Ev Ağızdan gelen koku Sonsuz geometrik ilerleme ve toplamı. Her zaman havanda ol

Ağızdan gelen koku

Sonsuz geometrik ilerleme ve toplamı. Her zaman havanda ol

Fizik ve matematikteki bazı problemler sayı serilerinin özellikleri kullanılarak çözülebilir. Okullarda öğretilen en basit iki sayı dizisi cebirsel ve geometriktir. Bu yazımızda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusuna daha yakından bakacağız.

İlerleme geometrik

Bu kelimeler, elemanları a i şu ifadeyi karşılayan bir dizi gerçek sayı anlamına gelir:

Burada i serideki eleman sayısı, r ise payda adı verilen sabit bir sayıdır.

Bu tanım, ilerlemenin herhangi bir üyesini ve paydasını bilerek tüm sayı dizisini geri yükleyebileceğinizi gösterir. Örneğin, 10. element biliniyorsa, bunu r'ye bölerek 9. elementi, tekrar bölerek 8. elementi elde edeceğiz ve bu böyle devam edecek. Bu basit argümanlar, söz konusu sayı dizisi için geçerli olan bir ifadeyi yazmamıza olanak tanır:

Paydası 2 olan bir ilerleme örneği aşağıdaki seri olabilir:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Payda -2'ye eşitse tamamen farklı bir seri elde edilir:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrik ilerleme cebirsel ilerlemeden çok daha hızlıdır, yani terimleri hızla artar ve hızla azalır.

i ilerleme koşullarının toplamı

Pratik problemleri çözmek için, genellikle söz konusu sayısal dizinin çeşitli elemanlarının toplamını hesaplamak gerekir. Bu durum için aşağıdaki formül geçerlidir:

S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)

İ terimlerinin toplamını hesaplamak için yalnızca iki sayıyı bilmeniz gerektiği görülebilir: a 1 ve r; bu mantıklıdır, çünkü bunlar tüm diziyi benzersiz bir şekilde belirler.

Azalan dizi ve terimlerinin toplamı

Şimdi düşünelim özel durum. Payda r modülünün biri geçmediğini, yani -1 olduğunu varsayacağız.

Azalan bir geometrik ilerlemeyi dikkate almak ilginçtir çünkü terimlerinin sonsuz toplamı sonlu bir gerçek sayıya eğilimlidir.

Toplamın formülünü alalım. Önceki paragrafta S i için verilen ifadeyi yazarsanız bunu yapmak kolaydır. Sahibiz:

S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)

i->∞ durumunu ele alalım. Paydanın modülü 1'den küçük olduğundan onu sonsuz bir kuvvete yükseltmek sıfır verecektir. Bu, r=0,5 örneği kullanılarak kontrol edilebilir:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Sonuç olarak, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu şekli alacaktır:

Bu formül genellikle pratikte, örneğin şekillerin alanlarını hesaplamak için kullanılır. Aynı zamanda Elea'lı Zenon'un kaplumbağa ve Aşil ile olan paradoksunu çözmek için de kullanılır.

Sonsuz bir geometrik artan ilerlemenin toplamı dikkate alındığında (r>1) S ∞ = +∞ sonucunun elde edileceği açıktır.

Bir ilerlemenin ilk terimini bulma görevi

Yukarıdaki formüllerin nasıl uygulanacağını bir problem çözme örneği kullanarak gösterelim. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamının 11 olduğu bilinmektedir. Üstelik 7. terimi üçüncü teriminden 6 kat daha azdır. Bu sayı serisinin ilk elemanı nedir?

Öncelikle 7. ve 3. elementleri belirlemek için iki ifade yazalım. Şunu elde ederiz:

İlk ifadeyi ikinciye bölüp paydayı ifade edersek:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Yedinci ve üçüncü terimlerin oranı problem ifadesinde verildiğinden, bunu yerine koyup r'yi bulabilirsiniz:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

R'yi beş ondalık basamağa kadar hesapladık. Ortaya çıkan değer birden küçük olduğundan ilerleme azalıyor, bu da formülün sonsuz toplamı için kullanılmasını haklı çıkarıyor. İlk terimin ifadesini S ∞ toplamı üzerinden yazalım:

Bilinen değerleri bu formülde yerine koyarız ve cevabı alırız:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zeno'nun hızlı Aşil ve yavaş kaplumbağa ile ünlü paradoksu

Elealı Zeno, M.Ö. 5. yüzyılda yaşamış ünlü bir Yunan filozofudur. e. Matematikte sonsuz büyük ve sonsuz küçük probleminin formüle edildiği günümüze kadar bu konunun bazı doruk noktaları veya paradoksları gelmiştir.

Zeno'nun ünlü paradokslarından biri Aşil ile kaplumbağa arasındaki rekabettir. Zeno, eğer Aşil kaplumbağaya uzaktan bir avantaj sağlarsa ona asla yetişemeyeceğine inanıyordu. Örneğin Aşil'in, örneğin 100 metre önünde sürünen bir hayvandan 10 kat daha hızlı koştuğunu varsayalım. Savaşçı 100 metre koştuğunda kaplumbağa 10 metre sürünerek uzaklaşır. Tekrar 10 metre koşan Aşil, kaplumbağanın 1 metre daha süründüğünü görür. Bu şekilde sonsuza kadar tartışabilirsiniz, rakipler arasındaki mesafe gerçekten azalacak ama kaplumbağa her zaman önde olacak.

Zeno'yu hareketin var olmadığı ve etrafındaki nesnelerin tüm hareketlerinin bir yanılsama olduğu sonucuna götürdü. Elbette antik Yunan filozofu yanılıyordu.

Paradoksun çözümü, sürekli azalan parçaların sonsuz toplamının sonlu bir sayıya yönelmesi gerçeğinde yatmaktadır. Yukarıdaki durumda Aşil'in koştuğu mesafe için şunu elde ederiz:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Sonsuz geometrik ilerlemenin toplamına ilişkin formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metre

Bu sonuç, Aşil'in kaplumbağaya yalnızca 11.111 metre süründüğünde yetişeceğini göstermektedir.

Eski Yunanlılar matematikte sonsuz niceliklerle nasıl çalışılacağını bilmiyorlardı. Ancak Aşil'in aşması gereken sonsuz sayıdaki boşluklara değil, koşucunun hedefine ulaşmak için ihtiyaç duyduğu adımların sonlu sayısına dikkat edersek bu paradoks çözülebilir.

