Bahay Pinahiran ng dila Ang solusyon ni Perelman sa haka-haka ng Poincaré. Isang milyong dolyar para sa isang butas ng donut

Pinahiran ng dila

Ang solusyon ni Perelman sa haka-haka ng Poincaré. Isang milyong dolyar para sa isang butas ng donut

Ano ang kakanyahan ng teorama ni Poincaré?

E ay napatunayan ni Sophia na RED-haired, pero RED-haired din siya....
Ang ilalim na linya ay na ang Uniberso ay hindi hugis tulad ng isang globo, ngunit tulad ng isang donut.
Ang kahulugan ng haka-haka ng Poincaré sa orihinal nitong pormulasyon ay para sa anumang tatlong-dimensional na katawan na walang mga butas ay mayroong pagbabagong-anyo na magpapahintulot na ito ay maging bola nang walang pagputol at pagdikit. Kung ito ay tila halata, kung gayon paano kung ang espasyo ay hindi tatlong-dimensional, ngunit naglalaman ng sampu o labing-isang dimensyon (iyon ay, pinag-uusapan natin ang isang pangkalahatang pagbabalangkas ng haka-haka ng Poincaré, na pinatunayan ni Perelman)
hindi mo masasabi sa 2 salita
Noong 1900, iminungkahi ni Poincaré na ang isang three-dimensional na manifold kasama ang lahat ng homology group ng isang globo ay homeomorphic sa isang globo. Noong 1904, nakahanap din siya ng counterexample, na ngayon ay tinatawag na Poincaré sphere, at binuo ang huling bersyon ng kanyang hypothesis. Ang mga pagtatangkang patunayan ang haka-haka ng Poincaré ay humantong sa maraming pagsulong sa topology ng mga manifold.
Mga patunay ng pangkalahatang haka-haka ng Poincaré para sa n #10878; 5 ay nakuha noong unang bahagi ng 1960s at 1970s halos sabay-sabay ng Smale, nang nakapag-iisa at sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan ng Stallings (Ingles) (para sa n #10878; 7, ang kanyang patunay ay pinalawak sa mga kaso n = 5 at 6 ni Zeeman (Ingles)) . Ang isang patunay ng mas mahirap na kaso n = 4 ay nakuha lamang noong 1982 ni Friedman. Mula sa teorama ni Novikov sa topological invariance ng Pontryagin's characteristic classes ito ay sumusunod na mayroong umiiral na katumbas na homotopy, ngunit hindi homeomorphic, manifolds sa matataas na sukat.
Ang patunay ng orihinal na haka-haka ng Poincaré (at ang mas pangkalahatang haka-haka ng Trston) ay natagpuan lamang noong 2002 ni Grigory Perelman. Kasunod nito, ang patunay ni Perelman ay napatunayan at ipinakita sa pinalawak na anyo ng hindi bababa sa tatlong grupo ng mga siyentipiko. 1 Ang patunay ay gumagamit ng Ricci flow na may operasyon at higit sa lahat ay sumusunod sa planong binalangkas ni Hamilton, na siya ring unang gumamit ng Ricci flow.
sino ito
Ang teorama ng Poincare:
Ang teorama ni Poincaré sa mga patlang ng vector
Ang Poincaré theorem ni Bendixson
Ang teorama ni Poincaré sa pag-uuri ng mga homeomorphism ng bilog
Ang haka-haka ni Poincaré sa homotopy sphere
Ang return theorem ni Poincaré
Alin ang tinatanong mo?
Sa teorya ng mga dynamical system, ang theorem ni Poincaré sa pag-uuri ng mga homeomorphism ng bilog ay naglalarawan ng mga posibleng uri ng invertible dynamics sa bilog, depende sa numero ng pag-ikot p(f) ng inuulit na pagmamapa f. Sa halos pagsasalita, lumalabas na ang dinamika ng mga pag-ulit ng pagmamapa ay sa isang tiyak na lawak na katulad ng dinamika ng pag-ikot ng kaukulang anggulo.
Ibig sabihin, hayaan ang isang bilog na homeomorphism f na ibigay. Pagkatapos:
1) Ang numero ng pag-ikot ay makatwiran kung at kung ang f ay may mga pana-panahong puntos. Sa kasong ito, ang denominator ng numero ng pag-ikot ay ang panahon ng anumang periodic point, at ang cyclic order sa bilog ng mga punto ng anumang periodic orbit ay kapareho ng sa mga punto ng rotation orbit sa p(f). Dagdag pa, ang anumang trajectory ay may posibilidad na magkaroon ng ilang periodicity sa parehong pasulong at pabalik na oras (ang a- at -w na limitasyon ng mga trajectory ay maaaring magkaiba).
2) Kung ang rotation number f ay hindi makatwiran, dalawang opsyon ang posible:
i) alinman sa f ay may siksik na orbit, kung saan ang homeomorphism ng f ay conjugate sa isang pag-ikot ng p(f). Sa kasong ito, ang lahat ng orbit ng f ay siksik (dahil totoo ito para sa hindi makatwirang pag-ikot);
ii) alinman sa f ay may Cantor invariant set C, na siyang tanging minimal na set ng system. Sa kasong ito, ang lahat ng mga trajectory ay may posibilidad na C pareho sa pasulong at paatras na oras. Bilang karagdagan, ang pagmamapa f ay semiconjugate sa pag-ikot ng p(f): para sa ilang pagmamapa h ng degree 1, p o f =R p (f) o h
Bukod dito, ang set C ay eksaktong hanay ng mga punto ng paglago ng h; sa madaling salita, mula sa isang topological point of view, ang h ay nag-collapse ng mga complement interval ng C.
ang pinakabuod ng bagay ay $1 milyon
The fact na walang nakakaintindi sa kanya maliban sa 1 tao
Sa patakarang panlabas ng Pransya...
Dito nasagot ni Lka ang pinakamaganda sa lahat http://otvet.mail.ru/question/24963208/
Isang napakatalino na matematiko, ang propesor ng Paris na si Henri Poincaré ay nagtrabaho sa iba't ibang larangan ng agham na ito. Independyente at independyente sa gawain ni Einstein noong 1905, iniharap niya ang mga pangunahing prinsipyo ng Espesyal na Teorya ng Relativity. At binuo niya ang kanyang tanyag na hypothesis noong 1904, kaya umabot ng halos isang siglo upang malutas ito.
Ang Poincaré ay isa sa mga nagtatag ng topology, ang agham ng mga katangian ng mga geometric na figure na hindi nagbabago sa ilalim ng mga pagpapapangit na nangyayari nang walang mga pahinga. Halimbawa, ang isang lobo ay madaling ma-deform sa iba't ibang mga hugis, tulad ng ginagawa nila sa mga bata sa parke. Ngunit kakailanganin mong i-cut ang bola upang i-twist ito sa isang donut (o, sa geometric na wika, isang torus); walang ibang paraan. At kabaligtaran: kumuha ng goma na donut at subukang gawing sphere. Gayunpaman, hindi pa rin ito gagana. Ayon sa kanilang mga topological na katangian, ang mga ibabaw ng isang sphere at isang torus ay hindi magkatugma, o hindi homeomorphic. Ngunit ang anumang mga ibabaw na walang mga butas (sarado na mga ibabaw), sa kabaligtaran, ay homeomorphic at may kakayahang maging deformed at transforming sa isang globo.
Kung ang lahat ay napagpasyahan tungkol sa dalawang-dimensional na ibabaw ng globo at torus noong ika-19 na siglo, mas matagal ito para sa mas maraming multidimensional na mga kaso. Ito, sa katunayan, ang kakanyahan ng haka-haka ng Poincaré, na nagpapalawak ng pattern sa mga multidimensional na kaso. Pinasimple nang kaunti, ang haka-haka ng Poincaré ay nagsasaad: Ang bawat simpleng konektadong saradong n-dimensional na manifold ay homeomorphic sa isang n-dimensional na globo. Nakakatawa na ang opsyon na may tatlong-dimensional na ibabaw ay naging pinakamahirap. Noong 1960, napatunayan ang hypothesis para sa mga sukat na 5 at mas mataas, noong 1981 para sa n=4. Ang stumbling block ay tiyak na three-dimensionality.
Sa pagbuo ng mga ideya nina William Trsten at Richard Hamilton, na iminungkahi nila noong 1980s, inilapat ni Grigory Perelman ang isang espesyal na equation ng makinis na ebolusyon sa tatlong-dimensional na ibabaw. At naipakita niya na ang orihinal na three-dimensional na ibabaw (kung walang mga discontinuities dito) ay kinakailangang mag-evolve sa isang three-dimensional na globo (ito ang ibabaw ng isang four-dimensional na bola, at ito ay umiiral sa 4-dimensional space). Ayon sa isang bilang ng mga eksperto, ito ay isang ideya ng isang bagong henerasyon, ang solusyon kung saan nagbubukas ng mga bagong abot-tanaw para sa agham sa matematika.
Kapansin-pansin na sa ilang kadahilanan si Perelman mismo ay hindi nag-abala na dalhin ang kanyang desisyon sa pangwakas na katalinuhan. Ang pagkakaroon ng paglalarawan ng solusyon sa kabuuan sa preprint Ang entropy formula para sa daloy ng Ricci at ang mga geometric na aplikasyon nito noong Nobyembre 2002, noong Marso 2003 ay dinagdagan niya ang patunay at ipinakita ito sa preprint na daloy ng Ricci na may operasyon sa tatlong-manifold, at iniulat din. sa pamamaraan sa serye ng mga lektura na ibinigay niya noong 2003 sa imbitasyon ng isang bilang ng mga unibersidad. Wala sa mga tagasuri ang makakahanap ng mga pagkakamali sa bersyon na kanyang iminungkahi, ngunit hindi naglathala si Perelman ng publikasyon sa isang publikasyong siyentipikong sinuri ng mga kasamahan (na, sa partikular, ay isang kinakailangang kondisyon para matanggap ang Clay Mathematical Institute Prize). Ngunit noong 2006, batay sa kanyang pamamaraan, isang buong hanay ng mga patunay ang inilabas, kung saan ang mga Amerikano at Tsino na mga matematiko ay sinuri ang problema nang detalyado at ganap, dinagdagan ang mga puntos na tinanggal ni Perelman, at nagbigay ng pangwakas na patunay ng haka-haka ng Poincaré.
Ang pangkalahatang haka-haka ng Poincaré ay nagsasaad na:
Para sa anumang n, anumang manifold ng dimensyon n ay katumbas ng homotopy sa isang globo ng dimensyon n kung at kung ito ay homeomorphic lamang dito.
Ang orihinal na haka-haka ng Poincaré ay isang espesyal na kaso ng pangkalahatang haka-haka para sa n = 3.
Para sa paglilinaw, pumunta sa kagubatan upang mamitas ng mga kabute, pumunta doon si Grigory Perelman)
Ang return theorem ni Poincaré ay isa sa mga pangunahing theorems ng ergodic theory. Ang kakanyahan nito ay na sa pamamagitan ng isang pagsukat-preserbang pagmamapa ng espasyo papunta sa sarili nito, halos bawat punto ay babalik sa paunang kapitbahayan nito. Ang buong pagbabalangkas ng theorem ay ang mga sumusunod: 1:
Maging isang pagbabagong pinapanatili ang sukat ng isang espasyo na may hangganan, at maging isang masusukat na hanay. Pagkatapos ay para sa anumang natural
.
Ang teorama na ito ay may hindi inaasahang kahihinatnan: lumalabas na kung sa isang sisidlan na nahahati sa isang partisyon sa dalawang kompartamento, ang isa ay puno ng gas at ang isa ay walang laman, ang pagkahati ay aalisin, pagkatapos ng ilang oras ang lahat ng mga molekula ng gas ay muling magtipon sa orihinal na bahagi ng sisidlan. Ang solusyon sa kabalintunaan na ito ay ang ilang oras ay nasa pagkakasunud-sunod ng bilyun-bilyong taon.
meron siyang theorems na parang kinatay na aso sa Korea...
spherical ang universe... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Kahapon inanunsyo ng mga scientist na ang uniberso ay isang frozen substance... at humingi ng maraming pera para patunayan ito... muling bubuksan ng mga Meriko ang printing press... para sa libangan ng mga ulo ng itlog...
Subukan upang patunayan kung saan ay pataas at pababa sa zero gravity.
Kahapon mayroong isang kahanga-hangang pelikula sa KULTURA, kung saan ang problemang ito ay ipinaliwanag nang detalyado. Baka meron pa sila?
http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
Mag-log in sa Yandex at magsulat ng Pelikula tungkol kay Perelman at pumunta sa pelikula

