Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi

P.Romanov, T.Romanova,
Magnitogorsk,
Çelyabinsk bölgesi

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi

Makale, İTAKA+ Otel Kompleksi'nin desteğiyle yayınlandı. Gemi yapımcılarının Severodvinsk şehrinde kalırken geçici konut bulma sorunuyla karşılaşmayacaksınız. , otel kompleksi “ITHAKA+” http://itakaplus.ru web sitesinde, günlük ödemeyle istediğiniz dönem için şehirde bir daireyi kolayca ve hızlı bir şekilde kiralayabilirsiniz.

Açık modern sahne Eğitimin geliştirilmesinde ana görevlerden biri yaratıcı düşünen bir kişiliğin oluşmasıdır. Öğrencilerde yaratıcılık yeteneği ancak araştırma faaliyetlerinin temellerine sistematik olarak dahil olmaları durumunda geliştirilebilir. Öğrencilerin yaratıcı güçlerini, yeteneklerini ve yeteneklerini kullanabilmelerinin temeli tam teşekküllü bilgi ve becerilerden oluşur. Bu bağlamda, okul matematik dersinin her konusu için bir temel bilgi ve beceri sistemi oluşturma sorunu hiç de azımsanmayacak bir öneme sahiptir. Aynı zamanda, tam teşekküllü beceriler didaktik bir hedef olmalıdır. bireysel görevler, ancak dikkatlice düşünülmüş sistemleri. En geniş anlamda bir sistem, bütünlüğe ve istikrarlı bir yapıya sahip, birbirine bağlı, etkileşimli öğeler kümesi olarak anlaşılmaktadır.

Öğrencilere bir fonksiyonun grafiğine teğet için denklem yazmayı öğreten bir teknik düşünelim. Esasen, teğet denklemi bulmayla ilgili tüm problemler, belirli bir gereksinimi karşılayan bir dizi (paket, aile) çizgi arasından seçim yapma ihtiyacına iner - bunlar belirli bir fonksiyonun grafiğine teğettir. Bu durumda seçimin gerçekleştirileceği satır kümesi iki şekilde belirlenebilir:

a) xOy düzleminde yer alan bir nokta (merkezi çizgi kalemi);
b) açısal katsayı (düz çizgilerden oluşan paralel ışın).

Bu bağlamda, sistemin elemanlarını izole etmek için “Bir fonksiyonun grafiğine teğet” konusunu incelerken iki tür problem belirledik:

1) içinden geçtiği noktanın verdiği teğet üzerindeki problemler;
2) eğiminin verdiği teğet üzerindeki problemler.

Teğet problemlerin çözümüne yönelik eğitim, A.G. tarafından önerilen algoritma kullanılarak gerçekleştirildi. Mordkoviç. Zaten bilinenlerden temel farkı, teğet noktasının apsisinin a harfiyle (x0 yerine) gösterilmesi ve dolayısıyla teğet denkleminin şu şekli almasıdır:

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) ile karşılaştırın). Bu metodik teknik Kanaatimizce öğrencilerin genel teğet denkleminde mevcut noktanın koordinatlarının nerede yazıldığını, teğet noktalarının nerede olduğunu hızlı ve kolay bir şekilde anlamalarını sağlar.

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemi oluşturma algoritması

1. Teğet noktasının apsisini a harfiyle belirtin.
2. f(a)'yı bulun.
3. f "(x) ve f "(a)'yı bulun.
4. Bulunan a, f(a), f "(a) sayılarını yerine koyun genel denklem teğet y = f(a) = f "(a)(x – a).

Bu algoritma, öğrencilerin bağımsız olarak işlemleri tanımlamaları ve uygulama sıraları temel alınarak derlenebilir.

Uygulama, bir algoritma kullanarak anahtar problemlerin her birinin sıralı çözümünün, bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini aşamalar halinde yazma becerilerini geliştirmenize izin verdiğini ve algoritmanın adımlarının eylemler için referans noktaları görevi gördüğünü göstermiştir. . Bu yaklaşım, P.Ya. tarafından geliştirilen zihinsel eylemlerin kademeli oluşumu teorisine karşılık gelir. Galperin ve N.F. Talyzina.

İlk görev türünde iki temel görev belirlendi:

• teğet eğri üzerinde bulunan bir noktadan geçer (problem 1);
• teğet eğrinin üzerinde olmayan bir noktadan geçiyor (problem 2).

Görev 1. Fonksiyonun grafiğine teğet için bir denklem yazın M(3; – 2) noktasında.

Çözüm. M(3; – 2) noktası bir teğet noktadır, çünkü

1. a = 3 – teğet noktasının apsisi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – teğet denklemi.

Problem 2. M(– 3; 6) noktasından geçen y = – x 2 – 4x + 2 fonksiyonunun grafiğine tüm teğetlerin denklemlerini yazın.

Çözüm. M(– 3; 6) noktası teğet bir nokta değildir çünkü f(– 3) 6 (Şekil 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – teğet denklemi.

Teğet M(- 3; 6) noktasından geçer, dolayısıyla koordinatları teğet denklemini sağlar.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 ise teğet denklemi y = 4x + 18 olur.

a = – 2 ise teğet denklem y = 6 biçiminde olur.

