HOMOJEN DOĞRUSAL DENKLEMLER SİSTEMİ

Homojen sistem doğrusal denklemler form sistemi denir

Bu durumda açıktır ki , Çünkü bu determinantlardaki sütunlardan birinin tüm elemanları sıfıra eşittir.

Bilinmeyenler formüllere göre bulunduğundan Δ ≠ 0 olması durumunda sistemin benzersiz bir sıfır çözümü vardır X = sen = z= 0. Ancak birçok problemde ilginç soru, homojen bir sistemin sıfır dışında çözümlerinin olup olmadığıdır.

Teorem. Doğrusal sistem için homojen denklemler sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.

Yani eğer determinant Δ ≠ 0 ise sistemin tek bir çözümü vardır. Eğer Δ ≠ 0 ise doğrusal homojen denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Örnekler.

Bir matrisin özvektörleri ve özdeğerleri

Bir kare matris verilsin , X– yüksekliği matrisin sırasına denk gelen bazı matris sütunları A. .

Birçok problemde aşağıdaki denklemi dikkate almamız gerekir: X

burada λ belirli bir sayıdır. Herhangi bir λ için bu denklemin sıfır çözümü olduğu açıktır.

Bu denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan λ sayısına denir. özdeğer matrisler A, A X bunun için λ denir özvektör matrisler A.

Matrisin özvektörünü bulalım A. Çünkü e∙X = X, o zaman matris denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir: veya . Genişletilmiş formda bu denklem, bir doğrusal denklem sistemi olarak yeniden yazılabilir. Gerçekten .

Ve bu nedenle

Böylece koordinatları belirlemek için bir homojen doğrusal denklem sistemi elde ettik. x 1, x 2, x 3 vektör X. Bir sistemin sıfırdan farklı çözümlere sahip olması için sistemin determinantının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir;

Bu λ için 3. dereceden bir denklemdir. Buna denir karakteristik denklem matrisler A ve λ'nın özdeğerlerini belirlemeye yarar.

Her özdeğer λ bir özvektöre karşılık gelir X koordinatları sistemden karşılık gelen λ değerinde belirlenir.

Örnekler.

VEKTÖR CEBİR. VEKTÖR KAVRAMI

Fiziğin çeşitli dallarını incelerken, örneğin uzunluk, alan, kütle, sıcaklık vb. gibi sayısal değerleri belirtilerek tamamen belirlenen nicelikler vardır. Bu tür büyüklüklere skaler denir. Ancak bunlara ek olarak, sayısal değere ek olarak uzaydaki yönlerini de bilmek gereken nicelikleri belirlemek için, örneğin cisme etki eden kuvvet, cismin hızı ve ivmesi de vardır. uzayda hareket ettiğinde vücut, gerginlik manyetik alan uzayda belirli bir noktada vb. Bu tür büyüklüklere vektör büyüklükleri denir.

Kesin bir tanım getirelim.

Yönlendirilmiş bölüm Uçlarına göre hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğu bilinen bir segment diyelim.

Vektör belirli bir uzunluğa sahip yönlendirilmiş bir bölüm olarak adlandırılır, yani. Bu, onu sınırlayan noktalardan birinin başlangıç, ikincisinin son olarak alındığı belirli bir uzunluktaki bir segmenttir. Eğer A– vektörün başlangıcı, B sonu ise vektör sembolle gösterilir; buna ek olarak vektör genellikle tek bir harfle gösterilir. Şekilde vektör bir doğru parçasıyla, yönü ise bir okla gösterilmiştir.

Modül veya uzunluk Bir vektöre onu tanımlayan yönlendirilmiş parçanın uzunluğu denir. || ile gösterilir veya ||.

Başlangıcı ve sonu çakışan sıfır vektörünü de vektör olarak dahil edeceğiz. Belirlenmiştir. Sıfır vektörünün belirli bir yönü yoktur ve modülü sıfır ||=0'dır.

Vektörler denir doğrusal, aynı çizgide veya paralel çizgilerde bulunuyorlarsa. Üstelik ve vektörleri aynı yönde ise ters yazacağız.

Aynı düzleme paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere denir. aynı düzlemde.

İki vektör denir eşit, eğer eşdoğrusal iseler, aynı yöne sahiptirler ve eşit uzunluktadırlar. Bu durumda yazıyorlar.

Vektörlerin eşitliği tanımından, bir vektörün, kökenini uzayda herhangi bir noktaya yerleştirerek kendisine paralel olarak taşınabileceği sonucu çıkar.

Örneğin.

VEKTÖRLER ÜZERİNDE DOĞRUSAL İŞLEMLER

1. Bir vektörün bir sayıyla çarpılması.

   Bir vektör ile λ sayısının çarpımı yeni bir vektördür, öyle ki:

   Bir vektör ile bir λ sayısının çarpımı ile gösterilir.

   

   Örneğin, vektörle aynı yönde yönlendirilmiş ve uzunluğu vektörün yarısı kadar olan bir vektör var.

