HOMOJEN DOĞRUSAL DENKLEMLER SİSTEMİ
Homojen sistem doğrusal denklemler form sistemi denir
Bu durumda açıktır ki 
, Çünkü bu determinantlardaki sütunlardan birinin tüm elemanları sıfıra eşittir.
Bilinmeyenler formüllere göre bulunduğundan 
Δ ≠ 0 olması durumunda sistemin benzersiz bir sıfır çözümü vardır X = sen = z= 0. Ancak birçok problemde ilginç soru şudur: homojen sistem sıfır dışındaki çözümler.
Teorem. Doğrusal sistem için homojen denklemler sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.
Yani eğer determinant Δ ≠ 0 ise sistemin tek bir çözümü vardır. Eğer Δ ≠ 0 ise doğrusal homojen denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Örnekler.
Bir matrisin özvektörleri ve özdeğerleri
Bir kare matris verilsin 
, X– yüksekliği matrisin sırasına denk gelen bazı matris sütunları A. .
Birçok problemde aşağıdaki denklemi dikkate almamız gerekir: X
burada λ belirli bir sayıdır. Herhangi bir λ için bu denklemin sıfır çözümü olduğu açıktır.
Bu denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan λ sayısına denir. özdeğer matrisler A, A X bunun için λ denir özvektör matrisler A.
Matrisin özvektörünü bulalım A. Çünkü e∙X = X, o zaman matris denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir: 
veya 
. Genişletilmiş formda bu denklem, bir doğrusal denklem sistemi olarak yeniden yazılabilir. Gerçekten 
.
Ve bu nedenle 
Böylece koordinatları belirlemek için bir homojen doğrusal denklem sistemi elde ettik. x 1, x 2, x 3 vektör X. Bir sistemin sıfırdan farklı çözümlere sahip olması için sistemin determinantının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir;
Bu λ için 3. dereceden bir denklemdir. Buna denir karakteristik denklem matrisler A ve λ'nın özdeğerlerini belirlemeye yarar.
Her özdeğer λ bir özvektöre karşılık gelir X koordinatları sistemden karşılık gelen λ değerinde belirlenir.
Örnekler.
VEKTÖR CEBİR. VEKTÖR KAVRAMI
Fiziğin çeşitli dallarını incelerken, örneğin uzunluk, alan, kütle, sıcaklık vb. gibi sayısal değerleri belirtilerek tamamen belirlenen nicelikler vardır. Bu tür büyüklüklere skaler denir. Ancak bunlara ek olarak, sayısal değere ek olarak uzaydaki yönlerini de bilmek gereken nicelikleri belirlemek için, örneğin cisme etki eden kuvvet, cismin hızı ve ivmesi de vardır. uzayda hareket ettiğinde vücut, gerginlik manyetik alan uzayda belirli bir noktada vb. Bu tür büyüklüklere vektör büyüklükleri denir.
Kesin bir tanım getirelim.
Yönlendirilmiş bölüm Uçlarına göre hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğu bilinen bir segment diyelim.
Vektör belirli bir uzunluğa sahip yönlendirilmiş bir bölüm olarak adlandırılır, yani. Bu, onu sınırlayan noktalardan birinin başlangıç, ikincisinin son olarak alındığı belirli bir uzunluktaki bir segmenttir. Eğer A– vektörün başlangıcı, B sonu ise vektör sembolle gösterilir; buna ek olarak vektör genellikle tek bir harfle gösterilir. Şekilde vektör bir doğru parçasıyla, yönü ise bir okla gösterilmiştir.
Modül veya uzunluk Bir vektöre onu tanımlayan yönlendirilmiş parçanın uzunluğu denir. || ile gösterilir veya ||.
Başlangıcı ve sonu çakışan sıfır vektörünü de vektör olarak dahil edeceğiz. Belirlenmiştir. Sıfır vektörünün belirli bir yönü yoktur ve modülü sıfır ||=0'dır.
