Bir fonksiyonun türevi aşağıdakilerden biridir: zor konular V Okul müfredatı. Türevin ne olduğu sorusuna her mezun cevap vermeyecektir.
Bu makale türevin ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu basit ve anlaşılır bir şekilde açıklamaktadır.. Artık sunumda matematiksel titizlik için çabalamayacağız. En önemli şey anlamını anlamaktır.
Tanımı hatırlayalım:
Türev, bir fonksiyonun değişim oranıdır.
Şekilde üç fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Sizce hangisi daha hızlı büyüyor?
Cevap açık; üçüncüsü. En yüksek değişim oranına, yani en büyük türeve sahiptir.
İşte başka bir örnek.
Kostya, Grisha ve Matvey aynı anda iş buldular. Gelirlerinin yıl içinde nasıl değiştiğini görelim:
Grafik her şeyi bir anda gösteriyor değil mi? Kostya'nın geliri altı ayda iki katından fazla arttı. Grisha'nın geliri de arttı ama çok az. Ve Matvey'in geliri sıfıra düştü. Başlangıç koşulları aynıdır ancak fonksiyonun değişim hızı yani türev, - farklı. Matvey'e gelince, gelir türevi genellikle negatiftir.
Sezgisel olarak bir fonksiyonun değişim hızını kolayca tahmin ederiz. Peki bunu nasıl yapacağız?
Aslında baktığımız şey, bir fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik bir şekilde yukarı (veya aşağı) gittiğidir. Başka bir deyişle, x değiştikçe y ne kadar hızlı değişir? Açıkçası, farklı noktalarda aynı işleve sahip olabilir farklı anlam türev - yani daha hızlı veya daha yavaş değişebilir.
Bir fonksiyonun türevi gösterilir.
Bir grafik kullanarak onu nasıl bulacağınızı göstereceğiz.
Bazı fonksiyonların grafiği çizildi. Üzerinde apsis bulunan bir noktayı ele alalım. Bu noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet çizelim. Fonksiyon grafiğinin ne kadar dik yükseleceğini tahmin etmek istiyoruz. Bunun için uygun bir değer teğet açının tanjantı.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada çizilen teğet açının tanjantına eşittir.
Teğetin eğim açısı olarak teğet ile eksenin pozitif yönü arasındaki açıyı aldığımızı lütfen unutmayın.
Bazen öğrenciler bir fonksiyonun grafiğine teğetin ne olduğunu sorarlar. Bu bölümdeki grafikle tek ortak noktası olan ve şeklimizde görüldüğü gibi düz bir çizgidir. Bir daireye teğet gibi görünüyor.
Hadi bulalım. Bir dar açının tanjantının olduğunu hatırlıyoruz. dik üçgen karşı tarafın bitişik tarafa oranına eşittir. Üçgenden:
Fonksiyonun formülünü bile bilmeden grafiği kullanarak türevi bulduk. Bu tür problemler genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavında numara altında bulunur.
Önemli bir ilişki daha var. Düz çizginin denklem tarafından verildiğini hatırlayın
Bu denklemdeki miktara denir düz bir çizginin eğimi. Düz çizginin eksene olan eğim açısının tanjantına eşittir.
.
Bunu anlıyoruz
Bu formülü hatırlayalım. İfade ediyor geometrik anlamı türev.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir.
Başka bir deyişle türev, teğet açının tanjantına eşittir.
Aynı fonksiyonun farklı noktalarda farklı türevlerinin olabileceğini daha önce söylemiştik. Türevin fonksiyonun davranışıyla nasıl ilişkili olduğunu görelim.
Bir fonksiyonun grafiğini çizelim. Bu fonksiyon bazı bölgelerde artsın, bazı yerlerde azalsın, farklı oranlarda. Ve bu fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları olsun.
Bir noktada fonksiyon artar. Bir noktada çizilen grafiğe teğet, dar bir açı oluşturur; pozitif eksen yönü ile. Bu, noktadaki türevin pozitif olduğu anlamına gelir.
