9. Sürekli rastgele değer, sayısal özellikleri
Sürekli bir rastgele değişken iki fonksiyon kullanılarak belirtilebilir. Rastgele değişken X'in integral olasılık dağılım fonksiyonu eşitlikle tanımlanan bir fonksiyon denir 
.
İntegral fonksiyonu şunu verir genel yöntem hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenlerin atamaları. Sürekli bir rastgele değişken durumunda. Tüm olaylar: bu aralıktaki integral fonksiyonunun artışına eşit, aynı olasılığa sahiptir, yani. Örneğin, örnek 26'da belirtilen ayrık rastgele değişken için elimizde:
Dolayısıyla, söz konusu fonksiyonun integral fonksiyonunun grafiği, iki ışının ve Ox eksenine paralel üç parçanın birleşimidir.
Örnek 27. Sürekli rastgele değişken X, integral olasılık dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir
.
İntegral fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun ve test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında bir değer alma olasılığını bulun.
Çözüm. Aralıkta 
grafik y = 0 düz çizgisidir. 0'dan 2'ye kadar olan aralıkta denklemle verilen bir parabol vardır. 
. Aralıkta 
Grafik y = 1 düz çizgisidir.
Test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında değer alma olasılığı formül kullanılarak bulunur.
Böylece, .
İntegral olasılık dağılım fonksiyonunun özellikleri:
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını başka bir fonksiyon kullanarak belirlemek uygundur: olasılık yoğunluk fonksiyonları
.
Rastgele değişken X tarafından varsayılan değerin aralık dahilinde olma olasılığı 
, eşitlikle belirlenir 
.
Fonksiyonun grafiği denir dağıtım eğrisi. Geometrik olarak, rastgele bir X değişkeninin aralığa düşme olasılığı, dağılım eğrisi, Ox ekseni ve düz çizgilerle sınırlanan karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir. 
.
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri:
9.1. Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Beklenen değer Sürekli bir rastgele değişken X'in (ortalama değeri) eşitlikle belirlenir 
.
M(X) şu şekilde gösterilir: A. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna benzer: ayrık miktar, özellikler:
Varyans ayrık rastgele değişken X denir beklenen değer rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesi, yani . Sürekli bir rastgele değişken için varyans aşağıdaki formülle verilir: 
.
Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Son özelliğin sürekli bir rastgele değişkenin varyansını bulmak için kullanılması çok uygundur.
Standart sapma kavramı da benzer şekilde tanıtılmıştır. Süreklinin standart sapması Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir, yani 
.
Örnek 28. Sürekli bir rastgele değişken X, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilir 
(10;12) aralığında, bu aralığın dışında fonksiyonun değeri 0'dır. Bul 1) parametrenin değeri A, 2) matematiksel beklenti M(X), varyans 
, standart sapma, 3) integral fonksiyonu 
İntegral ve diferansiyel fonksiyonların grafiklerini oluşturabilir ve oluşturabilirsiniz.
1). Bir parametre bulmak için A formülü kullan 
. Alacağız. Böylece, 
.
2). Matematiksel beklentiyi bulmak için şu formülü kullanırız: 
.
Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı bulacağız: 
, yani .
Bunu elde ettiğimiz formülü kullanarak standart sapmayı bulalım: 
.
3). İntegral fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonu aracılığıyla aşağıdaki şekilde ifade edilir: 
. Buradan, 
en 
, = 0 
sen = 1'de 
.
Bu fonksiyonların grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 4. ve Şek. 5.
Şekil 4 Şekil 5.
9.2. Sürekli bir rastgele değişkenin düzgün olasılık dağılımı
Sürekli rastgele değişken X'in olasılık dağılımı eşit olarak olasılık yoğunluğu bu aralıkta sabitse ve bu aralığın dışında sıfıra eşitse, yani aralıkta; . Bu durumda bunu göstermek kolaydır. 
.
Aralık ise 
aralığın içinde yer alıyorsa, o zaman 
.
Örnek 29. Anlık bir sinyal olayı saat bir ile saat beş arasında gerçekleşmelidir. Sinyal bekleme süresi bir X rastgele değişkenidir. Sinyalin öğleden sonra saat iki ile üç arasında algılanma olasılığını bulun.
Çözüm. X rastgele değişkeni düzgün bir dağılıma sahiptir ve formülü kullanarak sinyalin öğleden sonra saat 2 ile 3 arasında olma olasılığının şuna eşit olduğunu buluruz: 
.
Eğitim ve diğer literatürde sıklıkla literatürde şu şekilde ifade edilir: 
.
9.3. Sürekli bir rastgele değişkenin normal olasılık dağılımı
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, eğer olasılık dağılım yasası olasılık yoğunluğu ile belirleniyorsa normal olarak adlandırılır. 
. Bu miktarlar için A- beklenen değer, 
- standart sapma.
Teorem. Normal dağılmış sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı 
formülle belirlenir 
, Nerede 
- Laplace fonksiyonu.
Bu teoremin bir sonucu üç kuralı sigma, yani Normal dağılım gösteren, sürekli bir rasgele değişken olan X'in değerlerini aralıkta alması hemen hemen kesindir. 
. Bu kural formülden türetilebilir 
formüle edilmiş teoremin özel bir durumudur.
Örnek 30. TV'nin çalışma ömrü, normal dağılım yasasına tabi olan rastgele bir X değişkenidir. Garanti süresi 15 yıl ve standart sapması 3 yıldır. Televizyonun 10 yıldan 20 yıla kadar dayanma olasılığını bulun.
Çözüm. Problemin koşullarına göre matematiksel beklenti A= 15, standart sapma.
Bulalım . Yani TV'nin 10 ila 20 yıl arasında çalışma olasılığı 0,9'dan fazladır.
9.4 Chebyshev eşitsizliği
Meydana gelmek Chebyshev'in lemması. Rastgele bir değişken X yalnızca negatif olmayan değerler alıyorsa ve matematiksel bir beklentiye sahipse, o zaman herhangi bir pozitif için V
.
Zıt olayların olasılıklarının toplamı olarak şunu elde ederiz: 
.
Chebyshev'in teoremi. Rastgele değişken X'in sonlu varyansı varsa 
ve matematiksel beklenti M(X), o zaman herhangi bir pozitif için 
eşitsizlik doğrudur
.
Buradan şu sonuç çıkıyor 
.
Örnek 31. Bir parça parça üretildi. Parçaların ortalama uzunluğu 100 cm, standart sapması 0,4 cm'dir. Rastgele alınan bir parçanın uzunluğunun en az 99 cm olma olasılığının altında tahmin yapın. ve 101 cm'den fazla olmamalıdır.
Çözüm. Varyans. Matematiksel beklenti 100'dür. Dolayısıyla söz konusu olayın olasılığının altından tahmin yapmak 
Chebyshev eşitsizliğini uygulayalım; 
, Daha sonra 
.
10. Matematiksel istatistiğin unsurları
İstatistiksel toplam Bir dizi homojen nesne veya olguyu adlandırın. Sayı P Bu kümenin elemanlarına koleksiyonun hacmi denir. Gözlemlenen değerler 
X özelliğine denir seçenekler. Seçenekler artan sırayla düzenlenirse, o zaman şunu elde ederiz: ayrık varyasyon serisi. Gruplandırma durumunda aralıklara göre seçenek şu şekilde ortaya çıkar: aralık varyasyon serisi. Altında frekans karakteristik değerler, belirli bir değişkene sahip popülasyonun üye sayısını anlar.
İstatistiksel bir popülasyonun sıklığının hacmine oranına denir göreceli frekans imza: 
.
Seçenekler arasındaki ilişki varyasyon serisi ve bunların frekansları denir numunenin istatistiksel dağılımı. İstatistiksel dağılımın grafiksel bir temsili şu şekilde olabilir: çokgen sıklık
Örnek 32. 25 birinci sınıf öğrencisiyle anket yapılarak yaşlarına ilişkin aşağıdaki veriler elde edildi: 
. Oluştur istatistiksel dağılımÖğrenciler yaşlarına göre varyasyon aralığını bulurlar, bir frekans poligonu oluştururlar ve bir dizi göreceli frekans dağılımı derlerler.
