Pirinç. 4.2. Takvim

Pirinç. 4.3. Takvim

Bir fonksiyonun dikey asimptotları ya ikinci türden süreksizlik noktalarında (fonksiyonun bir noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuzdur veya yoktur) ya da tanım alanının uçlarında aranmalıdır.
, Eğer
– sonlu sayılar.

Eğer fonksiyon
sayı doğrusunda tanımlıdır ve sonlu bir sınırı vardır
, veya
, daha sonra denklem tarafından verilen düz çizgi
, sağ yönlü yatay bir asimptottur ve düz bir çizgidir
- sol taraflı yatay asimptot.

Sonlu sınırlar varsa

Ve
,

o zaman düz
fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotudur. Eğik asimptot sağ tarafta da olabilir (
) veya solak (
).

İşlev
sette artan denir
, eğer herhangi biri için
, öyle ki >eşitsizlik geçerlidir:
>
(eğer azalıyorsa:
<
). Bir demet
bu durumda fonksiyonun monotonluk aralığı denir.

Bir fonksiyonun monotonluğu için aşağıdaki yeterli koşul geçerlidir: türevlenebilir bir fonksiyonun türevi kümenin içindeyse
pozitif (negatif) ise bu sette fonksiyon artar (azalır).

Örnek 4.5. Bir fonksiyon verildiğinde
. Artış ve azalma aralıklarını bulun.

Çözüm. Türevini bulalım
. Açıkça görülüyor ki >0 saat >3 ve <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) ve (3;) kadar artar
).

Nokta nokta denir yerel maksimum (minimum) işlevler
, eğer noktanın bir mahallesindeyse eşitsizlik geçerli
(
) . Bir noktada fonksiyon değeri isminde en çok en az). Maksimum ve minimum işlevler ortak bir adla birleştirilmiştir ekstremum işlevler.

Fonksiyonun gerçekleşebilmesi için
bu noktada bir ekstremum vardı bu noktadaki türevinin sıfıra eşit olması gerekir (
) veya mevcut değildi.

Bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu noktalara denir. sabit fonksiyon noktaları. Durağan bir noktada fonksiyonun bir ekstremumunun olması gerekmez. Ekstremi bulmak için, örneğin ekstremum için yeterli koşulları kullanarak fonksiyonun durağan noktalarını ek olarak incelemek gerekir.

Bunlardan ilki, eğer sabit bir noktadan geçerken Soldan sağa, diferansiyellenebilir fonksiyonun türevinin işareti artıdan eksiye değişir, ardından noktada yerel bir maksimuma ulaşılır. Eğer işaret eksiden artıya değişirse bu fonksiyonun minimum noktasıdır.

İncelenen noktadan geçerken türevin işareti değişmiyorsa bu noktada ekstremum yoktur.

Bir fonksiyonun sabit bir noktadaki ekstremumu için ikinci yeterli koşul, fonksiyonun ikinci türevini kullanır: eğer
<0, тоmaksimum noktadır ve eğer
>0 ise - minimum puan. Şu tarihte:
=0 ekstremum tipine ilişkin soru açık kalır.

İşlev
isminde dışbükey içbükey) sette
herhangi iki değer için ise
eşitsizlik geçerlidir:

.

Şekil 4.4. Dışbükey bir fonksiyonun grafiği

İki kere türevlenebilir bir fonksiyonun ikinci türevi ise
küme içinde pozitif (negatif)
, bu durumda fonksiyon kümede içbükey (dışbükey) olur
.

Sürekli bir fonksiyonun grafiğinin dönüm noktası
fonksiyonun dışbükey ve içbükey olduğu aralıkları ayıran noktaya denir.

İkinci türev
bir bükülme noktasında iki kez türevlenebilir fonksiyon sıfıra eşittir, yani
= 0.

Belirli bir noktadan geçerken ikinci türev ise işaretini değiştirir, sonra grafiğinin dönüm noktasıdır.