İkinci tipte temel görevler aşağıdakiler olacaktır:

• teğet bir doğruya paraleldir (sorun 3);
• teğet verilen doğruya belirli bir açıyla geçiyor (problem 4).

Problem 3. y = x 3 – 3x 2 + 3 fonksiyonunun grafiğine y = 9x + 1 doğrusuna paralel olan tüm teğetlerin denklemlerini yazın.

Çözüm.

1. a – teğet noktasının apsisi.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ancak diğer taraftan f"(a) = 9 (paralellik koşulu). Bu da 3a 2 – 6a = 9 denklemini çözmemiz gerektiği anlamına geliyor. Kökleri a = – 1, a = 3'tür (Şekil 3). ).

4.1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – teğet denklem;

1) bir = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – teğet denklemi.

Problem 4. y = 0,5x 2 – 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine, y = 0 düz çizgisine 45° açıyla geçen teğetin denklemini yazın (Şekil 4).

Çözüm. f "(a) = tan 45° koşulundan a: a – 3 = 1'i buluruz^a = 4.

1. a = 4 – teğet noktasının apsisi.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3.f"(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – teğet denklemi.

Başka herhangi bir sorunun çözümünün bir veya daha fazla temel sorunun çözümüne bağlı olduğunu göstermek kolaydır. Örnek olarak aşağıdaki iki sorunu düşünün.

1. Teğetler dik açıyla kesişiyorsa ve bunlardan biri parabole apsis 3 noktasında değiyorsa, y = 2x 2 – 5x – 2 parabolüne teğetlerin denklemlerini yazın (Şekil 5).

Çözüm. Teğet noktasının apsisi verildiğinden çözümün ilk kısmı anahtar problem 1'e indirgenir.

1. a = 3 – dik açının kenarlarından birinin teğet noktasının apsisi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – birinci teğetin denklemi.

izin ver – ilk teğetin eğim açısı. Teğetler dik olduğundan ikinci teğetin eğim açısı olur. İlk teğetin y = 7x – 20 denkleminden tg'yi elde ederiz a = 7. Hadi bulalım

Bu, ikinci teğetin eğiminin eşit olduğu anlamına gelir.

Diğer çözüm 3. temel göreve gelir.

B(c; f(c)) ikinci doğrunun teğet noktası olsun, o zaman

1. – ikinci teğet noktasının apsisi.
2.
3.
4.
– ikinci teğetin denklemi.

Not. Öğrenciler dik doğruların katsayılarının oranını k 1 k 2 = – 1 olarak bilirlerse teğetin açısal katsayısı daha kolay bulunabilir.

2. Fonksiyonların grafiklerine tüm ortak teğetlerin denklemlerini yazın

Çözüm. Görev, ortak teğetlerin teğet noktalarının apsisini bulmak, yani temel problem 1'i genel biçimde çözmek, bir denklem sistemi hazırlamak ve ardından çözmekten ibarettir (Şekil 6).

1. y = x 2 + x + 1 fonksiyonunun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi a olsun.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3.f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Fonksiyonun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi c olsun
2.
3.f "(c) = c.
4.

Teğetler genel olduğundan,

Yani y = x + 1 ve y = – 3x – 3 ortak teğetlerdir.

Göz önünde bulundurulan görevlerin temel amacı, öğrencileri, belirli araştırma becerilerini (analiz etme, karşılaştırma, genelleme, hipotez öne sürme vb.) gerektiren daha karmaşık problemleri çözerken anahtar problemin türünü bağımsız olarak tanımaya hazırlamaktır. Bu tür görevler, anahtar görevin bir bileşen olarak dahil edildiği herhangi bir görevi içerir. Örnek olarak, teğet ailesinden bir fonksiyon bulma problemini (Problem 1'in tersi) ele alalım.

3. y = x ve y = – 2x doğruları hangi b ve c için y = x 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Çözüm.

y = x düz çizgisinin y = x 2 + bx + c parabolüne göre teğet noktasının apsisi t olsun; p, y = x 2 + bx + c parabolüne sahip y = – 2x düz çizgisinin teğet noktasının apsisidir. O zaman y = x teğet denklemi y = (2t + b)x + c – t 2 formunu, y = – 2x teğet denklemi ise y = (2p + b)x + c – p 2 formunu alacaktır. .

Bir denklem sistemi oluşturup çözelim

Cevap:

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. y = 2x 2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğine çizilen teğetlerin, grafiğin y = x + 3 doğrusu ile kesiştiği noktalardaki denklemlerini yazınız.

Cevap: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Grafiğin abscissa x 0 = 1 noktasındaki y = x 2 – ax fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet, hangi a değerleri için M(2; 3) noktasından geçer?

Cevap: a = 0,5.

3. y = px – 5 düz çizgisi hangi p değerleri için y = 3x 2 – 4x – 2 eğrisine dokunur?

Cevap: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 fonksiyonunun grafiğinin tüm ortak noktalarını ve bu grafiğe P(0; 16) noktasından çizilen teğeti bulun.

Cevap: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 parabolü ile düz çizgi arasındaki en kısa mesafeyi bulun

Cevap:

6. y = x 2 – x + 1 eğrisi üzerinde, grafiğe teğet olanın y – 3x + 1 = 0 düz çizgisine paralel olduğu noktayı bulun.

