Cebir ve geometri üzerine dersler. 1. Dönem.

Ders 15. Elips.

Bölüm 15. Elips.

Madde 1. Temel tanımlar.

Tanım. Elips bir düzlemin GMT'sidir, düzlemin odak adı verilen iki sabit noktasına olan mesafelerin toplamı sabit bir değerdir.

Tanım. Düzlemin herhangi bir M noktasından elipsin odağına kadar olan mesafeye M noktasının odak yarıçapı denir.

Tanımlar:
– elipsin odakları,
– M noktasının odak yarıçapı.

İle bir elipsin tanımı, M noktası elipsin bir noktasıdır ancak ve ancak şu şartla
- sabit değer. Bu sabit genellikle 2a olarak gösterilir:

. (1)

dikkat et ki
.

Bir elipsin tanımı gereği odak noktaları sabit noktalardır, dolayısıyla aralarındaki mesafe de belirli bir elips için sabit bir değerdir.

Tanım. Elipsin odak noktaları arasındaki mesafeye odak uzaklığı denir.

Tanım:
.

Bir üçgenden
bunu takip ediyor
yani

.

Eşit olan sayıyı b ile gösterelim
yani

. (2)

Tanım. Davranış

(3)

elipsin dışmerkezliği denir.

Bu düzleme elips için kanonik diyeceğimiz bir koordinat sistemi tanıtalım.

Tanım. Elipsin odaklarının bulunduğu eksene odak ekseni denir.

Elips için kanonik bir PDSC oluşturalım, bkz. Şekil 2.

Odak eksenini apsis ekseni olarak seçiyoruz ve ordinat eksenini parçanın ortasından çiziyoruz
odak eksenine dik.

O halde odakların koordinatları vardır
,
.

Madde 2. Bir elipsin kanonik denklemi.

Teorem. Bir elipsin kanonik koordinat sisteminde elipsin denklemi şu şekildedir:

. (4)

Kanıt. İspatı iki aşamada gerçekleştiriyoruz. İlk aşamada elipsin üzerinde yer alan herhangi bir noktanın koordinatlarının denklemi (4) karşıladığını kanıtlayacağız. İkinci aşamada denklem (4)'ün herhangi bir çözümünün elipsin üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını verdiğini kanıtlayacağız. Buradan denklem (4)'ün koordinat düzleminin elips üzerinde yer alan noktaları tarafından karşılandığı anlaşılacaktır. Buradan ve bir eğri denkleminin tanımından, denklem (4)'ün bir elipsin denklemi olduğu sonucu çıkacaktır.

1) M(x, y) noktası elipsin bir noktası olsun; odak yarıçaplarının toplamı 2a'dır:

.

Koordinat düzlemindeki iki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanalım ve bu formülü belirli bir M noktasının odak yarıçapını bulmak için kullanalım:

,
, nereden alıyoruz:

Bir kökü eşitliğin sağ tarafına taşıyıp karesini alalım:

İndirgediğimizde şunu elde ederiz:

Benzerlerini sunuyoruz, 4 azaltıyoruz ve radikali kaldırıyoruz:

.

Kare alma

Parantezleri açın ve kısaltın
:

nereden alıyoruz:

Eşitlik (2)'yi kullanarak şunu elde ederiz:

.

Son eşitliği şuna bölmek:
eşitliği (4) vb. elde ederiz.

2) Şimdi bir çift sayının (x, y) denklem (4)'ü sağlamasına ve M(x, y)'nin Oxy koordinat düzleminde karşılık gelen nokta olmasına izin verin.

Daha sonra (4)'ten şu sonuç çıkar:

.

Bu eşitliği M noktasının odak yarıçapı ifadesinde yerine koyarız:

.

Burada (2) ve (3) eşitliğini kullandık.

Böylece,
. Aynı şekilde,
.

Şimdi eşitlikten (4) şu sonucu çıkardığına dikkat edin:

veya
vesaire.
, o zaman eşitsizlik şöyle olur:

.

Buradan da şu sonuç çıkıyor

veya
Ve

,
. (5)

Eşitliklerden (5) şu sonuç çıkıyor:
yani M(x, y) noktası elipsin bir noktasıdır, vb.

Teorem kanıtlandı.

Tanım. Denklem (4) elipsin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Tanım. Bir elipsin kanonik koordinat eksenlerine elipsin asal eksenleri denir.

Tanım. Bir elipsin kanonik koordinat sisteminin orijinine elipsin merkezi denir.

Madde 3. Elipsin özellikleri.

Teorem. (Bir elipsin özellikleri.)

1. Bir elips için kanonik koordinat sisteminde her şey

elipsin noktaları dikdörtgenin içindedir

,
.

2. Önemli noktalar

3. Elips, simetrik olan bir eğridir.

onların ana eksenleri.

4. Elipsin merkezi simetri merkezidir.

Kanıt. 1, 2) Elipsin kanonik denkleminden hemen çıkar.

3, 4) M(x, y) elipsin keyfi bir noktası olsun. O zaman koordinatları denklemi (4) karşılar. Ancak noktaların koordinatları da denklem (4)'ü karşılar ve dolayısıyla teoremin ifadelerinin takip ettiği elipsin noktalarıdır.

Teorem kanıtlandı.

Tanım. 2a miktarına elipsin ana ekseni, a miktarına ise elipsin yarı ana ekseni denir.

Tanım. 2b miktarına elipsin küçük ekseni, b miktarına ise elipsin yarı küçük ekseni denir.

Tanım. Bir elipsin ana eksenleriyle kesiştiği noktalara elipsin köşeleri denir.

Yorum. Bir elips aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Uçakta "odak noktalarına bir çivi çakıyoruz" ve onlara bir iplik uzunluğu tutturuyoruz
. Sonra bir kalem alıp ipliği sıkmak için kullanıyoruz. Daha sonra ipliğin gergin olduğundan emin olarak kalem ucunu düzlem boyunca hareket ettiriyoruz.

Eksantrikliğin tanımından şu sonuç çıkıyor:

A sayısını sabitleyip c sayısını sıfıra yönlendirelim. sonra
,
Ve
. Aldığımız limitte

veya
– bir dairenin denklemi.

Şimdi yönlendirelim
. Daha sonra
,
ve limitte elipsin düz bir çizgi parçasına dönüştüğünü görüyoruz
Şekil 3'teki notasyonda.

Madde 4. Elipsin parametrik denklemleri.

Teorem. İzin vermek
– keyfi gerçek sayılar. Daha sonra denklem sistemi

,
(6)

bir elipsin kanonik koordinat sistemindeki parametrik denklemleridir.

Kanıt. Denklem sisteminin (6) denklem (4)'e eşdeğer olduğunu kanıtlamak yeterlidir, yani. aynı çözüm kümesine sahiptirler.

1) (x, y), (6) sistemine keyfi bir çözüm olsun. İlk denklemi a'ya, ikinciyi b'ye bölün, her iki denklemin karesini alın ve şunu ekleyin:

.

Onlar. sistem (6)'nın herhangi bir çözümü (x, y) denklem (4)'ü karşılar.

2) Tersine, (x, y) çiftinin (4) denkleminin bir çözümü olmasına izin verin, yani.

.

Bu eşitlikten koordinatları olan noktanın olduğu sonucu çıkar.
merkezi orijinde olan birim yarıçaplı bir daire üzerinde yer alır, yani. trigonometrik daire üzerinde belirli bir açıya karşılık gelen bir noktadır
:

Sinüs ve kosinüs tanımından hemen şu sonuç çıkar:

,
, Nerede
buradan (x, y) çiftinin (6) sisteminin bir çözümü olduğu sonucu çıkar.

Teorem kanıtlandı.

Yorum. Yarıçapı a olan bir dairenin apsis eksenine doğru düzgün "sıkıştırılması" sonucunda bir elips elde edilebilir.

İzin vermek
– Merkezi orijinde olan bir dairenin denklemi. Bir dairenin apsis eksenine "sıkıştırılması", aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilen koordinat düzleminin dönüşümünden başka bir şey değildir. Her M(x, y) noktası için aynı düzlemde bir nokta ilişkilendiririz
, Nerede
,
- Sıkıştırma oranı.

