A matrisinde, AX = lX olacak şekilde bir l sayısı varsa.

Bu durumda l numarası çağrılır. özdeğer X vektörüne karşılık gelen operatör (matris A).

Başka bir deyişle, bir özvektör, doğrusal bir operatörün etkisi altında eşdoğrusal bir vektöre dönüşen bir vektördür; sadece bir sayıyla çarpın. Buna karşılık, uygunsuz vektörlerin dönüştürülmesi daha karmaşıktır.

Bir özvektörün tanımını bir denklem sistemi biçiminde yazalım:

Tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İkinci sistem matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

(A - lE)X = O

Ortaya çıkan sistemin her zaman sıfır çözümü vardır X = O. Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu sistemlere denir. homojen. Böyle bir sistemin matrisi kare ise ve determinantı sıfıra eşit değilse, Cramer formüllerini kullanarak her zaman benzersiz bir çözüm elde edeceğiz - sıfır. Bir sistemin sıfırdan farklı çözümlere sahip olduğu ancak ve ancak bu matrisin determinantının sıfıra eşit olması durumunda kanıtlanabilir;

|A - lE| = = 0

Bilinmeyen l'li bu denklem denir karakteristik denklem (karakteristik polinom) matris A (doğrusal operatör).

Doğrusal bir operatörün karakteristik polinomunun baz seçimine bağlı olmadığı kanıtlanabilir.

Örneğin A = matrisiyle tanımlanan doğrusal operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım.

Bunu yapmak için oluşturalım karakteristik denklem|A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; özdeğerler l 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Özvektörleri bulmak için iki denklem sistemini çözeriz

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Bunlardan ilki için genişletilmiş matris şu şekli alır:

,

dolayısıyla x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, yani. X(1) = (-(2/3)s;s).

İkincisi için genişletilmiş matris şu şekli alır:

,

buradan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, yani. X(2) = ((2/3)s1;s1).

Dolayısıyla, bu doğrusal operatörün özvektörlerinin tümü (-(2/3)с; с) formundaki ve özdeğeri (-5) olan vektörler ve ((2/3)с 1 ; с 1) formundaki tüm vektörler ve özdeğer 7.

A operatörünün matrisinin özvektörlerinden oluşan temelde köşegen olduğu ve şu şekilde olduğu kanıtlanabilir:

,

burada ben bu matrisin özdeğerleridir.

Bunun tersi de doğrudur: Eğer A matrisi bir bazda köşegen ise, o zaman bu bazın tüm vektörleri bu matrisin özvektörleri olacaktır.

Aynı zamanda, bir doğrusal operatörün n tane ikili farklı özdeğeri varsa, o zaman karşılık gelen özvektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bu operatörün matrisinin karşılık gelen tabanda köşegen bir forma sahip olduğu da kanıtlanabilir.

Bunu önceki örnekle açıklayalım. Rasgele sıfır olmayan c ve c1 değerlerini alalım, ancak X (1) ve X (2) vektörleri doğrusal olarak bağımsız olacak şekilde, yani. bir temel oluşturacaktı. Örneğin c = c 1 = 3 olsun, bu durumda X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3) olur.

Emin olalım doğrusal bağımsızlık bu vektörler:

12 ≠ 0. Bu yeni temelde A matrisi A * = formunu alacaktır.

Bunu doğrulamak için A * = C -1 AC formülünü kullanalım. İlk önce C-1'i bulalım.

C-1 = ;

İkinci dereceden şekiller

İkinci dereceden şekil n değişkenin f(x 1, x 2, x n)'sine, her terimi ya değişkenlerden birinin karesi ya da iki farklı değişkenin belirli bir katsayı ile çarpımı olan toplam denir: f(x 1 , x 2, x n) = (bir ij = bir ji).

Bu katsayılardan oluşan A matrisine denir matris ikinci dereceden form. Her zaman simetrik matris (yani ana köşegen etrafında simetrik bir matris, a ij = a ji).

Matris gösteriminde ikinci dereceden form f(X) = X T AX'tir, burada

Aslında

Örneğin ikinci dereceden formu matris formunda yazalım.

Bunu yapmak için ikinci dereceden formda bir matris buluyoruz. Çapraz elemanları, kare değişkenlerin katsayılarına eşittir ve geri kalan elemanlar, ikinci dereceden formun karşılık gelen katsayılarının yarısına eşittir. Bu yüzden

X değişkenlerinin matris sütunu, Y matris sütununun dejenere olmayan doğrusal dönüşümüyle elde edilsin; X = CY, burada C n'inci dereceden tekil olmayan bir matristir. O zaman ikinci dereceden f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Böylece, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm C ile ikinci dereceden formun matrisi şu şekli alır: A * = C T AC.

Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ikinci dereceden formundan doğrusal dönüşümle elde edilen ikinci dereceden f(y 1, y 2) formunu bulalım.

