İşlev y = f (X) X kümesinin her bir x elemanının, Y kümesinin bir ve yalnızca bir y elemanı ile ilişkili olduğu bir yasadır (kuraldır).
Eleman x ∈ X isminde fonksiyon argümanı veya bağımsız değişken.
Eleman y ∈ Y isminde fonksiyon değeri veya bağımlı değişken.
X kümesi denir fonksiyonun alanı.
y öğeleri kümesi ∈ Y X kümesinde ön görüntüleri olanlara denir alan veya fonksiyon değerleri kümesi.
Gerçek fonksiyon çağrılır yukarıdan sınırlı (aşağıdan) eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu bir M sayısı varsa:
.
Sayı fonksiyonu çağrılır sınırlı, eğer herkes için öyle bir M sayısı varsa:
.
Üst kenar veya kesin üst sınır
Gerçek bir fonksiyona, değer aralığını yukarıdan sınırlayan en küçük sayı denir. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri s′'yi aşan bir argümanın olduğu bir s sayısıdır: .
Bir fonksiyonun üst sınırı şu şekilde gösterilebilir:
.
Sırasıyla alt kenar veya kesin alt sınır Gerçek bir fonksiyona, değer aralığını aşağıdan sınırlayan en büyük sayı denir. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri i′'den küçük olan bir argümanın bulunduğu bir i sayısıdır: .
Bir fonksiyonun infimumu şu şekilde gösterilebilir:
.
Bir fonksiyonun limitini belirleme
Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
Uç noktalarda fonksiyonun sonlu sınırları
Fonksiyonun, noktanın kendisi hariç olmak üzere, bitiş noktasının bir komşuluğunda tanımlandığını varsayalım. herhangi biri için öyle bir şey varsa, bir noktada, eşitsizliğin geçerli olduğu tüm x'ler için
.
Bir fonksiyonun limiti şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
.
Tek taraflı sınırlar.
Bir noktada sol sınır (sol taraftaki sınır):
.
Bir noktada sağ limit (sağ limit):
.
Sol ve sağ sınırlar genellikle şu şekilde gösterilir:
;
.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki noktalardaki sonlu limitleri
Sonsuz noktalardaki limitler de benzer şekilde belirlenir.
.
.
.
Genellikle şu şekilde anılırlar:
;
;
.
Bir noktanın komşuluğu kavramını kullanma
Bir noktanın delikli komşuluğu kavramını ortaya koyarsak, o zaman bir fonksiyonun sonlu ve sonsuz uzak noktalardaki sonlu limitinin birleşik bir tanımını verebiliriz:
.
Burada uç noktalar için
;
;
.
Sonsuzdaki noktaların herhangi bir komşuluğu delinir:
;
;
.
Sonsuz Fonksiyon Limitleri
Tanım
Fonksiyonun bir noktanın delinmiş bir komşuluğunda (sonlu veya sonsuzda) tanımlandığını varsayalım. f fonksiyonunun limiti (X) x → x olarak 0
sonsuza eşittir, herhangi bir keyfi büyük sayı için M > 0
, bir δ M sayısı var > 0
M'ye bağlı olarak, noktanın delinmiş δ M - mahallesine ait tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
Sonsuz sınır şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun sonsuz limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
.
Ayrıca ve'ye eşit belirli işaretlerin sonsuz sınırlarının tanımlarını da girebilirsiniz:
.
.
Bir fonksiyonun limitinin evrensel tanımı
Bir noktanın komşuluğu kavramını kullanarak, bir fonksiyonun sonlu ve sonsuz limitinin hem sonlu (iki taraflı ve tek taraflı) hem de sonsuz uzaklıktaki noktalar için geçerli olan evrensel bir tanımını verebiliriz:
.
Heine'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
Fonksiyonun bir X kümesi üzerinde tanımlı olmasına izin verin: .
a sayısına fonksiyonun limiti denir noktada:
,
x'e yakınsayan herhangi bir dizi için 0
:
,
elemanları X kümesine ait olan: ,
.
Bu tanımı varoluş ve evrensellik mantıksal sembollerini kullanarak yazalım:
.
Eğer x noktasının sol taraftaki komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak 0 sonra sol limitin tanımını elde ederiz. Eğer sağ el ise sağ limitin tanımını elde ederiz. Sonsuzdaki bir noktanın komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak, bir fonksiyonun sonsuzdaki limitinin tanımını elde ederiz.
Teorem
Bir fonksiyonun limitinin Cauchy ve Heine tanımları eşdeğerdir.