Bu noktada fonksiyonumuz azalıyor. Bu noktadaki teğet geniş bir açı oluşturur; pozitif eksen yönü ile. Geniş açının tanjantı negatif olduğundan bu noktadaki türevi de negatiftir.
İşte olanlar:
Bir fonksiyon artıyorsa türevi pozitiftir.
Azalırsa türevi negatif olur.
Maksimum ve minimum noktalarda ne olacak? (Maksimum nokta) ve (minimum nokta) noktalarında teğetin yatay olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla teğetin bu noktalardaki tanjantı sıfırdır ve türevi de sıfırdır.
Nokta - maksimum nokta. Bu noktada fonksiyondaki artışın yerini azalma alır. Sonuç olarak türevin işareti “artı”dan “eksi”ye doğru değişir.
Bu noktada - minimum nokta - türev de sıfırdır, ancak işareti "eksi" den "artı" ya değişir.
Sonuç: Türevi kullanarak bir fonksiyonun davranışı hakkında bizi ilgilendiren her şeyi bulabiliriz.
Türev pozitifse fonksiyon artar.
Türev negatifse fonksiyon azalır.
Maksimum noktada türev sıfırdır ve işareti “artı”dan “eksi”ye değişir.
Minimum noktada türev de sıfırdır ve işareti “eksi”den “artı”ya değişir.
Bu sonuçları bir tablo şeklinde yazalım:
| artışlar | maksimum nokta | azalır | minimum puan | artışlar | |
| + | 0 | - | 0 | + |
İki küçük açıklama yapalım. Sorunu çözerken bunlardan birine ihtiyacınız olacak. Bir diğeri - ilk yılda, fonksiyonlar ve türevler üzerine daha ciddi bir çalışma ile.
Bir fonksiyonun bir noktada türevinin sıfıra eşit olması mümkündür ancak fonksiyonun bu noktada ne maksimumu ne de minimumu vardır. Bu sözde :
Bir noktada grafiğin teğeti yatay, türevi ise sıfırdır. Ancak bu noktadan önce fonksiyon arttı, noktadan sonra ise artmaya devam ediyor. Türevin işareti değişmez, olduğu gibi pozitif kalır.
Aynı zamanda maksimum veya minimum noktasında türevin mevcut olmadığı da olur. Grafikte bu, belirli bir noktada teğet çizmenin imkansız olduğu keskin bir kırılmaya karşılık gelir.
Fonksiyon bir grafikle değil formülle veriliyorsa türev nasıl bulunur? Bu durumda geçerlidir
Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.
Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıktı. . Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.
Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.
Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Daha sonra, temel fonksiyonların türevlerini türev tablosunda ve çarpım, toplam ve bölüm türevlerinin formüllerini türev kurallarında buluyoruz. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.
Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;
Türev tablosundan "x" türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:
Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; bu, türevin işaretinden çıkarılabilir:
Bir şeyin nereden geldiğine dair hâlâ sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.
Basit fonksiyonların türevleri tablosu
| 1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur. | |
| 2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir | |
| 3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir. | |
| 4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi | |
| 5. Türev kare kök | |
| 6. Sinüs türevi | |
| 7. Kosinüsün türevi |  |
| 8. Teğetin türevi |  |
| 9. Kotanjantın Türevi |  |
| 10. Arsinüsün türevi |  |
| 11. Ark kosinüsün türevi |  |
| 12. Arktanjantın türevi |  |
| 13. Ark kotanjantının türevi |  |
| 14. Doğal logaritmanın türevi | |
| 15. Logaritmik fonksiyonun türevi |  |
| 16. Üssün türevi | |
| 17. Üstel bir fonksiyonun türevi |
Farklılaşma kuralları
| 1. Bir toplamın veya farkın türevi |  |
| 2. Ürünün türevi |  |
| 2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi | |
| 3. Bölümün türevi |  |
| 4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi |  |
Kural 1.Eğer işlevler
Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir
Ve
onlar. cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.
Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir, yani
Kural 2.Eğer işlevler
Bir noktada türevlenebilirse çarpımları da aynı noktada türevlenebilirdir
Ve
onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.
Sonuç 1. Türevin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:
Sonuç 2. Birkaç diferansiyellenebilir fonksiyonun çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.