Vektörler denir doğrusal, aynı çizgide veya paralel çizgilerde bulunuyorlarsa. Üstelik ve vektörleri aynı yönde ise ters yazacağız.
Aynı düzleme paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere denir. aynı düzlemde.
İki vektör denir eşit, eğer eşdoğrusal iseler, aynı yöne sahiptirler ve eşit uzunluktadırlar. Bu durumda yazıyorlar.
Vektörlerin eşitliği tanımından, bir vektörün, kökenini uzayda herhangi bir noktaya yerleştirerek kendisine paralel olarak taşınabileceği sonucu çıkar.
Örneğin.
VEKTÖRLER ÜZERİNDE DOĞRUSAL İŞLEMLER
- Bir vektörün bir sayıyla çarpılması.
Bir vektör ile λ sayısının çarpımı yeni bir vektördür, öyle ki:
Bir vektör ile bir λ sayısının çarpımı ile gösterilir.
Örneğin, vektörle aynı yönde yönlendirilmiş ve uzunluğu vektörün yarısı kadar olan bir vektör var.
Tanıtılan işlem aşağıdakilere sahiptir özellikler:
- Vektör ilavesi.
ve iki keyfi vektör olsun. Rastgele bir noktayı ele alalım Ö ve bir vektör oluşturun. Bundan sonra bu noktadan A vektörü bir kenara koyalım. Birinci vektörün başlangıcını ikincinin sonuna bağlayan vektöre denir. miktar bu vektörlerin ve gösterilir
.
Vektör toplamanın formüle edilmiş tanımına denir paralelkenar kuralı, çünkü aynı vektör toplamı aşağıdaki gibi elde edilebilir. Konuyu erteleyelim Ö vektörler ve . Bu vektörler üzerinde bir paralelkenar oluşturalım OABC. Vektörler olduğundan, köşeden çizilen bir paralelkenarın köşegeni olan vektör Ö, açıkça vektörlerin toplamı olacaktır.
Aşağıdakileri kontrol etmek kolaydır vektör toplamanın özellikleri.
- Vektör farkı.
Belirli bir vektöre eşdoğrusal olan, uzunluğu eşit ve zıt yönlü bir vektöre denir. zıt Bir vektör için vektör ve ile gösterilir. Karşıt vektör ise vektörün λ = –1 sayısı ile çarpılması sonucu elde edilebilir: .
Tanım 9.3. Vektör X isminde özvektör matrisler A eğer böyle bir sayı varsa λ, eşitliğin geçerli olduğu: A X= λ X, yani başvuru sonucu X matris tarafından belirtilen doğrusal dönüşüm A, bu vektörün sayıyla çarpımıdır λ . Sayının kendisi λ isminde özdeğer matrisler A.
Formüllerde (9.3) yerine koyma x' j = λx j ,özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz:
. (9.5)
Bu doğrusal homojen sistem, yalnızca ana determinantının 0 olması durumunda (Cramer kuralı) önemsiz olmayan bir çözüme sahip olacaktır. Bu koşulu forma yazarak:
özdeğerleri belirlemek için bir denklem elde ederiz λ , isminde karakteristik denklem. Kısaca şu şekilde temsil edilebilir:
| A - λE | = 0, (9.6)
sol tarafı matrisin determinantını içerdiğinden A-λE. Polinom bağıl λ | A - λE| isminde karakteristik polinom matrisler A.
Karakteristik polinomun özellikleri:
1) Doğrusal bir dönüşümün karakteristik polinomu, bazın seçimine bağlı değildir. Kanıt. 
(bkz. (9.4)), ancak 
buradan, . Dolayısıyla baz seçimine bağlı değildir. Bu şu anlama gelir: | A-λE| yeni bir temele taşınırken değişmez.
2) Eğer matris A doğrusal dönüşüm simetrik(onlar. ve ij =a ji), bu durumda karakteristik denklemin (9.6) tüm kökleri gerçek sayılardır.
