Dağıtım kanunu. Dağıtım poligonu

Sayfa 2

Grafiksel olarak dağıtım kanunu ayrık değer dağıtım poligonu adı verilen bir biçimde verilir.  

Bir dağıtım serisinin grafiksel gösterimine (bkz. Şekil 5) dağıtım çokgeni denir.  

Dağıtım yasasını karakterize etmek için süreksiz rastgele değişkenÇoğunlukla bir satır (tablo) ve bir dağıtım poligonu kullanılır.  

Bunu tasvir etmek için, (Y Pi) (x - i Pa) noktaları dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulur ve çizgi parçalarıyla bağlanır. Dağıtım poligonu, bir rastgele değişkenin dağılımının doğasının yaklaşık bir görsel temsilini verir.  

Açıklık sağlamak için, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, (x/, p) noktalarının dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulduğu ve daha sonra çizgi parçalarıyla birleştirildiği grafiksel olarak da gösterilebilir. Ortaya çıkan şekle dağıtım çokgeni adı verilir.  

M (xn; pn) (hp - - olası değerler Xt pi - karşılık gelen olasılıklar) ve bunları düz bölümlerle bağlayın. Ortaya çıkan şekle dağıtım poligonu denir.  

Puanların toplamının olasılık dağılımını düşünün zar. Aşağıdaki şekiller bir, iki ve üç kemik durumu için dağılım poligonlarını göstermektedir.  

Bu durumda, rastgele bir değişkenin dağılım poligonu yerine, diferansiyel dağılım fonksiyonu adı verilen ve diferansiyel dağılım yasasını temsil eden bir dağılım yoğunluk fonksiyonu oluşturulur. Olasılık teorisinde, rastgele bir değişken x (x Xr)'in dağılım yoğunluğu, Al; sıfıra eğilimlidir. Diferansiyel fonksiyona ek olarak, genellikle basitçe dağıtım fonksiyonu veya integral dağılım yasası olarak adlandırılan integral dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin dağılımını karakterize etmek için kullanılır.  

Bu yapıyla, aralıklara düşen göreceli frekanslar, karşılık gelen histogram çubuklarının alanlarına eşit olacaktır, tıpkı olasılıkların karşılık gelen eğrisel yamukların alanlarına eşit olması gibi. Eğer varsayılan teorik dağılım deneyle iyi uyum sağlıyorsa, o zaman. yeterince büyük bir n ve başarılı bir aralık seçimi (YJ-I, y. Bazen, karşılaştırmanın netliği için, histogram çubuklarının üst tabanlarının orta noktalarının sırayla bağlanmasıyla bir dağıtım poligonu oluşturulur.  

m'ye 0'dan i'ye kadar farklı değerler verilerek grafikte gösterilen PQ, P RF - Pn olasılıkları elde edilir. Verilen p; z11, bir olasılık dağılım poligonu oluşturun.  

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, olası değerleri ile olasılıkları arasındaki herhangi bir yazışmadır. Kanun tablo halinde (dağılım serisi), grafiksel olarak (dağıtım poligonu vb.) ve analitik olarak belirtilebilir.  

Dağılım eğrisini bulmak, başka bir deyişle rastgele değişkenin dağılımını belirlemek, belirli bir dağılım serisi tarafından tam olarak ifade edilmeyen bir olgunun daha derinlemesine incelenmesini mümkün kılar. Araştırmacı, hem bulunan tesviye dağılım eğrisini hem de kısmi popülasyondan oluşturulan dağıtım poligonunu çizerek açıkça görebilir. özellikler incelenen olgunun doğasında vardır. Bu sayede istatistiksel analiz, araştırmacının dikkatini fenomendeki bazı doğal değişikliklerden gözlemlenen verilerdeki sapmalara odaklar ve araştırmacı bu sapmaların nedenlerini bulma göreviyle karşı karşıya kalır.  

Daha sonra aralıkların ortasından bu aralıktaki tüketim yapılan ay sayısına karşılık gelen apsisler (bir ölçekte) çizilir. Bu apsislerin uçları birleştirilir ve böylece bir çokgen veya dağıtım çokgeni elde edilir.  