Grigory Perelman. refusenik

Vasily Maksimov

Noong Agosto 2006, ang mga pangalan ng pinakamahusay na mathematician sa planeta ay inihayag na nakatanggap ng prestihiyosong Fields Medal - isang uri ng analogue ng Nobel Prize, na ang mga mathematician, sa kapritso ni Alfred Nobel, ay binawian. Ang Fields Medal - bilang karagdagan sa isang badge ng karangalan, ang mga nanalo ay iginawad sa isang tseke para sa labinlimang libong Canadian dollars - ay iginagawad ng International Congress of Mathematicians tuwing apat na taon. Ito ay itinatag ng Canadian scientist na si John Charles Fields at unang ginawaran noong 1936. Mula noong 1950, ang Fields Medal ay regular na iginawad ng Hari ng Espanya para sa kanyang kontribusyon sa pag-unlad ng agham matematika. Ang mga nanalo ng premyo ay maaaring mula sa isa hanggang apat na siyentipiko na wala pang apatnapung taong gulang. Apatnapu't apat na mathematician, kabilang ang walong Russian, ay nakatanggap na ng premyo.

Grigory Perelman. Henri Poincaré.

Noong 2006, ang mga nagwagi ay ang Frenchman na si Wendelin Werner, ang Australian Terence Tao at dalawang Russian - Andrey Okunkov na nagtatrabaho sa USA at Grigory Perelman, isang scientist mula sa St. Petersburg. Gayunpaman, sa huling sandali ay nalaman na tinanggihan ni Perelman ang prestihiyosong parangal na ito - tulad ng inihayag ng mga tagapag-ayos, "para sa mga kadahilanan ng prinsipyo."

Ang gayong labis na pagkilos ng Russian mathematician ay hindi naging sorpresa sa mga taong nakakakilala sa kanya. Hindi ito ang unang pagkakataon na tumanggi siya sa mga parangal sa matematika, na nagpapaliwanag sa kanyang desisyon sa pagsasabing hindi niya gusto ang mga seremonyal na kaganapan at hindi kinakailangang hype sa kanyang pangalan. Sampung taon na ang nakalilipas, noong 1996, tinanggihan ni Perelman ang premyo ng European Mathematical Congress, na binanggit ang katotohanan na hindi niya natapos ang gawain sa problemang pang-agham na hinirang para sa award, at hindi ito ang huling kaso. Tila ginawa ng Russian mathematician na layunin ng kanyang buhay na sorpresahin ang mga tao, laban sa opinyon ng publiko at sa komunidad ng siyensya.

Si Grigory Yakovlevich Perelman ay ipinanganak noong Hunyo 13, 1966 sa Leningrad. Mula sa isang murang edad, mahilig siya sa mga eksaktong agham, mahusay na nagtapos mula sa sikat na ika-239 na sekondaryang paaralan na may malalim na pag-aaral ng matematika, nanalo ng maraming mathematical Olympiad: halimbawa, noong 1982, bilang bahagi ng isang pangkat ng mga mag-aaral sa Sobyet, lumahok siya. sa International Mathematical Olympiad, na ginanap sa Budapest. Nang walang pagsusulit, si Perelman ay naka-enrol sa Faculty of Mechanics and Mathematics sa Leningrad University, kung saan nag-aral siya nang may mahusay na mga marka, na patuloy na nanalo sa mga kumpetisyon sa matematika sa lahat ng antas. Pagkatapos ng graduating mula sa unibersidad na may karangalan, siya ay pumasok sa graduate school sa St. Petersburg sangay ng Steklov Mathematical Institute. Ang kanyang siyentipikong superbisor ay ang sikat na mathematician na Academician na si Aleksandrov. Ang pagkakaroon ng pagtatanggol sa kanyang Ph.D. thesis, si Grigory Perelman ay nanatili sa instituto, sa laboratoryo ng geometry at topology. Ang kanyang trabaho sa teorya ng mga puwang ng Alexandrov ay kilala; nakahanap siya ng ebidensya para sa ilang mahahalagang haka-haka. Sa kabila ng maraming alok mula sa mga nangungunang unibersidad sa Kanluran, mas pinipili ni Perelman na magtrabaho sa Russia.

