Sahip olmak standart görünüm$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, burada Sol Taraf denklem olarak adlandırılan bazı $F\left(x,y\right)$ fonksiyonunun toplam diferansiyelini temsil eder. tam diferansiyeller.

Toplam diferansiyellerdeki denklem her zaman $dF\left(x,y\right)=0$ şeklinde yeniden yazılabilir; burada $F\left(x,y\right)$, $dF\left(x,) şeklinde bir fonksiyondur. y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Denklemin her iki tarafını da entegre edelim $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; sıfırın sağ tarafının integrali keyfi bir sabit $C$'a eşittir. Böylece, ortak karar Bu denklemin örtülü formdaki hali $F\left(x,y\right)=C$ şeklindedir.

Belirli bir diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde bir denklem olabilmesi için $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ koşulunun sağlanması gerekli ve yeterlidir. tatmin olmak. Belirtilen koşul karşılanırsa, $F\left(x,y\right)$ işlevi vardır ve bunun için şunu yazabiliriz: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, bundan iki ilişki elde ederiz : $\frac(\ kısmi F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ve $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

İlk $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ilişkisini $x$ üzerinde entegre ederiz ve $F\left(x,y\right)=\int elde ederiz P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, burada $U\left(y\right)$, $y$'ın keyfi bir fonksiyonudur.

İkinci $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ ilişkisini sağlayacak şekilde seçelim. Bunu yapmak için, $F\left(x,y\right)$ için elde edilen ilişkiyi $y$'a göre farklılaştırırız ve sonucu $Q\left(x,y\right)$'a eşitleriz. Şunu elde ederiz: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\sağ)$.

Diğer çözüm ise:

• son eşitlikten şunu buluyoruz: $U"\left(y\right)$;
• $U"\left(y\right)$'ı entegre edin ve $U\left(y\right)$'ı bulun;
• $U\left(y\right)$'ı $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) eşitliğinde değiştirin $ ve son olarak $F\left(x,y\right)$ fonksiyonunu elde ederiz.

\

Farkı buluyoruz:

$U"\left(y\right)$'ı $y$ üzerinden entegre ederiz ve $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$'ı buluruz.

Sonucu bulun: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Genel çözümü $F\left(x,y\right)=C$ biçiminde yazıyoruz:

Belirli bir çözüm bulun $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, burada $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 dolar:

Kısmi çözüm şu şekildedir: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Tanım 8.4. Formun diferansiyel denklemi

Nerede
toplam diferansiyel denklem denir.

Böyle bir denklemin sol tarafının bazı fonksiyonların toplam diferansiyeli olduğuna dikkat edin.
.

Genel olarak denklem (8.4) şu şekilde temsil edilebilir:

Denklem (8.5) yerine denklemi dikkate alabiliriz.

,

çözümü denklem (8.4)'ün genel integralidir. Dolayısıyla denklem (8.4)'ü çözmek için fonksiyonu bulmak gerekir.
. Denklemin (8.4) tanımına uygun olarak, elimizde

(8.6)

İşlev
bu koşullardan birini (8.6) karşılayan bir fonksiyon arayacağız:

Nerede - bağımsız, keyfi bir işlev .

İşlev
ifadenin ikinci koşulu (8.6) karşılanacak şekilde tanımlanır

(8.7)

İfade (8.7)'den fonksiyon belirlenir
. Bunu ifadede yerine koyarsak
ve orijinal denklemin genel integralini elde edin.

Sorun 8.3. Denklemi Entegre Et

Burada
.

Dolayısıyla bu denklem toplam diferansiyellerdeki diferansiyel denklem türüne aittir. İşlev
bunu formda arayacağız

.

Diğer tarafta,

.

Bazı durumlarda durum
yerine getirilmeyebilir.

Daha sonra bu tür denklemler, integral faktörü olarak adlandırılan faktörle çarpılarak söz konusu türe indirgenir. Genel dava, yalnızca bir işlevdir veya .

