Çok değişkenli fonksiyonların ekstremumları. Bir ekstremum için gerekli bir koşul. Bir ekstremum için yeterli koşul. Koşullu ekstremum. Lagrange çarpan yöntemi. En büyük ve en küçük değerleri bulma.

Ders 5.

Tanım 5.1. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde maksimum nokta işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) > f(x,y) tüm noktalar için (x, y) M 0.

Tanım 5.2. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde minimum puan işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) < f(x,y) tüm noktalar için (x, y) bir noktanın bazı mahallelerinden M 0.

Not 1. Maksimum ve minimum noktalar denir ekstrem noktalarçeşitli değişkenlerin fonksiyonları.

Açıklama 2. Herhangi sayıda değişkenli bir fonksiyonun ekstrem noktası benzer şekilde belirlenir.

Teorem 5.1 (gerekli koşullar ekstremum). Eğer M 0 (x 0, y 0)– fonksiyonun ekstrem noktası z = f(x,y), o zaman bu noktada bu fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri sıfıra eşittir veya yoktur.

Kanıt.

Değişkenin değerini sabitleyelim en, sayma y = y 0. Daha sonra fonksiyon f (x, y 0) bir değişkenin fonksiyonu olacak X, hangisi için x = x 0 ekstrem noktadır. Dolayısıyla Fermat teoremine göre ya yoktur. Aynı ifade benzer şekilde için de kanıtlanmıştır.

Tanım 5.3.Çok değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesine ait, fonksiyonun kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. sabit noktalar bu fonksiyon.

Yorum. Bu nedenle, uç noktaya yalnızca sabit noktalarda ulaşılabilir, ancak bunların her birinde gözlemlenmesi zorunlu değildir.

Teorem 5.2 (yeterli koşullar ekstremum). Noktanın bir mahallesine izin ver M 0 (x 0, y 0) fonksiyonun durağan noktası olan z = f(x,y), bu fonksiyonun 3. dereceye kadar sürekli kısmi türevleri vardır. O halde şunu belirtelim:

1) f(x,y)şu noktada var M 0 maksimum ise AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x,y)şu noktada var M 0 minimum eğer AC-B² > 0, A > 0;

3) Kritik noktada hiçbir ekstremum yoksa AC-B² < 0;

4) eğer AC-B² = 0, daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır.

Kanıt.

Fonksiyonun ikinci dereceden Taylor formülünü yazalım. f(x,y), Durağan bir noktada birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğunu hatırlayarak:

Nerede Segment arasındaki açı ise M 0 M, Nerede M (x0 +Δ x, y 0 +Δ en) ve O ekseni Xφ'yi belirtin, ardından Δ x =Δ ρ çünkü φ, Δ y =Δρsinφ. Bu durumda Taylor formülü şu şekli alacaktır: . O halde parantez içindeki ifadeyi şu şekilde bölüp çarpabiliriz: A. Şunu elde ederiz:

Şimdi dördünü ele alalım olası durumlar:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и yeterince küçük Δρ'da. Bu nedenle bazı mahallelerde M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ e)< f (x 0, y 0), yani M 0– maksimum nokta.

2) izin ver AC-B² > 0, bir > 0. Daha sonra , Ve M 0– minimum puan.

3) İzin ver AC-B² < 0, A> 0. φ = 0 ışını boyunca argümanların artışını düşünün. Daha sonra (5.1)'den şu sonuç çıkar: yani bu ışın boyunca hareket ederken fonksiyon artar. Eğer tg olacak şekilde bir ışın boyunca hareket edersek φ 0 = -A/B, O bu nedenle bu ışın boyunca hareket ederken fonksiyon azalır. Yani, dönem M 0 bir ekstrem nokta değildir.

3`) Ne zaman AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

öncekine benzer.

3``) Eğer AC-B² < 0, A= 0 ise . burada. O halde yeterince küçük φ için 2 ifadesi Bçünküφ + C sinφ 2'ye yakın İÇİNDE yani sabit bir işareti korur, ancak sinφ noktanın yakınında işaret değiştirir M 0. Bu, fonksiyonun artışının sabit bir noktanın yakınında işaret değiştirdiği anlamına gelir; bu nedenle bu bir uç nokta değildir.

4) Eğer AC-B² = 0 ve , yani artışın işareti 2α 0'ın işaretiyle belirlenir. Aynı zamanda, bir ekstremumun varlığı sorusunu açıklığa kavuşturmak için daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır.

Örnek. Fonksiyonun ekstremum noktalarını bulalım z = x² - 2 xy + 2sen² + 2 X. Durağan noktaları bulmak için sistemi çözüyoruz . Yani durağan nokta (-2,-1)'dir. burada bir = 2, İÇİNDE = -2, İLE= 4. Sonra AC-B² = 4 > 0 olduğundan, sabit bir noktada bir uç noktaya, yani minimuma ulaşılır (çünkü A > 0).

Tanım 5.4. Eğer fonksiyon bağımsız değişkenleri ise f (x 1 , x 2 ,…, x n) bağlı ek koşullar gibi M denklemler ( M< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,φ2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

φ i fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri olduğu durumda, denklemler (5.2) çağrılır bağlantı denklemleri.

Tanım 5.5. Fonksiyonun ekstremumu f (x 1 , x 2 ,…, x n) Koşullar (5.2) karşılandığında buna denir koşullu ekstremum.

Yorum. İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumunun aşağıdaki geometrik yorumunu sunabiliriz: fonksiyonun argümanları f(x,y)φ denklemiyle ilişkilidir (x,y)= 0, O düzleminde bir eğri tanımlıyor xy. Bu eğrinin her noktasından O düzlemine dik açıların yeniden oluşturulması xy yüzeyle kesişene kadar z = f(x,y),φ eğrisinin üzerindeki yüzeyde uzanan uzamsal bir eğri elde ederiz (x,y)= 0. Görev, ortaya çıkan eğrinin uç noktalarını bulmaktır. Genel dava fonksiyonun koşulsuz uç noktalarıyla çakışmıyor f(x,y).

İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumu için gerekli koşulları öncelikle aşağıdaki tanımı tanıtarak belirleyelim:

Tanım 5.6.İşlev L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Nerede λi – bazıları sabittir, denir Lagrange işlevi ve sayılar λi– belirsiz Lagrange çarpanları.

