triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) at iba pa. Ang isang alternatibong pangalan para sa isang tatsulok na pyramid ay tetrahedron. Ang taas ng isang pyramid ay ang perpendikular na pababa mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. 
Ang isang pyramid ay tinatawag na regular kung isang regular na polygon, at ang base ng altitude ng pyramid (ang base ng patayo) ay ang sentro nito.
Komento ng tutor:
Huwag malito ang mga konsepto ng "regular pyramid" at "regular tetrahedron". Sa isang regular na pyramid, ang mga gilid na gilid ay hindi kinakailangang katumbas ng mga gilid ng base, ngunit sa isang regular na tetrahedron, lahat ng 6 na gilid ay pantay. Ito ang kanyang kahulugan. Madaling patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na ang sentro P ng polygon ay nag-tutugma na may taas na base, kaya ang isang regular na tetrahedron ay isang regular na pyramid.
Ano ang apothem?
Ang apothem ng isang pyramid ay ang taas ng gilid ng mukha nito. Kung regular ang pyramid, pantay ang lahat ng apothems nito. Ang kabaligtaran ay hindi totoo. 
Isang tutor sa matematika tungkol sa kanyang terminolohiya: 80% ng trabaho sa mga pyramids ay binuo sa pamamagitan ng dalawang uri ng mga tatsulok:
1) Naglalaman ng apothem SK at taas SP
2) Naglalaman ng lateral edge SA at ang projection na PA nito 
Upang gawing simple ang mga sanggunian sa mga tatsulok na ito, mas maginhawa para sa isang math tutor na tawagan ang una sa mga ito apothemal, at ang pangalawa costal. Sa kasamaang palad, hindi mo mahahanap ang terminolohiya na ito sa alinman sa mga aklat-aralin, at kailangang ipakilala ito ng guro nang unilaterally.
Formula para sa dami ng isang pyramid:
1) 
, kung saan ang lugar ng base ng pyramid, at ang taas ng pyramid
2) , kung saan ang radius ng inscribed sphere, at ang lugar ng kabuuang ibabaw ng pyramid.
3) 
, kung saan ang MN ay ang distansya sa pagitan ng alinmang dalawang crossing edge, at ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga midpoint ng apat na natitirang mga gilid.
Pag-aari ng base ng taas ng isang pyramid:
Ang punto P (tingnan ang figure) ay tumutugma sa gitna ng nakasulat na bilog sa base ng pyramid kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
1) Lahat ng apothems ay pantay
2) Ang lahat ng mga mukha sa gilid ay pantay na nakahilig sa base
3) Ang lahat ng apothems ay pantay na nakahilig sa taas ng pyramid
4) Ang taas ng pyramid ay pantay na nakahilig sa lahat ng panig na mukha
komento ng math tutor: Pakitandaan na ang lahat ng mga punto ay pinagsama ng isang karaniwang pag-aari: isang paraan o iba pa, ang mga lateral na mukha ay kasangkot sa lahat ng dako (apothems ang kanilang mga elemento). Samakatuwid, ang tagapagturo ay maaaring mag-alok ng isang hindi gaanong tumpak, ngunit mas maginhawa para sa pag-aaral, pagbabalangkas: ang punto P ay tumutugma sa gitna ng inscribed na bilog, ang base ng pyramid, kung mayroong anumang pantay na impormasyon tungkol sa mga lateral na mukha nito. Upang patunayan ito, sapat na upang ipakita na ang lahat ng mga tatsulok ng apothem ay pantay.
Ang punto P ay tumutugma sa gitna ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base ng pyramid kung ang isa sa tatlong kundisyon ay totoo:
1) Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay
2) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig sa base
3) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig sa taas
Ang pyramid ay isang polyhedron na may polygon sa base nito. Ang lahat ng mga mukha, sa turn, ay bumubuo ng mga tatsulok na nagtatagpo sa isang tuktok. Ang mga pyramid ay tatsulok, quadrangular, at iba pa. Upang matukoy kung aling pyramid ang nasa harap mo, sapat na upang mabilang ang bilang ng mga anggulo sa base nito. Ang kahulugan ng "taas ng isang pyramid" ay madalas na matatagpuan sa mga problema sa geometry sa kurikulum ng paaralan. Sa artikulong ito susubukan naming isaalang-alang iba't ibang paraan kanyang lokasyon.