   Tanıtılan işlem aşağıdakilere sahiptir özellikler:

2. Vektör ilavesi.

   ve iki keyfi vektör olsun. Rastgele bir noktayı ele alalım Ö ve bir vektör oluşturun. Bundan sonra bu noktadan A vektörü bir kenara bırakalım. Birinci vektörün başlangıcını ikincinin sonuna bağlayan vektöre denir. miktar bu vektörlerin ve gösterilir .

   

   Vektör toplamanın formüle edilmiş tanımına denir paralelkenar kuralı, çünkü aynı vektör toplamı aşağıdaki gibi elde edilebilir. Konuyu erteleyelim Ö vektörler ve . Bu vektörler üzerinde bir paralelkenar oluşturalım OABC. Vektörler olduğundan, köşeden çizilen bir paralelkenarın köşegeni olan vektör Ö, açıkça vektörlerin toplamı olacaktır.

   

   Aşağıdakileri kontrol etmek kolaydır vektör toplamanın özellikleri.

3. Vektör farkı.

   Belirli bir vektöre eşdoğrusal olan, uzunluğu eşit ve zıt yönlü bir vektöre denir. zıt Bir vektör için vektör ve ile gösterilir. Karşıt vektör ise vektörün λ = –1 sayısı ile çarpılması sonucu elde edilebilir: .

Özdeğerler (sayılar) ve özvektörler.
Çözüm örnekleri

Kendin ol

Her iki denklemden de şu çıkıyor.

O zaman şunu koyalım: .

Sonuç olarak: – ikinci özvektör.

Tekrar edelim önemli noktalarçözümler:

– ortaya çıkan sistem kesinlikle ortak karar(denklemler doğrusal olarak bağımlıdır);

– “y”yi tam sayı, ilk “x” koordinatı ise tam sayı, pozitif ve mümkün olduğu kadar küçük olacak şekilde seçiyoruz.

– Belirli bir çözümün sistemin her denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol ederiz.

Cevap .

Orta seviye " kontrol noktaları" oldukça yeterliydi, dolayısıyla eşitliklerin kontrol edilmesi prensipte gereksizdir.

Çeşitli bilgi kaynaklarında, özvektörlerin koordinatları genellikle sütunlar halinde değil satırlar halinde yazılır, örneğin: (ve dürüst olmak gerekirse ben de bunları satırlar halinde yazmaya alışkınım). Bu seçenek kabul edilebilir, ancak konunun ışığında doğrusal dönüşümler teknik olarak kullanımı daha uygun sütun vektörleri.

Belki çözüm size çok uzun göründü ama bunun tek sebebi ilk örneği çok detaylı yorumlamış olmamdır.

Örnek 2

Matrisler

Kendi başımıza antrenman yapalım! Dersin sonundaki son göreve yaklaşık bir örnek.

Bazen yapman gerekir ek görev, yani:

kanonik matris ayrıştırmasını yazın

Ne olduğunu?

Matrisin özvektörleri ise temel ise şu şekilde temsil edilebilir:

Özvektörlerin koordinatlarından oluşan bir matris nerede, – diyagonal karşılık gelen özdeğerlere sahip matris.

Bu matris ayrıştırmasına denir kanonik veya diyagonal.

İlk örneğin matrisine bakalım. Özvektörleri Doğrusal bağımsız(doğrusal olmayan) ve bir temel oluşturur. Koordinatlarından bir matris oluşturalım:

Açık ana diyagonal matrisler uygun sıraylaözdeğerler bulunur ve kalan elemanlar sıfıra eşittir:
– Sıranın önemini bir kez daha vurguluyorum: “iki” 1. vektöre karşılık gelir ve bu nedenle 1. sütunda yer alır, “üç” ise 2. vektöre karşılık gelir.

İle olağan algoritmaya bulma ters matris veya Gauss-Jordan yöntemi bulduk . Hayır, bu bir yazım hatası değil! - önünüzde, tersinin orijinal matrisle çakıştığı güneş tutulması gibi nadir bir olay var.

Matrisin kanonik ayrışmasını yazmaya devam ediyor:

Sistem temel dönüşümler kullanılarak çözülebilir ve aşağıdaki örneklerde başvuracağız. Bu method. Ancak burada "okul" yöntemi çok daha hızlı çalışıyor. 3. denklemden şunu ifade ederiz: – ikinci denklemde yerine koyarız:

İlk koordinat sıfır olduğundan, her denklemden bunu takip eden bir sistem elde ederiz.

Ve yeniden doğrusal bir ilişkinin zorunlu varlığına dikkat edin. Sadece önemsiz bir çözüm elde edilirse , bu durumda ya özdeğer hatalı bulunmuştur ya da sistem bir hatayla derlenmiştir/çözülmüştür.

Kompakt koordinatlar değeri verir

Özvektör:

Ve bir kez daha çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar. Sonraki paragraflarda ve sonraki görevlerde bu isteğin zorunlu bir kural olarak alınmasını öneriyorum.

