Bu bölümde ilgili görevleri ele alacağız. çeşitli sistemler bir parçayı belirli bir oranda bölerek koordinatları belirler.
Noktaların koordinatları verilmiştir: A(4; 3), İÇİNDE(7; 6), İLE(2; 11). Üçgenin olduğunu kanıtlayalım ABC dikdörtgen.
Üçgenin kenar uzunluklarını bulun ABC. Bu amaçla düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmamızı sağlayan bir formül kullanıyoruz:
Kenar uzunlukları eşit olacaktır:
Pisagor teoreminin bu üçgenin kenarları için geçerli olduğunu düşünürsek
sonra bir üçgen ABC– dikdörtgen.
Puanlar veriliyor A(2; 1) ve İÇİNDE(8; 4). Noktanın koordinatlarını bulun M(X; en), segmenti 2:1 oranında böler.
Asıl noktayı hatırlayın M(X; en) segmenti böler AB, Nerede A(X A , sen A), B(X B , sen B), λ: μ ile ilişkili olarak, eğer koordinatları koşulları sağlıyorsa:
,
.
Hadi bir nokta bulalım M belirli bir bölüm için
,
.
Yani asıl nokta M(6; 3) segmenti böler AB 2:1 oranında.
Noktanın dikdörtgen koordinatlarını bulun A(
3π/4), eğer kutup koordinatların orijini ile çakışıyorsa ve kutup ekseni apsis ekseni boyunca yönlendiriliyorsa.
Kutupsal koordinat sistemlerinden dikdörtgen koordinat sistemlerine geçiş formüllerini dikkate alarak
X = Rçünküφ, sen = R günahφ,
aldık
,
.
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde bir noktanın koordinatları şöyledir: A(–2; 2).
Aşağıdaki dikdörtgen koordinatlara sahip noktaların kutupsal koordinatlarını bulalım:
A(
;
2),İÇİNDE(–4;
4), İLE(–7;
0).
Dikdörtgen koordinatlardan kutupsal koordinatlara geçiş için formülleri kullanıyoruz:
,
.
Noktanın koordinatlarını alalım A:
,
.
Böylece A(4; π/6) – kutupsal koordinatlar (Şekil 15).
Bir noktaya kadar İÇİNDE(Şekil 16) elimizde
,
.
Bu nedenle noktanın kutupsal koordinatları İÇİNDE(
, 3π/4).
Önemli noktayı düşünün İLE(–7; 0) (Şek. 17). Bu durumda
,
,
.
Bir noktanın kutupsal koordinatlarını yazabilirsiniz İLE(7; π).
Vektörün uzunluğunu bulalım A = 20Ben + 30J – 60k ve yönü kosinüs.
Yön kosinüslerinin vektör olan açıların kosinüsleri olduğunu hatırlayın. A (A 1 , A 2 , A 3) koordinat eksenlerine sahip formlar:
,
,
,
Nerede 
.
Bu formülleri bu vektöre uyguladığımızda şunu elde ederiz:
,
.
Vektörü normalleştiriyoruz A = 3Ben + 4J – 12k .
Bir vektörü normalleştirmek birim uzunlukta bir vektör bulmaktır A
0, bu vektörle aynı şekilde yönlendirilmiştir. Keyfi bir vektör için A
(A 1 ,
A 2 ,
A 3) birim uzunluğun karşılık gelen vektörü çarpılarak bulunabilir A
bir kısmına 
.
.
Bizim durumumuzda birim uzunlukta bir vektör:
.
Vektörlerin skaler çarpımını bulalım
A = 4Ben + 5J + 6k Ve B = 3Ben – 4J + k .
Vektörlerin skaler çarpımını bulmak için karşılık gelen koordinatları çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir. Yani vektörler için A = A 1 Ben + A 2 J + A 3 k Ve B = B 1 Ben + B 2 J + B 3 k skaler çarpım şu şekildedir:
(A , B ) = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 .
