Nokta tahmini ve özellikleri. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin tahmini

s x =(1.11)

Ayrıca gözlemlenebilir bir rastgele değişkeni incelemek için önemli bir problemi ele alacağız. Biraz örnek olsun (bunu belirteceğiz) S) rastgele değişken X. Mevcut örnekten bilinmeyen değerlerin tahmin edilmesi gerekmektedir. m x Ve .

Çeşitli parametrelerin tahmin teorisi matematiksel istatistikönemli bir yer. Bu nedenle, önce düşünelim ortak görev. Bazı parametreleri tahmin etmek gerekli olsun A numuneye göre S. Bu tür değerlendirmelerin her biri A* bazı işlevler a*=a*(S)örnek değerlerden. Örnek değerler rastgele olduğundan tahminin kendisi A* rastgele bir değişkendir. Çok sayıda inşa etmek mümkündür farklı tahminler(yani işlevler) A*, ancak aynı zamanda bir anlamda "iyi", hatta "en iyi" bir değerlendirmeye sahip olmak da arzu edilir. Değerlendirmelerde genellikle aşağıdaki üç doğal gereklilik uygulanır.

1. Yer değiştirmemiş. Değerlendirmenin matematiksel beklentisi A* parametrenin tam değerine eşit olmalıdır: M = bir. Başka bir deyişle değerlendirme A* Sistematik hata olmamalıdır.

2. Zenginlik.Örneklem büyüklüğündeki sonsuz artışla tahmin A* kesin bir değere yakınsamalıdır, yani gözlem sayısı arttıkça tahmin hatası sıfıra doğru yönelir.

3. Verimlilik. Seviye A* Eğer tarafsızsa ve mümkün olan en küçük hata varyansına sahipse etkin olduğu söylenir. Bu durumda tahminlerin yayılması minimum düzeydedir A* Kesin değere göre ve tahmin bir bakıma “en doğru”dur.

Ne yazık ki her üç şartı da aynı anda karşılayan bir değerlendirme oluşturmak her zaman mümkün olmuyor.

Matematiksel beklentiyi tahmin etmek için çoğunlukla bir tahmin kullanılır.

= , (1.12)

yani numunenin aritmetik ortalaması. Rastgele değişken ise X sonlu m x Ve s x ise tahmin (1.12) taraflı ve tutarlı değildir. Bu tahmin, örneğin aşağıdaki durumlarda etkilidir: X normal dağılıma sahiptir (Şekil 1.4, Ek 1). Diğer dağıtımlar için etkili olmayabilir. Örneğin, tekdüze dağılım durumunda (Şekil 1.1, Ek 1), tarafsız, tutarlı bir tahmin şu şekilde olacaktır:

(1.13)

Aynı zamanda, normal dağılıma ilişkin tahmin (1.13) ne tutarlı ne de etkili olacaktır ve örneklem büyüklüğünün artmasıyla daha da kötüleşecektir.

Böylece, bir rastgele değişkenin her bir dağılım türü için X matematiksel beklenti tahmininizi kullanmalısınız. Ancak bizim durumumuzda dağıtımın türü ancak geçici olarak bilinebilir. Bu nedenle oldukça basit ve en yüksek değere sahip olan (1.12) tahminini kullanacağız. önemli özellikler tarafsızlık ve tutarlılık.

Gruplandırılmış bir numuneye ilişkin matematiksel beklentiyi tahmin etmek için aşağıdaki formül kullanılır:

= , (1.14)

her şeyi göz önünde bulundurursak, öncekinden elde edilebilecek olan ben benörnek değerler dahil Ben-th aralığı temsile eşit z ben bu aralık. Bu tahmin doğal olarak daha kaba bir tahmindir ancak özellikle büyük bir örneklem boyutu söz konusu olduğunda önemli ölçüde daha az hesaplama gerektirir.

Varyansı tahmin etmek için en yaygın kullanılan tahmin şudur:

= , (1.15)

Bu tahmin taraflı değildir ve herhangi bir rastgele değişken için geçerlidir. X, dördüncü dereceye kadar sonlu anlara sahip.

Gruplandırılmış bir örnek durumunda kullanılan tahmin şu şekildedir:

= (1.16)

Tahminler (1.14) ve (1.16) kural olarak taraflıdır ve savunulamaz çünkü matematiksel beklentileri ve yakınsadıkları sınırlar tahminlerden farklıdır. m x ve içerdiği tüm örnek değerlerin değiştirilmesi nedeniyle Ben-inci aralık, aralık temsilcisi başına z ben.

Büyük için şunu unutmayın N, katsayı yok/(n – 1)(1.15) ve (1.16) ifadelerinde birliğe yakın olduğundan ihmal edilebilir.

Aralık tahminleri.

İzin vermek Kesin değer bazı parametreler eşittir A ve tahmini bulundu gibi) numuneye göre S. Değerlendirme A* sayısal eksen üzerindeki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 1.5), dolayısıyla bu tahmine denir nokta. Önceki paragrafta tartışılan tüm tahminler nokta tahminleridir. Neredeyse her zaman şans eseri

a* ¹ a ve biz sadece asıl noktanın bu olduğunu umabiliriz A* yakınlarda bir yerde mi A. Ama ne kadar yakın? Başka herhangi bir nokta tahmini de aynı dezavantaja sahip olacaktır; sonucun güvenilirliğine ilişkin bir ölçüm eksikliği.

Şekil 1.5. Nokta parametre tahmini.

Bu konuda daha spesifik olan aralık tahminleri. Aralık puanı bir aralığı temsil eder ben b = (a , b) tahmin edilen parametrenin kesin değerinin belirli bir olasılıkla bulunduğu B. Aralık ben b isminde güven aralığı ve olasılık B isminde güven olasılığı ve olarak düşünülebilir değerlendirmenin güvenilirliği.

Güven aralığı mevcut örneğe dayanmaktadır S, sınırlarının rastgele olması anlamında rastgeledir gibi) Ve b(S)(rastgele) bir örnekten hesaplayacağımız. Bu yüzden B rastgele aralığın olasılığı var ben b rastgele olmayan bir noktayı kapsayacak A. İncirde. 1.6. aralık ben b konuyu kapattı A, A Ib*- HAYIR. Bu nedenle şunu söylemek tamamen doğru değil. A ""aralığına düşer.

Güven olasılığı ise B büyük (örneğin b = 0,999), o zaman neredeyse her zaman tam değer A inşa edilmiş aralık dahilindedir.

Şekil 1.6. Parametrenin güven aralıkları A farklı örnekler için.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi için bir güven aralığı oluşturmak için bir yöntem düşünelim X, dayalı Merkezi Limit Teoremi.

Rastgele değişken olsun X bilinmeyen bir matematiksel beklentisi var m x Ve bilinen varyans. O zaman merkezi limit teoremine göre aritmetik ortalama şu şekildedir:

= , (1.17)

sonuçlar N bağımsız büyüklük testleri X dağılımı genel olarak rastgele bir değişkendir. N, yakın normal dağılım ortalama ile m x ve standart sapma. Bu nedenle rastgele değişken

(1.18)

dikkate alınabilecek bir olasılık dağılımına sahiptir standart normal dağıtım yoğunluğu ile j(t) grafiği Şekil 1.7'de gösterilmiştir (ve ayrıca Şekil 1.4, Ek 1'de).

