İlk seviye

Bir fonksiyonun türevi. Nihai Kılavuz (2019)

Tepelik bir alandan geçen düz bir yol düşünelim. Yani yukarı aşağı gidiyor ama sağa sola dönmüyor. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir sıfır irtifa seviyesidir; hayatta deniz seviyesini kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken aynı zamanda yukarı veya aşağı da hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket), fonksiyonun değeri de değişir (ordinat ekseni boyunca hareket). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim mi? Bu nasıl bir değer olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafeye doğru ilerlerken yüksekliğin ne kadar değişeceği. Nitekim yolun farklı kısımlarında, (x ekseni boyunca) bir kilometre ileriye doğru hareket ederek, deniz seviyesine göre (y ekseni boyunca) farklı sayıda metre yükselip alçalacağız.

İlerlemeyi gösterelim (“delta x” okuyun).

Yunanca harf (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani bu nicelikteki bir değişikliktir, bir değişikliktir; o zaman ne? Doğru, büyüklükte bir değişiklik.

Önemli: Bir ifade tek bir bütündür, tek bir değişkendir. “Delta”yı asla “x”ten veya başka bir harften ayırmayın! Yani örneğin .

Böylece yatay olarak ileriye doğru ilerledik. Yolun çizgisini fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani ilerledikçe daha da yükseliriz.

Değerin hesaplanması kolaydır: Başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra kendimizi yüksekte bulursak, o zaman. Bitiş noktası başlangıç ​​noktasından daha düşükse negatif olacaktır - bu, yükseldiğimiz değil alçaldığımız anlamına gelir.

Tekrar "diklik" konusuna dönelim: Bu, bir birim mesafe ileri gidildiğinde yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Yolun bir bölümünde bir kilometre ileri gidildiğinde yolun bir kilometre yukarıya çıktığını varsayalım. O halde bu yerdeki eğim eşittir. Peki ya yol m ileri giderken km düşerse? O halde eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin zirvesine bakalım. Bölümün başlangıcını zirveden yarım kilometre önce ve sonunu yarım kilometre sonra alırsanız yüksekliğin hemen hemen aynı olduğunu görürsünüz.

Yani bizim mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Kilometrelerce uzakta çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir şekilde değerlendirilmesi için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin bir metre hareket ettikçe yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta yolun ortasında bir direk varsa onu kolayca geçebiliriz. O halde hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha az daha iyidir!

İÇİNDE gerçek hayat Mesafeleri en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle kavram icat edildi sonsuz küçük yani mutlak değer isimlendirebileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin şöyle diyorsunuz: trilyonuncu! Ne kadar az? Ve bu sayıyı -'ye bölerseniz daha da az olacaktır. Ve benzeri. Bir niceliğin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra doğru gider” şeklinde okuruz). Anlamak çok önemli bu sayının sıfır olmadığını! Ama buna çok yakın. Bu, ona bölebileceğiniz anlamına gelir.

Sonsuz küçük kavramının karşısındaki kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan modülo daha büyüktür. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, bunu ikiyle çarpın, daha da büyük bir sayı elde edeceksiniz. Ve sonsuzluk olandan da büyüktür. Aslında sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tam tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirmeyle yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama sonsuz küçüklüğün sıfıra eşit anlamına gelmediğini hatırlatayım. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz tamamen sıradan bir sayı elde edebilirsiniz, örneğin . Yani küçük bir değer diğerinden tam olarak kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar ne için? Yol, diklik... Araba rallisine gitmiyoruz ama matematik öğretiyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, yalnızca farklı adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.

Kademeli olarak matematikte değişim diyorlar. Bağımsız değişkenin () eksen boyunca hareket ettikçe ne ölçüde değiştiğine denir argüman artışı Eksen boyunca belli bir mesafe kadar ileriye doğru hareket edildiğinde fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve belirlenir.

Yani bir fonksiyonun türevi ne zamana oranıdır. Türevi fonksiyonla aynı harfle, yalnızca sağ üstte bir asal sayıyla veya basitçe belirtiriz. Şimdi bu gösterimleri kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatif olur.