Örneğin üç çarpan için:
Kural 3.Eğer işlevler
bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümleri de türevlenebiliru/v ve
onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.
Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabilirim?
Gerçek problemlerde bir çarpımın ve bölümün türevini bulurken her zaman birkaç türev alma kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle makalede bu türevlerle ilgili daha fazla örnek vardır."Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".
Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşit olur ve sabit bir faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu tipik hata Bu türev çalışmalarının ilk aşamasında ortaya çıkar, ancak ortalama bir öğrenci birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe artık bu hatayı yapmaz.
Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).
Diğer yaygın hata- karmaşık bir fonksiyonun türevinin basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik çözümü. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce türevleri bulmayı öğreneceğiz basit işlevler.
Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .
Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde 
, ardından “Kesirlerin toplamlarının kuvvetleri ve kökleri olan türevi” dersini takip edin.
gibi bir göreviniz varsa 
, daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.
Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur
Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:
Daha sonra, toplamın türev alma kuralını uyguluyoruz: Cebirsel fonksiyonlar toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamın ikinci teriminde bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:
Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:
Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:
Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:
Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, 
, o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .
Sinüs, kosinüs, teğet ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız trigonometrik fonksiyonlar, yani fonksiyon şöyle göründüğünde o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .
Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Çarpımı ve karekök türevinin tablo değerini farklılaştırma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin türev alma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:
Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.
Tarih: 20.11.2014
Türev nedir?
Türev tablosu.
Türev yüksek matematiğin temel kavramlarından biridir. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan birbirimizi tanıyalım.
Bu tanıdık şunları yapmanızı sağlayacaktır:
Türevlerle ilgili basit görevlerin özünü anlayın;
Bu en basit görevleri başarıyla çözün;
Türevlerle ilgili daha ciddi derslere hazırlanın.
İlk olarak - hoş bir sürpriz.)
Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve olay oldukça karmaşıktır. Bu çok üzücü. Ancak türevlerin pratik uygulaması kural olarak bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!
Okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi başarıyla tamamlamak için şunu bilmek yeterlidir: sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Bu kadar. Bu beni mutlu ediyor.
Hadi tanışmaya başlayalım mı?)
Terimler ve tanımlar.
İlköğretim matematikte birçok farklı matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklerseniz temel matematik daha da yükselir. Bu yeni operasyon isminde farklılaşma. Bu operasyonun tanımı ve anlamı ayrı derslerde tartışılacaktır.
Burada farklılaşmanın bir fonksiyon üzerinde basit bir matematiksel işlem olduğunu anlamak önemlidir. Herhangi bir işlevi alıp belirli kurallara göre dönüştürüyoruz. Sonuç yeni bir fonksiyon olacaktır. Bu yeni fonksiyonun adı: türev.
Farklılaşma- bir fonksiyon üzerinde eylem.
Türev- bu eylemin sonucu.
Tıpkı örneğin, toplam- toplamanın sonucu. Veya özel- bölmenin sonucu.
Terimleri bildiğiniz için en azından görevleri anlayabilirsiniz.) Formülasyonlar aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulma; türevini alalım; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla ve benzeri. Hepsi bu Aynı. Elbette türevi bulmanın (farklılaşmanın) problemin çözümündeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.
Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen" veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.
Okuma igrek vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, yani anlamışsındır...)
Bir asal aynı zamanda belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" vesaire. Türevler genellikle diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste bu tür gösterimleri dikkate almayacağız.
Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye sadece bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek kalıyor.) Bir kez daha hatırlatayım: türevi bulmak Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi.Şaşırtıcı bir şekilde, bu kuralların çok azı var.
Bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. Bunlar üç sütun:
1. Türev tablosu (farklılaşma formülleri).
3. Türev karmaşık fonksiyon.
Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosuna bakacağız.
Türev tablosu.
Dünyada sonsuz sayıda fonksiyon vardır. Bu setin arasında pratik kullanım açısından en önemli işlevler bulunmaktadır. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında bulunur. Bu işlevlerden, tıpkı tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu fonksiyon sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.