Bir fonksiyonu incelerken ve grafiğini çizerken aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

23. Diferansiyel fonksiyon kavramı. Özellikler. Diferansiyelin yaklaşık olarak uygulanması.hesaplamalar.

Diferansiyel fonksiyon kavramı

y=ƒ(x) fonksiyonunun x noktasında sıfırdan farklı bir türevi olsun.

Daha sonra, bir fonksiyon, onun limiti ve sonsuz küçük bir fonksiyon arasındaki bağlantı hakkındaki teoreme göre  у/х=ƒ"(x)+α yazabiliriz, burada α→0 ∆х→0'da veya ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Dolayısıyla, ∆у fonksiyonunun artışı, ∆x→0 için sonsuz küçük olan iki terimin ƒ"(x) ∆x ve a ∆x'in toplamıdır. Ayrıca, ilk terim, aşağıdaki gibi aynı dereceden sonsuz küçük bir fonksiyondur ∆x, çünkü ve ikinci terim ∆x'ten daha yüksek mertebeden sonsuz küçük bir fonksiyondur:

Bu nedenle, ilk terim ƒ"(x)*: ∆x olarak adlandırılır artışın ana kısmı fonksiyonlar ∆у.

Fonksiyon diferansiyeli x noktasındaki y=ƒ(x), fonksiyonun türevi ile argümanın artışının çarpımına eşit olan artışının ana kısmı olarak adlandırılır ve dу (veya dƒ(x)) ile gösterilir:

dy=ƒ"(x) ∆х. (1)

Dу diferansiyeline ayrıca denir birinci dereceden diferansiyel. Bağımsız x değişkeninin diferansiyelini, yani y=x fonksiyonunun diferansiyelini bulalım.

y"=x"=1 olduğundan, formül (1)'e göre elimizde dy=dx=∆x bulunur, yani bağımsız değişkenin diferansiyeli bu değişkenin artışına eşittir: dx=∆x.

Bu nedenle formül (1) şu şekilde yazılabilir:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

başka bir deyişle, bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun türevi ile bağımsız değişkenin diferansiyelinin çarpımına eşittir.

Formül (2)'den dy/dx=ƒ"(x) eşitliği elde edilir. Şimdi gösterim

dy/dx türevi, dy ve dx diferansiyellerinin oranı olarak düşünülebilir.

Diferansiyelaşağıdaki ana özelliklere sahiptir.

1. D(İle)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

D(İleu)=İled(u).

4. .

5. sen= F(z), , ,

Diferansiyelin biçimi değişmezdir (değişmez): argümanın basit veya karmaşık olmasına bakılmaksızın her zaman fonksiyonun türevinin ve argümanın diferansiyelinin çarpımına eşittir.

Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalara uygulanması

Zaten bilindiği gibi, у=ƒ(х) fonksiyonunun x noktasındaki ∆у artışı ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х olarak temsil edilebilir, burada α→0 ∆х→0'da, veya ∆у= dy+α ∆х ∆х'dan daha yüksek dereceli sonsuz küçük α ∆х'ı göz ardı ederek yaklaşık bir eşitlik elde ederiz.

∆y≈dy, (3)

Üstelik ∆х ne kadar küçükse bu eşitlik daha doğrudur.

Bu eşitlik, herhangi bir türevlenebilir fonksiyonun artışını büyük bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplamamıza olanak tanır.

Diferansiyeli bulmak genellikle bir fonksiyonun artışını bulmaktan çok daha kolaydır, bu nedenle formül (3) hesaplama uygulamalarında yaygın olarak kullanılır.

24. Terstürev fonksiyonu ve belirsizinci integral.

İLK FONKSİYON VE TAZMİNAT İNTEGRAL KAVRAMI

İşlev F (X) denir antiderivatif fonksiyon bu işlev için F (X) (veya kısaca, antiderivatif bu fonksiyon F (X)) belirli bir aralıkta, eğer bu aralıktaysa . Örnek. Fonksiyon, fonksiyonun tüm sayısal eksen üzerindeki ters türevidir, çünkü herhangi bir X. Bir fonksiyonla birlikte for'un antiderivatifinin, formun herhangi bir fonksiyonu olduğuna dikkat edin; İLE- keyfi bir sabit sayı (bu, bir sabitin türevinin sıfıra eşit olduğu gerçeğinden kaynaklanır). Bu özellik genel durumda da geçerlidir.