Çözüm. Anketten elde edilen verileri kullanarak örneklemin istatistiksel dağılımını oluşturacağız.
|
Varyasyon örneğinin aralığı 23 – 17 = 6'dır. Bir frekans poligonu oluşturmak için koordinatları olan noktalar oluşturun 
ve bunları seri olarak bağlayın.
Bağıl frekans dağılım serisi şu şekildedir:
|
10.1.Varyasyon serisinin sayısal özellikleri
Örnek X özelliğinin bir dizi frekans dağılımıyla verilsin:
|
|
|
|
||
|
|
|
Tüm frekansların toplamı eşittir P.
Numunenin aritmetik ortalaması miktarı adlandırın 
.
Varyans veya bir X karakteristiğinin değerlerinin aritmetik ortalamasına göre dağılım ölçüsüne değer denir 
. Standart sapma varyansın kareköküdür, yani. .
Yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın numunenin aritmetik ortalamasına oranına denir. varyasyon katsayısı:
.
Ampirik bağıl frekans dağılım fonksiyonu her değer için bir olayın göreceli sıklığını belirleyen bir işlevi çağırın 
, yani 
, Nerede 
- seçenek sayısı, daha küçük X, A P- örnek boyut.
Örnek 33.Örnek 32'nin koşulları altında sayısal özellikleri bulun 
.
Çözüm. Formülü kullanarak numunenin aritmetik ortalamasını bulalım, sonra .
X özelliğinin varyansı şu formülle bulunur: , yani. Numunenin standart sapması 
. Değişim katsayısı 
.
10.2. Göreceli frekansa göre olasılık tahmini. Güven aralığı
Gerçekleştirilmesine izin ver P Her birinde A olayının gerçekleşme olasılığı sabit ve eşit olan bağımsız denemeler R. Bu durumda, bağıl frekansın, her denemede A olayının meydana gelme olasılığından mutlak değerde farklı olma olasılığı, Laplace integral fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak iki katına eşit olacaktır: 
.
Aralık tahminiİstatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsayan aralığın sonu olan iki sayı ile belirlenen böyle bir tahmini çağırın.
Güven aralığı
verilen bir aralık denir güven olasılığı 
istatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsar. Bilinmeyen miktarı değiştirdiğimiz formüle bakıldığında R yaklaşık değerine 
örnek verilerden elde ettiğimizde şunu elde ederiz: 
. Bu formül göreceli sıklığa göre olasılığı tahmin etmek için kullanılır. Sayılar 
Ve 
sırasıyla alt ve üst olarak adlandırılır güven sınırları, - belirli bir güven olasılığı için maksimum hata 
.
Örnek 34. Fabrika atölyesi ampul üretiyor. 625 lamba kontrol edilirken 40 tanesinin arızalı olduğu tespit edildi. Fabrika atölyesinde üretilen kusurlu ampullerin yüzdesinin hangi sınırlar içinde olduğunu 0,95 güven olasılığıyla bulun.
Çözüm. Görevin koşullarına göre. Formülü kullanıyoruz 
. Ekteki Tablo 2'yi kullanarak argümanın değerini buluyoruz ve Laplace integral fonksiyonunun değeri 0,475'tir. Bunu anlıyoruz 
. Böylece, . Dolayısıyla atölyeden kaynaklanan kusurların payının yüksek olduğunu, yani %6,2 ile %6,6 arasında değiştiğini 0,95 olasılıkla söyleyebiliriz.
10.3. İstatistikte parametre tahmini
İncelenen tüm popülasyonun niceliksel özelliği X olsun ( nüfus) var normal dağılım.
Standart sapma biliniyorsa, o zaman güven aralığı matematiksel beklentiyi kapsayan A 
, Nerede P- örnek boyut, 
- örnek aritmetik ortalama, T Laplace integral fonksiyonunun argümanıdır, burada 
. Bu durumda sayı 
tahmin doğruluğu denir.
Standart sapma bilinmiyorsa, örnek verilerden Öğrenci dağılımına sahip bir rastgele değişken oluşturmak mümkündür. P– Yalnızca bir parametreyle belirlenen 1 serbestlik derecesi P ve bilinmeyenlere bağlı değildir A Ve . Küçük örnekler için bile Öğrenci t dağılımı 
oldukça tatmin edici derecelendirmeler veriyor. Daha sonra matematiksel beklentiyi kapsayan güven aralığı A Bu özelliğin belirli bir güven olasılığı ile koşulundan bulunur 
burada S düzeltilmiş ortalama karedir, 
- Verilerden bulunan öğrenci katsayısı 
ekteki tablo 3'ten.
Bu özelliğin standart sapmasını bir güven olasılığıyla kapsayan güven aralığı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur: ve, burada 
değerler tablosundan bulundu Q
buna göre .
10.4. Rastgele değişkenler arasındaki bağımlılıkları incelemek için istatistiksel yöntemler
Y'nin X'e korelasyon bağımlılığı, koşullu ortalamanın fonksiyonel bağımlılığıdır 
itibaren X. Denklem 
Y'nin X üzerindeki regresyon denklemini temsil eder ve 
- X'in Y üzerindeki regresyon denklemi.
Korelasyon bağımlılığı doğrusal veya eğrisel olabilir. Doğrusal korelasyon bağımlılığı durumunda, düz regresyon çizgisinin denklemi şu şekildedir: 
eğim nerede A X üzerindeki Y regresyonunun düz çizgisi, X üzerindeki Y örnek regresyon katsayısı olarak adlandırılır ve şöyle gösterilir: 
.
Küçük numuneler için veriler gruplandırılmaz, parametreler 
yönteme göre bulunur en küçük kareler normal denklemler sisteminden:
, Nerede P– birbiriyle ilişkili büyüklük çiftlerinin değerlerinin gözlem sayısı.
Seçici doğrusal katsayı korelasyonlar 
Y ve X arasındaki yakın ilişkiyi gösterir. Korelasyon katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak bulunur 
, Ve 
, yani:
X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemi şu şekildedir:
.
X ve Y özelliklerine ilişkin çok sayıda gözlemle, aynı değere sahip iki girişli bir korelasyon tablosu derlenir X gözlemlendi 
kez, aynı anlam en gözlemlendi 
kez, aynı çift 
gözlemlendi 
bir kere.
Örnek 35. X ve Y işaretlerinin gözlem tablosu verilmiştir.
|
X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemini bulun.
Çözüm. İncelenen özellikler arasındaki ilişki, Y'nin X: üzerinde düz bir çizgi regresyonunun denklemi ile ifade edilebilir. Denklemin katsayılarını hesaplamak için bir hesaplama tablosu oluşturacağız:
Gözlem no. |
|
|
||
Bölüm 6. Sürekli rastgele değişkenler.
§ 1. Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk ve dağılım fonksiyonu.
Sürekli bir rastgele değişkenin değerleri kümesi sayılamaz ve genellikle sonlu veya sonsuz bir aralığı temsil eder.
Bir olasılık uzayında (W, S, P) tanımlanan bir rastgele değişken x(w) olarak adlandırılır sürekli(mutlak sürekli) W, herhangi bir x için Fx(x) dağılım fonksiyonunun bir integral olarak temsil edilebildiği negatif olmayan bir fonksiyon varsa
Fonksiyona fonksiyon denir olasılık dağılım yoğunlukları.
Tanım, dağıtım yoğunluk fonksiyonunun özelliklerini ima eder:
1..gif" genişlik = "97" yükseklik = "51">
3. Süreklilik noktalarında dağıtım yoğunluğu, dağıtım fonksiyonunun türevine eşittir: .
4. Dağılım yoğunluğu, bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirler, çünkü bir rastgele değişkenin aralığa düşme olasılığını belirler:
5. Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir değeri alma olasılığı sıfırdır: . Bu nedenle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği denir dağıtım eğrisi ve dağılım eğrisinin ve x ekseninin sınırladığı alan birliğe eşittir. O halde geometrik olarak Fx(x) dağılım fonksiyonunun x0 noktasındaki değeri, dağılım eğrisi ve x ekseni tarafından sınırlanan ve x0 noktasının solunda kalan alandır.
Görev 1. Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:
C sabitini belirleyin, Fx(x) dağılım fonksiyonunu oluşturun ve olasılığı hesaplayın.