İkinci dereceden form denir kanonik(Vardır kanonik görünüm), eğer i ≠ j için tüm katsayıları a ij = 0 ise, yani
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Matrisi köşegendir.

Teorem(kanıt burada verilmemiştir). Herhangi bir ikinci dereceden form, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm kullanılarak kanonik forma indirgenebilir.

Örneğin ikinci dereceden formu kanonik forma indirgeyelim.
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Bunu yapmak için önce seçiyoruz mükemmel kare değişken x 1 ile:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x2 2 -x2x3.

Şimdi x 2 değişkenine sahip tam bir kare seçiyoruz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Daha sonra dejenere olmayan doğrusal dönüşüm y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 ve y 3 = x 3, bu ikinci dereceden formu f(y 1, y 2) kanonik formuna getirir , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

İkinci dereceden bir formun kanonik formunun belirsiz bir şekilde belirlendiğine dikkat edin (aynı ikinci dereceden form kanonik forma indirgenebilir) Farklı yollar). Ancak alınan Farklı yollar kanonik formların bir takım genel özellikleri vardır. Özellikle, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) katsayılarına sahip terimlerin sayısı, formun bu forma indirgeme yöntemine bağlı değildir (örneğin, ele alınan örnekte her zaman iki negatif ve bir pozitif katsayı olacaktır). Bu özelliğe ikinci dereceden formların eylemsizlik yasası denir.

Aynı ikinci dereceden formu kanonik forma farklı bir şekilde getirerek bunu doğrulayalım. Dönüşüme x 2 değişkeniyle başlayalım:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ve y3 = x 1 . Burada y 1'de negatif bir katsayı -3 ve y 2 ve y 3'te iki pozitif katsayı 3 ve 2 vardır (ve başka bir yöntem kullanarak y 2'de negatif bir katsayı (-5) ve iki pozitif katsayı elde ettik: y 1'de 2) ve y 3'te 1/20).

Aynı zamanda, ikinci dereceden formdaki bir matrisin rütbesinin de belirtildiği belirtilmelidir. ikinci dereceden formun sıralaması, kanonik formun sıfır olmayan katsayılarının sayısına eşittir ve doğrusal dönüşümler altında değişmez.

İkinci dereceden f(X) formu denir olumlu (olumsuz) kesin Değişkenlerin aynı anda sıfıra eşit olmayan tüm değerleri için pozitifse, yani. f(X) > 0 (negatif, yani
f(X)< 0).

Örneğin ikinci dereceden f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 formu pozitif tanımlıdır, çünkü karelerin toplamıdır ve ikinci dereceden f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 formu negatif tanımlıdır, çünkü f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 olarak temsil edilebileceğini temsil eder.

Çoğu pratik durumda, ikinci dereceden bir formun kesin işaretini belirlemek biraz daha zordur, bu nedenle bunun için aşağıdaki teoremlerden birini kullanırız (bunları kanıt olmadan formüle edeceğiz).

Teorem. İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak matrisinin tüm özdeğerlerinin pozitif (negatif) olması durumunda pozitif (negatif) kesindir.

Teorem(Sylvester kriteri). İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak bu formun matrisinin tüm önde gelen küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

Ana (köşe) minör N'inci dereceden k'inci derece matris A'ya, A () matrisinin ilk k satır ve sütunlarından oluşan matrisin determinantı denir.

Negatif belirli ikinci dereceden formlar için asal küçüklerin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu ve birinci dereceden küçüklerin negatif olması gerektiğini unutmayın.

Örneğin işaret kesinliği için ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 formunu inceleyelim.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Yöntem 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 matrisinin birinci dereceden asal minörü. İkinci dereceden asal minör D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Bu nedenle Sylvester kriterine göre ikinci dereceden form şu şekildedir: pozitif kesin.

İşaret kesinliği için başka bir ikinci dereceden formu inceliyoruz, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem şu şekilde olacaktır: = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form negatif tanımlıdır.

Yöntem 2. A D matrisinin birinci dereceden baş minörü 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Sonuç olarak Sylvester kriterine göre ikinci dereceden form negatif tanımlıdır (eksiden başlayarak ana küçüklerin işaretleri dönüşümlüdür).

Başka bir örnek olarak, işareti belirlenmiş ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 formunu inceliyoruz.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem şu şekilde olacaktır: = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Bu sayılardan biri negatif, diğeri pozitiftir. Özdeğerlerin işaretleri farklıdır. Sonuç olarak, ikinci dereceden form ne negatif ne de pozitif tanımlı olabilir; bu ikinci dereceden form işaret tanımlı değildir (herhangi bir işaretin değerini alabilir).

Yöntem 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 matrisinin birinci dereceden asal minörü. İkinci dereceden asal minör D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

HOMOJEN DOĞRUSAL DENKLEMLER SİSTEMİ

Homojen sistem doğrusal denklemler form sistemi denir

Bu durumda açıktır ki , Çünkü bu determinantlardaki sütunlardan birinin tüm elemanları sıfıra eşittir.