Bu dönüşümle, daire üzerindeki her nokta, düzlemdeki aynı apsise sahip ancak koordinatı daha küçük olan başka bir noktaya “geçiş yapar”. Bir noktanın eski koordinatını yenisi üzerinden ifade edelim:

ve denklemdeki daireleri yerine koyun:

.

Buradan şunu anlıyoruz:

. (7)

Bundan şu sonuç çıkar: "Sıkıştırma" dönüşümünden önce M(x, y) noktası çember üzerinde bulunuyorsa, yani. koordinatları dairenin denklemini karşıladı, ardından "sıkıştırma" dönüşümünden sonra bu nokta noktaya "dönüştü"
koordinatları elips denklemini (7) karşılayan . Yarı küçük ekseni b olan bir elipsin denklemini elde etmek istiyorsak sıkıştırma faktörünü almamız gerekir.

.

Madde 5. Bir elipse teğet.

Teorem. İzin vermek
– elipsin isteğe bağlı noktası

.

O zaman bu elipsin noktasındaki teğet denklemi
şu forma sahiptir:

. (8)

Kanıt. Teğet noktasının koordinat düzleminin birinci veya ikinci çeyreğinde olduğu durumu dikkate almak yeterlidir:
. Elipsin üst yarı düzlemdeki denklemi şu şekildedir:

. (9)

Fonksiyonun grafiğine teğet denklemi kullanalım
noktada
:

Nerede
– belirli bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin değeri
. İlk çeyrekteki elips, fonksiyonun (8) grafiği olarak düşünülebilir. Teğet noktasındaki türevini ve değerini bulalım:

,

. Burada teğet noktanın olmasından faydalandık.
elipsin bir noktasıdır ve bu nedenle koordinatları elips denklemini (9) karşılar, yani.

.

Türevin bulunan değerini tanjant denkleminde (10) değiştiririz:

,

nereden alıyoruz:

Bu şu anlama gelir:

Bu eşitliği ikiye bölelim
:

.

Şunu belirtmek gerekir ki
, Çünkü nokta
elipse aittir ve koordinatları denklemini karşılar.

Teğet denklemi (8), koordinat düzleminin üçüncü veya dördüncü çeyreğinde yer alan teğet noktasında benzer şekilde kanıtlanır.

Ve son olarak, denklem (8)'in noktalardaki teğet denklemini verdiğini kolayca doğrulayabiliriz.
,
:

veya
, Ve
veya
.

Teorem kanıtlandı.

Madde 6. Bir elipsin ayna özelliği.

Teorem. Elipsin teğeti, teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılara sahiptir.

İzin vermek
- bağlantı noktası,
,
– teğet noktasının odak yarıçapları, P ve Q – noktada elipse çizilen teğet üzerindeki odakların izdüşümleri
.

Teorem şunu belirtir:

. (11)

Bu eşitlik, odağından ayrılan bir elipsten gelen ışık ışınının geliş ve yansıma açılarının eşitliği olarak yorumlanabilir. Bu özelliğe elipsin ayna özelliği denir:

Elipsin odağından çıkan ışık ışını, elipsin aynasından yansıdıktan sonra elipsin başka bir odağından geçer.

Teoremin kanıtı. Açıların eşitliğini (11) kanıtlamak için üçgenlerin benzerliğini kanıtlıyoruz
Ve
tarafların bulunduğu
Ve
benzer olacaktır. Üçgenler dik açılı olduğundan eşitliği kanıtlamak yeterlidir.

Tanım. Elips, bir düzlem üzerindeki noktaların geometrik yeridir; her birinin bu düzlemin odak adı verilen iki noktasına olan mesafelerinin toplamı sabit bir değerdir (bu değerin odaklar arasındaki mesafeden büyük olması şartıyla) .

Odakları aralarındaki mesafe boyunca ve sabit bir değerle gösterelim, miktara eşit elipsin her noktasından odak noktalarına kadar olan mesafeler (duruma göre).

Odaklar apsis ekseninde olacak ve koordinatların kökeni parçanın ortasıyla çakışacak şekilde bir Kartezyen koordinat sistemi oluşturalım (Şekil 44). Daha sonra odaklar şu koordinatlara sahip olacaktır: sol odak ve sağ odak. Elipsin denklemini seçtiğimiz koordinat sisteminde türetelim. Bu amaçla elipsin rastgele bir noktasını düşünün. Bir elipsin tanımı gereği, bu noktadan odaklara olan mesafelerin toplamı şuna eşittir:

İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Bu denklemi basitleştirmek için şu şekilde yazıyoruz:

Sonra denklemin her iki tarafının karesini alırız:

veya bariz basitleştirmelerden sonra:

Şimdi denklemin her iki tarafının karesini tekrar alırız ve şunu elde ederiz:

veya aynı dönüşümlerden sonra:

Elipsin tanımındaki koşula göre sayı pozitif olduğundan. Gösterimi tanıtalım

O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır:

Bir elipsin tanımı gereği, herhangi bir noktasının koordinatları denklemi (26) karşılar. Ancak denklem (29), denklem (26)'nın bir sonucudur. Sonuç olarak elipsin herhangi bir noktasının koordinatları da sağlanır.

Elips üzerinde yer almayan noktaların koordinatlarının denklemi (29) sağlamadığı gösterilebilir. Dolayısıyla denklem (29) bir elipsin denklemidir. Buna elipsin kanonik denklemi denir.

Kanonik denklemini kullanarak elipsin şeklini belirleyelim.

Öncelikle bu denklemin sadece şunu içerdiğine dikkat edelim. çift ​​derece x ve y. Bu, eğer herhangi bir nokta bir elipse aitse, o zaman apsis eksenine göre simetrik bir nokta ve ordinat eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta da içerdiği anlamına gelir. Dolayısıyla elips, seçtiğimiz koordinat sistemimizde koordinat eksenleriyle çakışan, karşılıklı olarak dik iki simetri eksenine sahiptir. Bundan böyle elipsin simetri eksenlerine elipsin eksenleri ve bunların kesişme noktasına elipsin merkezi adını vereceğiz. Elipsin odaklarının bulunduğu eksen (içinde bu durumda x ekseni) odak ekseni olarak adlandırılır.

Öncelikle elipsin ilk çeyrekteki şeklini belirleyelim. Bunu yapmak için denklem (28)'i y için çözelim:

y sanal değerler aldığı için burada olduğu açıktır. 0'dan a'ya yükseldikçe y, b'den 0'a azalır. Elipsin ilk çeyrekte yer alan kısmı, B (0; b) noktalarıyla sınırlanan ve koordinat eksenleri üzerinde uzanan bir yay olacaktır (Şekil 45). Şimdi elipsin simetrisini kullanarak elipsin Şekil 2'de gösterilen şekle sahip olduğu sonucuna varıyoruz. 45.

Elipsin eksenlerle kesiştiği noktalara elipsin köşeleri denir. Elipsin simetrisinden, elipsin köşelerine ek olarak iki köşesinin daha olduğu sonucu çıkar (bkz. Şekil 45).

Elipsin parçaları ve birleştiren karşıt köşeleri ile bunların uzunluklarına sırasıyla elipsin büyük ve küçük eksenleri denir. a ve b sayılarına sırasıyla elipsin büyük ve küçük yarı eksenleri denir.

Odaklar arasındaki mesafenin yarısının elipsin yarı ana eksenine oranına elipsin dışmerkezliği denir ve genellikle şu harfle gösterilir:

Çünkü elipsin dışmerkezliği birden küçüktür: Dışmerkezlik elipsin şeklini karakterize eder. Aslında, formül (28)'den, elipsin dışmerkezliği ne kadar küçük olursa, yarı küçük ekseni b, yarı ana eksen a'dan o kadar az farklı olduğu, yani elipsin (odak ekseni boyunca) o kadar az uzatıldığı sonucu çıkar.

Sınırlayıcı durumda sonuç, yarıçapı a: veya olan bir dairedir. Aynı zamanda, elipsin odakları bir noktada, dairenin merkezinde birleşiyor gibi görünüyor. Çemberin dışmerkezliği sıfırdır:

Elips ile daire arasındaki bağlantı başka bir açıdan da kurulabilir. Yarı eksenleri a ve b olan bir elipsin, yarıçapı a olan bir dairenin izdüşümü olarak kabul edilebileceğini gösterelim.