Bu vektörler için şunu elde ederiz:
(A , B ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Vektörlerin olduğunu gösterelim. A = 2Ben – 3J + 5k Ve B = Ben + 4J + 2k dik.
Nokta çarpımları sıfır ise iki vektör birbirine diktir.
Skaler çarpımı bulalım:
(A , B ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Böylece vektörler A Ve B dik.
Parametrenin hangi değerinde olduğunu öğrenelim M vektörler A = 2Ben + 3J + Mk Ve B = 3Ben + MJ – 2k dik.
Vektörlerin skaler çarpımını bulalım A Ve B :
(A , B ) = 2∙3 + 3∙M – 2∙M = 6 + M.
Skaler çarpımları sıfır ise vektörler diktir. Ürünü sıfıra eşitliyoruz ( A , B ):
6 + M = 0.
Şu tarihte: M= – 6 vektör A Ve B dik.
Örnek 10.
Skaler çarpımı bulalım (3 A + 4B , 2A – 3B ), eğer | A | = 2, |B | = 1 ve arasındaki açı φ A Ve B π/3'e eşittir.
Skaler çarpımın özelliklerini kullanalım:
(α A , β B ) = αβ( A , B ),
(A + B , C ) = (A , C ) + (B , C ),
(A , B ) = (B , A )
(A , A ) = |A | 2 ,
ve skaler çarpımın tanımı ( A , B ) = |A |∙|B |∙cosφ. Skaler çarpımı formda yeniden yazalım.
(3A + 4B , 2A – 3B ) = 6(A , A ) – 9(A , B ) + 8(B , A ) – 12(B , B ) =
6|A | 2 – (A , B ) – 12|B | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Örnek 11.
Vektörler arasındaki açıyı bulalım
A = Ben + 2J + 3k Ve B = 6Ben + 4J – 2k .
Açıyı bulmak için iki vektörün skaler çarpımının tanımını kullanırız
(A , B ) = |A |∙|B |∙cosφ,
burada φ vektörler arasındaki açıdır A Ve B . Bu formülden cosφ'yi ifade edelim.
.
Hesaba katıldığında ( A
,
B
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
, şunu elde ederiz:
.
Buradan, 
.
Örnek 12.
A = 5Ben – 2J + 3k Ve B = Ben + 2J – 4k .
Vektörlerin vektör çarpımının olduğu bilinmektedir. A = A 1 Ben + A 2 J + A 3 k Ve B = B 1 Ben + B 2 J + B 3 k formülle bulunur
.
Bu nedenle bu vektörler için
2Ben + 23J + 12k .
Bir vektör çarpımının modülünü bulmak için, bir vektör çarpımının tanımının kullanılacağı ve önceki örnekte olduğu gibi faktörlerin koordinatları aracılığıyla ifade edilmediği bir örneği ele alalım.
Örnek 13.
Vektörlerin vektör çarpımının modülünü bulalım A + 2B ve 2 A – 3B , eğer | A | = 1, |B | = 2 ve vektörler arasındaki açı A Ve B 30°'ye eşittir.
Bir vektör çarpımının tanımından, keyfi vektörler için açıktır. A Ve B modülü
|[A , B ] | = |A | ∙ |B | ∙ günah φ.
Vektör çarpımının özelliklerini dikkate alarak
[A , B ] = – [B , A ],
[A , A ] = 0,
[α A + β B , C ] = α[ A , C ] + β[ B , C ],
aldık
[A + 2B , 2A – 3B ] = 2[A , A ] – 3[A , B ] + 4[B , A ] – 6[B , B ] = –7[A , B ].
Bu, vektör çarpımının modülünün şuna eşit olduğu anlamına gelir:
|[A + 2B , 2A – 3B ]| = |–7[A , B ]| = 7 ∙ |A | ∙ |B | ∙ günah 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.
Örnek 14.
Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını hesaplayalım
A = 6Ben + 3J – 2k Ve B = 3Ben – 2J + 6k .