Bilinmeyenler formüllere göre bulunduğundan Δ ≠ 0 olması durumunda sistemin benzersiz bir sıfır çözümü vardır X = sen = z= 0. Ancak birçok problemde ilginç soru şudur: homojen sistem sıfır dışındaki çözümler.

Teorem. Doğrusal sistem için homojen denklemler sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.

Yani eğer determinant Δ ≠ 0 ise sistemin tek bir çözümü vardır. Eğer Δ ≠ 0 ise, doğrusal homojen denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Örnekler.

Matrisin özvektörleri ve özdeğerleri

Bir kare matris verilsin , X– yüksekliği matrisin sırasına denk gelen bazı matris sütunları A. .

Birçok problemde aşağıdaki denklemi dikkate almamız gerekir: X

burada λ belirli bir sayıdır. Herhangi bir λ için bu denklemin sıfır çözümü olduğu açıktır.

Bu denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan λ sayısına denir. özdeğer matrisler A, A X bunun için λ denir özvektör matrisler A.

Matrisin özvektörünü bulalım A. Çünkü e∙X = X, o zaman matris denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir: veya . Genişletilmiş formda bu denklem, bir doğrusal denklem sistemi olarak yeniden yazılabilir. Gerçekten .

Ve bu nedenle

Böylece koordinatları belirlemek için bir homojen doğrusal denklem sistemi elde ettik. x 1, x 2, x 3 vektör X. Bir sistemin sıfırdan farklı çözümlere sahip olması için sistemin determinantının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir;

Bu λ için 3. dereceden bir denklemdir. Buna denir karakteristik denklem matrisler A ve λ'nın özdeğerlerini belirlemeye yarar.

Her özdeğer λ bir özvektöre karşılık gelir X koordinatları sistemden karşılık gelen λ değerinde belirlenir.

Örnekler.

VEKTÖR CEBİR. VEKTÖR KAVRAMI

Fiziğin çeşitli dallarını incelerken, örneğin uzunluk, alan, kütle, sıcaklık vb. gibi sayısal değerleri belirtilerek tamamen belirlenen nicelikler vardır. Bu tür büyüklüklere skaler denir. Ancak bunlara ek olarak, sayısal değere ek olarak uzaydaki yönlerini de bilmek gereken nicelikleri belirlemek için, örneğin cisme etki eden kuvvet, cismin hızı ve ivmesi de vardır. uzayda hareket ettiğinde vücut, gerginlik manyetik alan uzayda belirli bir noktada vb. Bu tür büyüklüklere vektör büyüklükleri denir.

Kesin bir tanım getirelim.

Yönlendirilmiş bölüm Uçlarına göre hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğu bilinen bir segment diyelim.

Vektör belirli bir uzunluğa sahip yönlendirilmiş bir bölüm olarak adlandırılır, yani. Bu, onu sınırlayan noktalardan birinin başlangıç, ikincisinin son olarak alındığı belirli uzunlukta bir segmenttir. Eğer A– vektörün başlangıcı, B sonu ise vektör sembolle gösterilir; ayrıca vektör genellikle tek bir harfle gösterilir. Şekilde vektör bir doğru parçasıyla, yönü ise bir okla gösterilmiştir.

Modül veya uzunluk Bir vektöre onu tanımlayan yönlendirilmiş parçanın uzunluğu denir. || ile gösterilir veya ||.

Başlangıç ​​ve bitişi çakışan sıfır vektörünü de vektör olarak dahil edeceğiz. Belirlenmiştir. Sıfır vektörünün belirli bir yönü yoktur ve modülü sıfır ||=0'dır.

Vektörler denir doğrusal, aynı çizgide veya paralel çizgilerde bulunuyorlarsa. Üstelik ve vektörleri aynı yönde ise ters yazacağız.

Aynı düzleme paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere denir. aynı düzlemde.

İki vektör denir eşit, eğer eşdoğrusal iseler, aynı yöne sahiptirler ve eşit uzunluktadırlar. Bu durumda yazıyorlar.

Vektörlerin eşitliği tanımından, bir vektörün, kökenini uzayda herhangi bir noktaya yerleştirerek kendisine paralel olarak taşınabileceği sonucu çıkar.

Örneğin.

VEKTÖRLER ÜZERİNDE DOĞRUSAL İŞLEMLER

1. Bir vektörün bir sayıyla çarpılması.

   Bir vektör ile λ sayısının çarpımı yeni bir vektördür, öyle ki:

   Bir vektör ile bir λ sayısının çarpımı ile gösterilir.

   

   Örneğin, vektörle aynı yönde yönlendirilmiş ve uzunluğu vektörün yarısı kadar olan bir vektör var.

   Tanıtılan işlem aşağıdakilere sahiptir özellikler:

2. Vektör ilavesi.

   ve iki keyfi vektör olsun. Rastgele bir noktayı ele alalım Ö ve bir vektör oluşturun. Bundan sonra bu noktadan A vektörü bir kenara bırakalım. Birinci vektörün başlangıcını ikincinin sonuna bağlayan vektöre denir. miktar bu vektörlerin ve gösterilir .