Teorem 5.3(koşullu bir ekstremum için gerekli koşullar). Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu z = f(x,y) birleştirme denkleminin varlığında φ ( x, y)= 0'a yalnızca Lagrange fonksiyonunun sabit noktalarında ulaşılabilir L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Kanıt. Bağlantı denklemi örtülü bir ilişkiyi belirtir en itibaren X, bu nedenle şunu varsayacağız: en bir fonksiyon var X: y = y(x). Daha sonra z karmaşık bir fonksiyon var X ve kritik noktaları duruma göre belirlenir: . (5.4) Bağlantı denkleminden şu sonuç çıkar: . (5.5)

Eşitliği (5.5) bir λ sayısıyla çarpıp (5.4)'e ekleyelim. Şunu elde ederiz:

, veya .

Son eşitlik sabit noktalarda sağlanmalıdır ve bundan şu sonuç çıkar:

(5.6)

Üç bilinmeyen için üç denklemden oluşan bir sistem elde edilir: x, y ve λ ve ilk iki denklem Lagrange fonksiyonunun durağan noktasının koşullarıdır. Yardımcı bilinmeyen λ'yı sistemden (5.6) hariç tutarak, orijinal fonksiyonun koşullu bir ekstremuma sahip olabileceği noktaların koordinatlarını buluruz.

Açıklama 1. Bulunan noktada koşullu bir ekstremun varlığı, Lagrange fonksiyonunun ikinci dereceden kısmi türevlerinin Teorem 5.2'ye benzetilerek incelenmesiyle kontrol edilebilir.

Açıklama 2. Fonksiyonun koşullu uç noktasına ulaşılabilecek noktalar f (x 1 , x 2 ,…, x n) Koşullar (5.2) karşılandığında sistemin çözümleri olarak tanımlanabilir. (5.7)

Örnek. Fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulalım z = xy verilen x + y= 1. Lagrange fonksiyonunu oluşturalım L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) şuna benzer:

Burada -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. burada L(x,y)şeklinde temsil edilebilir L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, dolayısıyla bulunan sabit noktada L(x,y) bir maksimumu vardır ve z = xy – koşullu maksimum

Koşullu ekstremum.

Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum değeri

En küçük kareler yöntemi.

FNP'nin yerel ekstremumu

Fonksiyon verilsin Ve= F(P), РÎDÌR N ve P 0 noktası olsun ( A 1 , A 2 , ..., bir p) –dahili D kümesinin noktası.

Tanım 9.4.

1) P 0 noktasına denir maksimum nokta işlevler Ve= F(P), eğer bu U(P 0) М D noktasının bir komşuluğu varsa, öyle ki herhangi bir P( noktası için) X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , koşul sağlandı F(P)£ F(P 0) . Anlam F Maksimum noktada (P 0) fonksiyonuna fonksiyon denir fonksiyonun maksimumu ve belirlenmiş F(P0) = maks F(P) .

2) P 0 noktasına denir minimum puan işlevler Ve= F(P), eğer bu U(P 0)Ì D noktasının herhangi bir P( noktası için olacak şekilde bir komşuluğu varsa X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , koşul sağlandı F(P)³ F(P 0) . Anlam F Minimum noktada (P 0) fonksiyonuna fonksiyon denir minimum fonksiyon ve belirlenmiş F(P 0) = dk F(P).

Bir fonksiyonun minimum ve maksimum noktalarına denir ekstremum noktalar fonksiyonun ekstremum noktalarındaki değerlerine denir fonksiyonun ekstremumları.

Tanımdan da anlaşılacağı üzere eşitsizlikler F(P)£ F(P 0), F(P)³ F(P 0), fonksiyonun tanım alanının tamamında değil, yalnızca P 0 noktasının belirli bir komşuluğunda karşılanmalıdır; bu, fonksiyonun aynı türden birkaç ekstremum (birkaç minimum, birkaç maksimum) olabileceği anlamına gelir. . Bu nedenle yukarıda tanımlanan ekstremumlara denir. yerel(yerel) aşırılıklar.

Teorem 9.1 (FNP'nin ekstremumu için gerekli koşul)

Eğer fonksiyon Ve= F(X 1 , X 2 , ..., xn) P 0 noktasında bir ekstremuma sahipse, bu noktada birinci dereceden kısmi türevleri ya sıfıra eşittir ya da yoktur.

Kanıt. P 0 noktasında olsun ( A 1 , A 2 , ..., bir p) işlev Ve= F(P)'nin bir ekstremumu, örneğin bir maksimumu vardır. Argümanları düzeltelim X 2 , ..., xn, koyarak X 2 =A 2 ,..., xn = bir p. Daha sonra Ve= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., bir p) bir değişkenin fonksiyonudur X 1. Bu fonksiyona sahip olduğundan X 1 = A 1 ekstremum (maksimum), ardından F 1 ¢=0veya mevcut olmadığında X 1 =A 1 (tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için gerekli bir koşul). Ancak bu, P 0 noktasında (ekstrem nokta) var olduğu anlamına gelir veya mevcut değildir. Benzer şekilde diğer değişkenlere göre kısmi türevleri de düşünebiliriz. CTD.

Bir fonksiyonun tanım kümesinde birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. kritik noktalar bu fonksiyon.

Teorem 9.1'den de anlaşılacağı üzere FNP'nin ekstremum noktaları fonksiyonun kritik noktaları arasında aranmalıdır. Ancak tek değişkenli bir fonksiyon için her kritik nokta bir ekstrem nokta değildir.

Teorem 9.2 (FNP'nin ekstremumu için yeterli koşul)

Fonksiyonun kritik noktası P 0 olsun Ve= F(P) ve bu fonksiyonun ikinci dereceden diferansiyelidir. Daha sonra

ve eğer D 2 sen(P 0) > 0 ise P 0 bir noktadır minimum işlevler Ve= F(P);

b) eğer D 2 sen(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum işlevler Ve= F(P);

c) eğer D 2 sen(P 0) işaretle tanımlanmıyorsa, bu durumda P 0 bir uç nokta değildir;

Bu teoremi kanıt olmadan ele alacağız.

Teoremin şu durumu dikkate almadığını unutmayın: D 2 sen(P 0) = 0 veya mevcut değil. Bu, bu tür koşullar altında P 0 noktasında bir ekstremun varlığı sorununun açık kaldığı anlamına gelir - ihtiyacımız var ek araştırmaörneğin bir fonksiyonun bu noktadaki artışını incelemek.

Daha ayrıntılı matematik derslerinde, özellikle fonksiyon için kanıtlanmıştır. z = f(X,sen), ikinci dereceden diferansiyeli formun toplamı olan iki değişkenin

P 0 kritik noktasında bir ekstremum varlığının incelenmesi basitleştirilebilir.