Şekil 1.7. Rasgele bir değişkenin olasılık yoğunluk dağılımı T.

Güven olasılığı verilsin B Ve t b - denklemi sağlayan sayı

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Nerede - Laplace işlevi. O zaman aralığa düşme olasılığı (-t b , t b)Şekil 1.7'deki gölgeli olana eşit olacaktır. alan ve (1.19) ifadesi gereği, şuna eşittir: B. Buradan

b = P(-t b< < t b) = P( – tb< m x < + t b ) =

= P( – tb< m x < +tb) .(1.20)

Böylece güven aralığı olarak aralığı alabiliriz

ben b = ( – tb; + tb ) , (1.21)

çünkü ifade (1.20) bilinmeyen kesin değer anlamına gelir m x içinde ben b Belirli bir güven olasılığı ile B. İnşaat için ben b belirtildiği gibi gerekli B bulmak tb denklemden (1.19). Birkaç değer verelim tb gelecekte ihtiyaç duyulacak :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

(1.21) ifadesini türetirken standart sapmanın tam değerinin bilindiği varsayılmıştır. s x. Ancak her zaman bilinmemektedir. Bu nedenle tahminini (1.15) kullanalım ve şunu elde edelim:

ben b = ( – tb; +tb). (1.22)

Buna göre, gruplandırılmış numuneye ilişkin tahminler ve elde edilen tahminler, güven aralığı için aşağıdaki formülü verir:

ben b = ( – tb; +tb). (1.23)

DERSİN AMACI: Bilinmeyen bir dağılım parametresinin tahmin edilmesi kavramını tanıtmak ve bu tür tahminlerin sınıflandırılmasını vermek; Matematiksel beklenti ve dağılıma ilişkin nokta ve aralık tahminlerini elde edin.

Uygulamada çoğu durumda rastgele bir değişkenin dağılım yasası bilinmemektedir ve gözlem sonuçlarına göre
sayısal özelliklerin (örneğin matematiksel beklenti, dağılım veya diğer momentler) veya bilinmeyen bir parametrenin tahmin edilmesi gerekir dağıtım yasasını belirleyen (dağıtım yoğunluğu)
rastgele değişken inceleniyor. Bu nedenle, üstel bir dağılım veya Poisson dağılımı için bir parametreyi tahmin etmek yeterlidir, ancak normal bir dağılım için iki parametrenin tahmin edilmesi gerekir: matematiksel beklenti ve varyans.

Değerlendirme türleri

Rastgele değer
olasılık yoğunluğu var
, Nerede – bilinmeyen dağıtım parametresi. Deney sonucunda bu rastgele değişkenin değerleri elde edildi:
. Değerlendirme yapmak esas olarak bir rastgele değişkenin örnek değerlerinin belirli bir parametre değeriyle ilişkilendirilmesi gerektiği anlamına gelir. , yani gözlem sonuçlarının bazı işlevlerini yaratın
değeri bir tahmin olarak alınır parametre . Dizin gerçekleştirilen deney sayısını gösterir.

Gözlem sonuçlarına bağlı olan herhangi bir fonksiyona denir İstatistik. Gözlem sonuçları rastgele değişkenler olduğundan istatistikler de rastgele bir değişken olacaktır. Bu nedenle değerlendirme
bilinmeyen parametre Rastgele bir değişken olarak kabul edilmeli ve değeri deneysel verilerden hacimsel olarak hesaplanmalıdır. , – bu rastgele değişkenin olası değerlerinden biri olarak.

Dağılım parametrelerinin tahminleri (rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri) nokta ve aralığa bölünür. Nokta tahmini parametre bir sayıyla belirlenir ve doğruluğu, tahminin varyansı ile karakterize edilir. Aralık tahmini iki sayıyla belirlenen puana denir, Ve – tahmin edilen parametreyi kapsayan aralığın uçları Belirli bir güven olasılığı ile.

Nokta tahminlerinin sınıflandırılması

Bilinmeyen bir parametrenin nokta tahmini için
Doğruluk açısından en iyisi tutarlı, tarafsız ve etkili olmalıdır.

Zengin değerlendirme denir
parametre , eğer olasılık olarak tahmin edilen parametreye yakınsa, yani;

. (8.8)

Chebyshev eşitsizliğine dayanarak şunu gösterebiliriz: yeterli koşul(8.8) ilişkisinin yerine getirilmesi eşitliktir

.

Tutarlılık, tahminin asimptotik bir özelliğidir.
.

Tarafsız değerlendirme denir
(sistematik hatasız tahmin), matematiksel beklentisi tahmin edilen parametreye eşit olan, yani.

. (8.9)

Eşitlik (8.9) karşılanmazsa tahmine önyargılı denir. Fark
tahminde önyargı veya sistematik hata denir. Eşitlik (8.9) yalnızca aşağıdakiler için sağlanırsa
, bu durumda karşılık gelen tahmine asimptotik olarak tarafsız denir.

Tutarlılığın pratikte kullanılan tüm tahminler için neredeyse zorunlu bir koşul olması durumunda (tutarsız tahminler son derece nadiren kullanılır), o zaman tarafsızlık özelliğinin yalnızca arzu edilir olduğu unutulmamalıdır. Sık kullanılan tahminlerin çoğu tarafsız özelliğe sahip değildir.

İÇİNDE Genel dava bazı parametrelerin tahmininin doğruluğu deneysel verilere dayanarak elde edilen
ortalama karesel hata ile karakterize edilir

,

forma indirgenebilir

,

fark nerede,
– kare tahmin önyargısı.

Tahmin tarafsızsa, o zaman

Sonlu tahminler ortalama hatanın karesine göre farklılık gösterebilir . Doğal olarak, bu hata ne kadar küçük olursa, değerlendirme değerleri tahmin edilen parametre etrafında o kadar yakın gruplandırılır. Bu nedenle, tahmin hatasının mümkün olduğu kadar küçük olması, yani koşulun sağlanması her zaman arzu edilir.

. (8.10)

Değerlendirme (8.10) koşulunu sağlayan, minimum karesel hataya sahip bir tahmin olarak adlandırılır.

Etkili değerlendirme denir
, bunun için ortalama karesel hata başka herhangi bir tahminin ortalama karesel hatasından daha büyük değildir;

Nerede – herhangi bir başka parametre tahmini .

Bir parametrenin herhangi bir tarafsız tahmininin varyansının olduğu bilinmektedir. Cramer-Rao eşitsizliğini karşılar

,

Nerede
– parametrenin gerçek değerinde rastgele değişkenin elde edilen değerlerinin koşullu olasılık yoğunluk dağılımı .

Böylece tarafsız tahmin
Cramer-Rao eşitsizliğinin eşitliğe dönüştüğü durumda etkili olacaktır, yani böyle bir tahmin minimum varyansa sahiptir.