Özdeğerlerin ve özvektörlerin özellikleri:
1) Özvektörlerden bir temel seçerseniz x 1, x 2, x 3 özdeğerlere karşılık gelen λ1, λ2, λ3 matrisler A, bu temelde A doğrusal dönüşümü köşegen formda bir matrise sahiptir:
(9.7) Bu özelliğin kanıtı özvektörlerin tanımından çıkar.
2) Dönüşümün özdeğerleri ise A farklıysa, karşılık gelen özvektörleri doğrusal olarak bağımsızdır.
3) Matrisin karakteristik polinomu ise AÜç tane var çeşitli kökler, o zaman bazı temellerde matris A diyagonal bir görünüme sahiptir.
Matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım. Oluşturalım karakteristik denklem: 
(1- λ
)(5 - λ
)(1 - λ
) + 6 - 9(5 - λ
) - (1 - λ
) - (1 - λ
) = 0, λ
³ - 7 λ
² + 36 = 0, λ
1 = -2, λ
2 = 3, λ
3 = 6.
Bulunan her değere karşılık gelen özvektörlerin koordinatlarını bulalım. λ. (9.5)'ten şu sonuç çıkar: X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – karşılık gelen özvektör λ 1 =-2 ise
- işbirlikçi fakat belirsiz bir sistem. Çözümü şeklinde yazılabilir. X (1)
={A,0,-A), burada a herhangi bir sayıdır. Özellikle buna ihtiyacımız varsa | X (1)
|=1, X (1)
=
Sisteme Yerleştirme (9.5) λ 2 =3, ikinci özvektörün koordinatlarını belirlemek için bir sistem elde ederiz - X (2) ={y 1 y 2 y 3}:
, Neresi X (2)
={b,-b,b) veya sağlanan | X (2)
|=1, X (2)
= 
İçin λ 3 = 6 özvektörünü bulun X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:
, X (3)
={C,2c,c) veya normalleştirilmiş versiyonda
x (3) = 
Şu fark edilebilir ki X (1) X (2)
= ab-ab= 0, X (1) X (3)
= ac-ac= 0, X (2) X (3)
= M.Ö- 2m.ö. + m.ö.= 0. Dolayısıyla bu matrisin özvektörleri ikili olarak diktir.
Ders 10.
İkinci dereceden formlar ve simetrik matrislerle bağlantıları. Simetrik bir matrisin özvektörlerinin ve özdeğerlerinin özellikleri. İkinci dereceden bir formun kanonik forma indirgenmesi.
Tanım 10.1.İkinci dereceden şekil gerçek değişkenler x 1, x 2,…, x n Bu değişkenlerde serbest terim ve birinci dereceden terimler içermeyen ikinci dereceden polinom denir.
İkinci dereceden form örnekleri:
(N = 2),
(N = 3). (10.1)
Son derste verilen simetrik matris tanımını hatırlayalım:
Tanım 10.2. Kare matris denir simetrik, eğer , yani ana köşegene göre simetrik olan matris elemanları eşitse.
Simetrik bir matrisin özdeğerlerinin ve özvektörlerinin özellikleri:
1) Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.
Kanıt (için N = 2).
Matris olsun Aşu forma sahiptir: 
. Karakteristik bir denklem oluşturalım:
(10.2) Diskriminantı bulalım:
Bu nedenle denklemin yalnızca gerçek kökleri vardır.
2) Özvektörler simetrik matrisler diktir.
Kanıt (için N= 2).
