Logaritmanın kısa özellikleri. Logaritmik formüller

Logaritma nedir?

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olduğu düşünülür. Özellikle logaritmalı denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! Bana inanmıyor musun? İyi. Şimdi sadece 10 - 20 dakika içinde:

1. Anlayacaksınız logaritma nedir.

2. Bütün bir üstel denklem sınıfını çözmeyi öğrenin. Onlar hakkında hiçbir şey duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritmaları hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için çarpım tablosunu ve bir sayının üssünü nasıl yükselteceğinizi bilmeniz yeterli...

Şüphelerin varmış gibi hissediyorum... Peki, tamam, zamanı işaretle! Gitmek!

Öncelikle şu denklemi kafanızda çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

İle ilgili olarak

Verilen diğer iki sayıdan üç sayıdan herhangi birini bulma görevi ayarlanabilir. Eğer a ve ardından N verilirse, üstel alma yoluyla bulunurlar. Eğer N ve sonra a, x derecesinin kökü alınarak (veya üssüne yükseltilerek) verilir. Şimdi a ve N verildiğinde x'i bulmamız gereken durumu düşünün.

N sayısı pozitif olsun: a sayısı pozitif olsun ve bire eşit olmasın: .

Tanım. N sayısının a tabanına göre logaritması, N sayısını elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üssüdür; logaritma şu şekilde gösterilir:

Böylece (26.1) eşitliğinde üs, N'nin a tabanına göre logaritması olarak bulunur. Gönderiler

aynı anlama sahiptir. Eşitlik (26.1) bazen logaritma teorisinin ana özdeşliği olarak adlandırılır; gerçekte logaritma kavramının tanımını ifade eder. İle bu tanım Logaritmanın tabanı a her zaman pozitiftir ve birlikten farklıdır; logaritmik sayı N pozitiftir. Negatif sayıların ve sıfırın logaritması yoktur. Belirli bir tabana sahip herhangi bir sayının iyi tanımlanmış bir logaritmaya sahip olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle eşitlik gerektirir. Burada koşulun esas olduğuna dikkat edin; aksi takdirde eşitlik x ve y'nin herhangi bir değeri için doğru olduğundan sonuç doğrulanmaz.

Örnek 1. Bul

Çözüm. Bir sayı elde etmek için 2 tabanının üssünü yükseltmeniz gerekir.

Aşağıdaki formda bu tür örnekleri çözerken notlar alabilirsiniz:

Örnek 2. Bulun.

Çözüm. Sahibiz

Örnek 1 ve 2'de logaritma sayısını tabanın rasyonel üslü kuvveti olarak temsil ederek istenilen logaritmayı kolayca bulduk. İÇİNDE Genel davaörneğin, for vb. için logaritma irrasyonel bir değere sahip olduğundan bu yapılamaz. Bu açıklamayla ilgili bir konuya dikkat çekelim. 12. paragrafta, belirli bir pozitif sayının herhangi bir gerçek kuvvetini belirleme olasılığı kavramını verdik. Bu, genel anlamda irrasyonel sayılar olabilen logaritmanın tanıtılması için gerekliydi.

Logaritmanın bazı özelliklerine bakalım.

Özellik 1. Sayı ve taban eşitse, logaritma bire eşittir ve tam tersi, logaritma bire eşitse sayı ve taban eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımına göre elimizde ve nereden

Tersine, tanım gereği Then'e izin verin

Özellik 2. Birin herhangi bir tabana göre logaritması sıfıra eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımı gereği (herhangi bir pozitif tabanın sıfır kuvveti bire eşittir, bkz. (10.1)). Buradan

Q.E.D.

Tersi ifade de doğrudur: eğer ise N = 1'dir. Aslında elimizde .

Logaritmanın bir sonraki özelliğini formüle etmeden önce, a ve b sayılarının her ikisi de c'den büyük veya c'den küçükse, üçüncü c sayısının aynı tarafında yer aldığını kabul edelim. Bu sayılardan biri c'den büyük, diğeri c'den küçükse bu sayıların c'nin zıt taraflarında olduğunu söyleyeceğiz.