Beklenti ve varyansın nokta tahminleri

Rastgele bir değişken dikkate alınırsa
matematiksel bir beklentiye sahip olan ve varyans , bu durumda bu parametrelerin her ikisinin de bilinmeyen olduğu kabul edilir. Bu nedenle bir rastgele değişken üzerinde
üretilmiş sonuç veren bağımsız deneyler:
. Bilinmeyen parametrelerin tutarlı ve tarafsız tahminlerini bulmak gerekir Ve .

Tahmin olarak Ve Genellikle istatistiksel (örnek) ortalama ve istatistiksel (örnek) varyans sırasıyla seçilir:

; (8.11)

. (8.12)

Matematiksel beklentinin (8.11) tahmini, büyük sayılar yasasına (Chebyshev teoremi) göre tutarlıdır:

.

Rastgele bir değişkenin beklentisi

.

Bu nedenle tahmin tarafsızdır.

Matematiksel beklenti tahmininin dağılımı:

Rastgele değişken ise
normal yasaya göre dağıtılır, ardından tahmin aynı zamanda etkilidir.

Varyans tahmini beklentisi

Aynı zamanda

.

Çünkü
, A
, sonra elde ederiz

. (8.13)

Böylece,
– Tutarlı ve etkili olmasına rağmen taraflı bir değerlendirme.

Formül (8.13)'ten tarafsız bir tahmin elde etmek için şu sonuca varılır:
örneklem varyansı (8.12) aşağıdaki şekilde değiştirilmelidir:

bu, tahmine (8.12) kıyasla "daha iyi" kabul edilir, ancak genel olarak bu tahminler hemen hemen birbirine eşittir.

Dağıtım parametrelerinin tahminlerini elde etme yöntemleri

Pratikte sıklıkla rastgele değişkeni oluşturan fiziksel mekanizmanın analizine dayalıdır.
, bu rastgele değişkenin dağılım yasası hakkında bir sonuca varabiliriz. Bununla birlikte, bu dağılımın parametreleri bilinmemektedir ve genellikle sonlu bir örnek şeklinde sunulan deneysel sonuçlardan tahmin edilmesi gerekmektedir.
. Bu sorunu çözmek için en sık iki yöntem kullanılır: momentler yöntemi ve maksimum olabilirlik yöntemi.

Momentlerin yöntemi. Yöntem, teorik momentlerin aynı düzendeki karşılık gelen ampirik momentlerle eşitlenmesinden oluşur.

Ampirik başlangıç ​​noktaları -'inci sıra aşağıdaki formüllerle belirlenir:

,

ve karşılık gelen teorik başlangıç ​​momentleri -inci sıra - formüller:

ayrık rastgele değişkenler için,

sürekli rastgele değişkenler için,

Nerede – tahmini dağılım parametresi.

İki bilinmeyen parametre içeren bir dağılımın parametrelerinin tahminlerini elde etmek Ve iki denklemden oluşan bir sistem derlenir

Nerede Ve – ikinci dereceden teorik ve ampirik merkezi momentler.

Denklem sisteminin çözümü tahminlerdir Ve bilinmeyen dağıtım parametreleri Ve .

Birinci dereceden teorik ve ampirik başlangıç ​​momentlerini eşitleyerek, bunu bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini tahmin ederek elde ederiz.
keyfi bir dağılıma sahip olan örnek ortalama olacaktır, yani.
. Daha sonra, ikinci dereceden teorik ve ampirik merkezi momentleri eşitleyerek, rastgele değişkenin varyansının tahminini elde ederiz.
Keyfi bir dağılıma sahip olan formülle belirlenir

.

Benzer şekilde, herhangi bir düzeydeki teorik momentlerin tahminleri bulunabilir.

Momentler yöntemi basittir ve karmaşık hesaplamalar gerektirmez, ancak bu yöntemle elde edilen tahminler genellikle etkisizdir.

Maksimum olabilirlik yöntemi. Bilinmeyen dağılım parametrelerinin nokta tahmininin maksimum olabilirlik yöntemi, bir veya daha fazla tahmin edilen parametrenin fonksiyonunun maksimumunu bulmaya indirgenir.

İzin vermek
sürekli bir rastgele değişkendir ve sonuç olarak testler değerler aldı
. Bilinmeyen bir parametrenin tahminini elde etmek için böyle bir değer bulmak gerekiyor Ortaya çıkan numunenin uygulanma olasılığı maksimum olacaktır. Çünkü
aynı olasılık yoğunluğuna sahip, karşılıklı olarak bağımsız miktarları temsil eder
, O olasılık fonksiyonu argüman fonksiyonunu çağır :

Parametrenin maksimum olabilirlik tahmini ile bu değer denir olabilirlik fonksiyonunun maksimuma ulaştığı, yani denklemin bir çözümü olduğu yer

,

ki bu açıkça test sonuçlarına bağlıdır
.

Fonksiyonlardan beri
Ve
aynı değerlerde maksimuma ulaşmak
daha sonra hesaplamaları basitleştirmek için sıklıkla logaritmik olabilirlik fonksiyonunu kullanırlar ve karşılık gelen denklemin kökünü ararlar

,

buna denir olasılık denklemi.

Birkaç parametreyi değerlendirmeniz gerekiyorsa
dağıtım
ise olabilirlik fonksiyonu bu parametrelere bağlı olacaktır. Tahminleri bulmak için
dağıtım parametreleri sistemi çözmek için gereklidir olasılık denklemleri

.

Maksimum olabilirlik yöntemi tutarlı ve asimptotik olarak etkili tahminler sağlar. Bununla birlikte, maksimum olabilirlik yöntemiyle elde edilen tahminler taraflıdır ve tahminleri bulmak için genellikle oldukça karmaşık denklem sistemlerini çözmek gerekir.

Aralık parametre tahminleri

Nokta tahminlerinin doğruluğu varyanslarıyla karakterize edilir. Ancak elde edilen tahminlerin parametrelerin gerçek değerlerine ne kadar yakın olduğu konusunda herhangi bir bilgi bulunmamaktadır. Bazı görevlerde yalnızca parametreyi bulmanız gerekmez. uygun sayısal değer, aynı zamanda doğruluğunu ve güvenilirliğini de değerlendirmektir. Bir parametreyi değiştirirken hangi hataların yol açabileceğini bulmanız gerekir nokta tahmini ve bu hataların bilinen sınırları aşmamasını ne derece güvenle beklemeliyiz?

Bu tür görevler özellikle az sayıda deney olduğunda önemlidir. nokta tahmini yapıldığında büyük ölçüde rastgele ve yaklaşık değiştirme Açık önemli hatalara yol açabilir.

Daha eksiksiz ve güvenilir yol Dağılım parametrelerinin tahmin edilmesi, tek bir nokta değerinin değil, belirli bir olasılıkla tahmin edilen parametrenin gerçek değerini kapsayan bir aralığın belirlenmesinden oluşur.

Sonuçlara göre izin ver deneylerde tarafsız bir tahmin elde edildi
parametre . Olası hatayı değerlendirmek gerekir. Yeterince büyük bir olasılık seçilir
(örneğin) öyle ki, bu olasılığa sahip bir olay, pratik olarak kesin bir olay olarak değerlendirilebilir ve böyle bir değer bulunur. , hangisi için

. (8.15)

Bu durumda, değiştirme sırasında meydana gelen hatanın pratik olarak mümkün değerlerinin aralığı Açık , irade
ve mutlak değeri büyük olan hatalar yalnızca düşük olasılıkla ortaya çıkacaktır .