Cevap: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | fonksiyonunun grafiğine teğetin denklemini yazın. 4x |, iki noktada ona dokunuyor. Çizim yapmak.

Cevap: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 doğrusunun y = x 4 + 3x 2 + 2x eğrisiyle kesişmediğini kanıtlayın. En yakın noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

Cevap:

9. y = x 2 parabolünde apsis x 1 = 1, x 2 = 3 olan iki nokta alınır. Bu noktalardan bir kesen çizilir. Parabolün hangi noktasında teğeti sekantına paralel olacaktır? Sekant ve teğet denklemlerini yazın.

Cevap: y = 4x – 3 – sekant denklemi; y = 4x – 4 – teğet denklemi.

10. q açısını bulun apsisleri 0 ve 1 olan noktalarda çizilen y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine teğetler arasında.

Cevap: q = 45°.

11. Fonksiyonun grafiğinin teğeti hangi noktalarda Ox ekseniyle 135° açı oluşturur?

Cevap: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Eğrinin A(1;8) noktasında bir teğet çizilir. Koordinat eksenleri arasındaki teğet parçanın uzunluğunu bulun.

Cevap:

13. y = x 2 – x + 1 ve y = 2x 2 – x + 0,5 fonksiyonlarının grafiklerine tüm ortak teğetlerin denklemini yazın.

Cevap: y = – 3x ve y = x.

14. Fonksiyonun grafiğine teğetler arasındaki mesafeyi bulun x eksenine paralel.

Cevap:

15. y = x 2 + 2x – 8 parabolünün x eksenini hangi açılarda kestiğini belirleyin.

Cevap: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (- 6).

16. Fonksiyon grafiği Her biri bu grafiğin koordinatların pozitif yarı eksenleriyle kesiştiği teğetleri onlardan eşit parçalar keserek tüm noktaları bulun.

Cevap: A(– 3; 11).

17. y = 2x + 7 doğrusu ve y = x 2 – 1 parabolü M ve N noktalarında kesişir. Parabole teğet olan doğruların M ve N noktalarında kesiştiği K noktasını bulun.

Cevap: K(1; – 9).

18. y = 9x + b doğrusu hangi b değerleri için y = x 3 – 3x + 15 fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Cevap 1; 31.

19. y = kx – 10 düz çizgisinin hangi k değerleri için y = 2x 2 + 3x – 2 fonksiyonunun grafiğiyle tek bir ortak noktası vardır? Bulunan k değerleri için noktanın koordinatlarını belirleyin.

Cevap: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. y = bx 3 – 2x 2 – 4 fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 = 2 olan noktada çizilen teğet hangi b değerleri için M(1; 8) noktasından geçer?

Cevap: b = – 3.

21. Tepe noktası Ox ekseni üzerinde olan bir parabol, A(1; 2) ve B(2; 4) noktalarından geçen doğruya B noktasında değiyor. Parabolün denklemini bulun.

Cevap:

22. y = x 2 + kx + 1 parabolünün k katsayısının hangi değeri Ox eksenine değiyor?

Cevap: k = d 2.

23. y = x + 2 düz çizgisi ile y = 2x 2 + 4x – 3 eğrisi arasındaki açıları bulun.

29. Fonksiyonun grafiğine teğetler ile üreteçler arasındaki mesafeyi Ox ekseninin pozitif yönüne göre 45° açıyla bulun.

Cevap:

30. y = x 2 + ax + b formundaki y = 4x – 1 doğrusuna teğet olan tüm parabollerin köşelerinin yerini bulun.

Cevap: düz çizgi y = 4x + 3.

Edebiyat

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Cebir ve analizin başlangıcı: Okul çocukları ve üniversitelere girenler için 3600 problem. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Genç öğretmenler için dördüncü seminer. Konu: Türev Uygulamaları. – M., “Matematik”, Sayı 21/94.
3. Zihinsel eylemlerin kademeli olarak özümsenmesi teorisine dayalı bilgi ve becerilerin oluşumu. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskova Devlet Üniversitesi, 1968.

Makale, tanımların ayrıntılı bir açıklamasını, türevin geometrik anlamını grafik gösterimlerle sunmaktadır. Teğet doğrunun denklemi örneklerle ele alınacak, 2. mertebeden eğrilere teğet denklemler bulunacak.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

y = k x + b düz çizgisinin eğim açısına α açısı denir ve bu açı, x ekseninin pozitif yönünden pozitif yönde y = k x + b düz çizgisine kadar ölçülür.

Şekilde x yönü yeşil ok ve yeşil yay ile, eğim açısı ise kırmızı yay ile gösterilmiştir. Mavi çizgi düz çizgiyi ifade eder.

Tanım 2

y = k x + b düz çizgisinin eğimine sayısal katsayı k denir.

Açısal katsayı düz çizginin tanjantına eşittir, başka bir deyişle k = t g α.

