Ev Ağız boşluğu Bilinen bir varyansa sahip normal bir dağılımın matematiksel beklentisi için güven aralığı. Matematiksel beklenti için güven aralığı

Ağız boşluğu

Bilinen bir varyansa sahip normal bir dağılımın matematiksel beklentisi için güven aralığı. Matematiksel beklenti için güven aralığı

MS EXCEL'de oluşturalım güven aralığı durumda dağılımın ortalama değerini tahmin etmek bilinen değer farklılıklar.

Tabii ki seçim güven seviyesi tamamen çözülen probleme bağlıdır. Bu nedenle, bir hava yolcusunun bir uçağın güvenilirliğine olan güven derecesi, şüphesiz bir alıcının bir elektrik ampulünün güvenilirliğine olan güven derecesinden daha yüksek olmalıdır.

Problem formülasyonu

Bunu varsayalım nüfus alınmış örnek boyut Öyle varsayılıyor standart sapma bu dağılım bilinmektedir. Buna dayanarak gerekli örnekler bilinmeyeni değerlendir dağılım ortalaması(μ, ) ve karşılık gelen denklemi oluşturun çift taraflı güven aralığı.

Nokta tahmini

Bilindiği üzere İstatistik(hadi onu belirtelim X ortalama) dır-dir ortalamanın tarafsız tahmini Bu nüfus ve N(μ;σ 2 /n) dağılımına sahiptir.

Not: İnşa etmeniz gerekiyorsa ne yapmalısınız? güven aralığı böyle bir dağılım söz konusu olduğunda değil normal? Bu durumda, yeterli olduğunu söyleyen kurtarmaya gelir büyük boy örnekler dağıtımdan olmamak normal, istatistiklerin örnek dağılımı X avg irade yaklaşık olarak karşılık normal dağılım N(μ;σ 2 /n) parametreleriyle.

Bu yüzden, Nokta tahmini ortalama dağıtım değerleri elimizde - bu örnek ortalama yani X ortalama. Şimdi başlayalım güven aralığı.

Bir güven aralığı oluşturma

Genellikle dağılımı ve parametrelerini bilerek, rastgele değişkenin belirlediğimiz aralıktan değer alma olasılığını hesaplayabiliriz. Şimdi bunun tersini yapalım: Rastgele değişkenin belirli bir olasılıkla düşeceği aralığı bulalım. Örneğin, özelliklerden normal dağılım%95 olasılıkla bir rastgele değişkenin dağıldığı bilinmektedir. normal hukuk, yaklaşık +/- 2 aralığına düşecektir. ortalama değer(hakkında makaleye bakın). Bu aralık bizim için prototip görevi görecek güven aralığı.

Şimdi dağılımı bilip bilmediğimize bakalım , bu aralığı hesaplamak için? Soruyu cevaplamak için dağılımın şeklini ve parametrelerini belirtmemiz gerekiyor.

Dağıtım biçimini biliyoruz - bu normal dağılım (bundan bahsettiğimizi unutmayın örnekleme dağılımı İstatistik X ortalama).

μ parametresi bizim tarafımızdan bilinmiyor (sadece kullanılarak tahmin edilmesi gerekiyor) güven aralığı), ancak bununla ilgili bir tahminimiz var X ortalama, dayalı olarak hesaplanmıştır örnekler, hangisi kullanılabilir?

İkinci parametre - örnek ortalamasının standart sapması bilindiğini kabul edeceğizσ/√n'ye eşittir.

Çünkü μ'yu bilmiyoruz, o zaman +/- 2 aralığını oluşturacağız Standart sapma gelen değil ortalama değer ve bilinen tahmininden X ortalama. Onlar. hesaplarken güven aralığı bunu varsaymayacağız X ortalama+/- 2 aralığına düşer Standart sapmaμ'den %95 olasılıkla aralığın +/- 2 olduğunu varsayacağız. Standart sapma itibaren X ortalama%95 olasılıkla μ'yu kapsayacaktır – genel nüfusun ortalaması, nereden alındığı örnek. Bu iki ifade eşdeğerdir ancak ikinci ifade şunu oluşturmamıza olanak sağlar: güven aralığı.

