Ev Kaplamalı dil a noktasına simetrik bir nokta bulun. Bir doğruya göre simetrik bir nokta nasıl bulunur

Kaplamalı dil

a noktasına simetrik bir nokta bulun. Bir doğruya göre simetrik bir nokta nasıl bulunur

Bize doğrusal bir denklemle tanımlanan belirli bir doğru ve onun koordinatları (x0, y0) ile tanımlanan ve bu doğru üzerinde yer almayan bir nokta verilsin. Belirli bir düz çizgi etrafında belirli bir noktaya simetrik olacak, yani düzlem bu düz çizgi boyunca zihinsel olarak ikiye bükülmüşse onunla çakışacak bir nokta bulmak gerekir.

Talimatlar

1. Her iki noktanın da (verilen ve istenen) aynı çizgide olması gerektiği ve bu çizginin verilen noktaya dik olması gerektiği açıktır. Dolayısıyla problemin ilk kısmı, belirli bir doğruya dik olan ve aynı zamanda belirli bir noktadan geçen bir doğrunun denklemini bulmaktır.

2. Düz bir çizgi iki şekilde belirtilebilir. Bir doğrunun kanonik denklemi şuna benzer: Ax + By + C = 0, burada A, B ve C sabittir. Ayrıca kullanarak düz bir çizgi de tanımlayabilirsiniz. doğrusal fonksiyon: y = kx + b, burada k açısal üs, b yer değiştirmedir.Bu iki yöntem birbirinin yerine kullanılabilir ve birinden diğerine geçmek mümkündür. Ax + By + C = 0 ise y = – (Ax + C)/B. Başka bir deyişle, doğrusal bir fonksiyonda y = kx + b, açısal üs k = -A/B ve yer değiştirme b = -C/B. Eldeki görev için, temel alarak akıl yürütmek daha rahattır. kanonik denklem dümdüz.

3. İki doğru birbirine dikse ve ilk doğrunun denklemi Ax + By + C = 0 ise 2. doğrunun denklemi Bx – Ay + D = 0 gibi görünmelidir, burada D bir sabittir. Belirli bir D değerini tespit etmek için ayrıca dik çizginin hangi noktadan geçtiğini bilmek gerekir. İÇİNDE bu durumda burası (x0, y0) noktasıdır.Sonuç olarak D'nin şu eşitliği sağlaması gerekir: Bx0 – Ay0 + D = 0, yani D = Ay0 – Bx0.

4. Dik çizgi keşfedildikten sonra, verilen çizgiyle kesişme noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir. Bunu yapmak için sistemi çözmemiz gerekiyor. doğrusal denklemler:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Çözümü, doğruların kesişme noktasının koordinatları görevi gören (x1, y1) sayılarını verecektir.

5. İstenilen nokta tespit edilen çizgi üzerinde yer almalı ve kesişme noktasına olan mesafesi, kesişme noktasından (x0, y0) noktasına olan mesafeye eşit olmalıdır. (x0, y0) noktasına simetrik bir noktanın koordinatları böylece denklem sisteminin çözülmesiyle bulunabilir: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ama bunu daha kolay yapabilirsiniz. (x0, y0) ve (x, y) noktaları (x1, y1) noktasından eşit uzaklıktaysa ve üç noktanın tümü aynı düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, o zaman: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Sonuç olarak x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Bu değerleri birinci sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak ve ifadeleri basitleştirerek sağ tarafının sol tarafıyla aynı olmasını sağlamak kolaydır. Ayrıca, (x0, y0) ve (x1, y1) noktalarının onu sağladığı bilindiğinden ve (x, y) noktasının açıkça aynı doğru üzerinde yer aldığından, birinci denklemi daha fazla düşünmenin bir anlamı yoktur. .

Görev, düz çizgiye göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulmaktır. . Adımları kendiniz gerçekleştirmenizi öneririm, ancak çözüm algoritmasını ara sonuçlarla birlikte özetleyeceğim:

1) Doğruya dik olan bir doğru bulun.

2) Doğruların kesişme noktasını bulun: .

Her iki eylem de bu derste ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

3) Nokta, doğru parçasının orta noktasıdır. Ortanın ve uçlardan birinin koordinatlarını biliyoruz. İle bir parçanın orta noktasının koordinatları için formüller bulduk .

Mesafenin de 2,2 birim olduğunu kontrol etmek iyi bir fikir olacaktır.

Burada hesaplamalarda zorluklar ortaya çıkabilir, ancak bir mikro hesap makinesi kulede çok yardımcı olur ve hesaplama yapmanızı sağlar. ortak kesirler. Size defalarca tavsiyede bulundum ve yine tavsiye edeceğim.

İki paralel çizgi arasındaki mesafe nasıl bulunur?

Örnek 9

İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Bu da başka bir örnek bağımsız karar. Size küçük bir ipucu vereceğim: Bunu çözmenin sonsuz sayıda yolu var. Dersin sonunda bilgilendirme, ancak kendi başınıza tahmin etmeye çalışmak daha iyidir, bence yaratıcılığınız oldukça gelişmiştir.