Teorem 1. If ve are fonksiyonun iki antiderivatifi ise F (X) belirli bir aralıkta ise, bu aralıkta aralarındaki fark sabit bir sayıya eşittir. Bu teoremden şu sonuç çıkar: Eğer herhangi bir antiderivatif biliniyorsa F (X) bu fonksiyonun F (X), daha sonra tüm antiderivatifler seti F (X) işlevler tarafından tüketilir F (X) + İLE. İfade F (X) + İLE, Nerede F (X) - fonksiyonun ters türevi F (X) Ve İLE- keyfi bir sabit denir belirsiz integral fonksiyondan F (X) ve sembolü ile gösterilir ve F (X) denir integral fonksiyonu ; - integrand , X - entegrasyon değişkeni ; ∫ - belirsiz integralin işareti . Dolayısıyla tanım gereği Eğer . Bir soru ortaya çıktı: herkes için işlevler F (X) bir antiderivatif ve dolayısıyla belirsiz bir integral var mı? Teorem 2. Eğer fonksiyon F (X) sürekli Açık [ A ; B], ardından işlev için bu segmentte F (X) bir antiderivatif var . Aşağıda sadece sürekli fonksiyonlar için antiderivatiflerden bahsedeceğiz. Dolayısıyla bu bölümde daha sonra ele alacağımız integraller mevcuttur.

25. Belirsizin özellikleriVeintegral. İntegraltemel temel işlevlerden.

Belirsiz integralin özellikleri

Aşağıdaki formüllerde F Ve G- değişken işlevler X, F- fonksiyonun antiderivatifi F, a, k, C- sabit değerler.







Temel fonksiyonların integralleri

Rasyonel fonksiyonların integrallerinin listesi

(sıfırın terstürevi bir sabittir; herhangi bir entegrasyon limiti dahilinde sıfırın integrali sıfıra eşittir)

Logaritmik fonksiyonların integrallerinin listesi

Üstel fonksiyonların integrallerinin listesi

İrrasyonel fonksiyonların integrallerinin listesi

("uzun logaritma")

trigonometrik fonksiyonların integrallerinin listesi , ters trigonometrik fonksiyonların integrallerinin listesi

26. İkame yöntemideğişken, belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon yöntemi.

Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

İkame yoluyla entegrasyon yöntemi, yeni bir entegrasyon değişkeninin (yani ikame) getirilmesini içerir. Bu durumda verilen integral tablo halindeki veya ona indirgenebilen yeni bir integrale indirgenir. Yer değiştirmeleri seçmek için genel bir yöntem yoktur. Oyuncu değişikliğini doğru şekilde belirleme yeteneği uygulama yoluyla kazanılır.

Diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplamalar

Bu derste yaygın bir soruna bakacağız diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerinin yaklaşık olarak hesaplanması. Burada ve daha sonra birinci dereceden diferansiyellerden bahsedeceğiz; kısaca söylemek gerekirse, genellikle basitçe "diferansiyel" diyeceğim. Diferansiyelleri kullanarak yaklaşık hesaplamalar probleminin katı bir çözüm algoritması vardır ve bu nedenle herhangi bir özel zorluk ortaya çıkmamalıdır. Tek şey, temizlenecek küçük tuzakların da olmasıdır. Bu yüzden önce kafanıza dalmaktan çekinmeyin.

Ayrıca sayfa, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını bulmaya yönelik formüller içerir. Diğer problemlerde hataların hesaplanması gerektiğinden materyal çok faydalıdır. Fizikçiler, alkışlarınız nerede? =)

Örneklere başarılı bir şekilde hakim olmak için, fonksiyonların türevlerini en azından orta düzeyde bulabilmelisiniz, bu nedenle türev alma konusunda tam bir bilginiz yoksa lütfen dersle başlayın. Türevi nasıl bulunur? Ayrıca makaleyi okumanızı tavsiye ederim Türevlerle ilgili en basit problemler yani paragraflar bir noktadaki türevi bulma hakkında Ve noktadaki farkı bulma. Teknik açıdan, çeşitli matematiksel işlevlere sahip bir mikro hesap makinesine ihtiyacınız olacak. Excel'i kullanabilirsiniz, ancak bu durumda daha az kullanışlıdır.