   

   Vektör toplamanın formüle edilmiş tanımına denir paralelkenar kuralı, çünkü aynı vektör toplamı aşağıdaki gibi elde edilebilir. Konuyu erteleyelim Ö vektörler ve . Bu vektörler üzerinde bir paralelkenar oluşturalım OABC. Vektörler olduğundan, köşeden çizilen bir paralelkenarın köşegeni olan vektör Ö, açıkça vektörlerin toplamı olacaktır.

   

   Aşağıdakileri kontrol etmek kolaydır vektör toplamanın özellikleri.

3. Vektör farkı.

   Belirli bir vektöre eşdoğrusal olan, uzunluğu eşit ve zıt yönlü bir vektöre denir. zıt Bir vektör için vektör ve ile gösterilir. Karşıt vektör ise vektörün λ = –1 sayısı ile çarpılması sonucu elde edilebilir: .

Özdeğerler(sayılar) ve özvektörler.
Çözüm örnekleri

Kendin ol

Her iki denklemden de şu çıkıyor.

O zaman şunu koyalım: .

Sonuç olarak: – ikinci özvektör.

Tekrar edelim önemli noktalarçözümler:

– ortaya çıkan sistem kesinlikle ortak karar(denklemler doğrusal olarak bağımlıdır);

– “y”yi tam sayı, ilk “x” koordinatı ise tam sayı, pozitif ve mümkün olduğu kadar küçük olacak şekilde seçiyoruz.

– Belirli bir çözümün sistemin her denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol ederiz.

Cevap .

Orta seviye " kontrol noktaları" oldukça yeterliydi, dolayısıyla eşitliklerin kontrol edilmesi prensipte gereksizdir.

Çeşitli bilgi kaynaklarında, özvektörlerin koordinatları genellikle sütunlar halinde değil satırlar halinde yazılır, örneğin: (ve dürüst olmak gerekirse ben de bunları satırlar halinde yazmaya alışkınım). Bu seçenek kabul edilebilir, ancak konunun ışığında doğrusal dönüşümler teknik olarak kullanımı daha uygun sütun vektörleri.

Belki çözüm size çok uzun göründü ama bunun tek sebebi ilk örneği çok detaylı yorumlamış olmamdır.

Örnek 2

Matrisler

Kendi başımıza antrenman yapalım! Dersin sonundaki son göreve yaklaşık bir örnek.

Bazen yapman gerekir ek görev, yani:

kanonik matris ayrıştırmasını yazın

Ne olduğunu?

Matrisin özvektörleri ise temel ise şu şekilde temsil edilebilir:

Özvektörlerin koordinatlarından oluşan bir matris nerede, – diyagonal karşılık gelen özdeğerlere sahip matris.

Bu matris ayrıştırmasına denir kanonik veya diyagonal.

İlk örneğin matrisine bakalım. Özvektörleri Doğrusal bağımsız(doğrusal olmayan) ve bir temel oluşturur. Koordinatlarından bir matris oluşturalım:

Açık ana diyagonal matrisler uygun sıraylaözdeğerler bulunur ve kalan elemanlar sıfıra eşittir:
– Sıranın önemini bir kez daha vurguluyorum: “iki” 1. vektöre karşılık gelir ve bu nedenle 1. sütunda yer alır, “üç” ise 2. vektöre karşılık gelir.

İle olağan algoritmaya bulma ters matris veya Gauss-Jordan yöntemi bulduk . Hayır, bu bir yazım hatası değil! - önünüzde, tersinin orijinal matrisle çakıştığı güneş tutulması gibi nadir bir olay var.

Matrisin kanonik ayrışmasını yazmaya devam ediyor:

Sistem temel dönüşümler kullanılarak çözülebilir ve aşağıdaki örneklerde başvuracağız. Bu method. Ancak burada "okul" yöntemi çok daha hızlı çalışıyor. 3. denklemden şunu ifade ederiz: – ikinci denklemde yerine koyarız:

İlk koordinat sıfır olduğundan, her denklemden bunu takip eden bir sistem elde ederiz.

Ve yeniden doğrusal bir ilişkinin zorunlu varlığına dikkat edin. Sadece önemsiz bir çözüm elde edilirse , bu durumda ya özdeğer yanlış bulunmuştur ya da sistem bir hatayla derlenmiştir/çözülmüştür.

Kompakt koordinatlar değeri verir

Özvektör:

Ve bir kez daha çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar. Sonraki paragraflarda ve sonraki görevlerde bu isteğin zorunlu bir kural olarak alınmasını öneriyorum.

2) Özdeğer için aynı prensibi kullanarak şunu elde ederiz: aşağıdaki sistem:

Sistemin 2. denkleminden şunu ifade ederiz: – üçüncü denklemde yerine şunu koyarız:

“Zeta” koordinatı sıfıra eşit olduğundan, takip ettiği her denklemden bir sistem elde ederiz. doğrusal bağımlılık.