Kanıt
Bir fonksiyonun limitinin özellikleri ve teoremleri
Ayrıca, söz konusu fonksiyonların, sonlu bir sayı veya aşağıdaki sembollerden biri olan noktanın karşılık gelen komşuluğunda tanımlandığını varsayıyoruz: . Aynı zamanda tek taraflı bir sınır noktası da olabilir, yani veya şeklinde olabilir. Komşuluk, iki taraflı bir limit için iki taraflı, tek taraflı bir limit için ise tek taraflıdır.
Temel özellikler
Eğer f fonksiyonunun değerleri (X) sonlu sayıda x noktasını değiştirin (veya tanımsız hale getirin) 1, x 2, x 3, ... x n ise bu değişiklik fonksiyonun rastgele bir x noktasındaki limitinin varlığını ve değerini etkilemeyecektir. 0 .
Eğer sonlu bir limit varsa, o zaman x noktasının delinmiş bir komşuluğu vardır. 0
f fonksiyonu burada (X) sınırlı:
.
Fonksiyonun x noktasında olmasına izin verin 0
sıfır olmayan sonlu limit:
.
O halde, aralığındaki herhangi bir c sayısı için, x noktasının böyle bir delikli komşuluğu vardır. 0
ne için,
, Eğer ;
, Eğer .
Eğer noktanın delinmiş bir komşuluğunda , bir sabit ise, o zaman .
Eğer x noktasının bazı delinmiş komşuluklarında ve sonlu limitler varsa 0
,
O .
Eğer , ve noktanın bazı mahallelerinde
,
O .
Özellikle, eğer bir noktanın bazı mahallelerindeyse
,
o zaman eğer , o zaman ve ;
eğer , o zaman ve .
Eğer bir x noktasının delinmiş bir mahallesindeyse 0
:
,
ve sonlu (veya belirli bir işaretin sonsuz) eşit sınırları vardır:
, O
.
Ana özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Bir fonksiyonun limitlerinin temel özellikleri."
Bir fonksiyonun limitinin aritmetik özellikleri
Fonksiyonlar ve noktasının bazı delinmiş mahallelerinde tanımlansın. Ve sonlu sınırlar olsun:
Ve .
Ve C bir sabit, yani belirli bir sayı olsun. Daha sonra
;
;
;
, Eğer .
Eğer öyleyse.
Aritmetik özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Bir fonksiyonun limitlerinin aritmetik özellikleri".
Bir fonksiyonun limitinin varlığına ilişkin Cauchy kriteri
Teorem
Sonlu veya sonsuz uzaklıktaki bir x noktasının delinmiş bazı komşuluklarında tanımlanan bir fonksiyon için 0
, bu noktada sonlu bir limite sahip olduğundan, herhangi bir ε için gerekli ve yeterlidir. > 0
x noktasının öyle delikli bir mahallesi vardı ki 0
, herhangi bir nokta için ve bu komşuluktan itibaren aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun limiti
Limit teoremi karmaşık fonksiyon
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bir noktanın delinmiş komşuluğunu bir noktanın delinmiş komşuluğuna eşleyin. Fonksiyon bu komşuluk üzerinde tanımlansın ve üzerinde bir limit olsun.
İşte son veya sonsuz uzaklıktaki noktalar: . Mahalleler ve onlara karşılık gelen sınırlar iki taraflı veya tek taraflı olabilir.
O halde karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve bu şuna eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun limit teoremi, fonksiyon bir noktada tanımlanmadığında veya limitten farklı bir değere sahip olduğunda uygulanır. Bu teoremi uygulamak için, fonksiyonun değer kümesinin noktayı içermediği noktanın delinmiş bir komşuluğu olmalıdır:
.
Eğer fonksiyon bu noktada sürekli ise argümana limit işareti uygulanabilir. sürekli fonksiyon:
.
Aşağıdaki bu duruma karşılık gelen bir teoremdir.
Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem
g fonksiyonunun bir limiti olsun (T) t → t olarak 0
ve x'e eşittir 0
:
.
İşte t noktası 0
sonlu veya sonsuz uzaklıkta olabilir: .
Ve f fonksiyonuna izin verin (X) x noktasında süreklidir 0
.
O halde f karmaşık fonksiyonunun bir limiti vardır. (g(t)) ve f'ye eşittir (x0):
.
Teoremlerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Karmaşık bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği".
Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar
Sonsuz küçük fonksiyonlar
Tanım
Bir fonksiyona sonsuz küçük denirse
.
Toplam, fark ve ürün sonlu sayıda sonsuz küçük fonksiyonun içinde sonsuz küçük bir fonksiyondur.
Sınırlı bir fonksiyonun çarpımı noktanın bazı delinmiş komşuluklarında, sonsuz küçük bir at'ye kadar, bir at sonsuz küçük fonksiyondur.
Bir fonksiyonun sonlu bir limite sahip olması için gerekli ve yeterlidir.