Çalıştay iki bölümden oluşuyor:

– Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanarak yaklaşık hesaplamalar.

– İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

Kimin neye ihtiyacı var? Aslında ikinci noktanın çok değişkenli fonksiyonların uygulamalarıyla ilgili olması nedeniyle serveti iki yığına bölmek mümkündü. Ama ne yapayım, uzun yazıları seviyorum.

Yaklaşık hesaplamalar
tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanma

Söz konusu görev ve geometrik anlamı, Türev nedir? dersinde zaten ele alınmıştır. ve şimdi kendimizi örneklerin resmi olarak değerlendirilmesiyle sınırlayacağız, bu da onları nasıl çözeceğimizi öğrenmek için oldukça yeterli.

İlk paragrafta tek değişkenli fonksiyon kuralları yer alıyor. Herkesin bildiği gibi veya ile gösterilir. Bu görev için ikinci gösterimi kullanmak çok daha uygundur. Hemen pratikte sıklıkla karşılaşılan popüler bir örneğe geçelim:

örnek 1

Çözüm: Lütfen diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplama için çalışma formülünü not defterinize kopyalayın:

Hadi anlamaya başlayalım, burada her şey basit!

İlk adım bir fonksiyon oluşturmaktır. Koşula göre, sayının küp kökünün hesaplanması önerilmektedir: , böylece karşılık gelen fonksiyon şu şekilde olur: . Yaklaşık değeri bulmak için formülü kullanmamız gerekir.

Şuna bakalım Sol Taraf formüller ve 67 sayısının formda temsil edilmesi gerektiği düşüncesi akla geliyor. Bunu yapmanın en kolay yolu nedir? Aşağıdaki algoritmayı öneriyorum: bu değeri bir hesap makinesinde hesaplayın:
– kuyruklu 4 olduğu ortaya çıktı, bu çözüm için önemli bir kılavuzdur.

Kalite olarak “iyi” bir değer seçiyoruz, böylece kök tamamen kaldırılır. Doğal olarak bu değer şu şekilde olmalıdır: mümkün olduğunca yakın 67'ye kadar. Bu durumda: . Gerçekten mi: .

Not: Seçimde hala zorluk yaşanıyorsa hesaplanan değere bakın (bu durumda ), en yakın tamsayı kısmını (bu durumda 4) alın ve onu gerekli güce (bu durumda) yükseltin. Sonuç olarak gerekli seçim yapılacaktır: .

Eğer ise, argümanın artışı: .

Yani 67 sayısı toplam olarak temsil edilir

Öncelikle fonksiyonun noktadaki değerini hesaplayalım. Aslında bu daha önce de yapılmıştı:

Bir noktadaki diferansiyel aşağıdaki formülle bulunur:
- Ayrıca not defterinize de kopyalayabilirsiniz.

Formülden birinci türevi almanız gerektiği anlaşılmaktadır:

Ve değerini şu noktada bulun:

Böylece:

Her şey hazır! Formüle göre:

Bulunan yaklaşık değer, değere oldukça yakındır. , bir mikro hesap makinesi kullanılarak hesaplanır.

Cevap:

Örnek 2

Fonksiyonun artışlarını diferansiyeli ile değiştirerek yaklaşık olarak hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonundaki cevap. Yeni başlayanlar için öncelikle mikro hesap makinesinde tam değeri hesaplayarak hangi sayının hangi sayı olarak alındığını bulmanızı öneririm. Bu örnekte negatif olacağına dikkat edilmelidir.