Miktarın değerinin koordinat düzleminde ayrı bir rastgele değişkenin dağılım yasasının grafiksel bir temsilini veren noktalar - değerlerin olasılığı, genellikle düz bölümlerle bağlanır ve ortaya çıkan sonuç denir. geometrik şekil dağıtım poligonu. İncirde. Tablo 46'daki Şekil 3'te (aynı zamanda şekil 4 ve 5'te) dağıtım çokgenleri gösterilmektedir.  

ayrık belirli olasılıklarla ayrı, yalıtılmış değerler alabilen rastgele değişken denir.

ÖRNEK 1.Üç yazı tura atışında armanın görünme sayısı. Olası değerler: 0, 1, 2, 3, olasılıkları sırasıyla eşittir:

P(0) = ; R(1) = ; R(2) = ; R(3) = .

ÖRNEK 2. Beş elemandan oluşan bir cihazdaki arızalı elemanların sayısı. Olası değerler: 0, 1, 2, 3, 4, 5; olasılıkları her bir unsurun güvenilirliğine bağlıdır.

Ayrık rassal değişken X bir dağılım serisi veya bir dağılım fonksiyonu (integral dağılım yasası) ile verilebilir.

Yakın dağıtım tüm olası değerlerin kümesidir XBen ve bunlara karşılık gelen olasılıklar Rben = P(X = xBen), bir tablo olarak belirtilebilir:

x ben				xn
ben				р n

Aynı zamanda olasılıklar RBen koşulu karşılamak

RBen= 1 çünkü

olası değerlerin sayısı nerede N sonlu veya sonsuz olabilir.

Dağıtım serisinin grafiksel gösterimi dağıtım poligonu denir . Bunu oluşturmak için rastgele değişkenin olası değerleri ( XBen) x ekseni boyunca çizilir ve olasılıklar RBen- ordinat ekseni boyunca; puan ABen koordinatlarla ( Xben, рBen) kesikli çizgilerle birbirine bağlanır.

Dağıtım işlevi rastgele değişken Xçağrılan fonksiyon F(X), bu noktada değeri X rastgele değişkenin olasılığına eşittir X bu değerden daha az olacak X, yani

F(x) = P(X< х).

İşlev F(X) İçin Ayrık rassal değişken formülle hesaplanır

F(X) = RBen , (1.10.1)

Toplamanın tüm değerler üzerinden yapıldığı yer Ben, hangisi için XBen< х.

ÖRNEK 3. 10'u hatalı olmak üzere 100 ürün içeren bir partiden, kalitelerini kontrol etmek için beş ürün rastgele seçiliyor. Bir dizi dağıtım oluşturun rastgele sayı X Numunede bulunan kusurlu ürünler.

Çözüm. Örnekteki kusurlu ürünlerin sayısı 0'dan 5'e kadar herhangi bir tam sayı olabileceğinden, olası değerler XBen rastgele değişken X eşittir:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Olasılık R(X = k) numunenin tam olarak içerdiği k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) kusurlu ürünler, eşittir

P (X = k) = .

Bu formülü kullanarak 0,001 doğrulukla yapılan hesaplamalar sonucunda şunları elde ederiz:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Kontrol etmek için eşitliği kullanma Rk=1, hesaplamaların ve yuvarlamaların doğru yapıldığından emin oluruz (tabloya bakınız).

x ben
ben

ÖRNEK 4. Bir rastgele değişkenin dağılım serisi verildiğinde X :

x ben
ben

Olasılık dağılım fonksiyonunu bulun F(X) bu rastgele değişkenin ve onu oluşturun.

Çözüm. Eğer X o zaman 10 tl F(X)= P(X<X) = 0;

10 ise<X o zaman 20 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

20 ise<X o zaman 30 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

30 ise<X o zaman 40 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

40 ise<X o zaman 50 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Eğer X> 50, o zaman F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Cevap: Süreksiz bir rastgele değişken düşünün X olası değerlerle. Bu değerlerin her biri mümkündür ancak kesin değildir ve değer X her birini belli bir olasılıkla kabul edebiliriz. Deney sonucunda değer X bu değerlerden birini alacaktır, yani uyumsuz olayların tamamından biri meydana gelecektir:

Bu olayların olasılıklarını harflerle gösterelim. R karşılık gelen endekslerle:

Yani, çeşitli değerlerin olasılık dağılımı, belirli bir ayrık rastgele değişken tarafından alınan tüm değerlerin üst satırda gösterildiği ve karşılık gelen değerlerin olasılıklarının gösterildiği bir dağılım tablosu ile belirtilebilir. alt satırda belirtilmiştir. Uyumsuz olaylar (3.1) tam bir grup oluşturduğundan, yani rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin olasılıklarının toplamı bire eşittir. Sürekli rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı tablo şeklinde sunulamaz çünkü bu tür rastgele değişkenlerin değerlerinin sayısı sınırlı bir aralıkta bile sonsuzdur. Üstelik herhangi bir değerin elde edilme olasılığı sıfırdır. Bu dağılımı belirtirsek, yani her bir olayın tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu belirtirsek, bir rastgele değişken olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlanacaktır. Bununla rastgele bir değişkenin sözde dağılım yasasını oluşturacağız. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir. Rastgele bir değişkenin belirli bir dağılım yasasına tabi olduğunu söyleyeceğiz. Süreksiz bir rastgele değişkenin dağılım yasasının belirlenebileceği formu oluşturalım X. Bu yasayı belirtmenin en basit şekli, rastgele bir değişkenin olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur:

x ben	X 1	X 2	× × ×	xn
ben	P 1	P 2	× × ×	pn

Böyle bir tabloya rastgele değişkenin dağılım serisi diyeceğiz X.

Pirinç. 3.1

Dağıtım serisine daha görsel bir görünüm kazandırmak için genellikle grafiksel temsiline başvurulur: rastgele değişkenin olası değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseni boyunca çizilir. Netlik sağlamak için, ortaya çıkan noktalar düz çizgi parçalarıyla bağlanır. Böyle bir şekle dağıtım poligonu denir (Şekil 3.1). Dağıtım poligonu ve dağıtım serisi tamamen rastgele değişkeni karakterize eder. dağıtım yasasının biçimlerinden biridir. Bazen dağıtım serilerinin “mekanik” olarak adlandırılan yorumu uygundur. Birliğe eşit belirli bir kütlenin apsis ekseni boyunca dağıtıldığını hayal edelim, böylece N kütleler sırasıyla bireysel noktalarda yoğunlaşmıştır . Daha sonra dağılım serisi, apsis ekseninde yer alan bazı kütlelere sahip bir malzeme noktaları sistemi olarak yorumlanır.

Rastgele değişken deney sonucunda önceden bilinmeyen bir veya başka bir değeri alabilen bir miktardır. Rastgele değişkenler var süreksiz (ayrık) Ve sürekli tip. Süreksiz miktarların olası değerleri önceden listelenebilir. Sürekli büyüklüklerin olası değerleri önceden listelenemez ve sürekli olarak belli bir boşluğu doldurur.

Ayrık rastgele değişkenlere örnek:

1) Armanın üç yazı-tura atışında görünme sayısı. (olası değerler 0;1;2;3)

2) Aynı deneyde armanın görünme sıklığı. (olası değerler)

3) Beş elemandan oluşan bir cihazdaki arızalı elemanların sayısı. (Olası değerler 0;1;2;3;4;5)

Sürekli rastgele değişken örnekleri:

1) Ateşlendiğinde çarpma noktasının apsisi (koordinatı).

2) Çarpma noktasından hedefin merkezine olan mesafe.

3) Cihazın çalışma süresi (radyo tüpü).

Rastgele değişkenler büyük harflerle, olası değerleri ise karşılık gelen küçük harflerle gösterilir. Örneğin X, üç atışla yapılan vuruşların sayısıdır; olası değerler: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Olası X 1, X 2, ..., X n değerlerine sahip süreksiz bir rastgele X değişkenini ele alalım. Bu değerlerin her biri mümkündür ancak kesin değildir ve X değeri bunların her birini bir miktar olasılıkla alabilir. Deney sonucunda X değeri bu değerlerden birini alacaktır, yani uyumsuz olaylar grubundan biri meydana gelecektir.