,
nerede - sonsuz küçük fonksiyon.
"Sonsuz küçük fonksiyonların özellikleri".
Sonsuz büyük işlevler
Tanım
Bir fonksiyona sonsuz büyük denirse
.
Noktanın bazı delinmiş komşuluklarındaki sınırlı bir fonksiyon ile sonsuz büyük bir fonksiyonun toplamı veya farkı sonsuzdur harika fonksiyon.
Eğer fonksiyon için sonsuz büyükse ve fonksiyon noktanın bazı delinmiş komşuluklarında sınırlıysa, o zaman
.
Eğer fonksiyon, noktanın bazı delinmiş komşuluklarında eşitsizliği sağlıyorsa:
,
ve fonksiyon şu noktada sonsuz küçüktür:
, ve (noktanın bazı delinmiş mahallelerinde), sonra
.
Özelliklerin kanıtları bölümde sunulmuştur.
"Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri".
Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki ilişki
Önceki iki özellikten sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki bağlantı çıkar.
Eğer bir fonksiyon noktasında sonsuz büyükse, o zaman fonksiyon noktasında sonsuz küçüktür.
Bir fonksiyon ve için sonsuz küçükse, o zaman fonksiyon için sonsuz büyüktür.
Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyon arasındaki ilişki sembolik olarak ifade edilebilir:
,
.
Eğer sonsuz küçük bir fonksiyon, noktasında belirli bir işarete sahipse, yani noktanın bazı delinmiş komşuluklarında pozitif (veya negatif) ise, o zaman bu gerçek şu şekilde ifade edilebilir:
.
Aynı şekilde, eğer sonsuz büyük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, o zaman şunu yazarlar:
.
O halde sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki sembolik bağlantı aşağıdaki ilişkilerle desteklenebilir:
,
,
,
.
Sonsuzluk sembolleriyle ilgili ek formülleri sayfada bulabilirsiniz
"Sonsuzluğu işaret eden noktalar ve özellikleri."
Monoton fonksiyonların limitleri
Tanım
X gerçel sayılarından oluşan bir küme üzerinde tanımlanan bir fonksiyona denir kesinlikle artıyor, eğer hepsi için aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse:
.
Buna göre, kesinlikle azalıyor fonksiyonunda aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
İçin azalmayan:
.
İçin artmayan:
.
Buradan kesin olarak artan bir fonksiyonun aynı zamanda azalmadığı sonucu çıkar. Kesinlikle azalan bir fonksiyon aynı zamanda artmayandır.
Fonksiyon çağrılır monoton azalmıyor veya artmıyorsa.
Teorem
Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin.
Yukarıda M sayısıyla sınırlıysa, o zaman sonlu bir limit vardır. Yukarıdan sınırlı değilse, o zaman .
Eğer aşağıdan m sayısı kadar sınırlıysa, o zaman sonlu bir sınır vardır. Aşağıdan sınırlı değilse, o zaman .
Eğer a ve b noktaları sonsuzda ise ifadelerdeki limit işaretleri şunu ifade eder.
Bu teorem daha kompakt bir şekilde formüle edilebilir.
Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin. O zaman a ve b noktalarında tek taraflı limitler vardır:
;
.
Artmayan bir fonksiyon için benzer bir teorem.
Fonksiyonun, olduğu aralıkta artmamasına izin verin. Sonra tek taraflı sınırlar var:
;
.
Teoremin kanıtı sayfada sunulmuştur.
"Monotonik fonksiyonların sınırları".
Referanslar:
L.D. Kudryavtsev. Kuyu matematiksel analiz. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.
Çözüm çevrimiçi işlev sınırları. Bir fonksiyonun veya fonksiyonel dizinin bir noktadaki sınırlayıcı değerini bulun, hesaplayın nihai fonksiyonun sonsuzdaki değeri. Bir sayı serisinin yakınsaklığını belirlemek ve çok daha fazlasını yapmak bizim sayemizde yapılabilir. çevrimiçi servis- . İşlev sınırlarını çevrimiçi olarak hızlı ve doğru bir şekilde bulmanızı sağlıyoruz. Sen kendin gir fonksiyon değişkeni ve çabaladığı sınıra göre hizmetimiz sizin için tüm hesaplamaları yaparak doğru ve basit bir cevap verir. Ve için Sınırı çevrimiçi bulma değişmez ifadede hem sayısal serileri hem de sabitleri içeren analitik fonksiyonları girebilirsiniz. Bu durumda fonksiyonun bulunan limiti bu sabitleri ifadede sabit argümanlar olarak içerecektir. Hizmetimiz her türlü karmaşık bulma sorununu çözer çevrimiçi sınırlar, fonksiyonu ve hesaplamanın gerekli olduğu noktayı belirtmek yeterlidir fonksiyonun sınır değeri. Hesaplanıyor çevrimiçi sınırlar, kullanabilirsiniz çeşitli metodlar ve bunların çözümlerine ilişkin kurallar, elde edilen sonucu kontrol ederken çevrimiçi sınırları çözme www.sitede görevin başarıyla tamamlanmasına yol açacak - kendi hatalarınızdan ve yazım hatalarınızdan kaçınacaksınız. Veya fonksiyonun limitini bağımsız olarak hesaplamak için ekstra çaba ve zaman harcamadan, bize tamamen güvenebilir ve sonucumuzu çalışmanızda kullanabilirsiniz. Sonsuzluk gibi sınır değerlerin girilmesine izin veriyoruz. Bir sayı dizisinin ortak bir üyesini girmek gerekir ve www.site değerini hesaplayacak çevrimiçi sınırlama artı veya eksi sonsuza kadar.