Bazıları, her şey bir hesap makinesinde daha sakin ve daha doğru bir şekilde hesaplanabiliyorsa, bu göreve neden ihtiyaç duyulduğunu merak etmiş olabilir? Katılıyorum, görev aptalca ve safça. Ama bunu biraz haklı çıkarmaya çalışacağım. İlk olarak görev diferansiyel fonksiyonun anlamını göstermektedir. İkincisi, eski zamanlarda hesap makinesi, modern zamanlarda kişisel helikoptere benzer bir şeydi. 1985-86'da yerel bir politeknik enstitüsünden oda büyüklüğünde bir bilgisayarın nasıl atıldığını kendim gördüm (şehrin her yerinden radyo amatörleri tornavidalarla koşarak geldiler ve birkaç saat sonra geriye sadece kasa kaldı) birim). Fizik ve matematik bölümümüzde de, boyutları daha küçük olmasına rağmen masa büyüklüğünde antikalar vardı. Atalarımız yaklaşık hesaplama yöntemleriyle bu şekilde mücadele etti. At arabası da ulaşımdır.

Öyle ya da böyle, sorun yüksek matematiğin standart dersinde kalıyor ve çözülmesi gerekecek. Sorunun asıl cevabı bu =)

Örnek 3

noktada . Mikro hesap makinesi kullanarak bir noktadaki fonksiyonun daha doğru değerini hesaplayın, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını değerlendirin.

Aslında aynı görev kolaylıkla şu şekilde yeniden formüle edilebilir: “Yaklaşık değeri hesapla bir diferansiyel kullanarak"

Çözüm: Bilinen formülü kullanıyoruz:
Bu durumda hazır bir fonksiyon zaten verilmiştir: . Kullanımının daha rahat olduğu gerçeğine bir kez daha dikkatinizi çekmek isterim.

Değer formda sunulmalıdır. Eh, burada daha kolay, 1,97 sayısının “iki”ye çok yakın olduğunu görüyoruz, yani kendini belli ediyor. Ve bu nedenle: .

Formül kullanma , aynı noktadaki farkı hesaplayalım.

İlk türevi buluyoruz:

Ve bu noktada değeri:

Böylece, noktadaki diferansiyel:

Sonuç olarak formüle göre:

Görevin ikinci kısmı hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını bulmaktır.

Hesaplamaların mutlak ve bağıl hatası

Mutlak hesaplama hatası aşağıdaki formülle bulunur:

Modül işareti, hangi değerin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu umursamadığımızı gösterir. Önemli, ne kadar uzak yaklaşık sonuç, kesin değerden şu veya bu yönde saptı.

Bağıl hesaplama hatası aşağıdaki formülle bulunur:
veya aynı şey:

Göreceli hata gösterir yüzde kaç yaklaşık sonuç kesin değerden saptı. Formülün %100 ile çarpmayan bir versiyonu da var ama pratikte neredeyse her zaman yukarıdaki versiyonu yüzdelerle görüyorum.

Kısa bir referanstan sonra fonksiyonun yaklaşık değerini hesapladığımız problemimize dönelim. bir diferansiyel kullanarak.

Bir mikro hesap makinesi kullanarak fonksiyonun tam değerini hesaplayalım:
Kesin olarak konuşursak, değer hala yaklaşıktır, ancak bunun doğru olduğunu kabul edeceğiz. Bu tür sorunlar yaşanıyor.

Mutlak hatayı hesaplayalım:

Göreceli hatayı hesaplayalım:
yüzde binde biri elde edildi, dolayısıyla diferansiyel mükemmel bir yaklaşım sağladı.

Cevap: , mutlak hesaplama hatası, bağıl hesaplama hatası

Bağımsız bir çözüm için aşağıdaki örnek:

Örnek 4

Diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın noktada . Belirli bir noktada fonksiyonun daha doğru bir değerini hesaplayın, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını tahmin edin.

Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonundaki cevap.

Pek çok kişi, ele alınan tüm örneklerde köklerin bulunduğunu fark etmiştir. Bu tesadüfi değildir; çoğu durumda, söz konusu problemde aslında kökleri olan işlevler önerilmektedir.

Ancak sıkıntı çeken okuyucular için arcsine ile küçük bir örnek buldum:

Örnek 5

Diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın noktada

Bu kısa ama bilgilendirici örnek aynı zamanda kendi başınıza çözmeniz içindir. Ve yenilenmiş bir güçle özel görevi düşünebilmem için biraz dinlendim:

Örnek 6

Diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplama yapın, sonucu iki ondalık basamağa yuvarlayın.