• Düz bir çizginin eğim açısı yalnızca x'e göre paralelse ve eğim sıfıra eşitse 0'a eşittir çünkü sıfırın tanjantı 0'a eşittir. Bu, denklemin formunun y = b olacağı anlamına gelir.
• Eğer y = k x + b düz çizgisinin eğim açısı dar ise, o zaman 0 koşulu sağlanır< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 ve grafikte bir artış var.
• Eğer α = π 2 ise doğrunun konumu x'e diktir. Eşitlik x = c ile belirtilir ve c değeri bir gerçek sayıdır.
• Düz çizginin eğim açısı y = k x + b genişse, o zaman π 2 koşullarına karşılık gelir< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Tanım 3

Kesen, f(x) fonksiyonunun 2 noktasından geçen bir çizgidir. Başka bir deyişle sekant, belirli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki noktadan geçen düz bir çizgidir.

Şekil A B'nin bir sekant olduğunu ve f(x)'in siyah bir eğri olduğunu, α'nın ise sekantın eğim açısını gösteren kırmızı bir yay olduğunu göstermektedir.

Düz bir çizginin açısal katsayısı eğim açısının tanjantına eşit olduğunda, bir A B C dik üçgeninin tanjantının karşı tarafın bitişik olana oranıyla bulunabileceği açıktır.

Tanım 4

Formun bir sekantını bulmak için bir formül elde ederiz:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, burada A ve B noktalarının apsisleri x A, x B ve f (x A), f (x) değerleridir B) bu noktalardaki değer fonksiyonlarıdır.

Açıkçası, sekantın açısal katsayısı k = f (x B) - f (x A) x B - x A veya k = f (x A) - f (x B) x A - x B eşitliği kullanılarak belirlenir. ve denklem şu şekilde yazılmalıdır: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) veya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant, grafiği görsel olarak 3 parçaya böler: A noktasının solunda, A'dan B'ye ve B'nin sağında. Aşağıdaki şekil, çakışık kabul edilen, yani bir kullanılarak ayarlanan üç sekantın olduğunu göstermektedir. benzer denklem.

Tanım gereği, bir düz çizgi ve onun keseninin olduğu açıktır. bu durumda eşleştir.

Bir sekant belirli bir fonksiyonun grafiğini birden çok kez kesebilir. Bir sekant için y = 0 formunda bir denklem varsa, sinüzoidle kesişme noktalarının sayısı sonsuzdur.

Tanım 5

f(x) fonksiyonunun grafiğine x 0 noktasında teğet; f (x 0), belirli bir x 0 noktasından geçen düz bir çizgidir; f (x 0), x 0'a yakın birçok x değerine sahip bir segmentin varlığıyla.

örnek 1

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım. O zaman y = x + 1 fonksiyonuyla tanımlanan doğrunun (1; 2) koordinatlı noktada y = 2 x'e teğet olduğu kabul edilir. Netlik sağlamak için (1; 2)'ye yakın değerlere sahip grafikleri dikkate almak gerekir. Y = 2 x fonksiyonu siyahla gösterilmiştir, mavi çizgi teğet çizgidir ve kırmızı nokta kesişme noktasıdır.

Açıkçası, y = 2 x, y = x + 1 doğrusuyla birleşir.

Teğeti belirlemek için, B noktası A noktasına sonsuz yaklaşırken A B teğetinin davranışını dikkate almalıyız. Açıklık sağlamak için bir çizim sunuyoruz.

Mavi çizgiyle gösterilen sekant A B, teğetin kendisinin konumuna yönelir ve sekant α'nın eğim açısı, teğetin kendisinin αx eğim açısına yönelmeye başlayacaktır.

Tanım 6

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğeti, B'nin A'ya yönelmesiyle, yani B → A'yla kesişen A B'nin sınırlayıcı konumu olarak kabul edilir.

Şimdi bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamını ele almaya geçelim.

f (x) fonksiyonu için A B sekantını dikkate almaya devam edelim; burada x 0, f (x 0) ve x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ve ∆ x koordinatlarına sahip A ve B, argümanın artışı olarak gösterilir. Artık fonksiyon ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) formunu alacaktır. Açıklık sağlamak için bir çizim örneği verelim.

Sonucu değerlendirelim dik üçgen A B C. Çözmek için teğet tanımını kullanırız, yani ∆ y ∆ x = t g α ilişkisini elde ederiz. Teğetin tanımından şu sonuç çıkar: lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Bir noktadaki türev kuralına göre, x 0 noktasındaki f (x) türevine, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir, burada ∆ x → 0 ise bunu f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x olarak gösteririz.

Bundan f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x olduğu sonucu çıkar; burada k x, teğetin eğimi olarak gösterilir.

Yani, f '(x)'in x 0 noktasında var olabileceğini ve buna teğet gibi olduğunu anlıyoruz. verilen program teğet noktasındaki fonksiyon x 0, f 0 (x 0)'a eşittir; burada teğetin noktadaki eğiminin değeri, x 0 noktasındaki türevine eşittir. O zaman şunu elde ederiz: k x = f " (x 0) .

Geometrik anlam Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, grafiğin aynı noktasında bir teğetinin varlığı kavramının verilmesidir.

Düzlemdeki herhangi bir doğrunun denklemini yazabilmek için içinden geçtiği noktanın açısal katsayısının bulunması gerekir. Kesişme noktasında gösterimi x 0 olarak alınır.

Y = f (x) fonksiyonunun grafiğine x 0, f 0 (x 0) noktasındaki teğet denklemi y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) formunu alır.