Matematiksel analizin temel kavramlarından biri fonksiyon sınırı Ve dizi sınırı bir noktada ve sonsuzda doğru çözebilmek önemlidir sınırlar. Hizmetimizle bu zor olmayacak. Bir karar veriliyor çevrimiçi sınırlar Birkaç saniye içinde cevap doğru ve eksiksiz olur. Matematiksel analiz çalışması şu şekilde başlar: sınıra geçiş, sınırlar yüksek matematiğin neredeyse tüm alanlarında kullanılır, bu nedenle elinizin altında bir sunucunun olması faydalıdır. çevrimiçi limit çözümleri, bu site.
Bir fonksiyonun bir noktada ve bir noktada limiti
Bir fonksiyonun limiti matematiksel analizin ana aracıdır. Onun yardımıyla bir fonksiyonun sürekliliği, türevi, integrali ve bir serinin toplamı daha sonra belirlenir.
Fonksiyon y olsun=F(X)noktanın bazı mahallelerinde tanımlanmış 
belki de konunun kendisi dışında 
.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin iki eşdeğer tanımını formüle edelim.
Tanım 1 (“dizilerin dilinde” veya Heine'ye göre). Sayı B isminde fonksiyonun sınırı
sen=F(X)
noktada
(ya da ne zaman 
), eğer geçerli argüman değerlerinin herhangi bir dizisi içinse 
yakınsamak
(onlar. 
), karşılık gelen fonksiyon değerlerinin sırası 
bir sayıya yakınsar B(onlar. 
).
Bu durumda yazıyorlar 
veya 
en 
. Bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamı: 
tüm noktalar için anlamına gelir X, noktaya yeterince yakın
, fonksiyonun karşılık gelen değerleri sayıdan istenildiği kadar az farklılık gösterir B.
Tanım 2 ("dilde"veya Cauchy'ye göre). Sayı B isminde fonksiyonun sınırı
sen=F(X)
noktada
(ya da ne zaman 
), eğer herhangi bir pozitif sayı için pozitif bir sayı varsa, öyle ki hepsi için 
eşitsizliği tatmin etmek 
eşitsizlik geçerli 
.
Yaz 
.
Bu tanım kısaca şu şekilde yazılabilir:
dikkat et ki 
bu şekilde yazılabilir 
.
G 
Bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamı: 
, eğer noktanın herhangi bir mahallesi içinse B noktanın öyle bir mahallesi var ki
bu herkes için 
bu komşuluktan fonksiyonun karşılık gelen değerleri F
(X) noktanın mahallesinde yer alır B. Başka bir deyişle fonksiyonun grafiğindeki noktalar sen
=
F
(X) düz çizgilerle sınırlandırılmış 2 genişliğinde bir şerit içinde yer alır en
= B + ,
en = B (Şekil 17). Açıkçası, 'nın değeri seçimine bağlıdır, dolayısıyla = () yazarlar.
Örnek Kanıtla 
Çözüm
. Keyfi bir 0 alalım ve = () 0'ı bulalım ki hepsi için X 
eşitsizlik geçerli 
. Den beri 
onlar. 
, sonra alarak 
bunu herkeste görüyoruz X eşitsizliğin sağlanması 
eşitsizlik geçerli 
. Buradan, 
Örnek Bunu kanıtla F
(X) =
İle, O 
.
Çözüm
. İçin 
alabilirsin 
. sonra 
sahibiz . Buradan, 
.
Bir fonksiyonun limitini tanımlarken 
Buna inanılıyor X için çabalıyor
herhangi bir şekilde: daha az kalmak
(solunda
), daha büyük
(Hakları için
) veya bir nokta etrafında dalgalanıyor
.
Bir argümana yaklaşma yönteminin Xİle
fonksiyon limitinin değerini önemli ölçüde etkiler. Bu nedenle tek taraflı limit kavramı ortaya atılmıştır.