Aralarında böyle bir a açısı oluşturan iki P ve Q düzlemini ele alalım (Şekil 46). P düzleminde bir koordinat sistemi ve Q düzleminde ortak orijini O olan ve ortak apsis ekseni düzlemlerin kesişme çizgisine denk gelen bir Oxy sistemi oluşturalım. P düzleminde bir daire düşünün

merkezi orijinde ve yarıçapı a'ya eşit olan. Çember üzerinde keyfi olarak seçilmiş bir nokta olsun, bu noktanın Q düzlemine izdüşümü olsun ve M noktasının Ox eksenine izdüşümü olsun. Noktanın yarı eksenleri a ve b olan bir elips üzerinde bulunduğunu gösterelim.

İkinci dereceden çizgiler.
Elips ve kanonik denklemi. Daire

Kapsamlı bir çalışmanın ardından düzlemdeki düz çizgilerİki boyutlu dünyanın geometrisini incelemeye devam ediyoruz. Bahisler iki katına çıktı ve sizi tipik temsilciler olan elipsler, hiperboller ve parabollerden oluşan pitoresk bir galeriyi ziyaret etmeye davet ediyorum. ikinci dereceden çizgiler. Gezi çoktan başladı ve ilk önce kısa bilgi Müzenin farklı katlarındaki serginin tamamı hakkında:

Cebirsel doğru kavramı ve sırası

Düzlemdeki çizgiye denir cebirsel, eğer afin koordinat sistemi denklemi şu şekle sahiptir: burada formdaki terimlerden oluşan bir polinomdur (- gerçel sayı, – negatif olmayan tamsayılar).

Gördüğünüz gibi cebirsel bir doğrunun denklemi sinüs, kosinüs, logaritma ve diğer işlevsel güzellikleri içermez. Sadece X ve Y var negatif olmayan tam sayılar derece.

Hat sırası içerdiği terimlerin maksimum değerine eşittir.

İlgili teoreme göre, cebirsel çizgi kavramı ve sırası seçime bağlı değildir. afin koordinat sistemi bu nedenle, varoluş kolaylığı için, sonraki tüm hesaplamaların Kartezyen koordinatları.

Genel denklem ikinci sıra satırı şu forma sahiptir: burada – keyfi gerçek sayılar (Bunu iki faktörle yazmak gelenekseldir) ve katsayılar aynı anda sıfıra eşit değildir.

Eğer ise denklem basitleşir ve eğer katsayılar aynı anda sıfıra eşit değilse, o zaman bu tam olarak “düz” bir çizginin genel denklemi temsil eden ilk sipariş hattı.

Birçoğu yeni terimlerin anlamını anladı, ancak yine de malzemeye% 100 hakim olmak için parmaklarımızı yuvaya sokuyoruz. Satır sırasını belirlemek için yinelemeniz gerekir tüm şartlar denklemlerini bulun ve her biri için bulun derece toplamı gelen değişkenler.

Örneğin:

terim “x”in 1. kuvvetini içerir;
terimin 1. kuvveti “Y”yi içerir;
Terimde değişken olmadığından güçlerinin toplamı sıfırdır.

Şimdi denklemin neden doğruyu tanımladığını bulalım ikinci emir:

terimin 2. üssü “x” vardır;
toplam değişkenlerin kuvvetlerinin toplamına sahiptir: 1 + 1 = 2;
terimin 2. kuvveti “Y”yi içerir;
diğer tüm şartlar - az derece.

Maksimum değer: 2

Diyelim ki denklemimize ek olarak eklersek, o zaman zaten belirleyecektir. üçüncü dereceden çizgi. 3. dereceden çizgi denkleminin genel formunun, değişkenlerin kuvvetlerinin toplamı üçe eşit olan "tam bir terim seti" içerdiği açıktır:
katsayıların aynı anda sıfıra eşit olmadığı yer.

Aşağıdakileri içeren bir veya daha fazla uygun terimi eklemeniz durumunda , o zaman zaten konuşacağız 4. sıra satırları, vesaire.

Özellikle 3., 4. ve daha yüksek mertebeden cebirsel doğrularla bir kereden fazla karşılaşmak zorunda kalacağız. kutupsal koordinat sistemi.

Ancak genel denkleme dönelim ve onun en basit okul varyasyonlarını hatırlayalım. Örnek olarak, denklemi kolaylıkla şu şekle indirgenebilen bir parabol kendini gösteriyor: Genel görünüm ve eşdeğer denklemi olan bir hiperbol. Ancak her şey o kadar da pürüzsüz değil...

Genel denklemin önemli bir dezavantajı, hangi doğruyu tanımladığının neredeyse her zaman net olmamasıdır. En basit durumda bile bunun bir abartı olduğunu hemen fark edemezsiniz. Bu tür düzenler yalnızca maskeli baloda iyidir, bu nedenle analitik geometri sürecinde şunu düşünürüz: tipik görev 2. dereceden doğru denkleminin kanonik forma getirilmesi.

Bir denklemin kanonik formu nedir?

Bu genel olarak kabul edilir standart görünüm Denklem, birkaç saniye içinde hangi geometrik nesneyi tanımladığı belli olur. Ayrıca kanonik form birçok sorunun çözümü için çok uygundur. pratik görevler. Yani, örneğin kanonik denkleme göre "düz" düz birincisi bunun düz bir çizgi olduğu hemen anlaşılıyor, ikincisi ona ait nokta ve yön vektörü rahatlıkla görülebiliyor.

Şurası açıktır ki herhangi 1. sipariş satırı düz bir çizgidir. İkinci katta artık bizi bekleyen bekçi değil, dokuz heykelden oluşan çok daha çeşitli bir topluluk:

İkinci dereceden hatların sınıflandırılması

Kullanarak özel kompleks Eylemlerde, ikinci dereceden bir doğrunun herhangi bir denklemi aşağıdaki formlardan birine indirgenir:

(ve pozitif reel sayılardır)

1) – elipsin kanonik denklemi;

2) – bir hiperbolün kanonik denklemi;

3) – bir parabolün kanonik denklemi;

4) – hayali elips;

5) – bir çift kesişen çizgi;

6) – çift hayali kesişen çizgiler (başlangıçta tek bir geçerli kesişme noktası ile);

7) – bir çift paralel çizgi;

8) – çift hayali paralel çizgiler;

9) – bir çift çakışan çizgi.

Bazı okuyucular listenin eksik olduğu izlenimine kapılabilir. Örneğin, 7 numaralı noktada denklem çifti belirtir: doğrudan, eksene paralel ve şu soru ortaya çıkıyor: Ordinat eksenine paralel çizgileri belirleyen denklem nerede? Cevapla kanonik sayılmaz. Düz çizgiler, 90 derece döndürülmüş aynı standart durumu temsil eder ve temelde yeni bir şey getirmediği için sınıflandırmadaki ek giriş gereksizdir.

Böylece dokuz ve yalnızca dokuz tane var çeşitli türler 2. derecenin satırları, ancak pratikte en sık bulunurlar elips, hiperbol ve parabol.

Önce elipse bakalım. Her zamanki gibi, şu noktalara odaklanıyorum: büyük önem Sorunları çözmek için ve formüllerin ayrıntılı bir şekilde türetilmesi, teoremlerin kanıtlarına ihtiyacınız varsa, lütfen örneğin Bazylev/Atanasyan veya Aleksandrov'un ders kitaplarına bakın.

Elips ve kanonik denklemi

Yazım... lütfen "elipsin nasıl oluşturulduğu", "elips ile oval arasındaki fark" ve "elipsin eksantrikliği" ile ilgilenen bazı Yandex kullanıcılarının hatalarını tekrarlamayın.

Bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir: pozitif gerçek sayılar ve. Elipsin tanımını daha sonra formüle edeceğim, ancak şimdilik konuşulanlara bir ara verip sık karşılaşılan bir sorunu çözmenin zamanı geldi:

Bir elips nasıl oluşturulur?