İzin vermek

Çözümün kontrol edilmesi sistemin tüm denklemlerini karşılar.

Dolayısıyla özvektör: .

3) Ve son olarak sistem özdeğere karşılık gelir:

İkinci denklem en basit gibi göründüğü için onu ifade edelim ve 1. ve 3. denklemlerde yerine koyalım:

Her şey yolunda - ifadenin yerine koyduğumuz doğrusal bir ilişki ortaya çıktı:

Sonuç olarak “x” ve “y” “z” ile ifade edildi: . Uygulamada bu tür ilişkilerin tam olarak sağlanması gerekli değildir; bazı durumlarda hem aracılığıyla hem de yoluyla ifade etmek daha uygundur. Hatta "eğitim" - örneğin "X"ten "I"ye ve "I"den "Z"ye

O zaman şunu koyalım:

Çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar ve üçüncü özvektörü yazar

Cevap: özvektörler:

Geometrik olarak bu vektörler üç farklı uzaysal yönü tanımlar ("Orada ve tekrar geri"), buna göre doğrusal dönüşüm sıfır olmayan vektörleri (özvektörleri) eşdoğrusal vektörlere dönüştürür.

Koşul kanonik ayrıştırmanın bulunmasını gerektiriyorsa bu burada mümkündür, çünkü farklı özdeğerler farklı doğrusal bağımsız özvektörlere karşılık gelir. Matris yapmak koordinatlarından diyagonal bir matris itibaren ilgiliözdeğerler ve bulma ters matris .

Koşula göre yazmanız gerekiyorsa özvektörler bazında doğrusal dönüşüm matrisi, ardından cevabı formda veriyoruz. Bir fark var ve fark önemli!Çünkü bu matris “de” matrisidir.

Daha fazlası ile ilgili sorun basit hesaplamalarİçin bağımsız karar:

Örnek 5

Bir matris tarafından verilen doğrusal dönüşümün özvektörlerini bulun

Kendi numaralarınızı bulurken 3. derece polinoma kadar gitmemeye çalışın. Ayrıca sistem çözümleriniz benim çözümlerimden farklı olabilir - burada kesinlik yoktur; ve bulduğunuz vektörler örnek vektörlerden ilgili koordinatlarının orantılılığına kadar farklılık gösterebilir. Örneğin ve. Cevabı formda sunmak estetik açıdan daha hoş ama ikinci seçenekte durursanız sorun değil. Ancak her şeyin makul sınırları var; sürüm artık pek iyi görünmüyor.

Dersin sonunda ödevin yaklaşık son örneği.

Çoklu özdeğer durumunda problem nasıl çözülür?

Genel algoritma Aynı kalır, ancak kendine has özellikleri vardır ve çözümün bazı bölümlerinin daha katı bir akademik tarzda tutulması tavsiye edilir:

Örnek 6

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Çözüm

Tabii ki, muhteşem ilk sütunu büyük harfle yazalım:

Ve ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırdıktan sonra:

Sonuç olarak, ikisi kat olan özdeğerler elde edilir.

Özvektörleri bulalım:

1) Yalnız bir askerle “basitleştirilmiş” bir şemaya göre ilgilenelim:

Son iki denklemden eşitlik açıkça görülebilmektedir ve bunun sistemin 1. denkleminde değiştirilmesi gerektiği açıktır:

Daha iyi bir kombinasyon bulamazsınız:
Özvektör:

2-3) Şimdi birkaç nöbetçiyi kaldırıyoruz. İÇİNDE bu durumda işe yarayabilir ya iki ya da birözvektör. Köklerin çokluğuna bakılmaksızın değeri determinantın yerine koyarız. bu da bize bir sonrakini getiriyor homojen doğrusal denklem sistemi:

Özvektörler tam olarak vektörlerdir
temel çözüm sistemi

Aslında tüm ders boyunca temel sistemin vektörlerini bulmaktan başka bir şey yapmadık. Sadece şimdilik bu terime özellikle ihtiyaç duyulmuyordu. Bu arada, kamuflaj elbiseli konuyu kaçıran zeki öğrenciler homojen denklemler, şimdi onu içmeye zorlanacak.

Yapılacak tek şey fazladan satırları kaldırmaktı. Sonuç, ortasında resmi bir "adım" bulunan bire üç matristir.
– temel değişken, – serbest değişkenler. İki serbest değişken vardır, bu nedenle temel sistemin iki vektörü de vardır.

Temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade edelim: . “X” in önündeki sıfır çarpanı, kesinlikle herhangi bir değeri almasına izin verir (ki bu, denklem sisteminden açıkça görülebilir).