, , 'yi gösterelim. Bir determinant oluşturalım

.

Çıkıyor:

D 2 z P 0 noktasında > 0, yani. P 0 – minimum nokta, eğer A(P 0) > 0 ve D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

eğer D(P 0)< 0, то D 2 z P 0 noktası civarında işaret değiştirir ve P 0 noktasında ekstremum yoktur;

D(Р 0) = 0 ise, o zaman Р 0 kritik noktasının yakınındaki fonksiyona ilişkin ek çalışmalara da ihtiyaç vardır.

Böylece fonksiyon için z = f(X,sen), iki değişkenin bir ekstremumunu bulmak için aşağıdaki algoritmaya sahibiz (buna "algoritma D" diyelim):

1) D( tanımının tanım kümesini bulun F) işlevler.

2) Kritik noktaları bulun; D'den alınan puanlar( F), bunun için ve sıfıra eşittir veya mevcut değildir.

3) Her kritik P 0 noktasında, ekstremum için yeterli koşulları kontrol edin. Bunu yapmak için bulun , burada , , ve D(P 0)'ı hesaplayın ve A(P 0).Sonra:

eğer D(P 0) >0 ise P 0 noktasında bir ekstremum vardır ve eğer A(P 0) > 0 – bu minimumdur ve eğer A(P 0)< 0 – максимум;

eğer D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 ise ek araştırmaya ihtiyaç vardır.

4) Bulunan ekstremum noktalarda fonksiyonun değerini hesaplayınız.

Örnek 1.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun z = X 3 + 8sen 3 – 3xy .

Çözüm. Bu fonksiyonun tanım alanı koordinat düzleminin tamamıdır. Kritik noktaları bulalım.

, , Ş P 0 (0,0) , .

Ekstremum için yeterli koşulların sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. Bulacağız

6X, = -3, = 48en Ve = 288xy – 9.

O halde D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 noktasında bir ekstremum vardır ve bu yana A(P 1) = 3 >0 ise bu ekstremum minimumdur. yani dakika z=z(P1) = .

Örnek 2.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun .

Çözüm : D( F) =R2 . Kritik noktalar: ; ne zaman mevcut değil en= 0, yani P 0 (0,0) bu fonksiyonun kritik noktasıdır.

2, = 0, = , = , ancak D(P 0) tanımlı değildir, dolayısıyla işaretini incelemek imkansızdır.

Aynı sebepten dolayı Teorem 9.2'yi doğrudan uygulamak imkansızdır - D 2 z bu noktada mevcut değil.

Fonksiyonun artışını düşünelim F(X, sen) P 0 noktasında. Eğer D F =F(P) - F(P 0)>0 "P, o zaman P 0 minimum noktadır, ancak D ise F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Bizim durumumuzda

D F = F(X, sen) – F(0, 0) = F(0+G X,0+D sen) – F(0, 0) = .

D'de X= 0,1 ve D sen= -0,008, D'yi elde ederiz F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 ve D sen= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, yani. P 0 noktası civarında hiçbir D koşulu sağlanmaz F <0 (т.е. F(X, sen) < F(0, 0) ve bu nedenle P 0 maksimum nokta değildir), ne de D koşulu F>0 (örn. F(X, sen) > F(0, 0) ve bu durumda P 0 minimum nokta değildir). Bu, bir ekstremum tanımı gereği bu fonksiyonun hiçbir ekstremumunun olmadığı anlamına gelir.

Koşullu ekstremum.

Fonksiyonun dikkate alınan ekstremumu denir şartsız, çünkü işlev argümanlarına hiçbir kısıtlama (koşul) getirilmemiştir.

Tanım 9.2. Fonksiyonun ekstremumu Ve = F(X 1 , X 2 , ... , xn), argümanlarının olması koşuluyla bulundu X 1 , X 2 , ... , xn j 1 denklemlerini karşılayın ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, burada P ( X 1 , X 2 , ... , xn) veya D( F), isminde koşullu ekstremum .

Denklemler j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., M, arandı bağlantı denklemleri.

Fonksiyonlara bakalım z = f(X,sen) iki değişken. Bağlantı denklemi bir ise, yani. o zaman koşullu bir ekstremum bulmak, ekstremumun fonksiyonun tanım alanının tamamında değil, D('de yer alan bir eğri üzerinde arandığı anlamına gelir. F) (yani aranan yüzeyin en yüksek veya en alçak noktaları değildir. z = f(X,sen) ve bu yüzeyin silindirle kesişme noktaları arasındaki en yüksek veya en alçak noktalar, Şekil 5).

Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu z = f(X,senİki değişkenin ) değeri aşağıdaki şekilde bulunabilir ( eleme yöntemi). Denklemden, değişkenlerden birini diğerinin fonksiyonu olarak ifade edin (örneğin, write ) ve değişkenin bu değerini fonksiyonda değiştirerek, ikincisini bir değişkenin fonksiyonu olarak yazın (dikkate alınan durumda) ). Bir değişkenin sonuç fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

Tanım1: Bir fonksiyonun, herhangi bir nokta için öyle bir komşuluğu varsa, o noktada yerel maksimuma sahip olduğu söylenir. M koordinatlarla (x, y) eşitsizlik geçerlidir: . Bu durumda, yani fonksiyonun arttırılması< 0.

Tanım2: Bir fonksiyonun, herhangi bir nokta için öyle bir komşuluğu varsa, o noktada yerel minimuma sahip olduğu söylenir. M koordinatlarla (x, y) eşitsizlik geçerlidir: . Bu durumda, yani fonksiyonun artışı > 0 olur.

Tanım 3: Yerel minimum ve maksimum noktalarına denir ekstrem noktalar.

Koşullu Aşırılıklar

Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumlarını ararken, sıklıkla sözde problemlerle ilgili sorunlar ortaya çıkar. koşullu ekstremum Bu kavram iki değişkenli bir fonksiyon örneği kullanılarak açıklanabilir.

Bir fonksiyon ve bir doğru verilsin L yüzeyde 0xy. Görev sıraya girmektir L böyle bir nokta bul P(x, y), bir fonksiyonun değerinin, bu fonksiyonun çizgi üzerindeki noktalardaki değerleriyle karşılaştırıldığında en büyük veya en küçük olduğu durum L, noktanın yakınında bulunan P. Bu tür noktalar P arandı koşullu uç noktalarçevrimiçi işlevler L. Alışılagelmiş ekstremum noktasının aksine, fonksiyonun koşullu ekstremum noktasındaki değeri, fonksiyonun komşuluğundaki tüm noktalardaki değerleriyle değil, yalnızca çizgi üzerinde yer alan değerlerle karşılaştırılır. L.