İfade (8.15) olasılıklı anlamına gelir
bilinmeyen parametre değeri aralığa düşüyor

. (8.16)

Olasılık
isminde güven olasılığı ve aralık , olasılık ile kapsayan parametrenin gerçek değeri denir güven aralığı. Parametre değerinin olasılık ile güven aralığı içinde olduğunu söylemenin yanlış olduğunu unutmayın. . Kullanılan formülasyon (kapsayan), tahmin edilen parametrenin bilinmemesine rağmen sabit bir değere sahip olduğu ve dolayısıyla rastgele bir değişken olmadığı için yayılımının olmadığı anlamına gelir.

Beklenti, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır

Matematiksel beklenti, tanımı, kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi, örneklem, koşullu beklenti, hesaplama, özellikler, problemler, beklenti tahmini, dağılım, dağılım fonksiyonu, formüller, hesaplama örnekleri

İçeriği genişlet

İçeriği daralt

Matematiksel beklentinin tanımı

Rasgele bir değişkenin değerlerinin veya olasılıklarının dağılımını karakterize eden, matematiksel istatistik ve olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Teknik analizde, sayı serilerinin incelenmesinde, sürekli ve zaman alan süreçlerin incelenmesinde yaygın olarak kullanılır. Var önemli riskleri değerlendirirken, finansal piyasalarda işlem yaparken fiyat göstergelerini tahmin ederken, kumar teorisinde oyun taktikleri stratejilerinin ve yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı dikkate alınır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin beklentisi X ile gösterilir M(x).

Matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Matematiksel beklenti bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.

Matematiksel beklenti Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.

Matematiksel beklenti Kumar teorisinde, bir oyuncunun her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumar dilinde buna bazen "oyuncunun avantajı" (eğer oyuncu için pozitifse) veya "ev avantajı" (eğer oyuncu için negatifse) denir.

Matematiksel beklenti kazanç başına kâr yüzdesinin ortalama kârla çarpımı, eksi kayıp olasılığı çarpı ortalama kayıp.

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi matematiksel teori

Bir rastgele değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri onun matematiksel beklentisidir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir dizi rastgele değişkeni ele alalım. Sistemin olası değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değeri için tanımlanan fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu fonksiyon herhangi bir olayın olasılığını hesaplamanızı sağlar. Özellikle rastgele değişkenlerin ve kümeden değer alan ortak dağılım yasası, olasılıklarla verilmektedir.

“Matematiksel beklenti” terimi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tarafından ortaya atılmış ve ilk olarak 17. yüzyılda Blaise Pascal ve Christiaan'ın eserlerinde kumar teorisinde ortaya çıkan “kazançların beklenen değeri” kavramından gelmektedir. Huygens. Ancak bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnuty Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından yapılmıştır.

Rastgele sayısal değişkenlerin dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve değeri) bilmek yeterlidir. olası sapma ondan) sorulan soruyu cevaplamak için. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri matematiksel beklenti, varyans, mod ve medyandır.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Bazen matematiksel beklentiye ağırlıklı ortalama denir, çünkü çok sayıda deneyde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.

Matematiksel beklenti basit bir yapıya sahiptir. fiziksel anlam: Bir birim kütleyi düz bir çizgi üzerine yerleştirirseniz, bazı noktalara bir miktar kütle yerleştirirseniz (örneğin ayrık dağıtım) veya belirli bir yoğunlukla (kesinlikle sürekli bir dağılım için) "yayılması" durumunda, matematiksel beklentiye karşılık gelen nokta, çizginin "ağırlık merkezinin" koordinatı olacaktır.

Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".

Olasılık teorisindeki konumun özelliklerinden hayati rol Bazen basitçe rastgele değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini oynar.

Rastgele değişkeni düşünün X, olası değerlere sahip x1, x2,…, xn olasılıklarla p1, p2,…, pn. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalamasının” kullanılması doğaldır. xi ve ortalama sırasında her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız X, belirttiğimiz M |X|:

Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematiksel beklenti kavramını dikkate aldık. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Üretilsin N bağımsız deneyler; her birinde değer X belli bir değer alır. Diyelim ki değer x1 göründü m1 zamanlar, değer x2 göründü m2 zamanlar, genel anlam xi birkaç kez göründüm. Matematiksel beklentinin aksine X değerinin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. M|X| biz belirtiyoruz M*|X|:

Artan deney sayısıyla N frekanslar pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M|X| Deney sayısının artmasıyla matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılık açısından yakınlaşacaktır). Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur.

Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve dengelenerek sabit bir değere - matematiksel beklentiye - yaklaşır.

Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi hassas terazide tartarken, tartma sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.

bu not alınmalı en önemli özellik Rastgele bir değişkenin konumu - matematiksel beklenti - tüm rastgele değişkenler için mevcut değildir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentiye sahiptir.

Pratikte bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, bazen konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele değişkenin modu ve medyanı kullanılır.

Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; İçin sürekli değer Mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Şekiller sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.

Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma "multimodal" dağılım denir.

Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir.

Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.

Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin çevrelediği alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir.

Simetrik modal dağılım durumunda medyan, matematiksel beklenti ve mod ile örtüşür.

Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir; bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal bir özelliğidir. En genel anlamda bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır R orijinal olasılık uzayında:

Matematiksel beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. X olasılık dağılımına göre piksel miktarları X:

Sonsuz matematiksel beklentiye sahip rastgele değişken kavramı doğal bir şekilde tanımlanabilir. Tipik bir örnek bazı rastgele yürüyüşlerde dönüş süreleri olarak hizmet eder.

Matematiksel beklentinin yardımıyla birçok sayısal ve fonksiyonel özellikler dağılımlar (rastgele bir değişkenden karşılık gelen fonksiyonların matematiksel beklentisi olarak), örneğin, üretme fonksiyonu, karakteristik fonksiyon, herhangi bir mertebeden momentler, özellikle dağılım, kovaryans.

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağılım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin (kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatı) rolüne benzer. Dağılımın genel terimlerle (medyanlar, modlar) tanımlandığı konumun diğer özelliklerinden, matematiksel beklenti, olasılık teorisinin limit teoremlerinde kendisinin ve karşılık gelen saçılma özelliğinin - dağılım - sahip olduğu daha büyük değerde farklılık gösterir. Matematiksel beklentinin anlamı, en iyi şekilde büyük sayılar yasası (Chebyshev eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası ile ortaya çıkar.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Birkaç sayısal değerden birini alabilen bir rastgele değişken olsun (örneğin, zar atıldığında puan sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Pratikte genellikle böyle bir değer için şu soru ortaya çıkar: Çok sayıda testle "ortalama olarak" hangi değeri alır? Riskli işlemlerin her birinden ortalama gelirimiz (veya kaybımız) ne olacak?

Diyelim ki bir çeşit piyango var. Katılmanın (hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dört biletten biri kazanan, ödül 300 ruble, herhangi bir biletin fiyatı ise 100 ruble olacak. Sonsuz sayıda katılımla olan şey budur. Kaybedeceğimiz vakaların dörtte üçünde her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir katılım için ortalama 25 ruble kaybediyoruz. Toplamda harabemizin ortalama ücreti bilet başına 25 ruble olacak.

