Parabol teorisi. Parabol - ikinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafiği

Bir parabol, parabolün doğrultmanı adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktalardan ve parabolün odağı olan belirli bir noktadan oluşan sonsuz bir eğridir. Bir parabol konik bir kesittir, yani bir düzlem ile dairesel bir koninin kesişimini temsil eder.

İÇİNDE Genel görünüm bir parabolün matematiksel denklemi şu şekildedir: y=ax^2+bx+c, burada a sıfıra eşit değildir, b, fonksiyon grafiğinin orijine göre yatay yer değiştirmesini yansıtır ve c, parabolün dikey yer değiştirmesidir. orijine göre fonksiyon grafiği. Ayrıca, eğer a>0 ise, grafiği çizerken yukarı doğru yönlendirileceklerdir ve eğer aParbolün özellikleri

Bir parabol, parabolün odağından geçen ve parabolün doğrultusuna dik bir simetri eksenine sahip ikinci dereceden bir eğridir.

Bir parabolün özel bir optik özelliği vardır; bu, ışık ışınlarının simetri eksenine paralel olarak odaklanmasını ve parabolün tepe noktasında parabolün içine yönlendirilmesini ve parabolün tepe noktasına yönlendirilen bir ışık ışınının, parabolün tepe noktasına göre paralel ışık ışınlarına odaklanmasını içeren özel bir optik özelliğe sahiptir. aynı eksen.

Bir parabolü herhangi bir teğete göre yansıtırsanız, parabolün görüntüsü onun direktrisinde görünecektir. Tüm paraboller birbirine benzer, yani bir parabolün her iki A ve B noktasına karşılık |A1,B1| ifadesinin geçerli olduğu A1 ve B1 noktaları vardır. = |A,B|*k, burada k, sayısal değerde her zaman sıfırdan büyük olan benzerlik katsayısıdır.

Hayatta bir parabolün tezahürü

Kuyruklu yıldızlar veya asteroitler gibi bazı kozmik cisimler, büyük uzay nesnelerinin yakınından geçiyor yüksek hız parabol şeklinde bir yörüngeye sahiptir. Küçük kozmik cisimlerin bu özelliği, uzay aracının yerçekimi manevralarında kullanılır.

Geleceğin kozmonotlarını eğitmek için yerde parabolik bir yörünge boyunca özel uçak uçuşları gerçekleştiriliyor, böylece dünyanın yerçekimi alanında ağırlıksızlık etkisi sağlanıyor.

Günlük yaşamda çeşitli aydınlatma armatürlerinde parabollere rastlamak mümkündür. Bunun nedeni parabolün optik özelliğidir. Işık ışınlarını odaklama ve odak dışı bırakma özelliklerine dayanan bir parabol kullanmanın en son yollarından biri, Rusya'nın güney bölgelerinde enerji tedarik sektörüne giderek daha fazla dahil olan güneş panelleridir.

Formun çağrıldığı bir fonksiyon ikinci dereceden fonksiyon.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği – parabol.

Durumları ele alalım:

DURUMDA, KLASİK PARABOL

Yani , ,

Oluşturmak için x değerlerini formülde değiştirerek tabloyu doldurun:

Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1), vb. koordinat düzleminde (x değerlerini attığımız adım ne kadar küçük olursa (içinde) bu durumda adım 1) ve ne kadar çok x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:

Durumunu alırsak, yani eksene göre simetrik (oh) bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:

II DURUMU, “a” BİRİMDEN FARKLIDIR

, , alırsak ne olur? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Başlıkla = " QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

İlk resimde (yukarıya bakın), parabol tablosundaki (1;1), (-1;1) noktalarının (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğü açıkça görülmektedir. yani aynı değerlerle her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktalarında geçerli olacaktır. Resim 2 ve 3'te de benzer şekilde mantık yürütüyoruz.

Ve parabol parabolden "genişlediğinde":

Özetleyelim:

1)Katsayının işareti dalların yönünü belirler. Başlıkla = " QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlak değer katsayısı (modülü) parabolün “genişlemesinden” ve “sıkışmasından” sorumludur. Parabol ne kadar büyük olursa, parabol o kadar dar olur; |a| ne kadar küçükse, parabol o kadar geniş olur.

III DURUM, “C” GÖRÜNÜYOR

Şimdi oyuna girelim (yani durumu düşünün), formun parabollerini ele alacağız. Parabolün işarete bağlı olarak eksen boyunca yukarı veya aşağı kayacağını tahmin etmek zor değildir (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):

IV DURUM, “b” GÖRÜNÜYOR

Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Ne zaman eşit olmaktan vazgeçecek?

Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan şey tepe noktasını hesaplamak için formül: , .

Yani bu noktada ((0;0) noktasında olduğu gibi) yeni sistem koordinatlar) zaten yapabileceğimiz bir parabol oluşturacağız. Eğer durumla ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, bir yukarıya koyarız - ortaya çıkan nokta bizimdir (benzer şekilde sola bir adım, bir adım yukarı bizim noktamızdır); örneğin ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, iki yukarıya vb. koyarız.

Örneğin bir parabolün tepe noktası:

Şimdi anlaşılması gereken asıl şey, bu tepe noktasında parabol düzenine göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.

Bir parabol oluştururken tepe noktasının koordinatlarını bulduktan sonraAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:

1) parabol kesinlikle noktadan geçecektir . Gerçekten de formülde x=0 yerine şunu elde ederiz. Yani parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının ordinatı . Örneğimizde (yukarıda), parabol ordinatla noktasında kesişiyor, çünkü .

2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgi olduğundan parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde hemen (0; -2) noktasını alıp parabolün simetri eksenine göre simetrik oluşturuyoruz, parabolün geçeceği (4; -2) noktasını elde ediyoruz.

3) Eşitleyerek parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Ayırt ediciye bağlı olarak bir (, ), iki ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) elde ederiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Bir önceki örnekte diskriminantın kökü tam sayı değil; oluştururken kökleri bulmamız pek mantıklı değil ama eksenle iki kesişim noktamızın olacağını açıkça görüyoruz (oh) (title="Rendered by QuickLaTeX.com'dan beri)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Öyleyse hadi çözelim

Formda verilmişse bir parabol oluşturma algoritması

1) dalların yönünü belirleyin (a>0 – yukarı, a<0 – вниз)

2) formülünü kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını buluruz.

3) serbest terimi kullanarak parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta oluştururuz (işaretlemenin kârsız olduğu unutulmamalıdır) bu nokta mesela, değer büyük olduğu için... bu noktayı atlıyoruz...)

4) Bulunan noktada - parabolün tepe noktasında (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) bir parabol inşa ediyoruz. If title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolün eksenle (oy) kesişme noktalarını (henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”) denklemi çözerek buluruz.

örnek 1

Örnek 2

Not 1. Parabol başlangıçta bize bazı sayıların bulunduğu formda verilmişse (örneğin,), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize tepe noktasının koordinatları zaten verilmiştir. Neden?

İkinci dereceden bir üç terimliyi alalım ve tam kareyi onun içinde yalnız bırakalım: Bakın, şunu anladık , . Sen ve ben daha önce bir parabolün tepe noktasına, yani şimdi adını vermiştik.

Örneğin, . Parabolün tepe noktasını düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün genişlediğini ('ye göre) anlıyoruz. Yani 1. noktayı uyguluyoruz; 3; 4; Bir parabol oluşturma algoritmasından 5 (yukarıya bakın).

Not 2. Parabol buna benzer bir biçimde verilirse (yani iki doğrusal faktörün çarpımı olarak sunulursa), o zaman parabolün eksen (öküz) ile kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda – (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.

Parabol, düzlemde belirli bir F noktasından ve içinden geçmeyen belirli bir düz çizgiden eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir. verilen nokta. Bu geometrik tanım ifade eder bir parabolün yönsel özelliği.

Bir parabolün yönsel özelliği

F noktasına parabolün odağı denir, d çizgisi parabolün doğrultmanıdır, odak noktasından doğrultuya indirilen dikin orta noktası O parabolün tepe noktasıdır, p odaktan doğrultuya olan mesafedir parabolün parametresidir ve parabolün tepe noktasından odağına olan uzaklık \frac(p)(2) odak uzaklığıdır (Şekil 3.45a). Doğrultmana dik olan ve odak noktasından geçen düz çizgiye parabolün ekseni (parabolün odak ekseni) denir. Parabolün rastgele bir M noktasını odağına bağlayan FM segmentine M noktasının odak yarıçapı denir. Bir parabolün iki noktasını birleştiren doğru parçasına parabolün kirişi denir.

Bir parabolün rastgele bir noktası için, odağa olan mesafenin doğrultmana olan mesafeye oranı bire eşittir. , ve parabollerin yönsel özelliklerini karşılaştırarak şu sonuca varırız: parabolün dışmerkezliği tanım gereği bire eşittir (e=1).