Fonksiyonların "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. Türevin tanımı ve limitler teorisine göre bu oldukça emek yoğun bir şeydir. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece kendilerinin (ve bizim) hayatlarımızı basitleştirdiler. Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türevler tablosudur.)
İşte burada, en popüler işlevlere yönelik bu plaka. Sol - temel fonksiyon, sağda onun türevi var.
| İşlev sen |
y fonksiyonunun türevi sen" |
|
| 1 | C (sabit değer) | C" = 0 |
| 2 | X | x" = 1 |
| 3 | x n (n - herhangi bir sayı) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | günah x | (sin x)" = cosx |
| çünkü x | (çünkü x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctgx |  |
|
| 5 | ark sin x |  |
| arkcos x |  |
|
| arktan x |  |
|
| arkctg x |  |
|
| 4 | A X |  |
| e X | ||
| 5 | kayıt A X |  |
| lx ( a = e) |
Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi öneririm. Türev güç fonksiyonu- en yaygın olmasa da en yaygın formüllerden biri! İpucunu anladınız mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmeniz tavsiye edilir. Bu arada, bu göründüğü kadar zor değil. Daha fazla örnek çözmeye çalışın, tablonun kendisi hatırlanacaktır!)
Bulmak tablo değeri türev, anladığınız gibi, görev en zoru değil. Bu nedenle, bu tür görevlerde sıklıkla ek çipler bulunur. Ya görevin ifadesinde ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevinde...
Birkaç örneğe bakalım:
1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3
Tabloda böyle bir fonksiyon bulunmamaktadır. Ancak güç fonksiyonunun bir türevi var Genel görünüm(üçüncü grup). Bizim durumumuzda n=3. Bu yüzden n yerine üç koyuyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:
(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2
Bu kadar.
Cevap: y" = 3x 2
2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.
Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir x = 0 bu aynı türevin içine. Tam olarak bu sırayla! Aksi takdirde, orijinal fonksiyonun yerine hemen sıfır koyarlar... Bizden orijinal fonksiyonun değerini değil, değerini bulmamız isteniyor. onun türevi. Türev, hatırlatmama izin verin, yeni bir fonksiyondur.
Tableti kullanarak sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:
y" = (sin x)" = cosx
Sıfırı türevin yerine koyarız:
y"(0) = çünkü 0 = 1
Cevap bu olacak.
3. Fonksiyonu farklılaştırın:
Ne, ilham veriyor mu?) Türev tablosunda böyle bir fonksiyon yok.
Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmaktan ibaret olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız fonksiyonumuzun türevini aramak oldukça zahmetlidir. Tablonun hiçbir faydası yok...
Ama eğer fonksiyonumuzun olduğunu görürsek kosinüs çift açı , o zaman her şey hemen daha iyi olur!
Evet evet! Orijinal işlevi dönüştürmenin farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve bu hayatı çok daha kolay hale getiriyor. Çift açılı kosinüs formülünü kullanarak:
Onlar. bizim zorlu fonksiyonumuz bundan başka bir şey değil y = cosx. Ve bu bir tablo fonksiyonudur. Hemen şunu elde ederiz:
Cevap: y" = - sin x.
İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:
4. Fonksiyonun türevini bulun:
Türev tablosunda elbette böyle bir fonksiyon yoktur. Ama temel matematiği, kuvvetlerle yapılan işlemleri hatırlarsanız... O zaman bu fonksiyonu basitleştirmek oldukça mümkün. Bunun gibi:
Ve x'in onda bir kuvveti zaten bir tablo fonksiyonudur! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre yazıyoruz:
Bu kadar. Cevap bu olacak.
Umarım türev almanın ilk ayağı olan türev tablosuyla ilgili her şey açıktır. Geriye kalan iki balinayla ilgilenmeye devam ediyor. Bir sonraki dersimizde türev almanın kurallarını öğreneceğiz.
Türev nedir?