Mga bahagi ng pyramid
Ang bawat pyramid ay binubuo ng mga sumusunod na elemento:
- mga mukha sa gilid, na may tatlong sulok at nagtatagpo sa tuktok;
- ang apothem ay kumakatawan sa taas na bumababa mula sa tuktok nito;
- ang tuktok ng pyramid ay isang punto na nag-uugnay sa mga tadyang sa gilid, ngunit hindi nakahiga sa eroplano ng base;
- ang base ay isang polygon kung saan ang vertex ay hindi nagsisinungaling;
- ang taas ng pyramid ay isang segment na bumabagtas sa tuktok ng pyramid at bumubuo ng tamang anggulo sa base nito.
Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid kung alam ang dami nito
Sa pamamagitan ng formula V = (S*h)/3 (sa formula V ay ang volume, S ay ang lugar ng base, h ang taas ng pyramid) nalaman natin na h = (3*V)/ S. Upang pagsamahin ang materyal, agad nating lutasin ang problema. Ang triangular na base ay 50 cm 2 , samantalang ang volume nito ay 125 cm 3 . Ang taas ng triangular pyramid ay hindi alam, na kung ano ang kailangan nating hanapin. Ang lahat ay simple dito: ipinapasok namin ang data sa aming formula. Nakukuha namin ang h = (3*125)/50 = 7.5 cm.
Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid kung ang haba ng dayagonal at ang mga gilid nito ay kilala
Tulad ng naaalala natin, ang taas ng pyramid ay bumubuo ng isang tamang anggulo sa base nito. Nangangahulugan ito na ang taas, gilid at kalahati ng dayagonal na magkasama ay bumubuo ng Marami, siyempre, tandaan ang Pythagorean theorem. Ang pag-alam ng dalawang dimensyon, hindi magiging mahirap na hanapin ang ikatlong dami. Alalahanin natin ang kilalang teorama na a² = b² + c², kung saan ang a ay ang hypotenuse, at sa ating kaso ang gilid ng pyramid; b - ang unang binti o kalahati ng dayagonal at c - ayon sa pagkakabanggit, ang pangalawang binti, o ang taas ng pyramid. Mula sa formula na ito c² = a² - b².
Ngayon ang problema: sa isang regular na pyramid ang dayagonal ay 20 cm, kapag ang haba ng gilid ay 30 cm Kailangan mong hanapin ang taas. Lutasin natin ang: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Kaya c = √ 500 = mga 22.4.
Paano mahahanap ang taas ng isang pinutol na pyramid
Ito ay isang polygon na may cross section na kahanay sa base nito. Ang taas ng pinutol na pyramid ay ang segment na nag-uugnay sa dalawang base nito. Ang taas ay matatagpuan para sa isang regular na pyramid kung ang mga haba ng mga dayagonal ng parehong mga base, pati na rin ang gilid ng pyramid, ay kilala. Hayaang ang dayagonal ng mas malaking base ay d1, habang ang dayagonal ng mas maliit na base ay d2, at ang gilid ay may haba l. Upang mahanap ang taas, maaari mong ibaba ang mga taas mula sa dalawang itaas na magkatapat na punto ng diagram hanggang sa base nito. Nakikita namin na mayroon kaming dalawa kanang tatsulok, nananatili itong hanapin ang haba ng kanilang mga binti. Upang gawin ito, ibawas ang mas maliit mula sa mas malaking dayagonal at hatiin sa 2. Kaya't makikita natin ang isang binti: a = (d1-d2)/2. Pagkatapos nito, ayon sa Pythagorean theorem, ang kailangan lang nating gawin ay hanapin ang pangalawang binti, na siyang taas ng pyramid.