Bir parabolün geometrik tanımı Yönsel özelliğini ifade eden, analitik tanımına eşdeğerdir - şu şekilde verilen çizgi: kanonik denklem paraboller:

Aslında dikdörtgen bir koordinat sistemi sunalım (Şekil 3.45, b). Koordinat sisteminin orijini olarak parabolün O tepe noktasını alıyoruz; apsis ekseni olarak odak noktasından direktrise dik olarak geçen düz çizgiyi alıyoruz (üzerindeki pozitif yön O noktasından F noktasına kadardır); Apsis eksenine dik olan ve parabolün tepe noktasından geçen düz çizgiyi ordinat ekseni olarak alalım (ordinat eksenindeki yön, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy doğru olacak şekilde seçilmiştir).

Bir parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımını kullanarak bir parabol için bir denklem oluşturalım. Seçilen koordinat sisteminde odağın koordinatlarını belirliyoruz F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ve doğrultman denklemi x=-\frac(p)(2) . Bir parabole ait keyfi bir M(x,y) noktası için elimizde:

FM=MM_d,

Nerede M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right) - Ortografik projeksiyon M(x,y)'yi doğrultmana işaret eder. Bu denklemi koordinat biçiminde yazıyoruz:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Denklemin her iki tarafının karesini alırız: (\sol(x-\frac(p)(2)\sağ)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Benzer terimleri getirdiğimizde şunu elde ederiz: kanonik parabol denklemi

y^2=2\cdot p\cdot x, onlar. seçilen koordinat sistemi kanoniktir.

Mantık yürüterek Ters sipariş Koordinatları (3.51) denklemini sağlayan tüm noktaların ve yalnızca bunların parabol adı verilen noktaların odağına ait olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla bir parabolün analitik tanımı, parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımına eşdeğerdir.

Kutupsal koordinat sisteminde parabol denklemi

Fr\varphi kutupsal koordinat sistemindeki bir parabolün denklemi (Şekil 3.45, c) şu şekildedir:

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), burada p parabolün parametresidir ve e=1 onun dışmerkezliğidir.

Aslında, kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak parabolün F odağını ve kutupsal eksen olarak - F noktasında başlayan, doğrultuya dik ve onunla kesişmeyen bir ışın seçiyoruz (Şekil 3.45, c). . O zaman bir parabolün geometrik tanımına (yön özelliği) göre, bir parabole ait rastgele bir M(r,\varphi) noktası için MM_d=r elde ederiz. Çünkü MM_d=p+r\cos\varphi, parabol denklemini koordinat biçiminde elde ederiz:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Kutupsal koordinatlarda elips, hiperbol ve parabol denklemlerinin çakıştığını, ancak dışmerkezlikleri farklı olduğundan farklı çizgileri tanımladıklarını unutmayın (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 için).

Parabol denklemindeki parametrenin geometrik anlamı

Hadi açıklayalım geometrik anlamı parametre kanonik parabol denkleminde p. Denklem (3.51)'de x=\frac(p)(2)'yi yerine koyarsak, y^2=p^2 elde ederiz, yani. y=\pm p . Bu nedenle, p parametresi, parabolün eksenine dik olarak odağından geçen parabolün kirişinin uzunluğunun yarısı kadardır.

Parabolün odak parametresi bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi, odak eksenine dik olarak odağından geçen akorun uzunluğunun yarısı denir (bkz. Şekil 3.45, c). Kutupsal koordinatlardaki parabol denkleminden \varphi=\frac(\pi)(2) r=p elde ederiz, yani. parabolün parametresi odak parametresiyle çakışır.

Notlar 3.11.

1. Bir parabolün p parametresi onun şeklini karakterize eder. P ne kadar büyük olursa, parabolün dalları o kadar geniş olur, p sıfıra o kadar yakın olur, parabolün dalları o kadar dar olur (Şekil 3.46).

2. y^2=-2px denklemi (p>0 için), ordinat ekseninin solunda yer alan bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47,a). Bu denklem, x ekseninin (3.37) yönü değiştirilerek kanonik denkleme indirgenir. İncirde. Şekil 3.47,a, verilen Oxy koordinat sistemini ve kanonik Ox"y"yi göstermektedir.

3. Denklem (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 ekseni apsis eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabol tanımlar (Şekil 3.47,6). Bu denklem paralel öteleme (3.36) kullanılarak kanonik olana indirgenir.