Çözüm. C sabiti elimizdeki koşuldan bulunur:
dolayısıyla C=3/8.
Fx(x) dağıtım fonksiyonunu oluşturmak için aralığın, x argümanının değer aralığını (sayısal eksen) üç parçaya böldüğünü unutmayın: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" genişlik = "264 " yükseklik = "49">
yarı eksendeki yoğunluk x sıfır olduğundan. İkinci durumda
Son olarak son durumda x>2 olduğunda,
Yoğunluk yarı eksende sıfır olduğundan. Böylece dağıtım fonksiyonu elde edilir
Olasılık Formülü kullanarak hesaplayalım. Böylece,
§ 2. Sürekli rastgele değişkenin sayısal özellikleri
Beklenen değer sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> formülüyle belirlenir,
sağdaki integral mutlak yakınsaksa.
Dağılım x aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir 
ve ayrıca ayrı durumda olduğu gibi https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> formülüne göre.
Bölüm 5'te kesikli rastgele değişkenler için verilen matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerinin tümü, sürekli rastgele değişkenler için de geçerlidir.
Sorun 2. Problem 1'deki rastgele değişken x için matematiksel beklentiyi ve varyansı hesaplayın .
Çözüm.
Ve bu demek ki
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" genişlik = "184" yükseklik = "69 src = ">
Yoğunluk grafiği üniforma dağıtımışek. .
Şekil 6.2. Dağıtım fonksiyonu ve dağıtım yoğunluğu. tek tip yasa
Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu Fx(x) şuna eşittir:
Fx(x)= 
Beklenti ve varyans; .
Üstel (üstel) dağılım. Negatif olmayan değerler alan sürekli bir rastgele değişken x, eğer rastgele değişkenin olasılık yoğunluk dağılımı şuna eşitse, parametre l>0 olan üstel bir dağılıma sahiptir:
рx(x)= 
Pirinç. 6.3. Üstel yasanın dağılım fonksiyonu ve dağılım yoğunluğu.
Üstel dağılımın dağılım fonksiyonu şu şekildedir:
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width = "17" height = "41">.gif" width = "13" yükseklik = "15"> ve dağıtım yoğunluğu eşitse
.
Through, parametreler ve parametreleriyle normal bir yasaya göre dağıtılan tüm rastgele değişkenlerin kümesini belirtir.
Normal dağılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şuna eşittir:
.
Pirinç. 6.4. Dağıtım fonksiyonu ve normal dağılım yoğunluğu
Normal dağılımın parametreleri matematiksel beklentidir https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Özel durumda ne zaman https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width = "44" height = "21 src = "> normal dağılım denir standart ve bu tür dağıtımların sınıfı https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> ile gösterilir,
ve dağıtım fonksiyonu
Böyle bir integral analitik olarak hesaplanamayacağından (“karelemelerde” alınmaz) bu nedenle fonksiyona yönelik tablolar derlenmiştir. İşlev, Bölüm 4'te tanıtılan Laplace işleviyle ilgilidir.
,
aşağıdaki ilişkiyle 
. Rastgele parametre değerleri durumunda https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width = "21" height = "21 src = "> rastgele bir değişkenin dağıtım işlevi, aşağıdaki ilişkiyi kullanarak Laplace işleviyle ilişkilidir:
.
Bu nedenle normal dağılmış bir rastgele değişkenin bir aralığa düşme olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
.
Negatif olmayan bir x rastgele değişkeni, eğer logaritması h=lnx normal yasaya uyuyorsa, lognormal dağılımlı olarak adlandırılır. Lognormal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin beklenen değeri ve varyansı Mx= ve Dx='dir.
Görev 3. https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> rastgele bir değişken verilsin.
Çözüm.İşte https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Laplace dağılımı fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> fonksiyonu tarafından verilir ve basıklık gx=3'tür.
Şekil 6.5. Laplace dağılım yoğunluk fonksiyonu.
Rastgele değişken x dağıtılır Weibull yasası, https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> değerine eşit bir dağıtım yoğunluğu işlevine sahipse
Weibull dağıtımı birçok teknik cihazın hatasız çalışma sürelerini yönetir. Bu profilin görevlerinde önemli karakteristik l(t)= ilişkisiyle belirlenen, t yaşındaki incelenen öğelerin başarısızlık oranı (ölüm oranı) l(t)'dir. Eğer a=1 ise, Weibull dağılımı üstel bir dağılıma dönüşür ve eğer a=2 ise sözde dağılıma dönüşür. Rayleigh.
Weibull dağılımının matematiksel beklentisi: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width = "219" height = "45 src = ">, burada Г(а) Euler'dir işlev. .
İÇİNDE çeşitli görevler Uygulamalı istatistiklerde “kesilmiş” dağılımlar olarak adlandırılan dağılımlarla sıklıkla karşılaşılmaktadır. Örneğin vergi makamları, yıllık gelirleri vergi kanunları tarafından belirlenen belirli bir c0 eşiğini aşan bireylerin gelir dağılımıyla ilgilenmektedir. Bu dağılımlar yaklaşık olarak Pareto dağılımına denk gelmektedir. Pareto dağılımı fonksiyonlar tarafından verilen
Fx(x)=P(x
İşte https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Görev 4. Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Rasgele bir değişkenin yoğunluğunu bulun.
Çözüm. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor:
Daha sonra fonksiyon bir aralıkta monoton ve türevlenebilir bir fonksiyondur ve ters fonksiyona sahiptir 
türevi eşittir Bu nedenle,
§ 5. Sürekli rastgele değişken çifti
İki sürekli rastgele değişken x ve h verilsin. Daha sonra (x, h) çifti düzlemde “rastgele” bir nokta tanımlar. (x, h) çiftine denir rastgele vektör veya iki boyutlu rastgele değişken.
Ortak dağıtım fonksiyonu rastgele değişkenler x ve h'dir ve fonksiyona F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> adı verilir. eklem yoğunluğu Rastgele değişkenler x ve h'nin olasılık dağılımına öyle bir fonksiyon denir ki 
.
Ortak dağıtım yoğunluğunun bu tanımının anlamı aşağıdaki gibidir. Bir "rastgele noktanın" (x, h) düzlemdeki bir bölgeye düşme olasılığı, https://pandia.ru/ yüzeyiyle sınırlanan "eğrisel" bir silindir olan üç boyutlu bir şeklin hacmi olarak hesaplanır. text/78/107/images/image098_3.gif" genişlik = "211" yükseklik = "39 src = ">
İki rastgele değişkenin ortak dağılımının en basit örneği iki boyutludur. sette düzgün dağılımA. Sınırlı bir M kümesinin alanı ile verilebilmesine izin verin. Bu, aşağıdaki eklem yoğunluğu ile tanımlanan (x, h) çiftinin dağılımı olarak tanımlanır:
Görev 5.İki boyutlu rastgele bir vektörün (x, h) üçgenin içinde düzgün şekilde dağıldığını varsayalım. x>h eşitsizliğinin olasılığını hesaplayın.
Çözüm. Belirtilen üçgenin alanı eşittir (bkz. Şekil No.?). İki boyutlu tekdüze dağılım tanımı gereği, x, h rastgele değişkenlerinin ortak yoğunluğu şuna eşittir:
Bir olay bir diziye karşılık gelir 
bir düzlemde, yani yarım düzlemde. O halde olasılık
Yarım düzlem B'de, bağlantı yoğunluğu https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> kümesinin dışında sıfırdır. yarım düzlem B iki kümeye bölünmüştür ve https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> ve ikinci integral şuna eşittir: sıfır, çünkü oradaki eklem yoğunluğu sıfıra eşittir. Bu yüzden
Bir (x, h) çifti için ortak dağılım yoğunluğu verilirse, hem x hem de h bileşenlerinin yoğunlukları denir. özel yoğunluklar ve aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width = "224" height = "23 src = ">
Yoğunlukları рx(х), рh(у) olan sürekli dağıtılmış rastgele değişkenler için bağımsızlık şu anlama gelir:
Görev 6.Önceki problemin koşullarında, x ve h rastgele vektörünün bileşenlerinin bağımsız olup olmadığını belirleyin?
