Yöntemler en dik iniş ve koordinatlara göre iniş bile ikinci dereceden fonksiyon gerekmek sonsuz sayı yinelemeler. Bununla birlikte, ikinci dereceden bir fonksiyon için böyle iniş yönleri oluşturmak mümkündür.
- (3.12)
- (burada r, n boyutlu bir vektördür) simetrik pozitif tanımlı bir matris A ile, iniş süreci sonlu sayıda adımda tam olarak minimuma yaklaşacaktır.
Pozitif tanımlı bir matris, bir vektörün normunu aşağıdaki gibi sunmamızı sağlar:
Tanım (3.13), iki x ve y vektörünün skaler çarpımının artık (x, Ау) miktarı anlamına geldiği anlamına gelir. Bu nokta çarpımı anlamında dik vektörler
(x, Ау) = 0 (3,14)
eşlenik olarak adlandırılır (belirli bir A matrisine göre).
Buna dayanarak büyük grup yöntemler: eşlenik gradyanlar, eşlenik yönler, paralel teğetler ve diğerleri.
İkinci dereceden bir fonksiyon için eşit başarı ile kullanılırlar. Algoritmanın ayrıntılarının dikkatlice seçildiği eşlenik yön yöntemi, en iyi şekilde keyfi işlevlere genelleme yapar.
Öncelikle bu yöntemin ikinci dereceden forma (3.12) nasıl uygulandığını ele alalım. Bunu yapmak için eşlenik vektörlerin bazı özelliklerine ihtiyacımız var.
x i ikili eşlenik vektörlerinden oluşan bir sistem olsun. Bu vektörlerin her birini norm (3.14) anlamında normalleştiririz, sonra aralarındaki ilişkiler şu şekli alır:
Karşılıklı eşlenik vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu kanıtlayalım. Eşitlikten
bu da matrisin pozitif kesinliğiyle çelişir. Bu çelişki bizim iddiamızı kanıtlıyor. Bu, n-eşlenik vektörler sisteminin n boyutlu uzayda bir temel olduğu anlamına gelir. Belirli bir matris için karşılıklı eşlenik vektörlerden oluşan sonsuz sayıda baz vardır.
Hadi bazı eşlenik x i, 1 inç tabanını bulalım. Rastgele bir r 0 noktası seçelim. Bu noktadan itibaren herhangi bir hareket eşlenik tabana genişletilebilir
Bu ifadeyi yerine koyarsak sağ taraf formül (3.12), bazın (3.15) eşlenikliğini dikkate alarak onu aşağıdaki forma dönüştürüyoruz:
Son toplam, her biri toplamın (3.16) yalnızca bir bileşenine karşılık gelen terimlerden oluşur. Bu, x i eşlenik yönlerinden biri boyunca hareketin, geri kalanını etkilemeden toplamın (3.17) yalnızca bir terimini değiştirdiği anlamına gelir.
r 0 noktasından itibaren, x i eşlenik yönlerinin her biri boyunca minimuma kadar alternatif inişler yaparız. Her iniş, toplam (3.17) içindeki terimini en aza indirir, böylece ikinci dereceden fonksiyonun minimumu, bir iniş döngüsü yürütüldükten sonra, yani sonlu sayıda adımda tam olarak elde edilir.
Eşlenik temel, paralel teğet düzlemler yöntemi kullanılarak oluşturulabilir.
Belirli bir doğrunun x vektörüne paralel olmasına ve bu doğru üzerindeki ikinci dereceden fonksiyonun r 0 noktasında minimum değerine ulaşmasına izin verin. Bu r = r 0 + bx doğrusunun denklemini (3.12) ifadesinde yerine koyalım ve fonksiyonun minimum koşulunun karşılanmasını isteyelim.
c(b) = Ф(r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),
ve (dts/db) b-0 = 0'ı koyun. Bu, minimum nokta tarafından karşılanan bir denklem anlamına gelir:
(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3.18)
Birinciye paralel başka bir doğru üzerinde fonksiyonun r 1 noktasında minimum değer almasına izin verin; o zaman benzer şekilde (x, 2Аr 1 + b) = 0'ı buluruz. Bu eşitliği (3.18)'den çıkararak elde ederiz.
(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3.19)
Sonuç olarak iki paralel doğrunun minimum noktalarını birleştiren yön bu doğruların yönüne eşleniktir.
Böylece, keyfi olarak verilen bir x vektörüne eşlenik bir vektör oluşturmak her zaman mümkündür. Bunu yapmak için x'e paralel iki çizgi çizmek ve her çizgide ikinci dereceden formun (3.12) minimumunu bulmak yeterlidir. Bu minimumları bağlayan r 1 r 0 vektörü x'e eşleniktir. Düz çizginin, bu düz çizgi üzerindeki fonksiyonun minimum değer aldığı noktada seviye çizgisine dokunduğuna dikkat edin; Yöntemin adı bununla ilişkilidir.