Denklem (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, ayrıca ekseni ordinat eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47, c). Bu denklem, paralel çeviri (3.36) kullanılarak ve yeniden adlandırılarak kanonik olana indirgenir. koordinat eksenleri (3.38). Şekil 3.47,b,c'de verilen Oxy koordinat sistemleri ve Ox"y" kanonik koordinat sistemleri gösterilmektedir.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 tepe noktası noktası olan bir paraboldür O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right) Ekseni ordinat eksenine paralel olan parabolün dalları yukarıya (a>0 için) veya aşağıya (a için) yönlendirilir.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\sağ)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

bu, (y")^2=2px" kanonik biçimine indirgenmiştir; burada p=\sol|\frac(1)(2a)\sağ|, değiştirmeyi kullanarak y"=x+\frac(b)(2a) Ve x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

İşaret, baş katsayı a'nın işaretiyle çakışacak şekilde seçilir. Bu değiştirme şu bileşime karşılık gelir: paralel transfer (3.36) ile x_0=-\frac(b)(2a) Ve y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), koordinat eksenlerinin (3.38) yeniden adlandırılması ve<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ve bir<0 соответственно.

5. Kanonik koordinat sisteminin x ekseni parabolün simetri ekseni y değişkeninin -y ile değiştirilmesi denklemi (3.51) değiştirmediğinden. Başka bir deyişle, parabole ait M(x,y) noktasının koordinatları ile M noktasına göre x eksenine göre simetrik olan M"(x,-y) noktasının koordinatları denklemi sağlar. (3.S1) kanonik koordinat sisteminin eksenleri denir. parabolün ana eksenleri.

Örnek 3.22. Oxy kanonik koordinat sisteminde y^2=2x parabolünü çizin. Odak parametresini, odak koordinatlarını ve doğrultman denklemini bulun.

Çözüm. Apsis eksenine göre simetrisini dikkate alarak bir parabol inşa ediyoruz (Şekil 3.49). Gerekirse parabolün bazı noktalarının koordinatlarını belirleyin. Örneğin, parabol denkleminde x=2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz: y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Sonuç olarak koordinatları (2;2),\,(2;-2) olan noktalar parabole aittir.

Verilen denklemi kanonik denklemle (3.S1) karşılaştırarak odak parametresini belirleriz: p=1. Odak koordinatları x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 yani F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). x=-\frac(p)(2) direktrisinin denklemini oluşturuyoruz, yani. x=-\frac(1)(2) .

Elips, hiperbol ve parabolün genel özellikleri

1. Yön özelliği bir elipsin, hiperbolün, parabolün tek bir tanımı olarak kullanılabilir (bkz. Şekil 3.50): düzlemdeki noktaların yeri; her biri için belirli bir F noktasına olan mesafenin (odak), belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye olan mesafeye d (doğrultman) oranı sabittir ve dışmerkezliğe e eşittir , denir:

a) eğer 0\leqslant e ise<1 ;

b) e>1 ise;

c) e=1 ise parabol.

2. Bir elips, hiperbol ve parabol, dairesel bir koninin kesitlerindeki düzlemler olarak elde edilir ve bu nedenle bunlara denir. konik bölümler. Bu özellik aynı zamanda bir elipsin, hiperbolün ve parabolün geometrik tanımı olarak da kullanılabilir.

3. Elips, hiperbol ve parabolün ortak özellikleri şunlardır: iki sektörlü mülk onların teğetleri. Altında teğet Bir noktada bir çizgiye K, söz konusu çizgi üzerinde kalan M noktası K noktasına doğru yöneldiğinde KM sekantının sınırlayıcı konumu olarak anlaşılmaktadır. Bir doğruya teğete dik olan ve teğet noktasından geçen doğruya denir normal bu satıra.

Bir elips, hiperbol ve parabolün teğetlerinin (ve normallerinin) bisektörel özelliği aşağıdaki şekilde formüle edilir: Bir elips veya hiperbolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılar oluşturur(Şekil 3.51, a, b); parabolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ve ondan doğrultmana bırakılan dik ile eşit açılar oluşturur(Şekil 3.51, c). Başka bir deyişle, elipsin K noktasındaki teğeti, F_1KF_2 üçgeninin dış açısının ortasıdır (ve normal, üçgenin F_1KF_2 iç açısının ortasıdır); hiperbolün teğeti, F_1KF_2 üçgeninin iç açısının ortayıdır (ve normal, dış açının ortasıdır); parabolün teğeti FKK_d üçgeninin iç açısının ortasıdır (ve normal, dış açının ortasıdır). Bir parabolün bisektörel özelliği, parabolün sonsuzda bir noktada ikinci bir odağa sahip olduğunu varsayarsak, bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi aynı şekilde formüle edilebilir.