Türev fonksiyonunun tanımı ve anlamı
Bu makalenin yazarımın tek değişkenli bir fonksiyonun türevi ve uygulamaları hakkındaki dersinde beklenmedik bir şekilde yer alması birçok kişiyi şaşırtacaktır. Sonuçta, okuldan beri olduğu gibi: standart ders kitabı her şeyden önce bir türevin tanımını, onun geometrik, mekanik anlamını verir. Daha sonra öğrenciler tanım gereği fonksiyonların türevlerini bulurlar ve aslında ancak o zaman türev alma tekniğini kullanarak mükemmelleştirirler. türev tabloları.
Ama benim açımdan şu yaklaşım daha pragmatik: Her şeyden önce İYİ ANLAMAK tavsiye edilir. bir fonksiyonun limiti, ve özellikle, sonsuz küçük miktarlar. Gerçek şu ki türevin tanımı limit kavramına dayanmaktadır okul kursunda yeterince dikkate alınmayan bir şey. Bu nedenle bilgi granitinin genç tüketicilerinin önemli bir kısmı türevin özünü anlamıyor. Bu nedenle, diferansiyel hesap hakkında çok az bilginiz varsa veya akıllı bir beyniniz varsa, uzun yıllar bu bagajdan başarıyla kurtuldum, lütfen şununla başlayın: fonksiyon sınırları. Aynı zamanda çözümlerinde ustalaşın/hatırlayın.
Aynı pratik anlam, öncelikle avantajlı olduğunu belirtir. Türev bulmayı öğrenin, içermek karmaşık fonksiyonların türevleri. Teori teoridir ama dedikleri gibi her zaman farklılaşmak istersiniz. Bu bağlamda, listelenen temel dersler üzerinde çalışmak daha iyidir ve belki de farklılaşma ustası eylemlerinin özünü bile anlamadan.
Makaleyi okuduktan sonra bu sayfadaki materyallerle başlamanızı öneririm. Türevlerle ilgili en basit problemler burada özellikle bir fonksiyonun grafiğine teğet problemi dikkate alınır. Ama bekleyebilirsin. Gerçek şu ki, türevin birçok uygulaması onu anlamayı gerektirmiyor ve teorik dersin oldukça geç ortaya çıkması şaşırtıcı değil - açıklamam gerektiğinde artan/azalan aralıkları ve ekstremumları bulma işlevler. Üstelik konu oldukça uzun süredir gündemdeydi. Fonksiyonlar ve grafikler”, ta ki sonunda daha erken koymaya karar verene kadar.
Bu nedenle sevgili çaydanlıklar, türevinin özünü aç hayvanlar gibi özümsemek için acele etmeyin, çünkü doygunluk tatsız ve eksik olacaktır.
Bir fonksiyonun artan, azalan, maksimum, minimum kavramı
Birçok öğretim yardımcıları bazı pratik problemleri kullanarak türev kavramına yol açtı ve ayrıca ilginç bir örnekle karşılaştım. Farklı yollardan ulaşılabilecek bir şehre yolculuk yapmak üzere olduğumuzu hayal edin. Hemen kavisli, dolambaçlı yolları bir kenara bırakalım ve yalnızca düz otoyolları düşünelim. Ancak düz yol tarifleri de farklıdır: Şehre pürüzsüz bir otoyol üzerinden ulaşabilirsiniz. Veya engebeli bir otoyol boyunca - yukarı ve aşağı, yukarı ve aşağı. Başka bir yol sadece yokuş yukarı gidiyor, diğeri ise sürekli yokuş aşağı gidiyor. Ekstrem tutkunları dik bir uçurum ve dik bir tırmanışla bir geçitten geçen bir rota seçecekler.
Ancak tercihleriniz ne olursa olsun, bölgeyi bilmeniz veya en azından topoğrafik bir haritasına sahip olmanız tavsiye edilir. Peki ya bu tür bilgiler eksikse? Sonuçta, örneğin pürüzsüz bir yol seçebilirsiniz, ancak sonuç olarak neşeli Finlilerin olduğu bir kayak pistine rastlayabilirsiniz. Bir navigatörün veya hatta bir uydu görüntüsünün güvenilir veri sağlayacağı bir gerçek değil. Bu nedenle yolun rahatlamasını matematik kullanarak resmileştirmek güzel olurdu.