Ang kanyang pinakakilalang tagumpay ay ang solusyon noong 2002 ng sikat na haka-haka ng Poincaré, na inilathala noong 1904 at mula noon ay nanatiling hindi napatunayan. Si Perelman ay nagtrabaho dito sa loob ng walong taon. Ang haka-haka ng Poincaré ay itinuturing na isa sa mga pinakadakilang misteryo sa matematika, at ang solusyon nito ay itinuturing na pinakamahalagang tagumpay sa agham matematika: ito ay agad na magsusulong ng pananaliksik sa mga problema ng pisikal at matematikal na pundasyon ng uniberso. Ang pinakatanyag na mga isip sa planeta ay hinulaang ang solusyon nito sa loob lamang ng ilang dekada, at ang Clay Institute of Mathematics sa Cambridge, Massachusetts, ay isinama ang problemang Poincaré sa pitong pinakakawili-wiling hindi nalutas na mga problema sa matematika ng milenyo, para sa solusyon ng bawat isa. isang milyong dolyar na premyo ang ipinangako (Millennium Prize Problems). .

Ang haka-haka (minsan ay tinatawag na problema) ng Pranses na matematiko na si Henri Poincaré (1854–1912) ay nabuo bilang mga sumusunod: anumang saradong simpleng konektado na three-dimensional na espasyo ay homeomorphic sa isang three-dimensional na globo. Upang linawin, gumamit ng isang malinaw na halimbawa: kung ibalot mo ang isang mansanas na may goma, kung gayon, sa prinsipyo, sa pamamagitan ng paghigpit ng tape, maaari mong i-compress ang mansanas sa isang punto. Kung ibalot mo ang isang donut gamit ang parehong tape, hindi mo ito mai-compress sa isang punto nang hindi mapunit ang donut o ang goma. Sa kontekstong ito, ang isang mansanas ay tinatawag na isang "simpleng konektado" na figure, ngunit ang isang donut ay hindi lamang konektado. Halos isang daang taon na ang nakalilipas, itinatag ni Poincaré na ang isang two-dimensional na globo ay konektado lamang, at iminungkahi na ang isang three-dimensional na globo ay konektado din. Ang pinakamahusay na mga matematiko sa mundo ay hindi maaaring patunayan ang hypothesis na ito.

Upang maging kwalipikado para sa Clay Institute Prize, kailangan lamang ni Perelman na i-publish ang kanyang solusyon sa isa sa mga siyentipikong journal, at kung sa loob ng dalawang taon ay walang makakahanap ng pagkakamali sa kanyang mga kalkulasyon, kung gayon ang solusyon ay maituturing na tama. Gayunpaman, lumihis si Perelman sa mga patakaran mula sa simula, na inilathala ang kanyang desisyon sa preprint na website ng Los Alamos Scientific Laboratory. Marahil siya ay natatakot na ang isang error ay crept sa kanyang mga kalkulasyon - isang katulad na kuwento ay nangyari na sa matematika. Noong 1994, iminungkahi ng English mathematician na si Andrew Wiles ang isang solusyon sa sikat na theorem ni Fermat, at pagkalipas ng ilang buwan, napag-alaman na ang isang error ay pumasok sa kanyang mga kalkulasyon (bagaman ito ay naitama sa kalaunan, at naganap pa rin ang sensasyon). Wala pa ring opisyal na publikasyon ng patunay ng haka-haka ng Poincaré, ngunit mayroong isang awtoritatibong opinyon ng pinakamahusay na mga matematiko sa planeta na nagpapatunay sa kawastuhan ng mga kalkulasyon ni Perelman.

Ang Fields Medal ay iginawad kay Grigory Perelman para sa paglutas ng problema sa Poincaré. Ngunit tinanggihan ng siyentipikong Ruso ang premyo, na walang alinlangan na nararapat sa kanya. "Sinabi sa akin ni Gregory na pakiramdam niya ay nakahiwalay siya sa internasyonal na komunidad ng matematika, sa labas ng komunidad na ito, at samakatuwid ay ayaw niyang tumanggap ng parangal," sabi ng Englishman na si John Ball, presidente ng World Union of Mathematicians (WUM), sa isang press conference sa Madrid.

May mga alingawngaw na ganap na aalis si Grigory Perelman sa agham: anim na buwan na ang nakalilipas ay nagbitiw siya sa kanyang katutubong Steklov Mathematical Institute, at sinabi nila na hindi na siya mag-aaral ng matematika. Marahil ang Russian scientist ay naniniwala na sa pamamagitan ng pagpapatunay sa sikat na hypothesis, ginawa niya ang lahat ng kanyang makakaya para sa agham. Ngunit sino ang magsisikap na talakayin ang tren ng pag-iisip ng gayong matalinong siyentipiko at pambihirang tao?.. Tumanggi si Perelman ng anumang komento, at sinabi niya sa pahayagang The Daily Telegraph: “Wala sa masasabi ko ang kaunting interes ng publiko.” Gayunpaman, ang nangungunang mga publikasyong pang-agham ay nagkakaisa sa kanilang mga pagtatasa nang iulat nila na "Grigory Perelman, nang malutas ang Poincaré theorem, ay tumayo sa isang par na may pinakadakilang mga henyo ng nakaraan at kasalukuyan."

Buwanang pampanitikan at journalistic na magasin at publishing house.

Naniniwala ang mga siyentipiko na ang 38-taong-gulang na Russian mathematician na si Grigory Perelman ay nagmungkahi ng tamang solusyon sa problemang Poincaré. Si Keith Devlin, isang propesor ng matematika sa Stanford University, ay nagsabi nito sa pagdiriwang ng agham sa Exeter (UK).

Ang problema ni Poincaré (tinatawag ding problema o hypothesis) ay isa sa pitong pinakamahahalagang problema sa matematika, para sa solusyon sa bawat isa kung saan iginawad niya ang premyo na isang milyong dolyar. Ito ang nakaakit ng malawakang pansin sa mga resultang nakuha ni Grigory Perelman, isang empleyado ng laboratoryo ng matematikal na pisika.

Nalaman ng mga siyentipiko sa buong mundo ang tungkol sa mga nagawa ni Perelman mula sa dalawang preprint (mga artikulo bago ang isang ganap na publikasyong siyentipiko), na nai-post ng may-akda noong Nobyembre 2002 at Marso 2003 sa website ng archive ng mga paunang gawa ng Los Alamos Scientific Laboratory.

Ayon sa mga patakarang pinagtibay ng Scientific Advisory Board ng Clay Institute, ang isang bagong hypothesis ay dapat na mai-publish sa isang espesyal na journal ng "internasyonal na reputasyon." Bilang karagdagan, ayon sa mga patakaran ng Institute, ang desisyon na magbayad ng premyo ay sa huli ay ginawa ng "mathematical community": ang patunay ay hindi dapat pabulaanan sa loob ng dalawang taon pagkatapos ng publikasyon. Ang bawat patunay ay sinusuri ng mga mathematician sa iba't ibang bansa sa mundo.

Problema sa Poincaré

Ipinanganak noong Hunyo 13, 1966 sa Leningrad, sa isang pamilya ng mga empleyado. Nagtapos siya sa sikat na sekondaryang paaralan No. 239 na may malalim na pag-aaral ng matematika. Noong 1982, bilang bahagi ng isang pangkat ng mga mag-aaral sa Sobyet, lumahok siya sa International Mathematical Olympiad, na ginanap sa Budapest. Siya ay naka-enrol sa matematika at mechanics sa Leningrad State University nang walang pagsusulit. Nanalo siya ng faculty, city at all-Union student mathematical Olympiads. Nakatanggap ng Lenin scholarship. Matapos makapagtapos sa unibersidad, pumasok si Perelman sa graduate school sa sangay ng St. Petersburg ng Steklov Mathematical Institute. Kandidato ng Physical and Mathematical Sciences. Gumagana sa laboratoryo ng mathematical physics.

Ang problema ng Poincaré ay nauugnay sa lugar ng tinatawag na topology ng manifolds - mga puwang na nakaayos sa isang espesyal na paraan na may iba't ibang mga sukat. Ang dalawang-dimensional na manifold ay maaaring makita, halimbawa, gamit ang halimbawa ng ibabaw ng tatlong-dimensional na katawan - isang globo (ibabaw ng bola) o torus (ibabaw ng isang donut).

Madaling isipin kung ano ang mangyayari sa isang lobo kung ito ay deformed (baluktot, baluktot, hinila, pinipiga, naipit, naimpis o napalaki). Malinaw na sa lahat ng mga pagpapapangit sa itaas, babaguhin ng bola ang hugis nito sa isang malawak na hanay. Gayunpaman, hinding-hindi namin magagawang gawing donut ang bola (o kabaliktaran) nang hindi masira ang pagpapatuloy ng ibabaw nito, iyon ay, nang hindi ito mapunit. Sa kasong ito, sinasabi ng mga topologist na ang globo (bola) ay hindi homeomorphic sa torus (donut). Nangangahulugan ito na ang mga ibabaw na ito ay hindi maaaring imapa sa isa't isa. Sa simpleng mga termino, ang isang globo at isang torus ay naiiba sa kanilang mga topological na katangian. At ang ibabaw ng isang lobo, sa ilalim ng lahat ng posibleng mga pagpapapangit nito, ay homeomorphic sa isang globo, tulad ng ibabaw ng isang lifebuoy ay sa isang torus. Sa madaling salita, ang anumang saradong two-dimensional na ibabaw na walang mga butas ay may parehong topological na katangian bilang isang two-dimensional na globo.