Atıyoruz zar. Hile değilse (ağırlık merkezini kaydırmadan vb.), o zaman bir seferde ortalama kaç puanımız olacak? Her seçeneğin olasılığı eşit olduğundan, aritmetik ortalamayı alıp 3,5 elde ederiz. Bu ORTALAMA olduğundan, belirli bir atışın 3,5 puan vermeyeceğine kızmaya gerek yok - bu küpün böyle bir sayıya sahip bir yüzü yok!

Şimdi örneklerimizi özetleyelim:

Şimdi verilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımını gösteren bir tablo var. X değeri n olası değerden birini alabilir (en üst satırda gösterilir). Başka bir anlamı olamaz. Her birinin altında olası anlam olasılığı aşağıda yazılmıştır. Sağda M(X)'in matematiksel beklenti olarak adlandırıldığı formül bulunmaktadır. Bu değerin anlamı, çok sayıda testle (büyük bir örneklemle) ortalama değerin aynı matematiksel beklentiye yöneleceğidir.

Tekrar aynı oyun küpüne dönelim. Atış sırasındaki puan sayısının matematiksel beklentisi 3,5'tir (bana inanmıyorsanız formülü kullanarak kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. Sonuçlar 4 ve 6 oldu. Ortalama 5 oldu, bu da 3,5'un çok uzağında. Bir kez daha attılar, 3 aldılar, yani ortalama (4+6+3)/3 = 4.3333... Matematiksel beklentinin biraz uzağında. Şimdi çılgın bir deney yapın; küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3,5 olmasa bile ona yakın olacaktır.

Yukarıda anlatılan piyango için matematiksel beklentiyi hesaplayalım. Plaka şöyle görünecek:

O zaman matematiksel beklenti yukarıda belirlediğimiz gibi olacaktır:

Başka bir şey de, daha fazla seçenek olsaydı, bunu formül olmadan "parmaklarda" yapmanın zor olacağıdır. Diyelim ki %75'i kaybedilen biletler, %20'si kazanan biletleri ve %5'i özellikle kazanan biletleri olacaktır.

Şimdi matematiksel beklentinin bazı özellikleri.

Bunu kanıtlamak kolaydır:

Sabit faktör matematiksel beklentinin bir işareti olarak çıkarılabilir, yani:

Bu, matematiksel beklentinin doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.

Matematiksel beklentinin doğrusallığının bir başka sonucu:

yani rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, Daha sonra:

Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi bir rastgele değişkendir ve eğer başlangıç ​​değerleri alınabilirse N Ve M buna göre değerler, o zaman XY nm değerlerini alabilir. Her bir değerin olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması esasına göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz:

Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

Sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) gibi bir özelliği vardır. Temel olarak, rastgele bir değişkenin gerçek sayılar kümesinden bazı değerleri daha sık, bazılarını ise daha az alması durumunu karakterize eder. Örneğin şu grafiği düşünün:

Burada X- gerçek rastgele değişken, f(x)- dağıtım yoğunluğu. Bu grafiğe bakılırsa, deneyler sırasında değer X genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. Şanslar aşıldı 3 veya daha küçük ol -3 oldukça tamamen teorik.

Örneğin, düzgün bir dağılım olsun:

Bu sezgisel anlayışla oldukça tutarlıdır. Ulaşabilirsek diyelim üniforma dağıtımı her biri bir segmentten çok sayıda rastgele gerçek sayı |0; 1| o zaman aritmetik ortalama yaklaşık 0,5 olmalıdır.

Ayrık rastgele değişkenler için geçerli olan matematiksel beklenti özellikleri - doğrusallık vb. burada da geçerlidir.

Matematiksel beklenti ile diğer istatistiksel göstergeler arasındaki ilişki

İstatistiksel analizde, matematiksel beklentinin yanı sıra, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan birbirine bağlı göstergeler sistemi vardır. Varyasyon göstergelerinin çoğunlukla bağımsız bir anlamı yoktur ve daha ileri veri analizi için kullanılır. Bunun istisnası, değerli bir istatistiksel özellik olan, verilerin homojenliğini karakterize eden varyasyon katsayısıdır.

İstatistik biliminde süreçlerin değişkenlik veya kararlılık derecesi çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.

En önemli gösterge Rastgele bir değişkenin değişkenliğini karakterize eden, Dağılım matematiksel beklentiyle en yakından ve doğrudan ilişkili olandır. Bu parametre diğer istatistiksel analiz türlerinde (hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi vb.) aktif olarak kullanılır. Ortalama doğrusal sapma gibi varyans da verilerin ortalama değer etrafındaki yayılma boyutunu yansıtır.

İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Dağılımın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Sihirli "dağılım" kelimesinin cevabı sadece üç kelimede yatıyor.

Ancak, saf formu Aritmetik ortalama veya indeks gibi varyans kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir.

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Veya zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti Mx. İÇİNDE bu durumda Mx = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? Bırak girsin N testler n1 1 puan aldığınızda, n2 bir kez - 2 puan vb. Daha sonra bir puanın düştüğü sonuçların sayısı:

Benzer şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığında elde edilen sonuçlar için de geçerlidir.

Şimdi x rastgele değişkeninin dağılım yasasını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2, ..., olasılıklarıyla x1, x2, ..., xk değerlerini alabileceğini bildiğimizi varsayalım. pk.

Bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi Mx şuna eşittir:

Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Yani ortalamayı tahmin etmek için ücretler medyan kavramını, yani ortalamanın altında maaş alan kişi sayısı ile daha büyüğünün çakıştığı bir değeri kullanmak daha mantıklıdır.

Rastgele değişken x'in x1/2'den küçük olma olasılığı p1 ile rastgele değişken x'in x1/2'den büyük olma olasılığı p2 aynı ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz olarak belirlenmemektedir.

Standart veya Standart Sapma istatistikte gözlemsel veri veya kümelerin ORTALAMA değerinden sapma derecesine denir. S veya s harfleriyle gösterilir. Küçük bir standart sapma, verilerin ortalamanın etrafında kümelendiğini gösterirken, büyük bir standart sapma, başlangıç ​​verilerinin ortalamadan uzakta bulunduğunu gösterir. Standart sapma eşittir kare kök dağılım adı verilen miktar. Ortalama değerden sapan başlangıç ​​verilerinin kare farklarının toplamının ortalamasıdır. Bir rastgele değişkenin standart sapması varyansın kareköküdür:

Örnek. Test koşulları altında bir hedefe ateş ederken rastgele değişkenin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:

varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. Ayırmak sayısal değerlerİncelenen popülasyonda bulunan özelliklere anlam değişkenleri adı verilir. Yetersiz ortalama değer tüm özellikler nüfus bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar. Değişim katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge en fazlasını verir Genel fikirçalışılan özelliğin değişkenliği hakkında, çünkü yalnızca seçeneklerin sınırlayıcı değerleri arasındaki farkı gösterir. Bir özelliğin uç değerlerine bağımlılık, varyasyonun kapsamına kararsız, rastgele bir karakter kazandırır.

Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modülo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:

Kumar teorisinde matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti Bir kumarbazın belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu oyuncu için çok önemli bir kavramdır çünkü çoğu oyun durumunun değerlendirilmesinde temeldir. Matematiksel beklenti aynı zamanda temel kart düzenlerini ve oyun durumlarını analiz etmek için de en uygun araçtır.

Diyelim ki bir arkadaşınızla jetonlu bir oyun oynuyorsunuz ve ne olursa olsun her seferinde eşit miktarda 1$ bahis koyuyorsunuz. Yazı kazandığınız, tura kaybettiğiniz anlamına gelir. Yazının gelme ihtimali bire birdir, bu yüzden 1 ila 1 dolar arasında bahis oynarsınız. Dolayısıyla matematiksel beklentiniz sıfırdır çünkü Matematiksel açıdan bakıldığında, iki atıştan sonra mı yoksa 200 atıştan sonra mı önde olacağınızı ya da kaybedeceğinizi bilemezsiniz.

Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saatte 500 kez yazı tura atabilirsiniz ama kazanamazsınız ya da kaybedemezsiniz çünkü... şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir oyuncu açısından baktığınızda bu bahis sistemi fena değil. Ancak bu sadece zaman kaybıdır.

Ancak diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'ınıza karşı 2$ bahis oynamak istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. Neden 50 sent? Ortalama olarak bir bahis kazanırsınız ve ikincisini kaybedersiniz. İlk dolara bahis yaparsanız 1 $ kaybedersiniz, ikinciye bahis yaparsanız 2 $ kazanırsınız. İki kez 1$ bahis oynarsınız ve 1$ önde olursunuz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 sent kazandırdı.

Bir saat içinde bir jeton 500 kez ortaya çıkarsa saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü... Ortalama olarak 250 kez bir dolar kaybettiniz ve 250 kez iki dolar kazandınız. 500$ eksi 250$ eşittir 250$, bu da toplam kazançtır. Bahis başına kazandığınız ortalama miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. Bir dolara 500 kez bahis oynayarak 250 dolar kazandınız, bu da bahis başına 50 sente eşittir.

Matematiksel beklentinin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahis oynamaya karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajına sahip olduğunuzdan, diğer her şey eşit olduğunda, herhangi bir 1$'lık bahisten 50 sent kazanacaksınız. durumlar. Masrafları rahatça karşılamaya yetecek kadar paranız olduğu sürece, bir veya birden fazla bahis kazanmanız veya kaybetmeniz hiç fark etmez. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, o zaman uzun bir dönem Zamanla kazancınız, bireysel atışlarda beklenen değerlerin toplamına yaklaşacaktır.

En iyi bahisi (uzun vadede kârlı olabilecek bir bahis) her yaptığınızda, oranlar lehinize olduğunda, kaybetseniz de kaybetmeseniz de, bu bahisten bir şeyler kazanmanız kaçınılmazdır. el verildi. Tersine, eğer şanslar aleyhinizeyken zayıf bir bahis (uzun vadede kârsız olan bir bahis) yaparsanız, eli kazansanız da kaybetseniz de bir şeyler kaybedersiniz.

Beklentiniz olumlu ise en iyi sonuca sahip bir bahis oynarsınız ve oranlar sizin tarafınızdaysa olumludur. En kötü sonuçla bahis oynadığınızda, olumsuz bir beklentiye sahip olursunuz ve bu da oranlar aleyhinize olduğunda ortaya çıkar. Ciddi oyuncular yalnızca en iyi sonuç üzerine bahis oynarlar; en kötü sonuç olursa pas geçerler. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanmanız mümkündür. Gerçek tura gelme ihtimali 1'e 1'dir, ancak oran oranı nedeniyle 2'ye 1 elde edersiniz. Bu durumda ihtimaller sizin lehinizedir. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklentiyle kesinlikle en iyi sonucu alırsınız.

İşte matematiksel beklentinin daha karmaşık bir örneği. Bir arkadaşınız birden beşe kadar sayıları yazıyor ve sizin bu sayıyı tahmin edemeyeceğinize dair 1 dolarınıza karşılık 5 dolar bahse giriyor. Böyle bir iddiayı kabul etmeli misiniz? Buradaki beklenti nedir?

Ortalama olarak dört kez yanılacaksınız. Buna dayanarak, sayıyı tahmin etme ihtimaliniz 4'e 1'dir. Tek denemede bir dolar kaybetme ihtimaliniz. Ancak, 5'e 1 kazanırsınız ve 4'e 1 kaybetme ihtimaliniz de vardır. Yani oranlar sizin lehinizedir, bahisi kabul edebilir ve en iyi sonucu umabilirsiniz. Bu bahsi beş kez yaparsanız, ortalama olarak dört kez 1$ kaybedersiniz ve bir kez 5$ kazanırsınız. Buna dayanarak, beş denemenin tümü için, bahis başına 20 sentlik pozitif matematiksel beklentiyle 1 $ kazanacaksınız.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanacak olan oyuncu şansını denemektedir. Tam tersine, bahse girdiğinden daha az kazanmayı umarak şansını mahveder. Bir bahisçinin olumlu ya da olumsuz bir beklentisi olabilir, bu da kazanma ya da kazanma şansına bağlıdır.

Eğer 4'e 1 kazanma şansıyla 10$ kazanmak için 50$ bahis oynarsanız, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz çünkü Ortalama olarak dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 50$ kaybedersiniz, bu da bahis başına kaybın 10$ olacağını gösterir. Ancak 10$ kazanmak için 30$ bahis oynarsanız ve 4'e 1 kazanma ihtimaliniz aynıysa, o zaman bu durumda 2$'lık pozitif bir beklentiniz olur, çünkü yine dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 30$ kaybedersiniz ve 10$ kar elde edersiniz. Bu örnekler ilk bahsin kötü, ikincisinin ise iyi olduğunu göstermektedir.

Matematiksel beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezinde yer alır. Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10$ kazanmak için 11$ bahis yapmaya teşvik ettiğinde, her 10$ için 50 sentlik olumlu bir beklentiye sahiptir. Eğer kumarhane barbutta geçiş hattından eşit miktarda para ödüyorsa, o zaman kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$ olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiye bahis yapan herkesin ortalama %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünya çapındaki kumarhane sahiplerine muazzam karlar getiren şey, görünüşte asgari düzeyde olan bu olumlu beklentidir. Vegas World kumarhane sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, "yeterince uzun bir mesafe boyunca yüzde birin binde biri olumsuz olasılık, kumarı mahvedecektir" en zengin adam Dünyada".

Poker oynarken beklenti

Poker oyunu, matematiksel beklenti teorisi ve özelliklerinin kullanılması açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.

Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu her zaman olumlu beklenen değere sahip hamleleri kabul etmektir.

Poker oynarken matematiksel beklentinin matematiksel anlamı, karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki bahis turlarında hangi kartların geleceğini bilmiyoruz). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örnekle, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisine yöneleceğini belirten büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.