Bu problem bağlamında genel çözümü arka arkaya değil sütun halinde yazmak daha uygundur:

Çift bir özvektöre karşılık gelir:
Çift bir özvektöre karşılık gelir:

Not : deneyimli okuyucular bu vektörleri sözlü olarak seçebilirler - yalnızca sistemi analiz ederek , ancak burada biraz bilgiye ihtiyaç vardır: üç değişken vardır, sistem matris sıralaması- bir, yani temel karar sistemi 3 – 1 = 2 vektörden oluşur. Ancak bulunan vektörler bu bilgi olmadan bile tamamen sezgisel düzeyde açıkça görülebilir. Bu durumda üçüncü vektör daha da “güzel” yazılacaktır: . Ancak bir başka örnekte basit bir seçimin mümkün olmayabileceği konusunda sizi uyarıyorum, bu nedenle madde tecrübeli kişilere yöneliktir. Ayrıca neden üçüncü vektörü de almayasınız? Sonuçta koordinatları aynı zamanda sistemin her denklemini ve vektörleri de karşılar Doğrusal bağımsız. Bu seçenek prensipte uygundur ancak "çarpıktır", çünkü "diğer" vektör temel sistemin vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir.

Cevap: özdeğerler: , özvektörler:

Bağımsız bir çözüm için benzer bir örnek:

Örnek 7

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Hem 6. hem de 7. örneklerde doğrusal olarak bağımsız özvektörlerin üçlüsünün elde edildiğine ve dolayısıyla orijinal matrisin kanonik ayrıştırmada temsil edilebildiğine dikkat edilmelidir. Ancak bu tür ahududular her durumda olmaz:

Örnek 8

Çözüm: Karakteristik denklemi oluşturup çözelim:

İlk sütundaki determinantı genişletelim:

Üçüncü derece polinomdan kaçınarak, dikkate alınan yönteme göre daha fazla basitleştirmeler yapıyoruz:

– özdeğerler.

Özvektörleri bulalım:

1) Kökle ilgili herhangi bir zorluk yoktur:

Şaşırmayın, kitin yanı sıra kullanılan değişkenler de var - burada hiçbir fark yok.

3. denklemden ifade edip 1. ve 2. denklemlerde yerine koyuyoruz:

Her iki denklemden de şu sonuç çıkar:

O halde:

2-3) Birden fazla değer için sistemi alıyoruz .

Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:

Bir kare matrisin özvektörü, belirli bir matrisle çarpıldığında eşdoğrusal bir vektörle sonuçlanan bir özvektördür. Basit kelimelerle, bir matris bir özvektörle çarpıldığında, ikincisi aynı kalır, ancak belirli bir sayıyla çarpılır.

Tanım

Bir özvektör sıfırdan farklı bir V vektörüdür ve M kare matrisiyle çarpıldığında kendisi de bir λ sayısı kadar artar. Cebirsel gösterimde şöyle görünür:

M × V = λ × V,

burada λ M matrisinin özdeğeridir.

Hadi düşünelim Sayısal örnek. Kayıt kolaylığı açısından matristeki sayılar noktalı virgülle ayrılacaktır. Bir matrisimiz olsun:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Bunu bir sütun vektörüyle çarpalım:

• V = -2;

Bir matrisi bir sütun vektörüyle çarptığımızda ayrıca bir sütun vektörü elde ederiz. Sıkı matematik dili 2 × 2'lik bir matrisi bir sütun vektörüyle çarpma formülü şuna benzer:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11, M matrisinin birinci satır ve birinci sütunda yer alan elemanını, M22 ise ikinci satır ve ikinci sütunda yer alan elemanı ifade etmektedir. Matrisimiz için bu elemanlar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10'a eşittir. Bir sütun vektörü için bu değerler V11 = –2, V21 = 1'e eşittir. Bu formüle göre, bir kare matrisin bir vektörle çarpımının aşağıdaki sonucunu elde ederiz:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Kolaylık sağlamak için sütun vektörünü bir satıra yazalım. Böylece kare matrisi (-2; 1) vektörüyle çarparak (4; -2) vektörünü elde ettik. Açıkçası, bu aynı vektörün λ = -2 ile çarpımıdır. Lambda bu durumda matrisin özdeğerini gösterir.

Bir matrisin özvektörü eşdoğrusal bir vektördür, yani bir matris ile çarpıldığında uzaydaki konumunu değiştirmeyen bir nesnedir. Vektör cebirindeki eşdoğrusallık kavramı, geometrideki paralellik terimine benzer. Geometrik bir yorumda, eşdoğrusal vektörler farklı uzunluklarda paralel yönlendirilmiş bölümlerdir. Öklid zamanından bu yana, bir doğrunun kendisine paralel sonsuz sayıda doğruya sahip olduğunu biliyoruz, dolayısıyla her matrisin sonsuz sayıda özvektöre sahip olduğunu varsaymak mantıklıdır.