TOPOLOGY, isang sangay ng matematika na tumatalakay sa pag-aaral ng mga katangian ng mga figure (o mga puwang) na napanatili sa ilalim ng tuluy-tuloy na mga pagpapapangit, tulad ng pag-uunat, pag-compress o pagyuko. Ang tuluy-tuloy na pagpapapangit ay isang pagpapapangit ng isang pigura kung saan walang mga break (i.e., paglabag sa integridad ng figure) o gluing (i.e., pagkakakilanlan ng mga punto nito).
TOPOLOGICAL TRANSFORMATION ng isang geometric figure patungo sa isa pa ay isang pagmamapa ng isang arbitrary point P ng unang figure sa point P' ng isa pang figure, na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: 1) bawat point P ng unang figure ay dapat tumutugma sa isa at isa lamang point P' ng pangalawang figure, at vice versa; 2) Ang pagmamapa ay dapat na tuloy-tuloy sa isa't isa. Halimbawa, mayroong dalawang puntos na P at N na kabilang sa parehong pigura. Kung, kapag ang puntong P ay lumipat sa puntong N, ang distansya sa pagitan ng mga ito ay may posibilidad na zero, kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga puntong P' at N' ng isa pang figure ay dapat ding maging zero, at kabaliktaran.
HOMEOMORPHISM. Ang mga geometric figure na nagbabago sa isa't isa sa panahon ng topological transformations ay tinatawag na homeomorphic. Ang bilog at ang hangganan ng isang parisukat ay homeomorphic, dahil maaari silang ma-convert sa isa't isa sa pamamagitan ng isang topological na pagbabagong-anyo (ibig sabihin, baluktot at pag-uunat nang walang paglabag o gluing, halimbawa, pag-uunat ng hangganan ng isang parisukat sa bilog na nakapaligid sa paligid nito) . Ang isang rehiyon kung saan ang anumang saradong simple (i.e., homeomorphic sa isang bilog) na kurba ay maaaring ikontrata sa isang punto habang nananatili sa rehiyong ito sa lahat ng oras ay tinatawag na simpleng konektado, at ang kaukulang pag-aari ng rehiyon ay konektado lamang. Kung ang ilang saradong simpleng kurba ng rehiyong ito ay hindi makontrata sa isang punto, na natitira sa lahat ng oras sa rehiyong ito, kung gayon ang rehiyon ay tinatawag na multiply na konektado, at ang kaukulang pag-aari ng rehiyon ay tinatawag na multiply na konektado.

Ang problema ni Poincaré ay nagsasaad ng parehong bagay para sa tatlong-dimensional na manifold (para sa dalawang-dimensional na manifold, tulad ng globo, ang puntong ito ay napatunayan noong ika-19 na siglo). Gaya ng nabanggit ng French mathematician, isa sa pinakamahalagang katangian ng isang two-dimensional na globo ay ang anumang saradong loop (halimbawa, isang laso) na nakahiga dito ay maaaring hilahin sa isang punto nang hindi umaalis sa ibabaw. Para sa torus, hindi ito palaging totoo: ang loop na dumadaan sa butas nito ay hihilahin sa isang punto kapag nasira ang torus, o kapag nasira ang loop mismo. Noong 1904, iminungkahi ni Poincaré na kung ang isang loop ay maaaring magkontrata sa isang punto sa isang saradong three-dimensional na ibabaw, kung gayon ang naturang ibabaw ay homeomorphic sa isang three-dimensional na globo. Ang pagpapatunay sa hypothesis na ito ay naging isang napakahirap na gawain.

Agad nating linawin: ang pagbabalangkas ng problemang Poincaré na binanggit natin ay hindi nagsasalita tungkol sa isang three-dimensional na bola, na maaari nating isipin nang walang labis na kahirapan, ngunit tungkol sa isang three-dimensional na globo, iyon ay, tungkol sa ibabaw ng isang apat. -dimensional na bola, na mas mahirap isipin. Ngunit noong huling bahagi ng 1950s, biglang naging malinaw na ang mga high-dimensional na manifold ay mas madaling gamitin kaysa sa tatlo at apat na dimensyon. Malinaw, ang kakulangan ng kalinawan ay malayo sa pangunahing kahirapan na kinakaharap ng mga mathematician sa kanilang pananaliksik.

Ang isang problemang katulad ng sa Poincaré para sa mga sukat na 5 at mas mataas ay nalutas noong 1960 nina Stephen Smale, John Stallings, at Andrew Wallace. Ang mga diskarte na ginamit ng mga siyentipikong ito, gayunpaman, ay naging hindi naaangkop sa mga four-dimensional na manifold. Para sa kanila, ang problema sa Poincaré ay napatunayan lamang noong 1981 ni Michael Freedman. Ang tatlong-dimensional na kaso ay naging pinakamahirap; Iminungkahi ni Grigory Perelman ang kanyang solusyon.

Dapat tandaan na may karibal si Perelman. Noong Abril 2002, iminungkahi ni Martin Dunwoody, isang propesor ng matematika sa British University of Southampton, ang kanyang pamamaraan para sa paglutas ng problema sa Poincaré at ngayon ay naghihintay ng hatol mula sa Clay Institute.

Naniniwala ang mga eksperto na ang paglutas sa problema ng Poincaré ay gagawing posible na gumawa ng isang seryosong hakbang sa matematikal na paglalarawan ng mga pisikal na proseso sa mga kumplikadong three-dimensional na bagay at magbibigay ng bagong impetus sa pagbuo ng topology ng computer. Ang pamamaraan na iminungkahi ni Grigory Perelman ay hahantong sa pagbubukas ng isang bagong direksyon sa geometry at topology. Ang St. Petersburg mathematician ay maaaring maging kwalipikado para sa Fields Prize (katulad ng Nobel Prize, na hindi iginawad sa matematika).

Samantala, nakita ng ilan na kakaiba ang ugali ni Grigory Perelman. Ganito ang isinulat ng pahayagan sa Britanya na The Guardian: "Malamang, tama ang diskarte ni Perelman sa paglutas ng problema sa Poincaré. Ngunit hindi lahat ay napakasimple. Hindi nagbibigay si Perelman ng katibayan na ang akda ay inilathala bilang isang ganap na publikasyong siyentipiko (preprints). ay hindi itinuturing na ganoon). At ito ay kinakailangan kung ang isang tao ay nais na makatanggap ng isang parangal mula sa Clay Institute. Bukod dito, hindi siya nagpapakita ng anumang interes sa pera."

Tila, para kay Grigory Perelman, tulad ng para sa isang tunay na siyentipiko, hindi pera ang pangunahing bagay. Para sa paglutas ng alinman sa tinatawag na "mga problema sa milenyo", ang isang tunay na matematiko ay ibebenta ang kanyang kaluluwa sa diyablo.

Listahan ng Milenyo

Noong Agosto 8, 1900, sa International Congress of Mathematics sa Paris, binalangkas ng mathematician na si David Hilbert ang isang listahan ng mga problema na pinaniniwalaan niyang kailangang lutasin sa ikadalawampu siglo. Mayroong 23 aytem sa listahan. Dalawampu't isa sa mga ito ay nalutas na sa ngayon. Ang huling problema sa listahan ni Hilbert na malulutas ay ang tanyag na teorama ni Fermat, na hindi nalutas ng mga siyentipiko sa loob ng 358 taon. Noong 1994, iminungkahi ng Briton na si Andrew Wiles ang kanyang solusyon. Ito ay naging totoo.