İki düz çizgi arasındaki açı

Her köşe bir pervazdır:

Geometride, iki düz çizgi arasındaki açı DAHA KÜÇÜK açı olarak alınır ve bundan otomatik olarak geniş olamayacağı sonucu çıkar. Şekilde kırmızı yay ile gösterilen açı, kesişen doğrular arasındaki açı olarak kabul edilmemektedir. Ve onun “yeşil” komşusu veya zıt yönlü"ahududu" köşesi.

Doğrular birbirine dik ise 4 açıdan herhangi biri aralarındaki açı olarak alınabilir.

Açılar nasıl farklı? Oryantasyon. İlk olarak, açının "kaydırıldığı" yön temel olarak önemlidir. İkinci olarak, negatif yönlü bir açı eksi işaretiyle yazılır, örneğin eğer .

Bunu sana neden söyledim? Görünüşe göre alışılagelmiş açı kavramıyla idare edebiliriz. Gerçek şu ki, açıları bulacağımız formüller kolaylıkla olumsuz sonuçla sonuçlanabiliyor ve bu sizi şaşırtmamalı. Eksi işaretli bir açı daha kötü değildir ve çok özel bir açıya sahiptir. geometrik anlamı. Çizimde negatif açı için yönünü bir okla (saat yönünde) belirttiğinizden emin olun.

İki düz çizgi arasındaki açı nasıl bulunur?İki çalışma formülü vardır:

Örnek 10

Çizgiler arasındaki açıyı bulun

Çözüm Ve Birinci yöntem

Denklemlerin verdiği iki düz çizgiyi düşünün. Genel görünüm:

Düz ise dik değil, O odaklı Aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Paydaya çok dikkat edelim - bu tam olarak skaler çarpım Düz çizgilerin yönlendirici vektörleri:

Eğer öyleyse, formülün paydası sıfır olur ve vektörler dik, çizgiler dik olur. Bu nedenle formülasyonda düz çizgilerin dik olmaması konusunda bir çekince konulmuştur.

Yukarıdakilere dayanarak çözümü iki adımda resmileştirmek uygundur:

1) Doğruların yön vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayalım:

2) Aşağıdaki formülü kullanarak düz çizgiler arasındaki açıyı bulun:

Ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır. Bu durumda arktanjantın tuhaflığını kullanırız (bkz. Grafikler ve Özellikler temel işlevler ):

Cevap:

Cevapta belirttiğimiz Kesin değer ve ayrıca bir hesap makinesi kullanılarak hesaplanan yaklaşık bir değer (tercihen hem derece hem de radyan cinsinden).

Eksi, eksi, pek de önemli değil. İşte geometrik bir çizim:

Açının negatif bir yönelime sahip olması şaşırtıcı değildir, çünkü problem ifadesinde ilk sayı düz bir çizgidir ve açının "gevşetilmesi" tam olarak onunla başlamıştır.

Gerçekten pozitif bir açı elde etmek istiyorsanız çizgileri değiştirmeniz, yani ikinci denklemdeki katsayıları almanız gerekir. ve ilk denklemin katsayılarını alın. Kısacası, doğrudan başlamanız gerekir. .

Saklamayacağım, açının pozitif çıkması için düz çizgileri kendim seçiyorum. Daha güzel ama daha fazlası değil.

Çözümünüzü kontrol etmek için bir iletki alıp açıyı ölçebilirsiniz.

İkinci yöntem

Eğimli denklemlerle düz çizgiler veriliyorsa ve dik değil, O odaklı Aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Çizgilerin diklik durumu eşitlikle ifade edilir; bu arada, bazı problemlerde kullanılan dik çizgilerin açısal katsayıları arasında çok yararlı bir ilişki ortaya çıkar: .

Çözüm algoritması önceki paragrafa benzer. Ama önce düz çizgilerimizi istenilen biçimde yeniden yazalım:

Buna göre eğimler:

1) Çizgilerin dik olup olmadığını kontrol edelim:
Bu, çizgilerin dik olmadığı anlamına gelir.

2) Formülü kullanın:

Cevap:

İkinci yöntemin, düz çizgilerin denklemleri başlangıçta bir açısal katsayı ile belirtildiğinde kullanılması uygundur. En az bir düz çizginin ordinat eksenine paralel olması durumunda formülün hiçbir şekilde uygulanamayacağına dikkat edilmelidir, çünkü bu tür düz çizgiler için eğim tanımlanmamıştır (makaleye bakınız) Düzlemde düz bir çizginin denklemi).

Üçüncü bir çözüm daha var. Buradaki fikir, derste tartışılan formülü kullanarak çizgilerin yön vektörleri arasındaki açıyı hesaplamaktır. Vektörlerin nokta çarpımı:

Burada artık yönlendirilmiş bir açıdan değil, "sadece bir açıdan" bahsediyoruz, yani sonuç kesinlikle olumlu olacaktır. İşin püf noktası, geniş bir açıyla sonuçlanabilmenizdir (ihtiyacınız olanı değil). Bu durumda, düz çizgiler arasındaki açının daha küçük bir açı olduğuna dair bir rezervasyon yaptırmanız ve ortaya çıkan ark kosinüsünü "pi" radyanından (180 derece) çıkarmanız gerekecektir.

İsteyen üçüncü bir şekilde sorunu çözebilir. Ancak yine de yaygın olması nedeniyle, odaklı bir açıyla ilk yaklaşıma bağlı kalmanızı öneriyorum.