Özellik 3. Eğer sayı ve taban birin aynı tarafında yer alıyorsa logaritma pozitiftir; Sayı ve taban birin zıt taraflarında yer alıyorsa logaritma negatiftir.

Özellik 3'ün kanıtı, taban birden büyükse ve üs pozitifse veya taban birden küçükse ve üssün negatif olması durumunda a'nın kuvvetinin birden büyük olması gerçeğine dayanmaktadır. Taban birden büyükse ve üs negatifse veya taban birden küçükse ve üs pozitifse kuvvet birden küçüktür.

Göz önünde bulundurulması gereken dört durum vardır:

Biz kendimizi bunlardan ilkini analiz etmekle sınırlayacağız; gerisini okuyucu kendisi değerlendirecektir.

O halde eşitlikte üs ne negatif ne de sıfıra eşit olamaz, dolayısıyla pozitiftir, yani kanıtlanması gerektiği gibi.

Örnek 3. Aşağıdaki logaritmalardan hangilerinin pozitif, hangilerinin negatif olduğunu bulun:

Çözüm: a) 15 sayısı ve 12 tabanı birin aynı tarafında bulunduğuna göre;

b) 1000 ve 2 ünitenin bir tarafında bulunduğundan; bu durumda tabanın logaritmik sayıdan büyük olması önemli değildir;

c) 3.1 ve 0.8 birliğin zıt taraflarında yer aldığından;

G) ; Neden?

D) ; Neden?

Aşağıdaki 4-6 özelliklerine genellikle logaritma kuralları denir: bazı sayıların logaritmasını bilerek, çarpımlarının logaritmasını, bölümünü ve her birinin derecesini bulmayı sağlarlar.

Özellik 4 (çarpım logaritması kuralı). Birkaç pozitif sayının çarpımının logaritması bu temel toplamına eşit bu sayıların aynı tabana göre logaritmaları.

Kanıt. Verilen sayılar pozitif olsun.

Çarpımlarının logaritması için logaritmayı tanımlayan eşitliği (26.1) yazıyoruz:

Buradan bulacağız

İlk ve son ifadelerin üslerini karşılaştırarak gerekli eşitliği elde ederiz:

Durumun gerekli olduğunu unutmayın; iki çarpımının logaritması negatif sayılar mantıklı ama bu durumda

Genel olarak, eğer birkaç faktörün çarpımı pozitifse, logaritması bu faktörlerin mutlak değerlerinin logaritmasının toplamına eşittir.

Özellik 5 (bölümlerin logaritmasını alma kuralı). Pozitif sayıların bir bölümünün logaritması, aynı tabana göre bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir. Kanıt. Sürekli olarak buluyoruz

Q.E.D.

Özellik 6 (kuvvet logaritması kuralı). Herhangi bir pozitif sayının kuvvetinin logaritması, o sayının logaritmasının üssüyle çarpımına eşittir.

Kanıt. Sayının asıl kimliğini (26.1) tekrar yazalım:

Q.E.D.

Sonuçlar. Pozitif bir sayının kökünün logaritması, radikalin logaritmasının kökün üssüne bölünmesine eşittir:

Bu sonucun geçerliliği, özellik 6'nın nasıl ve kullanıldığı hayal edilerek kanıtlanabilir.

Örnek 4. a tabanına göre logaritmayı alın:

a) (tüm b, c, d, e değerlerinin pozitif olduğu varsayılır);

b) (öyle olduğu varsayılır).

Çözüm, a) Bu ifadede kesirli kuvvetlere gitmek uygundur:

(26.5)-(26.7) eşitliklerine dayanarak artık şunu yazabiliriz:

Sayıların logaritmaları üzerinde sayıların kendilerinden daha basit işlemlerin gerçekleştirildiğini fark ettik: sayıları çarparken logaritmaları toplanır, bölünürken çıkarılır vb.