Bu olayların olasılıklarını karşılık gelen indekslerle birlikte p harfleriyle gösterelim:

Uyumsuz olaylar tam bir grup oluşturduğundan,

yani bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin olasılığının toplamı 1'e eşittir. Bu toplam olasılık bir şekilde bireysel değerler arasında dağıtılır. Bu dağılımı tanımlarsak, yani her bir olayın tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu belirtirsek, bir rastgele değişken olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlanacaktır. (Bu, rastgele değişkenlerin dağılım yasasını oluşturacaktır.)

Rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılık arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir. (Bir rastgele değişkenin belirli bir dağılım yasasına tabi olduğunu söyleyeceğiz)

Bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli, rastgele değişkenin olası değerlerini ve karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur.

Tablo 1.

X ben	X 1	X 2	…	Xn
P ben	P1	P2	…	Pn

Bu tabloya denir yakın dağıtım rastgele değişkenler.

Dağılım serisine daha görsel bir görünüm kazandırmak için grafiksel temsiline başvurulur: rastgele değişkenin olası değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseni boyunca çizilir. (Netlik sağlamak için, ortaya çıkan noktalar düz çizgi parçalarıyla bağlanır.)

Şekil 1 – dağıtım poligonu

Bu rakama denir dağıtım poligonu. Dağıtım poligonu, dağıtım serisi gibi tamamen rastgele değişkeni karakterize eder; dağıtım yasasının biçimlerinden biridir.

Örnek:

A olayının ortaya çıkabileceği veya çıkmayabileceği bir deney gerçekleştirilir. A olayının olasılığı = 0,3. Belirli bir deneyde A olayının meydana gelme sayısı olan X rastgele değişkenini ele alıyoruz. X değerinin dağılımına ilişkin bir seri ve çokgen oluşturmak gereklidir.

Tablo 2.

X ben
P ben	0,7	0,3

Şekil 2 - Dağıtım işlevi

Dağıtım işlevi rastgele değişkenin evrensel bir özelliğidir. Tüm rastgele değişkenler için mevcuttur: hem süreksiz hem de sürekli olmayan. Dağıtım fonksiyonu, rastgele bir değişkeni olasılıksal bir bakış açısıyla tamamen karakterize eder, yani dağıtım yasasının biçimlerinden biridir.

Bu olasılık dağılımını niceliksel olarak karakterize etmek için, X=x olayının olasılığını değil, X olayının olasılığını kullanmak uygundur.

F(x) dağılım fonksiyonuna bazen kümülatif dağılım fonksiyonu veya kümülatif dağılım yasası da denir.

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun özellikleri

1. F(x) dağılım fonksiyonu argümanının azalmayan bir fonksiyonudur, yani for;

2. Eksi sonsuzda:

3. Artı sonsuzda:

Şekil 3 - dağıtım fonksiyonu grafiği

Dağıtım fonksiyonu grafiği genel olarak değerleri 0'dan başlayıp 1'e giden, azalmayan bir fonksiyonun grafiğidir.

Bir rastgele değişkenin dağılım serisini bilerek, rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu oluşturmak mümkündür.

Örnek:

önceki örneğin koşulları için rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu oluşturun.

X dağıtım fonksiyonunu oluşturalım:

Şekil 4 – dağıtım fonksiyonu X

Dağıtım işlevi Herhangi bir süreksiz ayrık rastgele değişkenin her zaman süreksiz bir adım fonksiyonu vardır; atlamaları rastgele değişkenin olası değerlerine karşılık gelen noktalarda meydana gelir ve bu değerlerin olasılıklarına eşittir. Tüm dağıtım fonksiyonu atlamalarının toplamı 1'e eşittir.

Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin sayısı arttıkça ve aralarındaki aralıklar azaldıkça, atlamaların sayısı artar ve atlamaların kendisi küçülür:

Şekil 5

Kademeli eğri daha yumuşak hale gelir:

Şekil 6

Rastgele değişken yavaş yavaş sürekli bir değere yaklaşır ve dağılım fonksiyonu da sürekli bir fonksiyona yaklaşır. Olası değerleri sürekli olarak belirli bir aralığı dolduran ancak dağılım fonksiyonunun her yerde sürekli olmadığı rastgele değişkenler de vardır. Ve belli noktalarda kırılıyor. Bu tür rastgele değişkenlere karışık denir.