Özvektörlerin koordinatları denklemleri karşılamalıdır.
www.site bulmanızı sağlar. Hesaplamayı site gerçekleştirir. Birkaç saniye içinde sunucu doğru çözümü verecektir. Matrisin karakteristik denklemi olacak cebirsel ifade, determinantı hesaplama kuralı tarafından bulunur matrisler matrisler ana köşegen boyunca çapraz elemanların ve değişkenin değerlerinde farklılıklar olacaktır. Hesaplarken çevrimiçi matris için karakteristik denklem, her bir öğe matrisler karşılık gelen diğer öğelerle çarpılacaktır matrisler. Modunda bul çevrimiçi yalnızca kare için mümkün matrisler. İşlem bulma çevrimiçi matris için karakteristik denklem elemanların çarpımının cebirsel toplamını hesaplamaya indirgenir matrisler determinantın bulunması sonucunda matrisler yalnızca belirlemek amacıyla çevrimiçi matris için karakteristik denklem. Bu operasyon teoride özel bir yere sahiptir matrisler, kökleri kullanarak özdeğerleri ve vektörleri bulmanızı sağlar. Bulmak görevi çevrimiçi matris için karakteristik denklemçoğalan unsurlardan oluşur matrisler ardından bu çarpımların belirli bir kurala göre toplanması takip eder. www.site bulur matris için karakteristik denklem modunda verilen boyut çevrimiçi. Hesaplama çevrimiçi matris için karakteristik denklem boyutu göz önüne alındığında, bu, determinantı hesaplama kuralına göre bulunan sayısal veya sembolik katsayılara sahip bir polinomun bulunmasıdır. matrisler- karşılık gelen elemanların çarpımlarının toplamı olarak matrisler yalnızca belirlemek amacıyla çevrimiçi matris için karakteristik denklem. İkinci dereceden bir değişken için bir değişkene göre polinom bulma matrisler tanım olarak matris için karakteristik denklem teoride ortak matrisler. Bir polinomun köklerinin anlamı çevrimiçi matris için karakteristik denklem için özvektörleri ve özdeğerleri belirlemek için kullanılır matrisler. Ayrıca eğer determinant matrisler sıfıra eşit olacak, o zaman matrisin karakteristik denklemi tersinin aksine hala var olacak matrisler. Hesaplamak için matris için karakteristik denklem veya aynı anda birkaçını bulun matris karakteristik denklemleri, çok fazla zaman ve çaba harcamanız gerekiyor, sunucumuz ise birkaç saniye içinde bulacaktır çevrimiçi matris için karakteristik denklem. Bu durumda bulmanın cevabı çevrimiçi matris için karakteristik denklem bulurken sayılar doğru ve yeterli doğrulukta olacaktır. çevrimiçi matris için karakteristik denklem mantıksız olacaktır. Sitede www.siteÖğelerde karakter girişlerine izin verilir matrisler, yani çevrimiçi matris için karakteristik denklem hesaplanırken genel sembolik formda gösterilebilir matrisin karakteristik denklemi çevrimiçi. Bulma problemini çözerken elde edilen cevabı kontrol etmekte fayda var. çevrimiçi matris için karakteristik denklem siteyi kullanma www.site. Bir polinom hesaplama işlemini gerçekleştirirken - matrisin karakteristik denklemi, bu sorunu çözerken dikkatli olmanız ve son derece odaklanmış olmanız gerekir. Buna karşılık sitemiz konuyla ilgili kararınızı kontrol etmenize yardımcı olacaktır. çevrimiçi bir matrisin karakteristik denklemi. Çözülmüş sorunları uzun süre kontrol etmek için zamanınız yoksa, o zaman www.site Kesinlikle bulurken ve hesaplarken kontrol etmek için uygun bir araç olacaktır. çevrimiçi matris için karakteristik denklem.
Bir kare matrisin özvektörü, belirli bir matrisle çarpıldığında eşdoğrusal bir vektörle sonuçlanan bir özvektördür. Basit kelimelerle, bir matris bir özvektörle çarpıldığında, ikincisi aynı kalır, ancak belirli bir sayıyla çarpılır.
Tanım
Bir özvektör sıfırdan farklı bir V vektörüdür ve bir kare matris M ile çarpıldığında kendisi de bir λ sayısı kadar artar. Cebirsel gösterimde şöyle görünür:
M × V = λ × V,
burada λ M matrisinin özdeğeridir.