Bir x i, 1 imn eşlenik vektörleri sistemi tarafından oluşturulan iki paralel m boyutlu düzlem olsun. İkinci dereceden fonksiyonun bu düzlemlerde sırasıyla r 0 ve r 1 noktalarında minimum değerine ulaşmasına izin verin. Benzer akıl yürütme kullanılarak, minimum noktaları birleştiren r 1 r 0 vektörünün tüm x i vektörlerine eşlenik olduğu kanıtlanabilir. Sonuç olarak, eğer eksik bir eşlenik vektörler xi sistemi verilirse, bu yöntemi kullanarak bu sistemin tüm vektörlerine eşlenik bir r 1 r 0 vektörü oluşturmak her zaman mümkündür.
Eşlenik bir temel oluşturma sürecinin bir döngüsünü ele alalım. Son m vektörlerinin karşılıklı olarak eşlenik olduğu bir temelin halihazırda oluşturulmuş olduğunu varsayalım ve ilk n-m vektörler son olarak eşlenik değildir. Tabanın son m vektörleri tarafından oluşturulan m boyutlu bir düzlemde ikinci dereceden fonksiyonun (3.12) minimumunu bulalım. Bu vektörler karşılıklı olarak eşlenik olduğundan, bunu yapmak için r 0 noktasını keyfi olarak seçmek ve bu yönlerin her biri boyunca (minimum düzeyde) dönüşümlü olarak oradan iniş yapmak yeterlidir. Bu düzlemdeki minimum noktayı r 1 ile gösterelim.
Şimdi r 1 noktasından itibaren ilk n - m temel vektörleri boyunca alternatif bir iniş yapacağız. Bu iniş, yörüngeyi birinci düzlemin dışına çıkaracak ve onu bir r2 noktasına götürecektir. R2 noktasından itibaren son m yönler boyunca tekrar bir iniş yapacağız, bu da r3 noktasına götürecektir. Bu iniş tam olarak birinci düzleme paralel ikinci düzlemdeki minimumun bulunması anlamına gelir. Sonuç olarak, r3 - r1 yönü son m temel vektörlere eşleniktir.
Tabandaki eşlenik olmayan yönlerden birinin yerini r3 - r1 yönü alırsa, o zaman yeni temelde zaten m + 1 yönü karşılıklı olarak eşlenik olacaktır.
Döngüleri hesaplamaya keyfi bir temelde başlayalım; bunun için m=1 olduğunu varsayabiliriz. Bir döngüde açıklanan işlem, bazdaki eşlenik vektörlerin sayısını bir artırır. Bu, n - 1 döngüde tüm temel vektörlerin eşlenik hale geleceği ve bir sonraki döngünün yörüngeyi ikinci dereceden fonksiyonun (3.12) minimum noktasına götüreceği anlamına gelir.
Eşlenik taban kavramı yalnızca ikinci dereceden bir fonksiyon için tanımlanmış olmasına rağmen yukarıda açıklanan süreç, resmi olarak keyfi bir fonksiyona uygulanabilecek şekilde yapılandırılmıştır. Elbette bu durumda, belirli bir ikinci dereceden fonksiyon (3.12) ile ilişkili formülleri herhangi bir yerde kullanmadan, parabol yöntemini kullanarak yön boyunca minimumu bulmak gerekir.
Minimumun küçük bir komşuluğunda, yeterince düzgün bir fonksiyonun artışı genellikle simetrik pozitif belirli ikinci dereceden tipte (3.2) şeklinde temsil edilir. Bu gösterim doğru olsaydı, eşlenik yön yöntemi sonlu sayıda adımda yakınlaşırdı. Ancak gösterim yaklaşıktır, dolayısıyla adım sayısı sonsuz olacaktır; ancak bu yöntemin minimuma yakın yakınsaması ikinci dereceden olacaktır.
İkinci dereceden yakınsama sayesinde eşlenik yön yöntemi, minimumun yüksek doğrulukla bulunmasına olanak tanır. Doğrusal yakınsamalı yöntemler genellikle aşırı koordinat değerlerini daha az doğru olarak belirler.
Eşlenik yönler yöntemi görünüşe göre en çok kullanılan yöntemdir. etkili yöntem iniş Dejenere bir minimumda ve çözülebilir dağ geçitlerinde ve kabartmanın zayıf eğimli bölümlerinin - "yaylaların" ve çok sayıda değişkenin - iki düzine kadar - varlığında iyi çalışır.
Klasik mekanik ve elektrodinamik, atom olaylarını açıklamak için bunları uygulamaya çalışırken, deneylerle tamamen çelişen sonuçlara yol açtı. Bunun en çarpıcı örneği, klasik elektrodinamiği, elektronların çekirdeğin etrafında klasik yörüngelerde hareket ettiği bir atom modeline uygulama girişimidir. Böyle bir hareketle, yüklerin ivmeli herhangi bir hareketinde olduğu gibi, elektronlar sürekli olarak elektromanyetik dalgalar şeklinde enerji yaymak zorunda kalacak ve sonunda kaçınılmaz olarak pozitif yüklü bir çekirdeğe düşeceklerdir. Dolayısıyla klasik elektrodinamik açısından atom kararsızdır. Gördüğümüz gibi bu tez doğru değil. Teori ve deney arasındaki bu kadar derin çelişki, mikro nesnelerin tanımlanmasının temel klasik kavram ve kanunlarda köklü bir değişiklik gerektirdiğini göstermektedir.