Kasunod ng halimbawa ni Gilbert, sa pagtatapos ng huling siglo, sinubukan ng maraming mathematician na bumalangkas ng katulad na mga estratehikong gawain para sa ika-21 siglo. Ang isa sa mga listahang ito ay naging malawak na kilala salamat sa Boston billionaire na si Landon T. Clay. Noong 1998, kasama ang kanyang mga pondo, ang mga premyo ay itinatag at itinatag sa Cambridge (Massachusetts, USA) para sa paglutas ng ilang pinakamahahalagang problema ng modernong matematika. Noong Mayo 24, 2000, ang mga eksperto ng instituto ay pumili ng pitong problema - ayon sa bilang ng milyun-milyong dolyar na inilaan para sa premyo. Ang listahan ay tinatawag na Millennium Prize Problems:

1. Ang problema ni Cook (na nabuo noong 1971)

Sabihin nating ikaw, na nasa isang malaking kumpanya, ay gustong tiyakin na naroon din ang iyong kaibigan. Kung sasabihin nila sa iyo na siya ay nakaupo sa sulok, pagkatapos ay isang split segundo ay sapat na para sa iyo upang tingnan at kumbinsido sa katotohanan ng impormasyon. Kung wala ang impormasyong ito, mapipilitan kang maglakad sa buong silid, tinitingnan ang mga bisita. Ito ay nagpapahiwatig na ang paglutas ng isang problema ay kadalasang tumatagal ng mas matagal kaysa sa pagsuri sa kawastuhan ng solusyon.

Si Stephen Cook ang bumalangkas ng problema: maaaring mas matagal ang pagsusuri sa katumpakan ng isang solusyon sa isang problema kaysa sa pagkuha ng solusyon mismo, anuman ang algorithm ng pag-verify. Ang problemang ito ay isa rin sa mga hindi nalutas na problema sa larangan ng lohika at computer science. Maaaring baguhin ng solusyon nito ang mga batayan ng cryptography na ginagamit sa paghahatid at pag-iimbak ng data.

2. Riemann hypothesis (na nabuo noong 1859)

Ang ilang mga integer ay hindi maaaring ipahayag bilang produkto ng dalawang mas maliliit na integer, gaya ng 2, 3, 5, 7, at iba pa. Ang mga nasabing numero ay tinatawag na mga prime number at may mahalagang papel sa purong matematika at mga aplikasyon nito. Ang pamamahagi ng mga prime number sa mga serye ng lahat ng natural na numero ay hindi sumusunod sa anumang pattern. Gayunpaman, ang Aleman na matematiko na si Riemann ay gumawa ng isang haka-haka tungkol sa mga katangian ng isang pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero. Kung mapatunayan ang Riemann Hypothesis, hahantong ito sa isang rebolusyonaryong pagbabago sa ating kaalaman sa pag-encrypt at isang hindi pa naganap na tagumpay sa seguridad sa Internet.

3. Birch at Swinnerton-Dyer hypothesis (na nabuo noong 1960)

Nauugnay sa paglalarawan ng hanay ng mga solusyon sa ilang algebraic equation sa ilang variable na may integer coefficient. Ang isang halimbawa ng naturang equation ay ang expression x 2 + y 2 = z 2. Nagbigay si Euclid ng kumpletong paglalarawan ng mga solusyon sa equation na ito, ngunit para sa mas kumplikadong mga equation, ang paghahanap ng mga solusyon ay nagiging lubhang mahirap.

4. Ang hypothesis ni Hodge (na nabuo noong 1941)

Noong ika-20 siglo, natuklasan ng mga mathematician ang isang makapangyarihang paraan para sa pag-aaral ng hugis ng mga kumplikadong bagay. Ang pangunahing ideya ay ang paggamit ng mga simpleng "brick" sa halip na ang bagay mismo, na pinagsama-sama at bumubuo ng pagkakahawig nito. Ang hypothesis ni Hodge ay nauugnay sa ilang mga pagpapalagay tungkol sa mga katangian ng naturang "mga bloke ng gusali" at mga bagay.

5. Navier - Stokes equation (binuo noong 1822)

Kung maglalayag ka sa isang bangka sa isang lawa, ang mga alon ay babangon, at kung ikaw ay lilipad sa isang eroplano, ang magulong alon ay babangon sa himpapawid. Ipinapalagay na ang mga ito at iba pang phenomena ay inilalarawan ng mga equation na kilala bilang ang Navier-Stokes equation. Ang mga solusyon sa mga equation na ito ay hindi alam, at hindi rin alam kung paano lutasin ang mga ito. Ito ay kinakailangan upang ipakita na ang isang solusyon ay umiiral at ito ay isang sapat na maayos na pag-andar. Ang paglutas ng problemang ito ay makabuluhang magbabago sa mga pamamaraan ng pagsasagawa ng hydro- at aerodynamic na mga kalkulasyon.

6. Problema sa Poincaré (nabuo noong 1904)

Kung hilahin mo ang isang goma na banda sa ibabaw ng isang mansanas, maaari mong, sa pamamagitan ng dahan-dahang paggalaw ng banda nang hindi ito itinataas mula sa ibabaw, maaari mong i-compress ito sa isang punto. Sa kabilang banda, kung ang parehong rubber band ay angkop na nakaunat sa paligid ng isang donut, walang paraan upang i-compress ang banda sa isang punto nang hindi mapunit ang tape o masira ang donut. Sinasabi nila na ang ibabaw ng isang mansanas ay konektado lamang, ngunit ang ibabaw ng isang donut ay hindi. Ito ay naging napakahirap patunayan na tanging ang globo lamang ang konektado na ang mga mathematician ay naghahanap pa rin ng tamang sagot.

7. Mga equation ng Yang-Mills (na nabuo noong 1954)

Ang mga equation ng quantum physics ay naglalarawan sa mundo ng elementarya na mga particle. Ang mga physicist na sina Young at Mills, na natuklasan ang koneksyon sa pagitan ng geometry at particle physics, ay sumulat ng kanilang mga equation. Kaya, nakahanap sila ng paraan upang pag-isahin ang mga teorya ng electromagnetic, mahina at malakas na pakikipag-ugnayan. Ang mga equation ng Yang-Mills ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng mga particle na aktwal na naobserbahan sa mga laboratoryo sa buong mundo, kaya ang Yang-Mills theory ay tinatanggap ng karamihan sa mga physicist sa kabila ng katotohanan na sa loob ng balangkas ng teoryang ito ay hindi pa rin posible na mahulaan ang masa ng elementarya na mga particle.

Mikhail Vitebsky

"Ang problema na nalutas Perelman, ay ang pangangailangan upang patunayan ang isang hypothesis na iniharap noong 1904 ng mahusay na Pranses na matematiko Henri Poincaré(1854-1912) at nagtataglay ng kanyang pangalan. Mahirap magsabi ng mas mahusay tungkol sa papel ng Poincaré sa matematika kaysa sa encyclopedia: “Ang mga gawa ni Poincaré sa larangan ng matematika, sa isang banda, ay kumukumpleto sa klasikal na direksyon, at sa kabilang banda, nagbubukas ng daan tungo sa pag-unlad. ng bagong matematika, kung saan, kasama ng mga quantitative na relasyon, ang mga katotohanan ay itinatag na may katangiang husay" (TSB, 3rd ed., vol. 2). Ang haka-haka ng Poincaré ay tiyak na may likas na katangian - tulad ng buong larangan ng matematika (lalo na ang topology) kung saan ito nauugnay at sa paglikha kung saan kinuha ni Poincaré ang isang mapagpasyang bahagi.

Sa modernong wika, ang haka-haka ng Poincaré ay ganito: bawat simpleng konektadong compact three-dimensional manifold na walang hangganan ay homeomorphic sa isang three-dimensional na globo.

Sa mga sumusunod na talata, susubukan naming ipaliwanag ang kahulugan ng nakakatakot na verbal formula na ito kahit bahagya man lang. Upang magsimula, tandaan namin na ang isang ordinaryong globo, na siyang ibabaw ng isang ordinaryong bola, ay dalawang-dimensional (at ang bola mismo ay tatlong-dimensional). Ang dalawang-dimensional na globo ay binubuo ng lahat ng mga punto ng tatlong-dimensional na espasyo na katumbas ng layo mula sa ilang napiling punto, na tinatawag na sentro, na hindi kabilang sa globo. Ang isang three-dimensional na sphere ay binubuo ng lahat ng mga punto ng four-dimensional na espasyo na katumbas ng layo mula sa gitna nito (na hindi kabilang sa globo). Hindi tulad ng mga two-dimensional na sphere, mga three-dimensional na sphere hindi magagamit ang aming direktang pagmamasid, at mahirap para sa amin na isipin ang mga ito tulad ng para kay Vasily Ivanovich na isipin ang square trinomial mula sa sikat na biro. Posible, gayunpaman, na tayong lahat ay nasa three-dimensional na globo, iyon ay, na ang ating Uniberso ay isang three-dimensional na globo.

Ito ang kahulugan ng resulta Perelman para sa pisika at astronomiya. Ang terminong "simpleng konektado compact three-dimensional manifold na walang gilid" ay naglalaman ng mga indikasyon ng mga dapat na katangian ng ating Uniberso. Ang terminong "homeomorphic" ay nangangahulugang isang tiyak na mataas na antas ng pagkakatulad, sa isang tiyak na kahulugan, hindi maaaring makilala. Ang pormulasyon sa kabuuan ay nangangahulugan, samakatuwid, na kung ang ating Uniberso ay may lahat ng mga katangian ng isang simpleng konektadong compact three-dimensional na manifold na walang gilid, kung gayon ito - sa parehong "kilalang kahulugan" - ay isang three-dimensional na globo.