Dersin amacı: Öğrencileri yeni bir dizi türüyle tanıştırmak - sonsuz azalan geometrik ilerleme.
Görevler:
sayısal bir dizinin limitine ilişkin başlangıç fikrinin formüle edilmesi;
sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı formülünü kullanarak sonsuz periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmenin başka bir yolunu bilmek;
mantıksal düşünme, değerlendirme eylemleri yapma yeteneği ve genelleme gibi okul çocuklarının kişiliğinin entelektüel niteliklerinin geliştirilmesi;
faaliyeti, karşılıklı yardımlaşmayı, kolektivizmi ve konuya ilgiyi teşvik etmek.

İndirmek:

Ön izleme:

Konuyla ilgili ders “Sonsuz azalan geometrik ilerleme” (Cebir, 10. sınıf)

Dersin amacı: Öğrencileri yeni bir dizi türüyle tanıştırıyoruz - sonsuz azalan geometrik ilerleme.

Görevler:

sayısal bir dizinin limitine ilişkin başlangıç fikrinin formüle edilmesi; sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı formülünü kullanarak sonsuz periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmenin başka bir yolunu bilmek;

mantıksal düşünme, değerlendirme eylemleri yapma yeteneği ve genelleme gibi okul çocuklarının kişiliğinin entelektüel niteliklerinin geliştirilmesi;

faaliyeti, karşılıklı yardımlaşmayı, kolektivizmi ve konuya ilgiyi teşvik etmek.

Teçhizat: bilgisayar sınıfı, projektör, ekran.

Ders türü: ders - yeni bir konu öğrenmek.

Dersler sırasında

I. Org. an. Dersin konusunu ve amacını belirtin.

II. Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi.

9. sınıfta aritmetik ve geometrik ilerlemeler okudunuz.

Sorular

1. Tanım aritmetik ilerleme.

(Bir aritmetik ilerleme, her bir üyenin

İkinciden başlayarak, aynı sayıya eklenen bir önceki terime eşittir).

2. Formül n bir aritmetik ilerlemenin üçüncü terimi

3. İlkinin toplamının formülü N aritmetik ilerleme terimleri.

( veya )

4. Geometrik ilerlemenin tanımı.

(Geometrik ilerleme, sıfır olmayan sayıların dizisidir

İkinciden başlayarak her terim bir önceki terimin çarpımına eşittir.

Aynı numara).

5. Formül n geometrik ilerlemenin üçüncü terimi

6. İlkinin toplamının formülü N geometrik ilerlemenin üyeleri.

7. Başka hangi formülleri biliyorsunuz?

(, Nerede ; ;

; , )

Görevler

1. Aritmetik ilerleme formülle verilir bir n = 7 – 4n . 10'u bulun. (-33)

2. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 4'ü bulun. (4)

3. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 17'yi bulun. (-35)

4. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. S 17'yi bulun. (-187)

5. Geometrik ilerleme içinbeşinci terimi bulunuz.

6. Geometrik ilerleme için n'inci terimi bulun.

7. Üstel olarak b3 = 8 ve b5 = 2. b4'ü bulun. (4)

8. Üstel olarak b3 = 8 ve b5 = 2. b 1 ve q'yu bulun.

9. Üstel olarak b3 = 8 ve b5 = 2. S5'i bulun. (62)

III. Yeni bir konu öğrenmek(sunumun gösterimi).

Kenarı 1'e eşit olan bir kare düşünün. Kenarı ilk karenin yarısı kadar olan başka bir kare, sonra kenarı ikincinin yarısı kadar olan başka bir kare, sonra bir sonrakini vb. çizelim. Her seferinde yeni karenin kenarı bir öncekinin yarısına eşittir.

Sonuç olarak, bir dizi kare kenar elde ettikpaydayla geometrik bir ilerleme oluşturma.

Ve çok önemli olan, bu tür kareleri ne kadar çok inşa edersek, karenin kenarı da o kadar küçük olacaktır.Örneğin ,

Onlar. N sayısı arttıkça ilerlemenin terimleri sıfıra yaklaşır.

Bu şekli kullanarak başka bir diziyi düşünebilirsiniz.

Örneğin karelerin alanlarının sırası:

Ve yine eğer n süresiz olarak artarsa alan sıfıra istediğiniz kadar yaklaşır.

Başka bir örneğe bakalım. Kenarları 1 cm'ye eşit olan eşkenar üçgen. Üçgenin orta çizgisi hakkındaki teoreme göre, köşeleri 1. üçgenin kenarlarının orta noktalarında olacak şekilde aşağıdaki üçgeni oluşturalım - 2.'nin kenarı birincinin kenarının yarısına, 3.'nün kenarının yarısına eşittir 2. kenarın yarısına eşittir vb. Yine üçgenlerin kenarlarının uzunluklarının bir dizisini elde ediyoruz.

Geometrik bir ilerlemeyi düşünürsek negatif payda.

Daha sonra sayıları giderek artan N İlerleme açısından sıfıra yaklaşıyor.

Bu dizilerin paydalarına dikkat edelim. Her yerde paydaların mutlak değeri 1'den küçüktü.

Şu sonuca varabiliriz: eğer paydasının modülü 1'den küçükse geometrik ilerleme sonsuza kadar azalacaktır.

Ön çalışma.

Tanım:

Geometrik ilerleme Paydasının modülü birden küçükse sonsuz azalan denir..

Tanımı kullanarak geometrik ilerlemenin sonsuz azalıp azalmadığına karar verebilirsiniz.

Görev

Aşağıdaki formülle verilirse dizi sonsuz azalan bir geometrik ilerleme midir?

Çözüm:

Q'yu bulalım.

; ; ; .

bu geometrik ilerleme sonsuz biçimde azalmaktadır.

B) bu dizi sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme değildir.

Bir kenarı 1'e eşit olan bir kare düşünün. Onu ikiye bölün, yarımlardan birini ikiye bölün, vb. Ortaya çıkan tüm dikdörtgenlerin alanları sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur:

Bu şekilde elde edilen tüm dikdörtgenlerin alanlarının toplamı 1. karenin alanına eşit ve 1'e eşit olacaktır.

Ancak bu eşitliğin sol tarafında sonsuz sayıda terimin toplamı bulunmaktadır.

İlk n terimin toplamını ele alalım.

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formüle göre, şuna eşittir:.

Eğer n sınırsız artarsa

veya . Bu nedenle, yani. .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıbir dizi sınırı var S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Örneğin, ilerleme için,

sahibiz

Çünkü

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıformül kullanılarak bulunabilir.

III. Anlama ve birleştirme(görevleri tamamlamak).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Özetleme.

Bugün hangi diziyle tanıştınız?

Sonsuz azalan geometrik ilerlemeyi tanımlayın.

Geometrik ilerlemenin sonsuza kadar azaldığı nasıl kanıtlanır?

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülünü verin.