Logaritmaların hesaplama uygulamalarında kullanılmasının nedeni budur (bkz. paragraf 29).

Logaritmanın ters işlemine potansiyelleştirme denir, yani: potansiyelleştirme, bir sayının belirli bir logaritmasından sayının kendisinin bulunması işlemidir. Esas itibariyle potansiyelizasyon özel eylem: tabanı bir kuvvete yükseltmek (sayı logaritmasına eşit) anlamına gelir. "Güçlendirme" terimi, "üstelleştirme" terimiyle eşanlamlı olarak kabul edilebilir.

Potansiyelleştirme sırasında, logaritma kurallarının tersi olan kurallar kullanılmalıdır: logaritmaların toplamını çarpımın logaritmasıyla değiştirin, logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştirin, vb. Özellikle, önde bir faktör varsa Logaritmanın işareti, daha sonra kuvvetlendirme sırasında logaritmanın işareti altındaki üs derecelerine aktarılmalıdır.

Örnek 5. Eğer biliniyorsa N'yi bulun

Çözüm. Az önce belirttiğimiz potansiyel alma kuralına bağlı olarak, bu eşitliğin sağ tarafındaki logaritma işaretlerinin önünde duran 2/3 ve 1/3 çarpanlarını bu logaritmaların işaretleri altındaki üslere aktaracağız; aldık

Şimdi logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştiriyoruz:

Bu eşitlik zincirindeki son kesri elde etmek için önceki kesri paydadaki irrasyonellikten kurtardık (madde 25).

Özellik 7. Taban birden büyükse, o zaman daha büyük sayı daha büyük bir logaritmaya sahiptir (ve daha küçük bir sayı daha küçüktür), eğer taban birden küçükse, daha büyük bir sayının daha küçük bir logaritması vardır (ve daha küçük bir sayının daha büyük bir logaritması vardır).

Bu özellik aynı zamanda her iki tarafı da pozitif olan eşitsizliklerin logaritmasını almak için bir kural olarak formüle edilmiştir:

Eşitsizliklerin logaritması birden büyük bir tabana alındığında eşitsizliğin işareti korunur, birden küçük bir tabana göre logaritması alındığında ise eşitsizliğin işareti ters yönde değişir (ayrıca bkz. paragraf 80).

İspat, 5 ve 3 numaralı özelliklere dayanmaktadır. If'in logaritmasını alarak elde ettiğimiz durumu düşünün.

(a ve N/M birliğin aynı tarafındadır). Buradan

Aşağıdaki durumda okuyucu bunu kendi başına çözecektir.

Toplum geliştikçe ve üretim karmaşıklaştıkça matematik de gelişti. Basitten karmaşığa doğru hareket. Toplama ve çıkarma yöntemini kullanan sıradan muhasebeden, tekrar tekrar tekrarlanarak çarpma ve bölme kavramına geldik. Tekrarlanan çarpma işleminin azaltılması, üstel alma kavramı haline geldi. Sayıların tabana bağımlılığı ve üstel sayılarla ilgili ilk tablolar 8. yüzyılda Hintli matematikçi Varasena tarafından derlendi. Onlardan logaritmanın oluşma zamanını sayabilirsiniz.

Tarihsel eskiz

16. yüzyılda Avrupa'nın yeniden canlanması mekaniğin gelişimini de teşvik etti. T büyük miktarda hesaplama gerektiriyorduÇok basamaklı sayıların çarpımı ve bölümü ile ilgili. Antik masalar büyük hizmet veriyordu. Karmaşık işlemleri daha basit olanlarla (toplama ve çıkarma) değiştirmeyi mümkün kıldılar. İleriye doğru büyük bir adım, matematikçi Michael Stiefel'in 1544'te yayınlanan ve birçok matematikçinin fikrini hayata geçirdiği çalışmasıydı. Bu, tabloların yalnızca asal sayılar biçimindeki kuvvetler için değil, aynı zamanda keyfi rasyonel olanlar için de kullanılmasını mümkün kıldı.