Ang konsepto ng simpleng pagkakakonekta ay isang medyo simpleng konsepto. Isipin natin ang isang goma na banda (iyon ay, isang goma na sinulid na may nakadikit na mga dulo) na napakababanat na kung hindi mo ito hinawakan, ito ay lumiliit sa isang punto. Hihilingin din namin mula sa aming nababanat na banda na kapag hinila sa isang punto, hindi ito lalampas sa ibabaw kung saan namin ito inilagay. Kung iuunat natin ang tulad ng isang nababanat na banda sa isang eroplano at ilalabas ito, ito ay agad na lumiliit sa isang punto. Ang parehong bagay ay mangyayari kung maglalagay tayo ng isang nababanat na banda sa ibabaw ng isang globo, iyon ay, sa isang globo. Para sa ibabaw ng isang lifebuoy, ang sitwasyon ay magiging ganap na naiiba: ang mabait na mambabasa ay madaling makahanap ng gayong mga kaayusan ng nababanat sa ibabaw na ito kung saan imposibleng hilahin ang nababanat sa isang punto nang hindi lalampas sa ibabaw na pinag-uusapan. Ang isang geometric na figure ay tinatawag na simpleng konektado kung anumang saradong tabas na matatagpuan sa loob ng mga limitasyon ng figure na ito ay maaaring kinontrata sa isang punto nang hindi lalampas sa pinangalanang mga limitasyon. Ngayon lang natin nakita na ang eroplano at ang globo ay konektado lamang, ngunit ang ibabaw ng lifebuoy ay hindi basta-basta konektado. Ang isang eroplano na may butas na hiwa sa loob nito ay hindi rin basta konektado. Nalalapat din ang konsepto ng simpleng pagkakakonekta sa mga three-dimensional na figure. Kaya, ang isang kubo at isang bola ay konektado lamang: ang anumang saradong tabas na matatagpuan sa kanilang kapal ay maaaring makontrata sa isang punto, at sa panahon ng proseso ng pag-urong ang tabas ay palaging mananatili sa kapal na ito. Ngunit ang bagel ay hindi lamang konektado: dito maaari kang makahanap ng isang tabas na hindi maaaring makontrata sa isang punto upang sa panahon ng proseso ng pag-urong ang tabas ay palaging nasa kuwarta ng bagel. Ang pretzel ay hindi rin monoconnected. Mapapatunayan na ang three-dimensional na globo ay konektado lamang.

Inaasahan namin na ang mambabasa ay hindi nakalimutan ang pagkakaiba sa pagitan ng isang segment at isang agwat, na itinuro sa paaralan. Ang isang segment ay may dalawang dulo; binubuo ito ng mga dulong ito at lahat ng mga puntong matatagpuan sa pagitan ng mga ito. Ang isang agwat ay binubuo lamang ng lahat ng mga punto na matatagpuan sa pagitan ng mga dulo nito; ang mga dulo mismo ay hindi kasama sa agwat: maaari nating sabihin na ang isang agwat ay isang segment na ang mga dulo ay inalis mula dito, at ang isang segment ay isang agwat na may mga dulo na idinagdag sa ito. Ang interval at segment ay ang pinakasimpleng halimbawa ng one-dimensional manifold, kung saan ang interval ay manifold na walang gilid, at ang segment ay manifold na may gilid; ang isang gilid sa kaso ng isang segment ay binubuo ng dalawang dulo. Ang pangunahing pag-aari ng mga manifold, na sumasailalim sa kanilang kahulugan, ay na sa manifold ang mga kapitbahayan ng lahat ng mga punto, maliban sa mga punto sa gilid (na maaaring hindi umiiral), ay nakaayos nang eksakto sa parehong paraan.

Sa kasong ito, ang kapitbahayan ng isang punto A ay ang koleksyon ng lahat ng mga punto na matatagpuan malapit sa puntong ito A. Ang isang mikroskopiko na nilalang na naninirahan sa isang manifold na walang gilid at may kakayahang makita lamang ang mga punto ng manifold na ito na pinakamalapit sa sarili nito ay hindi magagawang tukuyin kung saang punto ito, pagiging, ay: sa paligid nito ay palaging nakikita ang parehong bagay. Higit pang mga halimbawa ng isang-dimensional na manifold na walang gilid: ang buong tuwid na linya, isang bilog. Ang isang halimbawa ng isang one-dimensional figure na hindi isang manifold ay isang linya sa hugis ng letrang T: mayroong isang espesyal na punto, ang kapitbahayan kung saan ay hindi katulad ng kapitbahayan ng iba pang mga punto - ito ang punto kung saan tatlo nagtagpo ang mga segment. Ang isa pang halimbawa ng one-dimensional manifold ay isang figure-eight line; Apat na linya ang nagtatagpo sa isang espesyal na punto dito. Ang isang eroplano, isang sphere, at ang ibabaw ng isang lifebuoy ay mga halimbawa ng dalawang-dimensional na manifold na walang gilid. Ang isang eroplano na may butas na gupit dito ay magiging isang manifold din - ngunit mayroon o walang gilid, depende ito sa kung saan natin inilalagay ang balangkas ng butas. Kung isasangguni natin ito sa isang butas, makakakuha tayo ng isang manifold na walang gilid; kung iiwan natin ang tabas sa eroplano, nakakakuha tayo ng isang sari-sari na may gilid, na siyang magsisilbing tabas na ito. Siyempre, nasa isip namin dito ang isang perpektong pagputol ng matematika, at sa totoong pisikal na pagputol gamit ang gunting, ang tanong kung saan nabibilang ang tabas ay walang kahulugan.

Ang ilang mga salita tungkol sa tatlong-dimensional na manifold. Ang globo, kasama ang globo na nagsisilbing ibabaw nito, ay isang sari-sari na may gilid; ang ipinahiwatig na globo ay tiyak sa gilid na ito. Kung aalisin natin ang bolang ito mula sa nakapalibot na espasyo, makakakuha tayo ng isang manifold na walang gilid. Kung alisan ng balat ang ibabaw ng isang bola, makakakuha tayo ng tinatawag na "sanded ball" sa mathematical jargon, at isang bukas na bola sa mas siyentipikong wika. Kung aalisin namin ang isang bukas na bola mula sa nakapalibot na espasyo, makakakuha kami ng isang manifold na may isang gilid, at ang gilid ay ang mismong globo na aming pinunit mula sa bola. Ang bagel, kasama ang crust nito, ay isang three-dimensional na manifold na may gilid, at kung mapupunit mo ang crust (na tinatrato namin bilang walang katapusan na manipis, iyon ay, bilang isang ibabaw), makakakuha tayo ng isang manifold na walang gilid sa anyo ng isang "sanded bagel." Ang lahat ng espasyo sa kabuuan, kung mauunawaan natin ito gaya ng pagkaunawa sa mataas na paaralan, ay isang three-dimensional na manifold na walang gilid.

Ang konsepto ng matematika ng compactness ay bahagyang sumasalamin sa kahulugan ng salitang "compact" sa pang-araw-araw na Russian: "close", "compressed". Ang isang geometric na figure ay tinatawag na compact kung, para sa anumang pag-aayos ng isang walang katapusang bilang ng mga punto nito, sila ay naipon sa isa sa mga punto o sa maraming mga punto ng parehong figure. Ang isang segment ay compact: para sa anumang walang katapusang hanay ng mga punto nito sa segment ay mayroong kahit isang tinatawag na limit point, anumang kapitbahayan kung saan naglalaman ng walang katapusan na maraming elemento ng set na isinasaalang-alang. Ang isang agwat ay hindi siksik: maaari mong tukuyin ang isang hanay ng mga punto nito na naipon patungo sa dulo nito, at patungo lamang dito - ngunit ang dulo ay hindi kabilang sa pagitan!