Evet, al ve çiz. Görev sıklıkla ortaya çıkıyor ve öğrencilerin önemli bir kısmı çizimle doğru şekilde baş edemiyor:

örnek 1

Denklemin verdiği elipsi oluşturun

Çözüm: Öncelikle denklemi kanonik forma getirelim:

Neden getirelim? Kanonik denklemin avantajlarından biri, anında belirlemenize olanak sağlamasıdır. elipsin köşeleri noktalarda bulunur. Bu noktaların her birinin koordinatlarının denklemi sağladığını görmek kolaydır.

Bu durumda :


Çizgi segmenti isminde ana eksen elips;
çizgi segmenti – yan eksen;
sayı isminde yarı ana şaft elips;
sayı – yan eksen.
örneğimizde: .

Belirli bir elipsin neye benzediğini hızlı bir şekilde hayal etmek için kanonik denklemindeki "a" ve "be" değerlerine bakın.

Her şey yolunda, pürüzsüz ve güzel ama bir uyarı var: Çizimi programı kullanarak yaptım. Ve herhangi bir uygulamayı kullanarak çizim yapabilirsiniz. Ancak, sert gerçeği Masanın üzerinde kareli bir kağıt parçası var ve fareler ellerimizde daireler çizerek dans ediyor. Sanatsal yeteneğe sahip insanlar elbette tartışabilir, ancak fareleriniz de var (daha küçük olsalar da). İnsanlığın cetveli, pusulayı, iletkiyi ve diğer basit çizim cihazlarını icat etmesi boşuna değildir.

Bu nedenle yalnızca köşelerini bilerek doğru bir elips çizmemiz pek mümkün değildir. Elipsin küçük olması, örneğin yarı eksenli olması sorun değil. Alternatif olarak çizimin ölçeğini ve buna bağlı olarak boyutlarını da azaltabilirsiniz. Ama içinde Genel dava Ek noktalar bulmak oldukça arzu edilir.

Bir elips oluşturmak için geometrik ve cebirsel olmak üzere iki yaklaşım vardır. Pusula ve cetvel kullanarak inşaat yapmayı sevmiyorum çünkü algoritma en kısası değil ve çizim önemli ölçüde karmaşık. Acil durumlarda lütfen ders kitabına başvurun, ancak gerçekte cebirin araçlarını kullanmak çok daha mantıklıdır. Taslaktaki elipsin denkleminden hızlıca şunu ifade ediyoruz:

Denklem daha sonra iki fonksiyona ayrılır:
– elipsin üst yayını tanımlar;
– elipsin alt yayını tanımlar.

Kanonik denklemle tanımlanan elips, koordinat eksenlerine ve aynı zamanda orijine göre simetriktir. Ve bu harika - simetri neredeyse her zaman bedavaların habercisidir. Açıkçası, 1. koordinat çeyreğiyle uğraşmak yeterli, bu yüzden fonksiyona ihtiyacımız var. . Apsislerle ek noktalar bulunması için yalvarıyor . Hesap makinesinde üç SMS mesajına dokunalım:

Tabii hesaplamalarda ciddi bir hata yapılırsa bunun inşaat sırasında hemen ortaya çıkması da güzel.

Çizimdeki noktaları işaretleyin (kırmızı renk), simetrik noktalar kalan yaylarda ( Mavi renk) ve tüm şirketi dikkatlice bir hatla bağlayın:


İlk taslağı çok ince çizmek ve ancak daha sonra bir kalemle baskı uygulamak daha iyidir. Sonuç oldukça düzgün bir elips olmalıdır. Bu arada bu eğrinin ne olduğunu bilmek ister misiniz?

Bir elipsin tanımı. Elips odakları ve elips dışmerkezliği

Elips: özel durum oval "Oval" kelimesi dar görüşlü anlamda anlaşılmamalıdır ("çocuk bir oval çizdi" vb.). Bu, ayrıntılı bir formülasyona sahip matematiksel bir terimdir. Bu dersin amacı, oval teorisini ve ovallerin çeşitli türlerini ele almak değil; standart kurs analitik geometri. Ve daha fazlasına göre mevcut ihtiyaçlar, hemen elipsin kesin tanımına geçiyoruz:

Elips düzlemin tüm noktalarının kümesidir ve verilen iki noktadan her birine olan mesafelerin toplamı denir. hileler elips, sayısal olarak bu elipsin ana ekseninin uzunluğuna eşit olan sabit bir niceliktir: .
Bu durumda odaklar arasındaki mesafeler şu değerden azdır: .

Artık her şey daha da netleşecek:

Mavi noktanın bir elips boyunca "gezdiğini" hayal edin. Yani elipsin hangi noktasını alırsak alalım, parçalarının uzunluklarının toplamı her zaman aynı olacaktır:

Örneğimizde toplamın değerinin gerçekten sekize eşit olduğundan emin olalım. Zihinsel olarak "um" noktasını elipsin sağ köşesine yerleştirin, ardından: kontrol edilmesi gereken şey budur.

Bunu çizmenin başka bir yöntemi bir elipsin tanımına dayanmaktadır. Yüksek matematik bazen gerginlik ve strese neden olabilir, bu yüzden başka bir yük boşaltma seansı yapmanın zamanı gelmiştir. Lütfen Whatman kağıdını veya büyük bir kartonu alın ve iki çiviyle masaya sabitleyin. Bunlar hile olacak. Çıkıntılı tırnak uçlarına yeşil bir iplik bağlayın ve bir kalemle sonuna kadar çekin. Kalemin ucu elipse ait belli bir noktada son bulacaktır. Şimdi yeşil ipliği sıkı bir şekilde gergin tutarak kalemi kağıt üzerinde hareket ettirmeye başlayın. geri dönene kadar işleme devam edin başlangıç ​​noktası... harika... çizim bir doktor ve öğretmen tarafından kontrol edilebilir =)

Bir elipsin odakları nasıl bulunur?

Yukarıdaki örnekte “hazır” odak noktalarını tasvir ettim ve şimdi bunları geometrinin derinliklerinden nasıl çıkaracağımızı öğreneceğiz.

Bir elips kanonik bir denklemle veriliyorsa, odak noktalarının koordinatları vardır , nerede her odaktan elipsin simetri merkezine olan mesafe.

Hesaplamalar basitten daha basittir:

! Odakların spesifik koordinatları “tse” anlamında tanımlanamaz! Tekrar ediyorum, bu Her odaktan merkeze olan MESAFE(genel durumda bunun tam olarak başlangıç ​​noktasında bulunması gerekmez).
Ve bu nedenle odaklar arasındaki mesafe elipsin kanonik konumuna da bağlanamaz. Başka bir deyişle, elips başka bir yere taşınabilir ve değer değişmeden kalırken odak noktaları doğal olarak koordinatlarını değiştirir. Düşünün lütfen şu an Konunun daha ileri incelenmesi sırasında.

Elips eksantrikliği ve geometrik anlamı

Bir elipsin dışmerkezliği, aralık dahilinde değerler alabilen bir orandır.

Bizim durumumuzda:

Bir elipsin şeklinin dışmerkezliğine nasıl bağlı olduğunu bulalım. Bunun için sol ve sağ köşeleri düzeltin söz konusu elipsin değeri, yani yarı ana eksenin değeri sabit kalacaktır. O zaman dışmerkezlik formülü şu şekli alacaktır: .

Dışmerkezlik değerini birliğe yaklaştırmaya başlayalım. Bu ancak şu durumda mümkündür. Bu ne anlama geliyor? ...püf noktalarını hatırla . Bu, elipsin odaklarının apsis ekseni boyunca yan köşelere doğru "ayrılacağı" anlamına gelir. Ve "yeşil bölümler kauçuk olmadığından" elips kaçınılmaz olarak düzleşmeye başlayacak ve bir eksen üzerine dizilmiş giderek daha ince bir sosis haline gelecektir.

Böylece, Nasıl daha yakın değer elipsin dışmerkezliği birliğe göre değişirse elips ne kadar uzarsa.

Şimdi zıt süreci modelleyelim: elipsin odakları birbirlerine doğru yürüdüler, merkeze yaklaştılar. Bu, “ce” değerinin giderek azalması ve buna bağlı olarak dışmerkezliğin sıfıra doğru yönelmesi anlamına gelir: .
Bu durumda “yeşil bölümler” tam tersine “kalabalıklaşacak” ve elips çizgisini yukarı ve aşağı “itmeye” başlayacaklar.