İki vektörün vektör çarpımının modülünün olduğu bilinmektedir. alana eşit Bu vektörler üzerine oluşturulan paralelkenar. Aşağıdaki formülü kullanarak vektör çarpımını bulalım:
,
Nerede A = A 1 Ben + A 2 J + A 3 k Ve B = B 1 Ben + B 2 J + B 3 k . Daha sonra modülünü hesaplıyoruz.
Bu vektörler için şunu elde ederiz:
14Ben – 42J – 21k .
Bu nedenle paralelkenarın alanı
S = |[A , B ]| = (birim kare).
Örnek 15.
Köşeleri olan bir üçgenin alanını hesaplayın A(1;2;1), İÇİNDE(3;3;4), İLE(2;1;3).
Açıkçası, üçgenin alanı ABC vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanının yarısına eşit 
Ve 
.
Buna karşılık, vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı 
Ve 
, vektör çarpımının modülüne eşittir [ 
] Böylece
|[
]|.
Vektörlerin koordinatlarını bulalım 
Ve 
, başlangıcın karşılık gelen koordinatlarını vektörün sonunun koordinatlarından çıkararak şunu elde ederiz:
= (3 –
1)Ben
+ (3 – 2)J
+ (4 – 1)k
= 2Ben
+ J
+ 3k
,
= (2 –
1)Ben
+ (1 – 2)J
+ (3 – 1)k
= Ben
– J
+ 2k
.
Vektör çarpımını bulalım:
[
,
]
=
5Ben
– J
– 3k
.
Vektör çarpımının modülünü bulalım:
|[
]|
=
.
Dolayısıyla üçgenin alanını alabiliriz:
(birim kare).
Örnek 16.
Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını hesaplayalım A + 3B ve 3 A – B , eğer | A | = 2, |B | = 1 ve arasındaki açı A Ve B 30°'ye eşittir.
Örnek 13'te belirtilen tanımını ve özelliklerini kullanarak vektör çarpımının modülünü bulalım, şunu elde ederiz:
[A + 3B , 3A – B ] = 3[A , A ] – [A , B ] + 9[B , A ] – 3[B , B ] = –10[A , B ].
Bu, gerekli alanın eşit olduğu anlamına gelir
S = |[A + 3B , 3A – B ]| = |–10[A , B ]| = 10 ∙ |A | ∙ |B | ∙ günah 30° =
10∙2∙1∙0,5 = 10 (birim kare).
Aşağıdaki örnekler, vektörlerin karışık bir ürününün kullanımını içerecektir.
Örnek 17.
Bu vektörleri göster A = Ben + 2J – k , B = 3Ben + k Ve İle = 5Ben + 4J – k aynı düzlemde.
Vektörlerin karışık çarpımları sıfırsa eşdüzlemlidir. Rastgele vektörler için
A = A 1 Ben + A 2 J + A 3 k , B = B 1 Ben + B 2 J + B 3 k , C = C 1 Ben + C 2 J + C 3 k
karışık ürünü aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:
.
Bu vektörler için şunu elde ederiz:
.
Dolayısıyla bu vektörler eşdüzlemlidir.
Köşeleri olan üçgen piramidin hacmini bulun A(1;1;1), İÇİNDE(3;2;1), İLE(2;4;3), D(5;2;4).
Vektörlerin koordinatlarını bulalım 
,
Ve 
piramidin kenarlarına denk geliyor. Başlangıcın karşılık gelen koordinatlarını vektörün sonunun koordinatlarından çıkararak şunu elde ederiz:
= 2Ben
+ 3J
,
= Ben
+ 3J
+ 2k
,
= 4Ben
+ J
+ 3k
.
Bir piramidin hacminin, vektörler üzerine kurulu bir paralelyüzün hacminin 1/6'sına eşit olduğu bilinmektedir. 
,
Ve 
. Böylece,
.
Buna karşılık, paralel borunun hacmi, karışık ürünün modülüne eşittir.
V paralel
= |(
,
,
)|.
Karışık bir ürün bulalım
(
,
,
)
=
.