Her zamanki ekstremum noktasının (ayrıca diyorlar ki) olduğu kesinlikle açıktır. koşulsuz ekstremum) aynı zamanda bu noktadan geçen herhangi bir çizgi için koşullu bir ekstremum noktasıdır. Bunun tersi elbette doğru değildir: Koşullu uç nokta, sıradan uç nokta olmayabilir. Basit bir örnekle söylediklerimi açıklayayım. Fonksiyonun grafiği üst yarımküredir (Ek 3 (Şekil 3)).

Bu fonksiyonun başlangıç ​​noktasında bir maksimumu vardır; köşe ona karşılık gelir M yarımküreler. Eğer çizgi L noktalardan geçen bir çizgi var A Ve İÇİNDE(onun denklemi x+y-1=0), o zaman geometrik olarak açıktır ki bu çizginin noktaları için en yüksek değer Fonksiyon, noktaların ortasında yer alan bir noktada gerçekleştirilir. A Ve İÇİNDE. Bu, fonksiyonun bu doğru üzerindeki koşullu ekstremum (maksimum) noktasıdır; yarımküredeki M1 noktasına karşılık gelir ve şekilden burada herhangi bir sıradan ekstremumdan söz edilemeyeceği açıktır.

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma probleminin son kısmında, kapalı alan bu bölgenin sınırında fonksiyonun uç değerlerini bulmalıyız, yani. bir doğru üzerinde ve böylece koşullu ekstremum problemini çözeriz.

Şimdi x ve y değişkenlerinin (x, y) = 0 denklemiyle ilişkili olması koşuluyla Z= f(x, y) fonksiyonunun koşullu uç noktalarının pratik aramaya geçelim. Bu ilişkiye bağlantı denklemi. Eğer birleştirme denkleminden y açıkça x cinsinden ifade edilebiliyorsa: y=(x), tek değişkenli Z= f(x, (x)) = Ф(x) fonksiyonunu elde ederiz.

Bu fonksiyonun bir uç noktaya ulaştığı x değerini bulduktan ve ardından bağlantı denkleminden karşılık gelen y değerlerini belirledikten sonra koşullu ekstremun istenen noktalarını elde ederiz.

Yani yukarıdaki örnekte x+y-1=0 ilişki denkleminden y=1-x elde ederiz. Buradan

Z'nin maksimum değerine x = 0,5'te ulaştığını kontrol etmek kolaydır; ancak y = 0,5 bağlantı denkleminden geometrik değerlendirmelerden bulunan P noktasını tam olarak elde ederiz.

Koşullu ekstremum problemi, bağlantı denklemi temsil edilebildiğinde bile çok kolay çözülür. parametrik denklemler x=x(t), y=y(t). X ve y için ifadeleri yerine koyma bu fonksiyon, yine tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulma problemine geliyoruz.

Bağlanma denkleminin birden fazla olması durumunda karmaşık görünüm ve bir değişkeni diğeri cinsinden açıkça ifade edemiyorsak veya onu parametrik denklemlerle değiştiremiyorsak, o zaman koşullu bir ekstremum bulma görevi daha zor hale gelir. z= f(x, y) fonksiyonunun ifadesinde (x, y) değişkeninin = 0 olduğunu varsaymaya devam edeceğiz. z= f(x, y) fonksiyonunun toplam türevi şuna eşittir:

Örtük fonksiyonun türev alma kuralı kullanılarak y' türevinin bulunduğu yer. Koşullu ekstremum noktalarında bulunan toplam türevin sıfıra eşit olması gerekir; bu x ve y ile ilgili bir denklem verir. Bunların aynı zamanda birleştirme denklemini de karşılamaları gerektiğinden, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz.

İlk denklemi orantı şeklinde yazıp yeni bir yardımcı bilinmeyen ekleyerek bu sistemi çok daha kullanışlı bir hale getirelim:

(ön taraftaki eksi işareti kolaylık sağlamak içindir). Bu eşitliklerden aşağıdaki sisteme geçmek kolaydır:

f' x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 bağlantı denklemiyle birlikte bilinmeyenler x, y ve olan üç denklemden oluşan bir sistem oluşturur.

Bu denklemler (*), aşağıdaki kural kullanılarak hatırlanması en kolay olanlardır: fonksiyonun koşullu ekstremumunun noktaları olabilecek noktaları bulmak için

Z= f(x, y) bağlantı denklemi (x, y) = 0 ile yardımcı bir fonksiyon oluşturmanız gerekir

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Bazı sabitlerin nerede olduğunu ve bu fonksiyonun ekstrem noktalarını bulmak için denklemler oluşturun.

Belirtilen denklem sistemi, kural olarak yalnızca gerekli koşulları sağlar; bu sistemi karşılayan her x ve y değer çiftinin mutlaka koşullu bir ekstremum noktası olması gerekmez. Koşullu ekstremum noktaları için yeterli koşulları vermeyeceğim; Çoğu zaman sorunun spesifik içeriği, bulunan noktanın ne olduğunu ortaya koyar. Koşullu bir ekstremumdaki problemleri çözmek için açıklanan tekniğe Lagrange çarpan yöntemi denir.