Türev sıfıra eşit olabilir mi? Kesinlikle. Örneğin düz yatay bir yolda gidiyorsak diklik sıfırdır. Ve bu doğru, yükseklik hiç değişmiyor. Türevde de durum aynıdır: Sabit bir fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfıra eşittir.

Tepe örneğini hatırlayalım. Segmentin uçlarını tepe noktasının karşıt taraflarına, uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani segment eksene paralel olacak şekilde yerleştirmenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün işaretidir. Segmentimizi kendine paralel olarak yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacak.

Sonunda tepeye sonsuz derecede yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilimli değildir ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede durduğumuzda, sola veya sağa doğru küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilecek kadar değiştirir.

Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama da var: Tepe noktasının solunda fonksiyon artar ve sağında azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, bir fonksiyon arttığında türevi pozitif, azaldığında ise negatif olur. Ancak atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle negatif ve pozitif değerler arasında olması gerekir. Köşe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynı durum çukur (soldaki fonksiyonun azaldığı, sağdaki fonksiyonun arttığı alan) için de geçerlidir:

Artışlar hakkında biraz daha.

Bu yüzden argümanı büyüklük olarak değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? Şimdi bu (tartışma) ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi oradan dans edeceğiz.

Koordinatı olan bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi ne var? eşit argüman? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse fonksiyon da oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:

Artışları bulma alıştırması yapın:

1. Bağımsız değişkenin artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Aynı şey bir noktada fonksiyon için de geçerlidir.

Çözümler:

Aynı argüman artışına sahip farklı noktalarda, fonksiyon artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin farklı olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun dikliği farklı noktalarda farklıdır). Bu nedenle bir türev yazarken hangi noktada olduğunu belirtmeliyiz:

Güç fonksiyonu.

Güç fonksiyonu, argümanın bir dereceye kadar (mantıklı, değil mi?) geçerli olduğu bir fonksiyondur.

Üstelik - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum, üssün şu şekilde olmasıdır:

Bir noktadaki türevini bulalım. Türevin tanımını hatırlayalım:

Yani argüman 'dan 'a değişir. Fonksiyonun artışı nedir?

Artış şudur. Ancak herhangi bir noktadaki bir fonksiyon argümanına eşittir. Bu yüzden:

Türev şuna eşittir:

Türevi şuna eşittir:

b) Şimdi düşünün ikinci dereceden fonksiyon (): .

Şimdi şunu hatırlayalım. Bu, artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir, çünkü bu son derece küçüktür ve bu nedenle diğer terimin arka planına göre önemsizdir:

Böylece başka bir kural bulduk:

c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı formülünü kullanarak ilk parantezi açın veya küp farkı formülünü kullanarak ifadenin tamamını çarpanlara ayırın. Önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanarak bunu kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece aşağıdakileri elde ettim:

Ve şunu bir kez daha hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Şunu alıyoruz: .

d) Büyük kuvvetler için de benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, tamsayı bile olmayan, keyfi bir üssü olan bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

(2)

Kural şu ​​şekilde formüle edilebilir: "Derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve ardından azaltılır."

Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türev tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını hesaplayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Bu nasıl?” gibi sorularınız varsa. Derece nerede?”, “” konusunu hatırlayın!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, yalnızca kesirlidir: .
   Bu, karekökümüzün sadece üssü olan bir kuvvet olduğu anlamına gelir:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada yine belirsizleşirse “” konusunu tekrarlayın!!! (derece hakkında negatif gösterge)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım üzerinden (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi her zamanki gibi aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

Trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir olguyu kullanacağız:

İfade ile.

Kanıtı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için Birleşik Devlet Sınavını iyi bir şekilde geçmeniz gerekir). Şimdi bunu grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon mevcut olmadığında grafikteki noktanın kesildiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakın demektir, “amaçlanan” da budur.