Bu fikirleri geliştiren İskoçyalı John Napier, 1614 yılında ilk kez yeni bir terim olan “bir sayının logaritması”nı ortaya attı. Yeni karmaşık tablolar sinüs ve kosinüslerin logaritmasının yanı sıra teğetlerin hesaplanması için. Bu, gökbilimcilerin çalışmalarını büyük ölçüde azalttı.

Bilim adamları tarafından üç yüzyıldır başarıyla kullanılan yeni tablolar ortaya çıkmaya başladı. Daha önce çok zaman geçti yeni operasyon cebirde tam biçimini aldı. Logaritmanın tanımı verilmiş ve özellikleri incelenmiştir.

Ancak 20. yüzyılda hesap makinesinin ve bilgisayarın ortaya çıkışıyla insanlık, 13. yüzyıl boyunca başarılı bir şekilde işleyen eski tabloları terk etti.

Bugün a'nın b'yi oluşturma kuvveti olan b'nin logaritmasını a sayısına x diyoruz. Bu bir formül olarak yazılır: x = log a(b).

Örneğin, log 3(9) 2'ye eşit olacaktır. Tanımı izlerseniz bu açıkça görülür. 3'ün 2'nin üssünü çıkarırsak 9 elde ederiz.

Dolayısıyla, formüle edilen tanım yalnızca bir kısıtlama getirmektedir: a ve b sayıları gerçek olmalıdır.

Logaritma türleri

Klasik tanıma gerçek logaritma denir ve aslında a x = b denkleminin çözümüdür. Seçenek a = 1 sınırdadır ve ilgi çekici değildir. Dikkat: 1'in herhangi bir kuvveti 1'e eşittir.

Logaritmanın gerçek değeri yalnızca taban ve argüman 0'dan büyük olduğunda tanımlanır ve taban 1'e eşit olmamalıdır.

Matematik alanında özel yeri tabanlarının boyutuna göre adlandırılacak olan logaritmalarla oynayın:

Kurallar ve kısıtlamalar

Logaritmanın temel özelliği kuraldır: Bir ürünün logaritması, logaritmik toplama eşittir. log abp = log a(b) + log a(p).

Bu ifadenin bir çeşidi olarak şu şekilde olacaktır: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bölüm fonksiyonu, fonksiyonların farkına eşittir.

Önceki iki kuraldan şunu görmek kolaydır: log a(b p) = p * log a(b).

Diğer özellikler şunları içerir:

Yorum. Yaygın bir hataya düşmeye gerek yok; bir toplamın logaritması, logaritmaların toplamına eşit değildir.

Yüzyıllar boyunca logaritma bulma işlemi oldukça zaman alıcı bir işti. Matematikçiler kullanıldı bilinen formül Polinom genişlemesinin logaritmik teorisi:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), burada n - doğal sayı 1'den büyük olması hesaplamanın doğruluğunu belirler.

Diğer bazlarla logaritmalar, bir bazdan diğerine geçiş teoremi ve çarpımın logaritmasının özelliği kullanılarak hesaplandı.

Bu yöntem çok emek yoğun olduğundan pratik problemleri çözerken uygulanması zor olduğundan, tüm işi önemli ölçüde hızlandıran önceden derlenmiş logaritma tabloları kullandık.

Bazı durumlarda, daha az doğruluk sağlayan ancak aramayı önemli ölçüde hızlandıran özel olarak tasarlanmış logaritma grafikleri kullanıldı. istenen değer. Y = log a(x) fonksiyonunun birkaç nokta üzerinden oluşturulan eğrisi, fonksiyonun değerini başka herhangi bir noktada bulmak için normal bir cetvel kullanmanıza olanak tanır. Mühendisler uzun zaman Bu amaçlar için grafik kağıdı adı verilen kağıt kullanıldı.

17. yüzyılda ilk yardımcı analog hesaplama koşulları ortaya çıktı. 19. yüzyıl bitmiş bir görünüm kazandı. En başarılı cihaza slayt kuralı adı verildi. Cihazın sadeliğine rağmen, görünümü tüm mühendislik hesaplamalarının sürecini önemli ölçüde hızlandırdı ve bunu abartmak zor. Şu anda çok az kişi bu cihaza aşinadır.