4. Bisektörel özelliklerden şu sonuç çıkıyor elips, hiperbol ve parabolün optik özellikleri"odaklanma" teriminin fiziksel anlamını açıklıyor. Bir elips, hiperbol veya parabolün odak ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyleri hayal edelim. Bu yüzeylere yansıtıcı kaplama uygulandığı takdirde eliptik, hiperbolik ve parabolik aynalar elde edilir. Optik yasasına göre, bir ışık ışınının aynaya gelme açısı yansıma açısına eşittir; Gelen ve yansıyan ışınlar yüzeye normalle eşit açılar oluşturur ve hem ışınlar hem de dönme ekseni aynı düzlemdedir. Buradan aşağıdaki özellikleri elde ederiz:

– ışık kaynağı eliptik bir aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları başka bir odakta toplanır (Şekil 3.52, a);

– ışık kaynağı hiperbolik aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları sanki başka bir odaktan geliyormuş gibi uzaklaşır (Şekil 3.52, b);

– ışık kaynağı parabolik bir aynanın odağındaysa, aynadan yansıyan ışık ışınları odak eksenine paralel gider (Şekil 3.52, c).

5. Çap özelliği elips, hiperbol ve parabol şu şekilde formüle edilebilir:

– Bir elipsin (hiperbol) paralel kirişlerinin orta noktaları, elipsin merkezinden (hiperbol) geçen bir düz çizgi üzerinde yer alır.;

– Bir parabolün paralel kirişlerinin orta noktaları, parabolün düz, eşdoğrusal simetri ekseni üzerinde yer alır.

Bir elipsin (hiperbol, parabol) tüm paralel kirişlerinin orta noktalarının geometrik odağına denir. elipsin çapı (hiperbol, parabol), bu akorlarla eşlenik.

Bu, dar anlamda çapın tanımıdır (bkz. örnek 2.8). Daha önce, bir elipsin, hiperbolün, parabolün ve diğer ikinci dereceden çizgilerin çapının, tüm paralel kirişlerin orta noktalarını içeren düz bir çizgi olduğu geniş anlamda bir çap tanımı verilmişti. Dar anlamda bir elipsin çapı, merkezinden geçen herhangi bir kiriştir (Şekil 3.53, a); bir hiperbolün çapı, hiperbolün merkezinden geçen herhangi bir düz çizgidir (asimptotlar hariç) veya böyle bir düz çizginin parçasıdır (Şekil 3.53,6); Bir parabolün çapı, parabolün belirli bir noktasından simetri eksenine doğru uzanan herhangi bir ışındır (Şekil 3.53, c).

Her biri diğer çapa paralel olarak tüm kirişleri ikiye bölen iki çapa eşlenik denir. Şekil 3.53'te kalın çizgiler bir elipsin, hiperbolün ve parabolün eşlenik çaplarını göstermektedir.

K noktasında elipse (hiperbol, parabol) teğet, M_1M_2 paralel kesenlerinin sınır konumu olarak tanımlanabilir; söz konusu çizgi üzerinde kalan M_1 ve M_2 noktaları K noktasına doğru eğilim gösterir. Bu tanımdan, akorlara paralel bir teğetin, bu akorlara eşlenik çapın ucundan geçtiği sonucu çıkar.

6. Elips, hiperbol ve parabolün yukarıda verilenlere ek olarak çok sayıda geometrik özelliği ve fiziksel uygulaması vardır. Örneğin, Şekil 3.50, F ağırlık merkezinin yakınında bulunan uzay nesnelerinin yörüngelerinin bir gösterimi olarak hizmet edebilir.

Düzlem üzerinde bir çizgi ve bu çizginin üzerinde olmayan bir nokta düşünün. VE elips, Ve hiperbol Belirli bir noktaya olan uzaklığın, belirli bir düz çizgiye olan uzaklığa oranının sabit bir değer olduğu noktaların geometrik yeri birleşik bir şekilde tanımlanabilir.

sıra ε. 0 1'de - hiperbol. ε parametresi elipsin ve hiperbolün dışmerkezliği. ε parametresinin olası pozitif değerlerinden biri, yani ε = 1'in kullanılmadığı ortaya çıkıyor. Bu değer, belirli bir noktadan ve belirli bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktaların geometrik konumuna karşılık gelir.

Tanım 8.1. Düzlemde sabit bir noktadan ve sabit bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine ne ad verilir? parabol.

Sabit noktaya denir parabolün odağı ve düz çizgi - bir parabolün doğrultmanı. Aynı zamanda inanılıyor ki parabolün dışmerkezliği bire eşittir.