Ek olarak, bir hesap makinesi kullanarak bu kuralı kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, utanmayın, bir hesap makinesi alın, henüz Birleşik Devlet Sınavında değiliz.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinenizi Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Ne kadar az olursa o kadar çok olduğunu görüyoruz. daha yakın değer ile ilişkili

a) Fonksiyonu düşünün. Her zamanki gibi, artışını bulalım:

Sinüs farkını çarpıma dönüştürelim. Bunu yapmak için şu formülü kullanıyoruz (“” konusunu hatırlayın): .

Şimdi türev:

Bir değişiklik yapalım: . O halde sonsuz küçük için aynı zamanda sonsuz küçüktür: . için ifade şu şekli alır:

Şimdi de bunu şu ifadeyle hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda sonsuz küçük bir miktar (yani, at) ihmal edilebilirse ne olur?

Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz: sinüsün türevi kosinüse eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte tek bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. İlk önce türevi bulalım Genel görünüm ve ardından değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada buna benzer bir şeyimiz var güç fonksiyonu. Onu kendine getirmeye çalışalım
   Normal görünüm:
   .
   Harika, artık formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeee.....Bu nedir????

Tamam haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı henüz bilmiyoruz. Burada çeşitli fonksiyon türlerinin bir kombinasyonu var. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte herhangi bir değer için türevi aynı zamanda fonksiyonun kendi değerine eşit olan bir fonksiyon vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu fonksiyonun temeli bir sabittir; sonsuzdur ondalık yani irrasyonel bir sayı (gibi). Buna “Euler sayısı” denir, bu nedenle harfle gösterilir.

Yani kural:

Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alalım. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Katılımcı ve doğal logaritma- fonksiyonlar türev açısından benzersiz derecede basittir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?!...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. bir noktada;
2. bir noktada;
3. bir noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (Doğrusal bir fonksiyon olduğundan türev her noktada aynıdır, hatırladınız mı?);

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtalım ve onun artışını bulalım:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o halde fonksiyonumuzu yeni bir tabana indirgemeye çalışalım:

Bunun için kullanacağız basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün bir üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani artık yazılamayan bir sayıdır. basit biçimde. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar, ikincisi ise onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için adımların tersini uygulamanız gerekir. Ters sipariş.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu bir örnektir karmaşık fonksiyon: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştiririz ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci bir eylemi gerçekleştiririz.

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli Özellik Karmaşık işlevler: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

Başka bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

1. İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak o zaman küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
   Ve asıl işlev bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(Şimdilik kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir fonksiyon olduğu hemen anlaşılıyor: Sonuçta, bu zaten başlı başına karmaşık bir fonksiyon ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir kaseye koyuyoruz). sarıcı ve evrak çantasında bir kurdele ile). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

1. “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
2. “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Makalenin içeriği

TÜREV– fonksiyonun türevi sen = F(X), belirli bir aralıkta verilir ( A, B) noktada X Bu aralığın değeri, fonksiyonun artış oranının yöneldiği sınır olarak adlandırılır. F bu noktada argümanın artışı sıfıra yaklaştığında argümanın karşılık gelen artışına.

Türev genellikle şu şekilde gösterilir:

Diğer tanımlamalar da yaygın olarak kullanılmaktadır:

Anlık hız.

Bırakın nokta M düz bir çizgide hareket eder. Mesafe S başlangıç ​​konumundan sayılan hareket noktası M 0 , zamana bağlı T yani S zamanın bir fonksiyonu var T: S= F(T). Zamanın bir noktasında izin ver T hareket noktası M uzaktaydı S başlangıç ​​pozisyonundan M 0 ve bir sonraki anda T+D T kendini bir konumda buldu M 1 - mesafeli S+D S başlangıç ​​konumundan ( resme bak.).

Böylece belli bir süre boyunca D T mesafe S D miktarı kadar değişti S. Bu durumda D zaman aralığında T büyüklük S alınan artış D S.