Yani piramidin hacmi
(küp birim).
Aşağıdaki örneklerde vektör cebirinin olası uygulamalarını göstereceğiz.
Örnek 19.
2 vektörünün doğrusal olup olmadığını kontrol edelim A + B Ve A – 3B , Nerede A = 2Ben + J – 3k Ve B = Ben + 2J + 4k .
2 vektörünün koordinatlarını bulalım A + B Ve A – 3B :
2A + B = 2(2Ben + J – 3k ) + Ben + 2J + 4k = 5Ben + 4J – 2k ,
A – 3B = 2Ben + J – 3k – 3(Ben + 2J + 4k ) = –Ben – 5J – 15k .
Doğrusal vektörlerin orantılı koordinatlara sahip olduğu bilinmektedir. Hesaba katıldığında
,
2 vektör olduğunu buluyoruz A + B Ve A – 3B doğrusal olmayan.
Bu sorun başka bir şekilde çözülebilirdi. Vektörlerin eşdoğrusallık kriteri, vektör çarpımının sıfıra eşitliğidir:
2[A , A ] – 6[A , B ] + [B , A ] – 3[B , B ] = –7[A , B ].
Vektörlerin vektör çarpımını bulalım A Ve B :
10Ben – 11J + 3k ≠ 0.
Buradan,
= –7[A , B ] ≠ 0
ve vektörler 2 A + B Ve A – 3B doğrusal olmayan.
Örnek 20.
Kuvvet işini bulalım F (3; 2; 1), uygulama noktası A(2; 4;–6), doğrusal olarak hareket ederek noktaya doğru hareket eder İÇİNDE(5; 2; 3).
Kuvvet işinin kuvvetin skaler çarpımı olduğu bilinmektedir. F
yer değiştirme vektörüne 
.
Vektörün koordinatlarını bulalım 
:
= 3Ben
– 2J
+ 9k
.
Bu nedenle kuvvet işi F bir noktayı hareket ettirerek A Kesinlikle İÇİNDE skaler çarpıma eşit olacak
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Örnek 21.
kuvvet olsun F (2;3;–1) noktasına uygulanır A(4;2;3). Zorla F nokta A bir noktaya doğru hareket eder İÇİNDE(3;1;2). Kuvvet momentinin modülünü bulalım F noktaya göre İÇİNDE.
Kuvvet momentinin kuvvet ve yer değiştirmenin vektör çarpımına eşit olduğu bilinmektedir. Yer değiştirme vektörünü bulalım 
:
= (3 –
4)Ben
+
(1 – 2)J
+ (2 – 3)k
= – Ben
–
J
– k
.
Kuvvet momentini vektör çarpımı olarak bulalım:
= – 4Ben + 3J + k .
Bu nedenle kuvvet momentinin modülü, vektör çarpımının modülüne eşittir:
|[F
,
]|
=
.
60) Bir vektör sistemi verildiğinde bir =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Bunu keşfedin doğrusal bağımlılık.
a) Vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır;
b) Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsızdır;
c) Doğru cevap yoktur.
61) Vektör sistemini keşfedin
bir =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0)'dan doğrusal bir ilişkiye.
a) vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsızdır;
b) vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır;
c) Doğru cevap yoktur.
62) Vektörler sistemi bir =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) doğrusal bağımlı mı?
a) hayır, değil;
b) evet öyle.
63) Bir vektör ifade ediliyor mu? b =(2, -1, 3) vektör sistemi aracılığıyla = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) hayır, ifade edilmedi;
b) evet ifade edilir.
64) Doğrusal bağımlılık için bir vektör sistemini inceleyin
bir = , b = , c = .
a) doğrusal olarak bağımsız;
b) doğrusal olarak bağımlı;
c) Doğru cevap yoktur.
65) Doğrusal bağımlılık için bir vektör sistemini inceleyin
bir = , b = , c =
a) doğrusal olarak bağımsız;
b) doğrusal olarak bağımlı;
c) Doğru cevap yoktur.
66) Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlı mıdır?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) doğrusal olarak bağımlı;
b) doğrusal olarak bağımsız;
c) Doğru cevap yoktur.
67) Doğrusal bağımsız matris satırlarının sayısı m'ye ve doğrusal bağımsız matris sütunlarının sayısı n'ye eşit olsun. Doğru ifadeyi seçin.
d) cevap matrise bağlıdır.
68) Doğrusal uzayın temel vektörleri
a) doğrusal olarak bağımlı;
b) doğrusal olarak bağımsız;
c) cevap spesifik temele bağlıdır.
69) vektör nedir?
a) bu hareketin yönünü gösteren bir ışındır
b) bu, A noktasında başlayan ve B noktasında biten, kendisine paralel hareket ettirilebilen yönlendirilmiş bir segmenttir
c) Bu, birbirinden eşit uzaklıkta birçok noktadan oluşan bir şekildir.
d) Bu, A noktasında başlangıcı ve B noktasında sonu olan ve kendisine paralel hareket ettirilemeyen bir doğru parçasıdır.
70) Doğrusal bir kombinasyon ise 1 + 2 +….+ƛ r sayılar arasında sıfır vektörünü temsil edebilir 1 , 2 ,…, , r sıfır olmayan en az bir tane varsa, o zaman vektörler sistemi a 1, a 2,…., a p isminde:
a) doğrusal olarak bağımsız;
b) doğrusal olarak bağımlı;
c) önemsiz;
d) önemsiz değil.
71) Doğrusal bir kombinasyon ise 1 + 2 +….+ƛ r yalnızca tüm sayılar sıfır vektörünü temsil eder 1 , 2 ,…, , r sıfıra eşittir, o zaman vektörler sistemi a 1, a 2,…., a p isminde:
a) doğrusal olarak bağımsız;
b) doğrusal olarak bağımlı;
c) önemsiz;
d) önemsiz değil.
72) Bir vektör uzayının temeli, belirli bir sırayla belirtilen ve koşulları karşılayan böyle bir vektörler sistemidir:
a) Sistem doğrusal olarak bağımsızdır;
b) Uzayın herhangi bir vektörü, belirli bir sistemin doğrusal birleşimidir;
c) Her ikisi de doğrudur;
d) Her ikisi de yanlıştır.
73) R n uzayının sayılarla toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olma özelliğine sahip bir alt kümesine denir:
a) Rn uzayının doğrusal önuzayı;
b) Rn uzayının izdüşümü;
c) Rn uzayının doğrusal alt uzayı;
d) Doğru cevap yoktur.
74) Sonlu bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı bir alt sistem içeriyorsa, o zaman:
a) Doğrusal bağımlı;
b) Doğrusal bağımsız;
75) Sistem doğrusal ise bağımlı vektör bir veya daha fazla vektör eklenirse ortaya çıkan sistem şöyle olacaktır:
a) Doğrusal bağımlı;
b) Doğrusal bağımsız;
c) Ne doğrusal bağımlı ne de doğrusal bağımsız.
76) Aşağıdaki durumlarda üç vektör eş düzlemli olarak adlandırılır:
a) Paralel doğrular üzerinde uzanırlar;
b) Aynı düz çizgi üzerinde uzanırlar;
c) Doğrusal bağımsız;
d) Paralel düzlemlerde uzanırlar;
77) Aşağıdaki durumlarda iki vektöre eşdoğrusal denir:
a) Aynı düzlemde yer alırlar;
b) Paralel düzlemlerde uzanırlar;
c) Doğrusal bağımsız;
d) Paralel doğrular üzerinde uzanırlar;
78) İki vektörün doğrusal olarak bağımlı olabilmesi için aşağıdaki gibi olmaları gerekir:
a) Teminat;
b) Eş düzlemli;
c) Doğrusal bağımsız;
d) Doğru seçenek yoktur.