Bazı denklemlerin yalnızca aşağıdakilere bağlı bir entegrasyon faktörü varsa , o zaman formülle belirlenir

ilişki nerede sadece bir fonksiyon olmalı .

Benzer şekilde, entegrasyon faktörü yalnızca şunlara bağlıdır: , formülle belirlenir

ilişki nerede
sadece bir fonksiyon olmalı .

Verilen ilişkilerde ilk durumda değişkenin yokluğu ve ikincisinde - değişken , belirli bir denklem için bir integral faktörünün varlığının bir işaretidir.

Sorun 8.4. Bu denklemi toplam diferansiyellerdeki bir denkleme dönüştürün.

.

İlişkiyi düşünün:

.

Konu 8.2. Doğrusal diferansiyel denklemler

Tanım 8.5. Diferansiyel denklem
İstenilen fonksiyona göre doğrusal ise doğrusal denir , onun türevi istenilen fonksiyonun çarpımını ve türevini içermez.

Doğrusal diferansiyel denklemin genel formu aşağıdaki ilişkiyle temsil edilir:

(8.8)

(8.8) ile ilgili ise sağ taraf
, o zaman böyle bir denkleme doğrusal homojen denir. Durumunda sağ kısım
, o zaman böyle bir denkleme doğrusal homojen olmayan denir.

Denklemin (8.8) karesel olarak integrallenebileceğini gösterelim.

İlk aşamada doğrusal bir homojen denklem ele alıyoruz.

Böyle bir denklem ayrılabilir değişkenleri olan bir denklemdir. Gerçekten mi,

;

/

Son ilişki doğrusal bir homojen denklemin genel çözümünü belirler.

Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünü bulmak için bir sabitin türevini değiştirme yöntemi kullanılır. Yöntemin fikri, doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünün, karşılık gelen homojen denklemin çözümüyle aynı formda olması, ancak keyfi bir sabit olmasıdır. bazı işlevlerle değiştirildi
belirlenecek. Böylece sahibiz:

(8.9)

(8.8) ilişkisinde karşılık gelen ifadelerin yerine konulması
Ve
, alıyoruz

Son ifadeyi (8.9) ilişkisinde değiştirerek, doğrusal homojen olmayan denklemin genel integralini elde ederiz.

Böylece, doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümü iki kareleme ile belirlenir: doğrusal homojen bir denklemin genel çözümü ve doğrusal homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümü.

Sorun 8.5. Denklemi Entegre Et

Dolayısıyla orijinal denklem, doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemlerin türüne aittir.

İlk aşamada doğrusal homojen denklemin genel çözümünü bulacağız.

;

İkinci aşamada, formda bulunan doğrusal homojen olmayan denklemin genel çözümünü belirliyoruz.

,

Nerede
- fonksiyon belirlenecek.

Böylece sahibiz:

İlişkileri yerine koymak Ve elde ettiğimiz orijinal doğrusal homojen olmayan denklemde:

;

;

.

Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümü şu şekilde olacaktır:

.

Bu konuda bir fonksiyonu toplam diferansiyelinden geri yükleme yöntemine bakacağız, problemlere örnekler vereceğiz. tam analizçözümler.

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 formundaki diferansiyel denklemlerin (DE), sol taraftaki bazı fonksiyonların tam diferansiyellerini içerebileceği görülür. Daha sonra fonksiyonu ilk önce toplam diferansiyelinden yeniden kurarsak diferansiyel denklemin genel integralini bulabiliriz.

örnek 1

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 denklemini düşünün. Sol taraf belirli bir fonksiyonun diferansiyelini içerir U(x, y) = 0. Bunu yapmak için ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunun karşılanması gerekir.

U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli şu şekildedir: d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunu dikkate alarak şunu elde ederiz:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Ortaya çıkan denklem sisteminden ilk denklemi dönüştürerek şunları elde edebiliriz:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

φ(y) fonksiyonunu daha önce elde edilen sistemin ikinci denkleminden bulabiliriz:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

İstenilen U (x, y) = 0 fonksiyonunu bu şekilde bulduk.