Böylece, Dışmerkezlik değeri sıfıra ne kadar yakınsa, elips elipse o kadar benzerdir.... odakların başlangıç ​​noktasında başarıyla yeniden birleştirildiği sınırlayıcı duruma bakın:

Daire elipsin özel bir durumudur

Aslında, yarı eksenlerin eşitliği durumunda, elipsin kanonik denklemi, okuldan iyi bilinen, yarıçapı “a”nın kökeninde merkezi olan bir dairenin denklemine refleks olarak dönüşen formu alır.

Uygulamada, "konuşan" harf "er" ile gösterilen gösterim daha sık kullanılır: . Yarıçap, dairenin her noktasının merkezden yarıçap mesafesi kadar uzak olduğu bir parçanın uzunluğudur.

Bir elipsin tanımının tamamen doğru olduğuna dikkat edin: odaklar çakışır ve daire üzerindeki her nokta için çakışan bölümlerin uzunluklarının toplamı bir sabittir. Odaklar arası uzaklık olduğuna göre, herhangi bir dairenin dışmerkezliği sıfırdır.

Bir daire oluşturmak kolay ve hızlıdır, sadece bir pusula kullanın. Ancak bazen bazı noktalarının koordinatlarını bulmak gerekebilir, bu durumda tanıdık yoldan gidiyoruz - denklemi neşeli Matanov formuna getiriyoruz:

– üst yarım dairenin işlevi;
– alt yarım dairenin işlevi.

Bundan sonra buluyoruz gerekli değerler, ayırt etmek, birleştirmek ve başka güzel şeyler yapın.

Makale elbette sadece referans amaçlıdır, ancak dünyada aşk olmadan nasıl yaşayabilirsiniz? Şunun için yaratıcı görev: bağımsız karar

Örnek 2

Odak noktalarından biri ve yarı küçük ekseni biliniyorsa (merkez orijindedir) bir elipsin kanonik denklemini oluşturun. Çizimde köşeleri, ek noktaları bulun ve bir çizgi çizin. Eksantrikliği hesaplayın.

Ders sonunda çözüm ve çizim

Bir eylem ekleyelim:

Bir elipsi döndürme ve paralel çevirme

Elipsin kanonik denklemine, yani bu eğrinin ilk sözünden bu yana gizemi meraklı zihinlere eziyet eden duruma dönelim. Böylece elipse baktık , ancak pratikte denklemi karşılamak mümkün değil mi? ? Sonuçta burada da bir elips var gibi görünüyor!

Bu tür bir denklem nadirdir, ancak karşımıza çıkmaktadır. Ve aslında bir elipsi tanımlıyor. Hadi konuyu aydınlatalım:

İnşaat sonucunda 90 derece döndürülmüş doğal elipsimiz elde edildi. Yani, - Bu kanonik olmayan giriş elips . Kayıt!- denklem Eksen üzerinde bir elipsin tanımını karşılayacak hiçbir nokta (odak) olmadığından, başka bir elipsi tanımlamaz.

11.1. Temel konseptler

Mevcut koordinatlara göre ikinci derece denklemlerle tanımlanan çizgileri ele alalım

Denklemin katsayıları gerçel sayılardır ancak A, B veya C sayılarından en az biri sıfırdan farklıdır. Bu tür çizgilere ikinci dereceden çizgiler (eğriler) denir. Aşağıda denklem (11.1)'in düzlem üzerinde bir daire, elips, hiperbol veya parabol tanımladığı tespit edilecektir. Bu açıklamaya geçmeden önce listelenen eğrilerin özelliklerini inceleyelim.

11.2. Daire

İkinci dereceden en basit eğri bir dairedir. Merkezi bir noktada olan R yarıçaplı bir çemberin, koşulu sağlayan düzlemdeki tüm M noktalarının kümesi olduğunu hatırlayın. Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir noktanın koordinatları x 0, y 0 ve - daire üzerinde isteğe bağlı bir noktaya sahip olsun (bkz. Şekil 48).

Daha sonra denklemi elde ettiğimiz koşuldan

(11.2)

Denklem (11.2), belirli bir daire üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanır ve daire üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanmaz.

Denklem (11.2) denir bir dairenin kanonik denklemi

Özellikle ve ayarını yaparak, merkezi orijinde olan bir dairenin denklemini elde ederiz. .

Basit dönüşümlerden sonra daire denklemi (11.2) şeklini alacaktır. Bu denklemi ikinci dereceden bir eğrinin genel denklemi (11.1) ile karşılaştırırken, bir dairenin denklemi için iki koşulun karşılandığını fark etmek kolaydır:

1) x 2 ve y 2'nin katsayıları birbirine eşittir;

2) Mevcut koordinatların xy çarpımını içeren üye yoktur.

Ters problemi ele alalım. Değerleri ve denklemi (11.1) koyarak, elde ederiz

Bu denklemi dönüştürelim:

(11.4)

Buradan, denklem (11.3)'ün şu koşul altında bir daireyi tanımladığı sonucu çıkar: . Merkezi bu noktadadır ve yarıçap

.

Eğer , o zaman denklem (11.3) şu şekle sahiptir:

.

Tek bir noktanın koordinatları tarafından karşılanır . Bu durumda şöyle diyorlar: “daire bir noktaya dönüştü” (sıfır yarıçapa sahip).

Eğer , sonra denklem (11.4) ve dolayısıyla eşdeğer denklem(11.3) hiçbir satırı tanımlamayacaktır çünkü sağ kısım Denklem (11.4) negatiftir ve soldaki negatif değildir (örneğin: “daire hayalidir”).

11.3. Elips

Kanonik elips denklemi

Elips bir düzlemin tüm noktalarının kümesidir ve bu noktaların her birinden bu düzlemin belirli iki noktasına olan uzaklıkların toplamına denir. hileler , odaklar arasındaki mesafeden daha büyük bir sabit değerdir.

Odak noktalarını şu şekilde belirtelim: F1 Ve F2 aralarındaki mesafe 2 C ve elipsin rastgele bir noktasından odak noktalarına kadar olan mesafelerin toplamı - 2'de A(bkz. Şekil 49). Tanım gereği 2 A > 2C yani A > C.

Elipsin denklemini türetmek için, odak noktalarının eşit olacağı bir koordinat sistemi seçiyoruz. F1 Ve F2 eksen üzerinde uzanıyordu ve başlangıç ​​noktası segmentin ortasıyla çakışıyordu F 1 F 2. Daha sonra odaklar aşağıdaki koordinatlara sahip olacaktır: ve .

Elipsin keyfi bir noktası olsun. O zaman elipsin tanımına göre, yani.

Bu aslında bir elipsin denklemidir.

Denklemi (11.5) daha fazlasına dönüştürelim basit görünüm Aşağıdaki şekilde:

Çünkü A>İle, O . Hadi koyalım

(11.6)

O zaman son denklem şu şekli alacaktır: veya

(11.7)

Denklemin (11.7) orijinal denkleme eşdeğer olduğu kanıtlanabilir. Buna denir kanonik elips denklemi .

Elips ikinci dereceden bir eğridir.

Denklemini kullanarak bir elipsin şeklinin incelenmesi

Kanonik denklemini kullanarak elipsin şeklini belirleyelim.

1. Denklem (11.7) x ve y'yi yalnızca çift kuvvetlerde içerir, yani eğer bir nokta bir elipse aitse, o zaman , noktaları da ona aittir. Bundan, elipsin ve eksenlerine göre ve aynı zamanda elipsin merkezi olarak adlandırılan noktaya göre simetrik olduğu sonucu çıkar.

2. Elipsin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun. Koyarak, eksenin elipsle kesiştiği iki nokta ve , buluruz (bkz. Şekil 50). Denklem (11.7)'yi koyarak elipsin eksenle kesişme noktalarını buluruz: ve. Puanlar A 1 , bir 2 , B1, B2 arandı elipsin köşeleri. Segmentler A 1 bir 2 Ve B 1 B 2, ve uzunlukları 2 A ve 2 B buna göre çağrılır büyük ve küçük eksenler elips. Sayılar A Ve B sırasıyla büyük ve küçük denir aks milleri elips.