Tanım. Sayı 
isminde fonksiyonun sınırı
sen=F(X)
sol
noktada
, herhangi bir 0 sayısı için = () 0 sayısı varsa öyle ki 
eşitsizlik geçerli 
.
Soldaki limit şu şekilde yazılır 
veya kısaca 
(Dirichlet notasyonu) (Şekil 18).
Benzer şekilde tanımlanmış sağdaki fonksiyonun limiti , sembolleri kullanarak yazalım:
Kısaca sağdaki limit belirtilmektedir 
.
P 
Bir fonksiyonun soldaki ve sağdaki kısımlarına denir tek yönlü sınırlar
. Açıkçası, eğer varsa 
, o zaman her iki tek taraflı limit de mevcuttur ve 
.
Bunun tersi de doğrudur: eğer her iki sınır da mevcutsa 
Ve 
ve eşitlerse bir sınır vardır 
Ve .
Eğer 
, O 
bulunmuyor.
Tanım. Fonksiyona izin ver sen=F(X) aralıkta tanımlanır 
. Sayı B isminde fonksiyonun sınırı
sen=F(X)
en
X , herhangi bir 0 sayısı için böyle bir sayı varsa M
= M() 0, bu da hepsi için X eşitsizliğin sağlanması 
eşitsizlik geçerli 
. Bu tanımı kısaca şu şekilde yazabiliriz:
e 
eğer X +, sonra yazarlar 
, Eğer X , sonra yazarlar 
, Eğer 
=
, o zaman genel anlamları genellikle belirtilir 
.
Bu tanımın geometrik anlamı şu şekildedir: 
, şu saatte 
Ve 
karşılık gelen fonksiyon değerleri sen=F(X) noktanın komşuluğuna düşer B, yani grafik noktaları 2 genişliğinde, düz çizgilerle sınırlanmış bir şeritte yer alır 
Ve 
(Şekil 19).
İşlev sınırı- sayı A Değişim sürecinde bu değişken miktar süresiz olarak yaklaşırsa, bazı değişken miktarların limiti olacaktır. A.
Veya başka bir deyişle sayı A fonksiyonun sınırıdır y = f(x) noktada x 0, eğer fonksiyonun tanım kümesindeki herhangi bir nokta dizisi eşit değilse x 0 ve bu noktaya yakınlaşan x 0 (lim x n = x0), karşılık gelen fonksiyon değerlerinin sırası sayıya yakınsar A.
Sonsuza giden bir argüman verildiğinde limiti şuna eşit olan bir fonksiyonun grafiği: L:
Anlam A dır-dir fonksiyonun limiti (sınır değeri) f(x) noktada x 0 herhangi bir nokta dizisi olması durumunda 
, yakınsayan x 0, ancak içermeyen x 0 unsurlarından biri olarak (yani delinmiş bölgede) x 0), fonksiyon değerleri dizisi 
yakınsar A.
Cauchy fonksiyonunun limiti.
Anlam A olacak fonksiyonun sınırı f(x) noktada x 0 negatif olmayan herhangi bir sayı için önceden alınmışsa ε karşılık gelen negatif olmayan sayı bulunacaktır δ = δ(ε) öyle ki her argüman için X, koşulu karşılayan 0 < | x - x0 | < δ eşitsizlik giderilecek | f(x)A |< ε .
Limitin özünü ve onu bulmanın temel kurallarını anlarsanız çok basit olacaktır. Fonksiyonun limiti nedir F (X) en X için çabalamak A eşittir A, şu şekilde yazılır:
Ayrıca değişkenin yöneldiği değer X, yalnızca bir sayı değil aynı zamanda sonsuz (∞) olabilir, bazen +∞ veya -∞ olabilir ya da hiç limit olmayabilir.
Nasıl olduğunu anlamak için bir fonksiyonun sınırlarını bulmaÇözüm örneklerine bakmak en iyisidir.