z - /(x, y) fonksiyonu bir D bölgesinde tanımlansın ve Mo(xo, Vo) bu bölgenin bir iç noktası olsun. Tanım. Tüm koşulları sağlayanlar için eşitsizliğin doğru olduğu bir sayı varsa, o zaman Mo(xo, yo) noktasına /(x, y) fonksiyonunun yerel maksimum noktası denir; eğer tüm Dx, Du için koşulları sağlıyorsa | o zaman Mo(xo,yo) noktasına ince yerel minimum denir. Başka bir deyişle, M0(x0, y0) noktası, eğer A/o(x0, y0) noktasının 6'lı bir komşuluğu varsa, f(x, y) fonksiyonunun maksimum veya minimum noktasıdır; Bunun M(x, y) noktaları komşuluğunda, fonksiyonun artışı işaretini korur. Örnekler. 1. Fonksiyon noktası için - minimum nokta (Şek. 17). 2. Fonksiyon için 0(0,0) noktası maksimum noktadır (Şekil 18). 3. Bir fonksiyon için 0(0,0) noktası yerel maksimum noktadır. 4 Gerçekte, 0(0, 0) noktasının bir komşuluğu vardır, örneğin j yarıçaplı bir çember (bkz. Şekil 19), 0(0,0) noktasından farklı herhangi bir noktada, fonksiyonun değeri /(x,y) 1'den küçük = Bazı delinmiş 6-komşuluklardan tüm M(x) y) noktaları için katı eşitsizlik veya katı eşitsizlik sağlandığında, fonksiyonların yalnızca kesin maksimum ve minimum noktalarını dikkate alacağız. Mq noktası. Bir fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine maksimum, minimum noktasındaki değerine ise bu fonksiyonun minimumu denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına fonksiyonun ekstrem noktaları denir ve fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına da ekstremum noktaları denir. Teorem 11 (bir ekstremum için gerekli koşul). Bir fonksiyon çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu ise, çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu kavramı. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerinin bir noktada bir ekstremumu vardır ve bu noktada her kısmi türev u ya yok olur ya da yoktur. M0(x0, yо) noktasında z = f(x) y) Fonksiyonunun bir ekstremumu olsun. Y değişkenine oo değerini verelim. O zaman z = /(x, y) fonksiyonu bir x değişkeninin fonksiyonu olacaktır. x = xo'da bir ekstremuma (maksimum veya minimum, Şekil 20) sahip olduğundan, x'e göre türevi = “o, | (*o,l>)" Sıfıra eşit veya yok. Benzer şekilde)'nin ya sıfıra eşit olduğuna ya da olmadığına inanıyoruz. = 0 ve χ = 0 olan veya bulunmayan noktalara kritik denir. z = Dx, y fonksiyonunun noktaları.$£ = φ = 0 olan noktalara aynı zamanda fonksiyonun durağan noktaları da denir.Teorem 11, bir ekstremum için sadece yeterli olmayan gerekli koşulları ifade eder.Örnek: Fonksiyon Şek. 18 Şekil 20'de sıfıra dönen immt türevler. Ancak bu işlev tıngırdamanın imvatında zayıftır. Aslında fonksiyon 0(0,0) noktasında sıfıra eşittir ve 0(0,0) noktasına keyfi olarak yakın olan M(x,y) noktalarında pozitif ve negatif değerler alır. Bunun için, (0, y) noktalarındaki noktalarda, keyfi olarak küçük olan 0(0,0) noktasına belirtilen tipte bir mini-maks noktası denir (Şekil 21). İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşullar aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem 12 (iki değişkenli bir ekstremum için yeterli koşullar). Mo(xo»Yo) noktası f(x, y) fonksiyonunun durağan bir noktası olsun ve / noktasının bazı komşuluklarında, Mo noktasının kendisi de dahil olmak üzere, f(z, y) fonksiyonunun sürekli kısmi türevleri olsun ikinci sıraya kadar (dahil). O zaman". Mo(xo, V0) noktasında /(xo, y) fonksiyonunun bir ekstremumu yoktur, eğer D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) fonksiyonunun ekstremumu mevcut olabilir veya olmayabilir. Bu durumda ileri araştırmalara ihtiyaç vardır. m Kendimizi teoremin 1) ve 2) numaralı ifadelerini kanıtlamakla sınırlayalım. /(i, y) fonksiyonu için ikinci dereceden Taylor formülünü yazalım: burada. Koşula göre, D/ artışının işaretinin (1)'in sağ tarafındaki üç terimlinin işareti, yani ikinci diferansiyel d2f'nin işareti tarafından belirlendiği açıktır. Kısaca belirtelim. O zaman eşitlik (l) şu şekilde yazılabilir: MQ(yani, V0) noktasında elimizde olsun... Koşul gereği, f(s, y) fonksiyonunun ikinci dereceden kısmi türevleri sürekli olduğundan, o zaman (3) eşitsizliği aynı zamanda M0(s0,yo) noktasının bazı komşuluklarında da geçerli olacaktır. Koşul sağlanırsa (А/0 noktasında ve süreklilik nedeniyle /,z(s,y) türevi Af0 noktasının bir komşuluğunda işaretini koruyacaktır. А Ф 0 olduğu bölgede, elimizdeki Bundan açıktır ki, eğer M0(x0) y0 noktasının herhangi bir komşuluğunda ЛС - В2 > 0 ise, o zaman AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 üçlüsünün işareti bu noktada A'nın işaretiyle çakışır (yani , V0) (aynı zamanda C işaretiyle de geçerlidir, çünkü AC - B2 > 0 için A ve C farklı işaretlere sahip olamaz). (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) noktasındaki AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 toplamının işareti farkın işaretini belirlediğinden şu sonuca varıyoruz: eğer /(s,y) fonksiyonu için durağan nokta (s0, V0) koşulu, o zaman yeterince küçük || eşitsizlik giderilecektir. Dolayısıyla (sq, V0) noktasında /(s, y) fonksiyonunun maksimumu vardır. Eğer koşul (s0, y0) durağan noktasında karşılanıyorsa, bu durumda tüm yeterince küçük |Dr| ve |Du| eşitsizlik doğrudur, bu da (so,yo) noktasında /(s, y) fonksiyonunun minimuma sahip olduğu anlamına gelir. Örnekler. 1. Fonksiyonu bir ekstremum için araştırın 4 Bir ekstremum için gerekli koşulları kullanarak fonksiyonun durağan noktalarını ararız. Bunu yapmak için u kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitliyoruz. Durağan bir noktadan bir denklem sistemi elde ediyoruz. Şimdi Teorem 12'yi kullanalım. Bu, Ml noktasında bir ekstremum olduğu anlamına gelir. Çünkü bu minimumdur. Eğer r fonksiyonunu forma dönüştürürsek şunu görmek kolaydır: sağ kısım(") bu fonksiyonun mutlak minimumu olduğunda minimum olacaktır. 