V. Ödev.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Herkes tutarlı düşünebilmeli, kanıtlarla yargılayabilmeli ve yanlış sonuçları çürütebilmelidir: bir fizikçi ve bir şair, bir traktör sürücüsü ve bir kimyager. E. Kolman Matematikte formülleri değil düşünme süreçlerini hatırlamak gerekir. V.P. Ermakov Bir dairenin karesini bulmak bir matematikçiyi alt etmekten daha kolaydır. Augustus de Morgan Hangi bilim matematikten daha asil, daha takdire şayan, insanlığa daha faydalı olabilir? Franklin

Sonsuz azalan geometrik ilerleme notu 10

BEN. Aritmetik ve geometrik ilerlemeler. Sorular 1. Aritmetik ilerlemenin tanımı. Aritmetik ilerleme, ikinciden başlayarak her terimin aynı sayıya eklenen bir önceki terime eşit olduğu bir dizidir. 2. Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül. 3. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için formül. 4. Geometrik ilerlemenin tanımı. Geometrik ilerleme, sıfırdan farklı sayılardan oluşan bir dizidir; ikinciden başlayarak her terimi önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşittir 5. Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül. 6. Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için formül.

II. Aritmetik ilerleme. Görevler Aritmetik ilerleme şu formülle verilir: a n = 7 – 4 n Find a 10 . (-33) 2. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 4'ü bulun. (4) 3. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 17'yi bulun. (-35) 4. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. S 17'yi bulun. (-187)

II. Geometrik ilerleme. Görevler 5. Geometrik ilerleme için beşinci terimi bulun 6. Geometrik ilerleme için n'inci terimi bulun. 7. Geometrik ilerlemede b 3 = 8 ve b 5 = 2. b4'ü bulun. (4) 8. Geometrik ilerlemede b 3 = 8 ve b 5 = 2. b 1 ve q'yu bulun. 9. Geometrik ilerlemede b 3 = 8 ve b 5 = 2. S5'i bulun. (62)

tanım: Paydanın modülü birden küçükse, geometrik ilerlemeye sonsuz azalan ilerleme denir.

Problem No. 1 Aşağıdaki formülle verilirse, dizi sonsuz azalan bir geometrik ilerleme midir? Çözüm: a) Bu geometrik ilerleme sonsuz azalan bir dizidir. b) bu dizi sonsuz azalan bir geometrik ilerleme değildir.

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı S 1, S 2, S 3, ..., S n, ... dizisinin limitidir. Örneğin, sahip olduğumuz ilerleme için Sonsuza kadar azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı şu formül kullanılarak bulunabilir:

Görevleri tamamlama İlk terim 3, ikinci terim 0,3 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını bulun. 2. Sayı 13; 14 numara; ders kitabı, s. 138 3. Sayı 15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. Sayı 19; 20 numara.

Bugün hangi diziyle tanıştınız? Sonsuz azalan geometrik ilerlemeyi tanımlayın. Geometrik ilerlemenin sonsuza kadar azaldığı nasıl kanıtlanır? Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülünü verin. Sorular

Ünlü Polonyalı matematikçi Hugo Steinhaus şaka yollu bir kanunun şu şekilde formüle edildiğini iddia ediyor: Bir matematikçi daha iyisini yapar. Yani biri matematikçi olan iki kişiye, kendilerine yabancı olan bir işi yaptırırsanız sonuç her zaman şu olur: Matematikçi daha iyi yapar. Hugo Steinhaus 01/14/1887-02/25/1972

SAYISAL DİZİLER VI

§ l48. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı

Şimdiye kadar toplamlardan bahsederken, bu toplamlardaki terim sayısının sonlu olduğunu (örneğin 2, 15, 1000 vb.) varsayıyorduk. Ancak bazı problemleri (özellikle yüksek matematik) çözerken sonsuz sayıda terimin toplamlarıyla uğraşmak gerekir.

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Bu miktarlar nedir? A-tarikatı sonsuz sayıda terimin toplamı A 1 , A 2 , ..., A N , ... S toplamının limiti olarak adlandırılır N Birinci P sayılar ne zaman P -> ∞ :

S=S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Limit (2) elbette mevcut olabilir veya olmayabilir. Buna göre (1) toplamının var ya da yok olduğunu söylüyorlar.

Her özel durumda toplam (1)'in mevcut olup olmadığını nasıl öğrenebiliriz? Ortak karar Bu konu programımızın kapsamını çok aşıyor. Ancak şimdi dikkate almamız gereken önemli bir özel durum var. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplanmasından bahsedeceğiz.

İzin vermek A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir. Bu şu anlama gelir: | Q |< 1. Сумма первых P bu ilerlemenin şartları eşittir

Değişkenlerin limitlerine ilişkin temel teoremlerden (bkz. § 136) şunları elde ederiz:

Fakat 1 = 1, a qn = 0. Bu nedenle

Yani sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı, bu ilerlemenin ilk teriminin bir eksi bu ilerlemenin paydasına bölünmesine eşittir.

1) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometrik ilerlemesinin toplamı şuna eşittir:

ve geometrik ilerlemenin toplamı 12'dir; -6; 3; - 3/2 , ... eşit

2) Basit bir periyodik kesir olan 0,454545'i sıradan bir kesire dönüştürün.

Bu sorunu çözmek için bu kesri sonsuz bir toplam olarak hayal edin:

Sağ kısım Bu eşitlik, ilk terimi 45/100, paydası 1/100 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır. Bu yüzden

Açıklanan yöntemi kullanarak aynı zamanda elde edilebilir. Genel kural basit periyodik kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesi (bkz. Bölüm II, § 38):

Basit bir periyodik kesiri sıradan bir kesire dönüştürmek için aşağıdakileri yapmanız gerekir: payda ondalık kesrin periyodunu ve paydada - dönemdeki basamak sayısı kadar alınan dokuzdan oluşan bir sayı ondalık kesir.

3) Karışık periyodik kesir 0,58333 ....'yi sıradan bir kesire dönüştürün.

Bu kesri sonsuz bir toplam olarak düşünelim:

Bu eşitliğin sağ tarafında 3/1000'den başlayarak tüm terimler, ilk terimi 3/1000, paydası 1/10 olan sonsuz azalan geometrik dizi oluşturur. Bu yüzden

Açıklanan yöntemi kullanarak, karışık periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmek için genel bir kural elde edilebilir (bkz. Bölüm II, § 38). Burada bilinçli olarak sunmuyoruz. Bu hantal kuralı hatırlamanıza gerek yok. Herhangi bir karışık periyodik kesirin, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ve belirli bir sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini bilmek çok daha faydalıdır. Ve formül

Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamı için elbette şunu hatırlamanız gerekir.