Önceki örnekten özvektörlerin (-8; 4) ve (16; -8) ve (32, -16) olabileceği açıktır. Bunların hepsi λ = -2 özdeğerine karşılık gelen eşdoğrusal vektörlerdir. Orijinal matrisi bu vektörlerle çarptığımızda yine orijinalden 2 kat farklı bir vektör elde ederiz. Bu nedenle özvektör bulma problemlerini çözerken yalnızca doğrusal olarak bağımsız vektör nesnelerinin bulunması gerekir. Çoğu zaman, n × n'lik bir matris için n sayıda özvektör vardır. Hesap makinemiz ikinci dereceden kare matrislerin analizi için tasarlanmıştır, bu nedenle çakıştıkları durumlar dışında sonuç hemen hemen her zaman iki özvektör bulacaktır.

Yukarıdaki örnekte orijinal matrisin özvektörünü önceden biliyorduk ve lambda sayısını net bir şekilde belirledik. Ancak pratikte her şey tam tersi olur: önce özdeğerler bulunur, sonra yalnızca özvektörler bulunur.

Çözüm algoritması

Orijinal M matrisine tekrar bakalım ve onun her iki özvektörünü bulmaya çalışalım. Yani matris şöyle görünür:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Öncelikle aşağıdaki matrisin determinantının hesaplanmasını gerektiren λ özdeğerini belirlememiz gerekir:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 – λ).

Bu matris, bilinmeyen λ'nın ana köşegendeki elemanlardan çıkarılmasıyla elde edilir. Belirleyici standart formül kullanılarak belirlenir:

• detA = M11 × M21 – M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Vektörümüzün sıfırdan farklı olması gerektiğinden, ortaya çıkan denklemi doğrusal bağımlı olarak kabul ediyoruz ve determinantımız detA'yı sıfıra eşitliyoruz.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

Parantezleri açalım ve matrisin karakteristik denklemini elde edelim:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

Bu standart ikinci dereceden denklem, bunun diskriminant yoluyla çözülmesi gerekir.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminantın kökü sqrt(D) = 14, dolayısıyla λ1 = -2, λ2 = 12. Şimdi her lambda değeri için özvektörü bulmamız gerekiyor. λ = -2 için sistem katsayılarını ifade edelim.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Bu formülde E birim matristir. Ortaya çıkan matrise dayanarak bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

2x + 4y = 6x + 12y,

burada x ve y özvektör elemanlarıdır.

Soldaki tüm X'leri ve sağdaki tüm Y'leri toplayalım. Açıkçası - 4x = 8y. İfadeyi -4'e bölün ve x = –2y olsun. Artık bilinmeyenlerin herhangi bir değerini alarak matrisin ilk özvektörünü belirleyebiliriz (doğrusal bağımlı özvektörlerin sonsuzluğunu hatırlayın). Y = 1 alalım, sonra x = –2 olsun. Bu nedenle, ilk özvektör V1 = (–2; 1) gibi görünür. Makalenin başına dönün. Özvektör kavramını göstermek için matrisi çarptığımız şey bu vektör nesnesiydi.

Şimdi λ = 12'nin özvektörünü bulalım.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Aynı doğrusal denklem sistemini oluşturalım;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Şimdi x = 1 alıyoruz, dolayısıyla y = 3. Böylece ikinci özvektör V2 = (1; 3) gibi görünüyor. Orijinal matrisi belirli bir vektörle çarptığınızda sonuç her zaman aynı vektörün 12 ile çarpımı olacaktır. Çözüm algoritmasının bittiği yer burasıdır. Artık bir matrisin özvektörünü manuel olarak nasıl belirleyeceğinizi biliyorsunuz.

• belirleyici;
• yani ana köşegendeki elemanların toplamının izini sürmek;
• sıralama, yani doğrusal olarak bağımsız satırların/sütunların maksimum sayısı.

Program yukarıdaki algoritmaya göre çalışarak çözüm sürecini mümkün olduğu kadar kısaltır. Programda lambda'nın “c” harfiyle gösterildiğini belirtmek önemlidir. Sayısal bir örneğe bakalım.

Programın nasıl çalıştığına dair örnek

Aşağıdaki matrisin özvektörlerini belirlemeye çalışalım:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Bu değerleri hesap makinesinin hücrelerine girelim ve cevabı aşağıdaki biçimde alalım:

• Matris sıralaması: 2;
• Matris belirleyicisi: 18;
• Matris izi: 19;
• Özvektörün hesaplanması: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteristik denklem);
• Özvektör hesaplaması: 18 (ilk lambda değeri);
• Özvektör hesaplaması: 1 (ikinci lambda değeri);
• Vektör 1 için denklem sistemi: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Vektör 2 için denklem sistemi: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Özvektör 1: (1; 1);
• Özvektör 2: (-3,25; 1).

Böylece doğrusal olarak bağımsız iki özvektör elde ettik.