Bir takım deneysel verilerden (elektron kırınımı gibi), atom olayını yöneten mekaniğin - kuantum mekaniğinin - klasik mekaniğin fikirlerinden temelde farklı olan hareket hakkındaki fikirlere dayanması gerektiği sonucu çıkmaktadır. Kuantum mekaniğinde parçacık yörüngesi kavramı ve dolayısıyla diğer dinamik özellikler yoktur. BU TEZ HEISENBERG BELİRSİZLİK İLKESİNE GÖRE FORMÜLE EDİLMİŞTİR:
Bir mikro nesnenin koordinatını ve momentumunu aynı anda herhangi bir doğrulukla ölçmek imkansızdır:
DXDP³ H (II.1)
Belirsizlik ilişkisinin yalnızca koordinat ve momentumu değil aynı zamanda bir dizi başka niceliği de birbirine bağladığı unutulmamalıdır (ve bu daha sonra tartışılacaktır).
Şimdi kuantum mekaniğinin matematiksel aygıtlarını incelemeye dönelim.
Operatör A her fonksiyonun buna göre kuralını çağırmak gelenekseldir F karşılık gelen fonksiyon J :
j= A F (II.3)
Operatörlerin en basit örnekleri: karekök, türev, vb.
Her fonksiyon herhangi bir operatörden etkilenemez; örneğin, türevlenemeyen bir işlev, bir türev operatöründen etkilenemez. Bu nedenle, herhangi bir operatör yalnızca belirli bir işlev sınıfında tanımlanabilir ve yalnızca bir işlevi diğerine dönüştüren kuralın değil, aynı zamanda üzerinde etki yaptığı işlevler kümesinin de belirtilmesi durumunda tanımlanmış olduğu kabul edilir.
Sayıların cebirine benzetme yaparak operatörlerin cebirini tanıtabiliriz:
1) Toplama veya fark operatörleri
(A ± B ) · F = A · F ± B · F (II.4)
2) Operatörlerin çarpımı
AB · F = A (B · F ) (II.5)
onlar. ilk önce fonksiyonda F operatör hareket ediyor B , daha sonra operatör tarafından harekete geçirilen yeni bir fonksiyon oluşturur A . İÇİNDE genel durum operatör eylemi AB operatörün eylemiyle eşleşmiyor B.A. .
Gerçekten eğer A=d/dx Ve B=x ,
O AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,
A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx
Eğer AB=lisans, o zaman operatörlere işe gidip gelme denir ve eğer AB-BA°(A,B) (II.6), o zaman işe gidip gelmezler. Parantez içindeki ifadeye komütatör denir.
Kuantum mekaniğinde doğrusal kendine eşlenik (veya Hermitian) operatörler yaygın olarak kullanılır. Doğrusallık özelliği şu anlama gelir:
A(C 1 F 1 + c 2 F 2 )F =C 1 AF 1 + c 2 AF 2 (II.7)
Nerede C 1 Ve C 2 - sabitler ve F 1 Ve F 2 - operatörün tanımlandığı isteğe bağlı işlevler A. Bu matematiksel özellik süperpozisyon ilkesiyle yakından ilgilidir.
Kendine eşlenik bir Hermit operatörü, eşitliğin geçerli olduğu bir operatördür:
ile ilgili 1 * (x)(Af) 2 (x))dx = ile ilgili 2 (x)(A * F 1 * (x))dx (II.8)
öyle varsayılıyor A üzerinde tanımlanmış F 1 * (X) Ve F 2 (X) ve (1.8)'deki tüm integraller mevcuttur. Hermiteliğin gerekliliği kuantum mekaniği için çok önemlidir ve aşağıda nedenini öğreneceğiz.
Daha önce de belirtildiği gibi, operatörün eylemi bir fonksiyonu diğerine dönüştürmeye indirgenir, ancak operatörün eyleminin bir sonucu olarak orijinal fonksiyonun değişmediği veya bir sabitle çarpıldığı durumlar da mümkündür. En basit örnek:
Her operatörün olduğu söylenebilir. A karşılaştırılabilir doğrusal denklem tip:
AF = af (II.9) ,
Nerede A = inşaat A operatörün özdeğeridir ve F - operatörün kendi işlevi. Bu denkleme özdeğer denklemi denir. Denklemin (1.9) önemsiz olmayan çözümler aldığı sabitlerin değerlerine özdeğerler denir. Birlikte ayrık, sürekli veya karışık olabilen bir özdeğerler spektrumu oluştururlar. Her değer bir veya daha fazla özfonksiyona karşılık gelir F T ve yalnızca bir fonksiyon bir özdeğere karşılık geliyorsa, o zaman dejenere değildir ve eğer birkaç tane varsa, o zaman dejeneredir.