Örnek 11

Çizgiler arasındaki açıyı bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İki şekilde çözmeye çalışın.

Her nasılsa peri masalı yolda öldü... Çünkü Ölümsüz Kashchei diye bir şey yok. Ben varım ve özellikle buğulanmış değilim. Doğrusunu söylemek gerekirse yazının çok daha uzun olacağını düşündüm. Ama yine de yeni aldığım şapkamı ve gözlüğümü alıp eylül ayındaki göl suyunda yüzmeye gideceğim. Yorgunluğu ve negatif enerjiyi mükemmel şekilde giderir.

Önce Yakında görüşürüz!

Ve unutmayın, Baba Yaga iptal edilmedi =)

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3:Çözüm : Doğrunun yön vektörünü bulalım :

Noktayı kullanarak istenilen doğrunun denklemini oluşturalım. ve yön vektörü . Yön vektörünün koordinatlarından biri sıfır olduğundan Denk. şeklinde yeniden yazalım:

Cevap :

Örnek 5:Çözüm :
1) Bir doğrunun denklemi iki noktayı tamamlayalım :

2) Bir doğrunun denklemi iki noktayı tamamlayalım :

3) Değişkenler için karşılık gelen katsayılar orantılı değil: yani çizgiler kesişiyor.
4) Bir nokta bulun :

Not : burada sistemin ilk denklemi 5 ile çarpılır, ardından 2. denklem 1. denklemden terim terim çıkarılır.
Cevap :

Oh-oh-oh-oh-oh... yani, sanki kendi kendine bir cümle okuyormuş gibi zor =) Ancak rahatlamanın daha sonra faydası olacak, özellikle bugün uygun aksesuarları aldığım için. Bu nedenle ilk bölüme geçelim, umarım yazının sonunda neşeli ruh halimi korurum.

İki düz çizginin göreceli konumu

Seyircinin koro halinde şarkı söylemesi böyle bir durumdur. İki düz çizgi olabilir:

1) maç;

2) paralel olun: ;

3) veya tek bir noktada kesişir: .

Aptallar için yardım : Lütfen matematiksel kesişim işaretini unutmayın, çok sık görünecektir. Gösterim, çizginin çizgiyle noktasında kesiştiği anlamına gelir.

İki çizginin göreceli konumu nasıl belirlenir?

İlk durumla başlayalım:

İki doğru ancak ve ancak karşılık gelen katsayıları orantılıysa çakışır yani eşitlikleri sağlayan bir “lambda” sayısı vardır

Düz çizgileri ele alalım ve karşılık gelen katsayılardan üç denklem oluşturalım: . Her denklemden bu nedenle bu çizgilerin çakıştığı sonucu çıkar.

Aslında denklemin tüm katsayıları -1 ile çarpın (işaretleri değiştirin) ve denklemin tüm katsayıları 2'ye bölerseniz aynı denklemi elde edersiniz: .

Doğruların paralel olduğu ikinci durum:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı ise paraleldir: , Ancak.

Örnek olarak iki düz çizgiyi ele alalım. Değişkenler için karşılık gelen katsayıların orantılılığını kontrol ediyoruz:

Ancak şu çok açık ki.

Ve üçüncü durum, çizgiler kesiştiğinde:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı DEĞİLSE kesişir yani eşitlikleri sağlayacak şekilde bir “lambda” değeri YOKTUR

Yani düz çizgiler için bir sistem oluşturacağız:

İlk denklemden şu çıkar ve ikinci denklemden: , yani sistem tutarsız(çözüm yok). Dolayısıyla değişkenlerin katsayıları orantılı değildir.

Sonuç: çizgiler kesişiyor

Pratik problemlerde az önce tartışılan çözüm şemasını kullanabilirsiniz. Bu arada, sınıfta incelediğimiz vektörlerin eşdoğrusallık açısından kontrol edilmesine yönelik algoritmayı çok anımsatıyor. Vektörlerin doğrusal(bağımsız)bağımlılığı kavramı. Vektörlerin temeli. Ancak daha medeni bir paketleme var:

örnek 1

Açığa çıkarmak karşılıklı düzenleme doğrudan:

Çözüm düz çizgilerin yönlendirme vektörlerinin incelenmesine dayanmaktadır:

a) Denklemlerden doğruların yön vektörlerini buluruz: .

Bu, vektörlerin eşdoğrusal olmadığı ve çizgilerin kesiştiği anlamına gelir.

Her ihtimale karşı, kavşaklara işaretli bir taş koyacağım:

Geri kalanlar taşın üzerinden atlar ve doğrudan Ölümsüz Kashchei'ye kadar takip eder =)

b) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Çizgiler aynı yön vektörüne sahiptir, yani paralel veya çakışıktırlar. Burada belirleyiciyi saymaya gerek yok.

Bilinmeyenlerin katsayılarının orantılı olduğu açıktır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim:

Böylece,

c) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
dolayısıyla yön vektörleri eşdoğrusaldır. Çizgiler ya paraleldir ya da çakışıktır.

Orantılılık katsayısı “lambda”yı doğrudan doğrusal yön vektörlerinin oranından görmek kolaydır. Ancak denklemlerin katsayıları aracılığıyla da bulunabilir: .

Şimdi eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim. Her iki serbest terim de sıfırdır, dolayısıyla:

Ortaya çıkan değer bu denklemi karşılar (genel olarak herhangi bir sayı bunu karşılar).