Hadi düşünelim Sayısal örnek. Kayıt kolaylığı açısından matristeki sayılar noktalı virgülle ayrılacaktır. Bir matrisimiz olsun:
- M = 0; 4;
- 6; 10.
Bunu bir sütun vektörüyle çarpalım:
- V = -2;
Bir matrisi bir sütun vektörüyle çarptığımızda ayrıca bir sütun vektörü elde ederiz. Sıkı matematik dili 2 × 2'lik bir matrisi bir sütun vektörüyle çarpma formülü şuna benzer:
- M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
- M21 × V11 + M22 × V21.
M11, M matrisinin birinci satır ve birinci sütunda yer alan elemanını, M22 ise ikinci satır ve ikinci sütunda yer alan elemanı ifade etmektedir. Matrisimiz için bu elemanlar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10'a eşittir. Bir sütun vektörü için bu değerler V11 = –2, V21 = 1'e eşittir. Bu formüle göre, bir kare matrisin bir vektörle çarpımının aşağıdaki sonucunu elde ederiz:
- M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
- 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.
Kolaylık sağlamak için sütun vektörünü bir satıra yazalım. Böylece kare matrisi (-2; 1) vektörüyle çarparak (4; -2) vektörünü elde ettik. Açıkçası, bu aynı vektörün λ = -2 ile çarpımıdır. Lambda girişi bu durumda matrisin özdeğerini ifade eder.
Bir matrisin özvektörü eşdoğrusal bir vektördür, yani bir matris ile çarpıldığında uzaydaki konumunu değiştirmeyen bir nesnedir. Vektör cebirindeki eşdoğrusallık kavramı, geometrideki paralellik terimine benzer. Geometrik bir yorumda, eşdoğrusal vektörler farklı uzunluklarda paralel yönlendirilmiş bölümlerdir. Öklid zamanından bu yana, bir doğrunun kendisine paralel sonsuz sayıda doğruya sahip olduğunu biliyoruz, dolayısıyla her matrisin sonsuz sayıda özvektöre sahip olduğunu varsaymak mantıklıdır.
Önceki örnekten özvektörlerin (-8; 4) ve (16; -8) ve (32, -16) olabileceği açıktır. Bunların hepsi λ = -2 özdeğerine karşılık gelen eşdoğrusal vektörlerdir. Orijinal matrisi bu vektörlerle çarptığımızda yine orijinalden 2 kat farklı bir vektör elde ederiz. Bu nedenle özvektör bulma problemlerini çözerken yalnızca doğrusal olarak bağımsız vektör nesnelerinin bulunması gerekir. Çoğu zaman, n × n'lik bir matris için n sayıda özvektör vardır. Hesap makinemiz ikinci dereceden kare matrislerin analizi için tasarlanmıştır, dolayısıyla çakıştıkları durumlar dışında sonuç hemen hemen her zaman iki özvektör bulacaktır.
Yukarıdaki örnekte orijinal matrisin özvektörünü önceden biliyorduk ve lambda sayısını net bir şekilde belirledik. Ancak pratikte her şey tam tersi olur: önce özdeğerler bulunur, sonra yalnızca özvektörler bulunur.
Çözüm algoritması
Orijinal M matrisine tekrar bakalım ve onun her iki özvektörünü bulmaya çalışalım. Yani matris şöyle görünür:
- M = 0; 4;
- 6; 10.
Öncelikle aşağıdaki matrisin determinantının hesaplanmasını gerektiren λ özdeğerini belirlememiz gerekir:
- (0 − λ); 4;
- 6; (10 – λ).
Bu matris, bilinmeyen λ'nın ana köşegendeki elemanlardan çıkarılmasıyla elde edilir. Belirleyici standart formül kullanılarak belirlenir:
- detA = M11 × M21 – M12 × M22
- detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24
Vektörümüzün sıfırdan farklı olması gerektiğinden, ortaya çıkan denklemi doğrusal bağımlı olarak kabul ediyoruz ve determinantımız detA'yı sıfıra eşitliyoruz.