Çözüm. Kısmi yoğunlukları ve hesaplayalım. Sahibiz:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width = "283" height = "61 src = ">
Açıkçası, bizim durumumuzda https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x ve h miktarlarının ortak yoğunluğudur ve j( x, y) iki bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur, o halde
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" genişlik = "184" yükseklik = "152 src = ">
Görev 7.Önceki problemin koşullarında hesaplayın.
Çözüm. Yukarıdaki formüle göre elimizde:
.
Üçgeni şu şekilde temsil etmek
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. İki sürekli rastgele değişkenin toplamının yoğunluğu
X ve h, https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25"> yoğunluklarına sahip bağımsız rastgele değişkenler olsun. Rastgele değişkenin yoğunluğu x + h formülle hesaplanır evrişim
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width = "39" height = "19 src = ">. Toplamın yoğunluğunu hesaplayın.
Çözüm. x ve h parametresi ile üstel yasaya göre dağıtıldıkları için yoğunlukları eşittir.
Buradan,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
eğer x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negatiftir ve bu nedenle . Bu nedenle, https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> ise
Böylece cevabı aldık:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normal olarak 0 ve 1 parametreleriyle dağıtılır. Rastgele değişkenler x1 ve x2 bağımsızdır ve normaldir Sırasıyla a1 ve a2 parametreli dağılımlar x1 + x2'nin normal dağılıma sahip olduğunu kanıtlayın. x1, x2, ... xn rastgele değişkenleri dağıtılmış ve bağımsızdır ve aynı dağılım yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
.
Değerlerin dağılım fonksiyonunu ve dağılım yoğunluğunu bulun:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maksimum (x1,x2, ... xn)
Rastgele değişkenler x1, x2, ... xn bağımsızdır ve [a, b] aralığında düzgün bir şekilde dağılmıştır. Büyüklüklerin dağılımlarının dağılım fonksiyonlarını ve yoğunluk fonksiyonlarını bulun
x(1) = min (x1,x2, ... xn) ve x(2)= maks(x1, x2, ...xn).
Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> olduğunu kanıtlayın.
Rastgele değişken Cauchy yasasına göre dağıtılır Bul: a) katsayı a; b) dağıtım işlevi; c) (-1, 1) aralığına düşme olasılığı. X'in matematiksel beklentisinin olmadığını gösterin. Rastgele değişken l(l>0) parametresi ile Laplace yasasına tabidir: a katsayısını bulun; dağıtım yoğunluğu ve dağıtım fonksiyonunun grafiklerini oluşturmak; Mx ve Dx'i bulun; olayların olasılıklarını bulun (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Dağıtım yoğunluğu için bir formül yazın, Mx ve Dx'i bulun.
Hesaplamalı görevler.
Rastgele bir A noktası, R yarıçaplı bir daire içinde düzgün bir dağılıma sahiptir. Noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı r'nin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun. r2 değerinin parça üzerinde düzgün dağıldığını gösterin. 
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir: 
C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu ve olasılığı hesaplayın 
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir: 
C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu ve olasılığı hesaplayın 
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir: 
C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu, varyansı ve olasılığı hesaplayın. Bir rastgele değişkenin bir dağılım fonksiyonu vardır. 
Rastgele bir değişkenin yoğunluğunu, matematiksel beklentiyi, varyansı ve olasılığı hesaplayın. Fonksiyonun = olup olmadığını kontrol edin 
rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu olabilir. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulun: Mx ve Dx. Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Dağıtım yoğunluğunu yazın. Dağıtım fonksiyonunu bulun. Bir rastgele değişkenin parçaya ve parçaya düşme olasılığını bulun. Dağıtım yoğunluğu x eşittir
.
Sabit c'yi, dağılım yoğunluğunu h = ve olasılığı bulun
P (0,25 Bir bilgisayarın hatasız çalışma süresi, l = 0,05 (saat başına arıza) parametresi ile üstel yasaya göre dağıtılır, yani bir yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. p(x) = Belirli bir sorunun çözümü, makinenin 15 dakika boyunca sorunsuz çalışmasını gerektirir. Bir problemi çözerken bir arıza meydana gelirse, hata ancak çözüm tamamlandıktan sonra tespit edilir ve problem tekrar çözülür. Bulgular: a) problemin çözümü sırasında tek bir arızanın meydana gelmeme olasılığı; b) Sorunun çözüleceği ortalama süre. 24 cm uzunluğundaki bir çubuk iki parçaya bölünüyor; Kırılma noktasının çubuğun tüm uzunluğu boyunca eşit olarak dağıldığını varsayacağız. Çubuğun çoğunun ortalama uzunluğu nedir? 12 cm uzunluğunda bir parça rastgele iki parçaya ayrılıyor. Kesim noktası, segmentin tüm uzunluğu boyunca eşit olarak dağıtılır. Segmentin küçük kısmının ortalama uzunluğu nedir? Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu bulun a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . X'in sürekli bir dağılım fonksiyonuna sahip olup olmadığını gösterin F(x) = P(x) Segmentler üzerinde tekdüze dağılım yasalarına sahip iki bağımsız x ve h büyüklüğünün toplamının yoğunluk fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler bağımsızdır ve yoğunluğa sahip üstel bir dağılıma sahiptir Dağıtım işlevi rastgele değişken Xçağrılan fonksiyon F(X), her biri için ifade X rastgele değişkenin olasılığı X daha az değer alacaktır X:. İşlev F(X) bazen denir integral dağıtım fonksiyonu, veya integral dağıtım yasası. Rastgele değer X isminde sürekli Dağılım fonksiyonu herhangi bir noktada sürekliyse ve tek tek noktalar dışında her yerde türevlenebilirse. Örnekler sürekli rastgele değişkenler: tornacının belirli bir boyuta kadar öğüttüğü parçanın çapı, bir kişinin boyu, bir merminin uçuş menzili vb. Teorem. Sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir bireysel değerinin olasılığı sıfırdır Sonuçlar. Eğer X sürekli bir rastgele değişken ise, bu durumda rastgele değişkenin aralığa düşme olasılığı Sürekli bir rastgele değişken ise X sadece aradaki değerleri alabilir Aönce B(Nerede A Ve B- bazı sabitler), bu durumda dağıtım fonksiyonu tüm değerler için sıfıra eşittir Ayrık rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarının tüm özellikleri, sürekli rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları için de sağlanır. Bir dağıtım fonksiyonunu kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirlemek tek yol değildir. Olasılık yoğunluğu
(dağıtım yoğunluğu veya yoğunluk)
R(X) sürekli rastgele değişken X dağılım fonksiyonunun türevi denir Olasılık Yoğunluğu R(X) ve dağıtım fonksiyonunun yanı sıra F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım fonksiyonundan farklı olarak yalnızca sürekli rastgele değişkenler. Olasılık yoğunluğu bazen denir diferansiyel fonksiyon veya diferansiyel dağılım yasası. Olasılık yoğunluk grafiğine dağılım eğrisi denir. Özellikler sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu: Pirinç. 8.1 Pirinç. 8.2 4.