Özfonksiyonlar ve özdeğerler Hermityen (kendine eş) operatörlerinin bir dizi özelliği vardır:
1. Bu tür operatörlerin özdeğerleri gerçektir.
2. Kendi işlevleri F 1 Ve F 2 farklı özdeğerlere ait olan bu tür operatörler İle 1 Ve C 2 sırasıyla birbirine dik, yani ò F 1 * (X) F 2 (X) dx = 0 (II.10)
3. Genel durumda ortonormallik koşuluyla tanımlanan özel bir normalleştirme faktörü getirilerek birliğe normalleştirilmeleri gerekir: ò F M * (X) F N (X) dx =D milyon , D milyon =0 en M ¹ N Ve D milyon =1 en M = N (II.11)
4. İki operatör varsa A Ve B ortak bir özfonksiyon sistemine sahiplerse, bunlar değişir ve bunun tersi de doğrudur
5. Hermit operatörünün özfonksiyonları tam bir ortonormal set oluşturur; Aynı değişkenler alanında tanımlanan herhangi bir fonksiyon, operatörün bir dizi özfonksiyonu olarak temsil edilebilir A:
(II.12),
Nerede C N- bazı sabitler ve bu genişleme tam olacaktır.
Son özellik kuantum mekaniği aparatı için çok önemlidir, çünkü buna dayanarak operatörlerin matris temsilini oluşturmak ve doğrusal cebirin güçlü aparatını uygulamak mümkündür.
Gerçekten de o zamandan beri (II.12) yerel işlevler F N (X) bilindiği kabul edilir, ardından işlevi bulmak için F(x) tüm genişleme katsayılarını bulmak gerekli ve yeterlidir ( C N). Şimdi bazı operatörleri ele alalım B, fonksiyona etki eden c(x) ve onu aktarır F(x):
F(X) = BC(X) (II.13)
Şimdi fonksiyonları hayal edelim F(x) Ve Bc(x) satırlar şeklinde (II.12):
(II.14)
ve onları içeri koy (II.13)
(II.15)
(II.16)
Eşitliğin her iki tarafını da şu şekilde çarpalım: F k * (X) ve ortonormallik koşullarını dikkate alarak entegre edin:
Eşitlik (II.17) bir fonksiyondan geçişi tanımlar c(x) işlev görmek F(x) tüm katsayıların ayarlanmasıyla gerçekleştirilir M biliyorum. Tüm miktarlardan oluşan set M biliyorum bir operatör var B matris gösteriminde ve şu şekilde yazılabilir:
Böylece herhangi bir isteğe bağlı operatör B Matris gösteriminde kare sayılar tablosu, bir matris olarak temsil edilebilir ve bu gösterim yalnızca operatörün türüne ve temel fonksiyonların başlangıç kümesine göre belirlenecektir.
Şimdi matris teorisinin ana hükümlerini kısaca hatırlayalım. Genel olarak bir matris, gerçek veya karmaşık sayıların bir koleksiyonudur A ben dikdörtgen bir tabloda düzenlenmiş, matris elemanları olarak adlandırılan
Dizinler Ben Ve J elemanın olduğunu göster A ben kavşakta bulunan Bençizgi ve J sütun. Matris varsa Nçizgiler ve M sütunlar varsa boyuta sahip olduğu söylenir ( N X M), Eğer N = M, o zaman matrise kare denir. Dikdörtgensel boyut matrisi ( 1 X M) satır vektörü olarak adlandırılır ve ( N x1) bir sütun vektörüdür. Matris öğesi A ben en Ben = J köşegen, köşegen hariç tüm elemanları sıfıra eşit olan bir matrise köşegen, tüm elemanları bire eşit olan bir köşegen matrise birlik denir. Köşegen elemanların toplamına iz denir: Sp.
Aşağıdaki kurallara indirgenecek bir matris cebiri oluşturmak kolaydır:
1. Matrisler ve herkes için eşit olduğu söylenir Ben Ve J eşitlik doğrudur: A ben = B ben
2. Matrislerin ve boyutların toplamı ( N X M) bir boyut matrisi olacaktır ( N X M) öyle ki herkes için Ben Ve J eşitlik doğrudur: C ben = A ben + B ben
3. Bir matrisin rastgele bir sayıya göre çarpımı A aynı boyutta bir matris olacak, öyle ki herkes için Ben Ve J eşitlik doğrudur: C ben = aa ben
4. Boyut matrisinin çarpımı ( N X M) bir boyut matrisine ( M X P) boyut matrisi olarak adlandırılır ( N X P) öyle ki
(II.20)
5. Bir matris, tüm matris elemanlarını içeriyorsa karmaşık eşlenik olarak adlandırılır. A ben karmaşık konjugatlarla değiştirildi A ben * . Bir matrisin, satırların sütunlarla değiştirilmesiyle elde edilmesi durumunda aktarıldığı söylenir ve bunun tersi de geçerlidir: A ’ ben = A ji. Transpoze edilmiş ve karmaşık eşlenik bir matrise eşlenik denir ve gösterilir
BAĞLI FONKSİYON
İlgili fonksiyon sınıfı için belirli bir kapsayıcı operatörün somut bir yansıması olan fonksiyon teorisi kavramı.
1) S.f. karmaşık değerli bir fonksiyona .
isminde değerleri karmaşık olan bir fonksiyon f değerlerine eşleniktir.