Hesap makinelerinin ve bilgisayarların ortaya çıkışı, diğer cihazların kullanımını anlamsız hale getirdi.

Denklemler ve eşitsizlikler

Logaritma kullanarak çeşitli denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki formüller kullanılır:

• Bir tabandan diğerine geçiş: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Önceki seçeneğin bir sonucu olarak: log a(b) = 1 / log b(a).

Eşitsizlikleri çözmek için şunları bilmek faydalıdır:

• Logaritmanın değeri yalnızca taban ve argümanın her ikisinin de birden büyük veya küçük olması durumunda pozitif olacaktır; en az bir koşulun ihlal edilmesi durumunda logaritma değeri negatif olacaktır.
• Bir eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına logaritma fonksiyonu uygulanırsa ve logaritmanın tabanı birden büyükse eşitsizliğin işareti korunur; aksi takdirde değişir.

Örnek problemler

Logaritmaları ve özelliklerini kullanmak için çeşitli seçenekleri ele alalım. Denklem çözme örnekleri:

Logaritmayı bir kuvvete yerleştirme seçeneğini düşünün:

• Problem 3. 25^log 5(3)'ü hesaplayın. Çözüm: Sorunun koşullarında, giriş aşağıdaki (5^2)^log5(3) veya 5^(2 * log 5(3))'e benzer. Farklı yazalım: 5^log 5(3*2) veya fonksiyon argümanı olarak bir sayının karesi, fonksiyonun kendisinin karesi (5^log 5(3))^2 olarak yazılabilir. Logaritmanın özelliklerini kullanarak bu ifade 3^2'ye eşittir. Cevap: Hesaplama sonucunda 9 elde ederiz.

Pratik kullanım

Tamamen matematiksel bir araç olduğundan, gerçek hayat logaritmanın aniden elde edildiği büyük önem gerçek dünya nesnelerini tanımlamak için. Kullanılmayan bilim bulmak zordur. Bu tamamen yalnızca doğal değil, aynı zamanda insani bilgi alanları için de geçerlidir.

Logaritmik bağımlılıklar

Birkaç örnek verelim sayısal bağımlılıklar:

Mekanik ve fizik

Tarihsel olarak mekanik ve fizik her zaman kullanılarak gelişmiştir. matematiksel yöntemler araştırma ve aynı zamanda logaritmalar da dahil olmak üzere matematiğin gelişimi için bir teşvik görevi gördü. Çoğu fizik kanununun teorisi matematik dilinde yazılmıştır. Açıklamalara sadece iki örnek verelim fiziksel yasalar logaritma kullanarak.

Bir roketin hızı gibi karmaşık bir miktarın hesaplanması sorunu, uzay araştırmaları teorisinin temelini oluşturan Tsiolkovsky formülü kullanılarak çözülebilir:

V = I * ln (M1/M2), burada

• V uçağın son hızıdır.
• I – motorun spesifik dürtüsü.
• M 1 – roketin başlangıç ​​kütlesi.
• M 2 – son kütle.

Bir diğer önemli örnek- bu, termodinamikte denge durumunu değerlendirmeye yarayan başka bir büyük bilim adamı Max Planck'ın formülünde kullanılır.

S = k * ln (Ω), burada

• S – termodinamik özellik.
• k – Boltzmann sabiti.
• Ω farklı durumların istatistiksel ağırlığıdır.

Kimya

Kimyada logaritma oranını içeren formüllerin kullanılması daha az belirgindir. Sadece iki örnek verelim:

• Nernst denklemi, maddelerin aktivitesine ve denge sabitine bağlı olarak ortamın redoks potansiyelinin durumu.
• Otoliz indeksi ve çözeltinin asitliği gibi sabitlerin hesaplanması da fonksiyonumuz olmadan yapılamaz.