2. Fonksiyonu bir ekstremum açısından inceleyin.Fonksiyonun durağan noktalarını buluyoruz ve bunun için bir denklem sistemi oluşturuyoruz.Böylece nokta durağan oluyor. Teorem 12'ye göre M noktasında hiçbir ekstremum olmadığından. * 3. Fonksiyonun ekstremumunu araştırın, fonksiyonun durağan noktalarını bulun. Denklem sisteminden bunu elde ediyoruz, yani nokta durağandır. Daha sonra Teorem 12'nin bir ekstremun varlığı veya yokluğu hakkındaki soruyu yanıtlamadığını görüyoruz. Bu şekilde yapalım. Tanım gereği so noktasından ve A/o(0,0) noktasından farklı olan tüm noktalara ilişkin bir fonksiyon için r fonksiyonunun mutlak bir minimumu vardır. Benzer hesaplamalarla fonksiyonun bir noktada maksimuma sahip olduğunu, ancak fonksiyonun bu noktada bir ekstremumunun olmadığını tespit ederiz. N sayıda bağımsız değişkenden oluşan bir fonksiyonun bir noktada türevi olsun.Teorem 13'e göre (bir ekstremum için yeterli koşullara kadar) Mo noktasına fonksiyonun durağan noktası denir. Fonksiyon tanımlı olsun ve ince Mt(xi...)'nin bazı komşuluklarında ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri olsun; bu, ikinci dereceden formda (f fonksiyonunun ikinci dereceden ikinci diferansiyeli pozitifse, durağan bir ince fonksiyondur) belirli (negatif belirli), f fonksiyonunun minimum noktası (sırasıyla ince maksimum) iyidir. Eğer ikinci dereceden form (4) işaret olarak değişiyorsa, o zaman ince LG0'da hiçbir ekstremum yoktur. Form (4) pozitif veya negatif tanımlı olacaktır, örneğin ikinci dereceden formun pozitif (negatif) kesinliği için Sylvester kriterini kullanabilirsiniz 15.2 Koşullu ekstremum Şu ana kadar, şunu arıyorduk: yerel aşırılıklar Fonksiyonun argümanları herhangi bir ek koşula bağlı olmadığında, tüm tanım alanı boyunca bir fonksiyon. Bu tür aşırılıklara koşulsuz denir. Bununla birlikte, genellikle koşullu ekstremumların bulunmasında sorunlar yaşanmaktadır. D bölgesinde z = /(x, y) fonksiyonu tanımlı olsun. Bu bölgede bir L eğrisinin verildiğini varsayalım ve f(x> y) fonksiyonunun ekstremumlarını yalnızca bunlar arasında bulmamız gerekiyor. L eğrisinin noktalarına karşılık gelen değerlerinin aynı ekstremlerine, L eğrisi üzerindeki z = f(x) y) fonksiyonunun koşullu ekstremumları denir. Tanım L eğrisi üzerinde yatan bir noktada olduğunu söylerler. M0(x0, V0) noktasının bazı komşuluklarına ait olan ve farklı M(s, y) y) L eğrisi L noktalarında eşitsizlik sağlanırsa, f(x, y) fonksiyonunun koşullu bir maksimumu (minimum) vardır. M0 noktasından (L eğrisi bir denklemle veriliyorsa, o zaman r - f(x,y) fonksiyonunun eğri üzerinde koşullu ekstremumunu bulma problemi şu şekilde formüle edilebilir: x fonksiyonunun ekstremumunu bulun) = /(z, y) D bölgesinde, şu şartla ki, z = y fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulurken, antilop argümanları artık bağımsız değişkenler olarak kabul edilemez: birbirleriyle şu şekilde ilişkilidirler: ilişki y) = 0, buna bağlantı denklemi denir. Koşulsuz ve koşullu ekstremum arasındaki ayrımı açıklığa kavuşturmak için, fonksiyonun koşulsuz maksimumunun (Şekil 23) bire eşit olduğu ve (0,0) noktasında elde edildiği bir örneğe bakalım. Pvvboloidin tepe noktası olan M noktasına karşılık gelir.Y = j bağlantı denklemini ekleyelim. O zaman koşullu maksimum açıkça buna eşit olacaktır, (o,|) noktasına ulaşılır ve topun y = j düzlemiyle kesişme çizgisi olan topun Afj tepe noktasına karşılık gelir. Koşulsuz bir mvximum durumunda, yüzeyin tüm vuygulamaları arasında uygulanan bir mvximum'umuz vardır * = 1 - l;2 ~ y1; koşullu toplam - yalnızca pvraboloidv vllikvt noktaları arasında, xOy düzlemine değil, y = j düz çizgisinin* noktasına karşılık gelir. Bir fonksiyonun varlık ve bağlantı durumunda koşullu ekstremumunu bulma yöntemlerinden biri aşağıdaki gibidir. Bağlantı denklemi y) - O, y'yi x argümanının benzersiz bir türevlenebilir fonksiyonu olarak tanımlasın: Fonksiyonda y yerine bir fonksiyon koyarak, bağlantı koşulunun zaten dikkate alındığı bir argümanın fonksiyonunu elde ederiz. Fonksiyonun (koşulsuz) ekstremumu istenen koşullu ekstremumdur. Örnek. Bir fonksiyonun ekstremumunu şu koşul altında bulun: Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu kavramı. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri A Bağlantı denkleminden (2") y = 1-x'i buluruz. Bu y değerini (V)'de değiştirerek, bir x bağımsız değişkeninin fonksiyonunu elde ederiz: Bunu ekstremum için inceleyelim: buradan x = 1 kritik noktadır; böylece r fonksiyonunun koşullu minimumunu sağlar (Şekil 24). Koşullu ekstremum problemini çözmenin başka bir yolunu Lagrange çarpan yöntemi olarak adlandıralım. Bir bağlantının varlığında bir fonksiyonun koşullu bir uç noktası olsun.Bağlantı denkleminin, xx noktasının belirli bir komşuluğunda sürekli türevlenebilir tek bir fonksiyonu tanımladığını varsayalım. /(r, ip(x)) fonksiyonunun xq noktasındaki x'e göre türevinin sıfıra eşit olması gerektiğini veya buna eşdeğer olarak f(x, y)'nin diferansiyelinin sıfıra eşit olması gerektiğini elde ettiğimizi düşünürsek Mo" O noktası sıfıra eşit olmalıdır) Elimizdeki bağlantı denkleminden (5) Son eşitliği henüz belirlenmemiş bir A sayısal faktörü ile çarpar ve eşitlikle (4) terim terim eklersek, şunu elde ederiz (varsayalım ki: ).Daha sonra dx'in keyfiliğinden dolayı Lagrange fonksiyonu olarak adlandırılan fonksiyonun noktasındaki koşulsuz ekstremum için gerekli koşulları ifade eden (6) ve (7) Eşitliklerini elde ederiz.Böylece denklemin koşullu ekstremum noktası elde edilir. /(x, y) fonksiyonu, eğer A'nın belirli bir sayısal katsayı olduğu Lagrange fonksiyonunun mutlaka sabit bir noktasıdır. Buradan koşullu ekstremum bulmak için bir kural elde ederiz: ekstremum noktaları olabilecek noktaları bulmak için bir bağlantının varlığında bir fonksiyonun denklemi: 1) Lagrange fonksiyonunu oluştururuz, 2) bu fonksiyonun türevlerini ve U'sunu sıfıra eşitleyerek ve bağlantı denklemini elde edilen denklemlere ekleyerek, üç denklemden oluşan bir sistem elde ederiz; A'nın değerlerini ve x, y koordinatlarının olası ekstremum noktalarını buluyoruz. Koşullu ekstremumun varlığı ve doğası sorunu, (8)'den elde edilen, dikkate alınan x0, V0, A değer sistemi için Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin işaretinin incelenmesine dayanarak çözülür; ise (x0, V0) noktasında /(x, y) fonksiyonunun koşullu bir maksimumu vardır; d2F > 0 ise koşullu minimum. Özellikle, eğer sabit bir noktada (xo, J/o), F(x, y) fonksiyonu için determinant D pozitifse, o zaman (®o, V0) noktasında f( fonksiyonunun koşullu maksimumu vardır. x, y), if ve /(x, y), if fonksiyonunun koşullu minimumu Örnek. Tekrar önceki örneğin koşullarına dönelim: x + y = 1 koşulu altında fonksiyonun ekstremumunu bulun. Sorunu Lagrange çarpanı yöntemini kullanarak çözeceğiz. Lagrange fonksiyonu bu durumda Durağan noktaları bulmak için bir sistem oluşturuyoruz.Sistemin ilk iki denkleminden x = y elde ediyoruz. Daha sonra sistemin üçüncü denkleminden (bağlantı denklemi) x - y = j'nin olası uç noktanın koordinatları olduğunu buluruz. Bu durumda (A = -1 olarak gösterilir. Dolayısıyla Lagrange fonksiyonu. Lagrange fonksiyonu için koşulsuz bir ekstremum yoktur koşulu altında * = x2 + y2 fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır. P(x, y) ) henüz bir bağlantı varlığında /(x, y) fonksiyonu için koşullu bir ekstremumun olmadığı anlamına gelmez. Örnek: y 4 koşulu altında bir fonksiyonun ekstremumunu bulun. Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz ve için bir sistem yazıyoruz. A'nın ve olası uç noktaların koordinatlarının belirlenmesi: İlk iki denklemden x + y = 0 elde ederiz ve x = y = A = 0 olan sisteme ulaşırız. Böylece karşılık gelen Lagrange fonksiyonu şu noktada formuna sahiptir: (0,0) F(x, y; 0) fonksiyonunun koşulsuz bir ekstremumu yoktur, ancak r = xy fonksiyonunun koşullu ekstremumu vardır. y = x olduğunda " vardır. Aslında bu durumda r = x2. Buradan (0,0) noktasında koşullu bir minimumun olduğu açıktır. "Lagrange çarpanları yöntemi herhangi bir sayıda argümana sahip fonksiyonlar durumuna aktarılır/ Fonksiyonun ekstremumunu arayalım bağlantı denklemlerinin varlığında A|, Az,..., A™'nın belirsiz sabit faktörler olduğu Lagrange fonksiyonunu oluşturun. F fonksiyonunun tüm birinci dereceden kısmi türevlerini sıfıra eşitleyerek ve elde edilen denklemlere bağlantı denklemlerini (9) ekleyerek, n ​​+ m denklemlerden oluşan bir sistem elde ederiz ve buradan Ab A3|..., At'yi ve x koordinatlarını belirleriz. \) x2). » Koşullu ekstremumun olası noktalarının xn'si. Lagrange yöntemi kullanılarak bulunan noktaların gerçekte koşullu bir ekstremum noktası olup olmadığı sorusu genellikle fiziksel veya geometrik nitelikteki hususlara dayanarak çözülebilir. 15.3. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri Bazı kapalı sınırlı D kümesinde sürekli olan z = /(x, y) fonksiyonunun en büyük (en küçük) değerini bulmak gerekli olsun. Teorem 3'e göre, bu alanda fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri aldığı noktadır (xo, V0). Eğer (xo, y0) noktası D alanının içinde yer alıyorsa, o zaman / fonksiyonu bir maksimuma (minimum) sahiptir, yani bu durumda ilgilendiğimiz nokta /(x,) fonksiyonunun kritik noktaları arasında yer alır. y). Ancak /(x, y) fonksiyonu en büyük (en küçük) değerine bölgenin sınırında ulaşabilmektedir. Dolayısıyla z = /(x, y) fonksiyonunun sınırlı kapalı alan 2)'de aldığı en büyük (en küçük) değeri bulmak için, fonksiyonun bu alan içinde elde edilen tüm maksimumlarını (minimum) bulmanız gerekir, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri de bu alanın sınırındadır. Tüm bu sayıların en büyüğü (en küçüğü), z = /(x,y) fonksiyonunun 27. bölgede istenilen en büyük (en küçük) değeri olacaktır. Bunun türevlenebilir bir fonksiyon durumunda nasıl yapıldığını gösterelim. Prmmr. 4. bölgenin fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. D bölgesi içindeki fonksiyonun kritik noktalarını buluyoruz. Bunu yapmak için bir denklem sistemi oluşturuyoruz. Buradan x = y « 0 elde ediyoruz, böylece 0 noktası (0,0), x fonksiyonunun kritik noktasıdır. Şimdi D bölgesinin Г sınırında fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım. Sınırın bir kısmında y = 0 kritik bir noktadır ve = olduğundan bu noktada z fonksiyonu bulunur. = 1 + y2'nin minimumu bire eşittir. Г" parçasının uçlarında, ( noktalarında) var. Simetri hususlarını kullanarak, sınırın diğer kısımları için aynı sonuçları elde ederiz. Sonunda şunu elde ederiz: z = x2+y2 fonksiyonunun bölgedeki en küçük değeri "B sıfıra eşittir ve 0( 0, 0) iç noktası bölgesinde elde edilir ve bu fonksiyonun ikiye eşit olan maksimum değeri sınırın dört noktasında elde edilir (Şekil 25) Şekil 25 Alıştırmalar Fonksiyonların tanım tanım kümesini bulun: Fonksiyonların seviye doğrularını oluşturun: 9 Üç bağımsız değişkenli fonksiyonların seviye yüzeylerini bulun: Fonksiyonların limitlerini hesaplayın: Fonksiyonların kısmi türevlerini ve bunların kısmi türevlerini bulun tam diferansiyeller : Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun: 3 J'yi bulun. Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri 34. İki değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevi için formül kullanarak bulma ve fonksiyonlar: 35. Bir kompleksin türevi için formülü kullanma iki değişkenli fonksiyon, |J ve fonksiyonları bulun: Örtülü olarak verilen jj fonksiyonlarını bulun: 40. Teğet eğrinin x = 3 düz çizgisiyle kesiştiği noktada açısal katsayısını bulun. 41. Teğetin hangi noktalarda olduğunu bulun. x eğrisinin değeri Ox eksenine paraleldir. . Aşağıdaki problemlerde T ve T'yi bulun: Yüzeyin teğet düzleminin ve normalinin denklemlerini yazın: 49. x + 4y düzlemine paralel olan x2 + 2y2 + 3z2 = 21 yüzeyinin teğet düzlemlerinin denklemlerini yazın. + 6z = 0. Taylor formülünü kullanarak açılımın ilk üç veya dört terimini bulun: 50. (0, 0) noktası civarında y. Bir fonksiyonun ekstremum tanımını kullanarak, aşağıdaki fonksiyonları ekstremum için inceleyin :). İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşulları kullanarak fonksiyonun ekstremumunu inceleyin: 84. Kapalı bir daire içinde z = x2 - y2 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun 85. En büyük ve en küçük değerleri bulun ​​​x = 0, y = 0, x + y = b düz çizgileriyle sınırlanan bir üçgende * = x2y(4-x-y) fonksiyonunun. 88. Hacmi V'ye eşit olmak koşuluyla en küçük yüzeye sahip dikdörtgen bir açık havuzun boyutlarını belirleyin. 87. Toplam yüzeyi 5 verilen maksimum hacme sahip dikdörtgen paralel yüzlü bir havuzun boyutlarını bulun. Cevaplar 1. ve | Kenarları da dahil olmak üzere x doğru parçalarının oluşturduğu bir kare. 3. Eşmerkezli halka ailesi 2= 0,1,2,... .4. Düz çizgiler üzerindeki noktalar dışında düzlemin tamamı. Düzlemin y = -x? parabolünün üzerinde bulunan kısmı. 8. x çemberinin noktaları. Düz çizgiler hariç tüm düzlem x Radikal ifade, j * ^ veya j x ^ ^ iki durumda negatif değildir ve bu sırasıyla sonsuz bir eşitsizlik serisine eşdeğerdir.Tanım alanı gölgeli karelerdir (Şekil 26); l sonsuz bir seriye eşdeğerdir Fonksiyon noktalarla tanımlanır. a) Düz çizgiye paralel düz çizgiler x b) Merkezi orijinde olan eşmerkezli daireler. 10. a) paraboller y) paraboller y a) paraboller b) hiperboller | .Uçaklar xc. 13.Prime - Oz ekseni etrafında dönme tek boşluklu hiperboloidler; Oz ekseni etrafında dönen iki yapraklı hiperboloidler olduğunda, her iki yüzey ailesi de bir koni ile ayrılır; Sınır yoktur, b) 0. 18. Önce y = kxt, sonra z lim z = -2 olsun, yani (0,0) noktasındaki verilen fonksiyonun limiti yoktur. 19. a) (0,0) noktası; b) nokta (0,0). 20. a) Kırık çizgi - daire x2 + y2 = 1; b) kırılma çizgisi y = x düz çizgisidir. 21. a) Kırık çizgiler - Ox ve Oy koordinat eksenleri; b) 0 (boş küme). 22. ve n'nin tam sayı olduğu tüm noktalar (m, n)