2) S.f. harmonik fonksiyona - bkz. Eşlenik harmonik fonksiyonlar.
3) S.f. f(x) fonksiyonu üzerinde k -periyodik integrallenebilir denir. işlev
var ve neredeyse her yerde -sum veya Abel-Poisson toplamı ile çakışıyor eşlenik trigonometrik seriler.
4) S. f. işlev görmek 
dualitede olan bir vektör uzayı X üzerinde tanımlıdır (çift doğrusal forma göre)
Belirtilen bir işlev için E, eşlenik işlevi de benzer şekilde tanımlanır.
S. f. tek değişkenli bir fonksiyona 
bir fonksiyon olacak
S. f. işlev görmek 
Hilbert uzayında X, skaler çarpım fonksiyondur 
S. f. normale 
normalleştirilmiş uzayda bir fonksiyon olacak N*(y) ,
sıfıra eşitse ve eşit eğer
Eğer f pürüzsüzse ve sonsuzda daha hızlı büyüyorsa doğrusal fonksiyon, o zaman f* şundan başka bir şey değildir efsane işlevler f. Tek boyutlu tam dışbükey fonksiyonlar için (*)'a eşdeğer bir tanım W. Young tarafından başka bir deyişle verilmiştir. W. Jung, S. f.'yi tanımladı. işlev görmek
ilişki ile sürekli ve kesinlikle artan nerede
tek boyutlu fonksiyonlar için Tanım (*)'ın tersi nerede ilk kez S. Mandelbrojt tarafından, sonlu boyutlu durumda - V. Fenchel tarafından, sonsuz boyutlu durumda - J. Moreau ve A. Brønsted tarafından önerilmiştir. . Kendisine eşlenik bir dışbükey fonksiyon için Young
S. fonksiyonu dışbükey kapalı bir fonksiyondur. Eşlenik operatörü*: benzersiz bir şekilde uygun dışbükey dizisini görüntüler kapalı işlevler X üzerinde, Y üzerinde uygun dışbükey kapalı fonksiyonların bir koleksiyonudur (Rezene - Moreau).
Daha fazla ayrıntı için bkz. ve.
Ayrıca bakınız Dışbükey analiz, Destek fonksiyonu, Dualite ekstrem problemlerde ve dışbükey analizde.
Yaktı.: Joung W.H., lProc. Roy. Sos. A
Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.
I. M. Vinogradov.
1977-1985. Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
X vektör uzayında yer alan bir A kümesinin destek fonksiyoneli, Y vektör uzayında tanımlanan bir sA fonksiyonudur ve onunla dualite içindedir. Örneğin, O. f. normalleştirilmiş bir uzaydaki birim konteyner... ... Matematik Ansiklopedisi Diferansiyel denklemler için sınır değer problemlerinin çözümlerinin integral temsiliyle ilişkili bir fonksiyon. G. f. Doğrusal diferansiyel denklem için sınır değer problemi Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
temel çözüm Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
homojen sınır koşullarını sağlayan denklemler.... ... Anti-analitik fonksiyon, holomorfik bir fonksiyona karmaşık eşlenik olan bir veya daha fazla karmaşık değişkenin fonksiyonu (bkz. Analitik fonksiyon). E. D. Solomentsev ... Kontrol, fonksiyon u(t), dahil Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
diferansiyel denklem Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
sürünün değerleri zamanın her anında keyfi olarak seçilebilir. Genellikle, U'nun belirli bir kapalı küme olduğu her t için u(t)'nin değişim aralığına bir kısıtlama getirilir. Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
Sonsuz küçük rakamların şeklini koruyan sürekli bir ekran. Temel kavramlar. N boyutlu bir Öklid uzayının bir G bölgesinin n boyutlu bir Öklid uzayına sürekli olarak w=f(z) eşlenmesine denir. eğer bu noktada uyumlu ise... 1) Matematiğin dönüşümü ikili uzaylardaki nesneler arasındaki ikiliği uygulayan analiz (analitik geometrideki yansıtmalı ikilik ve dışbükey geometrideki kutupsal ikilik ile birlikte). Sorunsuz bir fonksiyona izin verin,... ... 1) P. t. eşlenik fonksiyonlar hakkında: periyodik olsun
sürekli fonksiyon Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
periyodu 2p olan ve f(t) ile trigonometrik olarak eşlenik fonksiyona sahip; o zaman f(t)., 0'daki üsle ilgili Lipschitz koşulunu karşılıyorsa Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
Çift katlı integral burada gerçek değişkenlerin belirli bir (genel olarak konuşursak, karmaşık değerli) fonksiyonu, kareyle integrallenebilir, keyfi (aynı zamanda karmaşık değerli) fonksiyonlar, kareyle integrallenebilir ve karmaşık eşlenik fonksiyon c. Eğer,… … Diğer sözlüklerde “BAĞLANTILI FONKSİYON” un ne olduğuna bakın:
1 1 4 EK B: TEORİK KAVRAM
Birleşik alt sistemlerin prensibi
Herhangi bir maddi sistemin tanımlanmasıyla, bu sistemin var olduğu ilgili ortam otomatik olarak ortaya çıkar. Çevre her zaman sistemden daha büyük olduğundan sistemin evrimi çevredeki değişiklikler tarafından belirlenir. Evrim fikri iki ana ve bir anlamda alternatif yönü ima eder: koruma (C) ve değişim (I). Bunlardan biri eksikse evrim olmaz; sistem ya kaybolur ya da stabil hale gelir. Değişim ve koruma oranı (I/S), sistemin evrimsel esnekliğini karakterize eder. Bu koşulların alternatif olduğuna dikkat edin: Ne kadar çok Ve o kadar az C ve tam tersi, çünkü birbirlerini birlik olarak tamamlarlar: C + I = 1.