Çözüm

Doğrusal cebir ve analitik geometri, herhangi bir birinci sınıf mühendislik bölümü için standart konulardır. Çok sayıda vektör ve matris korkutucudur ve bu tür hantal hesaplamalarda hata yapmak kolaydır. Programımız öğrencilerin hesaplamalarını kontrol etmelerine veya özvektör bulma problemini otomatik olarak çözmelerine olanak tanıyacaktır. Kataloğumuzda başka lineer cebir hesaplayıcıları da var; bunları çalışmalarınızda veya çalışmalarınızda kullanın.

Tanım 9.3. Vektör X isminde özvektör matrisler A eğer böyle bir sayı varsa λ, eşitliğin geçerli olduğu: A X= λ X, yani başvuru sonucu X matris tarafından belirtilen doğrusal dönüşüm A, bu vektörün sayıyla çarpımıdır λ . Sayının kendisi λ isminde özdeğer matrisler A.

Formüllerde (9.3) yerine koyma x' j = λx j ,özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz:

. (9.5)

Bu doğrusal homojen sistem, yalnızca ana determinantının 0 olması durumunda (Cramer kuralı) önemsiz olmayan bir çözüme sahip olacaktır. Bu koşulu forma yazarak:

özdeğerleri belirlemek için bir denklem elde ederiz λ , isminde karakteristik denklem. Kısaca şu şekilde temsil edilebilir:

| A - λE | = 0, (9.6)

sol tarafı matrisin determinantını içerdiğinden A-λE. Polinom akrabası λ | A - λE| isminde karakteristik polinom matrisler A.

Karakteristik polinomun özellikleri:

1) Doğrusal bir dönüşümün karakteristik polinomu, bazın seçimine bağlı değildir. Kanıt. (bkz. (9.4)), ancak buradan, . Dolayısıyla baz seçimine bağlı değildir. Bu şu anlama gelir: | A-λE| yeni bir temele taşınırken değişmez.

2) Eğer matris A doğrusal dönüşüm simetrik(onlar. ve ij =a ji), bu durumda karakteristik denklemin (9.6) tüm kökleri gerçek sayılardır.

Özdeğerlerin ve özvektörlerin özellikleri:

1) Özvektörlerden bir temel seçerseniz x 1, x 2, x 3 özdeğerlere karşılık gelen λ1, λ2, λ3 matrisler A, bu temelde A doğrusal dönüşümü köşegen formda bir matrise sahiptir:

(9.7) Bu özelliğin kanıtı özvektörlerin tanımından çıkar.

2) Dönüşümün özdeğerleri ise A farklıysa, karşılık gelen özvektörleri doğrusal olarak bağımsızdır.

3) Matrisin karakteristik polinomu ise AÜç tane var çeşitli kökler, o zaman bazı temellerde matris A diyagonal bir görünüme sahiptir.

Matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım. Karakteristik bir denklem oluşturalım: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Bulunan her değere karşılık gelen özvektörlerin koordinatlarını bulalım. λ. (9.5)'ten şu sonuç çıkar: X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – karşılık gelen özvektör λ 1 =-2 ise

- işbirlikçi fakat belirsiz bir sistem. Çözümü şeklinde yazılabilir. X (1) ={A,0,-A), burada a herhangi bir sayıdır. Özellikle buna ihtiyacımız varsa | X (1) |=1, X (1) =

Sisteme Yerleştirme (9.5) λ 2 =3, ikinci özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir sistem elde ederiz - X (2) ={y 1 y 2 y 3}:

, Neresi X (2) ={b,-b,b) veya sağlanan | X (2) |=1, X (2) =

İçin λ 3 = 6 özvektörünü bulun X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, X (3) ={C,2c,c) veya normalleştirilmiş versiyonda

x (3) = Şu fark edilebilir ki X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = M.Ö- 2m.ö. + m.ö.= 0. Dolayısıyla bu matrisin özvektörleri ikili olarak diktir.

Ders 10.

İkinci dereceden formlar ve simetrik matrislerle bağlantıları. Simetrik bir matrisin özvektörlerinin ve özdeğerlerinin özellikleri. İkinci dereceden bir formun kanonik forma indirgenmesi.

Tanım 10.1.İkinci dereceden şekil gerçek değişkenler x 1, x 2,…, x n Bu değişkenlerde serbest terim ve birinci dereceden terimler içermeyen ikinci dereceden polinom denir.

İkinci dereceden form örnekleri:

(N = 2),

(N = 3). (10.1)

Son derste verilen simetrik matris tanımını hatırlayalım:

Tanım 10.2. Kare matris denir simetrik, eğer , yani ana köşegene göre simetrik olan matris elemanları eşitse.

Simetrik bir matrisin özdeğerlerinin ve özvektörlerinin özellikleri:

1) Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.

Kanıt (için N = 2).

Matris olsun Aşu forma sahiptir: . Karakteristik bir denklem oluşturalım:

(10.2) Diskriminantı bulalım:

Bu nedenle denklemin yalnızca gerçek kökleri vardır.

2) Özvektörler simetrik matrisler diktir.

Kanıt (için N= 2).

Özvektörlerin koordinatları denklemleri karşılamalıdır.