Geometrik olarak, olasılık yoğunluğunun özellikleri, grafiğinin - dağıtım eğrisinin - apsis ekseninin altında olmadığı ve dağılım eğrisi ve apsis ekseni tarafından sınırlanan şeklin toplam alanının bire eşit olduğu anlamına gelir. Örnek 8.1. Elektrikli saatin yelkovanı her dakika hızla hareket eder. Saatinize baktınız. Gösteriyorlar A dakika. O zaman sizin için belirli bir andaki gerçek zaman rastgele bir değişken olacaktır. Dağıtım fonksiyonunu bulun. Çözüm. Açıkçası, gerçek zamanlı dağılım fonksiyonu her şey için 0'a eşittir. HAKKINDA Pirinç. 8.3 Örnek 8.2. Bazı rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonu, fonksiyon mudur? Çözüm. Bu fonksiyonun tüm değerleri segmente aittir Eşitlikler ayrıca şunları da sağlar: Bu nedenle fonksiyon Örnek 8.3. Bazı rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonu, fonksiyon mudur? Çözüm. Bu fonksiyon rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu değildir, çünkü Pirinç. 8.5 Örnek 8.4. Rastgele değer X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen Katsayıyı bul A ve rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu X. Eşitsizlik olasılığını belirleyin Çözüm. Dağıtım yoğunluğu, dağıtım fonksiyonunun birinci türevine eşittir Katsayı A eşitlik kullanılarak belirlenir Fonksiyonun sürekliliği kullanılarak aynı sonuç elde edilebilir. Buradan, Bu nedenle olasılık yoğunluğu şu şekildedir: Olasılık Örnek 8.5. Rastgele değer X olasılık yoğunluğu vardır (Cauchy yasası) Katsayıyı bul A ve rastgele değişkenin olasılığı X aralıktan bir değer alacak Çözüm. Katsayıyı bulalım A eşitlikten Buradan, Bu yüzden, Rastgele bir değişkenin olasılığı X aralıktan bir değer alacak Bu rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulalım P Pirinç. 8.6 Çözüm. Grafiği kullanarak belirli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğunun analitik ifadesini yazıyoruz Dağıtım fonksiyonunu bulalım. Eğer Eğer Eğer Eğer Bu nedenle, dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:
Bölüm 1. Ayrık rassal değişken
§
1. Rastgele değişken kavramları. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Tanım
: Rastgele, test sonucunda önceden bilinmeyen ve rastgele nedenlere bağlı olarak olası bir değer kümesinden yalnızca bir değeri alan bir niceliktir. İki tür rastgele değişken vardır: kesikli ve sürekli. Tanım
: Rastgele değişken X'e denir ayrık
(süreksiz) değerlerinin kümesi sonlu veya sonsuz ancak sayılabilirse. Başka bir deyişle, olası değerler Ayrık bir rastgele değişken yeniden numaralandırılabilir. Rastgele bir değişken, dağıtım yasası kullanılarak tanımlanabilir. Tanım
: Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunların olasılıkları arasındaki yazışmayı çağırın. Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, ilk satırda rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin artan sırada gösterildiği ve ikinci satırda bunlara karşılık gelen olasılıkların gösterildiği bir tablo şeklinde belirtilebilir. değerler, yani burada р1+ р2+…+ рn=1 Böyle bir tabloya ayrık rastgele değişkenin dağılım serisi denir. Bir rastgele değişkenin olası değerleri kümesi sonsuzsa, p1+ p2+…+ pn+… serisi yakınsar ve toplamı 1'e eşittir. Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, dikdörtgen bir koordinat sisteminde sıralı noktaları (xi; pi), i=1,2,…n koordinatlarıyla birleştiren kesikli bir çizginin oluşturulduğu grafiksel olarak gösterilebilir. Ortaya çıkan satıra denir dağıtım poligonu
(Şekil 1). Organik kimya" href = "/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel = "bookmark">organik kimya sırasıyla 0,7 ve 0,8'dir. Rastgele değişken X - öğrencinin geçeceği sınav sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın. Çözüm.
İnceleme sonucunda dikkate alınan rastgele değişken X şu değerlerden birini alabilir: x1=0, x2=1, x3=2. Bu değerlerin olasılığını bulalım. Olayları gösterelim: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width = "259" height = "66 src = "> Dolayısıyla, X rastgele değişkeninin dağılım yasası aşağıdaki tabloda verilmiştir: Kontrol: 0,6+0,38+0,56=1. §
2. Dağıtım işlevi Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağılım fonksiyonu tarafından verilmektedir. Tanım: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu
her x değeri için rastgele değişken X'in x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır: F(x)=P(X<х) Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin sayı doğrusunda x noktasının solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığı olarak yorumlanır.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) F(x), (-∞;+∞) üzerinde azalmayan bir fonksiyondur; 3) F(x) - sol tarafta x= xi (i=1,2,...n) noktalarında sürekli ve diğer tüm noktalarda sürekli; 4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. Ayrık bir rasgele değişken X'in dağılım yasası bir tablo şeklinde verilirse: daha sonra dağılım fonksiyonu F(x) aşağıdaki formülle belirlenir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> x≤ x1 için 0, р1 x1'de< х≤ x2, F(x)= р1 + р2 x2'de< х≤ х3 x>xn için 1. Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir: §
3. Ayrık bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri. Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir. Tanım: Matematiksel beklenti M(X)
ayrık rastgele değişken X, tüm değerlerinin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen olasılıkların toplamıdır: M(X) =
∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin bir özelliği olarak hizmet eder. Matematiksel beklentinin özellikleri:
1)M(C)=C, burada C sabit bir değerdir; 2)M(CX)=CM(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir; 5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit bir değerdir; Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılım derecesini karakterize etmek için dağılım kullanılır. Tanım:
Varyans
D
(
X
)
Rastgele değişken X, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:
Dispersiyon özellikleri:
1)D(C)=0, burada C sabit bir değerdir; 2)D(X)>0, burada X rastgele bir değişkendir; 3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit bir değerdir; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir; Varyansı hesaplamak için genellikle aşağıdaki formülü kullanmak uygundur: D(X)=M(X2)-(M(X))2, burada M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn D(X) varyansı, karesi alınmış rastgele değişken boyutuna sahiptir ve bu her zaman uygun değildir. Bu nedenle √D(X) değeri aynı zamanda bir rastgele değişkenin olası değerlerinin dağılımının bir göstergesi olarak da kullanılır. Tanım: Standart sapma σ(X)
Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir: Görev No.2. Ayrık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir: P2'yi, F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve M(X), D(X), σ(X)'in yanı sıra grafiğini çizin. Çözüm:
X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarının toplamı 1'e eşit olduğundan, o zaman Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1 F(x)=P(X dağılım fonksiyonunu bulalım. Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x), rastgele değişkenin sayı ekseninde x noktasının solunda yer alan noktanın temsil ettiği değeri alma olasılığıdır. Eğer x≤-1 ise F(x)=0 olur, çünkü bu rastgele değişkenin (-∞;x) üzerinde tek bir değeri yoktur; -1 ise<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; 0 ise<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) x1=-1 ve x2=0 olmak üzere iki değer vardır; Eğer 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; 2 ise<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Eğer x>3 ise F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, çünkü dört değer x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) ve x5=3 aralığına düşer. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0, x≤-1'de, -1'de 0,1<х≤0, 0,2'de 0<х≤1, F(x)= 0,5, 1'de<х≤2, 2'de 0,7<х≤3, x>3'te 1 F(x) fonksiyonunu grafiksel olarak temsil edelim (Şekil 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binom dağılım yasası ayrık rasgele değişken, Poisson yasası. Tanım: Binom
ayrı bir rastgele değişken X'in dağılım yasası olarak adlandırılır - A olayının n bağımsız tekrarlanan denemede meydana gelme sayısı; her birinde A olayı p olasılığıyla meydana gelebilir veya q = 1-p olasılığıyla gerçekleşmeyebilir. Daha sonra P(X=m) - A olayının n denemede tam olarak m kez meydana gelme olasılığı Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanır: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m İkili yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, dağılımı ve standart sapması sırasıyla aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> A olayının olasılığı - her denemede "beş atma" aynı ve 1/6'ya eşittir , yani P(A)=p=1/6, sonra P(A)=1-p=q=5/6, burada - "beş üzerinden düşmek." Rastgele değişken X şu değerleri alabilir: 0;1;2;3. Bernoulli formülünü kullanarak X'in olası değerlerinin her birinin olasılığını buluyoruz: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. O. rastgele değişken X'in dağılım yasası şu şekildedir: Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulalım: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Görev No.4. Otomatik bir makine parçaları damgalar. Üretilen bir parçanın arızalı olma olasılığı 0,002'dir. Seçilen 1000 parça arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun: a) 5 kusurlu; b) en az biri kusurlu. Çözüm:
n=1000 sayısı büyüktür, kusurlu bir parça üretme olasılığı p=0,002 küçüktür ve söz konusu olaylar (parçanın kusurlu olduğu ortaya çıkar) bağımsızdır, dolayısıyla Poisson formülü geçerlidir: Pn(m)= e-
λ
λm λ=np=1000 0,002=2'yi bulalım. a) 5 adet hatalı parçanın olma olasılığını bulun (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) En az bir parçanın arızalı olma olasılığını bulun. Olay A - “seçilen parçalardan en az biri arızalı” zıt olay- “seçilen parçaların tümü arızalı değil.” Bu nedenle P(A) = 1-P(). Dolayısıyla gerekli olasılık şuna eşittir: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1-e-2=1-0,13534≈0,865. Bağımsız çalışma için görevler.