Ek olarak aralığı açıklığa kavuşturalım: dağıtılan bir rastgele değişken normal hukuk, %95 olasılıkla +/- 1,960 aralığına düşer Standart sapma,+/- 2 değil Standart sapma. Bu formül kullanılarak hesaplanabilir =NORM.ST.GERİ((1+0,95)/2), santimetre. örnek dosya Sayfa Aralığı.

Şimdi bize formül oluşturmamıza hizmet edecek olasılıksal bir ifade formüle edebiliriz. güven aralığı:
"Olasılık nüfus ortalaması bulunduğu yer örnek ortalama 1.960 dahilinde" örnek ortalamanın standart sapmaları", %95'e eşit".

İfadede bahsedilen olasılık değerinin özel bir adı vardır ile ilişkili olan basit bir ifadeyle önem düzeyi α (alfa) güven seviyesi =1 -α . Bizim durumumuzda önem düzeyi α =1-0,95=0,05 .

Şimdi, bu olasılıksal ifadeye dayanarak, hesaplamak için bir ifade yazıyoruz. güven aralığı:

burada Zα/2 – standart normal dağılım(rastgele değişkenin bu değeri z, Ne P(z>=Zα/2 )=α/2).

Not: Üst α/2-kantil genişliği tanımlar güven aralığı V Standart sapma örnek anlamı. Üst α/2-kantil standart normal dağılım her zaman 0'dan büyüktür ve bu çok uygundur.

Bizim durumumuzda α=0,05 ile, üst α/2-kantil 1.960'a eşittir. Diğer anlamlılık seviyeleri için α (%10; %1) üst α/2-kantil Zα/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) formülü kullanılarak hesaplanabilir veya biliniyorsa güven seviyesi, =NORM.ST.OBR((1+güven düzeyi)/2).

Genellikle inşaat sırasında ortalamayı tahmin etmek için güven aralıkları sadece kullan üst α/2-çeyreklik ve kullanmayın daha düşük α/2-çeyreklik. Bu mümkün çünkü standart normal dağılım x eksenine göre simetrik olarak ( dağıtım yoğunluğu yaklaşık simetrik ortalama, yani 0). Bu nedenle hesaplamaya gerek yoktur daha düşük α/2-kantil(buna basitçe α denir /2-kantil), Çünkü eşit üst α/2-çeyreklik eksi işaretiyle.

X değerinin dağılım şekline rağmen karşılık gelen rastgele değişkenin X ortalama dağıtılmış yaklaşık olarak İyi N(μ;σ 2 /n) (hakkındaki makaleye bakın). Bu nedenle, Genel dava için yukarıdaki ifade güven aralığı sadece bir tahmindir. Eğer x değeri dağıtılırsa normal hukuk N(μ;σ 2 /n), o zaman ifade güven aralığı doğrudur.

MS EXCEL'de güven aralığı hesaplaması

Sorunu çözelim.
Bir elektronik bileşenin giriş sinyaline tepki süresi önemli karakteristik cihazlar. Bir mühendis ortalama yanıt süresi için %95 güven düzeyinde bir güven aralığı oluşturmak istiyor. Önceki deneyimlerden mühendis, yanıt süresinin standart sapmasının 8 ms olduğunu biliyor. Mühendisin tepki süresini değerlendirmek için 25 ölçüm yaptığı, ortalama değerin 78 ms olduğu biliniyor.

Çözüm: Mühendis yanıt süresini bilmek istiyor elektronik cihaz ancak yanıt süresinin sabit bir değer olmadığını, kendi dağılımına sahip rastgele bir değişken olduğunu anlıyor. Dolayısıyla umabileceği en iyi şey bu dağılımın parametrelerini ve şeklini belirlemektir.

Maalesef sorun koşullarından dolayı yanıt süresi dağılımının şeklini bilmiyoruz (olması gerekmiyor) normal). Bu dağılım da bilinmiyor. Sadece o biliniyor standart sapmaσ=8. Bu nedenle olasılıkları hesaplayıp oluşturamasak da güven aralığı.