Yalnızca ilk yönün - korumanın - daha iyi uygulanması için sistemin sürdürülebilir, istikrarlı, değişmez olması, yani yıkıcı olmaktan mümkün olduğu kadar (geometrik anlamda değil, bilgisel anlamda) olması daha karlı olur. çevresel faktörler (Şekil B.1). Ancak aynı faktörler aynı zamanda çevresel değişikliklerin yönü hakkında yararlı bilgiler de sağlar. Ve eğer sistemin bunlara uyum sağlaması, ortamdaki değişikliklere göre değişmesi (ikinci yön) gerekiyorsa, o zaman duyarlı, değişken ve değişebilir olmalı, yani zararlı çevreye "daha yakın" (bilgisel anlamda) olmalıdır. faktörler mümkün olduğunca Sonuç olarak, sistemin bir yandan çevreye “uzak”, diğer yandan “daha yakın” olması gerektiğinde bir çatışma durumu ortaya çıkar.
Çevre Sorunu
Değiştirmek (faydalı bilgi almak) için “daha yakın” olmanız gerekir
Olası çözümler
“Optimal mesafede” olun
İlgili iki alt sisteme bölün
Pirinç. B.1 Sistem ve çevre arasındaki ilişki
İlk olası çözüm: sistem bir bütün olarak ortamdan belirli bir optimal "uzaklıkta" olmalı ve I/C için belirli bir uzlaşma optimumu seçilmelidir. İkinci çözüm: iki bağlı alt sisteme bölmek, birini sistemden "uzakta" çıkarmak. diğerini “yaklaştırın”. İkinci çözüm, sistemin korunması (C) ve değiştirilmesi (I) ile ilgili çelişkili gereksinimleri ortadan kaldırır ve her ikisini de aynı anda en üst düzeye çıkarmamıza olanak tanıyarak sistemin bir bütün olarak kararlılığını artırır. Bu sonuç yeni konseptin temelini oluşturmaktadır.
EK B: TEORİK TEMEL KAVRAM 1 1 5
BAĞLANTILI ALT SİSTEMLERİN İLKESİ
DEĞİŞKEN BİR ORTAMDA GELİŞEN UYARLANABİLİR SİSTEMLERİN, KORUYUCU VE OPERASYONEL UZMANLAŞMALI İKİ BAĞLANTILI ALT SİSTEMLERE AYRIŞMASI, STABİLİTELERİNİ ARTIRIR.
İç ve dış alt sistemlerin ayrılması, geometrik (morfolojik) anlamda değil, bilgisel anlamda, yani, içinde meydana gelen değişiklikler hakkında ortamdan ilk önce dış alt sistemlere ("RAM") düşen bilgi akışları olarak anlaşılmalıdır. ) ve daha sonra sistemin dahili hafızasına (“sabit hafıza”).
Bu genel formda kavram, biyolojik, teknik, oyun veya sosyal gibi spesifik doğalarına bakılmaksızın gelişen, uyarlanabilir sistemler için geçerlidir. Gelişen, uyum sağlayan sistemler arasında, birbirine bağlı iki alt sistemden oluşan yapıların oldukça sık ortaya çıkması beklenebilir. Sistemin “düşmanın davranışını” (çevreyi) izlemek ve buna göre “davranışını” oluşturmak zorunda kaldığı her durumda, hizmetlerin farklılaşması, muhafazakar ve operasyonel olarak bölünmesi istikrarı artırır. Ordu, keşif müfrezelerini tahsis eder ve onları düşmanla karşılaşmak için farklı yönlere gönderir. Geminin bir omurgası (koruyucu hizmet) ve ayrı bir dümeni (operasyonel), sabit uçak uçakları ve kanatçıkları vardır; roket dengeleyicileri ve dümenleri.
İkili eşlenik farklılaşmalarının genel özellikleri
Evrimin ana kontrolü olan birleşik alt sistemlerin ortaya çıkmasından önce, bilgi akışı doğrudan ortamdan sisteme gidiyordu: E →S. Operasyonel alt sistemlerin ortaya çıkmasından sonra ortamdan ilk bilgiyi alan onlardır: çevre → operasyonel → muhafazakar alt sistemler, E →o →k. Bu yüzden yeni bir alt sistem her zaman çalışır durumdadır ve
Muhafazakar alt sistem ile çevre arasında ortaya çıkar.
Üniter ve ikili eşlenik sistemler arasındaki temel fark, çevreyle bilgi teması şeklindedir. Birincisinde bilgi çevreden doğrudan sistemin her bir elemanına akarken, ikincisi için öncelikle operasyonel alt sistemin elemanlarına ve onlardan da muhafazakar alt sistemin elemanlarına akar.