1.1
1.2.
Dağınık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir: p4'ü, F(X) dağılım fonksiyonunu bulun ve M(X), D(X), σ(X)'in yanı sıra grafiğini çizin. 1.3.
Kutuda 2'si artık yazmayan 9 adet kalem bulunmaktadır. Rastgele 3 işaretçi alın. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki yazı işaretlerinin sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin. 1.4.
Bir kütüphane rafında 4'ü ciltli olmak üzere rastgele dizilmiş 6 ders kitabı bulunmaktadır. Kütüphaneci rastgele 4 ders kitabı alır. Rastgele değişken X, alınanlar arasında ciltli ders kitaplarının sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin. 1.5.
Bilette iki görev var. İlk problemi doğru çözme olasılığı 0,9, ikincisi ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, biletteki doğru çözülmüş problemlerin sayısıdır. Bir dağılım yasası çizin, bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın ve ayrıca F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini oluşturun. 1.6.
Üç atıcı bir hedefe ateş ediyor. Tek atışta hedefi vurma olasılığı birinci atışta 0,5, ikinci atışta 0,8, üçüncü atışta ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, atıcıların bir kerede tek atış yapması durumunda hedefe isabet eden isabet sayısıdır. Dağıtım yasasını bulun, M(X),D(X). 1.7.
Bir basketbolcu, her atışta isabet olasılığı 0,8 olacak şekilde topu sepete atıyor. Her vuruşta 10 puan alır, kaçırırsa puan verilmez. Bir basketbolcunun 3 atışta aldığı puanların sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağılım kanunu çizin. M(X),D(X)'i ve 10'dan fazla puan alma olasılığını bulun. 1.8.
Kartların üzerine toplam 5 sesli ve 3 sessiz harf olmak üzere harfler yazılmaktadır. Rastgele 3 kart seçilir ve her seferinde alınan kart geri verilir. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki sesli harflerin sayısıdır. Bir dağılım kanunu çizin ve M(X),D(X),σ(X)'i bulun. 1.9.
Sözleşmelerin ortalama %60'ı Sigorta şirketi Sigortalı bir olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasında sigorta tutarının ödendiği sözleşme sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağıtım yasası hazırlayın. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulun. 1.10.
Radyo istasyonu, iki yönlü iletişim sağlanana kadar belirli aralıklarla (en fazla dört) çağrı işareti gönderir. Bir çağrı işaretine yanıt alma olasılığı 0,3'tür. Rastgele değişken X, gönderilen çağrı işaretlerinin sayısıdır. Bir dağıtım yasası çizin ve F(x)'i bulun. 1.11.
3 anahtar var ve bunlardan sadece biri kilide uyuyor. Denenen anahtar sonraki denemelere katılmazsa, kilidi açmaya yönelik X sayısı rastgele değişkeninin dağılımı için bir yasa hazırlayın. M(X),D(X)'i bulun. 1.12.
Güvenilirlik için üç cihazın ardışık bağımsız testleri gerçekleştirilir. Sonraki her cihaz, yalnızca bir öncekinin güvenilir olduğu ortaya çıktığında test edilir. Her cihazın testi geçme olasılığı 0,9'dur. Test edilen cihazların rastgele değişken X sayısı için bir dağıtım kanunu çizin. 1.13
.Ayrık rasgele değişken X'in üç olası değeri vardır: x1=1, x2, x3 ve x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektronik cihaz bloğu 100 özdeş eleman içerir. T süresi boyunca her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,002'dir. Elemanlar bağımsız olarak çalışır. T süresi boyunca en fazla iki elemanın arızalanma olasılığını bulun. 1.15.
Ders kitabı 50.000 adet basıldı. Ders kitabının yanlış ciltlenme olasılığı 0,0002'dir. Dolaşımın aşağıdakileri içerme olasılığını bulun: a) Dört kusurlu kitap, b) ikiden az kusurlu kitap. 1
.16.
PBX'e her dakikada gelen çağrıların sayısı Poisson yasasına göre λ=1,5 parametresiyle dağıtılır. Bir dakika içinde aşağıdakilerin gelme olasılığını bulun: a) iki çağrı; b) en az bir çağrı. 1.17.
Z=3X+Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun. 1.18.
İki bağımsız rastgele değişkenin dağılım yasaları verilmiştir: Z=X+2Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun. Yanıtlar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; x≤-2'de 0, -2'de 0,3<х≤0, 0'da F(x)= 0,5<х≤2, 2'de 0,9<х≤5, 1 x>5'te -1'de 0,3<х≤0, 0'da 0,4<х≤1, 1'de F(x)= 0,6<х≤2, 2'de 0,7<х≤3, x>3'te 1 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0, x≤0'da, 0,03'te 0<х≤1, 1'de F(x)= 0,37<х≤2, x>2 için 1 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Bölüm 2. Sürekli rastgele değişken
Tanım: Sürekli
Tüm olası değerleri sayı doğrusundaki sonlu veya sonsuz bir aralığı tamamen dolduran bir miktara denir. Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur. Sürekli bir rastgele değişken, bir dağılım fonksiyonu kullanılarak belirtilebilir. Tanım: F dağıtım işlevi
sürekli bir rastgele değişken X'e F(x) fonksiyonu adı verilir ve bu, her değer için xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> değerini belirler. R Dağıtım fonksiyonuna bazen kümülatif dağılım fonksiyonu da denir. Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Sürekli bir rastgele değişken için, dağılım fonksiyonu herhangi bir noktada süreklidir ve bireysel noktalar dışında her yerde türevlenebilir. 3) X rastgele değişkeninin (a;b), [a;b], [a;b] aralıklarından birine düşme olasılığı, F(x) fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. a ve b noktalarında, yani R(a)<Х 4) Sürekli bir rastgele değişken olan X'in ayrı bir değer alma olasılığı 0'dır. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Bir dağıtım fonksiyonunu kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirlemek tek yol değildir. Olasılık dağılım yoğunluğu (dağıtım yoğunluğu) kavramını tanıtalım. Tanım
:
Olasılık dağılım yoğunluğu
F
(
X
)
sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonunun türevidir, yani: Olasılık yoğunluk fonksiyonuna bazen diferansiyel dağılım fonksiyonu veya diferansiyel dağılım yasası adı verilir. Olasılık yoğunluk dağılımı f(x) grafiğine denir olasılık dağılım eğrisi
.
Olasılık yoğunluk dağılımının özellikleri:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height adresinde ="62 src="> 0, x≤2'de, 2'de f(x)= c(x-2)<х≤6, x>6 için 0. Bul: a) c'nin değeri; b) F(x) dağılım fonksiyonunu ve grafiğini oluşturun; c) P(3≤x<5) Çözüm:
+
∞ a) c'nin değerini normalleştirme koşulundan buluyoruz: ∫ f(x)dx=1. Bu nedenle -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height = "38 src = "> -∞ 2 2 x eğer 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" genişlik = "14" yükseklik = "62"> 0, x≤2'de, F(x)= (x-2)2/16, 2'de<х≤6, x>6 için 1. F(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 3'te gösterilmektedir. https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width = "14" height = "62 src = "> x≤0'da 0, F(x)= (3 arctan x)/π 0'da<х≤√3, x>√3 için 1. Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun Çözüm:
f(x)= F’(x) olduğuna göre, o zaman https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Daha önce dağılmış rastgele değişkenler için tartışılan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir. Görev No.3. Rastgele değişken X, f(x) diferansiyel fonksiyonu ile belirtilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Bağımsız çözüm için problemler.
2.1.
Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir: x≤0'da 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0, F(x)= - çünkü π/6'da 3x<х≤ π/3, x> π/3 için 1. Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun ve ayrıca Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2'de 0, f(x)= c x 2'de<х≤4, x>4 için 0. 2.4.
Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım yoğunluğuyla belirtilir: x≤0'da 0, 0'da f(x)= c √x<х≤1, x>1 için 0. Bul: a) c sayısı; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x'te, x'te 0. Şunu bulun: a) F(x)'i bulun ve grafiğini oluşturun; b) M(X),D(X), σ(X); c) dörtte olma olasılığı bağımsız testler X değeri (1;4) aralığına ait değerin tam 2 katını alacaktır. 2.6.
Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir: x'te f(x)= 2(x-2), x'te 0. Şunu bulun: a) F(x)'i bulun ve grafiğini oluşturun; b) M(X),D(X), σ(X); c) Üç bağımsız denemede X'in değerinin segmente ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı. 2.7.
f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "38 src = ">.jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" genişlik = "45" yükseklik = "36 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[- π /4 ; π /4]. Bul: a) fonksiyonun bazı rastgele değişken X'in olasılık yoğunluğu olacağı sabit c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x). 2.9.
(3;7) aralığında yoğunlaşan rastgele değişken X, F(x)= dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir. olasılığını bulun Rastgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 5'ten az, b) 7'den az değil. 2.10.
Rastgele değişken X, (-1;4) aralığına yoğunlaşmıştır, F(x)= dağılım fonksiyonu ile verilir. olasılığını bulun X rastgele değişkeni şu değeri alacaktır: a) 2'den az, b) 4'ten az değil. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "44 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">. Bul: a) c sayısı; b) M(X); c) olasılık P(X> M(X)) 2.12.
Rastgele değişken diferansiyel dağılım fonksiyonu ile belirlenir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width = "60" height = "38 src = ">.jpg" width = "16 yükseklik = 15" yükseklik = "15"> . Bul: a) M(X); b) olasılık P(X≤M(X)) 2.13.
Rem dağılımı olasılık yoğunluğu ile verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 için. f(x)'in gerçekten bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu kanıtlayın. 2.14.
Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width = "174" height = "136 src = ">(Şek. 4) 2.16.
Rastgele değişken X “yasasına göre dağıtılır” dik üçgen"aralığında (0;4) (Şekil 5). Tüm sayı doğrusundaki f(x) olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun. Yanıtlar
x≤0'da 0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0, F(x)= 3sin 3x, π/6'da<х≤ π/3, x> π/3 için 0. Sürekli bir rastgele değişken X'in sahip olduğu tek tip yasa Olasılık dağılım yoğunluğu f(x) bu aralıkta sabitse ve bunun dışında 0'a eşitse, X'in tüm olası değerlerini içeren belirli bir aralıktaki (a;b) dağılım, yani. x≤a için 0, f(x)= a için<х x≥b için 0. f(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 2’de gösterilmektedir. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Görev No.1. Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak: a) olasılık dağılım yoğunluğu f(x) ve grafiğini çizin; b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini çizin; c) M(X),D(X), σ(X). Çözüm:
Yukarıda tartışılan formülleri kullanarak a=3, b=7 ile şunları buluruz: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7'de, x>7 için 0 Grafiğini oluşturalım (Şekil 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" genişlik = "14" yükseklik = "86 src = "> x≤3'te 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width = "203" height = "119 src = ">Şek. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width = "14" height = "49 src = "> 0, x'te<0, x≥0 için f(x)= λе-λх. Üstel yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" genişlik = "191" yükseklik = "126 src = ">fig..jpg" genişlik = "22" yükseklik = "30">, D(X)=, σ (Х)= Dolayısıyla üstel dağılımın matematiksel beklentisi ve standart sapması birbirine eşittir. X'in (a;b) aralığına düşme olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır: P(bir<Х Görev No.2. Cihazın ortalama arızasız çalışma süresi 100 saattir. Cihazın arızasız çalışma süresinin üstel dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun: a) olasılık dağılım yoğunluğu; b) dağıtım işlevi; c) Cihazın arızasız çalışma süresinin 120 saati aşma ihtimali. Çözüm:
Koşula göre, x'te M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 matematiksel dağılımı<0, a) x≥0 için f(x)= 0,01e -0,01x. b) x'te F(x)= 0<0, x≥0'da 1-e -0,01x. c) İstenilen olasılığı dağılım fonksiyonunu kullanarak buluruz: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Normal dağıtım kanunu Tanım:
Sürekli bir rastgele değişken X'in sahip olduğu normal dağılım yasası (Gauss yasası),
dağıtım yoğunluğu şu şekilde ise: burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Normal dağılım eğrisi denir normal veya Gauss eğrisi
(Şek.7) Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu, aşağıdaki formüle göre Laplace fonksiyonu Ф (x) aracılığıyla ifade edilir: Laplace fonksiyonu nerede. Yorum:
Ф(x) fonksiyonu tektir (Ф(-х)=-Ф(х)) ayrıca x>5 için Ф(х) ≈1/2 olduğunu varsayabiliriz. F(x) dağılım fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" genişlik = "218" yükseklik = "33"> Olasılık mutlak değer Pozitif bir δ sayısından daha küçük sapmalar aşağıdaki formülle hesaplanır: Özellikle m=0 için aşağıdaki eşitlik geçerlidir: "Üç Sigma Kuralı"
Eğer bir X rastgele değişkeni m ve σ parametreleriyle normal bir dağılım yasasına sahipse, bu durumda değerinin (a-3σ; a+3σ) aralığında yer alması neredeyse kesindir, çünkü https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width = "157" height = "57 src = ">a) b) Formülü kullanalım: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width = "369" height = "38 src = "> Ф(х) fonksiyon değerleri tablosundan Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413'ü buluyoruz. Yani istenilen olasılık: P(28 Bağımsız çalışma için görevler
3.1.
Rastgele değişken X, (-3;5) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılır. Bulmak: b) dağılım fonksiyonu F(x); c) sayısal özellikler; d) olasılık P(4)<х<6). 3.2.
Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak: a) dağılım yoğunluğu f(x); b) dağılım fonksiyonu F(x); c) sayısal özellikler; d) olasılık P(3≤х≤6). 3.3.
Otoyolda otomatik bir trafik ışığı var ve yeşil ışık 2 dakika, sarı ışık 3 saniye, kırmızı ışık 30 saniye vb. yanıyor. Bir araba otoyolda rastgele bir anda ilerliyor. Bir arabanın trafik ışıklarından durmadan geçme olasılığını bulun. 3.4.
Metro trenleri düzenli olarak 2 dakikalık aralıklarla çalışmaktadır. Bir yolcu platforma rastgele bir zamanda giriyor. Bir yolcunun tren için 50 saniyeden fazla beklemek zorunda kalma olasılığı nedir? Rastgele değişken X'in matematiksel beklentisini - trenin bekleme süresini - bulun. 3.5.
Dağıtım fonksiyonu tarafından verilen üstel dağılımın varyansını ve standart sapmasını bulun: x'te F(x)= 0<0, x≥0 için 1.-8x. 3.6.
Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğuyla belirtilir: x'te f(x)= 0<0, x≥0'da 0,7 e-0,7x. a) Söz konusu rastgele değişkenin dağılım yasasını adlandırın. b) F(X) dağılım fonksiyonunu ve X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulun. 3.7.
Rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından belirlenen üstel yasaya göre dağıtılır: x'te f(x)= 0<0, 0,4 e-0,4 x, x≥0'da. Test sonucunda X'in (2.5;5) aralığından bir değer alma olasılığını bulun. 3.8.
Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilen üstel yasaya göre dağıtılır: x'te F(x)= 0<0, x≥0'da 1.-0,6x Test sonucunda X'in parçadan değer alma olasılığını bulun. 3.9.
Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin beklenen değeri ve standart sapması sırasıyla 8 ve 2'dir. a) dağılım yoğunluğu f(x); b) Test sonucunda X'in (10;14) aralığından bir değer alma olasılığı. 3.10.
Rastgele değişken X, 3,5'lik bir matematiksel beklenti ve 0,04'lük bir varyansla normal olarak dağıtılır. Bulmak: a) dağılım yoğunluğu f(x); b) Test sonucunda X'in segmentten bir değer alma olasılığı. 3.11.
Rastgele değişken X, M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal olarak dağıtılır. |X|≤0,6 veya |X|≥0,6 olaylarından hangisinin olasılığı daha yüksektir? 3.12.
X rastgele değişkeni M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal dağılım gösterir. Hangi aralıktan (-0.5;-0.1) veya (1;2) bir test sırasında değer alma olasılığı daha yüksektir? 3.13.
Hisse başına cari fiyat normal dağılım kanunu kullanılarak M(X)=10 den modellenebilir. birimler ve σ(X)=0,3 den. birimler Bulmak: a) Mevcut hisse fiyatının 9,8 den olma olasılığı. birimler 10,4 güne kadar birimler; b) “Üç sigma kuralını” kullanarak mevcut hisse senedi fiyatının yer alacağı sınırları bulun. 3.14.