3. Denklem (11.7)'den, sol taraftaki her terimin bir'i geçmediği sonucu çıkar; eşitsizlikler ve veya ve gerçekleşir. Sonuç olarak elipsin tüm noktaları düz çizgilerin oluşturduğu dikdörtgenin içinde yer alır.

4. Denklem (11.7)'de negatif olmayan terimlerin toplamı ve bire eşittir. Sonuç olarak, bir terim artarken diğeri azalacaktır, yani artarsa ​​azalacaktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Yukarıdakilerden elipsin Şekil 2'de gösterilen şekle sahip olduğu anlaşılmaktadır. 50 (oval kapalı eğri).

Elips hakkında daha fazla bilgi

Elipsin şekli orana bağlıdır. Elips daireye dönüştüğünde elipsin denklemi (11.7) şeklini alır. Oran genellikle bir elipsin şeklini karakterize etmek için kullanılır. Odaklar arasındaki mesafenin yarısının elipsin yarı ana eksenine oranına elipsin dışmerkezliği denir ve o6o ε (“epsilon”) harfiyle gösterilir:

0 ile<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Bu, elipsin dışmerkezliği ne kadar küçük olursa, elipsin o kadar az düzleşeceğini gösterir; ε = 0 olarak ayarlarsak elips bir daireye dönüşür.

M(x;y)'nin elipsin odakları F1 ve F2 olan keyfi bir noktası olmasına izin verin (bkz. Şekil 51). F 1 M = r 1 ve F 2 M = r 2 bölümlerinin uzunluklarına M noktasının odak yarıçapı denir. Açıkça,

Formüller geçerli

Doğrudan hatlar denir

Teorem 11.1. Elipsin rastgele bir noktasından bir odağa olan mesafe ise, d aynı noktadan bu odağa karşılık gelen doğrultmana olan mesafedir, bu durumda oran elipsin dışmerkezliğine eşit sabit bir değerdir:

Eşitlik (11.6)'dan şu sonuç çıkar. Eğer öyleyse, denklem (11.7), ana ekseni Oy ekseninde ve küçük ekseni Ox ekseninde bulunan bir elips tanımlar (bkz. Şekil 52). Böyle bir elipsin odak noktaları ve noktalarındadır ve burada .

11.4. Hiperbol

Kanonik hiperbol denklemi

Abartı düzlemin tüm noktalarının kümesidir ve bu noktaların her birinden bu düzlemin belirli iki noktasına olan uzaklık farkının modülüdür. hileler , odaklar arasındaki mesafeden daha küçük olan sabit bir değerdir.

Odak noktalarını şu şekilde belirtelim: F1 Ve F2 aralarındaki mesafe 2'ler ve hiperbolün her noktasından odaklara kadar olan mesafelerdeki farkın modülü 2a. A-tarikatı 2a < 2'ler yani A < C.

Hiperbol denklemini türetmek için, odak noktalarının eşit olacağı bir koordinat sistemi seçiyoruz. F1 Ve F2 eksen üzerinde uzanıyordu ve başlangıç ​​noktası segmentin ortasıyla çakışıyordu F 1 F 2(bkz. Şekil 53). O zaman odakların koordinatları olacak ve

Hiperbolün keyfi bir noktası olsun. O zaman hiperbolün tanımına göre veya , yani elipsin denklemini türetirken yapıldığı gibi basitleştirmelerden sonra şunu elde ederiz: kanonik hiperbol denklemi

(11.9)

(11.10)

Bir hiperbol ikinci dereceden bir çizgidir.

Denklemini kullanarak bir hiperbolün şeklini incelemek

Konik denklemini kullanarak hiperbolün formunu oluşturalım.

1. Denklem (11.9) x ve y'nin yalnızca çift kuvvetlerini içermektedir. Sonuç olarak, hiperbol eksenler ve , adı verilen nokta etrafında simetriktir. hiperbolün merkezi.

2. Hiperbolün koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun. Denklemi (11.9) yerine koyarak, hiperbolün eksenle kesiştiği iki noktayı buluruz: ve. (11.9)'u yerine koyarsak, elde ederiz ki bu olamaz. Bu nedenle hiperbol Oy eksenini kesmez.

noktalar denir zirveler hiperboller ve segment

gerçek eksen , çizgi segmenti - gerçek yarı eksen abartı.

Noktaları birleştiren doğru parçasına denir hayali eksen , sayı b - hayali yarı eksen . Kenarları olan dikdörtgen 2a Ve 2b isminde hiperbolün temel dikdörtgeni .

3. Denklem (11.9)'dan eksinin birden az olmadığı sonucu çıkar, yani şu veya . Bu, hiperbolün noktalarının çizginin sağında (hiperbolün sağ dalı) ve çizginin solunda (hiperbolün sol dalı) yer aldığı anlamına gelir.

4. Hiperbolün (11.9) denkleminden, arttığında arttığı açıktır. Bu, farkın bire eşit sabit bir değerde kalmasından kaynaklanmaktadır.

Yukarıdakilerden hiperbolün Şekil 54'te gösterilen forma sahip olduğu anlaşılmaktadır (iki sınırsız daldan oluşan bir eğri).

Bir hiperbolün asimptotları

L doğrusuna asimptot denir Sınırsız K eğrisi, eğer K eğrisinin M noktasından bu düz çizgiye kadar olan d mesafesi, M noktasının K eğrisi boyunca başlangıç ​​noktasından uzaklığı sınırsız olduğunda sıfıra yöneliyorsa. Şekil 55'te asimptot kavramının bir gösterimi verilmektedir: L düz çizgisi, K eğrisi için bir asimptottur.

Hiperbolün iki asimptotu olduğunu gösterelim:

(11.11)

Düz çizgiler (11.11) ve hiperbol (11.9) koordinat eksenlerine göre simetrik olduğundan, belirtilen çizgilerin yalnızca ilk çeyrekte yer alan noktalarını dikkate almak yeterlidir.

Düz bir çizgi üzerinde, hiperbolün üzerindeki noktayla aynı apsis x'e sahip bir N noktası alalım. (bkz. Şekil 56) ve düz çizginin koordinatları ile hiperbolün dalı arasındaki ΜΝ farkını bulun:

Gördüğünüz gibi x arttıkça kesrin paydası da artıyor; pay sabit bir değerdir. Bu nedenle segmentin uzunluğu ΜΝ sıfıra eğilimlidir. MΝ, M noktasından çizgiye olan d mesafesinden daha büyük olduğundan, d sıfıra yönelir. Yani çizgiler hiperbolün (11.9) asimptotlarıdır.

Bir hiperbol (11.9) oluştururken, önce hiperbolün ana dikdörtgenini oluşturmanız (bkz. Şekil 57), bu dikdörtgenin zıt köşelerinden - hiperbolün asimptotlarından geçen düz çizgiler çizmeniz ve köşeleri işaretlemeniz önerilir ve , hiperbolün.

Eşkenar hiperbolün denklemi.

asimptotları koordinat eksenleri olan

Hiperbol (11.9), yarı eksenleri ()'ye eşitse eşkenar olarak adlandırılır. Kanonik denklemi

(11.12)

Eşkenar hiperbolün asimptotlarının denklemleri vardır ve bu nedenle koordinat açılarının bisektörleridir.

Bu hiperbolün denklemini, koordinat eksenlerini bir açıyla döndürerek eskisinden elde edilen yeni bir koordinat sisteminde (bkz. Şekil 58) ele alalım. Koordinat eksenlerini döndürmek için formülleri kullanıyoruz:

X ve y'nin değerlerini denklemde (11.12) değiştiririz:

Ox ve Oy eksenlerinin asimptot olduğu eşkenar hiperbolün denklemi şu şekilde olacaktır:

Abartı hakkında daha fazla bilgi

Eksantriklik hiperbol (11.9), odaklar arasındaki mesafenin hiperbolün gerçek ekseninin değerine oranıdır ve ε ile gösterilir:

Bir hiperbol için hiperbolün dışmerkezliği birden büyük olduğundan: . Eksantriklik bir hiperbolün şeklini karakterize eder. Aslında eşitlikten (11.10) şu sonuç çıkar: Ve .

Bundan, hiperbolün dışmerkezliği ne kadar küçük olursa, yarı eksenlerinin oranı o kadar küçük olur ve dolayısıyla ana dikdörtgeni o kadar uzun olur.