Çözüm: Görevdeki yenilikler neler? Koşul, sonucun iki ondalık basamağa yuvarlanmasını gerektirir. Ama mesele bu değil; bence okuldan dönme sorunu senin için zor değil. Gerçek şu ki bize bir teğet veriliyor derece cinsinden ifade edilen bir argümanla. Dereceli bir trigonometrik fonksiyonu çözmeniz istendiğinde ne yapmalısınız? Örneğin, vb.

Çözüm algoritması temelde aynıdır, yani önceki örneklerde olduğu gibi formülün uygulanması gerekir.

Açık bir fonksiyon yazalım

Değer formda sunulmalıdır. Ciddi yardım sağlayacak trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosu. Bu arada, çıktısını almamış olanlar için bunu yapmanızı tavsiye ederim, çünkü yüksek matematik eğitiminin tamamı boyunca oraya bakmak zorunda kalacaksınız.

Tabloyu analiz ettiğimizde 47 dereceye yakın “iyi” bir teğet değeri görüyoruz:

Böylece:

Ön analiz sonrasında dereceler radyana dönüştürülmelidir. Evet ve yalnızca bu şekilde!

Bu örnekte doğrudan trigonometrik tablodan öğrenebilirsiniz. Dereceleri radyana dönüştürmek için formülü kullanma: (formüller aynı tabloda bulunabilir).

Aşağıdakiler formülseldir:

Böylece: (değeri hesaplamalar için kullanırız). Sonuç, koşulun gerektirdiği şekilde iki ondalık basamağa yuvarlanır.

Cevap:

Örnek 7

Yaklaşık olarak bir diferansiyel kullanarak hesaplayın, sonucu üç ondalık basamağa yuvarlayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok, dereceleri radyana dönüştürüyoruz ve olağan çözüm algoritmasına bağlı kalıyoruz.

Yaklaşık hesaplamalar
iki değişkenli bir fonksiyonun tam diferansiyelini kullanma

Her şey çok ama çok benzer olacak, bu nedenle bu sayfaya özellikle bu görev için geldiyseniz, önce önceki paragrafın en az birkaç örneğine bakmanızı öneririm.

Bir paragrafı incelemek için bulmanız gerekir ikinci dereceden kısmi türevler, Onlar olmasa nerede olurduk? Yukarıdaki derste iki değişkenli bir fonksiyonu harfini kullanarak gösterdim. Söz konusu görevle ilgili olarak eşdeğer gösterimin kullanılması daha uygundur.

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, problemin durumu da farklı şekillerde formüle edilebilir ve karşılaşılan tüm formülasyonları dikkate almaya çalışacağım.

Örnek 8

Çözüm: Koşul nasıl yazılırsa yazılsın, çözümün kendisinde işlevi belirtmek için tekrar ediyorum, "z" harfini değil, harfini kullanmak daha iyidir.

Ve işte çalışma formülü:

Karşımızda olan aslında bir önceki paragraftaki formülün ablasıdır. Değişken yalnızca arttı. Kendi adıma ne diyebilirim çözüm algoritması temelde aynı olacaktır!

Koşula göre fonksiyonun noktadaki yaklaşık değerinin bulunması gerekmektedir.

3,04 sayısını şu şekilde temsil edelim. Çöreğin kendisi yenmeyi ister:
,

3,95 sayısını şu şekilde temsil edelim. Sıra Kolobok'un ikinci yarısına geldi:
,

Ve tilkinin tüm numaralarına bakmayın, bir Kolobok var - onu yemeniz gerekiyor.

Fonksiyonun değerini bu noktada hesaplayalım:

Bir fonksiyonun bir noktadaki diferansiyelini aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

Formülden bulmamız gerektiği anlaşılıyor kısmi türevler birinci dereceden ve noktadaki değerlerini hesaplayın.