Bir alıştırma olarak, aşağıda verilen 995-1000 numaralı problemlere ek olarak, bir kez daha 301 § 38 numaralı probleme dönmenizi öneriyoruz.

Egzersizler

995. Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamına ne denir?

996. Sonsuz azalan geometrik ilerlemelerin toplamlarını bulun:

997. Hangi değerlerde X ilerleme

sonsuz mu azalıyor? Böyle bir ilerlemenin toplamını bulun.

998. Kenarları olan bir eşkenar üçgende A kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen yazılır; bu üçgenin içine aynı şekilde yeni bir üçgen yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder.

a) tüm bu üçgenlerin çevrelerinin toplamı;

b) alanlarının toplamı.

999. Kenarlı kare A kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare yazılır; Bu karenin içine de aynı şekilde bir kare yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder. Bu karelerin çevrelerinin toplamını ve alanlarının toplamını bulun.

1000. Toplamı 25/4 ve terimlerinin kareleri toplamı 625/24 olacak şekilde sonsuz azalan bir geometrik dizi oluşturun.

İlk seviye

Geometrik ilerleme. Kapsamlı rehberörneklerle (2019)

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.

Sayıyı taşıyan sayıya dizinin n'inci üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

En yaygın ilerleme türleri aritmetik ve geometriktir. Bu başlıkta ikinci tip hakkında konuşacağız - geometrik ilerleme.

Geometrik ilerlemeye neden ihtiyaç duyulur ve tarihi?

Antik çağda bile, İtalyan matematikçi keşiş Pisalı Leonardo (daha çok Fibonacci olarak bilinir) ticaretin pratik ihtiyaçlarıyla ilgileniyordu. Keşiş, bir ürünü tartmak için kullanılabilecek en küçük ağırlık sayısını belirleme göreviyle karşı karşıyaydı. Fibonacci, çalışmalarında böyle bir ağırlık sisteminin optimal olduğunu kanıtlıyor: Bu, insanların geometrik ilerlemeyle uğraşmak zorunda kaldıkları ilk durumlardan biri, muhtemelen zaten duymuşsunuzdur ve en azından duymuşsunuzdur. Genel kavram. Konuyu tam olarak anladıktan sonra böyle bir sistemin neden optimal olduğunu düşünün.

Şu anda, yaşam pratiğinde geometrik ilerleme, bir bankaya para yatırırken, önceki dönemde hesapta biriken tutara faiz tahakkuk ettirildiğinde kendini göstermektedir. Başka bir deyişle, bir tasarruf bankasındaki vadeli mevduata para yatırırsanız, bir yıl sonra mevduat orijinal miktarı kadar artacaktır, yani. yeni miktar katkı payının çarpımına eşit olacaktır. Bir sonraki yıl bu miktar artacak, yani. o sırada elde edilen miktar tekrar çarpılacaktır vb. Benzer bir durum sözde hesaplama problemlerinde de anlatılmaktadır. bileşik faiz- Yüzde, önceki faiz dikkate alınarak her seferinde hesaptaki tutardan alınır. Bu görevlerden biraz sonra bahsedeceğiz.

Geometrik ilerlemenin uygulandığı daha birçok basit durum vardır. Örneğin, gribin yayılması: bir kişi başka bir kişiye bulaştırdı, o da başka bir kişiye bulaştırdı ve dolayısıyla enfeksiyonun ikinci dalgası bir kişiye dönüştü ve o da bir başkasına bulaştırdı... ve böyle devam etti. .

Bu arada, aynı MMM olan finansal piramit, geometrik ilerlemenin özelliklerine dayanan basit ve kuru bir hesaplamadır. İlginç? Hadi çözelim.

Geometrik ilerleme.

Diyelim ki bir sayı dizimiz var:

Hemen bunun kolay olduğunu ve böyle bir dizinin adının terimlerinin farkıyla aritmetik bir dizi olduğunu söyleyeceksiniz. Buna ne dersin:

Bir öncekini bir sonraki sayıdan çıkarırsanız, her seferinde yeni bir fark elde ettiğinizde (vb.) göreceksiniz, ancak dizi kesinlikle mevcuttur ve fark edilmesi kolaydır - sonraki her sayı bir öncekinden kat daha büyüktür!

Bu tür sayı dizisine denir geometrik ilerleme ve belirlenir.

Geometrik ilerleme (), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit olan ve aynı sayıyla çarpılan sayısal bir dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

İlk terimin ( ) eşit olmadığı ve rastgele olmadığı kısıtlamaları. Diyelim ki orada değiller ve ilk terim hala eşit ve q eşittir, hmm.. öyle olsun, o zaman ortaya çıkıyor:

Bunun artık bir ilerleme olmadığını kabul edin.

Anladığınız gibi sıfır a'dan başka bir sayı varsa aynı sonuçları alacağız. Bu durumlarda, sayı serisinin tamamı ya sıfır ya da bir sayı olacağından ve geri kalan her şey sıfır olacağından hiçbir ilerleme olmayacaktır.

Şimdi geometrik ilerlemenin paydası yani o hakkında daha detaylı konuşalım.

Tekrarlayalım: - bu sayı birbirini takip eden her terim kaç kez değişir? geometrik ilerleme.

Sizce ne olabilir? Bu doğru, olumlu ve olumsuz, ancak sıfır değil (bunun hakkında biraz daha yukarıda konuştuk).

Bizimkinin olumlu olduğunu varsayalım. Bizim durumumuzda a. İkinci terimin değeri nedir ve? Buna kolayca cevap verebilirsiniz:

Bu doğru. Buna göre, ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar olumlu.

Ya olumsuzsa? Örneğin, a. İkinci terimin değeri nedir ve?

Bu tamamen farklı bir hikaye

Bu ilerlemenin şartlarını saymaya çalışın. Ne kadar aldın? Sahibim. Böylece, geometrik ilerlemenin terimlerinin işaretleri değişiyorsa. Yani, üyeleri için değişen işaretlerin olduğu bir ilerleme görürseniz, paydası negatiftir. Bu bilgi, bu konudaki sorunları çözerken kendinizi test etmenize yardımcı olabilir.

Şimdi biraz pratik yapalım: Hangi sayı dizilerinin geometrik ilerleme, hangilerinin aritmetik ilerleme olduğunu belirlemeye çalışın:

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Geometrik ilerleme - 3, 6.
Aritmetik ilerleme - 2, 4.
Bu ne aritmetik ne de geometrik bir ilerlemedir - 1, 5, 7.

Son ilerlememize dönelim ve tıpkı aritmetikte olduğu gibi üyesini bulmaya çalışalım. Tahmin edebileceğiniz gibi onu bulmanın iki yolu var.