Matematiksel beklentiyi hesaplamaya yönelik özel formüller arasında aşağıdakiler pokerde en uygulanabilir olanıdır:

Poker oynarken hem bahisler hem de çağrılar için beklenen değer hesaplanabilir. İlk durumda kat özsermayesi, ikincisinde ise bankanın kendi oranları dikkate alınmalıdır. Belirli bir hamlenin matematiksel beklentisini değerlendirirken, pasın her zaman sıfır beklentisi olduğunu unutmamalısınız. Bu nedenle kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hamleden daha karlı bir karar olacaktır.

Beklenti, riske attığınız her dolar için ne bekleyebileceğinizi (kar veya zarar) anlatır. Kumarhaneler para kazanır çünkü içlerinde oynanan tüm oyunların matematiksel beklentisi kumarhanenin lehinedir. Yeterince uzun bir oyun serisiyle müşterinin parasını kaybetmesini bekleyebilirsiniz, çünkü "olasılıklar" kumarhanenin lehinedir. Bununla birlikte, profesyonel casino oyuncuları oyunlarını kısa sürelerle sınırlandırır, böylece şanslar kendi lehlerine artar. Aynı şey yatırım için de geçerli. Eğer beklentiniz olumlu ise kısa sürede çok sayıda işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. Beklenti, kazanç başına kar yüzdenizin ortalama kârınızla çarpımı, eksi kayıp olasılığınızın ortalama kaybınızla çarpımıdır.

Poker aynı zamanda matematiksel beklenti açısından da değerlendirilebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için bu en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı pokerde tam bir sayıya ulaştınız. Rakibiniz bir bahis yapar. Bahsi artırırsanız karşılık vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle yükseltme en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız kalan iki oyuncu kesinlikle pas geçecektir. Ancak ararsanız arkanızdaki diğer iki oyuncunun da aynısını yapacağına güveniniz tamdır. Bahsinizi arttırdığınızda bir birim, sadece gördüğünüzde ise iki birim alırsınız. Bu nedenle, aramak size daha yüksek bir olumlu beklenen değer verir ve en iyi taktik olacaktır.

Matematiksel beklenti aynı zamanda hangi poker taktiklerinin daha az karlı, hangilerinin daha karlı olduğu konusunda da fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynuyorsanız ve kaybınızın ante dahil ortalama 75 sent olacağını düşünüyorsanız o eli oynamalısınız çünkü Bu, bahis tutarı 1$ olduğunda pas geçmekten daha iyidir.

Beklenen değer kavramını anlamanın bir diğer önemli nedeni, bahsi kazansanız da kazanmasanız da size gönül rahatlığı vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya doğru zamanda pas geçtiyseniz, kazandığınızı veya kazandığınızı bileceksiniz. zayıf oyuncunun biriktiremeyeceği bir miktar para biriktirdi. Rakibiniz daha güçlü bir el çektiği için üzülürseniz pas geçmeniz çok daha zordur. Tüm bunlarla birlikte bahis yerine oynamayarak tasarruf ettiğiniz para, gece veya ay boyunca kazancınıza eklenir.

Elinizi değiştirseniz rakibinizin sizi çağıracağını unutmayın ve Pokerin Temel Teoremi makalesinde de göreceğiniz gibi bu, avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu gerçekleştiğinde mutlu olmalısınız. Hatta bir eli kaybetmenin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz çünkü sizin konumunuzdaki diğer oyuncuların çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.

Başlangıçta jeton oyunu örneğinde tartışıldığı gibi saatlik kar oranı matematiksel beklentiyle ilişkilidir ve bu kavramözellikle profesyonel oyuncular için önemlidir. Poker oynamaya gittiğinizde, bir saatlik oyunda ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda sezgilerinize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecektir, ancak biraz matematikten de yararlanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10$ bahis oynadığını ve ardından iki kart takas ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10$ bahis oynadıklarında yaklaşık 2$ kaybettiklerini anlayabilirsiniz. Her biri bunu saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Yaklaşık olarak eşit olan geri kalan dört oyuncudan birisiniz, dolayısıyla bu dört oyuncunun (ve aralarında sizin de) her biri saatte 12 $ kar elde edecek şekilde 48 $'ı bölmesi gerekir. Bu durumda saatlik şansınız, üç kötü oyuncunun bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınıza eşittir.

Uzun bir süre boyunca oyuncunun toplam kazancı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kazanırsınız ve tam tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak saatlik kazancınızı maksimuma çıkarabilmeniz için olumlu beklentinizi maksimuma çıkarabilecek veya olumsuz beklentinizi boşa çıkarabilecek bir oyun seçmelisiniz.

Oyun stratejisinde olumlu matematiksel beklenti

Kart saymayı biliyorsanız, sizi fark edip dışarı atmadıkları sürece kumarhaneye göre avantajlı olabilirsiniz. Kumarhaneler sarhoş oyuncuları sever ve kart sayma oyuncularına tolerans göstermez. Avantaj zamanla kazanmanıza olanak sağlayacaktır. daha büyük sayı kaybetmekten çok daha fazlası. İyi yönetim Beklenen değer hesaplamalarını kullanırken sermayeyi kullanmak, avantajınızdan daha fazla kâr elde etmenize ve kayıplarınızı azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantajınız yoksa parayı hayır kurumuna vermeniz daha iyi olur. Borsadaki oyunda kayıplardan, fiyat farklarından ve komisyonlardan daha fazla kazanç sağlayan oyun sistemi sayesinde avantaj sağlanıyor. Hiçbir para yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtaramaz.

Pozitif beklenti sıfırdan büyük bir değer olarak tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa istatistiksel beklenti de o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse matematiksel beklenti de negatif olacaktır. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfırsa, bekleme başa baş demektir. Ancak olumlu bir matematiksel beklentiniz ve makul bir oyun sisteminiz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgilerle oynamak felakete yol açar.

Matematiksel beklenti ve hisse senedi ticareti

Matematiksel beklenti, finansal piyasalarda döviz ticareti yapılırken oldukça yaygın olarak kullanılan ve popüler bir istatistiksel göstergedir. Öncelikle bu parametre ticaretin başarısını analiz etmek için kullanılır. Bu değer ne kadar yüksek olursa, incelenen ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar çok neden olduğunu tahmin etmek zor değil. Elbette bir yatırımcının çalışmalarının analizi tek başına bu parametre kullanılarak gerçekleştirilemez. Bununla birlikte, hesaplanan değer, işin kalitesini değerlendirmenin diğer yöntemleriyle birlikte analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.

Matematiksel beklenti genellikle ticari hesap izleme hizmetlerinde hesaplanır ve bu, para yatırma işleminde gerçekleştirilen işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar arasında "uzakta" kâr getirmeyen alım satımları kullanan stratejiler yer alır. Bir tüccar bir süreliğine şanslı olabilir ve bu nedenle işinde hiç kayıp olmayabilir. Bu durumda çalışmada kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece matematiksel beklentiye göre yönlendirmek mümkün olmayacaktır.

Piyasa ticaretinde, matematiksel beklenti çoğunlukla herhangi bir ticaret stratejisinin kârlılığını tahmin ederken veya bir tüccarın önceki ticaretinden elde edilen istatistiksel verilere dayanarak gelirini tahmin ederken kullanılır.