(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0
Parantezleri açalım ve matrisin karakteristik denklemini elde edelim:
λ 2 - 10λ - 24 = 0
Bu standart ikinci dereceden denklem, bunun diskriminant yoluyla çözülmesi gerekir.
D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196
Diskriminantın kökü sqrt(D) = 14, dolayısıyla λ1 = -2, λ2 = 12. Şimdi her lambda değeri için özvektörü bulmamız gerekiyor. λ = -2 için sistem katsayılarını ifade edelim.
- M - λ × E = 2; 4;
- 6; 12.
Bu formülde E birim matristir. Ortaya çıkan matrise dayanarak bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:
2x + 4y = 6x + 12y,
burada x ve y özvektör elemanlarıdır.
Soldaki tüm X'leri ve sağdaki tüm Y'leri toplayalım. Açıkçası - 4x = 8y. İfadeyi -4'e bölün ve x = –2y olsun. Artık bilinmeyenlerin herhangi bir değerini alarak matrisin ilk özvektörünü belirleyebiliriz (doğrusal bağımlı özvektörlerin sonsuzluğunu hatırlayın). Y = 1 alalım, sonra x = –2 olsun. Bu nedenle, ilk özvektör V1 = (–2; 1) gibi görünür. Makalenin başına dönün. Özvektör kavramını göstermek için matrisi çarptığımız şey bu vektör nesnesiydi.
Şimdi λ = 12'nin özvektörünü bulalım.
- M - λ × E = -12; 4
- 6; -2.
Aynı doğrusal denklem sistemini oluşturalım;
- -12x + 4y = 6x − 2y
- -18x = -6y
- 3x = y.
Şimdi x = 1 alıyoruz, dolayısıyla y = 3. Böylece ikinci özvektör V2 = (1; 3) gibi görünüyor. Orijinal matrisi belirli bir vektörle çarptığınızda sonuç her zaman aynı vektörün 12 ile çarpımı olacaktır. Çözüm algoritmasının bittiği yer burasıdır. Artık bir matrisin özvektörünü manuel olarak nasıl belirleyeceğinizi biliyorsunuz.
- belirleyici;
- yani ana köşegendeki elemanların toplamının izini sürmek;
- sıralama, yani doğrusal olarak bağımsız satırların/sütunların maksimum sayısı.
Program yukarıdaki algoritmaya göre çalışarak çözüm sürecini mümkün olduğu kadar kısaltır. Programda lambda'nın “c” harfiyle gösterildiğini belirtmek önemlidir. Sayısal bir örneğe bakalım.
Programın nasıl çalıştığına dair örnek
Aşağıdaki matrisin özvektörlerini belirlemeye çalışalım:
- M = 5; 13;
- 4; 14.
Bu değerleri hesap makinesinin hücrelerine girelim ve cevabı aşağıdaki biçimde alalım:
- Matris sıralaması: 2;
- Matris belirleyicisi: 18;
- Matris izi: 19;
- Özvektörün hesaplanması: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteristik denklem);
- Özvektör hesaplaması: 18 (ilk lambda değeri);
- Özvektör hesaplaması: 1 (ikinci lambda değeri);
- Vektör 1 için denklem sistemi: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
- Vektör 2 için denklem sistemi: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
- Özvektör 1: (1; 1);
- Özvektör 2: (-3,25; 1).
Böylece doğrusal olarak bağımsız iki özvektör elde ettik.
Çözüm
Doğrusal cebir ve analitik geometri, herhangi bir birinci sınıf mühendislik bölümü için standart konulardır. Çok sayıda vektör ve matris korkutucudur ve bu tür hantal hesaplamalarda hata yapmak kolaydır. Programımız öğrencilerin hesaplamalarını kontrol etmelerine veya özvektör bulma problemini otomatik olarak çözmelerine olanak tanıyacaktır. Kataloğumuzda başka lineer cebir hesaplayıcıları da var; bunları çalışmalarınızda veya çalışmalarınızda kullanın.