Örnek 2

(x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulun.

Çözüm

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Şartımız karşılandı.

Hesaplamalara dayanarak, orijinal diferansiyel denklemin sol tarafının, U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli olduğu sonucuna varabiliriz. Bu fonksiyonu bulmamız gerekiyor.

(x 2 - y 2) d x - 2 x y d y, U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli olduğundan, o zaman

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Sistemin ilk denklemini x'e göre integralleyelim:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Şimdi elde edilen sonucun y'ye göre türevini alıyoruz:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Sistemin ikinci denklemini dönüştürerek şunu elde ederiz: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Bu demektir
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

burada C keyfi bir sabittir.

Şunu elde ederiz: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Genel integral orijinal denklem x 3 3 - x y 2 + C = 0'dır.

Bilinen bir toplam diferansiyel kullanarak bir fonksiyonu bulmanın başka bir yöntemine bakalım. Sabit bir noktadan (x 0, y 0) değişken koordinatlara (x, y) sahip bir noktaya kadar eğrisel bir integralin kullanımını içerir:

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Bu gibi durumlarda integralin değeri hiçbir şekilde integralin yoluna bağlı değildir. Bağlantıları koordinat eksenlerine paralel olan kesikli bir çizgiyi entegrasyon yolu olarak alabiliriz.

Örnek 3

(y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulun.

Çözüm

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Diferansiyel denklemin sol tarafının, U (x, y) = 0 fonksiyonunun toplam diferansiyeli ile temsil edildiği ortaya çıktı. Bu fonksiyonu bulmak için noktanın çizgi integralini hesaplamak gerekir. (1 ; 1) önce (x, y). İntegral yolu olarak, bölümleri düz bir çizgiden geçecek olan kesikli bir çizgiyi alalım. y = 1(1, 1) noktasından (x, 1) noktasına ve sonra (x, 1) noktasından (x, y) noktasına:

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

x y - x y 2 + C = 0 formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü elde ettik.

Örnek 4

y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü belirleyin.

Çözüm

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x olduğundan, bu durumda koşul sağlanmayacaktır. Bu, diferansiyel denklemin sol tarafının fonksiyonun tam diferansiyeli olmadığı anlamına gelir. Bu, ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklemdir ve onu çözmek için diğer çözümler uygundur.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tanım: Formun denklemi

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

Sol tarafın iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli olduğu duruma toplam diferansiyel denklem denir.

İki değişkenli bu fonksiyonu F(x,y) ile gösterelim. O halde denklem (9) dF(x,y) = 0 olarak yeniden yazılabilir ve bu denklemin genel çözümü F(x,y) = C'dir.

(9) formunda bir denklem verilsin. Bunun bir toplam diferansiyel denklem olup olmadığını bulmak için ifadenin olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir.

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

iki değişkenin bazı fonksiyonlarının toplam diferansiyeli. Bunu yapmak için eşitliği kontrol etmeniz gerekir.

Belirli bir (10) ifadesi için, basit bağlantılı bir (S) bölgesinde eşitliğin (11) sağlandığını ve bu nedenle ifade (10), (S)'deki bir F(x,y) fonksiyonunun toplam diferansiyeli olduğunu varsayalım. ).

Bu antiderivatifi bulmak için aşağıdaki yöntemi ele alalım. Öyle bir F(x,y) fonksiyonu bulmak gerekir ki

burada fonksiyon (y) aşağıda tanımlanacaktır. Formül (12)'den şu sonuç çıkar:

(S) bölgesinin tüm noktalarında. Şimdi eşitliğin sağlanması için (y) fonksiyonunu seçelim.