Para yönetimine gelince, olumsuz beklentilerle işlem yaparken kesinlikle yüksek kar getirebilecek bir para yönetimi planının olmadığını anlamak çok önemlidir. Bu koşullar altında borsada oynamaya devam ederseniz, paranızı nasıl yönetirseniz yönetin, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun hesabınızın tamamını kaybedersiniz.

Bu aksiyom yalnızca olumsuz beklentili oyunlar veya işlemler için değil, aynı zamanda eşit şansa sahip oyunlar için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede kar elde etme şansınızın olduğu tek zaman pozitif beklenen değere sahip işlemler yapmanızdır.

Olumsuz beklenti ile olumlu beklenti arasındaki fark yaşamla ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da ne kadar olumsuz olduğu önemli değil; Önemli olan olumlu mu olumsuz mu olduğudur. Bu nedenle para yönetimini düşünmeden önce olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısınız.

Eğer o oyuna sahip değilseniz, o zaman dünyadaki tüm para yönetimi sizi kurtaramayacaktır. Öte yandan olumlu bir beklentiniz varsa, doğru para yönetimiyle bunu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşmeye dayalı bir ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. İşlem başına sözleşme başına 10$ kazanan bir sisteminiz varsa (komisyonlar ve kaymalardan sonra), işlem başına ortalama 1.000$ kazanan bir sistemden (komisyonlar ve kaymalar düşüldükten sonra) daha karlı hale getirmek için para yönetimi tekniklerini kullanabilirsiniz.

Önemli olan sistemin ne kadar kârlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kâr göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle bir yatırımcının yapabileceği en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir beklenen değer göstermesini sağlamaktır.

Gelecekte pozitif bir beklenen değere sahip olmak için sisteminizin serbestlik derecelerini sınırlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametrelerin sayısının ortadan kaldırılması veya azaltılmasıyla değil, aynı zamanda mümkün olduğu kadar çok sistem kuralının azaltılmasıyla da sağlanır. Eklediğiniz her parametre, koyduğunuz her kural, sisteme yaptığınız her küçük değişiklik, serbestlik derecesi sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazarda sürekli olarak küçük karlar üretecek oldukça ilkel ve basit bir sistem kurmanız gerekir. Tekrar belirtmek isterim ki sistemin karlı olduğu sürece ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. Ticaretten kazandığınız para şu şekilde kazanılacaktır: Etkili yönetim para.

Bir ticaret sistemi, para yönetimini kullanabilmeniz için size pozitif bir beklenen değer veren bir araçtır. Yalnızca bir veya birkaç pazarda çalışan (en azından minimum düzeyde kar gösteren) veya farklı pazarlar için farklı kurallara veya parametrelere sahip olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak uzun süre çalışmayacaktır. Teknik odaklı yatırımcıların çoğunun sorunu, optimizasyona çok fazla zaman ve çaba harcamalarıdır. farklı kurallar ve ticaret sistemi parametrelerinin değerleri. Bu tamamen zıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin kârını artırmak için enerjinizi ve bilgisayar zamanınızı boşa harcamak yerine, enerjinizi minimum kâr elde etmenin güvenilirlik düzeyini artırmaya yönlendirin.

Para yönetiminin sadece olumlu beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunu olduğunu bilen bir tüccar, hisse senedi ticaretinin "kutsal kasesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu, olumlu beklentiler verip vermediğini öğrenebilir. Doğru Yöntemler Herhangi bir, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine uygulanan para yönetimi, işin geri kalanını kendisi yapacaktır.

Herhangi bir yatırımcının işinde başarılı olması için en önemli üç görevi yerine getirmesi gerekir: . Başarılı işlem sayısının kaçınılmaz hata ve yanlış hesaplamalardan fazla olmasını sağlamak; Ticaret sisteminizi mümkün olduğunca sık para kazanma fırsatına sahip olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızdan istikrarlı ve olumlu sonuçlar elde edin.

Ve burada biz çalışan tüccarlar için matematiksel beklenti çok yardımcı olabilir. Bu terim olasılık teorisindeki anahtar terimlerden biridir. Onun yardımıyla, bazı rastgele değerlerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Olası tüm olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal ederseniz, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ağırlık merkezine benzer.

Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, kârın (veya zararın) matematiksel beklentisi çoğunlukla stratejinin etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirli kar ve zarar seviyelerinin çarpımlarının toplamı ve bunların oluşma olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm işlemlerin %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalan %63'ünün kârsız olacağını varsaymaktadır. Aynı zamanda başarılı bir işlemden elde edilecek ortalama gelir 7$, ortalama kayıp ise 1,4$ olacaktır. Bu sistemi kullanarak ticaretin matematiksel beklentisini hesaplayalım:

Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama 1.708$ alacağımızı söylüyor. Ortaya çıkan verimlilik derecesi sıfırdan büyük olduğundan böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Hesaplama sonucunda matematiksel beklenti negatif çıkarsa, bu zaten ortalama bir kaybı gösterir ve bu tür bir ticaret yıkıma yol açacaktır.

İşlem başına kazanç miktarı % şeklinde göreceli bir değer olarak da ifade edilebilir. Örneğin:

– 1 işlem başına gelir yüzdesi - %5;

– başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi - %62;

– 1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;

– başarısız işlemlerin yüzdesi – %38;

Yani ortalama ticaret %1,96 getirecek.

Kârsız ticaretin hakimiyetine rağmen, kazanç sağlayacak bir sistem geliştirmek mümkündür. olumlu sonuç MO>0 olduğundan.

Ancak tek başına beklemek yeterli değildir. Sistem çok az işlem sinyali verirse para kazanmak zordur. Bu durumda karlılığı banka faiziyle karşılaştırılabilir olacaktır. Her operasyon ortalama sadece 0,5 dolar üretsin ama sistem yılda 1000 operasyon içeriyorsa ne olur? Bu, nispeten kısa bir süre içinde çok önemli bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak iyi bir ticaret sisteminin bir başka ayırt edici özelliğinin de dikkate alınabileceği sonucu çıkar. kısa vadeli pozisyonları tutuyor.

Kaynaklar ve bağlantılar

dic.academic.ru – akademik çevrimiçi sözlük

math.ru – matematik alanında eğitici web sitesi

nsu.ru – Novosibirsk'in eğitim sitesi Devlet Üniversitesi

webmath.ru – eğitim portalıÖğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için.

expponenta.ru eğitici matematik web sitesi

ru.tradimo.com – ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu

crypto.hut2.ru – multidisipliner bilgi kaynağı

poker-wiki.ru – ücretsiz poker ansiklopedisi

sernam.ru – Bilim Kütüphanesi seçilmiş doğa bilimleri yayınları

reshim.su – web sitesi Test ödevi sorunlarını çözeceğiz

unfx.ru – UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi

slovopedia.com – Büyük ansiklopedik sözlük Slovakya

pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasındaki rehberiniz

statanaliz.info – bilgi blogu “İstatistiksel veri analizi”

forex-trader.rf – Forex-Trader portalı

megafx.ru – güncel Forex analizleri

fx-by.com – bir yatırımcı için her şey