Fonksiyonun limitlerini bulmak gerekiyor F (x) = 1/Xşurada:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
İlk limite bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için basitçe değiştirebilirsiniz X eğilimi olan sayı, yani 2, şunu elde ederiz:
Fonksiyonun ikinci limitini bulalım. Burayı değiştir saf formu bunun yerine 0 X bu imkansız çünkü 0'a bölemezsiniz. Fakat sıfıra yakın değerler alabiliriz örneğin 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 vb. ve fonksiyonun değeri F (X) artacak: 100; 1000; 10000; 100.000 vb. Böylece, ne zaman olduğu anlaşılabilir. X→ 0 limit işaretinin altındaki fonksiyonun değeri sınırsız olarak artacaktır yani. sonsuzluğa doğru çabala. Bunun anlamı:
Üçüncü sınıra gelince. Önceki durumda olduğu gibi aynı durum, ikame edilemez ∞ en saf haliyle. Sınırsız artış durumunu dikkate almamız gerekiyor X. 1000'i birer birer yerine koyuyoruz; 10000; 100000 ve benzeri, fonksiyonun değerine sahibiz F (x) = 1/X azalacak: 0,001; 0,0001; 0,00001; vb. sıfıra doğru yöneliyor. Bu yüzden:
Fonksiyonun limitini hesaplamak gerekir 
İkinci örneği çözmeye başladığımızda belirsizlik görüyoruz. Buradan pay ve paydanın en yüksek derecesini buluyoruz - bu x 3, pay ve paydadaki parantezlerden çıkarırız ve ardından şu şekilde azaltırız:
Cevap 
İlk adım bu sınırı bulmak, bunun yerine 1 değerini değiştirin X bu da belirsizliğe yol açıyor. Bunu çözmek için payı çarpanlara ayıralım ve bunu kök bulma yöntemini kullanarak yapalım. ikinci dereceden denklem x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ d=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x 2= 1.
Yani pay şöyle olacaktır:
Cevap 
Bu, onun spesifik değerinin veya fonksiyonun düştüğü, limitle sınırlı olan belirli bir alanın tanımıdır.
Sınırları çözmek için kuralları izleyin:
Özünü ve ana noktasını anladıktan sonra limit çözme kuralları, bunları nasıl çözeceğinize dair temel bir anlayışa sahip olacaksınız.
Sabit sayı A isminde sınır diziler(xn) herhangi bir keyfi küçük pozitif sayı için iseε > 0 tüm değerleri içeren bir N sayısı var xn n>N için eşitsizliği karşılar
|x n - a|< ε. (6.1)
Aşağıdaki gibi yazın: veya x n → A.
Eşitsizlik (6.1) çift eşitsizliğe eşdeğerdir
a-ε< x n < a + ε, (6.2)
yani puanlar xn n>N gibi bir sayıdan başlayarak (a-) aralığının içinde yer alır.ε, a+ ε ), yani. herhangi bir küçüklüğe düşmekε -bir noktanın komşuluğu A.
Limiti olan diziye denir yakınsak, aksi takdirde - farklı.
Fonksiyon limiti kavramı, dizi limiti kavramının bir genellemesidir, çünkü bir dizinin limiti, bir tamsayı bağımsız değişkeninin x n = f(n) fonksiyonunun limiti olarak düşünülebilir. N.
f(x) fonksiyonu verilsin ve A - sınır noktası bu fonksiyonun tanım alanı D(f), yani. herhangi bir komşuluğu D(f) kümesinin aşağıdaki noktalardan başka noktalarını içeren böyle bir nokta A. Nokta A D(f) kümesine ait olabilir veya olmayabilir.
Tanım 1.A sabit sayısına denir sınır işlevler f(x) en x→a, eğer argüman değerlerinin herhangi bir dizisi (xn) içinse A karşılık gelen diziler (f(x n)) aynı A limitine sahiptir.
Bu tanım denir Heine'ye göre bir fonksiyonun limitini tanımlayarak, veya " sıra dilinde”.
Tanım 2. A sabit sayısına denir sınır işlevler f(x) en x→a, eğer keyfi olarak küçük bir pozitif sayı belirterek ε, böyle bir δ bulunabilir>0 (ε'ya bağlı olarak)), ki bu herkes içindir X, yatıyorsayının ε-komşulukları A, yani İçin X eşitsizliğin sağlanması
0 <
x-a< ε
f(x) fonksiyonunun değerleri şu şekilde olacaktır:ε-A sayısının mahallesi, yani.|f(x)-A|<
ε.
Bu tanım denir Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitini tanımlayarak, veya “ε - δ dilinde “.
Tanım 1 ve 2 eşdeğerdir. Eğer f(x) fonksiyonu x →bir var sınır, A'ya eşit, bu formda yazılır
. (6.3)
Herhangi bir yaklaşım yöntemi için (f(x n)) dizisinin sınırsız artması (veya azalması) durumunda X senin sınırına kadar A o zaman f(x) fonksiyonunun sahip olduğunu söyleyeceğiz. sonsuz sınır, ve forma yazın:
Limiti sıfır olan bir değişkene (yani bir diziye veya fonksiyona) denir sonsuz derecede küçük.
Limiti sonsuza eşit olan değişkene denir sonsuz büyüklükte.
Uygulamada limiti bulmak için aşağıdaki teoremler kullanılır.
Teorem 1 . Her sınır mevcutsa
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Yorum. 0/0 gibi ifadeler, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - örneğin iki sonsuz küçük veya sonsuz büyük niceliğin oranı belirsizdir ve bu tür bir limitin bulunmasına "belirsizliklerin ortaya çıkarılması" adı verilir.