Bunu yapmak için ihtiyacımız olan eşitliği (14), F(x,y) yerine formül (12)'ye göre değiştirerek yeniden yazıyoruz:

İntegral işareti altında y'ye göre türev alalım (P(x,y) ve - olduğundan bu yapılabilir) sürekli fonksiyonlar iki değişken):

(11)'e göre, (16)'daki integral işaretinin altını değiştirerek şunu elde ederiz:

Y üzerinde integral aldıktan sonra eşitliğin (14) sağlanacağı şekilde oluşturulmuş fonksiyonun kendisini (y) buluruz. (13) ve (14) eşitliklerini kullanarak şunu görüyoruz:

Alanlardaki). (18)

Örnek 5. Verilen diferansiyel denklemin toplam diferansiyel denklem olup olmadığını kontrol edin ve çözün.

Bu, toplam diferansiyellerdeki bir diferansiyel denklemdir. Aslında, atama yaparak şuna ikna olduk:

ve bu, ifadenin olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

bir U(x,y) fonksiyonunun toplam diferansiyelidir. Üstelik bunlar R'de sürekli olan fonksiyonlardır.

Bu nedenle, bu diferansiyel denklemin integralini almak için, diferansiyel denklemin sol tarafının toplam diferansiyel olduğu bir fonksiyon bulmanız gerekir. U(x,y) böyle bir fonksiyon olsun, o zaman

Sol ve sağ tarafların x üzerinde integralini alırsak şunu elde ederiz:

q(y)'yi bulmak için şu gerçeği kullanırız:

Bulunan μ(y) değerini (*) yerine koyarsak, sonunda U(x,y) fonksiyonunu elde ederiz:

Orijinal denklemin genel integrali şu şekildedir:

Birinci dereceden diferansiyel denklemlerin temel türleri (devamı).

Doğrusal diferansiyel denklemler

Tanım: Birinci dereceden bir doğrusal denklem, formun bir denklemidir

y" + P(x)y = f(x), (21)

burada P(x) ve f(x) sürekli fonksiyonlardır.

Denklemin adı y" türevinin şu şekilde olmasıyla açıklanmaktadır: doğrusal fonksiyon yani denklem (21)'i y" = - P(x) + f(x) biçiminde yeniden yazarsak, sağ tarafta y'nin yalnızca birinci kuvvetini içerir.

Eğer f(x) = 0 ise denklem

yґ+ P(x) y = 0 (22)

doğrusal denir homojen denklem. Açıkçası, homojen bir doğrusal denklem ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir:

y" +P(x)y = 0; ,

Eğer f(x)? 0, sonra denklem

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

lineer homojen olmayan denklem denir.

Genel olarak denklem (21)'deki değişkenler birbirinden ayrılamaz.

Denklem (21) şu şekilde çözülür: U(x) ve V(x) iki fonksiyonunun çarpımı şeklinde bir çözüm arayacağız:

Türevini bulalım:

y" = U"V + UV" (25)

ve bu ifadeleri denklem (1)'de değiştirin:

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Terimleri sol tarafta gruplayalım:

U"V + U = f(x). (26)

(24) faktörlerinden birine bir koşul koyalım, yani V(x) fonksiyonunun (26)'daki köşeli parantez içindeki ifadeyi aynı şekilde sıfıra döndürecek şekilde olduğunu varsayalım; diferansiyel denklemin bir çözümü olduğunu

V" + P(x)V = 0. (27)

Bu ayrılabilir değişkenleri olan bir denklemdir, ondan V(x)’i buluruz:

Şimdi, halihazırda bulunan V(x) fonksiyonu ile U V çarpımının (26) denkleminin bir çözümü olduğu bir U(x) fonksiyonu bulalım. Bunu yapmak için U(x)'in denklemin çözümü olması gerekir.

Bu ayrılabilir bir denklemdir, yani

Bulunan fonksiyonları (28) ve (30) formül (4)'te değiştirerek, denklem (21) için genel bir çözüm elde ederiz:

Dolayısıyla dikkate alınan yöntem (Bernoulli yöntemi) çözümü azaltır Doğrusal Denklem(21) ayrılabilir değişkenli iki denklemin çözümüne.

Örnek 6. Denklemin genel integralini bulun.

Bu denklem y ve y'ye göre doğrusal değildir, ancak x'in istenen fonksiyon ve y'nin de argüman olduğunu düşünürsek doğrusal olduğu ortaya çıkar.