Bu, f "(x 0) türevinin son değerinin, lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ ve lim x → x 0 - şartıyla dikey olarak teğetin konumunu belirleyebileceği anlamına gelir - 0 f "(x ) = ∞ veya lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) koşulu altında hiç yokluk.

Teğetin konumu açısal katsayısının değerine bağlıdır k x = f "(x 0). O x eksenine paralel olduğunda, o y - k x = ∞'a paralel olduğunda k k = 0 olduğunu ve formunu elde ederiz. tanjant denklemi x = x 0 k x > 0 ile artar, k x olarak azalır< 0 .

Örnek 2

y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 fonksiyonunun grafiğine (1; 3) koordinatlı noktada teğet için bir denklem derleyin ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar için tanımlandığını biliyoruz. Koordinatları (1; 3) koşuluyla belirtilen noktanın bir teğet noktası olduğunu, bu durumda x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 olduğunu buluruz.

-1 değerine sahip noktanın türevini bulmak gerekir. Bunu anlıyoruz

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

f'(x)'in teğet noktasındaki değeri, eğimin tanjantına eşit olan teğetin eğimidir.

O zaman k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Bundan şu sonuç çıkar: α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cevap: teğet denklem şu şekli alır

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Açıklık sağlamak için grafiksel bir örnekte bir örnek veriyoruz.

Orijinal fonksiyonun grafiğinde siyah renk kullanılmıştır, Mavi renk– bir teğetin görüntüsü, kırmızı nokta – teğet noktası. Sağdaki şekil büyütülmüş bir görünümü göstermektedir.

Örnek 3

Belirli bir fonksiyonun grafiğine bir teğetin varlığını belirleme
y = 3 · x - 1 5 + 1 koordinatları (1 ; 1) olan noktada. Bir denklem yazın ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak, belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesinin tüm gerçek sayılar kümesi olarak kabul edildiğini biliyoruz.

Türevini bulmaya geçelim

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Eğer x 0 = 1 ise f' (x) tanımsızdır ancak limitler şu şekilde yazılır: lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ve lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , yani (1; 1) noktasında dikey teğetin varlığı.

Cevap: denklem x = 1 formunu alacaktır, burada eğim açısı π 2'ye eşit olacaktır.

Açıklık sağlamak için, bunu grafiksel olarak gösterelim.

Örnek 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 fonksiyonunun grafiğindeki noktaları bulun; burada

1. Teğet yoktur;
2. Teğet x'e paraleldir;
3. Teğet y = 8 5 x + 4 doğrusuna paraleldir.

Çözüm

Tanımın kapsamına dikkat etmek gerekir. Koşullu olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlı olduğunu biliyoruz. Modülü genişletip sistemi x ∈ - ∞ aralıklarıyla çözüyoruz; 2 ve [-2; + ∞) . Bunu anlıyoruz

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Fonksiyonu ayırt etmek gerekiyor. Bizde buna sahibiz

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = − 2 olduğunda türev mevcut değildir çünkü o noktada tek taraflı limitler eşit değildir:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Fonksiyonun değerini x = - 2 noktasında hesaplıyoruz, buradan şunu elde ediyoruz:

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, yani () noktasındaki teğet - 2; - 2) mevcut olmayacak.
2. Eğim sıfır olduğunda teğet x'e paraleldir. O zaman k x = t g α x = f "(x 0). Yani, fonksiyonun türevi onu sıfıra getirdiğinde böyle bir x'in değerlerini bulmak gerekir. Yani f' değerleri (x), teğetin x'e paralel olduğu teğet noktaları olacaktır.

x ∈ - ∞ olduğunda; - 2, o zaman - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 ve x ∈ (- 2; + ∞) için 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 elde ederiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

İlgili fonksiyon değerlerini hesaplayın

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dolayısıyla - 5; 8 5, -4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 fonksiyon grafiğinin gerekli noktaları olarak kabul edilir.

Çözümün grafiksel gösterimine bakalım.

Siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, kırmızı noktalar ise teğet noktalarıdır.

1. Doğrular paralel olduğunda açısal katsayılar eşittir. Daha sonra fonksiyon grafiği üzerinde eğimin 8 5 değerine eşit olacağı noktaları aramak gerekir. Bunu yapmak için, y "(x) = 8 5 formundaki bir denklemi çözmeniz gerekir. Daha sonra, eğer x ∈ - ∞; - 2 ise, şunu elde ederiz: - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 ve eğer x ∈ ( - 2 ; + ∞), o zaman 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Diskriminant sıfırdan küçük olduğundan birinci denklemin kökleri yoktur. Bunu bir kenara yazalım

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başka bir denklemin iki gerçek kökü vardır, o zaman

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Fonksiyonun değerlerini bulmaya geçelim. Bunu anlıyoruz

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Değerleri olan puanlar - 1; 4 15, 5; 8 3, teğetlerin y = 8 5 x + 4 doğrusuna paralel olduğu noktalardır.

Cevap: siyah çizgi - fonksiyonun grafiği, kırmızı çizgi - y = 8 5 x + 4'ün grafiği, mavi çizgi - - 1 noktalarındaki teğetler; 4 15, 5; 8 3.

Verilen fonksiyonlar için sonsuz sayıda teğet olabilir.