Teorem 2. (6.7)
onlar. özellikle sabit bir üslü kuvvete dayalı olarak limite gidilebilir, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorem 3.
(6.10)
(6.11)
Nerede e » 2.7 - doğal logaritmanın tabanı. Formüllere (6.10) ve (6.11) ilk denir harika sınır ve ikinci dikkate değer sınır.
Formül (6.11)'in sonuçları pratikte de kullanılır:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
özellikle limit,
eğer x → a ve aynı zamanda x > a, sonra x yazın→a + 0. Eğer özellikle a = 0 ise, 0+0 sembolü yerine +0 yazın. Benzer şekilde eğer x→a ve aynı zamanda x 
ve buna göre çağrılırlar sağ sınır Ve sol sınır işlevler f(x) noktada A. f(x) fonksiyonunun x→ şeklinde bir limiti olması içina gerekli ve yeterlidir, böylece 
. f(x) fonksiyonu çağrılır sürekli noktada x 0 eğer limit
. (6.15)
Koşul (6.15) şu şekilde yeniden yazılabilir:
,
yani bir fonksiyonun işareti altındaki limite geçiş, belirli bir noktada sürekli olması durumunda mümkündür.
Eşitlik (6.15) ihlal edilirse şunu söyleriz: en x = xo işlev f(x) Var açıklık y = 1/x fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun tanım alanı kümedir. R x = 0 hariç. x = 0 noktası D(f) kümesinin bir sınır noktasıdır, çünkü onun herhangi bir komşuluğunda, yani. 0 noktasını içeren herhangi bir açık aralıkta D(f)'den noktalar vardır, ancak kendisi bu kümeye ait değildir. f(x o)= f(0) değeri tanımlı değildir, dolayısıyla x o = 0 noktasında fonksiyon bir süreksizliğe sahiptir.
f(x) fonksiyonu çağrılır noktada sağda sürekli x o eğer limit
,
Ve noktada solda sürekli x o, eğer limit
.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği evet bu noktada hem sağa hem de sola doğru sürekliliğine eşdeğerdir.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için evetÖrneğin sağda öncelikle sonlu bir limitin olması, ikinci olarak da bu limitin f(xo)'ye eşit olması gerekir. Dolayısıyla bu iki koşuldan en az birinin sağlanamaması durumunda fonksiyon süreksizliğe sahip olacaktır.
1. Eğer limit mevcutsa ve f(xo)'ye eşit değilse, o zaman şunu söylerler: işlev f(x) noktada x o var birinci türden kopma, veya sıçramak.
2. Limit ise+∞ veya -∞ veya mevcut değilse, o zaman şunu söylüyorlar: nokta evet fonksiyonun süreksizliği var ikinci tür.
Örneğin, fonksiyon y = karyola x, x'te→ +0'ın +∞'a eşit bir sınırı vardırBu, x=0 noktasında ikinci türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir. Fonksiyon y = E(x) (tam sayı kısmı) X) tam apsisli noktalarda birinci türden süreksizlikler veya sıçramalar vardır.
Aralığın her noktasında sürekli olan fonksiyona denir sürekli V. Sürekli bir fonksiyon katı bir eğri ile temsil edilir.
Bir miktarın sürekli büyümesiyle ilgili birçok sorun, ikinci dikkate değer sınıra yol açmaktadır. Bu tür görevler örneğin şunları içerir: bileşik faiz yasasına göre mevduatların büyümesi, ülke nüfusunun büyümesi, radyoaktif maddelerin bozulması, bakterilerin çoğalması vb.
Hadi düşünelim Ya.I. Perelman örneği, sayının yorumunu vererek e Bileşik faiz probleminde. Sayı e bir sınır var 
. Tasarruf bankalarında her yıl sabit sermayeye faiz parası eklenir. Katılım daha sık gerçekleşirse, faiz oluşumunda daha büyük bir miktar söz konusu olduğundan sermaye daha hızlı büyür. Tamamen teorik, çok basitleştirilmiş bir örneği ele alalım. Bankaya 100 denye yatırılsın. birimler yıllık %100 esasına göre. Faiz parası ancak bir yıl sonra sabit sermayeye eklenirse bu süre içinde 100 den. birimler 200 para birimine dönüşecek. Şimdi 100 inkarın neye dönüşeceğini görelim. Her altı ayda bir sabit sermayeye faiz parası eklenirse birim. Altı ay sonra 100 den. birimler 100'e çıkacak×
1,5 = 150 ve altı ay sonra - 150×
1,5 = 225 (den. birim). Katılım yılın her 1/3'ünde yapılırsa, bir yıl sonra 100 den. birimler 100'e dönüşecek× (1 +1/3) 3" 237 (den. birim). Faiz parası ekleme şartlarını 0,1 yıla kadar, 0,01 yıla kadar, 0,001 yıla kadar vb. artıracağız. Sonra 100 den. birimler bir yıl sonra şöyle olacak:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. birim),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. birim),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. birim).