Ancak dağılımını bilmemize rağmen zaman ayrı yanıt göre bunu biliyoruz CPT, örnekleme dağılımı ortalama yanıt süresi yaklaşık olarak normal(koşulların olduğunu varsayacağız CPT yürütülüyor çünkü boyut örnekler oldukça büyük (n=25)) .

Dahası, ortalama bu dağılım şuna eşittir: ortalama değer tek bir yanıtın dağıtımı, yani μ. A standart sapma Bu dağılımın (σ/√n) değeri =8/ROOT(25) formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Ayrıca mühendisin aldığı da biliniyor. Nokta tahminiμ parametresi 78 ms'ye (X avg) eşittir. Bu nedenle artık olasılıkları hesaplayabiliriz çünkü dağıtım şeklini biliyoruz ( normal) ve parametreleri (X avg ve σ/√n).

Mühendis bilmek istiyor beklenen değer μ tepki süresi dağılımları. Yukarıda belirtildiği gibi, bu μ şuna eşittir: ortalama yanıt süresinin örnek dağılımının matematiksel beklentisi. Eğer kullanırsak normal dağılım N(X ort; σ/√n), bu durumda istenen μ yaklaşık %95 olasılıkla +/-2*σ/√n aralığında olacaktır.

Önem düzeyi 1-0,95=0,05'e eşittir.

Son olarak sol ve sağ sınırı bulalım güven aralığı.
Sol kenarlık: =78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/KÖK(25) = 74,864
Sağ kenarlık: =78+NORM.ST.TERS(1-0,05/2)*8/KÖK(25)=81,136

Sol kenarlık: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/KÖK(25))
Sağ kenarlık: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/KÖK(25))

Cevap: güven aralığı en %95 güven düzeyi ve σ=8msn eşittir 78+/-3,136 ms.

İÇİNDE Sigma sayfasındaki örnek dosya bilinen, hesaplama ve inşaat için bir form oluşturdu çift taraflı güven aralığı keyfi için örnekler verilen σ ile ve önem düzeyi.

CONFIDENCE.NORM() işlevi

Eğer değerler örnekler aralıkta B20:B79 , A önem düzeyi 0,05'e eşit; daha sonra MS EXCEL formülü:
=ORTALAMA(B20:B79)-GÜVENİLİRLİK.NORM(0,05;σ; SAYIM(B20:B79))
sol kenarlığa geri dönecek güven aralığı.

Aynı limit aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
=ORTALAMA(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*σ/KÖK(SAY(B20:B79))

Not: CONFIDENCE.NORM() işlevi MS EXCEL 2010'da ortaya çıktı. MS EXCEL'in önceki sürümlerinde TRUST() işlevi kullanılıyordu.

Matematiksel beklenti için güven aralığı - bu, bilinen bir olasılıkla genel popülasyonun matematiksel beklentisini içeren verilerden hesaplanan bir aralıktır. Matematiksel beklentinin doğal tahmini, gözlemlenen değerlerin aritmetik ortalamasıdır. Bu nedenle ders boyunca “ortalama” ve “ortalama değer” terimlerini kullanacağız. Güven aralığı hesaplama problemlerinde en sık ihtiyaç duyulan cevap şuna benzer: "Ortalama sayının [belirli bir problemdeki değer] güven aralığı [daha küçük değerden] [daha büyük değere] kadardır." Bir güven aralığı kullanarak yalnızca ortalama değerleri değil, aynı zamanda genel popülasyonun belirli bir özelliğinin oranını da değerlendirebilirsiniz. Yeni tanım ve formüllere ulaşacağımız ortalama değerler, dağılım, standart sapma ve hata derste tartışılıyor. Örneklem ve popülasyonun özellikleri .