Örnek 5

y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 fonksiyonunun y = - 2 x + 1 2 düz çizgisine dik olan tüm mevcut teğetlerinin denklemlerini yazın.

Çözüm

Teğet denklemini derlemek için doğruların diklik durumuna göre teğet noktasının katsayısını ve koordinatlarını bulmak gerekir. Tanım şu şekildedir: Düz çizgilere dik açısal katsayıların çarpımı -1'e eşittir, yani k x · k ⊥ = - 1 şeklinde yazılır. Açısal katsayının çizgiye dik olması ve k ⊥ = - 2'ye eşit olması durumunda k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 olur.

Şimdi temas noktalarının koordinatlarını bulmanız gerekiyor. Belirli bir fonksiyon için x'i ve ardından değerini bulmanız gerekir. Noktadaki türevin geometrik anlamından
x 0 bunu elde ederiz k x = y "(x 0). Bu eşitlikten temas noktaları için x'in değerlerini buluruz.

Bunu anlıyoruz

y " (x 0) = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ günah 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Bu trigonometrik denklem, teğet noktaların koordinatlarını hesaplamak için kullanılacaktır.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk veya x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z bir tamsayılar kümesidir.

x temas noktası bulundu. Şimdi y'nin değerlerini aramaya devam etmeniz gerekiyor:

y 0 = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 veya y 0 = - 4 5 + 1 3

Bundan 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 teğetlik noktalarıdır.

Cevap: gerekli denklemler şu şekilde yazılacaktır:

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Görsel bir gösterim için, bir fonksiyonu ve bir koordinat çizgisi üzerinde bir teğeti düşünün.

Şekil, konumu göstermektedir. gelen işlevler[ - 10 ; 10 ], burada siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, mavi çizgiler ise y = - 2 x + 1 2 formunun verilen çizgisine dik olan teğetlerdir. Kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

2. dereceden eğrilerin kanonik denklemleri tek değerli fonksiyonlar değildir. Onlar için teğet denklemler bilinen şemalara göre derlenmiştir.

Bir daireye teğet

Merkezi x c e n e r noktasında olan bir daire tanımlamak için; y c e n t e r ve yarıçap R ise x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formülünü uygulayın.

Bu eşitlik iki fonksiyonun birleşimi olarak yazılabilir:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

İlk fonksiyon şekilde gösterildiği gibi üstte, ikincisi ise altta bulunur.

x 0 noktasındaki bir çemberin denklemini derlemek için; Üst veya alt yarım daire içinde bulunan y 0, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r veya y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + formundaki bir fonksiyonun grafiğinin denklemini bulmalısınız. belirtilen noktada y merkezi.

X merkez noktalarındayken; y merkezi + R ve x merkezi; y c e n t e r - R teğetleri, y = y c e n t e r + R ve y = y c e n t e r - R denklemleriyle ve x c ​​e n t e r + R noktalarında verilebilir; y merkez ve
x merkezi r - R ; y c e n t e r, y'ye paralel olacaktır, o zaman x = x c e n t e r + R ve x = x c e n t e r - R biçiminde denklemler elde ederiz.

Bir elipse teğet

Elipsin xmerkezde bir merkezi olduğunda; y c e n t e r yarı eksenleri a ve b ile, bu durumda x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 denklemi kullanılarak belirtilebilir.

Bir elips ve bir daire, üst ve alt yarım elips olmak üzere iki fonksiyonun birleştirilmesiyle gösterilebilir. O zaman bunu anlıyoruz

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Teğetler elipsin köşelerinde bulunuyorsa, x veya y civarında paraleldirler. Aşağıda, netlik sağlamak için şekli düşünün.

Örnek 6

X değerlerinin x = 2'ye eşit olduğu noktalarda x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 elipsine teğet denklemini yazın.

Çözüm

x = 2 değerine karşılık gelen teğet noktaları bulmak gerekir. Elipsin mevcut denklemini yerine koyarız ve şunu buluruz:

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2; 5 3 2 + 5 ve 2; - 5 3 2 + 5 üst ve alt yarım elipse ait teğet noktalardır.

Elipsin denklemini y'ye göre bulma ve çözmeye geçelim. Bunu anlıyoruz

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Açıkçası, üst yarı elips y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ve alt yarı elips y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 formundaki bir fonksiyon kullanılarak belirtilir.

Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet için bir denklem oluşturmak için standart bir algoritma uygulayalım. 2 noktasındaki ilk teğet için denklemi yazalım; 5 3 2 + 5 şöyle görünecek

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

İkinci teğetin denkleminin bu noktada bir değerle olduğunu buluyoruz.
2; - 5 3 2 + 5 formunu alır

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiksel olarak teğetler aşağıdaki gibi gösterilir:

Abartıya teğet

Bir hiperbolün merkezi x merkezde olduğunda; y merkezi ve köşeler x merkezi + α ; y merkezi ve x merkezi - α ; y c e n t e r eşitsizliği x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, köşeleri x c e n t e r ise; y merkezi + b ve x merkezi; y c e n t e r - b , bu durumda x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 eşitsizliği kullanılarak belirtilir .

Bir hiperbol, formun iki birleşik fonksiyonu olarak temsil edilebilir

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r veya y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y ce n t e r y = - b a · (x - x merkezi) 2 + a 2 + y merkezi

İlk durumda teğetlerin y'ye paralel olduğunu, ikinci durumda ise x'e paralel olduklarını görüyoruz.