Her terimi art arda ile çarpıyoruz.

Yani, açıklanan geometrik ilerlemenin inci terimi eşittir.

Zaten tahmin ettiğiniz gibi, artık geometrik ilerlemenin herhangi bir üyesini bulmanıza yardımcı olacak bir formülü kendiniz türeteceksiniz. Yoksa zaten kendiniz için geliştirdiniz mi, adım adım üyeyi nasıl bulacağınızı anlatıyorsunuz? Eğer öyleyse, gerekçenizin doğruluğunu kontrol edin.

Bunu bu ilerlemenin inci terimini bulma örneğiyle açıklayalım:

Başka bir deyişle:

Verilen geometrik ilerlemenin teriminin değerini kendiniz bulun.

Olmuş? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Geometrik ilerlemenin önceki her terimiyle sıralı olarak çarptığımızda, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
"Kişiliksizleştirmeye" çalışalım bu formül- Bunu genel forma koyalım ve şunu elde edelim:

Türetilen formül hem pozitif hem de negatif tüm değerler için geçerlidir. Geometrik ilerlemenin şartlarını hesaplayarak bunu kendiniz kontrol edin. aşağıdaki koşullar: , A.

Saydın mı? Sonuçları karşılaştıralım:

Bir terimle aynı şekilde bir ilerleme terimi bulmanın mümkün olacağını kabul edin, ancak yanlış hesaplama olasılığı vardır. Ve eğer geometrik ilerlemenin inci terimini zaten bulduysak, formülün "kesilmiş" kısmını kullanmaktan daha basit ne olabilir?

Sonsuz azalan geometrik ilerleme.

Daha yakın zamanlarda sıfırdan büyük veya küçük olabileceğinden bahsettik, ancak geometrik ilerlemenin çağrıldığı özel değerler var. sonsuz azalan.

Sizce bu isim neden verildi?
Öncelikle terimlerden oluşan bazı geometrik dizileri yazalım.
O halde şöyle diyelim:

Sonraki her terimin bir öncekinden bir kat daha az olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir sayı olacak mı? Hemen cevap vereceksiniz - "hayır". Bu yüzden sonsuza kadar azalıyor; azalıyor, azalıyor ama asla sıfır olmuyor.

Bunun görsel olarak nasıl göründüğünü net bir şekilde anlamak için ilerlememizin bir grafiğini çizmeye çalışalım. Dolayısıyla bizim durumumuz için formül aşağıdaki formu alır:

Grafiklerde bağımlılığı çizmeye alışkınız, bu nedenle:

İfadenin özü değişmedi: ilk girdide geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerinin sıra numarasına bağımlılığını gösterdik ve ikinci girdide basitçe geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerini şu şekilde aldık: ve sıra sayısını olarak değil, olarak belirledi. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmaktır.
Bakalım ne almışsın. İşte bulduğum grafik:

Görüyor musun? Fonksiyon azalır, sıfıra yaklaşır ama asla onu geçmez, yani sonsuz azalandır. Grafik üzerinde noktalarımızı ve aynı zamanda koordinat ve ne anlama geldiğini işaretleyelim:

İlk terimi de eşitse, geometrik ilerlemenin grafiğini şematik olarak göstermeye çalışın. Analiz edin, önceki grafiğimizle arasındaki fark nedir?

Becerebildin mi? İşte bulduğum grafik:

Artık geometrik ilerleme konusunun temellerini tam olarak anladığınıza göre: ne olduğunu biliyorsunuz, terimini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ne olduğunu da biliyorsunuz, haydi ana özelliğine geçelim.

Geometrik ilerlemenin özelliği.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin özelliğini hatırlıyor musunuz? Evet evet, bu ilerlemenin terimlerinin önceki ve sonraki değerleri varken belirli bir ilerleme sayısının değeri nasıl bulunur? Hatırlıyor musun? Bu:

Şimdi geometrik ilerlemenin terimleri için tamamen aynı soruyla karşı karşıyayız. Böyle bir formül elde etmek için çizmeye ve akıl yürütmeye başlayalım. Göreceksiniz, çok kolay, eğer unutursanız kendiniz de çıkarabilirsiniz.

İçinde bildiğimiz başka bir basit geometrik ilerlemeyi ele alalım ve. Nasıl bulunur? Aritmetik ilerlemeyle bu kolay ve basittir, peki ya burada? Aslında geometrik olarak da karmaşık bir şey yok - bize verilen her değeri formüle göre yazmanız yeterli.

Şimdi bu konuda ne yapmamız gerektiğini sorabilirsiniz. Evet, çok basit. Öncelikle bu formülleri şekilde gösterelim ve onlarla yapmaya çalışalım. çeşitli manipülasyonlar bir değere ulaşmaktır.

Bize verilen rakamlardan soyutlayalım, sadece formül üzerinden ifadelerine odaklanalım. Turuncu renkle vurgulanan değeri, yanındaki terimleri bilerek bulmamız gerekiyor. Onlarla üretmeye çalışalım çeşitli eylemler bunun sonucunda elde edebiliriz.

Ek.
İki ifade eklemeye çalışalım ve şunu elde edelim:

Gördüğünüz gibi bu ifadeyi hiçbir şekilde ifade edemiyoruz, bu nedenle başka bir seçenek olan çıkarma işlemini deneyeceğiz.

Çıkarma.

Gördüğünüz gibi bunu da ifade edemiyoruz o yüzden bu ifadeleri birbiriyle çarpmaya çalışalım.

Çarpma işlemi.

Şimdi bize verilen geometrik ilerlemenin terimlerini bulunması gerekenle karşılaştırarak elde ettiğimiz şeye dikkatlice bakın:

Bilin bakalım neden bahsediyorum? Bu doğru, bulmamız için almamız gerekenler Kare kök istenilen sayıya bitişik geometrik ilerleme sayılarının birbirleriyle çarpılmasından:

Hadi bakalım. Geometrik ilerleme özelliğini kendiniz elde ettiniz. Bu formülü yazmayı deneyin Genel görünüm. Olmuş?

Durumu unuttunuz mu? Bunun neden önemli olduğunu düşünün, örneğin bunu kendiniz hesaplamaya çalışın. Bu durumda ne olacak? Bu doğru, tamamen saçmalık çünkü formül şöyle görünüyor:

Bu nedenle bu sınırlamayı unutmayın.

Şimdi neye eşit olduğunu hesaplayalım

Doğru cevap - ! Hesaplarken ikinciyi unutmadıysanız olası anlam, o zaman harika bir insansınız ve hemen eğitime geçebilirsiniz ve eğer unutursanız, aşağıda tartışılanları okuyun ve cevapta her iki kökü de yazmanın neden gerekli olduğuna dikkat edin.