Biraz yola bakalım (yandan görünüm): 
Her ihtimale karşı, size temel bir gerçeği hatırlatıyorum: seyahat olur soldan sağa. Basitlik açısından, fonksiyonun olduğunu varsayıyoruz. sürekli ele alınan alanda.
Bu grafiğin özellikleri nelerdir?
Aralıklarla 
işlev artışlar yani her bir sonraki değeri Dahaönceki. Kabaca konuşursak, program devam ediyor Aşağı(tepeye tırmanıyoruz). Ve aralıkta fonksiyon azalır– her bir sonraki değer azönceki ve programımız devam ediyor yukarıdan aşağıya(yokuştan aşağı iniyoruz).
Özel noktalara da dikkat edelim. Geldiğimiz noktada maksimum, yani var değerin en büyük (en yüksek) olacağı yolun böyle bir bölümü. Aynı noktada elde edilir minimum, Ve var değerin en küçük (en düşük) olduğu mahalle.
Derste daha katı terminoloji ve tanımlara bakacağız. fonksiyonun ekstremumları hakkında, ama şimdilik bir tane daha çalışalım önemli özellik: aralıklarla 
fonksiyon artar ama artar farklı hızlarda. Ve gözünüze çarpan ilk şey, grafiğin aralık boyunca yükselmesidir çok daha havalı, aralıktan daha. Bir yolun dikliğini matematiksel araçlarla ölçmek mümkün müdür?
Fonksiyonun değişim hızı
Fikir şu: hadi biraz değer alalım ("delta x" okuyun), onu arayacağız argüman artışı, ve yolumuzun çeşitli noktalarında "denemeye" başlayalım: 
1) En sol noktaya bakalım: mesafeyi geçerek yokuşu bir yüksekliğe (yeşil çizgi) tırmanıyoruz. Miktar denir fonksiyon artışı, ve bu durumda bu artış pozitiftir (eksen boyunca değerlerdeki fark sıfırdan büyüktür). Yolumuzun dikliğinin ölçüsü olacak bir oran oluşturalım. Açıkçası bu çok spesifik bir sayıdır ve her iki artış da pozitif olduğundan, o zaman .
Dikkat! Tanımlar BİR sembol, yani "X" ten "deltayı" "koparamazsınız" ve bu harfleri ayrı ayrı değerlendiremezsiniz. Elbette yorum aynı zamanda fonksiyon artış sembolüyle de ilgilidir.
Ortaya çıkan kesrin doğasını daha anlamlı bir şekilde inceleyelim. Başlangıçta 20 metre yükseklikte olalım (sol siyah noktada). Metrelerce mesafeyi (sol kırmızı çizgi) kat ettikten sonra kendimizi 60 metre yükseklikte bulacağız. Daha sonra fonksiyonun artışı şu şekilde olacaktır: 
metre (yeşil çizgi) ve: . Böylece, her metrede yolun bu kısmı yükseklik artar ortalama 4 metreye kadar...tırmanma ekipmanınızı mı unuttunuz? =) Başka bir deyişle, oluşturulan ilişki, fonksiyonun ORTALAMA DEĞİŞİM ORANINI (bu durumda büyümeyi) karakterize eder.
Not : sayısal değerler Söz konusu örnek, çizimin oranlarına yalnızca yaklaşık olarak karşılık gelir.
2) Şimdi en sağdaki siyah noktadan aynı mesafeye gidelim. Burada artış daha kademeli olduğundan artış (kırmızı çizgi) nispeten küçüktür ve önceki duruma kıyasla oran çok mütevazı olacaktır. Nispeten konuşursak, 
metre ve fonksiyon büyüme oranı dır-dir . Yani burada yolun her metresi için ortalama yarım metre yükseliş.
3) Dağ yamacında küçük bir macera. Hadi zirveye bakalım siyah nokta, ordinat ekseninde bulunur. Bunun 50 metre işareti olduğunu varsayalım. Mesafeyi tekrar aşıyoruz ve bunun sonucunda kendimizi 30 metre seviyesinde daha aşağıda buluyoruz. Hareket gerçekleştirildiğinden yukarıdan aşağıya(eksenin “karşı” yönünde), ardından son fonksiyonun (yükseklik) artışı negatif olacaktır: 
metre (çizimdeki kahverengi bölüm). Ve bu durumda zaten bahsediyoruz azalma oranıÖzellikler: 
yani bu bölümün her metresi için yükseklik azalır ortalama 2 metre kadar. Beşinci noktada kıyafetlerinize dikkat edin.