Psikoloji ve biyoloji

Ve psikolojinin bununla ne ilgisi olduğu hiç de açık değil. Duyusal gücün, uyaran yoğunluk değerinin düşük yoğunluk değerine ters oranı olarak bu fonksiyon tarafından iyi tanımlandığı ortaya çıktı.

Yukarıdaki örneklerden sonra logaritma konusunun biyolojide yaygın olarak kullanılması artık şaşırtıcı değil. Logaritmik spirallere karşılık gelen biyolojik formlar hakkında ciltler dolusu yazı yazılabilir.

Diğer alanlar

Öyle görünüyor ki, bu fonksiyonla bağlantısı olmadan dünyanın varlığı imkânsızdır ve o, tüm kanunları yönetmektedir. Özellikle doğa kanunları ile ilgili olduğunda geometrik ilerleme. MatProfi web sitesine dönmeye değer ve aşağıdaki faaliyet alanlarında buna benzer birçok örnek var:

Liste sonsuz olabilir. Bu işlevin temel ilkelerine hakim olduktan sonra sonsuz bilgelik dünyasına dalabilirsiniz.

Bugün bunun hakkında konuşacağız logaritmik formüller ve gösterge niteliğinde vereceğiz çözüm örnekleri.

Logaritmanın temel özelliklerine göre çözüm modellerini kendileri ima ederler. Logaritma formüllerini çözüme uygulamadan önce size tüm özellikleri hatırlatalım:

Şimdi bu formüllere (özelliklere) dayanarak şunu göstereceğiz: logaritma çözme örnekleri.

Formüllere dayalı logaritma çözme örnekleri.

Logaritma a tabanındaki pozitif bir b sayısı (log a b ile gösterilir), b > 0, a > 0 ve 1 olmak üzere b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken bir üstür.

Tanıma göre log a b = x, bu da a x = b'ye eşdeğerdir, dolayısıyla log a a x = x.

Logaritmalar, örnekler:

log 2 8 = 3, çünkü 2 3 = 8

log 7 49 = 2, çünkü 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünkü 5 -1 = 1/5

Ondalık logaritma- bu, tabanı 10 olan sıradan bir logaritmadır. lg olarak gösterilir.

log 10 100 = 2, çünkü 10 2 = 100

Doğal logaritma- aynı zamanda sıradan bir logaritma, bir logaritma, ancak e tabanıyla (e = 2,71828... - irrasyonel bir sayı). ln olarak gösterilir.

Logaritmanın formüllerini veya özelliklerini ezberlemeniz tavsiye edilir, çünkü daha sonra logaritmaları, logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken bunlara ihtiyacımız olacak. Örneklerle her formülü tekrar inceleyelim.

• Temel logaritmik kimlik
  a günlüğü a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Ürünün logaritması logaritmaların toplamına eşittir
  log a (bc) = log a b + log a c

  günlük 3 8,1 + günlük 3 10 = günlük 3 (8,1*10) = günlük 3 81 = 4

• Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 günlük 5 50 /9 günlük 5 2 = 9 günlük 5 50- günlük 5 2 = 9 günlük 5 25 = 9 2 = 81

• Logaritmik bir sayının kuvvetinin ve logaritmanın tabanının özellikleri

  Logaritmanın üssü günlük numaraları a b m = mlog a b

  Logaritmanın tabanının üssü log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  eğer m = n ise log a n b n = log a b elde ederiz

  günlük 4 9 = günlük 2 2 3 2 = günlük 2 3

• Yeni bir temele geçiş
  log a b = log c b/log c a,

  c = b ise log b b = 1 elde ederiz

  o zaman log a b = 1/log b a

  günlük 0,8 3*günlük 3 1,25 = günlük 0,8 3*günlük 0,8 1,25/günlük 0,8 3 = günlük 0,8 1,25 = günlük 4/5 5/4 = -1

Gördüğünüz gibi logaritma formülleri göründüğü kadar karmaşık değil. Artık logaritmik çözüm örneklerine baktıktan sonra logaritmik denklemlere geçebiliriz. Logaritmik denklemleri çözme örneklerine şu makalede daha ayrıntılı olarak bakacağız: "". Kaçırma!