Her iki geometrik ilerlememizi de (biri değerle, diğeri değerle) çizelim ve her ikisinin de var olma hakkına sahip olup olmadığını kontrol edelim:

Böyle bir geometrik ilerlemenin var olup olmadığını kontrol etmek için verilen tüm terimlerin aynı olup olmadığına bakmak gerekir. Birinci ve ikinci durumlar için q'yu hesaplayın.

Neden iki cevap yazmamız gerektiğini anladınız mı? Çünkü aradığınız terimin işareti, olumlu ya da olumsuz olmasına bağlıdır! Ve ne olduğunu bilmediğimiz için her iki cevabı da artı ve eksi ile yazmamız gerekiyor.

Artık ana noktalarda uzmanlaştığınıza ve geometrik ilerleme özelliğinin formülünü türettiğinize göre, bulma, bilme ve

Cevaplarınızı doğru olanlarla karşılaştırın:

Ne düşünüyorsunuz, ya bize istenen sayıya bitişik geometrik ilerleme terimlerinin değerleri değil de ondan eşit uzaklıkta verilmiş olsaydı. Örneğin, bulmamız ve vermemiz gerekiyor ve. Bu durumda elde ettiğimiz formülü kullanabilir miyiz? Formülü orijinal olarak türettiğinizde yaptığınız gibi, her bir değerin nelerden oluştuğunu açıklayarak bu olasılığı aynı şekilde onaylamaya veya çürütmeye çalışın.
Ne aldın?

Şimdi tekrar dikkatlice bakın.
ve buna bağlı olarak:

Buradan formülün işe yaradığı sonucuna varabiliriz. sadece komşularla değil geometrik ilerlemenin istenen terimleriyle, aynı zamanda eşit uzaklıktaüyelerin aradıklarından.

Böylece ilk formülümüz şu şekli alır:

Yani, ilk durumda bunu söylediysek, şimdi bunun herhangi bir şeye eşit olabileceğini söylüyoruz. doğal sayı, daha küçüktür. Önemli olan, verilen her iki sayı için de aynı olmasıdır.

Belirli örneklerle pratik yapın, ancak son derece dikkatli olun!

, . Bulmak.
, . Bulmak.
, . Bulmak.

Karar verilmiş? Umarım son derece dikkatli davranmışsınızdır ve küçük bir yakalamayı fark etmişsinizdir.

Sonuçları karşılaştıralım.

İlk iki durumda yukarıdaki formülü sakince uygularız ve aşağıdaki değerleri elde ederiz:

Üçüncü durumda, daha yakından incelendiğinde seri numaraları Bize verilen sayıların aradığımız sayıya eşit uzaklıkta olmadığını anlıyoruz: önceki sayıdır, ancak konumdan kaldırılmıştır, dolayısıyla formülü uygulamak mümkün değildir.

Nasıl çözeceksin? Aslında göründüğü kadar zor değil! Bize verilen her sayının ve aradığımız sayının nelerden oluştuğunu yazalım.

Yani elimizde ve. Bakalım onlarla neler yapabiliriz? Bölmeyi öneriyorum. Şunu elde ederiz:

Verilerimizi formülde yerine koyarız:

Bulabileceğimiz bir sonraki adım - bunun için ortaya çıkan sayının küp kökünü almamız gerekiyor.

Şimdi elimizdekilere tekrar bakalım. Elimizde var ama bulmamız gerekiyor ve bu da şuna eşit:

Hesaplama için gerekli tüm verileri bulduk. Formülde yerine koyun:

Cevabımız: .

Başka bir benzer sorunu kendiniz çözmeyi deneyin:
Verilen: ,
Bulmak:

Ne kadar aldın? Sahibim - .

Gördüğünüz gibi aslında ihtiyacınız var sadece bir formülü hatırla- . Geri kalanını istediğiniz zaman hiçbir zorlukla karşılaşmadan kendiniz çekebilirsiniz. Bunu yapmak için, bir parça kağıda en basit geometrik ilerlemeyi yazmanız ve yukarıda açıklanan formüle göre her bir sayısının neye eşit olduğunu yazmanız yeterlidir.

Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı.

Şimdi belirli bir aralıktaki geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını hızlı bir şekilde hesaplamamızı sağlayan formüllere bakalım:

Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü elde etmek için yukarıdaki denklemin tüm kısımlarını ile çarpın. Şunu elde ederiz:

Dikkatlice bakın: Son iki formülün ortak noktası nedir? Bu doğru, örneğin ortak üyeler vb., ilk ve son üye hariç. 2. denklemden 1.yi çıkarmaya çalışalım. Ne aldın?

Şimdi geometrik ilerlemenin terimini formül aracılığıyla ifade edin ve elde edilen ifadeyi son formülümüzde yerine koyun:

İfadeyi gruplandırın. Almalısınız:

Geriye sadece şunu ifade etmek kalıyor:

Buna göre bu durumda.

Farzedelim? O zaman hangi formül işe yarıyor? Geometrik bir ilerleme hayal edin. Neye benziyor? Bir dizi aynı sayı doğrudur, dolayısıyla formül şöyle görünecektir:

Hem aritmetik hem de geometrik ilerlemeyle ilgili birçok efsane vardır. Bunlardan biri de satrancın yaratıcısı Set efsanesidir.

Birçok kişi satranç oyununun Hindistan'da icat edildiğini biliyor. Hindu kralı onunla tanıştığında onun zekasından ve sahip olabileceği pozisyonların çeşitliliğinden çok memnun kaldı. Bunun tebaasından biri tarafından icat edildiğini öğrenen kral, onu bizzat ödüllendirmeye karar verdi. Mucidi yanına çağırdı ve ona istediği her şeyi istemesini emretti, en yetenekli arzuyu bile yerine getireceğine söz verdi.

Seta düşünmek için zaman istedi ve ertesi gün Seta kralın huzuruna çıktığında, bu isteğinin benzeri görülmemiş alçakgönüllülüğüyle kralı şaşırttı. Satranç tahtasının ilk karesine bir buğday tanesi, ikinci karesine bir buğday tanesi, üçüncü karesine bir buğday tanesi, dördüncü karesine bir buğday tanesi vb. verilmesini istedi.

Kral sinirlendi ve hizmetkarın isteğinin kralın cömertliğine yakışmadığını söyleyerek Seth'i uzaklaştırdı, ancak hizmetkarın tahtanın tüm kareleri için tahıllarını alacağına söz verdi.

Ve şimdi soru şu: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak Seth'in kaç tane tane alması gerektiğini hesaplayın?