İki değişkenli fonksiyonların ekstremumları için gerekli ve yeterli koşullar. Bir noktanın belirli bir komşuluğunda fonksiyon tanımlanmışsa ve eşitsizliği karşılıyorsa, bir noktaya fonksiyonun minimum (maksimum) noktası denir (sırasıyla maksimum ve minimum noktalara fonksiyonun ekstremum noktaları denir).

Bir ekstremum için gerekli bir koşul. Bir fonksiyonun bir ekstremum noktasında ilk kısmi türevleri varsa, bu noktada bunlar yok olur. Böyle bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için bir denklem sistemini çözmek gerekir.Koordinatları bu sistemi sağlayan noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir. Bunların arasında maksimum noktalar, minimum puanlar olabileceği gibi ekstremum olmayan noktalar da olabilir.

Bir dizi kritik noktadan uç noktaları belirlemek için yeterli uç koşullar kullanılır ve aşağıda listelenmiştir.

Fonksiyonun kritik noktada sürekli ikinci kısmi türevleri olsun. Eğer bu noktada bu doğruysa

Koşul o zaman minimum nokta ve maksimum noktadır. Kritik bir noktada ise uç nokta değildir. Bu durumda kritik noktanın doğasının daha incelikli bir şekilde incelenmesi gerekir; bu durumda bu bir uç nokta olabilir veya olmayabilir.

Üç değişkenli fonksiyonların ekstremumları.Üç değişkenli bir fonksiyon durumunda, uç noktaların tanımları, iki değişkenli bir fonksiyon için karşılık gelen tanımları kelimesi kelimesine tekrarlar. Kendimizi bir fonksiyonu bir ekstremum için inceleme prosedürünü sunmakla sınırlıyoruz. Bir denklem sistemini çözerken, fonksiyonun kritik noktaları bulunmalı ve ardından her kritik noktadaki değerler hesaplanmalıdır.

Her üç nicelik de pozitif ise söz konusu kritik nokta minimum noktadır; eğer öyleyse bu kritik nokta maksimum noktadır.

İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumu. Bir noktaya, fonksiyonun tanımlandığı noktanın bir komşuluğu olması ve koordinatları denklemi karşılayan tüm noktaların (sırasıyla) olması koşuluyla, bir fonksiyonun koşullu minimum (maksimum) noktası denir.

Koşullu ekstremum noktaları bulmak için Lagrange fonksiyonunu kullanın

burada sayıya Lagrange çarpanı denir. Üç denklemli bir sistemin çözümü

Lagrange fonksiyonunun kritik noktalarını (aynı zamanda yardımcı faktör A'nın değerini) bulun. Bu kritik noktalarda koşullu bir ekstremum olabilir. Yukarıdaki sistem bir ekstremum için yalnızca gerekli koşulları sağlar, ancak yeterli koşulları sağlamaz: koşullu bir ekstremum noktası olmayan noktaların koordinatları tarafından karşılanabilir. Ancak çoğu zaman sorunun özüne dayanarak kritik noktanın niteliğini tespit etmek mümkündür.

Çok değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumu. Denklemlerle ilişkili olmaları şartıyla değişkenlerin bir fonksiyonunu ele alalım.