Bir hiperbolün teğet denklemini bulmak için teğet noktasının hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir. Bunu belirlemek için denklemlerde yerine koyma ve özdeşliği kontrol etmek gerekir.

Örnek 7

7 noktasında x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolüne teğet için bir denklem yazın; - 3 3 - 3 .

Çözüm

Bir hiperbolün bulunması için çözüm kaydını 2 fonksiyon kullanarak dönüştürmek gerekir. Bunu anlıyoruz

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ve y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Hangi fonksiyona ait olduğunu belirlemek gerekiyor ayar noktası koordinatları 7 ile; - 3 3 - 3 .

Açıkçası, ilk fonksiyonu kontrol etmek için y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 gereklidir, bu durumda nokta grafiğe ait değildir, çünkü eşitlik sağlanmıyor.

İkinci fonksiyon için elimizde y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 bulunur, bu da noktanın verilen grafiğe ait olduğu anlamına gelir. Buradan eğimi bulmalısınız.

Bunu anlıyoruz

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cevap: teğet denklem şu şekilde temsil edilebilir:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Açıkça şu şekilde tasvir edilmiştir:

Bir parabole teğet

X 0, y (x 0) noktasında y = a x 2 + b x + c parabolüne teğet için bir denklem oluşturmak için standart bir algoritma kullanmanız gerekir, o zaman denklem y = y "(x) formunu alacaktır 0) x - x 0 + y ( x 0). Tepe noktasında böyle bir teğet x'e paraleldir.

x = a y 2 + b y + c parabolünü iki fonksiyonun birleşimi olarak tanımlamalısınız. Bu nedenle denklemi y için çözmemiz gerekiyor. Bunu anlıyoruz

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafiksel olarak şu şekilde tasvir edilmiştir:

Bir x 0, y (x 0) noktasının bir fonksiyona ait olup olmadığını bulmak için standart algoritmaya göre yavaşça ilerleyin. Böyle bir teğet, parabole göre y'ye paralel olacaktır.

Örnek 8

Teğet açımız 150° olduğunda x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafiğine teğetin denklemini yazın.

Çözüm

Çözüme parabolü iki fonksiyon olarak temsil ederek başlıyoruz. Bunu anlıyoruz

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Eğimin değeri bu fonksiyonun x 0 noktasındaki türevinin değerine ve eğim açısının tanjantına eşittir.

Şunu elde ederiz:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Buradan temas noktaları için x değerini belirliyoruz.

İlk fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Açıkçası, negatif bir değere sahip olduğumuz için gerçek kökler yok. Böyle bir fonksiyon için 150° açıya sahip bir teğetin olmadığı sonucuna varıyoruz.

İkinci fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temas noktalarımızın 23 4 olduğunu biliyoruz; - 5 + 3 4 .

Cevap: teğet denklem şu şekli alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Grafiksel olarak şu şekilde gösterelim:

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Türevin ne olduğunu zaten biliyor musun? Değilse, önce konuyu okuyun. Yani türevi bildiğinizi söylüyorsunuz. Şimdi kontrol edelim. Argümanın artışı eşit olduğunda fonksiyonun artışını bulun. Becerebildin mi? İşe yaramalı. Şimdi fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun. Cevap: . Olmuş? Bu örneklerden herhangi birinde zorluk yaşarsanız konuya dönüp tekrar çalışmanızı şiddetle tavsiye ederim. Konunun çok büyük olduğunu biliyorum ama aksi halde daha fazla ileri gitmenin bir anlamı yok. Bazı fonksiyonların grafiğini düşünün:

Grafik doğrusu üzerinde belli bir noktayı seçelim. Apsisi olsun, o zaman ordinat eşittir. Daha sonra apsisin noktaya yakın olduğu noktayı seçiyoruz; koordinatı:

Bu noktalardan düz bir çizgi çizelim. Buna sekant denir (tıpkı geometride olduğu gibi). Doğrunun eksene göre eğim açısını şu şekilde gösterelim. Trigonometride olduğu gibi bu açı, x ekseninin pozitif yönünden saat yönünün tersine ölçülür. Açı hangi değerleri alabilir? Bu düz çizgiyi ne kadar eğdiğiniz önemli değil, bir yarısı hala yukarıda kalacak. Bu nedenle mümkün olan maksimum açı , mümkün olan minimum açı ise dir. Araç, . Bu durumda düz çizginin konumu tam olarak çakıştığı ve daha küçük bir açı seçmek daha mantıklı olduğu için açı dahil edilmemiştir. Şekilde düz çizginin apsis eksenine paralel olduğu ve a'nın ordinat ekseni olduğu bir noktayı ele alalım:

Şekilden görülebileceği gibi, a. O halde artış oranı:

(dikdörtgen olduğu için).

Şimdi azaltalım. Sonra nokta noktaya yaklaşacaktır. Sonsuz küçük olduğunda oran, fonksiyonun noktadaki türevine eşit olur. Sekanta ne olacak? Nokta, noktaya sonsuz derecede yakın olacaktır, böylece aynı nokta olarak kabul edilebilirler. Ancak bir eğriyle tek bir ortak noktası olan düz bir çizgi, bir eğriden başka bir şey değildir. teğet(bu durumda, bu koşul yalnızca küçük bir alanda karşılanır - noktaya yakın, ancak bu yeterlidir). Bu durumda sekantın alındığını söylüyorlar sınır konumu.