Böylece çizgiler çakışıyor.

Cevap:

Çok yakında, sözlü olarak tartışılan sorunu birkaç saniye içinde tam anlamıyla çözmeyi öğreneceksiniz (ya da zaten öğrenmişsinizdir). Bu bağlamda, bağımsız bir çözüm için herhangi bir şey önermenin bir anlamı görmüyorum, geometrik temele bir önemli tuğla daha koymak daha iyidir:

Belirli bir çizgiye paralel bir çizgi nasıl oluşturulur?

Bu konuda bilgisizlikten en basit görev Soyguncu Bülbül ciddi şekilde cezalandırır.

Örnek 2

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen paralel doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Bilinmeyen satırı harfle gösterelim. Durumu onun hakkında ne söylüyor? Düz çizgi noktadan geçer. Ve eğer çizgiler paralelse, o zaman "tse" düz çizgisinin yön vektörünün de "de" düz çizgisini oluşturmak için uygun olduğu açıktır.

Yön vektörünü denklemden çıkarıyoruz:

Cevap:

Örnek geometri basit görünüyor:

Analitik testler aşağıdakilerden oluşur: sonraki adımlar:

1) Çizgilerin aynı yön vektörüne sahip olup olmadığını kontrol ederiz (doğrunun denklemi doğru şekilde basitleştirilmezse vektörler aynı doğrultuda olacaktır).

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Çoğu durumda analitik testler sözlü olarak kolaylıkla yapılabilir. İki denkleme bakın; çoğunuz herhangi bir çizim yapmadan çizgilerin paralelliğini hızlı bir şekilde belirleyeceksiniz.

Bugün bağımsız çözüm örnekleri yaratıcı olacaktır. Çünkü yine de Baba Yaga ile rekabet etmek zorunda kalacaksın ve o, biliyorsun, her türlü bilmeceyi seviyor.

Örnek 3

Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Bunu çözmenin hem rasyonel hem de rasyonel olmayan bir yolu var. En kısa yol dersin sonudur.

Paralel çizgilerle biraz çalıştık, onlara daha sonra döneceğiz. Çakışan doğrular durumu pek ilgimizi çekmiyor, bu yüzden size tanıdık gelen bir problemi ele alalım. Okul müfredatı:

İki doğrunun kesişme noktası nasıl bulunur?

Düz ise noktada kesişiyorsa koordinatları çözümdür doğrusal denklem sistemleri

Çizgilerin kesişme noktası nasıl bulunur? Sistemi çözün.

Hadi bakalım iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin geometrik anlamı- bunlar bir düzlemde kesişen iki (çoğunlukla) çizgidir.

Örnek 4

Çizgilerin kesişme noktasını bulun

Çözüm: Çözmenin iki yolu vardır - grafiksel ve analitik.

Grafiksel yöntem, verilen çizgileri basitçe çizmek ve kesişim noktasını doğrudan çizimden bulmaktır:

İşte konumuz: . Kontrol etmek için, koordinatlarını çizginin her denklemine koymalısınız, hem oraya hem de oraya sığmalıdırlar. Başka bir deyişle bir noktanın koordinatları sistemin çözümüdür. Temel olarak grafiksel bir çözüme baktık doğrusal denklem sistemleri iki denklem ve iki bilinmeyenle.

Grafiksel yöntem elbette kötü değil, ancak gözle görülür dezavantajlar var. Hayır, mesele yedinci sınıf öğrencilerinin bu şekilde karar vermesi değil, mesele doğru ve DOĞRU bir çizim oluşturmanın zaman alacağıdır. Ek olarak, bazı düz çizgilerin inşa edilmesi o kadar kolay değildir ve kesişme noktasının kendisi defter sayfasının dışında otuzuncu krallıkta bir yerde bulunabilir.

Bu nedenle kesişme noktasını analitik bir yöntem kullanarak aramak daha uygundur. Sistemi çözelim:

Sistemi çözmek için denklemlerin terim terim eklenmesi yöntemi kullanıldı. İlgili becerileri geliştirmek için ders alın Bir denklem sistemi nasıl çözülür?

Cevap:

Kontrol önemsizdir; kesişme noktasının koordinatları sistemin her denklemini karşılamalıdır.

Örnek 5

Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Görevi birkaç aşamaya bölmek uygundur. Durumun analizi bunun gerekli olduğunu göstermektedir:
1) Doğrunun denklemini yazınız.
2) Doğrunun denklemini yazınız.
3) Çizgilerin göreceli konumunu bulun.
4) Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bir eylem algoritmasının geliştirilmesi birçok geometrik problem için tipiktir ve ben buna defalarca odaklanacağım.

Tam çözüm ve dersin sonundaki cevap:

Dersin ikinci bölümüne geldiğimizde bir çift ayakkabı bile eskimemişti:

Dikey çizgiler. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Düz çizgiler arasındaki açı

Tipik ve çok tipik bir şeyle başlayalım önemli görev. İlk bölümde buna paralel bir düz çizginin nasıl inşa edileceğini öğrendik ve şimdi tavuk budu üzerindeki kulübe 90 derece dönecek:

Belirli bir çizgiye dik bir çizgi nasıl oluşturulur?