Mantık yürütmeye başlayalım. Şarta göre Seth satranç tahtasının ilk karesi için, ikinci karesi için, üçüncüsü için, dördüncüsü için vb. bir buğday tanesi istediğine göre problemin geometrik ilerlemeyle ilgili olduğunu görüyoruz. Bu durumda neye eşittir?
Sağ.

Satranç tahtasının toplam kareleri. Sırasıyla, . Tüm verilere sahibiz, geriye sadece bunları formüle ekleyip hesaplamak kalıyor.

Belirli bir sayının en azından yaklaşık "ölçeği"ni hayal etmek için derecenin özelliklerini kullanarak dönüşüm yaparız:

Elbette, isterseniz bir hesap makinesi alıp hangi sayıya ulaşacağınızı hesaplayabilirsiniz, değilse de benim sözüme güvenmek zorunda kalacaksınız: ifadenin son değeri şu olacaktır.
Yani:

kentilyon katrilyon trilyon milyar milyon bin.

Phew) Bu sayının büyüklüğünü hayal etmek istiyorsanız, tahıl miktarının tamamını barındırmak için ne kadar büyük bir ahırın gerekli olacağını tahmin edin.
Ahır m yüksekliğinde ve m genişliğinde ise uzunluğunun km kadar uzaması gerekir. Dünya'dan Güneş'e olan uzaklığın iki katı.

Kral matematikte güçlü olsaydı, bilim adamını tahılları saymaya davet edebilirdi, çünkü bir milyon taneyi saymak için en az bir gün yorulmak bilmeden saymaya ihtiyacı olurdu ve kentilyonları saymanın gerekli olduğu göz önüne alındığında, taneleri saymak hayatı boyunca sayılması gerekirdi.

Şimdi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını içeren basit bir problemi çözelim.
5A sınıfı öğrencisi Vasya gribe yakalandı ancak okula gitmeye devam ediyor. Vasya her gün iki kişiye bulaştırıyor, o da iki kişiye daha bulaştırıyor ve bu böyle devam ediyor. Sınıfta sadece insanlar var. Kaç gün sonra tüm sınıf gripten hasta olacak?

Yani geometrik ilerlemenin ilk terimi Vasya'dır, yani kişidir. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi, geldiği ilk gün enfekte ettiği iki kişidir. toplam tutar ilerlemenin üyeleri 5A'daki öğrenci sayısına eşittir. Buna göre şöyle bir ilerlemeden bahsediyoruz:

Verilerimizi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünde yerine koyalım:

Birkaç gün içinde tüm sınıf hastalanacak. Formüllere ve sayılara inanmıyor musunuz? Öğrencilerin “enfeksiyonunu” kendiniz tasvir etmeye çalışın. Olmuş? Bakın benim için nasıl görünüyor:

Her biri bir kişiye bulaşırsa ve sınıfta yalnızca bir kişi varsa, öğrencilerin gripten kaç gün sonra hastalanacağını kendiniz hesaplayın.

Hangi değeri aldın? Bir gün sonra herkesin hastalanmaya başladığı ortaya çıktı.

Gördüğünüz gibi, böyle bir görev ve onun çizimi, her birinin yeni insanları “getirdiği” bir piramite benziyor. Ancak er ya da geç öyle bir an gelir ki ikincisi kimseyi çekemez. Bizim durumumuzda sınıfın izole olduğunu hayal edersek, gelen kişi zinciri () kapatır. Dolayısıyla eğer bir kişi bu işe karışmışsa mali piramit, iki katılımcı daha getirdiyseniz para verildi, o zaman kişi (veya Genel dava) kimseyi getirmeyecek ve dolayısıyla bu mali dolandırıcılığa yatırdıkları her şeyi kaybedeceklerdi.

Yukarıda söylenen her şey azalan veya artan bir geometrik ilerlemeye atıfta bulunur, ancak hatırladığınız gibi, özel bir türümüz var - sonsuz azalan bir geometrik ilerleme. Üyelerinin toplamı nasıl hesaplanır? Peki neden bu tür bir ilerlemenin belirli özellikleri var? Hadi birlikte çözelim.

Öncelikle örneğimizden sonsuz azalan geometrik ilerlemenin çizimine tekrar bakalım:

Şimdi biraz daha önce türetilen geometrik ilerlemenin toplamı formülüne bakalım:
veya

Ne için çabalıyoruz? Doğru, grafik sıfıra doğru yöneldiğini gösteriyor. Yani, at, neredeyse elde edeceğimiz ifadeyi hesaplarken sırasıyla neredeyse eşit olacaktır. Bu bakımdan sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamını hesaplarken bu parantez eşit olacağından ihmal edilebileceğine inanıyoruz.

- formül sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.

ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü yalnızca koşulun toplamı bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız. sonsuzÜye sayısı.

Belirli bir n sayısı belirtilirse, o zaman veya olsa bile n terimin toplamı için formülü kullanırız.

Şimdi pratik yapalım.

Ve ile geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun.
ve ile sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını bulun.

Umarım çok dikkatli davranmışsınızdır. Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz ve teoriden pratiğe geçme zamanı geldi. Sınavda karşılaşılan en yaygın geometrik ilerleme problemleri bileşik faiz hesaplama problemleridir. Bunlar konuşacaklarımız.

Bileşik faiz hesaplamasında karşılaşılan sorunlar.

Muhtemelen bileşik faiz formülünü duymuşsunuzdur. Ne anlama geldiğini anlıyor musun? Değilse, hadi çözelim, çünkü sürecin kendisini anladığınızda, geometrik ilerlemenin bununla ne ilgisi olduğunu hemen anlayacaksınız.

Hepimiz bankaya gidiyoruz ve orada olduğunu biliyoruz. farklı koşullar mevduatlarda: bu terim ve ek hizmet ve iki faizli Farklı yollar hesaplamaları basit ve karmaşıktır.

İLE basit ilgi her şey az çok açıktır: faiz, mevduat vadesinin sonunda bir kez tahakkuk ettirilir. Yani yılda 100 ruble yatırdığımızı söylersek, bunlar ancak yıl sonunda kredilendirilecektir. Buna göre depozito sonunda ruble alacağız.

Bileşik faiz- bu, meydana geldiği bir seçenektir faiz kapitalizasyonu, yani bunların depozito tutarına eklenmesi ve daha sonra gelirin başlangıçtan değil, birikmiş depozito tutarından hesaplanması. Büyük harf kullanımı sürekli olarak gerçekleşmez, ancak belirli bir sıklıkta gerçekleşir. Kural olarak, bu tür süreler eşittir ve çoğu zaman bankalar bir ay, üç aylık dönem veya yılı kullanır.