Ortaya çıkan denklemi çözmek için ikame yöntemini (Bernoulli) kullanıyoruz. O halde denklemin çözümünü x(y)=U(y)V(y) formunda arayacağız. Denklemi elde ederiz:

V(y) fonksiyonunu öyle seçelim ki. Daha sonra

Toplam diferansiyellerde birinci dereceden diferansiyel denklem formun bir denklemidir:
(1) ,
denklemin sol tarafı bir U fonksiyonunun toplam diferansiyelidir (x, y) x, y değişkenlerinden:
.
burada.

Eğer böyle bir U fonksiyonu bulunursa (x, y) ise denklem şu şekli alır:
dÜ (x, y) = 0.
Genel integrali:
sen (x, y) = C,
burada C bir sabittir.

Birinci dereceden bir diferansiyel denklem türevi cinsinden yazılırsa:
,
o zaman onu şekle sokmak kolaydır (1) . Bunu yapmak için denklemi dx ile çarpın. Daha sonra . Sonuç olarak, diferansiyeller cinsinden ifade edilen bir denklem elde ederiz:
(1) .

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemin özelliği

Denklem için (1) Toplam diferansiyellerde bir denklem olsaydı, ilişkinin geçerli olması için gerekli ve yeterliydi:
(2) .

Kanıt

Ayrıca ispatta kullanılan tüm fonksiyonların tanımlı olduğunu ve x ve y değişkenlerinin bazı değer aralıklarında karşılık gelen türevlerine sahip olduğunu varsayıyoruz. x noktası 0 , y 0 da bu bölgeye aittir.

Koşulun gerekliliğini kanıtlayalım (2).
Denklemin sol tarafı olsun (1) bazı U fonksiyonlarının diferansiyelidir (x, y):
.
Daha sonra
;
.
İkinci türev türev alma sırasına bağlı olmadığından, o zaman
;
.
Bunu takip ediyor. Gereklilik koşulu (2) kanıtlanmış.

Koşulun yeterliliğini kanıtlayalım (2).
Koşul sağlansın (2) :
(2) .
Böyle bir U fonksiyonunu bulmanın mümkün olduğunu gösterelim. (x, y) diferansiyeli şöyledir:
.
Bu, böyle bir U fonksiyonunun olduğu anlamına gelir. (x, y) denklemleri karşılayan:
(3) ;
(4) .
Böyle bir fonksiyon bulalım. Denklemin integralini alalım (3) x'ten x'e göre 0 y'nin bir sabit olduğunu varsayarak x'e:
;
;
(5) .
X'in bir sabit olduğunu varsayarak y'ye göre türev alıyoruz ve uyguluyoruz (2) :

.
Denklem (4) halinde idam edilecek
.
y üzerinden y üzerinden entegre et 0 sana:
;
;
.
Yerine koy (5) :
(6) .
Böylece diferansiyeli olan bir fonksiyon bulduk.
.
Yeterliliği kanıtlanmıştır.

Formülde (6) ,U (x 0, y 0) bir sabittir - U fonksiyonunun değeri (x, y) x noktasında 0 , y 0. Herhangi bir değer atanabilir.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklem nasıl tanınır?

Diferansiyel denklemi düşünün:
(1) .
Bu denklemin toplam diferansiyellerde olup olmadığını belirlemek için koşulu kontrol etmeniz gerekir. (2) :
(2) .
Eğer geçerliyse, o zaman bu denklem toplam diferansiyellerdedir. Değilse, bu tam bir diferansiyel denklem değildir.

Örnek

Denklemin toplam diferansiyellerde olup olmadığını kontrol edin:
.