Örnek 6

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen doğruya dik olan denklemi yazınız.

Çözüm: Şartıyla öyle bilinir. Çizginin yönlendirici vektörünü bulmak güzel olurdu. Çizgiler dik olduğundan işin püf noktası basit:

Denklemden, düz çizginin yönlendirici vektörü olacak normal vektörü "kaldırıyoruz".

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Cevap:

Geometrik çizimi genişletelim:

Hımmm... Turuncu gökyüzü, turuncu deniz, turuncu deve.

Çözümün analitik doğrulaması:

1) Denklemlerden yön vektörlerini çıkarıyoruz ve yardımıyla vektörlerin skaler çarpımıçizgilerin gerçekten dik olduğu sonucuna varıyoruz: .

Bu arada normal vektörleri kullanabilirsiniz, daha da kolay.

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin .

Testin sözlü olarak yapılması yine kolaydır.

Örnek 7

Denklem biliniyorsa dik doğruların kesişme noktasını bulun ve dönem.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Problemde çeşitli eylemler vardır, bu nedenle çözümü nokta nokta formüle etmek uygundur.

Heyecan verici yolculuğumuz devam ediyor:

Noktadan çizgiye mesafe

Önümüzde düz bir nehir şeridi var ve görevimiz ona en kısa yoldan ulaşmak. Hiçbir engel yok ve en uygun rota dikey olarak hareket etmek olacaktır. Yani bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, dik parçanın uzunluğudur.

Geometride mesafe geleneksel olarak Yunanca “rho” harfiyle gösterilir, örneğin: – “em” noktasından “de” düz çizgisine olan mesafe.

Noktadan çizgiye mesafe formülle ifade edilir

Örnek 8

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözüm: Tek yapmanız gereken sayıları formülde dikkatlice yerine koymak ve hesaplamaları yapmaktır:

Cevap:

Çizimi yapalım:

Noktadan çizgiye olan mesafe tam olarak kırmızı parçanın uzunluğu kadardır. Kareli kağıda 1 birim ölçekte bir çizim çizerseniz. = 1 cm (2 hücre) ise mesafe sıradan bir cetvelle ölçülebilir.

Aynı çizime dayalı başka bir görevi ele alalım:

1) Doğruya dik olan bir doğru bulun.

2) Doğruların kesişme noktasını bulun: .

Her iki eylem de bu derste ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

3) Nokta, doğru parçasının orta noktasıdır. Ortanın ve uçlardan birinin koordinatlarını biliyoruz. İle bir parçanın orta noktasının koordinatları için formüller bulduk .

Mesafenin de 2,2 birim olduğunu kontrol etmek iyi bir fikir olacaktır.

Burada hesaplamalarda zorluklar ortaya çıkabilir, ancak bir mikro hesap makinesi kulede çok yardımcı olur ve sıradan kesirleri hesaplamanıza olanak tanır. Size defalarca tavsiyede bulundum ve yine tavsiye edeceğim.

İki paralel çizgi arasındaki mesafe nasıl bulunur?

Örnek 9

İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Bu da kendi başınıza karar vermeniz için başka bir örnek. Size küçük bir ipucu vereceğim: Bunu çözmenin sonsuz sayıda yolu var. Dersin sonunda bilgilendirme, ancak kendi başınıza tahmin etmeye çalışmak daha iyidir, bence yaratıcılığınız oldukça gelişmiştir.

İki düz çizgi arasındaki açı

Doğrular birbirine dik ise 4 açıdan herhangi biri aralarındaki açı olarak alınabilir.

Açılar nasıl farklı? Oryantasyon. İlk olarak, açının "kaydırıldığı" yön temel olarak önemlidir. İkinci olarak, negatif yönlü bir açı eksi işaretiyle yazılır, örneğin eğer .

Bunu sana neden söyledim? Görünüşe göre alışılagelmiş açı kavramıyla idare edebiliriz. Gerçek şu ki, açıları bulacağımız formüller kolaylıkla olumsuz sonuçla sonuçlanabiliyor ve bu sizi şaşırtmamalı. Eksi işaretli bir açı daha da kötü değildir ve çok özel bir geometrik anlamı vardır. Çizimde negatif açı için yönünü bir okla (saat yönünde) belirttiğinizden emin olun.

İki düz çizgi arasındaki açı nasıl bulunur?İki çalışma formülü vardır:

Örnek 10

Çizgiler arasındaki açıyı bulun

Çözüm Ve Birinci yöntem

Genel formdaki denklemlerle tanımlanan iki düz çizgiyi ele alalım:

Düz ise dik değil, O odaklı Aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Paydaya çok dikkat edelim - bu tam olarak skaler çarpım Düz çizgilerin yönlendirici vektörleri:

Eğer öyleyse, formülün paydası sıfır olur ve vektörler dik, çizgiler dik olur. Bu nedenle formülasyonda düz çizgilerin dik olmaması konusunda bir çekince konulmuştur.

Yukarıdakilere dayanarak çözümü iki adımda resmileştirmek uygundur:

1) Doğruların yön vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayalım:
Bu, çizgilerin dik olmadığı anlamına gelir.