Ortalama hız her durumda bir noktanın hareket hızını doğru bir şekilde karakterize edemez. M zamanın bir noktasında T. Örneğin, D aralığının başlangıcındaki cisim Tçok hızlı ve sonunda çok yavaş hareket ederse, ortalama hız noktanın hareketinin belirtilen özelliklerini yansıtamayacak ve o andaki hareketinin gerçek hızı hakkında bir fikir veremeyecek T. Ortalama hızı kullanarak gerçek hızı daha doğru bir şekilde ifade etmek için daha kısa bir zaman dilimi ayırmanız gerekir. T. Çoğu, şu anda bir noktanın hareket hızını tam olarak karakterize eder T D noktasında ortalama hızın yöneldiği sınır T® 0. Bu sınıra hareket hızı denir. şu an:

Böylece, belirli bir andaki hareket hızına yol artış oranının D sınırı denir. S zaman artışına D T, zaman artışı sıfıra yaklaştığında. Çünkü

Türevin geometrik anlamı. Bir fonksiyonun grafiğine teğet.

Teğet doğruların inşası diferansiyel hesabın doğuşuna yol açan problemlerden biridir. Diferansiyel hesapla ilgili olarak Leibniz tarafından yazılan ilk yayınlanmış eser Yeni yöntem maksimumlar ve minimumların yanı sıra kesirli veya irrasyonel miktarların olmadığı teğetler ve bunun için özel bir hesap türü engel teşkil etmez.

Eğri fonksiyonun grafiği olsun sen =F(X) dikdörtgen bir koordinat sisteminde ( santimetre. pirinç.).

Bir miktar değerde X fonksiyon önemlidir sen =F(X). Bu değerler X Ve sen eğri üzerindeki nokta karşılık gelir M 0(X, sen). Eğer argüman X vermek artış D X, ardından bağımsız değişkenin yeni değeri X+D X yeni fonksiyon değerine karşılık gelir y+ D sen = F(X + D X). Eğrinin karşılık gelen noktası nokta olacaktır M 1(X+D X,sen+D sen). Bir sekant çizerseniz M 0M 1 ve j ile gösterilir eksenin pozitif yönü ile bir çaprazın oluşturduğu açı Öküz, şekilden hemen anlaşılıyor.

eğer şimdi D X sıfıra eğilimlidir, o zaman nokta M 1 noktaya yaklaşarak eğri boyunca hareket eder M 0 ve açı J D ile değişir X. Şu tarihte: Dx® 0 j açısı belirli bir a sınırına yönelir ve noktadan geçen düz çizgi M 0 ve x ekseninin pozitif yönü olan a açısına sahip bileşen istenen teğet olacaktır. Eğimi:

Buradan, F´( X) = tga

onlar. türev değeri F´( X) belirli bir argüman değeri için X fonksiyonun grafiğine teğetin oluşturduğu açının tanjantına eşittir F(X) karşılık gelen noktada M 0(X,sen) pozitif eksen yönü ile Öküz.

Fonksiyonların türevlenebilirliği.

Tanım. Eğer fonksiyon sen = F(X) noktasında bir türevi vardır X = X 0 ise fonksiyon bu noktada türevlenebilirdir.

Türevi olan bir fonksiyonun sürekliliği. Teorem.

Eğer fonksiyon sen = F(X) bir noktada türevlenebilir X = X 0 ise bu noktada süreklidir.

Dolayısıyla fonksiyonun süreksizlik noktalarında türevi olamaz. Bunun tersi sonuç yanlıştır, yani. bir noktada olduğu gerçeğinden X = X 0 işlevi sen = F(X) sürekli olması bu noktada türevlenebilir olduğu anlamına gelmez. Örneğin, fonksiyon sen = |X| herkes için sürekli X(–Ґ x x = 0'ın türevi yoktur. Bu noktada grafiğe teğet yoktur. Sağ teğet ve sol teğet vardır ancak bunlar çakışmaz.

Türevlenebilir fonksiyonlarla ilgili bazı teoremler. Türevin köklerine ilişkin teorem (Rolle teoremi). Eğer fonksiyon F(X) segment üzerinde süreklidir [A,B], bu segmentin tüm iç noktalarında ve uçlarında türevlenebilir X = A Ve X = B sıfıra gider ( F(A) = F(B) = 0), o zaman segmentin içinde [ A,B] en az bir nokta var X= İle, A c b, burada türev Fў( X) sıfıra gider, yani Fў( C) = 0.