Dahil sa kakulangan ng espasyo, lilimitahan natin ang ating sarili sa komentaryong ito. Sabihin na lang natin na sa mga halimbawang napag-isipan natin, ang mga compact ay isang segment, isang bilog, isang globo, ang mga ibabaw ng isang bagel at isang pretzel, isang bola (kasama ang globo nito), isang bagel at isang pretzel (kasama ang mga crust nito). Sa kabaligtaran, ang interval, plane, sanded ball, bagel at pretzel ay hindi compact. Kabilang sa mga three-dimensional na compact geometric na figure na walang gilid, ang pinakasimpleng ay ang three-dimensional na globo, ngunit ang mga naturang figure ay hindi magkasya sa aming karaniwang espasyo ng "paaralan". Marahil ang pinakamalalim sa mga konseptong iyon na konektado ng hypothesis Poincare, ay ang konsepto ng homeomorphy. Ang Homeomorphy ay ang pinakamataas na antas ng geometric na pagkakapareho . Ngayon ay susubukan naming magbigay ng tinatayang paliwanag ng konseptong ito sa pamamagitan ng unti-unting paglapit dito.

Nasa school geometry na tayo nakatagpo ng dalawang uri ng pagkakapareho - ang congruence ng mga figure at ang kanilang pagkakatulad. Alalahanin na ang mga figure ay tinatawag na congruent kung sila ay nagtutugma sa isa't isa kapag pinatong. Sa paaralan, ang mga magkakaparehong numero ay tila hindi nakikilala, at samakatuwid ang pagkakapareho ay tinatawag na pagkakapantay-pantay. Ang mga congruent figure ay may parehong mga sukat sa lahat ng kanilang mga detalye. Ang pagkakatulad, nang hindi nangangailangan ng parehong laki, ay nangangahulugan ng parehong mga proporsyon ng mga sukat na ito; samakatuwid, ang pagkakatulad ay sumasalamin sa isang mas mahalagang pagkakatulad ng mga numero kaysa sa congruence. Ang geometry sa pangkalahatan ay isang mas mataas na antas ng abstraction kaysa sa pisika, at ang pisika ay mas mataas kaysa sa mga materyal na agham.

Kunin halimbawa ang ball bearing, billiard ball, croquet ball at ball. Ang pisika ay hindi sumasalamin sa mga detalye tulad ng materyal na kung saan sila ginawa, ngunit interesado lamang sa mga katangian tulad ng dami, timbang, electrical conductivity, atbp. Para sa matematika, lahat sila ay mga bola, na naiiba lamang sa laki. Kung ang mga bola ay may iba't ibang laki, magkaiba ang mga ito para sa metric geometry, ngunit pareho silang lahat para sa geometry ng pagkakatulad. Mula sa punto ng view ng geometry, ang lahat ng mga bola at lahat ng mga cube ay magkatulad, ngunit ang isang bola at isang cube ay hindi pareho.

Ngayon tingnan natin ang torus. Ang tuktok ay ang geometric na pigura na ang hugis ay parang manibela at lifebuoy. Ang Encyclopedia ay tumutukoy sa torus bilang isang pigura na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog sa paligid ng isang axis na matatagpuan sa labas ng bilog. Hinihimok namin ang mabait na mambabasa na mapagtanto na ang bola at ang kubo ay "mas magkatulad" sa isa't isa kaysa sa bawat isa sa kanila na may torus. Ang sumusunod na eksperimento sa pag-iisip ay nagbibigay-daan sa amin na punan ang intuitive na kamalayan na ito ng tumpak na kahulugan. Isipin natin ang isang bola na gawa sa isang materyal na napakalambot na maaari itong baluktot, iunat, i-compress at, sa pangkalahatan, ma-deform sa anumang paraan na gusto mo - hindi lamang maaaring punitin o idikit. Malinaw, ang bola ay maaaring maging isang kubo, ngunit imposibleng maging torus. Tinukoy ng paliwanag ng diksyunaryo ng Ushakov ang isang pretzel bilang isang pastry (sa literal: tulad ng isang buttery twisted bun) sa hugis ng letrang B. Sa lahat ng nararapat na paggalang sa napakagandang diksyunaryo na ito, ang mga salitang "sa hugis ng numero 8" ay mas tila sa akin. tumpak; Gayunpaman, mula sa punto ng view na ipinahayag sa konsepto ng homeomorphy, ang pagluluto sa hugis ng numero 8, pagluluto sa hugis ng titik B, at pagluluto sa hugis ng fita ay may parehong hugis. Kahit na ipinapalagay namin na ang mga panadero ay nakakuha ng kuwarta na may mga nabanggit na katangian ng pliability, imposible ang isang tinapay - nang walang luha at gluing! - hindi maging bagel o pretzel, tulad ng huling dalawang baked goods sa isa't isa. Ngunit maaari mong gawing kubo o pyramid ang isang spherical bun. Ang mabait na mambabasa ay walang alinlangan na makakahanap ng isang posibleng paraan ng pagluluto kung saan ang isang tinapay, o isang pretzel, o isang bagel ay hindi maaaring buksan.

Nang hindi pinangalanan ang konseptong ito, nakilala na natin ang homeomorphy. Ang dalawang figure ay tinatawag na homeomorphic kung ang isa ay maaaring mabago sa isa sa pamamagitan ng tuluy-tuloy (i.e., nang walang paglabag o gluing) pagpapapangit; ang mga naturang deformation mismo ay tinatawag na homeomorphism. Nalaman lang namin na ang bola ay homeomorphic sa cube at pyramid, ngunit hindi homeomorphic sa torus o pretzel, at ang huling dalawang katawan ay hindi homeomorphic sa isa't isa. Hinihiling namin sa mambabasa na maunawaan na nagbigay lamang kami ng isang tinatayang paglalarawan ng konsepto ng homeomorphy, na ibinigay sa mga tuntunin ng mekanikal na pagbabago.

Ating hawakan ang pilosopikal na aspeto ng konsepto ng homeomorphy. Isipin natin ang isang pag-iisip na naninirahan sa loob ng ilang geometric figure at Hindi pagkakaroon ng pagkakataong tingnan ang pigurang ito mula sa labas, "mula sa labas." Para sa kanya, ang pigura kung saan ito nakatira ay bumubuo sa Uniberso. Isipin din natin na kapag ang nakapaloob na pigura ay sumasailalim sa patuloy na pagpapapangit, ang nilalang ay nababago kasama nito. Kung ang figure na pinag-uusapan ay isang bola, kung gayon ang nilalang ay hindi maaaring makilala sa anumang paraan kung ito ay nasa isang bola, isang kubo, o isang pyramid. Gayunpaman, posible para sa kanya na kumbinsido na ang kanyang Uniberso ay hindi hugis tulad ng torus o pretzel. Sa pangkalahatan, maaaring itatag ng isang nilalang ang hugis ng espasyong nakapalibot dito hanggang sa homeomorphy lamang, ibig sabihin, hindi nito nakikilala ang isang anyo mula sa iba, hangga't ang mga anyo na ito ay homeomorphic.

Para sa matematika, ang kahulugan ng isang hypothesis Poincare, na ngayon ay lumipat mula sa isang hypothesis tungo sa Poincaré-Perelman theorem, ay napakalaki (hindi para sa wala na isang milyong dolyar ang inaalok para sa paglutas ng problema), tulad ng kahalagahan ng paraan na natagpuan ni Perelman upang patunayan na ito ay napakalaki, ngunit ang pagpapaliwanag ng kahalagahan dito ay lampas sa ating kakayahan. Kung tungkol sa kosmolohikal na bahagi ng usapin, marahil ang kahalagahan ng aspetong ito ay medyo pinalaki ng mga mamamahayag.

Gayunpaman, ang ilang mga eksperto na may awtoridad ay nagsasabi na ang siyentipikong tagumpay ni Perelman ay maaaring makatulong sa pag-aaral ng mga proseso ng pagbuo ng mga black hole. Ang mga itim na butas, sa pamamagitan ng paraan, ay nagsisilbing isang direktang pagtanggi sa thesis tungkol sa kaalaman ng mundo - isa sa mga pangunahing probisyon ng pinaka-advanced, tanging totoo at makapangyarihang pagtuturo, na sa loob ng 70 taon ay pilit na itinambol sa ating mahihirap na ulo. Pagkatapos ng lahat, tulad ng itinuturo ng pisika, walang mga signal mula sa mga butas na ito ang makakarating sa atin sa prinsipyo, kaya imposibleng malaman kung ano ang nangyayari doon. Sa pangkalahatan, kakaunti lang ang alam natin tungkol sa kung paano gumagana ang ating Uniberso sa kabuuan, at nagdududa na malalaman natin ito. At ang mismong kahulugan ng tanong tungkol sa istraktura nito ay hindi lubos na malinaw. Posible na ang tanong na ito ay isa sa mga iyon, ayon sa pagtuturo Buddha, Hindi may sagot. Nag-aalok lamang ang Physics ng mga modelo ng mga device na higit o mas kaunti ay sumasang-ayon sa mga kilalang katotohanan. Sa kasong ito, ang pisika, bilang panuntunan, ay gumagamit ng mga binuo na paghahanda na ibinigay dito ng matematika.