Ortalamanın nokta ve aralık tahminleri

Nüfusun ortalama değeri bir sayı (nokta) ile tahmin ediliyorsa, o zaman bir gözlem örneğinden hesaplanan belirli bir ortalama, nüfusun bilinmeyen ortalama değerinin bir tahmini olarak alınır. Bu durumda, örneklem ortalamasının değeri (rastgele bir değişken) genel popülasyonun ortalama değeriyle örtüşmez. Bu nedenle örnek ortalamasını belirtirken aynı zamanda örnekleme hatasını da belirtmelisiniz. Örnekleme hatasının ölçüsü, ortalamayla aynı birimlerle ifade edilen standart hatadır. Bu nedenle sıklıkla aşağıdaki gösterim kullanılır: .

Ortalamanın tahmininin belirli bir olasılıkla ilişkilendirilmesi gerekiyorsa, popülasyondaki ilgilenilen parametrenin bir sayıyla değil, bir aralıkla değerlendirilmesi gerekir. Güven aralığı, belirli bir olasılıkla P tahmini nüfus göstergesinin değeri bulunur. Olası olduğu güven aralığı P = 1 - α rastgele değişken bulunur ve şu şekilde hesaplanır:

α = 1 - P, istatistik üzerine hemen hemen her kitabın ekinde bulunabilir.

Uygulamada, popülasyon ortalaması ve varyansı bilinmediğinden, popülasyon varyansının yerine örnek varyansı ve popülasyon ortalamasının yerine örnek ortalaması konulur. Bu nedenle çoğu durumda güven aralığı şu şekilde hesaplanır:

Güven aralığı formülü aşağıdaki durumlarda popülasyon ortalamasını tahmin etmek için kullanılabilir:

popülasyonun standart sapması biliniyor;
veya popülasyonun standart sapması bilinmiyor ancak örneklem büyüklüğü 30'dan büyük.

Örnek ortalama, popülasyon ortalamasının tarafsız bir tahminidir. Buna karşılık, örneklem varyansı popülasyon varyansının tarafsız bir tahmini değildir. Örneklem varyansı formülünde popülasyon varyansının tarafsız bir tahminini elde etmek için örneklem büyüklüğü N tarafından değiştirilmeli N-1.

Örnek 1. Belirli bir şehirdeki rastgele seçilen 100 kafeden, buralardaki ortalama çalışan sayısının 4,6 standart sapma ile 10,5 olduğu bilgisi toplanmıştır. Kafe çalışanlarının sayısı için %95 güven aralığını belirleyiniz.

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Böylece ortalama kafe çalışanı sayısı için %95 güven aralığı 9,6 ile 11,4 arasında değişmektedir.

Örnek 2. 64 gözlemden oluşan bir popülasyondan rastgele bir örnek için aşağıdaki toplam değerler hesaplandı:

gözlemlerdeki değerlerin toplamı,

değerlerin ortalamadan kare sapmalarının toplamı .

Matematiksel beklenti için %95 güven aralığını hesaplayın.

Standart sapmayı hesaplayalım:

Ortalama değeri hesaplayalım:

Değerleri güven aralığı ifadesine yerleştiriyoruz:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Şunu elde ederiz:

Dolayısıyla bu örneklemin matematiksel beklentisinin %95 güven aralığı 7,484 ile 11,266 arasında değişmektedir.

Örnek 3. 100 gözlemden oluşan rastgele bir popülasyon örneği için hesaplanan ortalama 15,2 ve standart sapma 3,2'dir. Beklenen değer için %95 güven aralığını, ardından %99 güven aralığını hesaplayın. Örneklem gücü ve değişimi değişmezse ve güven katsayısı artarsa güven aralığı daralır mı yoksa genişler mi?

Bu değerleri güven aralığı ifadesine koyarız:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Şunu elde ederiz:

Dolayısıyla bu örneklemin ortalaması için %95 güven aralığı 14,57 ile 15,82 arasında değişmektedir.

Bu değerleri yine güven aralığı ifadesine yerleştiriyoruz:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,01 .

Şunu elde ederiz:

Dolayısıyla bu örneklemin ortalaması için %99 güven aralığı 14,37 ile 16,02 arasında değişmektedir.