Her yıl aynı rubleyi yatırdığımızı, ancak mevduatın aylık kapitalizasyonuyla yatırdığımızı varsayalım. Biz ne yapıyoruz?

Buradaki her şeyi anlıyor musun? Değilse, adım adım çözelim.

Bankaya ruble getirdik. Ay sonuna kadar hesabımızda ruble artı faizinden oluşan bir miktar olmalı, yani:

Kabul etmek?

Bunu parantezlerin dışına çıkarabiliriz ve şunu elde ederiz:

Katılıyorum, bu formül zaten başlangıçta yazdıklarımıza daha çok benziyor. Geriye kalan tek şey yüzdeleri hesaplamak

Sorun bildiriminde bize yıllık oranlar anlatılıyor. Bildiğiniz gibi çarpma yapmıyoruz, yüzdeleri dönüştürüyoruz ondalık sayılar, yani:

Sağ? Şimdi sorabilirsiniz, bu sayı nereden geldi? Çok basit!
Tekrar ediyorum: sorun bildirimi şunu söylüyor YILLIK tahakkuk eden faiz AYLIK. Bildiğiniz gibi, buna göre bir yıl içinde banka bizden aylık yıllık faizin bir kısmını tahsil edecek:

Anladın mı? Şimdi faizin günlük olarak hesaplandığını söyleseydim formülün bu kısmının nasıl görüneceğini yazmaya çalışın.
Becerebildin mi? Sonuçları karşılaştıralım:

Tebrikler! Görevimize dönelim: Birikmiş mevduat tutarına faiz tahakkuk ettiğini de dikkate alarak ikinci ayda hesabımıza ne kadar yatırılacağını yazın.
İşte elde ettiklerim:

Veya başka bir deyişle:

Sanırım zaten bir model fark ettiniz ve tüm bunlarda geometrik bir ilerleme gördünüz. Üyesinin neye eşit olacağını, yani ay sonunda ne kadar para alacağımızı yazın.
Yaptı? Hadi kontrol edelim!

Gördüğünüz gibi, bankaya bir yıl boyunca basit faiz oranıyla para koyarsanız ruble, bileşik faiz oranıyla ise ruble alırsınız. Faydası küçüktür, ancak bu yalnızca onuncu yılda olur, daha fazlası için uzun bir dönem kapitalizasyon çok daha karlı:

Bileşik faizi içeren başka bir problem türüne bakalım. Anladığınız şeyden sonra, bu sizin için temel olacaktır. Yani görev:

Zvezda şirketi 2000 yılında dolar sermayesiyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2001 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. Kârlar dolaşımdan çekilmeseydi Zvezda şirketi 2003 yılı sonunda ne kadar kâr elde edecek?

2000 yılında Zvezda şirketinin başkenti.
- 2001 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2002 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2003 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.

Veya kısaca şunu yazabiliriz:

Bizim durumumuz için:

2000, 2001, 2002 ve 2003.

Sırasıyla:
ruble
Yüzdenin YILLIK olarak verildiği ve YILLIK olarak hesaplandığı için bu problemde ne ile ne de ile bölme işlemimizin olmadığını lütfen unutmayın. Yani bileşik faizle ilgili bir problemi okurken, yüzde kaç verildiğine ve hangi dönemde hesaplandığına dikkat edin ve ancak ondan sonra hesaplamalara geçin.
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz.

Eğitim.

Eğer biliniyorsa geometrik ilerlemenin terimini bulun ve
Eğer biliniyorsa, geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun ve
MDM Capital şirketi 2003 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2004 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. MSK Cash Flows şirketi 2005 yılında sektöre 10.000$ tutarında yatırım yapmaya başlamış, 2006 yılında ise 200.000$ kar elde etmeye başlamıştır. Karlar dolaşımdan çekilmemişse, 2007 yılı sonunda bir şirketin sermayesi diğerinden kaç dolar daha fazladır?

Yanıtlar:

Problem ifadesi ilerlemenin sonsuz olduğunu söylemediğinden ve belirli sayıda terimin toplamının bulunması gerektiğinden hesaplama aşağıdaki formüle göre yapılır:
MDM Sermaye Şirketi:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- %100 yani 2 kat artar.
Sırasıyla:
ruble
MSK Nakit Akışları şirketi:
2005, 2006, 2007.
- kat kat artar.
Sırasıyla:
ruble
ruble

Özetleyelim.

1) Geometrik ilerleme ( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

2) Geometrik ilerlemenin terimlerinin denklemi .

3) ve dışında herhangi bir değeri alabilir.

eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - onlar olumlu;
eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm koşulları alternatif işaretler;
ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.

4) , at - geometrik ilerlemenin özelliği (bitişik terimler)

veya
, (eşit mesafeli terimler)

Bulduğunda şunu unutma iki cevap olmalı.

Örneğin,

5) Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır:
veya

İlerleme sonsuza kadar azalıyorsa, o zaman:
veya

ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü yalnızca koşulun sonsuz sayıda terimin toplamını bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız.

6) Bileşik faiz içeren problemler aynı zamanda geometrik ilerlemenin üçüncü terimi için formül kullanılarak da hesaplanır; şu şartla: peşin dolaşımdan çekilmedi:

GEOMETRİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Geometrik ilerleme( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu numara denir geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik ilerlemenin paydası ve dışında herhangi bir değer alabilir.

Eğer ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar pozitiftir;
eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm üyeleri alternatif işaretler;
ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.

Geometrik ilerleme terimlerinin denklemi - .

Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülle hesaplanır:
veya

Konuyla ilgili ders “Sonsuz azalan geometrik ilerleme” (Cebir, 10. sınıf)

Dersin amacı:Öğrencileri yeni bir dizi türüyle tanıştırıyoruz - sonsuz azalan geometrik ilerleme.

Teçhizat: yansıtıcı ekran.

Ders türü: ders - yeni bir konu öğrenmek.

Dersler sırasında

BEN . Organizasyon an. Dersin konusunu ve amacını belirtin.

II . Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi.

9. sınıfta aritmetik ve geometrik ilerlemeler okudunuz.

Sorular

1. Aritmetik ilerlemenin tanımı. (Aritmetik ilerleme, ikinciden başlayarak her üyenin aynı sayıya eklenen önceki üyeye eşit olduğu bir dizidir).

2. Formül N Aritmetik ilerlemenin üçüncü terimi (
)

3. İlkinin toplamının formülü N aritmetik ilerleme terimleri.

(
veya
)

4. Geometrik ilerlemenin tanımı. (Geometrik ilerleme, ikinciden başlayarak her bir terimin bir önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşit olduğu, sıfırdan farklı sayıların dizisidir).

5. Formül N geometrik ilerlemenin üçüncü terimi (

)