Geometrik değerlendirmelerden, parabolün, doğrultmana dik olan ve parabolün odağından geçen düz çizgiye göre simetrik olduğu sonucu çıkar. Bu düz çizgiye parabolün simetri ekseni veya kısaca denir. parabolün ekseni. Bir parabol simetri eksenini tek bir noktada keser. Bu noktaya denir parabolün tepe noktası. Parabolün odağını ekseninin direktriks ile kesişme noktasına bağlayan segmentin ortasında bulunur (Şekil 8.3).

Parabol denklemi. Bir parabolün denklemini türetmek için düzlemi seçiyoruz Menşei parabolün tepe noktasında, x ekseni- pozitif yönü odağın konumuyla belirlenen parabolün ekseni (bkz. Şekil 8.3). Bu koordinat sistemine denir kanonik söz konusu parabol için ve karşılık gelen değişkenler kanonik.

Odaktan doğrultmana olan mesafeyi p ile gösterelim. O aradı parabolün odak parametresi.

O zaman odak noktası F(p/2; 0) koordinatlarına sahiptir ve d doğrultmanı x = - p/2 denklemiyle tanımlanır. F noktasından ve d doğrusundan eşit uzaklıkta olan M(x; y) noktalarının konumu denklemle verilir.

Denklemin (8.2) karesini alıp benzerlerini sunalım. Denklemi elde ederiz

buna denir kanonik parabol denklemi.

Bu durumda kare almanın denklemin (8.2) eşdeğer bir dönüşümü olduğuna dikkat edin, çünkü denklemin her iki tarafı da radikal altındaki ifade gibi negatif değildir.

Parabol türü. Formu bilindiğini düşündüğümüz y 2 = x parabolünün apsis ekseni boyunca 1/(2р) katsayısı ile sıkıştırılması durumunda, denklem (8.3) ile açıklanan genel formda bir parabol elde edilir.

Örnek 8.2. Kanonik koordinatları (25; 10) olan bir noktadan geçen bir parabolün odak koordinatlarını ve doğrultma denklemini bulalım.

Kanonik koordinatlarda parabolün denklemi y 2 = 2px biçimindedir. (25; 10) noktası parabolün üzerinde olduğundan, 100 = 50p ve dolayısıyla p = 2. Bu nedenle, y 2 = 4x parabolün kanonik denklemidir, x = - 1 onun doğrultman denklemidir ve odak (1; 0) noktasındadır.

Bir parabolün optik özelliği. Parabol aşağıdakilere sahiptir optik özellik. Parabolün odağına bir ışık kaynağı yerleştirilirse, parabolden yansıdıktan sonra tüm ışık ışınları parabolün eksenine paralel olacaktır (Şekil 8.4). Optik özellik, parabolün herhangi bir M noktasında olduğu anlamına gelir. normal vektör teğet, odak yarıçapı MF ve apsis ekseni ile eşit açı yapar.

Tanım 1. Parabol her biri belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarının kümesine denir. odak, ve belirli bir noktadan geçmeyen ve çağrılan belirli bir çizgiden müdür.

Odak noktası belirli bir noktada olan bir parabol için denklem oluşturalım F ve kimin direktrisi çizgidir D, içinden geçilmiyor F. Aşağıdaki gibi dikdörtgen bir koordinat sistemi seçelim: eksen Ah hadi odak noktasından geçelim F yönetmene dik D yönünde Dİle F, ve kökeni HAKKINDA Odak ile yön arasındaki ortasına yerleştirelim (Şekil 1).

Tanım 2. Odak mesafesi F müdüre D isminde parabol parametresi ve ile gösterilir p(p> 0).

Şek. 1 şurası açık ki p = FK, bu nedenle odağın koordinatları vardır F (p/2; 0) ve directrix denklemi şu şekildedir: X= – r/2, veya

İzin vermek M(x;y) parabolün keyfi bir noktasıdır. Noktaları birleştirelim Mİle F ve harcayacağız MN d. Doğrudan Şekil 2'den. 1 şurası açık ki

ve iki nokta arasındaki mesafe formülüne göre

Parabolün tanımına göre, MF = MN, (1)

buradan, (2)

Denklem (2) gerekli parabol denklemidir. Denklemi (2) basitleştirmek için onu aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz:

onlar.,

Koordinatlar X Ve en puan M paraboller koşulu (1) ve dolayısıyla denklemi (3) karşılar.

Tanım 3. Denklem (3) denir bir parabolün kanonik denklemi.

2. Denklemini kullanarak bir parabolün şeklinin incelenmesi. Kanonik denklemini (3) kullanarak parabolün şeklini belirleyelim.