Eşkenar hiperbolün dışmerkezliği. Gerçekten mi,

Odak yarıçapları Ve sağ dalın noktaları için hiperboller ve şeklindedir ve sol dal için - Ve .

Doğrudan doğrulara hiperbolün direktrikleri denir. Bir hiperbol için ε > 1 olduğundan, o zaman . Bu, sağ direktrinin hiperbolün merkezi ile sağ tepe noktası arasında, sol - merkez ile sol tepe noktası arasında yer aldığı anlamına gelir.

Bir hiperbolün doğrultmanları bir elipsin doğrultmanlarıyla aynı özelliğe sahiptir.

Denklemin tanımladığı eğri de bir hiperboldür; gerçek ekseni 2b, Oy ekseninde ve sanal ekseni 2'de yer alır. A- Ox ekseninde. Şekil 59'da noktalı çizgi olarak gösterilmiştir.

Hiperbollerin ortak asimptotlara sahip olduğu açıktır. Bu tür hiperbollere eşlenik denir.

11.5. Parabol

Kanonik parabol denklemi

Bir parabol, her biri odak adı verilen belirli bir noktadan ve doğrultman adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarının kümesidir. F odağından doğrultmana olan mesafeye parabolün parametresi denir ve p (p > 0) ile gösterilir.

Parabolün denklemini türetmek için, Oxy koordinat sistemini seçiyoruz, böylece Ox ekseni, direktrikten F'ye doğru direktrix'e dik olan F odağından geçecek ve O koordinatlarının orijini, ortada yer alacaktır. odak ve direktrix (bkz. Şekil 60). Seçilen sistemde, F odağının koordinatları vardır ve doğrultman denklemi veya şeklindedir.

1. Denklem (11.13)'te y değişkeni çift derecede görünür, bu da parabolün Ox eksenine göre simetrik olduğu anlamına gelir; Öküz ekseni parabolün simetri eksenidir.

2. ρ > 0 olduğundan (11.13)'ten şu sonuç çıkar: . Sonuç olarak parabol, Oy ekseninin sağında yer alır.

3. y = 0 olduğunda. Bu nedenle parabol orijinden geçer.

4. x süresiz olarak arttıkça, y modülü de süresiz olarak artar. Parabol, Şekil 61'de gösterilen forma (şekle) sahiptir. O(0; 0) noktasına parabolün tepe noktası denir, FM = r doğru parçasına M noktasının odak yarıçapı denir.

Denklemler , , ( p>0) aynı zamanda parabolleri de tanımlar, bunlar Şekil 62'de gösterilmektedir.

Grafiğin bunu göstermek kolaydır ikinci dereceden üç terimli, B ve C'nin herhangi bir gerçek sayı olduğu, yukarıda verilen tanımına göre bir paraboldür.

11.6. İkinci Dereceden Doğruların Genel Denklemi

Koordinat eksenlerine paralel simetri eksenlerine sahip ikinci dereceden eğrilerin denklemleri

Öncelikle simetri eksenleri Ox ve Oy koordinat eksenlerine paralel ve yarı eksenleri sırasıyla eşit olan, merkezi noktası olan bir elipsin denklemini bulalım. A Ve B. O1 elipsinin merkezine, eksenleri ve yarı eksenleri yeni bir koordinat sisteminin başlangıcını yerleştirelim. A Ve B(bkz. Şekil 64):

Son olarak, Şekil 65'te gösterilen parabollerin karşılık gelen denklemleri vardır.

Denklem

Bir elips, hiperbol, parabol denklemleri ve dönüşümlerden sonra bir dairenin denklemi (parantezleri açın, denklemin tüm terimlerini bir tarafa taşıyın, benzer terimleri getirin, katsayılar için yeni gösterimler ekleyin), tek bir denklem kullanılarak yazılabilir. biçim

burada A ve C katsayıları aynı anda sıfıra eşit değildir.

Şu soru ortaya çıkıyor: (11.14) formundaki her denklem, ikinci dereceden eğrilerden (daire, elips, hiperbol, parabol) birini belirler mi? Cevap aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem 11.2. Denklem (11.14) her zaman şunu tanımlar: ya bir daire (A = C için), ya bir elips (AC > 0 için), ya da bir hiperbol (AC için)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Genel ikinci dereceden denklem

Şimdi düşünelim genel denklem iki bilinmeyenli ikinci derece:

Koordinatların (B¹ 0) çarpımı olan bir terimin varlığı nedeniyle denklem (11.14)'ten farklıdır. Koordinat eksenlerini bir a açısı kadar döndürerek bu denklemi, koordinatların çarpımı olan terim olmayacak şekilde dönüştürmek mümkündür.

Eksen döndürme formüllerini kullanma

Eski koordinatları yenileriyle ifade edelim:

x" · y" katsayısı sıfır olacak şekilde, yani eşitlik sağlanacak şekilde a açısını seçelim.

Böylece, eksenler (11.17) koşulunu sağlayan bir açı kadar döndürüldüğünde, denklem (11.15), denklem (11.14)'e indirgenir.

Çözüm: genel ikinci dereceden denklem (11.15) düzlemde (dejenerasyon ve bozunma durumları hariç) aşağıdaki eğrileri tanımlar: daire, elips, hiperbol, parabol.

Not: A = C ise denklem (11.17) anlamsız hale gelir. Bu durumda cos2α = 0 (bkz. (11.16)), bu durumda 2α = 90°, yani α = 45°. Yani A = C olduğunda koordinat sistemi 45° döndürülmelidir.

Elips, bir düzlem üzerindeki noktaların geometrik yeridir; her birinden verilen iki F_1 noktasına olan mesafelerin toplamı ve F_2, bunlar arasındaki mesafeden (2c) daha büyük bir sabit değerdir (2a). verilen puanlar(Şekil 3.36, a). Bu geometrik tanım ifade eder bir elipsin odak özelliği.

Bir elipsin odak özelliği

F_1 ve F_2 noktaları elipsin odak noktaları olarak adlandırılır, aralarındaki mesafe 2c=F_1F_2 odak uzaklığıdır, F_1F_2 parçasının orta O'su elipsin merkezidir, 2a sayısı elipsin ana ekseninin uzunluğudur elips (buna göre a sayısı elipsin yarı ana eksenidir). Elipsin rastgele bir M noktasını odak noktalarına bağlayan F_1M ve F_2M segmentlerine M noktasının odak yarıçapları denir. Bir elipsin iki noktasını birleştiren doğru parçasına elipsin kirişi denir.

e=\frac(c)(a) oranına elipsin dışmerkezliği denir. (2a>2c) tanımından şu sonuç çıkar: 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Elipsin geometrik tanımı Odak özelliğini ifade eden , analitik tanımına eşdeğerdir - elipsin kanonik denklemi tarafından verilen çizgi:

Aslında dikdörtgen bir koordinat sistemi sunalım (Şekil 3.36c). Elipsin O merkezini koordinat sisteminin orijini olarak alıyoruz; odaklardan (odak ekseni veya elipsin ilk ekseni) geçen düz çizgiyi apsis ekseni olarak alırız (üzerindeki pozitif yön F_1 noktasından F_2 noktasına kadardır); odak eksenine dik olan ve ordinat ekseni olarak elipsin merkezinden (elipsin ikinci ekseni) geçen düz bir çizgiyi alalım (ordinat eksenindeki yön, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy sağa olacak şekilde seçilmiştir) .

Odak özelliğini ifade eden geometrik tanımını kullanarak elips için bir denklem oluşturalım. Seçilen koordinat sisteminde odakların koordinatlarını belirliyoruz. F_1(-c,0),~F_2(c,0). Elips'e ait keyfi bir M(x,y) noktası için elimizde:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Bu eşitliği koordinat biçiminde yazarsak şunu elde ederiz:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

İkinci radikali sağa kaydırıyoruz, denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz ve benzer terimler getiriyoruz:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4'e bölerek denklemin her iki tarafının karesini alırız:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Belirledikten sonra b=\sqrt(a^2-c^2)>0, alıyoruz b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Her iki tarafı da a^2b^2\ne0'a bölerek elipsin kanonik denklemine ulaşırız:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Bu nedenle seçilen koordinat sistemi kanoniktir.