2) Aşağıdaki formülü kullanarak düz çizgiler arasındaki açıyı bulun:

Ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır. Bu durumda arktanjantın tuhaflığını kullanırız (bkz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri):

Cevap:

Cevabınızda, hesap makinesi kullanılarak hesaplanan kesin değerin yanı sıra yaklaşık değeri de (tercihen hem derece hem de radyan cinsinden) belirtiyoruz.

Sorunun formülasyonu. Bir noktaya simetrik bir noktanın koordinatlarını bulun uçağa göre.

Çözüm planı.

1. Belirli bir düzleme dik olan ve noktadan geçen düz çizginin denklemini bulun . Düz bir çizgi belirli bir düzleme dik olduğundan, düzlemin normal vektörü yön vektörü olarak alınabilir;

Bu nedenle düz çizginin denklemi şöyle olacaktır:

2. Noktayı bulun düz bir çizginin kesişimi ve uçaklar (bkz. sorun 13).

3. Nokta noktanın bulunduğu segmentin orta noktasıdır noktaya simetrik bir noktadır , Bu yüzden

Sorun 14. Düzleme göre noktaya simetrik bir nokta bulun.

Belirli bir düzleme dik bir noktadan geçen düz çizginin denklemi şöyle olacaktır:

Doğru ile düzlemin kesişme noktasını bulalım.

Nerede – Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktası doğru parçasının ortasıdır, dolayısıyla

Onlar. .

Homojen düzlem koordinatları. Düzlemde afin dönüşümler.

İzin vermek M X Ve en

M(X, enMae (X, en, 1) uzayda (Şekil 8).

Mae (X, en

Mae (X, en ha.

(hx, hy, h), h  0,

Yorum

H(Örneğin, H

Aslında dikkate alındığında H

Yorum

Örnek 1.

B) bir açıya (Şekil 9).

1. adım.

2. adım. Açıya göre döndür 

karşılık gelen dönüşümün matrisi.

3. adım. A(a) vektörüne transfer, B)

karşılık gelen dönüşümün matrisi.

Örnek 3

 x ekseni boyunca ve

1. adım.

karşılık gelen dönüşümün matrisi.

2. adım.

3. adım.

sonunda alacağız

Yorum

[R],[D],[M],[T],

İzin vermek M- düzlemin koordinatlarla isteğe bağlı noktası X Ve en, belirli bir doğrusal koordinat sistemine göre hesaplanır. Bu noktanın homojen koordinatları, verilen x ve y sayılarıyla aşağıdaki ilişkilerle ilişkili, aynı anda sıfır olmayan x 1, x 2, x 3 sayılarının herhangi bir üçlüsüdür:

Bilgisayar grafiği problemlerini çözerken, homojen koordinatlar genellikle şu şekilde girilir: isteğe bağlı bir noktaya M(X, en) düzleme bir nokta atanır Mae (X, en, 1) uzayda (Şekil 8).

Başlangıç noktası olan 0(0, 0, 0) noktasını bu noktaya birleştiren çizgi üzerinde rastgele bir noktanın olduğuna dikkat edin. Mae (X, en, 1), (hx, hy, h) formundaki sayıların üçlüsü ile verilebilir.

Koordinatları hx, hy olan vektör, 0 (0, 0, 0) ve 0 (0, 0, 0) noktalarını birleştiren düz çizginin yön vektörüdür. Mae (X, en, 1). Bu çizgi, koordinat düzleminin (x, y) noktasını benzersiz şekilde tanımlayan z = 1 düzlemini (x, y, 1) noktasında keser. ha.

Böylece, (x, y) koordinatlarına sahip rastgele bir nokta ile formdaki üçlü sayılar kümesi arasında

(hx, hy, h), h  0,

hx, hy, h sayılarını bu noktanın yeni koordinatları olarak kabul etmemizi sağlayan (bire bir) bir yazışma kurulur.

Yorum

Projektif geometride yaygın olarak kullanılan homojen koordinatlar, uygunsuz elemanların (esasen projektif düzlemin bilinen Öklid düzleminden farklı olduğu elemanlar) etkili bir şekilde tanımlanmasını mümkün kılar. Tanıtılan homojen koordinatların sağladığı yeni olanaklar hakkında daha fazla ayrıntı bu bölümün dördüncü kısmında tartışılmaktadır.

Homojen koordinatlar için projektif geometride aşağıdaki gösterim kabul edilir:

x:y:1 veya daha genel olarak x1:x2:x3

(burada x 1, x 2, x 3 sayılarının aynı anda sıfıra dönmemesinin mutlaka gerekli olduğunu unutmayın).

Homojen koordinatların kullanılması, en basit problemleri çözerken bile kullanışlıdır.

Örneğin ölçekteki değişikliklerle ilgili konuları düşünün. Görüntüleme cihazı yalnızca tam sayılarla çalışıyorsa (veya yalnızca tam sayılarla çalışmanız gerekiyorsa), o zaman isteğe bağlı bir değer için H(Örneğin, H= 1) homojen koordinatlara sahip bir nokta

hayal etmek imkansız. Ancak makul bir h seçimi ile bu noktanın koordinatlarının tam sayı olmasını sağlamak mümkündür. Özellikle, söz konusu örnekte h = 10 için elimizdeki örnekte

Başka bir durumu ele alalım. Dönüşüm sonuçlarının aritmetik taşmaya yol açmasını önlemek için koordinatları (80000 40000 1000) olan bir nokta için örneğin h=0,001 alabilirsiniz. Sonuç olarak (80 40 1) elde ederiz.