1) Nokta koordinatları Ç (0; 0) denklem (3)'ü karşılar, dolayısıyla bu denklemle tanımlanan parabol orijinden geçer.

2) Denklem (3)'te değişken olduğundan en yalnızca dahil çift ​​derece, sonra parabol y 2 = 2 piksel apsis eksenine göre simetriktir.

3) O zamandan beri p > 0, (3)'ten x ≥ 0 çıkar. Sonuç olarak parabol y 2 = 2 piksel eksenin sağında bulunur kuruluş birimi.

4) Apsis arttıkça X itibaren 0 +∞ koordinatına en arasında değişir 0 önce ± ∞, yani parabolün noktaları eksenden sınırsız olarak uzaklaşır Ah ve eksenden kuruluş birimi.

Parabol y 2 = 2 pikselŞekil 2'de gösterilen şekle sahiptir. 2.

Tanım 4. Eksen Ah isminde parabolün simetri ekseni. Nokta Ç (0; 0) parabolün simetri ekseniyle kesişimine denir parabolün tepe noktası. Çizgi segmenti FM isminde odak yarıçapı puan M.

Yorum. Formun bir parabol denklemini oluşturmak için y 2 = 2 piksel biz özellikle dikdörtgen bir koordinat sistemi seçtik (bkz. madde 1). Koordinat sistemi farklı bir şekilde seçilirse parabolün denklemi farklı bir forma sahip olacaktır.

A

Örneğin, ekseni yönlendirirseniz Ah Odaktan yönetmene (Şek. 3, A

y 2 = –2 piksel. (4)

F(–р/2; 0) ve müdür D denklem tarafından verilen x = p/2.

Eksen ise kuruluş birimi hadi odak noktasından geçelim F D yönünde Dİle F ve kökeni HAKKINDA odak ile yön arasındaki ortasına yerleştirin (Şek. 3, B), o zaman parabol denklemi formun bir örneğidir

x 2 = 2ru . (5)

Böyle bir parabolün odağının koordinatları vardır F(0;p/2) ve müdür D denklem tarafından verilen y=–p/2.

Eksen ise kuruluş birimi hadi odak noktasından geçelim F yönetmene dik D yönünde Fİle D(Şek. 3, V), o zaman parabolün denklemi şu şekli alır:

x2 = –2ru (6)

Odak noktasının koordinatları şöyle olacaktır: F (0; –р/2) ve direktriks denklemi D irade y = p/2.

Denklemlerin (4), (5), (6) en basit forma sahip olduğu söylenir.

3. Bir parabolün paralel transferi. Tepe noktası bu noktada olan bir parabol verilsin O" (a; b) simetri ekseni eksene paralel olan kuruluş birimi ve dallar yukarı doğru yönlendirilir (Şekil 4). Bir parabol için bir denklem oluşturmanız gerekir.

(9)

Tanım 5. Denklem (9) denir tepe noktası yeri değiştirilmiş bir parabolün denklemi.

Bu denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

Koyarak

sahip olacak (10)

Bunu herkese göstermek zor değil A, B, C takvim ikinci dereceden üç terimli(10), Tanım 1 anlamında bir paraboldür. (10) formundaki bir parabol denklemi, okul kursu cebir.

BAĞIMSIZ ÇÖZÜM İÇİN ALIŞTIRMALAR

1 numara. Bir dairenin denklemini yazın:

A. merkezi orijinde ve yarıçapı 7 olan;

B. merkezi (-1;4) noktasında ve yarıçapı 2 olan.

Daire verilerini dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde oluşturun.

2 numara. Köşeleri olan bir elipsin kanonik denklemini oluşturun

ve püf noktaları

Numara 3. Kanonik denklemle verilen bir elips oluşturun:

1) 2)

4 numara. Köşeleri olan bir elipsin kanonik denklemini oluşturun

ve püf noktaları

Numara 5. Köşeleri olan bir hiperbolün kanonik denklemini oluşturun

ve püf noktaları

6 numara. Aşağıdaki durumlarda bir hiperbolün kanonik denklemini oluşturun:

1. Odaklar arasındaki ve köşeler arasındaki mesafe

2. gerçek yarı eksen ve dışmerkezlik;

3. eksene odaklanır, gerçek eksen 12, sanal eksen 8'dir.

7 numara. Kanonik denklemle verilen bir hiperbol oluşturun:

1) 2) .

8 numara. Aşağıdaki durumlarda bir parabolün kanonik denklemini yazın:

1) parabol, eksene ve parametresine göre simetrik olarak sağ yarım düzlemde bulunur;

2) parabol eksene göre simetrik olarak sol yarım düzlemde bulunur ve parametresi .