Elipsin odak noktaları çakışırsa, a=b olduğundan elips bir dairedir (Şekil 3.36,6). Bu durumda orijini bu noktada olan herhangi bir dikdörtgen koordinat sistemi kanonik olacaktır. O\eşdeğer F_1\eşdeğer F_2 ve x^2+y^2=a^2 denklemi, merkezi O noktasında ve yarıçapı a'ya eşit olan bir dairenin denklemidir.

Mantık yürüterek Ters sipariş koordinatları (3.49) denklemini sağlayan tüm noktaların ve yalnızca bunların elips adı verilen noktaların geometrik odağına ait olduğu gösterilebilir. Başka bir deyişle, bir elipsin analitik tanımı, elipsin odak özelliğini ifade eden geometrik tanımına eşdeğerdir.

Bir elipsin yönsel özelliği

Bir elipsin doğrultmanları, kanonik koordinat sisteminin ordinat eksenine paralel olarak \frac(a^2)(c) uzaklığında uzanan iki düz çizgidir. c=0'da, elips bir daire olduğunda, doğrultmanlar yoktur (doğrultmanların sonsuzda olduğunu varsayabiliriz).

Eksantrikliği 0 olan elips düzlemdeki noktaların yeri; her biri için belirli bir F noktasına olan mesafenin (odak), belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye olan mesafeye d (doğrultman) oranı sabittir ve dışmerkezliğe eşittir e ( bir elipsin yönsel özelliği). Burada F ve d, kanonik koordinat sisteminin ordinat ekseninin bir tarafında yer alan elipsin odak noktalarından biri ve onun doğrultmanlarından biridir; F_1,d_1 veya F_2,d_2 .

Aslında, örneğin odak F_2 ve directrix d_2 için (Şekil 3.37,6) koşul \frac(r_2)(\rho_2)=e koordinat formunda yazılabilir:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Mantıksızlıktan kurtulmak ve değiştirmek e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kanonik elips denklemine (3.49) ulaşıyoruz. Odak F_1 ve yönetmen için de benzer bir akıl yürütme yapılabilir. d_1\iki nokta üst üste\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Kutupsal koordinat sisteminde bir elipsin denklemi

F_1r\varphi kutupsal koordinat sistemindeki elipsin denklemi (Şekil 3.37, c ve 3.37 (2)) şu şekildedir:

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

burada p=\frac(b^2)(a) elipsin odak parametresidir.

Aslında elipsin sol odağı F_1'i kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak ve F_1F_2 ışınını kutupsal eksen olarak seçelim (Şekil 3.37, c). Daha sonra, bir elipsin geometrik tanımına (odak özelliği) göre, keyfi bir M(r,\varphi) noktası için r+MF_2=2a elde ederiz. M(r,\varphi) ve F_2(2c,0) noktaları arasındaki mesafeyi ifade ediyoruz (bkz. açıklama 2.8 paragraf 2):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Bu nedenle, koordinat biçiminde, F_1M+F_2M=2a elipsinin denklemi şu şekildedir:

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Radikalleri ayırıyoruz, denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz, 4'e bölüyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Kutupsal yarıçapı r'yi ifade edin ve değiştirmeyi yapın e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Elips denklemindeki katsayıların geometrik anlamı

Elipsin kesişme noktalarını (bkz. Şekil 3.37a) koordinat eksenleriyle (elipsin köşeleri) bulalım. Denklemde y=0 yerine elipsin apsis ekseniyle (odak ekseniyle) kesişme noktalarını buluruz: x=\pm a. Bu nedenle elipsin içinde yer alan odak ekseni bölümünün uzunluğu 2a'ya eşittir. Yukarıda belirtildiği gibi bu parçaya elipsin ana ekseni adı verilir ve a sayısı da elipsin yarı ana eksenidir. X=0'ı yerine koyarsak y=\pm b elde ederiz. Bu nedenle elipsin ikinci ekseninin elipsin içinde yer alan bölümünün uzunluğu 2b'ye eşittir. Bu parçaya elipsin küçük ekseni denir ve b sayısı elipsin yarı küçük eksenidir.

Gerçekten mi, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a ve b=a eşitliği yalnızca elips bir daire olduğunda c=0 durumunda elde edilir. Davranış k=\frac(b)(a)\leqslant1 elips sıkıştırma oranı denir.

Notlar 3.9

1. Düz çizgiler x=\pm a,~y=\pm b, içinde bir elips bulunan koordinat düzlemindeki ana dikdörtgeni sınırlar (bkz. Şekil 3.37, a).

2. Bir elips şu şekilde tanımlanabilir: bir dairenin çapına kadar sıkıştırılmasıyla elde edilen noktaların yeri.

Aslında, Oxy dikdörtgen koordinat sistemindeki bir dairenin denklemi x^2+y^2=a^2 olsun. 0 katsayısıyla x eksenine sıkıştırıldığında

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Denklemde x=x" ve y=\frac(1)(k)y" dairelerini yerine koyarsak, M(x,y) noktasının M"(x",y") görüntüsünün koordinatları için denklemi elde ederiz ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

b=k\cdot a olduğundan. Bu elipsin kanonik denklemidir.

3. Koordinat eksenleri (kanonik koordinat sisteminin) elipsin simetri eksenleridir (elipsin ana eksenleri olarak adlandırılır) ve merkezi simetrinin merkezidir.

Aslında M(x,y) noktası elipse aitse. bu durumda koordinat eksenlerine göre M noktasına simetrik olan M"(x,-y) ve M""(-x,y) noktaları da aynı elipse aittir.

4. Kutupsal koordinat sistemindeki elipsin denkleminden r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(bkz. Şekil 3.37, c), ortaya çıkıyor geometrik anlamı odak parametresi, odak eksenine dik olarak odağından geçen elipsin kiriş uzunluğunun yarısıdır ( r = p'de \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Eksantriklik e, elipsin şeklini, yani elips ile daire arasındaki farkı karakterize eder. e ne kadar büyükse elips o kadar uzundur ve e sıfıra ne kadar yakınsa elips bir daireye o kadar yakındır (Şekil 3.38a). Aslında, e=\frac(c)(a) ve c^2=a^2-b^2'yi hesaba katarsak şunu elde ederiz:

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right) )\^2=1-k^2, !}

burada k elips sıkıştırma faktörüdür, 0

6. Denklem \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 bir

7. Denklem \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b eksenleri koordinat eksenlerine paralel olan, merkezi O"(x_0,y_0) noktasında olan bir elips tanımlar (Şekil 3.38, c). Bu denklem, paralel öteleme (3.36) kullanılarak kanonik olana indirgenir.

a=b=R olduğunda denklem (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 merkezi O"(x_0,y_0) noktasında olan R yarıçaplı bir daireyi tanımlar.

Elipsin parametrik denklemi

Elipsin parametrik denklemi kanonik koordinat sisteminde şu forma sahiptir:

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Aslında, bu ifadeleri (3.49) denkleminde yerine koyarsak, \cos^2t+\sin^2t=1 ana trigonometrik özdeşliğine ulaşırız.

Örnek 3.20. Bir elips çizin \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanonik koordinat sistemi Oxy'de. Yarı eksenleri, odak uzaklığını, dışmerkezliği, sıkıştırma oranını, odak parametresini, doğrultman denklemlerini bulun.

Çözüm. Verilen denklemi kanonik denklemle karşılaştırarak yarı eksenleri belirleriz: a=2 - yarı ana eksen, b=1 - elipsin yarı küçük ekseni. Kenarları 2a=4,~2b=2 olan ve merkezi orijinde olacak şekilde ana dikdörtgeni oluşturuyoruz (Şekil 3.39). Elipsin simetrisini göz önünde bulundurarak onu ana dikdörtgene sığdırıyoruz. Gerekirse elipsin bazı noktalarının koordinatlarını belirleyin. Örneğin, elipsin denkleminde x=1 yerine koyarsak şunu elde ederiz:

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ dörtlü y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Bu nedenle koordinatları olan noktalar \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- elipse aittir.

Sıkıştırma oranının hesaplanması k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); odak uzaklığı 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); tuhaflık e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); odak parametresi p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Direkt denklemleri oluşturuyoruz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Tarayıcınızda Javascript devre dışı.
Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!