Görüldüğü gibi güven katsayısı arttıkça standart normal dağılımın kritik değeri de artmakta ve buna bağlı olarak aralığın başlangıç ve bitiş noktaları ortalamadan daha uzakta yer almakta ve dolayısıyla matematiksel beklentiye ilişkin güven aralığı da artmaktadır. .

Özgül ağırlığın nokta ve aralık tahminleri

Bazı örnek özelliklerin payı şu şekilde yorumlanabilir: Nokta tahmini spesifik yer çekimi P genel popülasyonda aynı özelliğe sahiptir. Bu değerin olasılıkla ilişkilendirilmesi gerekiyorsa özgül ağırlığın güven aralığı hesaplanmalıdır. P popülasyondaki olasılıklı karakteristik P = 1 - α :

Örnek 4. Bazı şehirlerde iki aday var A Ve B belediye başkanlığına aday oluyorlar. 200 şehir sakinine rastgele anket uygulandı ve bunların %46'sı adaya oy vereceğini söyledi A, %26 - aday için B%28'i ise kime oy vereceğini bilmiyor. Adayı destekleyen şehir sakinlerinin oranı için %95 güven aralığını belirleyin A.

Başlangıç olarak aşağıdaki tanımı hatırlayalım:

Aşağıdaki durumu ele alalım. Popülasyon değişkenlerinin matematiksel beklentisi $a$ ve standart sapması $\sigma$ olan normal bir dağılıma sahip olduğunu varsayalım. Örnek ortalama bu durumda rastgele değişken olarak ele alınacaktır. $X$ miktarı normal olarak dağıtıldığında, örnek ortalama da parametrelerle birlikte normal olarak dağıtılacaktır.

$\gamma $ güvenilirliğiyle $a$ değerini kapsayan bir güven aralığı bulalım.

Bunu yapmak için eşitliğe ihtiyacımız var

Ondan alıyoruz

Buradan $Ф\left(t\right)$ fonksiyon değerleri tablosundan $t$'ı kolayca bulabiliriz ve sonuç olarak $\delta $'ı bulabiliriz.

$Ф\left(t\right)$ fonksiyonunun değer tablosunu hatırlayalım:

Şekil 1. Fonksiyon değerleri tablosu $Ф\left(t\right).$

Bilinmeyen bir $(\mathbf \sigma )$ için matematiksel beklentiyi tahmin etmek için güven integrali

Bu durumda düzeltilmiş varyans değerini $S^2$ kullanacağız. Yukarıdaki formülde $\sigma $'ı $S$ ile değiştirirsek şunu elde ederiz:

Güven aralığı bulmaya yönelik örnek problemler

örnek 1

$X$ miktarının varyansı $\sigma =4$ olan normal bir dağılıma sahip olduğunu varsayalım. Örnek büyüklüğü $n=64$ ve güvenilirlik $\gamma =0.95$ olsun. Bu dağılımın matematiksel beklentisini tahmin etmek için güven aralığını bulun.

($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$ aralığını bulmamız gerekiyor.

Yukarıda gördüğümüz gibi

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

$t$ parametresi formülden bulunabilir

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0,95)(2)=0,475\]

Tablo 1'den şunu buluyoruz: $t=1.96$.

CB X'in genel popülasyonu oluşturmasına izin verin ve β'nın bilinmeyen CB X parametresi olmasına izin verin. *'deki istatistiksel tahmin tutarlıysa, örneklem boyutu ne kadar büyük olursa, β değerini o kadar doğru bir şekilde elde ederiz. Ancak pratikte çok büyük örneklerimiz olmadığından daha fazla doğruluk garanti edemeyiz.

Güvenilirlik g veya güven olasılığı in by in * tahminleri |in * - in| eşitsizliğinin g olasılığıdır< 8, т. е.

Tipik olarak, g güvenilirliği önceden belirtilir ve g, 1'e yakın bir sayı olarak alınır (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Eşitsizlikten beri |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Aralığa (* - 8, * + 5 cinsinden) güven aralığı denir, yani güven aralığı bilinmeyen parametreyi y olasılığıyla kapsar. Güven aralığının uçlarının rastgele olduğuna ve örnekten örneğe değiştiğine dikkat edin; bu nedenle aralığın (* - 8, * + 8 cinsinden) in'in buna ait olmasından ziyade, in'deki bilinmeyen parametreyi kapsadığını söylemek daha doğrudur. aralık.