Verilen örnekler, hesaplamalar yapılırken homojen koordinatların kullanılmasının yararlılığını göstermektedir. Bununla birlikte, bilgisayar grafiklerinde homojen koordinatların kullanılmasının asıl amacı, bunların geometrik dönüşümlere uygulanmasındaki şüphesiz kolaylıklarıdır.

Homojen koordinatların üçlüleri ve üçüncü dereceden matrisler kullanılarak bir düzlemin herhangi bir afin dönüşümü tanımlanabilir.

Aslında dikkate alındığında H= 1, iki girişi karşılaştırın: * sembolüyle ve aşağıdaki matrisle işaretlenmiştir:

Son ilişkinin sağ tarafındaki ifadeleri çarptıktan sonra hem formül (*) hem de doğru sayısal eşitlik olan 1=1'i elde ettiğimizi görmek kolaydır.

Yorum

Bazen literatürde başka bir gösterim kullanılır - sütunlu gösterim:

Bu gösterim, yukarıdaki satır satır gösterime eşdeğerdir (ve transpoze edilerek ondan elde edilir).

Rastgele bir afin dönüşüm matrisinin elemanları açık bir geometrik anlam taşımaz. Bu nedenle, şu veya bu haritalamayı uygulamak, yani karşılık gelen matrisin elemanlarını belirli bir geometrik açıklamaya göre bulmak için özel tekniklere ihtiyaç vardır. Tipik olarak, söz konusu problemin karmaşıklığına ve yukarıda açıklanan özel durumlara uygun olarak bu matrisin oluşturulması birkaç aşamaya bölünür.

Her aşamada, iyi tanımlanmış geometrik özelliklere sahip olan yukarıdaki A, B, C veya D durumlarından birine veya diğerine karşılık gelen bir matris aranır.

Karşılık gelen üçüncü dereceden matrisleri yazalım.

A. Dönme matrisi

B. Dilatasyon matrisi

B. Yansıma matrisi

D. Aktarım matrisi (çeviri)

Düzlemin afin dönüşümlerinin örneklerini ele alalım.

Örnek 1.

A noktası etrafında bir dönme matrisi oluşturun (a,B) bir açıya (Şekil 9).

1. adım. Dönme merkezini koordinatların başlangıç noktasıyla hizalamak için – A (-a, -b) vektörüne aktarın;

karşılık gelen dönüşümün matrisi.

2. adım. Açıya göre döndür 

karşılık gelen dönüşümün matrisi.

3. adım. A(a) vektörüne transfer, B) dönme merkezini önceki konumuna döndürmek için;

karşılık gelen dönüşümün matrisi.

Matrisleri yazıldığı sırayla çarpalım:

Sonuç olarak, istenen dönüşümün (matris gösteriminde) şöyle görüneceğini görüyoruz:

Ortaya çıkan matrisin elemanlarının (özellikle son satırda) hatırlanması o kadar kolay değildir. Aynı zamanda, çarpılan üç matrisin her biri, karşılık gelen eşlemenin geometrik açıklamasından kolaylıkla oluşturulabilir.

Örnek 3

Esneme katsayılarıyla bir esneme matrisi oluşturun x ekseni boyunca ve ordinat ekseni boyunca ve merkezi A(a, b) noktasında olacak şekilde.

1. adım. Uzatma merkezini koordinatların orijini ile hizalamak için -A(-a, -b) vektörüne aktarın;

karşılık gelen dönüşümün matrisi.

2. adım. Sırasıyla  ve  katsayılarıyla koordinat eksenleri boyunca germe; dönüşüm matrisi şu şekle sahiptir

3. adım. Gerilme merkezini önceki konumuna döndürmek için A(a, b) vektörüne aktarın; karşılık gelen dönüşümün matrisi –

Matrisleri aynı sırada çarpma

sonunda alacağız

Yorum

Benzer şekilde akıl yürütme, yani önerilen dönüşümü matrislerle desteklenen aşamalara bölme[R],[D],[M],[T], geometrik tanımından herhangi bir afin dönüşümün matrisi oluşturulabilir.

Kaydırma toplama yoluyla uygulanır ve ölçeklendirme ve döndürme çarpma yoluyla uygulanır.

Ölçeklendirme Dönüşümü (genişleme) orijine göre şu şekildedir:

veya matris formunda:

Nerede DX,Dsen eksenler boyunca ölçeklendirme faktörleridir ve

- ölçeklendirme matrisi.

D > 1 olduğunda genişleme meydana gelir, 0 olduğunda<=D<1- сжатие

Rotasyon dönüşümü kökene göre şu şekildedir:

veya matris formunda:

burada φ dönme açısıdır ve

- döndürme matrisi.

Yorum: Döndürme matrisinin sütunları ve satırları karşılıklı dik birim vektörlerdir. Aslında satır vektörlerinin uzunluklarının kareleri bire eşittir:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 ve (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

ve satır vektörlerinin skaler çarpımı

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Vektörlerin skaler çarpımı olduğundan A · B = |A| ·| B| ·cosψ, nerede | A| - vektör uzunluğu A, |B| - vektör uzunluğu B ve ψ aralarındaki en küçük pozitif açıdır, bu durumda uzunluğu 1 olan iki satır vektörünün skaler çarpımının 0 eşitliğinden aralarındaki açının 90 ° olduğu sonucu çıkar.