Dikronizm (asenkron) ve dimorfizm (asimetri) yakından ilişkilidir: özdeş öğelerden oluşan bir sistem iki parçaya bölündüğünde, niteliksel olarak homojen oldukları sürece ne dimorfizm ne de dikronizm vardır (Şekil B.2). Ancak bunlardan biri gelişmeye başlar başlamaz, hem dimorfizm hem de dikronizm aynı anda ortaya çıkar. Morfolojik eksen boyunca bunlar “kararlı çekirdek” (SC) ve “kararsız kabuk” (LP) yapısını oluşturan iki formdur (Şekil B.3). Bu yapı muhafazakar alt sistemi alternatif çevresel faktörlerden, örneğin düşük ve yüksek sıcaklıklardan korur.
1 1 6 EK B: TEORİK KAVRAM
Tüm evrimsel yenilikler ilk önce operasyonel alt sistemde ortaya çıkar, orada teste tabi tutulur ve ardından (birçok nesilden sonra) seçilenler muhafazakar alt sistemde son bulur. Operasyonel alt sistemin evrimi muhafazakar olandan daha erken başlar ve biter. Bu nedenle kronolojik eksende “avangard” olarak değerlendirilebilirler.
“arka koruma” (Şekil B.4).
Sistem, “sistem-çevre” ekseninde “kararlı çekirdek” ve “kararsız kabuk” olmak üzere ikiye ayrılır.
Zaman ekseninde operasyonel alt sistem, muhafazakar alt sisteme kıyasla “avangard” olarak değerlendirilebilir.
Bilgi akışı
Çarşamba Cephesi
Muhafazakar Operasyonel
Muhafazakar Operasyonel
Bilgi akışı
Alternatif koruma ve değişim görevleri için alt sistemlerin bu şekilde bölünmesi ve uzmanlaşması, canlı sistemlerin ana evrimi yönteminin - bir anlamda deneme yanılma yönteminin - uygulanması için en uygun koşulları sağlar. Örneklerin RAM'de yoğunlaşmasıyla birlikte hatalar ve bulgular da orada lokalize olur. Bu, sistemin
Başarısız çözümlerin devam etmesi riski olmadan evrimsel sorunları çözmek için farklı seçenekleri deneyin.
Muhafazakar ve operasyonel alt sistemlere göre farklılaşma mutlak değil görecelidir. Ardışık alt sistemler dizisi olabilir: α, β, γ,…..ω; burada en muhafazakar (temel) bağlantı α'dır ve en işlevsel olanı ω'dir. Ve sıranın içinde, her çiftte, solda muhafazakar bir alt sistem, sağda ise operasyonel bir alt sistem (elektrokimyadaki bir dizi metal voltajı gibi).
Yeni ekolojik bilginin operasyonel alt sisteme girebilmesi için, elemanlarının fenotipik dağılımının muhafazakar alt sistemin elemanlarından daha geniş olması gerekir, bu durumda bunların uygunluğu daha düşük ve seçim katsayısı ikincisinden daha yüksek olacaktır. Bunu yapabilmek için aynı reaksiyon normuna sahip olmaları gerekir. Sistemin korunması çoğu zaman değişimden daha önemli olduğundan (ikincisinin yokluğu durgunluğu ve birincisinin yok oluşunu tehdit ettiğinden), alt alt sistemler eşit değildir. Muhafazakar alt sistem operasyonel alt sistemden daha önemli ve değerlidir. Ana, üniter sistemin bazı özelliklerini ve işlevlerini korurken, operasyonel alt sistem yenilerini kazanır. Bu nedenle ikili farklılaşmaların evrimsel anlamını anlamak için yalnızca operasyonel alt sistemlerin anlamını anlamak yeterlidir.
EK B: TEORİK KAVRAM 1 1 7
İŞLETİM ALT SİSTEMİNE GİRİLECEK YENİ EKOLOJİK BİLGİLER İÇİN FENOTİPİK VARYANS
ELEMANLARI KORUYUCU ALT SİSTEMİNİN ELEMANLARINDAN DAHA GENİŞ VE REAKSİYON NORMU DAHA DAR OLMALIDIR.
Alt sistemler (OP CP) arasında etkili bilgi aktarımı için, operasyonel alt sistemin elemanlarının aynı zamanda muhafazakar olanın elemanlarından daha geniş bir iletişim "kanal kesitine" sahip olması gerekir.
Alt sistemlerin eşzamansız gelişimi
Sistemin (S) evrimi çevre (E), ES tarafından belirlenir. Çevreden gelen bilgi akışı, sistemi değişime zorlayan bir tür ekolojik potansiyel görevi görmektedir. Üniter sistemlerin unsurlarının dağılımındaki artış, er ya da geç, otomatik olarak bunların muhafazakar ve operasyonel alt sistemlere farklılaşmasına yol açar. Çevresel potansiyeli elektrik potansiyeliyle ve üniter sistemi bir ampulle karşılaştırırsak, ikili sistem bir akım kaynağına paralel veya seri olarak bağlanabilen iki ampuldür (Şekil B.5). Bu, üniter sistemlerin sahip olmadığı temelde yeni bir fırsattır.