Çözümle ilgili hala sorularınız varsa, bunları makalenin yorumlarına yazın.

Not: Seçenek olarak farklı bir sınıf eğitim almaya ve yurtdışında eğitim almaya karar verdik.

Pozitif bir b sayısının a tabanına göre logaritması (a>0, a, 1'e eşit değildir), a c = b olacak şekilde bir c sayısıdır: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Pozitif olmayan bir sayının logaritmasının tanımsız olduğunu unutmayın. Ayrıca logaritmanın tabanının 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olması gerekir. Örneğin -2'nin karesini alırsak 4 sayısını elde ederiz ancak bu, logaritmanın -2'nin 4 tabanına eşit olmadığı anlamına gelmez. 2'ye eşittir.

Temel logaritmik kimlik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bu formülün sağ ve sol taraflarının tanım kapsamının farklı olması önemlidir. Sol Taraf yalnızca b>0, a>0 ve a ≠ 1 için tanımlanır. Sağ kısım herhangi bir b için tanımlanır, ancak a'ya hiç bağlı değildir. Bu nedenle, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken temel logaritmik "özdeşliğin" uygulanması OD'de bir değişikliğe yol açabilir.

Logaritmanın tanımının iki belirgin sonucu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Nitekim a sayısını birinci kuvvetine yükselttiğimizde aynı sayıyı, sıfır kuvvetine yükselttiğimizde ise bir elde ederiz.

Çarpımın logaritması ve bölümün logaritması

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken bu formülleri düşüncesizce kullanmamaları konusunda okul çocuklarını uyarmak isterim. Bunları "soldan sağa" kullanırken ODZ daralır ve logaritmaların toplamından veya farkından ürünün veya bölümün logaritmasına geçerken ODZ genişler.

Aslında, log a (f (x) g (x)) ifadesi iki durumda tanımlanır: her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif olduğunda veya f(x) ve g(x) her ikisi de sıfırdan küçük olduğunda.

Bu ifadeyi log a f (x) + log a g (x) toplamına dönüştürdüğümüzde, kendimizi yalnızca f(x)>0 ve g(x)>0 durumuyla sınırlamak zorunda kalırız. Kabul edilebilir değerler aralığında bir daralma vardır ve bu, çözüm kaybına yol açabileceğinden kategorik olarak kabul edilemez. Benzer bir sorun formül (6) için de mevcuttur.

Derece logaritmanın işaretinden çıkarılabilir

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ve yine doğruluk için çağrıda bulunmak istiyorum. Aşağıdaki örneği düşünün:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Eşitliğin sol tarafı, f(x)'in sıfır dışındaki tüm değerleri için açıkça tanımlanmıştır. Sağ taraf sadece f(x)>0 içindir! Logaritmadan dereceyi çıkararak ODZ'yi tekrar daraltıyoruz. Ters prosedür, kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesine yol açar. Bütün bu açıklamalar sadece 2. kuvvet için değil aynı zamanda herhangi bir çift kuvvet için de geçerlidir.

Yeni bir temele geçmenin formülü

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ODZ'nin dönüşüm sırasında değişmediği nadir durum. Eğer c tabanını akıllıca seçtiyseniz (pozitif ve 1'e eşit değil), yeni bir tabana geçme formülü tamamen güvenlidir.

Yeni c tabanı olarak b sayısını seçersek önemli bir sonuç elde ederiz. özel durum formüller (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Logaritmalarla ilgili bazı basit örnekler

Örnek 1. Hesaplayın: log2 + log50.
Çözüm. log2 + log50 = log100 = 2. Logaritma toplamı formülünü (5) ve ondalık logaritmanın tanımını kullandık.

Örnek 2. Hesaplayın: lg125/lg5.
Çözüm. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bir tabana (8) geçmek için formülü kullandık.

Logaritmalarla ilgili formül tablosu

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)