Bu parabolleri, odaklarını ve doğrultmanlarını oluşturun.

9 numara. Denklemi şu şekilde ise çizginin tipini belirleyin:

KENDİ TEST SORULARI

1. Uzaydaki vektörler.

1.1. Vektör nedir?

1.2. Bir vektörün mutlak büyüklüğü nedir?

1.3. Uzayda ne tür vektörler biliyorsunuz?

1.4. Onlarla hangi eylemleri gerçekleştirebilirsiniz?

1.5. Vektör koordinatları nedir? Onları nasıl bulabilirim?

2. Koordinatlarıyla belirtilen vektörler üzerindeki eylemler.

2.1. Koordinat formunda verilen vektörlerle hangi işlemler yapılabilir (kurallar, eşitlikler, örnekler); nasıl bulunur mutlak değer böyle bir vektör.

2.2. Özellikler:

2.2.1 eşdoğrusal;

2.2.2 dikey;

2.2.3 eş düzlemli;

2.2.4 eşit vektörler.
(formülasyonlar, eşitlikler).

3. Düz bir çizginin denklemi. Uygulamalı problemler.

3.1. Hangi tür düz çizgi denklemlerini biliyorsunuz (kayıttan yazabilme ve yorumlayabilme);

3.2. Paralellik - açısal katsayılı denklemlerle belirtilen iki düz çizginin dikliği nasıl incelenir veya genel denklemler?

3.3. Bir noktadan iki nokta arasındaki çizgiye olan mesafe nasıl bulunur?

3.4. Genel çizgi denklemleri veya eğim denklemleri ile verilen çizgiler arasındaki açı nasıl bulunur?

3.5. Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları ve bu parçanın uzunluğu nasıl bulunur?

4. Bir düzlemin denklemi. Uygulamalı problemler.

4.1. Ne tür düzlem denklemlerini biliyorsunuz (kayıttan yazıp yorumlayabilme)?

4.2. Uzayda düz çizgilerin paralelliği ve dikliği nasıl incelenir?

4.3. Bir noktadan düzleme olan mesafe ve düzlemler arasındaki açı nasıl bulunur?

4.4. Nasıl keşfedilir? karşılıklı düzenleme uzayda düz çizgi ve düzlem?

4.5. Uzayda bir doğrunun denklem türleri: genel, kanonik, parametrik, verilen iki noktadan geçen.

4.6. Düz çizgiler arasındaki açı ve uzaydaki noktalar arasındaki mesafe nasıl bulunur?

5. İkinci dereceden çizgiler.

5.1. Elips: tanım, odaklar, köşeler, büyük ve küçük eksenler, odak yarıçapları, dışmerkezlik, doğrultman denklemleri, elipsin en basit (veya kanonik) denklemleri; çizim.

5.2. Hiperbol: tanım, odaklar, köşeler, gerçek ve sanal eksenler, odak yarıçapları, dışmerkezlik, doğrultman denklemleri, en basit (veya kanonik) hiperbol denklemleri; çizim.

5.3. Parabol: tanım, odak, doğrultman, tepe noktası, parametre, simetri ekseni, bir parabolün en basit (veya kanonik) denklemleri; çizim.

4.1, 4.2, 4.3'e ilişkin not: Her 2. dereceden satır için yapıyı tanımlayabileceksiniz.

KENDİ TEST GÖREVLERİ

1.Verilen puanlar: Burada N, listedeki öğrenci numarasıdır.

3) M noktasından P düzlemine olan mesafeyi bulun.

4. Kanonik denklemiyle verilen ikinci dereceden bir doğru oluşturun:

.

EDEBİYAT

1. İktisatçılar için yüksek matematik - Üniversiteler için ders kitabı, ed. N.Ş. Kremer ve diğerleri, Moskova, UNITY, 2003.

2. Barkovsky V.V., Barkovska N.V. - İktisatçılar için Vischa matematiği – Kiev, TsUL, 2002.

3. Suvorov I.F. - Yüksek matematik dersi. - M., Yüksekokul, 1967.

4. Tarasov N.P. - Teknik okullar için yüksek matematik dersi. - M.; Bilim, 1969.

5. Zaitsev I.L. - Teknik okullar için yüksek matematiğin unsurları. - M.; Bilim, 1965.

6. Valutse N.N., Diligul G.D. - Teknik okullar için matematik. - M.; Bilim, 1990.

7. Shipachev V.S. - Yüksek Matematik. Üniversiteler için ders kitabı - M.: Yüksekokul, 2003.