Uzaydaki düz bir çizgi her zaman paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi olarak tanımlanabilir. Bir düzlemin denklemi ikinci düzlemin denklemi ise doğrunun denklemi şu şekilde verilir:

Burada doğrusal olmayan
. Bu denklemlere denir genel denklemler düz uzayda.

Doğrunun kanonik denklemleri

Belirli bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfırdan farklı herhangi bir vektöre bu doğrunun yön vektörü denir.

Konu biliniyorsa
düz çizgi ve yön vektörü
, o zaman doğrunun kanonik denklemleri şu şekle sahiptir:

. (9)

Bir doğrunun parametrik denklemleri

Doğrunun kanonik denklemleri verilsin

Buradan doğrunun parametrik denklemlerini elde ederiz:

(10)

Bu denklemler bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasını bulmak için kullanışlıdır.

İki noktadan geçen çizginin denklemi
Ve
şu forma sahiptir:

Düz çizgiler arasındaki açı

Düz çizgiler arasındaki açı

yön vektörleri arasındaki açıya eşittir. Bu nedenle formül (4) kullanılarak hesaplanabilir:

Paralel doğruların koşulu:

Düzlemlerin dik olma koşulu:

Bir noktanın bir çizgiye uzaklığı

P diyelim ki nokta verildi
ve düz

Doğrunun kanonik denklemlerinden noktayı biliyoruz
bir doğruya ait olan ve onun yön vektörü
. Daha sonra noktanın uzaklığı
düz bir çizgiden itibaren vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın yüksekliğine eşittir Ve
. Buradan,

Çizgilerin kesişme koşulu

İki paralel olmayan çizgi

ancak ve ancak şu durumda kesişir

Düz bir çizginin ve bir düzlemin göreceli konumu.

Düz çizgi verilsin
ve uçak. Köşe aralarındaki formülle bulunabilir

Sorun 73. Doğrunun kanonik denklemlerini yazın

(11)

Çözüm. (9) doğrusuna ait kanonik denklemlerin yazılabilmesi için, doğruya ait herhangi bir noktanın ve doğrunun yön vektörünün bilinmesi gerekmektedir.

Vektörü bulalım , bu doğruya paralel. Bu düzlemlerin normal vektörlerine dik olması gerektiğinden, yani.

,
, O

Düz çizginin genel denklemlerinden şunu elde ederiz:
,
. Daha sonra

noktadan beri
Bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları çizginin denklemlerini karşılamalıdır ve bunlardan biri belirtilebilir, örneğin,
, diğer iki koordinatı sistemden (11) buluyoruz:

Buradan,
.

Böylece istenen çizginin kanonik denklemleri şu şekildedir:

veya
.

Sorun 74.

Ve
.

Çözüm.İlk doğrunun kanonik denklemlerinden noktanın koordinatları bilinmektedir.
doğruya ait ve yön vektörünün koordinatları
. İkinci doğrunun kanonik denklemlerinden noktanın koordinatları da bilinmektedir.
ve yön vektörünün koordinatları
.

Paralel çizgiler arasındaki mesafe noktanın mesafesine eşittir
ikinci düz çizgiden. Bu mesafe formülle hesaplanır

Vektörün koordinatlarını bulalım
.

Vektör çarpımını hesaplayalım
:

Sorun 75. Bir nokta bul simetrik nokta
nispeten düz

Çözüm. Verilen bir doğruya dik olan ve bir noktadan geçen düzlemin denklemini yazalım. . Normal vektörü olarak düz bir çizginin yönlendirici vektörünü alabilirsiniz. Daha sonra
. Buradan,

Hadi bir nokta bulalım
bu doğru ile P düzleminin kesişme noktası. Bunu yapmak için denklemleri (10) kullanarak doğrunun parametrik denklemlerini yazıyoruz, şunu elde ediyoruz:

Buradan,
.

İzin vermek
noktaya simetrik nokta
bu çizgiye göre. Sonra işaret et
orta nokta
. Bir noktanın koordinatlarını bulmak için Segmentin orta noktasının koordinatları için formülleri kullanıyoruz:

,
,
.

Bu yüzden,
.

Sorun 76. Bir doğrudan geçen düzlemin denklemini yazın
Ve

a) bir noktadan geçerek
;

b) düzleme dik.

Çözüm. Bu doğrunun genel denklemlerini yazalım. Bunu yapmak için iki eşitliği göz önünde bulundurun:

Bu, istenilen düzlemin jeneratörlü bir düzlemler demetine ait olduğu ve denkleminin (8) biçiminde yazılabileceği anlamına gelir:

a) Hadi bulalım
Ve uçağın bu noktadan geçmesi durumundan
bu nedenle koordinatları düzlemin denklemini karşılamalıdır. Noktanın koordinatlarını yerine koyalım
bir grup düzlemin denklemine:

Bulunan değer
Bunu denklem (12)'de yerine koyalım. istenen düzlemin denklemini elde ederiz:

b) Hadi bulalım
Ve İstenilen düzlemin düzleme dik olması koşulundan. Belirli bir düzlemin normal vektörü
, istenen düzlemin normal vektörü (bir grup düzlemin denklemine bakınız (12).