Madde sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, ortalama kare oranı σ=5g olan normal yasaya tabidir. Dört bağımsız deneyde, üç tartımda 3r mutlak değerinde bir hata oluşmama olasılığını bulun. 3.15.
Rastgele değişken X, M(X)=12.6 ile normal olarak dağıtılır. Bir rastgele değişkenin (11.4;13.8) aralığına düşme olasılığı 0.6826'dır. Standart sapmayı σ bulun. 3.16.
X rastgele değişkeni M(X)=12 ve D(X)=36 ile normal dağılım göstermektedir. Test sonucunda X rastgele değişkeninin düşeceği aralığı 0,9973 olasılıkla bulunuz. 3.17.
Otomatik bir makine tarafından üretilen bir parça, kontrol edilen parametresinin X sapması nominal değerden modulo 2 ölçüm birimini aşarsa hatalı olarak kabul edilir. X rastgele değişkeninin M(X)=0 ve σ(X)=0,7 ile normal dağıldığı varsayılmaktadır. Makine kusurlu parçaların yüzde kaçını üretiyor? 3.18.
Parçanın X parametresi, nominal değere eşit 2 matematiksel beklentisi ve 0,014 standart sapması ile normal olarak dağıtılır. X'in nominal değerden sapmasının nominal değerin %1'ini aşmama olasılığını bulun. Yanıtlar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" genişlik = "14" yükseklik = "110 src = "> b) x≤-3 için 0, F(x)= sol"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Dağılım Olası değerleri Ox ekseninin tamamına ait olan sürekli rastgele değişken X, eşitlikle belirlenir: Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi, aşağıdaki durumlardan herhangi birinin meydana geldiği sorunları çözmek için tasarlanmıştır: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmanız gerekir f(x) ve F(x) fonksiyonlarının matematiksel beklenti, standart sapma, çizim grafikleri. Talimatlar. Kaynak veri türünü seçin: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x). Dağıtım yoğunluğu f(x) verilir: F(x) dağılım fonksiyonu verilir: Sürekli bir rastgele değişken olasılık yoğunluğuyla belirtilir Rastgele değişken X denir sürekli
, eğer dağıtım fonksiyonu F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. Toplamlarının dağılım yoğunluğunu bulun. Bağımsız rasgele değişkenler x ve h'nin toplamının dağılımını bulun; burada x, aralıkta tekdüze bir dağılıma sahiptir ve h, l parametresi ile üstel bir dağılıma sahiptir. P'yi bul 
, eğer x aşağıdakilere sahipse: a) a ve s2 parametreleriyle normal dağılım; b) l parametresi ile üstel dağılım; c) [-1;1] segmentinde düzgün dağılım. x, h'nin ortak dağılımı kare düzgündür
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Olasılığı bul 
. x ve h bağımsız mıdır? Bir çift rastgele değişken x ve h, K= üçgeni içinde düzgün şekilde dağılmıştır. x ve h yoğunluklarını hesaplayın. Bu rastgele değişkenler bağımsız mı? Olasılığı bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve segmentler ve [-1,1] üzerinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Olasılığı bulun. İki boyutlu bir rastgele değişken (x, h), köşeleri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) olan bir kareye düzgün şekilde dağıtılır. (1, -1) noktasındaki ortak dağılım fonksiyonunun değerini bulun. Rastgele bir vektör (x, h), merkezi orijin olan 3 yarıçaplı bir dairenin içine eşit olarak dağıtılmıştır. Ortak dağılım yoğunluğu için bir ifade yazın. Bu rastgele değişkenlerin bağımlı olup olmadığını belirleyin. Olasılığı hesaplayın. Bir çift rastgele değişken x ve h, köşeleri (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) noktalarında olan bir yamuk içinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Bu rastgele değişken çifti için ortak dağılım yoğunluğunu ve bileşenlerin yoğunluğunu bulun. X ve h bağımlı mıdır? Rastgele bir (x, h) çifti yarım daire içinde eşit şekilde dağılmıştır. X ve h yoğunluklarını bulun, bağımlılık sorununu araştırın. İki rastgele değişken x ve h'nin ortak yoğunluğu şuna eşittir: 
.
x, h yoğunluklarını bulun. X ve h'nin bağımlılığı sorusunu araştırın. Rastgele bir (x, h) çifti kümeye düzgün şekilde dağılmıştır. X ve h yoğunluklarını bulun, bağımlılık sorununu araştırın. M(xh)'yi bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve Bul parametresi ile üstel yasaya göre dağıtılır.
.
bu aralığın açık veya kapalı olmasına bağlı değildir;
ve değerler için birim 
.Sürekli bir rastgele değişken için
.
.
ve için birim 
. Zaman eşit şekilde akıyor. Bu nedenle gerçek zamanın daha az olma olasılığı A+ 0,5 dakika, 0,5'e eşittir, çünkü daha sonra geçip geçmemesi eşit derecede muhtemeldir. A yarım dakikadan az veya fazla. Gerçek zamanın daha az olma olasılığı A+ 0,25 dakika, 0,25'e eşit (bu zamanın olasılığı, gerçek zamanın daha büyük olma olasılığından üç kat daha azdır) A+ 0,25 dakika ve bunların toplamı, zıt olayların olasılıklarının toplamı olarak bire eşittir). Benzer şekilde akıl yürüterek, gerçek zamanın daha az olma olasılığını buluyoruz. A+ 0,6 dakika, 0,6'ya eşittir. Genel olarak gerçek zamanın daha az olma olasılığı A
+ + α
dk. 
, eşittir α
. Bu nedenle gerçek zamanlı dağılım fonksiyonu aşağıdaki ifadeye sahiptir:
on her yerde süreklidir ve türevi iki nokta dışında her noktada süreklidir: x = bir Ve x = bir+ 1. Bu fonksiyonun grafiği şuna benzer (Şekil 8.3):
, yani 
. İşlev F(X) azalmıyor: aralıkta 
aralıkta sıfıra eşit sabittir 
arada artar 
aynı zamanda sabittir, birliğe eşittir (bkz. Şekil 8.4). Fonksiyon her noktada süreklidir X tanımının 0 alanı - aralık 
, dolayısıyla solda süreklidir, yani. eşitlik geçerlidir
,
.
,
.
dağıtım fonksiyonunun tüm özelliklerini karşılar. Yani bu fonksiyon 
bazı rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonudur X.
azalır ve sürekli değildir. Fonksiyon grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.5.
.
,
.
noktada 
,
.
.
rastgele bir değişkenin isabetleri X belirli bir dönemde formülle hesaplanır
.
. Bu rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun.
,
.
.
, eşittir
Örnek 8.6. Rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluk grafiği XŞekil 2'de gösterilmiştir. 8.6 (Simpson yasası). Bu rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu ve dağılım fonksiyonu için bir ifade yazın.
, O 
.
, O .
, O
, O
1.2.
p4=0.1; x≤-1'de 0,
(Şekil 5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a için 0,
,
Normal eğri x=m düz çizgisine göre simetriktir, x=a'da maksimuma sahiptir, eşittir.
,
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmaması önemli değildir:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Dağıtım yoğunluğu
sürekli bir rastgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F’(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.Dağıtım yoğunluğunun özellikleri
1. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu, x'in tüm değerleri için negatif değildir (f(x) ≥ 0).
2. Normalleştirme koşulu:
Normalleştirme koşulunun geometrik anlamı: Dağılım yoğunluk eğrisinin altındaki alan birliğe eşittir.
3. X rastgele değişkeninin α ile β aralığına düşme olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: 
Geometrik olarak, sürekli bir rastgele değişken X'in (a, β) aralığına düşme olasılığı, bu aralığa dayalı dağılım yoğunluk eğrisi altındaki eğrisel yamuğun alanına eşittir.
4. Dağılım fonksiyonu yoğunluk cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilir:
Dağılım yoğunluğunun x noktasındaki değeri bu değeri kabul etme olasılığına eşit değildir; sürekli bir rastgele değişken için yalnızca belirli bir aralığa düşme olasılığından bahsedebiliriz. İzin vermek )