Faiz ekleme koşullarında sınırsız bir azalma ile birikmiş sermaye süresiz olarak büyümez, ancak yaklaşık 271'e eşit belirli bir sınıra yaklaşır. Yıllık% 100 yatırılan sermaye, tahakkuk eden faiz olsa bile 2,71 katından fazla artamaz. limit nedeniyle her saniye sermayeye eklendi
Örnek 3.1.Bir sayı serisinin limit tanımını kullanarak, x n =(n-1)/n dizisinin 1'e eşit bir limite sahip olduğunu kanıtlayın.
Çözüm.Ne olursa olsun bunu kanıtlamamız gerekiyor.ε > 0 ne alırsak alalım onun için bir şeyler var doğal sayı N, öyle ki her n N için eşitsizlik geçerli|x n -1|< ε.
Herhangi bir e > 0 alalım. Çünkü ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, o zaman N'yi bulmak için 1/n eşitsizliğini çözmek yeterlidir< e. Dolayısıyla n>1/ e ve bu nedenle N, 1/'nin tamsayı kısmı olarak alınabilir. e , N = E(1/ e ). Böylece limitin olduğunu kanıtlamış olduk.
Örnek 3.2
. Ortak bir terimle verilen bir dizinin limitini bulun 
.
Çözüm.Toplam teoreminin limitini uygulayalım ve her terimin limitini bulalım. ne zaman→ ∞ her terimin pay ve paydası sonsuza eğilimlidir ve bölüm limit teoremini doğrudan uygulayamayız. Bu nedenle önce dönüştürüyoruz xn, birinci terimin pay ve paydasını şuna bölmek: n 2 ve ikincisi N. Daha sonra bölümün limitini ve toplam teoreminin limitini uygulayarak şunu buluruz:
.
Örnek 3.3. 
. Bulmak .
Çözüm. 
.
Burada derecenin limiti teoremini kullandık: Bir derecenin limiti, tabanın limitinin derecesine eşittir.
Örnek 3.4
. Bulmak ( 
).
Çözüm.Formda belirsizlik olduğundan farkların limiti teoremini uygulamak imkansızdır. ∞-∞ . Genel terimin formülünü dönüştürelim:
.
Örnek 3.5 . f(x)=2 1/x fonksiyonu veriliyor. Hiçbir sınırın olmadığını kanıtlayın.
Çözüm.Bir fonksiyonun limitinin 1 numaralı tanımını bir dizi boyunca kullanalım. 0'a yakınsayan bir ( x n ) dizisini ele alalım; f(x n)= değerinin farklı diziler için farklı davrandığını gösterelim. xn = 1/n olsun. Açıkçası, o zaman sınır 
Şimdi şu şekilde seçelim xn ortak terimi x n = -1/n olan ve yine sıfıra yaklaşan bir dizi. 
Bu nedenle herhangi bir sınır yoktur.
Örnek 3.6 . Hiçbir sınırın olmadığını kanıtlayın.
Çözüm.x 1 , x 2 ,..., x n ,... bir dizi olsun;
. (f(x n)) = (sin x n) dizisi farklı x n → ∞ için nasıl davranır?
Eğer x n = p n ise, sin x n = sin p hepsi için n = 0 N ve limit ise
x n =2 p n+ p /2, bu durumda sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hepsi için 1 N ve dolayısıyla sınır. Yani mevcut değil.
Çevrimiçi limitleri hesaplamak için widget
Üst pencerede sin(x)/x yerine limitini bulmak istediğiniz fonksiyonu girin. Alt pencerede x'in yöneldiği sayıyı girin ve Hesapla düğmesini tıklayın, istediğiniz limiti elde edin. Sonuç penceresinde sağ üst köşedeki Adımları göster seçeneğine tıklarsanız ayrıntılı bir çözüm elde edersiniz.
Fonksiyon girme kuralları: sqrt(x)- Kare kök, cbrt(x) - küp kökü, exp(x) - üs, ln(x) - doğal logaritma, sin(x) - sinüs, cos(x) - kosinüs, tan(x) - tanjant, cot(x) - kotanjant, arksin(x) - arksinüs, arkcos(x) - arkkosinüs, arktan(x) - arktanjant. İşaretler: * çarpma, / bölme, ^ üs, bunun yerine sonsuzluk Sonsuzluk. Örnek: fonksiyon sqrt(tan(x/2)) olarak girilir.