Şimdi kendimize soralım: Kullanılacak en iyi “ölçüm standardı” değeri nedir? Tamamen anlaşılabilir bir durum, 10 metre çok kaba bir mesafe. Bir düzine tümsek kolaylıkla üzerlerine sığabilir. Tümsekler ne olursa olsun, aşağıda derin bir vadi olabilir, birkaç metre sonra da diğer tarafı daha dik bir yükselişle karşınıza çıkabilir. Böylece, on metrelik bir oran ile yolun bu tür bölümlerinin anlaşılır bir açıklamasını alamayacağız.
Yukarıdaki tartışmadan aşağıdaki sonuç çıkar: Nasıl daha az değer yol topoğrafyasını daha doğru bir şekilde tanımlayacağız. Ayrıca aşağıdaki gerçekler doğrudur:
– Herkes için kaldırma noktaları 
belirli bir yükselişin sınırlarına uyan bir değer (çok küçük olsa bile) seçebilirsiniz. Bu, karşılık gelen yükseklik artışının pozitif olacağı ve eşitsizliğin, bu aralıkların her noktasında fonksiyonun büyümesini doğru bir şekilde göstereceği anlamına gelir.
- Aynı şekilde, herhangi Eğim noktasının bu eğime tam olarak sığacak bir değeri vardır. Sonuç olarak, yükseklikte karşılık gelen artış açıkça negatiftir ve eşitsizlik, verilen aralığın her noktasında fonksiyondaki azalmayı doğru bir şekilde gösterecektir.
– Özellikle ilginç bir durum, fonksiyonun değişim oranının sıfır olmasıdır: . Öncelikle sıfır yükseklik artışı () düzgün bir yolun işaretidir. İkincisi, şekilde örneklerini gördüğünüz başka ilginç durumlar da var. Kaderin bizi kartalların süzüldüğü bir tepenin zirvesine ya da kurbağaların vırakladığı bir vadinin dibine getirdiğini hayal edin. Herhangi bir yönde küçük bir adım atarsanız yükseklikteki değişim ihmal edilebilir düzeyde olacaktır ve fonksiyonun değişim hızının aslında sıfır olduğunu söyleyebiliriz. Bu noktalarda gözlemlenen resim tam olarak budur.
Böylece, bir fonksiyonun değişim hızını mükemmel bir şekilde doğru bir şekilde karakterize etmek için inanılmaz bir fırsata ulaştık. Nihayet matematiksel analiz argümanın artışını sıfıra yönlendirmenize olanak tanır: , yani bunu yapın sonsuz küçük.
Sonuç olarak, başka bir mantıksal soru ortaya çıkıyor: Yolu ve programını bulmak mümkün mü? başka bir işlev, Hangi bize haber verirdi tüm düz bölümler, yükselişler, inişler, zirveler, vadiler ve ayrıca yol boyunca her noktadaki büyüme/azalış oranı hakkında?
Türev nedir? Türevin tanımı.
Türev ve diferansiyelin geometrik anlamı
Lütfen dikkatlice okuyun ve çok hızlı olmayın; materyal basit ve herkes için erişilebilirdir! Bazı yerlerde bir şeyler çok net görünmüyorsa sorun değil, daha sonra istediğiniz zaman makaleye dönebilirsiniz. Daha fazlasını söyleyeceğim, tüm noktaları iyice anlamak için teoriyi birkaç kez incelemek faydalıdır (tavsiye özellikle yüksek matematiğin eğitim sürecinde önemli bir rol oynadığı "teknik" öğrenciler için geçerlidir).
Doğal olarak türevin tanımında bir noktada onu şununla değiştiririz:
Neye geldik? Ve yasaya göre işlev için şu sonuca vardık: 
uygun olarak konur diğer fonksiyon, buna denir türev fonksiyonu(ya da sadece türev).