79) bir vektörün çarpımı a=(A 1 ,A 2 ,A 3) bir sayıya vektör denir B, eşit
A) ( A 1 , A 2 , A 3)
b) ( + A 1 , +bir 2 , +bir 3)
V) ( /A 1 , /A 2 , /A 3)
80) eğer iki vektör aynı doğru üzerinde yer alıyorsa, bu tür vektörler
a) eşit
b) ortak yönetmenlik
c) eşdoğrusal
d) zıt yönlü
81) vektörlerin skaler çarpımı eşittir
a) uzunluklarının çarpımı;
b) uzunluklarının çarpımı ile aralarındaki açının kosinüsü;
c) uzunluklarının çarpımı, aralarındaki açının sinüsüdür;
d) uzunluklarının çarpımı ile aralarındaki açının tanjantı;
82) bir vektörün çarpımı A kendini aradı
a) vektör uzunluğu A
b) vektörün skaler karesi A
c) vektör yönü A
d) Doğru cevap yok
83) eğer vektörlerin çarpımı 0'a eşitse, bu tür vektörlere denir
a) eşdoğrusal
b) ortak yönetmenlik
c) dik
d) paralel
84) vektörün uzunluğu
a) skaler karesi
b) skaler karesinin kökü
c) koordinatlarının toplamı
d) vektörün sonu ve başlangıcı koordinatları arasındaki fark
85) Vektörlerin toplamını bulmanın kuralları nelerdir (çoklu cevap)
a) üçgen kuralı
b) çember kuralı
c) paralelkenar kuralı
d) Gauss kuralı
e) çokgen kuralı
f) dikdörtgen kuralı
86) eğer nokta A noktaya denk geliyor İÇİNDE, o zaman vektör çağrılır
a) birim vektör
c) sıfır vektör
d) önemsiz vektör
87) iki vektörün eşdoğrusal olması için aşağıdakiler gereklidir:
a)koordinatları aynıydı
b) koordinatları orantılıydı
c) koordinatları zıttı
d) koordinatları 0'a eşitti
88) a=2m+4n ve b=m-n olmak üzere iki vektör verilmiştir; burada m ve n, 120 0 açı oluşturan birim vektörlerdir. a ve b vektörleri arasındaki açıyı bulun.
89) Düzlemde m ve n olmak üzere iki birim vektör verilmiştir. Aralarındaki açının 60 derece olduğu biliniyor. a=m+2n vektörünün uzunluğunu bulun (cevabını 0,1'e yuvarlayın)
90) a=-4k ve b=2i+j vektörleri üzerine kurulmuş bir paralelkenarın köşegenleri arasındaki açıyı bulun
91) |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 vektörlerinin uzunlukları verilmiştir. |a+b|'yi tanımlayın
92) Üç vektör verilmiştir: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). p=2a-b+c vektörünün koordinatlarını bulun.
93) a=2i+3j-6k vektörünün uzunluğunu bulun.
94) a=λi-3j+2k ve b=i+2j-λk vektörleri hangi λ değerinde diktir?
95) a=6i-4j+k ve b=2i-4j+k vektörleri verilmiştir. tarafından oluşturulan açıyı bulun vektör a-b Oz ekseni ile.
96) Verilen vektörler = (4; –2; –6) ve = (–3; 4; –12). Vektörün izdüşümünü bulun A vektör eksenine B.
97) Açıyı bulun A köşeleri olan üçgen A (–1; 3; 2), İÇİNDE(3; 5; –2) ve
İLE(3; 3; –1). Cevabınızı 15cos olarak girin A.
98) Vektörün kare modülünü bulun 
, burada ve 60 o açı yapan birim vektörlerdir.
99) Nokta çarpımı bulun 
Ve 
100) Verilen noktalar A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). ABCD dörtgeninin türünü belirleyin.
a) Paralel borulu;
b) Dikdörtgen;
c) Yamuk;
101) Vektör = (3; 4), = (3; –1) ve = (1; –2) vektörlerine ayrıştırılır. Doğru ayrıştırmayı seçin.