Bu noktada birinci dereceden kısmi türevleri hesaplayalım:

Noktadaki toplam diferansiyel:

Dolayısıyla formüle göre fonksiyonun şu noktadaki yaklaşık değeri:

Fonksiyonun tam değerini şu noktada hesaplayalım:

Bu değer kesinlikle doğrudur.

Hatalar, bu makalede daha önce tartışılan standart formüller kullanılarak hesaplanır.

Mutlak hata:

Göreceli hata:

Cevap:, mutlak hata: , bağıl hata:

Örnek 9

Bir fonksiyonun yaklaşık değerini hesaplayın Toplam diferansiyel kullanarak bir noktada mutlak ve bağıl hatayı tahmin edin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu örnek üzerinde daha ayrıntılı olarak duran kişi, hesaplama hatalarının çok ama çok belirgin olduğunu fark edecektir. Bunun nedeni şuydu: önerilen problemde argümanların artışları oldukça büyük: . Genel kalıp şudur: Mutlak değerdeki bu artışlar ne kadar büyükse, hesaplamaların doğruluğu da o kadar düşük olur. Yani örneğin benzer bir nokta için artışlar küçük olacak ve yaklaşık hesaplamaların doğruluğu çok yüksek olacaktır.

Bu özellik aynı zamanda tek değişkenli bir fonksiyon için de geçerlidir (dersin ilk kısmı).

Örnek 10

Çözüm: İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak bu ifadeyi yaklaşık olarak hesaplayalım:

Örnek 8-9'dan farkı, öncelikle iki değişkenli bir fonksiyon oluşturmamız gerekmesidir: . Sanırım herkes fonksiyonun nasıl oluşturulduğunu sezgisel olarak anlıyor.

4,9973 değeri “beş”e yakındır, dolayısıyla: , .
0,9919 değeri “bir”e yakındır, dolayısıyla şunu varsayıyoruz: , .

Fonksiyonun değerini bu noktada hesaplayalım:

Aşağıdaki formülü kullanarak bir noktadaki farkı buluruz:

Bunu yapmak için noktadaki birinci dereceden kısmi türevleri hesaplıyoruz.

Buradaki türevler en basitleri değildir ve dikkatli olmalısınız:

;

.

Noktadaki toplam diferansiyel:

Dolayısıyla bu ifadenin yaklaşık değeri şöyledir:

Mikro hesap makinesi kullanarak daha doğru bir değer hesaplayalım: 2,998899527

Göreceli hesaplama hatasını bulalım:

Cevap: ,

Yukarıdakilerin sadece bir örneği, ele alınan problemde argümanların artışları çok küçük ve hatanın inanılmaz derecede küçük olduğu ortaya çıktı.

Örnek 11

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak bu ifadenin değerini yaklaşık olarak hesaplayın. Aynı ifadeyi bir mikro hesap makinesi kullanarak hesaplayın. Göreceli hesaplama hatasını yüzde olarak tahmin edin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Daha önce de belirtildiği gibi, bu tür görevlerde en yaygın konuk bir tür köklerdir. Ancak zaman zaman başka işlevler de vardır. Ve rahatlamak için son ve basit bir örnek:

Örnek 12

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak, fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm sayfanın alt kısmına daha yakındır. Bir kez daha ders görevlerinin ifadelerine dikkat edin; pratikteki farklı örneklerde ifadeler farklı olabilir ancak bu, çözümün özünü ve algoritmasını temelden değiştirmez.

Doğrusunu söylemek gerekirse materyal biraz sıkıcı olduğundan biraz yoruldum. Bunu makalenin başında söylemek pedagojik değildi ama artık mümkün =) Aslında hesaplamalı matematikteki problemler genellikle çok karmaşık değil, çok ilginç de değil, belki de en önemli şey hata yapmamaktır. sıradan hesaplamalarda.

Hesap makinenizin tuşları silinmesin!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Böylece:
Cevap:

Örnek 4: Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

AmaΔ sen = Δ F(X 0) fonksiyonun artışıdır ve F (X 0) Δ x = df(X 0) – diferansiyel fonksiyon.