Sonlu artış teoremi (Lagrange teoremi). Eğer fonksiyon F(X) aralıkta süreklidir [ A, B] ve bu parçanın tüm iç noktalarında, ardından parçanın içinde türevlenebilir [ A, B] en az bir nokta var İle, A cb bu

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

İki fonksiyonun artışlarının oranına ilişkin teorem (Cauchy teoremi). Eğer F(X) Ve G(X) – segment üzerinde sürekli iki fonksiyon [A, B] ve bu segmentin tüm iç noktalarında türevlenebilir ve Gў( X) bu segmentin içinde herhangi bir yerde kaybolmaz, ardından segmentin içinde [ A, B] öyle bir nokta var ki X = İle, A cb bu

Çeşitli derecelerin türevleri.

Fonksiyona izin ver sen =F(X) belirli bir aralıkta türevlenebilirdir [ A, B] Türev değerler F ў( X), genel olarak konuşursak, bağlıdır X yani türev F ў( X) aynı zamanda bir fonksiyonudur X. Bu fonksiyonun türevini alırken, fonksiyonun ikinci türevini elde ederiz. F(X), belirtilen F ўў ( X).

Türev N- fonksiyonun sırası F(X) türevinin (birinci dereceden) türevi olarak adlandırılır N- 1- th ve sembolü ile gösterilir sen(N) = (sen(N– 1))ў.

Çeşitli siparişlerin diferansiyelleri.

Fonksiyon diferansiyeli sen = F(X), Nerede X– bağımsız değişken, evet ölmek = F ў( X)dx, bazı işlevler X, ama nereden X yalnızca ilk faktör bağlı olabilir F ў( X), ikinci faktör ( dx) bağımsız değişkenin artışıdır X ve bu değişkenin değerine bağlı değildir. Çünkü ölmek bir fonksiyon var X O zaman bu fonksiyonun diferansiyelini belirleyebiliriz. Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline, bu fonksiyonun ikinci diferansiyeli veya ikinci dereceden diferansiyeli denir ve şöyle gösterilir: D 2sen:

D(dx) = D 2sen = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferansiyel N- birinci dereceden diferansiyelin birinci diferansiyeli denir N- 1- sıra:

d n y = D(gün–1sen) = F(N)(X)dx(N).

Kısmi türev.

Bir fonksiyon bir argümana değil birden fazla argümana bağlıysa x ben(Ben 1 ila 1 arasında değişir N,Ben= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… xn), daha sonra diferansiyel hesaplamada, yalnızca bir argüman değiştiğinde birkaç değişkenli bir fonksiyonun değişim oranını karakterize eden kısmi türev kavramı tanıtılır, örneğin, x ben. göre 1. dereceden kısmi türev x ben sıradan bir türev olarak tanımlanır ve dışındaki tüm argümanların olduğu varsayılır. x ben, değerleri sabit tutun. Kısmi türevler için gösterim tanıtıldı

Bu şekilde tanımlanan 1. dereceden kısmi türevler (aynı argümanların fonksiyonları olarak) da kısmi türevlere sahip olabilir, bunlar ikinci dereceden kısmi türevlerdir, vb. Farklı argümanlardan alınan bu tür türevlere karışık denir. Aynı mertebeden sürekli karışık türevler, türev alma sırasına bağlı değildir ve birbirine eşittir.

Anna Chugainova

Tanım.\(y = f(x)\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını varsayalım. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde \(\Delta x \) bir artış verelim. \(\Delta y \) fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım (\(x_0 \) noktasından \(x_0 + \Delta x \) noktasına giderken) ve \(\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) \). Bu oranın \(\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir. bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) \) \(x_0 \) noktasındadır ve \(f"(x_0) \)'yi gösterir.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Y sembolü genellikle türevi belirtmek için kullanılır. y" = f(x)'in yeni bir fonksiyon olduğuna, ancak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla doğal olarak ilişkili olduğuna dikkat edin. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.

Geometrik anlam türevŞöyleki. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) olduğundan, \(f"(a) = tan(a) \) eşitliği doğrudur.

Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. \(y = f(x)\) fonksiyonunun belirli bir \(x\) noktasında türevi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), yani \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x\). Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “neredeyse orantılıdır” ve orantı katsayısı da türevin değeridir. verilen nokta X. Örneğin, \(y = x^2\) fonksiyonu için yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.

Formüle edelim.

y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?

1. \(x\) değerini sabitleyin, \(f(x)\)'i bulun
2. \(x\) argümanına bir artış \(\Delta x\) verin, yeni bir \(x+ \Delta x \) noktasına gidin, \(f(x+ \Delta x) \)'yi bulun
3. Fonksiyonun artışını bulun: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.

Bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).

Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?

y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.

Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bu eşitlikte ise \(\Delta x \) sıfıra yönelirse \(\Delta y \) sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.

Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.

Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde, özellikle x = 0 noktasında süreklidir, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.

Bir örnek daha. \(y=\sqrt(x)\) fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Böyle bir düz çizginin açı katsayısı yoktur, yani \(f) "(0)\) mevcut değil.

Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?

Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktada teğeti yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.

Farklılaşma kuralları

Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C sabit bir sayıysa ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Karmaşık bir fonksiyonun türevi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Bazı fonksiyonların türevleri tablosu

$$ \left(\frac(1)(x) \sağ) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

(\large\bf Bir fonksiyonun türevi)

İşlevi düşünün y=f(x), aralıkta belirtilen (a, b). İzin vermek X- aralığın herhangi bir sabit noktası (a, b), A Δx- değeri sağlayacak şekilde rastgele bir sayı x+Δx aynı zamanda aralığa aittir (a, b). Bu numara Δx argüman artışı denir.

Tanım. Fonksiyon artışı y=f(x) noktada X argüman artışına karşılık gelen Δx, numarayı arayalım

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Buna inanıyoruz Δx ≠ 0. Belirli bir sabit noktada düşünün X bu noktadaki fonksiyon artışının karşılık gelen argüman artışına oranı Δx

Bu ilişkiye fark ilişkisi adını vereceğiz. Değerden beri X sabit olduğunu düşünüyoruz, fark oranı argümanın bir fonksiyonudur Δx. Bu fonksiyon tüm argüman değerleri için tanımlanmıştır Δx, noktanın yeterince küçük bir mahallesine ait Δx=0, noktanın kendisi hariç Δx=0. Dolayısıyla bir sınırın varlığı sorusunu dikkate alma hakkına sahibiz belirtilen işlev en Δx → 0.

Tanım. Bir fonksiyonun türevi y=f(x) belirli bir sabit noktada X limit denir Δx → 0 fark oranı, yani

Bu sınırın mevcut olması şartıyla.

Tanım. y'(x) veya f'(x).

Türevin geometrik anlamı: Bir fonksiyonun türevi f(x) Bu noktada X eksenler arasındaki açının tanjantına eşit Öküz ve bu fonksiyonun grafiğine karşılık gelen noktada bir teğet:

f'(x 0) = \tgα.

Türevin mekanik anlamı: Yolun zamana göre türevi hıza eşittir doğrusal hareket puan:

Bir doğruya teğet denklemi y=f(x) noktada M 0 (x 0, y 0) formu alır

y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).

Bir eğrinin belirli bir noktasındaki normali, aynı noktadaki teğete diktir. Eğer f'(x 0)≠ 0, daha sonra doğrunun normalinin denklemi y=f(x) noktada M 0 (x 0, y 0)şu şekilde yazılmıştır:

Bir fonksiyonun türevlenebilirliği kavramı

Fonksiyona izin ver y=f(x) belirli bir aralıkta tanımlanmış (a, b), X- bu aralıktan bazı sabit argüman değerleri, Δx- argümanın değerini sağlayacak şekilde argümanda yapılan herhangi bir artış x+Δx ∈ (a, b).

Tanım. İşlev y=f(x) Belirli bir noktada türevlenebilir denir X eğer artış varsa Δy bu fonksiyon şu noktada X argüman artışına karşılık gelen Δxşeklinde temsil edilebilir

Δy = Bir Δx +αΔx,

Nerede A- bağımsız bir sayı Δx, A α - argüman işlevi Δx, bu da sonsuz küçük Δx→ 0.