Sekantın eksene olan eğim açısına diyelim. Daha sonra türevi ortaya çıkıyor

yani türev, belirli bir noktada fonksiyonun grafiğine olan teğetin eğim açısının teğetine eşittir.

Teğet bir doğru olduğuna göre şimdi bir doğrunun denklemini hatırlayalım:

Katsayı nelerden sorumludur? Düz çizginin eğimi için. Buna şöyle denir: eğim. Bu ne anlama geliyor? Ve bunun, düz çizgi ile eksen arasındaki açının tanjantına eşit olması! İşte olan budur:

Ancak bu kuralı artan bir fonksiyonu dikkate alarak bulduk. Fonksiyon azalıyorsa ne değişecek? Görelim:
Artık açılar geniş. Ve fonksiyonun artışı negatiftir. Tekrar düşünelim: . Diğer tarafta, . Şunu elde ederiz: yani her şey geçen seferkiyle aynı. Noktayı yine noktaya yönlendirelim ve sekant sınırlayıcı bir pozisyon alacak yani fonksiyonun grafiğine noktadaki teğet haline gelecektir. O halde son kuralı formüle edelim:
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi, bu noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetin eğim açısının tanjantına veya (aynı olan) bu teğetin eğimine eşittir:

İşte bu Türevin geometrik anlamı. Tamam, tüm bunlar ilginç ama buna neden ihtiyacımız var? Burada örnek:
Şekilde bir fonksiyonun grafiği ve apsis noktasında ona bir teğet gösterilmektedir. Fonksiyonun noktadaki türevinin değerini bulun.
Çözüm.
Yakın zamanda öğrendiğimiz gibi, teğet noktasındaki türevin değeri teğetin eğimine eşittir, bu da bu teğetin apsis eksenine eğim açısının teğetine eşittir: . Bu, türevin değerini bulmak için teğet açının tanjantını bulmamız gerektiği anlamına gelir. Şekilde koordinatları bildiğimiz teğet üzerinde iki noktayı işaretledik. O halde gelin bu noktalardan geçen bir dik üçgenin yapımını tamamlayalım ve bu açının teğetini bulalım!

Teğetin eksene olan eğim açısıdır. Bu açının tanjantını bulalım: . Böylece fonksiyonun bir noktadaki türevi eşittir.
Cevap:. Şimdi kendiniz deneyin:

Yanıtlar:

bilmek Türevin geometrik anlamı noktasındaki türevin kuralını çok basit bir şekilde açıklayabiliriz. yerel maksimum veya minimum sıfırdır. Gerçekten de grafiğin bu noktalardaki teğeti “yataydır”, yani x eksenine paraleldir:

Paralel çizgiler arasındaki açı nedir? Tabii ki sıfır! Sıfırın tanjantı da sıfırdır. Yani türev sıfıra eşittir:

Bununla ilgili daha fazla bilgiyi “Fonksiyonların monotonluğu” konusunda okuyun. Ekstrem noktalar."

Şimdi keyfi teğetlere odaklanalım. Diyelim ki bir fonksiyonumuz var, örneğin . Grafiğini çizdik ve ona bir noktada teğet çizmek istiyoruz. Mesela bir noktada. Bir cetvel alıyoruz, grafiğe ekliyoruz ve çiziyoruz:

Bu hat hakkında ne biliyoruz? Koordinat düzlemindeki bir çizgi hakkında bilinmesi gereken en önemli şey nedir? Çünkü düz bir çizgi bir görüntüdür doğrusal fonksiyon denklemini bilmek çok uygun olacaktır. Yani denklemdeki katsayılar

Ama zaten biliyoruz! Bu, fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olan teğetin eğimidir:

Örneğimizde şöyle olacak:

Artık geriye sadece onu bulmak kalıyor. Armut bombardımanı kadar basit: sonuçta - değeri. Grafiksel olarak bu, çizginin ordinat ekseniyle kesişme noktasının koordinatıdır (sonuçta eksenin tüm noktalarında):

Hadi çizelim (böylece dikdörtgen olur). Sonra (teğet ile x ekseni arasında aynı açıya kadar). Nedir ve eşittir? Şekil açıkça şunu göstermektedir: a. Sonra şunu elde ederiz:

Elde edilen tüm formülleri düz bir çizgi denkleminde birleştiriyoruz:

Şimdi kendiniz karar verin:

1. Bulmak teğet denklem bir noktada bir fonksiyona.
2. Bir parabolün teğeti, ekseni belirli bir açıyla keser. Bu teğetin denklemini bulun.
3. Doğru, fonksiyonun grafiğinin teğetine paraleldir. Teğet noktasının apsisini bulun.
4. Doğru, fonksiyonun grafiğinin teğetine paraleldir. Teğet noktasının apsisini bulun.

Çözümler ve cevaplar:

BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİNE Teğet Denklemi. KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktadaki teğetin tanjantına veya bu teğetin eğimine eşittir:

Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğetin denklemi:

Teğet denklemi bulma algoritması:

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 499 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!