Ngayon tingnan natin ang buong bagay na ito sa pagsasanay. Mayroon kaming isang gawain sa hinaharap. Ang isang pinutol na pyramid ay may isang parisukat sa base, ang dayagonal na haba ng mas malaking base ay 10 cm, habang ang mas maliit ay 6 cm, at ang gilid ay 4 cm Kailangan mong hanapin ang taas. Una, nakita namin ang isang binti: a = (10-6)/2 = 2 cm Ang isang binti ay katumbas ng 2 cm, at ang hypotenuse ay 4 cm Lumalabas na ang pangalawang binti o taas ay magiging katumbas ng 16-. 4 = 12, ibig sabihin, h = √12 = mga 3.5 cm.
Ang isang three-dimensional na figure na madalas na lumilitaw sa mga geometric na problema ay ang pyramid. Ang pinakasimple sa lahat ng mga figure sa klase na ito ay tatsulok. Sa artikulong ito susuriin namin nang detalyado ang mga pangunahing formula at katangian ng tama
Mga ideyang geometriko tungkol sa pigura
Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang sa mga katangian ng isang regular na triangular na pyramid, tingnan natin kung anong uri ng pigura ang pinag-uusapan natin.
Ipagpalagay na mayroong isang arbitrary na tatsulok sa tatlong-dimensional na espasyo. Piliin natin ang anumang punto sa puwang na ito na hindi namamalagi sa eroplano ng tatsulok at ikonekta ito sa tatlong vertice ng tatsulok. Nakakuha kami ng triangular pyramid.
Binubuo ito ng 4 na panig, na lahat ay mga tatsulok. Ang mga punto kung saan nagtatagpo ang tatlong mukha ay tinatawag na vertex. Ang pigura ay mayroon ding apat sa kanila. Ang mga linya ng intersection ng dalawang mukha ay mga gilid. Ang pyramid na pinag-uusapan ay may 6 na gilid Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang halimbawa ng figure na ito.
Dahil ang pigura ay nabuo sa pamamagitan ng apat na panig, ito ay tinatawag ding tetrahedron.
Tamang pyramid
Sa itaas ay isinasaalang-alang namin ang isang di-makatwirang figure na may isang triangular na base. Ngayon ipagpalagay na gumuhit tayo ng isang patayo na bahagi mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa base nito. Ang segment na ito ay tinatawag na taas. Malinaw, maaari kang gumuhit ng 4 na magkakaibang taas para sa figure. Kung ang taas ay bumalandra sa triangular na base sa geometric center, kung gayon ang naturang pyramid ay tinatawag na tuwid.
Ang isang tuwid na pyramid, na ang base nito ay isang equilateral triangle, ay tinatawag na regular. Para sa kanya, ang lahat ng tatlong tatsulok na bumubuo sa lateral surface ng figure ay isosceles at katumbas ng bawat isa. Ang isang espesyal na kaso ng isang regular na pyramid ay ang sitwasyon kapag ang lahat ng apat na panig ay magkaparehong tatsulok.
Isaalang-alang natin ang mga katangian ng isang regular na triangular na pyramid at ibigay ang kaukulang mga formula para sa pagkalkula ng mga parameter nito.
Base side, taas, lateral edge at apothem
Ang alinmang dalawa sa mga nakalistang parameter ay natatanging tumutukoy sa iba pang dalawang katangian. Ipakita natin ang mga formula na nauugnay sa mga dami na ito.
Ipagpalagay natin na ang gilid ng base ng isang regular na triangular na pyramid ay a. Ang haba ng gilid nito ay b. Ano ang magiging taas ng isang regular na triangular na pyramid at ang apothem nito?
Para sa taas h nakukuha natin ang expression:
Ang formula na ito ay sumusunod mula sa Pythagorean theorem kung saan ang gilid ng gilid, ang taas at 2/3 ng taas ng base ay.