İki sonsuz küçük fonksiyonun çarpımı olduğundan αΔx sonsuz küçüktür yüksek sipariş, Nasıl Δx(3 sonsuz küçük fonksiyonun özelliği), o zaman şunu yazabiliriz:

Δy = Bir Δx +o(Δx).

Teorem. Fonksiyonun gerçekleşebilmesi için y=f(x) belirli bir noktada türevlenebilirdi X Bu noktada sonlu türevinin olması gerekli ve yeterlidir. burada A=f′(x), yani

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Türevi bulma işlemine genellikle farklılaşma adı verilir.

Teorem. Eğer fonksiyon y=f(x) X ise bu noktada süreklidir.

Yorum. Fonksiyonun sürekliliğinden y=f(x) Bu noktada X genel olarak konuşursak, fonksiyonun türevlenebilirliği takip etmez f(x) Bu noktada. Örneğin, fonksiyon y=|x|- bir noktada sürekli x=0, ancak türevi yoktur.

Diferansiyel fonksiyon kavramı

Tanım. Fonksiyon diferansiyeli y=f(x) bu fonksiyonun türevi ile bağımsız değişkenin artışının çarpımına denir X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

İşlev için y=x aldık dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, yani dx=Δx- bağımsız bir değişkenin diferansiyeli bu değişkenin artışına eşittir.

Böylece yazabiliriz

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferansiyel ölmek ve artırma Δy işlevler y=f(x) Bu noktada X, her ikisi de aynı bağımsız değişken artışına karşılık gelir Δx genel anlamda birbirine eşit değildir.

Diferansiyelin geometrik anlamı: Bir fonksiyonun diferansiyeli, argüman artırıldığında bu fonksiyonun grafiğine teğetinin ordinatındaki artışa eşittir Δx.

Farklılaşma kuralları

Teorem. Eğer fonksiyonların her biri sen(x) Ve v(x) belirli bir noktada türevlenebilir X, daha sonra bu fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü (şu şartla bölüm) v(x)≠ 0) bu noktada da türevlenebilir ve formüller şunları sağlar:

Karmaşık işlevi düşünün y=f(φ(x))≡ F(x), Nerede y=f(u), u=φ(x). Bu durumda sen isminde ara argüman, X - bağımsız değişken.

Teorem. Eğer y=f(u) Ve u=φ(x) argümanlarının türevlenebilir fonksiyonlarıdır, o zaman karmaşık bir fonksiyonun türevidir y=f(φ(x)) vardır ve ara argümana göre bu fonksiyonun çarpımına ve bağımsız değişkene göre ara argümanın türevine eşittir, yani.

Yorum. Üç fonksiyonun süperpozisyonu olan karmaşık bir fonksiyon için y=F(f(φ(x))), farklılaşma kuralı şu şekildedir:

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

işlevler nerede v=φ(x), u=f(v) Ve y=F(u)- argümanlarının türevlenebilir fonksiyonları.

Teorem. Fonksiyona izin ver y=f(x) artar (veya azalır) ve noktanın bazı mahallelerinde süreklidir x 0. Ayrıca bu fonksiyonun belirtilen noktada türevlenebilir olmasına izin verin. x 0 ve bu noktadaki türevi f'(x 0) ≠ 0. Daha sonra karşılık gelen noktanın bazı mahallelerinde y 0 =f(x 0) tersi şu şekilde tanımlanır: y=f(x) işlev x=f -1 (y) ve belirtilen ters fonksiyon karşılık gelen noktada türevlenebilir y 0 =f(x 0) ve bu noktadaki türevi için sen formül geçerlidir

Türev tablosu

Birinci diferansiyelin formunun değişmezliği

Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelini ele alalım. Eğer y=f(x), x=φ(t)- argümanlarının fonksiyonları türevlenebilirse, fonksiyonun türevi y=f(φ(t)) formülle ifade edilir

y' t = y' x x' t.

A-tarikatı dy=y' t dt, sonra elde ederiz

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y' x dx.