Türev karakterize eder değişim oranı işlevler Nasıl? Fikir, makalenin en başından itibaren kırmızı bir iplik gibi akıyor. Bir noktayı düşünelim tanım alanı işlevler Fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilir olmasına izin verin. Daha sonra:
1) Eğer ise fonksiyon noktasında artar. Ve tabii ki var aralık(çok küçük bile olsa), fonksiyonun büyüdüğü ve grafiğinin "aşağıdan yukarıya" gittiği bir noktayı içerir.
2) Eğer ise fonksiyon noktasında azalır. Ve fonksiyonun azaldığı bir noktayı içeren bir aralık vardır (grafik “yukarıdan aşağıya” gider).
3) Eğer öyleyse sonsuz yakın bir noktaya yakın yerde fonksiyon hızını sabit tutar. Bu, belirtildiği gibi sabit bir fonksiyonla gerçekleşir ve fonksiyonun kritik noktalarında, özellikle minimum ve maksimum noktalarda.
Biraz anlambilim. “Farklılaştırmak” fiili geniş anlamda ne anlama geliyor? Farklılaştırmak, bir özelliği vurgulamak anlamına gelir. Bir fonksiyonun türevini alarak, onun değişim hızını fonksiyonun türevi biçiminde "izole ederiz". Bu arada, "türev" kelimesiyle ne kastediliyor? İşlev olmuş işlevinden.
Terimler, türevin mekanik anlamı ile çok başarılı bir şekilde yorumlanmıştır.
:
Zamana ve hareket hızının fonksiyonuna bağlı olarak vücudun koordinatlarındaki değişim yasasını ele alalım. verilen vücut. Fonksiyon vücut koordinatının değişim hızını karakterize eder, dolayısıyla fonksiyonun zamana göre ilk türevidir: . Eğer doğada “beden hareketi” kavramı olmasaydı, o zaman hiçbir şey olmazdı. türev"vücut hızı" kavramı.
Bir cismin ivmesi, hızdaki değişim oranıdır, dolayısıyla: 
. Eğer doğada başlangıçtaki “beden hareketi” ve “vücut hızı” kavramları olmasaydı, var olmazdı. türev“vücut ivmesi” kavramı.
Tanım.\(y = f(x)\) fonksiyonunun, içinde \(x_0\) noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını varsayalım. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde bir artış \(\Delta x \) verelim. \(\Delta y \) fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım (\(x_0 \) noktasından \(x_0 + \Delta x \) noktasına giderken) ve \(\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) \). Bu oranın \(\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) \) \(x_0 \) noktasındadır ve \(f"(x_0) \)'yi gösterir.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Y sembolü genellikle türevi belirtmek için kullanılır. y" = f(x)'in yeni bir fonksiyon olduğunu, ancak doğal olarak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla ilişkili olduğunu unutmayın. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.
Türevin geometrik anlamıŞöyleki. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) olduğundan, \(f"(a) = tan(a) \) eşitliği doğrudur.
Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. \(y = f(x)\) fonksiyonunun belirli bir \(x\) noktasında türevi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), yani \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x\). Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “hemen hemen orantılıdır” ve orantı katsayısı da türevin değeridir. verilen nokta X. Örneğin, \(y = x^2\) fonksiyonu için yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.
Formüle edelim.
y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?
1. \(x\) değerini sabitleyin, \(f(x)\)'i bulun
2. \(x\) argümanına bir artış \(\Delta x\) verin, yeni bir \(x+ \Delta x \) noktasına gidin, \(f(x+ \Delta x) \)'yi bulun
3. Fonksiyonun artışını bulun: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.
Bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).
Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?
y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.
Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) sağlanır. Bu eşitlikte ise \(\Delta x \) sıfıra yönelirse \(\Delta y \) sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.
Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.
Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde süreklidir, özellikle x = 0 noktasında, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.
Bir örnek daha. \(y=\sqrt(x)\) fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Böyle bir düz çizginin açı katsayısı yoktur, bu da \(f) anlamına gelir. "(0)\) mevcut değil.
Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?
Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktada teğeti yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.
Farklılaşma kuralları
Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C sabit bir sayıysa ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