İzin vermek nüfus normal bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X tarafından verilir ve standart sapma a bilinir. Bilinmeyen matematiksel beklenti a = M(X)'tir. Belirli bir y güvenilirliği için a'nın güven aralığını bulmak gerekir.

Örnek ortalama

xr = a için istatistiksel bir tahmindir.

Teorem. Rastgele değer X normal dağılıma sahipse ve M(XB) = a ise xB normal dağılıma sahiptir,

A (XB) = a, burada a = y/B (X), a = M (X). ben/ben

a'nın güven aralığı şu şekildedir:

8'i buluyoruz.

Oranı kullanma

Ф(r) Laplace fonksiyonu olmak üzere, elimizde:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplace fonksiyonunun değerler tablosunda t'nin değerini buluyoruz.

Belirledikten sonra

T, F(t) = g elde ederiz. g verildiğine göre,

Eşitlikten tahminin doğru olduğunu görüyoruz.

Bu, a'nın güven aralığının şu şekilde olduğu anlamına gelir:

X popülasyonundan bir örnek verildiğinde

ng	İle"	X2	Xm
N.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm ise güven aralığı şöyle olacaktır:

Örnek 6.35. Örneklem ortalaması Xb = 10,43, örneklem büyüklüğü n = 100 ve standart sapma s = 5 bilerek, normal dağılımın matematiksel beklentisi a'yı 0,95 güvenilirlikle tahmin etmek için güven aralığını bulun.

Formülü kullanalım

Bu dağılımın varyansının ve standart sapmasının bilindiğini hesaba katarak, popülasyonun rastgele değişkeni X'in normal dağıldığını varsayalım. Örnek ortalamasını kullanarak bilinmeyen matematiksel beklentiyi tahmin etmek gerekir. Bu durumda görev, matematiksel beklenti için güvenilirliğe sahip bir güven aralığı bulmaktır. b. Güven olasılığı (güvenilirlik) b değerini belirtirseniz, bilinmeyen matematiksel beklenti aralığına düşme olasılığını formül (6.9a) kullanarak bulabilirsiniz:

burada Ф(t) Laplace fonksiyonudur (5.17a).

Sonuç olarak, eğer D = s 2 varyansı biliniyorsa, matematiksel beklenti için güven aralığının sınırlarını bulmak için bir algoritma formüle edebiliriz:

Güvenilirlik değerini ayarlayın – b.
(6.14)'ten Ф(t) = 0,5× b'yi ifade edin. Ф(t) değerine göre Laplace fonksiyonu için tablodan t değerini seçin (bkz. Ek 1).
(6.10) formülünü kullanarak e sapmasını hesaplayın.
Formül (6.12)'yi kullanarak b olasılığı ile eşitsizliğin geçerli olacağı bir güven aralığı yazın:

Örnek 5.

Rastgele değişken X normal bir dağılıma sahiptir. Eğer verilmişse, bilinmeyen matematiksel beklenti a'nın güvenilirliği b = 0,96 olan bir tahmin için güven aralıklarını bulun:

1) genel standart sapma s = 5;

2) numune ortalaması;

3) örneklem büyüklüğü n = 49.

Matematiksel beklentinin aralık tahmininin formülünde (6.15) A b güvenilirliği ile t dışındaki tüm miktarlar bilinmektedir. t'nin değeri (6.14) kullanılarak bulunabilir: b = 2Ф(t) = 0,96. F(t) = 0,48.

Laplace fonksiyonu Ф(t) = 0,48 için Ek 1'deki tabloyu kullanarak karşılık gelen t = 2,06 değerini bulun. Buradan, . Hesaplanan e değerini formül (6.12)'ye koyarak bir güven aralığı elde edebilirsiniz: 30-1.47< a < 30+1,47.