Şekil 7

Rasgele değişken kavramı. Rastgele değişkenin dağılım yasası

Rastgele değişkenler (kısaltılmış: r.v.) büyük Latin harfleri X, Y, ile gösterilir. Z...(veya küçük Yunan harfleri ξ (xi), η (eta), θ (teta), ψ (psi), vb.) ve aldıkları değerler buna göre küçük harflerle x 1'dir. , x 2 ,…, 1'de , 2'de , 3'te …

Örneklerİle. V. hizmet edebilir: 1) X- zar atıldığında ortaya çıkan puan sayısı; 2) Y - hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı; 3) Z- cihazın sorunsuz çalışma süresi vb. (kişinin boyu, dolar döviz kuru, partideki kusurlu parça sayısı, hava sıcaklığı, oyuncunun kazancı, rastgele seçilmişse bir noktanın koordinatı, şirket karı, . ..).

Rastgele değişken XΏ w

X(w), yani X= X(w), wО Ώ (veya X = f(k)) (31)

Örnek 1. Deney bir madeni paranın 2 kez atılmasından ibarettir. PES'te Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), burada w 1 = GG, w 2 = GR, w3 = RG, w4 = RR, p'yi düşünebilirsiniz. V. X- armanın görünme sayısı. S.v. X w i temel olayının bir fonksiyonudur : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. x 1 değerleri ile = 0,x2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

pi ben, Nerede ben = 1,2,3, ...,n,… .

Dağıtım kanunu d.s. V. p ben =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

İle. V. X X Ben. :

X	x 1	x 2	….	xn	…
P	sayfa 1	p2	….	pn	…

Olaylardan bu yana (X = x1), (X = x2 ),…, (X = x n), yani .

(x1 , sayfa 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) denir çokgen(veya çokgen) dağıtım(bkz. Şekil 17).

Rastgele değer X ayrıktır, sonlu veya sayılabilir bir sayı kümesi varsa x 1 , x 2 , ..., x n öyle ki P(X = x ben ) = p ben > 0 (ben = 1,2,...) s 1 + p2 + sayfa 3 +…= 1 (32)

Miktar d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n ve d.s olasılıklarıyla x i değerlerini alıyor. V. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m olasılıklarıyla y j değerlerini alarak, d.s olarak adlandırılır. V. Z = X + Y, belirtilen tüm değerler için z ij = x i + y j değerlerini p ij = P( X = x i,Y = y j) olasılıklarıyla alırsak Ben ve j. Bazı x i + y j toplamları çakışırsa, karşılık gelen olasılıklar eklenir.

Farkına göre d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n ve d.s olasılıklarıyla x i değerlerini alıyor. V. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m olasılıklarıyla y j değerlerini alarak, d.s olarak adlandırılır. V. Z = X - Y, belirtilen tüm değerler için z ij = x i – y j değerlerini p ij = P ( X = x i ,Y = y j ) olasılıklarıyla alırsak Ben ve j. Bazı x i – y j farkları çakışırsa karşılık gelen olasılıklar eklenir.

İş d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n ve d.s olasılıklarıyla x i değerlerini alıyor. V. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m olasılıklarıyla y j değerlerini alarak, d.s olarak adlandırılır. V. Z = X × Y, belirtilen tüm değerler için z ij = x i × y j değerlerini p ij = P( X = x i,Y = y j) olasılıklarıyla alırsak Ben ve j. Bazı x i × y j çarpımları çakışırsa, karşılık gelen olasılıklar eklenir.

d.s. V. сХ, с x ben р ben = Р(Х = x ben ).

X ve Y olayları (X = x i) = A i ve (Y = y j) = B j herhangi bir i= 1,2,...,n için bağımsızdır; j = l,2,...,m, yani.

P(X = x ben ;Y = y j ) =P(X = x ben ) ×P (Y = y j ) (33)

Örnek 2. Torbada 5'i beyaz, geri kalanı siyah olmak üzere 8 top vardır. İçinden rastgele 3 top çekiliyor. Örnekteki beyaz topların sayısının dağılım yasasını bulun.