Bu yüzden sonunda elde ettik

Teorem 1. y = f fonksiyonu olsun(X) x noktasında 0 sonlu bir türevi vardır f (X 0)≠0. Daha sonra yeterince küçük değerler için Δ x için keyfi olarak doğru olan yaklaşık eşitlik (1) vardır. Δ X→ 0.

Böylece fonksiyonun noktadaki diferansiyeli X 0, fonksiyonun bu noktadaki artışına yaklaşık olarak eşittir.

Çünkü o zaman eşitlikten (1) elde ederiz

en Δ X→ 0 (2)

en X→ X 0 (2  )

Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi olduğundan sen= F(X) noktada X 0 gibi görünüyor

, O yaklaşık eşitlikler (1)-(2) geometrik olarak x=x noktasına yakın anlamına gelir 0 y=f fonksiyonunun grafiği(X) yaklaşık olarak y = f eğrisine bir teğet ile değiştirilir(X).

Yeterince küçük değerler için, fonksiyonun toplam artışı ve diferansiyel biraz farklılık gösterir; . Bu durum yaklaşık hesaplamalar için kullanılır.

Örnek 1. Yaklaşık olarak hesapla .

Çözüm. İşlevi düşünün ve koy X 0 = 4, X= 3,98. O halde Δ X =X –X 0 = – 0,02, F(X 0)= 2. 'den beri, o halde F (X 0)=1/4=0,25. Bu nedenle, formül (2)'yi kullanarak nihayet şunu elde ederiz: .

Örnek 2. Bir fonksiyonun diferansiyelini kullanarak fonksiyonun değerinin yaklaşık olarak ne kadar değişeceğini belirleyin sen=F(X)=(3X 3 +5)∙tg4 X argümanının değeri azaldığında X 0 = 0, 0,01.

Çözüm. (1)’den dolayı fonksiyondaki değişiklik y = f(X) noktada X 0, D'nin yeterince küçük değerleri için bu noktadaki fonksiyonun diferansiyeline yaklaşık olarak eşittir X:

Fonksiyonun diferansiyelini hesaplayalım df(0). Bizde D var X= –0,01. Çünkü F (X)= 9X 2 ∙tg4 X + ((3X 3 +5)/ çünkü 2 4 X)∙4, o zaman F (0)=5∙4=20 ve df(0)=F (0)∙Δ X= 20·(–0,01) = –0,2.

Bu nedenle Δ F(0) ≈ –0,2, yani değeri azaltırken X 0 = 0 fonksiyon argümanından 0,01'e kadar fonksiyon değerinin kendisi sen=F(X) yaklaşık 0,2 oranında azalacaktır.

Örnek 3. Bir ürün için talep fonksiyonu şu şekilde olsun: . Bir ürün için talep edilen miktarı bir fiyata bulmanız gerekir P 0 =3 para birimi ve bir ürünün fiyatı 0,2 para birimi azaldığında talebin yaklaşık olarak ne kadar artacağını belirleyin.

Çözüm. Bir fiyata P 0 =3 para birimi talep hacmi Q 0 =D(P 0)=270/9=30 birim. mal. Fiyat değişikliği Δ P= –0,2 den. birimler (1) Δ nedeniyle Q (P 0) ≈ dQ (P 0). Bir ürüne olan talep hacmindeki farkı hesaplayalım.

O zamandan beri D (3) = –20 ve

talep hacmi farkı dQ(3) = D  (3)∙Δ P= –20·(–0,2) = 4. Dolayısıyla Δ Q(3) ≈ 4, yani Bir ürünün fiyatı düştüğünde P 0 =3/0,2 para birimi başına ürüne olan talep hacmi yaklaşık 4 birim artacak ve yaklaşık 30 + 4 = 34 birim ürüne eşit olacaktır.

Kendi kendine test soruları

1. Bir fonksiyonun diferansiyeline ne denir?

2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin geometrik anlamı nedir?

3. Diferansiyel fonksiyonun temel özelliklerini listeleyiniz.

3. Bir fonksiyonun yaklaşık değerini diferansiyelini kullanarak bulmanızı sağlayan formüller yazın.