Çözüm

Burada
, .
X sabitini dikkate alarak y'ye göre türev alıyoruz:


.
Haydi farklılaşalım


.
Çünkü:
,
o zaman verilen denklem toplam diferansiyellerdedir.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemleri çözme yöntemleri

Sıralı diferansiyel ekstraksiyon yöntemi

En basit yöntem Denklemin toplam diferansiyellerde çözülmesi, diferansiyelin sıralı seçimi yöntemidir. Bunu yapmak için diferansiyel formda yazılmış farklılaşma formüllerini kullanırız:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Bu formüllerde u ve v, değişkenlerin herhangi bir birleşiminden oluşan keyfi ifadelerdir.

örnek 1

Denklemi çözün:
.

Çözüm

Daha önce bu denklemin toplam diferansiyellerde olduğunu bulmuştuk. Hadi dönüştürelim:
(P1) .
Diferansiyeli sırayla izole ederek denklemi çözeriz.
;
;
;
;

.
Yerine koy (P1):
;
.

Cevap

Ardışık entegrasyon yöntemi

Bu yöntemde U fonksiyonunu arıyoruz. (x, y), denklemleri karşılayan:
(3) ;
(4) .

Denklemin integralini alalım (3) x cinsinden, y sabiti dikkate alındığında:
.
burada φ (y)- belirlenmesi gereken keyfi bir y fonksiyonu. İntegral sabitidir. Denklemde yerine koy (4) :
.
Buradan:
.
İntegral aldığımızda φ'yi buluruz (y) ve dolayısıyla U (x, y).

Örnek 2

Denklemi toplam diferansiyellerde çözün:
.

Çözüm

Daha önce bu denklemin toplam diferansiyellerde olduğunu bulmuştuk. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
, .
İşlev U aranıyor (x, y) diferansiyeli denklemin sol tarafıdır:
.
Daha sonra:
(3) ;
(4) .
Denklemin integralini alalım (3) x cinsinden, y sabiti dikkate alındığında:
(P2)
.
y'ye göre farklılaştırın:

.
yerine koyalım (4) :
;
.
İntegral alalım:
.
yerine koyalım (P2):

.
Denklemin genel integrali:
sen (x, y) = sabit.
İki sabiti tek bir sabitte birleştiriyoruz.

Cevap

Bir eğri boyunca entegrasyon yöntemi

İlişkiyle tanımlanan U fonksiyonu:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
noktaları birleştiren eğri boyunca bu denklemin integrali alınarak bulunabilir (x 0, y 0) Ve (x, y):
(7) .
Çünkü
(8) ,
o zaman integral yalnızca başlangıçtaki koordinatlara bağlıdır (x 0, y 0) ve son (x, y) noktalardır ve eğrinin şekline bağlı değildir. İtibaren (7) Ve (8) bulduk:
(9) .
burada x 0 ve sen 0 - kalıcı. Bu nedenle U (x 0, y 0)- ayrıca sabit.

Kanıtta böyle bir U tanımının bir örneği elde edildi:
(6) .
Burada entegrasyon ilk önce noktadan y eksenine paralel bir doğru parçası boyunca gerçekleştirilir. (x 0, y 0) diyeceğim şey şu ki (x 0, y). Daha sonra noktadan itibaren x eksenine paralel bir doğru parçası boyunca entegrasyon gerçekleştirilir. (x 0, y) diyeceğim şey şu ki (x, y) .

Daha genel olarak, bir eğrinin bağlantı noktalarının denklemini temsil etmeniz gerekir. (x 0, y 0) Ve (x, y) parametrik formda:
X 1 = s(t1); sen 1 = r(t1);
X 0 = s(t 0); sen 0 = r(t0);
x = s (T); y = r (T);
ve t üzerinde integral 1 t'den 0 t'ye.

Entegrasyonu gerçekleştirmenin en kolay yolu bir segment bağlantı noktaları üzerindendir (x 0, y 0) Ve (x, y). Bu durumda:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; sen 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
T 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; ölmek 1 = (y - y 0) dt 1.
Yer değiştirmeden sonra t'nin integralini elde ederiz. 0 önce 1 .
Bu method Ancak oldukça hantal hesaplamalara yol açar.

Referanslar:
V.V. Stepanov, Diferansiyel denklemler dersi, "LKI", 2015.