Siyempre, ang matematika ay hindi nagpapanggap na nagtatag ng anumang geometriko na katangian ng Uniberso. Ngunit ito ay nagpapahintulot sa amin na maunawaan ang mga katangiang natuklasan ng ibang mga agham. At saka. Nagbibigay-daan ito sa amin na gawing mas maliwanag ang ilang katangian na mahirap isipin; ipinapaliwanag nito kung paano ito mangyayari. Kabilang sa mga posibleng (binibigyang-diin namin: posible lang!) na mga pag-aari ang finiteness ng Uniberso at ang non-orientability nito.

Sa loob ng mahabang panahon, ang tanging naiisip na modelo ng geometriko na istraktura ng Uniberso ay tatlong-dimensional na Euclidean space, iyon ay, ang espasyo na kilala ng lahat mula sa high school. Ang espasyong ito ay walang hanggan; tila walang ibang ideya ang posible; Parang baliw na isipin ang finitude ng Universe. Gayunpaman, ngayon ang ideya ng finitude ng Uniberso ay hindi gaanong lehitimo kaysa sa ideya ng kawalang-hanggan nito. Sa partikular, ang three-dimensional na globo ay may hangganan. Mula sa pakikipag-usap sa mga physicist, naiwan ako sa impresyon na ang ilan ay sumagot ng "malamang. Ang Uniberso ay walang hanggan," habang ang iba ay nagsabi, "malamang, ang Uniberso ay may hangganan."

Uspensky V.A. , Paghingi ng tawad sa matematika, o tungkol sa matematika bilang bahagi ng espirituwal na kultura, magazine na "New World", 2007, N 12, p. 141-145.

Halos bawat tao, kahit na ang mga walang kinalaman sa matematika, ay narinig ang mga salitang "Poincaré conjecture," ngunit hindi lahat ay maaaring ipaliwanag kung ano ang kakanyahan nito. Para sa marami, ang mas mataas na matematika ay tila isang bagay na napakakomplikado at hindi naa-access sa pag-unawa. Samakatuwid, subukan nating malaman kung ano ang ibig sabihin ng Poincaré hypothesis sa mga simpleng salita.

Nilalaman:

Ano ang haka-haka ni Poincaré?

Ang orihinal na pormulasyon ng hypothesis ay parang ganito: " Ang bawat compact na simpleng konektado na three-dimensional manifold na walang hangganan ay homeomorphic sa isang three-dimensional na globo».

Ang bola ay isang geometric na three-dimensional na katawan, ang ibabaw nito ay tinatawag na sphere, ito ay dalawang-dimensional at binubuo ng mga punto ng three-dimensional na espasyo na katumbas ng isang punto na hindi kabilang sa globo na ito - ang gitna ng bola. . Bilang karagdagan sa mga two-dimensional na sphere, mayroon ding mga three-dimensional na sphere, na binubuo ng maraming mga punto ng four-dimensional na espasyo, na katumbas din ng layo mula sa isang punto na hindi kabilang sa globo - ang sentro nito. Kung nakakakita tayo ng mga two-dimensional na sphere gamit ang ating sariling mga mata, kung gayon ang mga three-dimensional ay hindi napapailalim sa ating visual na perception.

Dahil wala tayong pagkakataong makita ang Uniberso, maaari nating ipagpalagay na ito ang three-dimensional na globo kung saan nabubuhay ang lahat ng sangkatauhan. Ito ang kakanyahan ng haka-haka ng Poincaré. Lalo na, na ang Uniberso ay may mga sumusunod na katangian: three-dimensionality, boundlessness, simple connectedness, compactness. Ang konsepto ng "homeomorphy" sa hypothesis ay nangangahulugang ang pinakamataas na antas ng pagkakatulad, pagkakatulad, sa kaso ng Uniberso - hindi matukoy ang pagkakaiba.

Sino si Pointcare?

Jules Henri Poincaré- ang pinakadakilang mathematician na ipinanganak noong 1854 sa France. Ang kanyang mga interes ay hindi limitado lamang sa agham matematika, nag-aral siya ng pisika, mekanika, astronomiya, at pilosopiya. Siya ay miyembro ng higit sa 30 siyentipikong akademya sa buong mundo, kabilang ang St. Petersburg Academy of Sciences. Ang mga mananalaysay sa lahat ng panahon at mga tao ay nagraranggo kina David Hilbert at Henri Poincaré sa mga pinakadakilang mathematician sa mundo. Noong 1904, inilathala ng siyentipiko ang isang sikat na papel na naglalaman ng isang palagay na kilala ngayon bilang "Poincaré conjecture." Ito ay tatlong-dimensional na espasyo na naging napakahirap para sa mga mathematician na pag-aralan; ang paghahanap ng ebidensya para sa ibang mga kaso ay hindi mahirap. Sa paglipas ng halos isang siglo, ang katotohanan ng teorama na ito ay napatunayan.

Sa simula ng ika-21 siglo, isang premyo na isang milyong US dollars ang itinatag sa Cambridge para sa paglutas ng problemang pang-agham na ito, na kasama sa listahan ng mga problema ng milenyo. Tanging isang Russian mathematician mula sa St. Petersburg, Grigory Perelman, ang nakagawa nito para sa isang three-dimensional na globo. Noong 2006, ginawaran siya ng Fields Medal para sa tagumpay na ito, ngunit tumanggi siyang matanggap ito.

Sa mga merito ng mga gawaing pang-agham ni Poincaré Ang mga sumusunod na tagumpay ay maaaring maiugnay:

pundasyon ng topology (pagbuo ng mga teoretikal na pundasyon ng iba't ibang mga phenomena at proseso);
paglikha ng isang qualitative theory ng differential equation;
pag-unlad ng teorya ng amorphous function, na naging batayan ng espesyal na teorya ng relativity;
paglalagay sa harap ng return theorem;
pagbuo ng pinakabago, pinakaepektibong pamamaraan ng celestial mechanics.

Patunay ng hypothesis

Ang isang simpleng konektadong three-dimensional na espasyo ay itinalaga ng mga geometric na katangian at nahahati sa mga elemento ng sukatan na may mga distansya sa pagitan ng mga ito upang bumuo ng mga anggulo. Upang pasimplehin, kinukuha namin bilang sample ang isang one-dimensional na manifold, kung saan sa Euclidean plane, ang mga tangent na vector na katumbas ng 1 ay iginuhit sa bawat punto sa isang makinis na closed curve. Kapag binabaybay ang curve, ang vector ay umiikot sa isang tiyak na angular velocity katumbas ng kurbada. Kung mas yumuko ang linya, mas malaki ang kurbada. Ang curvature ay may positibong slope kung ang velocity vector ay iniikot patungo sa loob ng eroplano na hinahati ng linya, at isang negatibong slope kung ito ay iikot palabas. Sa mga lugar ng inflection, ang curvature ay katumbas ng 0. Ngayon, ang bawat punto ng curve ay itinalaga ng isang vector na patayo sa angular velocity vector, at may haba na katumbas ng halaga ng curvature. Ito ay naka-inward kapag ang curvature ay positibo, at palabas kapag ito ay negatibo. Tinutukoy ng kaukulang vector ang direksyon at bilis kung saan gumagalaw ang bawat punto sa eroplano. Kung gumuhit ka ng isang saradong kurba kahit saan, kung gayon sa gayong ebolusyon ito ay magiging isang bilog. Ito ay totoo para sa tatlong-dimensional na espasyo, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Halimbawa: Kapag deformed nang hindi nasira, ang isang lobo ay maaaring gawin sa iba't ibang mga hugis. Ngunit hindi ka makakagawa ng bagel; upang gawin ito kailangan mo lamang itong i-cut. At kabaliktaran, ang pagkakaroon ng bagel, hindi ka makakagawa ng solidong bola. Bagaman mula sa anumang iba pang ibabaw na walang mga discontinuities sa panahon ng pagpapapangit posible na makakuha ng isang globo. Ito ay nagpapahiwatig na ang ibabaw na ito ay homeomorphic sa isang bola. Ang anumang bola ay maaaring itali sa isang sinulid na may isang buhol, ngunit imposibleng gawin ito sa isang donut.

Ang bola ay ang pinakasimpleng three-dimensional na eroplano na maaaring ma-deform at matiklop sa isang punto at vice versa.

Mahalaga! Ang haka-haka ng Poincaré ay nagsasaad na ang isang saradong n-dimensional na manifold ay katumbas ng isang n-dimensional na globo kung ito ay homeomorphic dito. Ito ang naging panimulang punto sa pagbuo ng teorya ng multidimensional na mga eroplano.