Pirinç. B.5 Üniter sistemlerin (ABD) ve ikili eşlenik olmayan sistemlerin (BNS) eşzamanlı gelişimi
Paralel devrenin analogu. İkili eşlenik farklılaşmalarının (BCD) eşzamansız evrimi, sıralı bir şemanın bir analogudur. Kıvırcık oklar evrimin yönünü, basit oklar ise elektron ve bilgi akışını gösterir (Geodakyan, 2005).
Üç ana üreme ve asimetri yönteminin üç diyagramı-modeli. Bir ampulün devresi aseksüel yöntemin bir analogudur, paralel devre hermafroditik yöntemindir ve sıralı devre diocious (ve asimetrik beyin) ile benzerdir.
İlgili işlevler. Alt diferansiyeller. Minimaks ilkesi. Projektif dualite ile ilgili problemler 18 Nisan 2014'ten itibaren (1) p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) fonksiyonlarının eşleniklerini bulun. f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q - simetrik pozitif d × d matrisi, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , burada A, Rd'de bir kümedir ve δA (x) = 0, eğer x ∈ A, δA (x) = +∞ eğer x∈ /A (i) hA , burada A, Rd'de bir kümedir ve hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Eşitsizliği kanıtlayın p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Tam eşitlik ne zaman sağlanır? Bir fonksiyon, grafiği dışbükey çokyüzlü olan bir fonksiyona nasıl eşleşir? Uçları koordinat çizgileri üzerinde olan, R+ ×R+ üzerinde uzunluğu 1 olan bir dizi parça düşünün. Asteroitin bu set için bir zarf olduğunu kanıtlayın. Grafiği astroid olan fonksiyonun eşleniği hangi fonksiyondur? f dışbükey olmayan bir fonksiyon olsun. İkinci konjugatını açıklayın. f, f ∗ düzgün dışbükey fonksiyonlar olsun ve her noktada ikinci türevlerin (Hessian) matrisleri D2 f, D2 f ∗ dejenere değildir. Herhangi bir x için D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I ilişkisinin geçerli olduğunu, burada I'in birim matris olduğunu kanıtlayın. (7) Aşağıdaki f 00 = (f − xf 0)2 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulun. (8) Sıfırdaki dışbükey fonksiyonun alt diferansiyelini hesaplayın (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (c) maks1≤i≤d |xi | (9) x0'ın dışbükey f fonksiyonunun minimum noktası ancak ve ancak 0 ∈ ∂f (x0) olması durumunda kanıtlayın. (10) (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 fonksiyonlarının minimumunu bulun (11) Kanıtlayın (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 ilişkisi burada f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Doğrusal programlama problemindeki maksimumun ikili problemdeki minimumu aşmadığını (minimaks ilkesini kullanmadan) kanıtlayın. (13) Doğrusal programlama probleminin dualini formüle edin ve çözün. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Projektif dualite problemleri Tanım. İkili yansıtmalı düzlem RP2∗, yansıtmalı düzlem RP2 üzerindeki çizgilerin uzayıdır. 14) İkili yansıtmalı düzlemin, RP2'deki bir çizginin belirli bir noktadan geçen bir çizgi ailesi olduğu doğal bir yansıtmalı düzlem yapısına sahip olduğunu kanıtlayın. (Özellikle, RP2 ve RP2∗ çeşitleri difeomorfiktir.) 15) Rasgele iki farklı a, b ⊂ RP2 çizgisini düşünün, O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O'yu gösterin. Her doğru üzerinde, afin dönüşümle bileşiğe kadar benzersiz şekilde tanımlanan doğal bir gerçek afin koordinat vardır: a, b " R. Herhangi bir x ∈ a ve y ∈ b için, l(x, y)'nin x'ten geçen doğru olduğunu varsayalım. ve y a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) haritasının bir afin haritası olduğunu kanıtlayın. Tanım γ ⊂ RP2 düzgün bir eğri olsun. 16) γ ∗∗ = γ olduğunu kanıtlayın. 17) f (x) düzgün bir dışbükey fonksiyon ve f ∗ (x∗)'nin karşılık gelen afin düzlemlerdeki (x, y) eşleniği olsun. ) ve (x∗, y ∗) (daha doğrusu, fonksiyonların değerlerinin sonlu olduğu grafiklerin sonlu kısımları). Γ(f ∗) eğrisinin afin bir dönüşümle ikili eğriye dönüştürüldüğünü kanıtlayın. Γ(f)'ye İpucu: problem 2'nin sonucunu kullanın. 18) Düzgün bir koniye (bir çift çizgiye indirgenemeyen ikinci dereceden bir eğri) ikili eğrinin de düzgün bir konik olduğunu kanıtlayın. 19) İkili kesikli çizginin (çift çokgen) tanımını verin ve kesikli çizgi γ ve parçalı afin fonksiyon f (grafik – kesikli çizgi) için problem 3) ve 4)'ün analoglarını çözün. 2