Yani kanıtladık

Bir fonksiyonun birinci diferansiyel formunun değişmezliği özelliği: argümanın olduğu gibi X bağımsız bir değişkendir ve argümanın X kendisi yeni değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonudur, diferansiyel ölmek işlevler y=f(x) bu fonksiyonun türevinin argümanın diferansiyeli ile çarpımına eşittir dx.

Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması

Diferansiyelin olduğunu gösterdik. ölmek işlevler y=f(x) genel olarak konuşursak, artışa eşit değildir Δy bu fonksiyon. Ancak sonsuza kadar doğrulukla küçük fonksiyon göre daha yüksek düzeyde küçüklük Δx yaklaşık eşitlik geçerlidir

Δy ≈ dy.

Oran, bu eşitliğin eşitliğinin göreceli hatası olarak adlandırılır. Çünkü Δy-dy=o(Δx), bu eşitliğin bağıl hatası azaldıkça istenildiği kadar küçük olur |Δх|.

Hesaba katıldığında Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, alıyoruz f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx veya

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Bu yaklaşık eşitlik hataya izin verir o(Δx) işlevi değiştir f(x) noktanın küçük bir mahallesinde X(yani küçük değerler için Δx) doğrusal fonksiyon argüman Δx, sağ tarafta duruyor.

Yüksek dereceli türevler

Tanım. Bir fonksiyonun ikinci türevi (veya ikinci dereceden türevi) y=f(x) birinci türevinin türevi denir.

Bir fonksiyonun ikinci türevinin gösterimi y=f(x):

İkinci türevin mekanik anlamı. Eğer fonksiyon y=f(x) maddi bir noktanın düz bir çizgideki hareket yasasını, ardından ikinci türevi açıklar f″(x) Hareket eden bir noktanın o andaki ivmesine eşit X.

Üçüncü ve dördüncü türevler de benzer şekilde belirlenir.

Tanım. N türev (veya türev N-inci sıra) işlevler y=f(x) bunun türevi denir n-1 inci türevi:

y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.

Tanımlar: y", ve IV, ve V vesaire.

Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.

Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıktı. . Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.

Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Diğer türevler temel işlevler Türevler tablosunda buluyoruz ve çarpım, toplam ve bölümün türevlerinin formülleri türev alma kurallarında yer alıyor. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;

Türev tablosundan "x" türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; türevin işaretinden çıkarılabilir:

Eğer hala bir şeyin nereden geldiğine dair sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir
3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. Türev kare kök
6. Sinüs türevi
7. Kosinüs Türevi
8. Teğetin türevi
9. Kotanjantın Türevi
10. Arsinüsün türevi
11. Arkosinin türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik fonksiyonun türevi
16. Üssün türevi
17. Üstel bir fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Bir toplamın veya farkın türevi
2. Ürünün türevi
2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir

Ve

onlar. cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir yani

Kural 2.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse çarpımları aynı noktada türevlenebilirdir

Ve

onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir:

Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin üç çarpan için:

Kural 3.Eğer işlevler

bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümü de türevlenebiliru/v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.

Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabilirim?

Gerçek problemlerde bir çarpımın ve bölümün türevini bulurken her zaman birkaç türev alma kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle makalede bu türevlerle ilgili daha fazla örnek vardır."Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşit olur ve sabit bir faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu tipik hata Bu türev çalışmalarının ilk aşamasında ortaya çıkar, ancak ortalama bir öğrenci birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe artık bu hatayı yapmaz.

Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).

Diğer yaygın hata- karmaşık bir fonksiyonun türevinin basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik çözümü. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce türevleri bulmayı öğreneceğiz basit işlevler.

Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .

Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından “Küsleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi” dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşması kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:

Daha sonra, toplamın türev alma kuralını uyguluyoruz: Cebirsel fonksiyonlar toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamın ikinci teriminde bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:

Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:

Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, , o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız trigonometrik fonksiyonlar, yani fonksiyon şöyle göründüğünde o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Ürünün farklılaştırılması kuralına göre ve tablo değeri elde ettiğimiz karekökün türevi:

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin farklılaşma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.