Ang apothem ng isang pyramid ay ang taas para sa anumang side triangle. Ang haba ng apothem a b ay katumbas ng:
a b = √(b 2 - a 2/4)
Mula sa mga formula na ito ay malinaw na anuman ang gilid ng base ng isang tatsulok na regular na pyramid at ang haba ng gilid nito, ang apothem ay palaging mas malaki kaysa sa taas ng pyramid.
Ang dalawang formula na ipinakita ay naglalaman ng lahat ng apat na linear na katangian ng figure na pinag-uusapan. Samakatuwid, dahil sa kilalang dalawa sa kanila, mahahanap mo ang natitira sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga nakasulat na pagkakapantay-pantay.
Dami ng figure
Para sa ganap na anumang pyramid (kabilang ang isang hilig), ang halaga ng dami ng puwang na limitado nito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pag-alam sa taas ng pigura at ang lugar ng base nito. Ang kaukulang formula ay:
Ang paglalapat ng expression na ito sa figure na pinag-uusapan, makuha namin ang sumusunod na formula:
Kung saan ang taas ng isang regular na triangular na pyramid ay h at ang base side nito ay a.
Hindi mahirap makakuha ng formula para sa dami ng isang tetrahedron kung saan ang lahat ng panig ay pantay sa isa't isa at kumakatawan sa mga equilateral triangle. Sa kasong ito, ang dami ng figure ay tinutukoy ng formula:
Iyon ay, ito ay natutukoy nang natatangi sa pamamagitan ng haba ng gilid a.
Lugar sa ibabaw
Patuloy nating isaalang-alang ang tatsulok na regular. Ang kabuuang lugar ng lahat ng mga mukha ng isang pigura ay tinatawag na lugar sa ibabaw nito. Ang huli ay maaaring maginhawang pag-aralan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa kaukulang pag-unlad. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita kung ano ang hitsura ng pagbuo ng isang regular na triangular pyramid.
Ipagpalagay natin na alam natin ang taas h at ang gilid ng base a ng pigura. Kung gayon ang lugar ng base nito ay magiging katumbas ng:
Ang bawat mag-aaral ay maaaring makakuha ng expression na ito kung naaalala niya kung paano hanapin ang lugar ng isang tatsulok, at isinasaalang-alang din na ang altitude ng isang equilateral triangle ay isa ring bisector at median.
Ang lateral surface area na nabuo ng tatlong magkaparehong isosceles triangle ay:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod mula sa pagpapahayag ng apothem ng pyramid sa mga tuntunin ng taas at haba ng base.
Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng figure ay:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Tandaan na para sa isang tetrahedron kung saan ang lahat ng apat na panig ay magkaparehong equilateral triangle, ang lugar S ay magiging katumbas ng:
Mga katangian ng isang regular na pinutol na triangular na pyramid
Kung ang tuktok ng itinuturing na triangular na pyramid ay pinutol na may isang eroplanong kahanay sa base, kung gayon ang natitirang ibabang bahagi ay tatawaging pinutol na pyramid.
Sa kaso ng isang triangular na base, ang resulta ng inilarawan na paraan ng sectioning ay isang bagong tatsulok, na equilateral din, ngunit may mas maikling haba ng gilid kaysa sa gilid ng base. Ang isang pinutol na triangular na pyramid ay ipinapakita sa ibaba.
Nakita namin na ang figure na ito ay limitado na sa dalawa tatsulok na base at tatlong isosceles na trapezoid.
Ipagpalagay natin na ang taas ng resultang figure ay katumbas ng h, ang mga haba ng mga gilid ng ibaba at itaas na mga base ay isang 1 at isang 2, ayon sa pagkakabanggit, at ang apothem (taas ng trapezoid) ay katumbas ng isang b. Pagkatapos ang ibabaw na lugar ng pinutol na pyramid ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Dito ang unang termino ay ang lugar ng lateral surface, ang pangalawang termino ay ang lugar ng triangular base.
Ang dami ng figure ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
Upang hindi malabo na matukoy ang mga katangian ng isang pinutol na pyramid, kailangan mong malaman ang tatlong mga parameter nito, na ipinapakita ng mga ibinigay na formula.