2) Özdeğer için aynı prensibi kullanarak şunu elde ederiz: aşağıdaki sistem:

Sistemin 2. denkleminden şunu ifade ederiz: – üçüncü denklemde yerine şunu koyarız:

“Zeta” koordinatı sıfıra eşit olduğundan, takip ettiği her denklemden bir sistem elde ederiz. doğrusal bağımlılık.

İzin vermek

Çözümün kontrol edilmesi sistemin tüm denklemlerini karşılar.

Dolayısıyla özvektör: .

3) Ve son olarak sistem özdeğere karşılık gelir:

İkinci denklem en basit gibi göründüğü için onu ifade edelim ve 1. ve 3. denklemlerde yerine koyalım:

Her şey yolunda - ifadenin yerine koyduğumuz doğrusal bir ilişki ortaya çıktı:

Sonuç olarak “x” ve “y” “z” ile ifade edildi: . Uygulamada bu tür ilişkilerin tam olarak sağlanması gerekli değildir; bazı durumlarda hem aracılığıyla hem de yoluyla ifade etmek daha uygundur. Hatta "eğitim" - örneğin "X"ten "I"ye ve "I"den "Z"ye

O zaman şunu koyalım:

Çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar ve üçüncü özvektörü yazar

Cevap: özvektörler:

Geometrik olarak bu vektörler üç farklı uzaysal yönü tanımlar ("Orada ve tekrar geri"), buna göre doğrusal dönüşüm sıfır olmayan vektörleri (özvektörleri) eşdoğrusal vektörlere dönüştürür.

Koşul kanonik ayrıştırmanın bulunmasını gerektiriyorsa, o zaman bu burada mümkündür, çünkü farklı özdeğerler farklı doğrusal bağımsız özvektörlere karşılık gelir. Matris yapmak koordinatlarından diyagonal bir matris itibaren ilgiliözdeğerler ve bulma ters matris .

Koşula göre yazmanız gerekiyorsa özvektörler bazında doğrusal dönüşüm matrisi, ardından cevabı formda veriyoruz. Bir fark var ve fark önemli!Çünkü bu matris “de” matrisidir.

Daha fazlası ile ilgili sorun basit hesaplamalarİçin bağımsız karar:

Örnek 5

Bir matris tarafından verilen doğrusal dönüşümün özvektörlerini bulun

Kendi numaralarınızı bulurken 3. derece polinoma kadar gitmemeye çalışın. Ayrıca sistem çözümleriniz benim çözümlerimden farklı olabilir - burada kesinlik yoktur; ve bulduğunuz vektörler örnek vektörlerden ilgili koordinatlarının orantılılığına kadar farklılık gösterebilir. Örneğin ve. Cevabı formda sunmak estetik açıdan daha hoş ama ikinci seçenekte durursanız sorun olmaz. Ancak her şeyin makul sınırları var; sürüm artık pek iyi görünmüyor.

Dersin sonunda ödevin yaklaşık son örneği.

Çoklu özdeğer durumunda problem nasıl çözülür?

Genel algoritma Aynı kalır, ancak kendine has özellikleri vardır ve çözümün bazı bölümlerinin daha katı bir akademik tarzda tutulması tavsiye edilir:

Örnek 6

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Çözüm

Tabii ki, muhteşem ilk sütunu büyük harfle yazalım:

Ve ayrışmadan sonra ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre:

Sonuç olarak, ikisi kat olan özdeğerler elde edilir.

Özvektörleri bulalım:

1) "Basitleştirilmiş" bir şemaya göre yalnız bir askerle ilgilenelim:

Son iki denklemden eşitlik açıkça görülebilmektedir ve bunun sistemin 1. denkleminde değiştirilmesi gerektiği açıktır:

Daha iyi bir kombinasyon bulamazsınız:
Özvektör:

2-3) Şimdi birkaç nöbetçiyi kaldırıyoruz. İÇİNDE bu durumda işe yarayabilir ya iki ya da birözvektör. Köklerin çokluğuna bakılmaksızın değeri determinantın yerine koyarız. bu da bize bir sonrakini getiriyor homojen doğrusal denklem sistemi:

Özvektörler tam olarak vektörlerdir
temel çözüm sistemi

Aslında tüm ders boyunca temel sistemin vektörlerini bulmaktan başka bir şey yapmadık. Sadece şimdilik bu terime özellikle ihtiyaç duyulmuyordu. Bu arada, kamuflaj elbiseli konuyu kaçıran zeki öğrenciler homojen denklemler, şimdi onu içmeye zorlanacak.

Yapılacak tek şey fazladan satırları kaldırmaktı. Sonuç, ortasında resmi bir "adım" bulunan bire üç matristir.
– temel değişken, – serbest değişkenler. İki serbest değişken vardır, bu nedenle temel sistemin iki vektörü de vardır.

Temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade edelim: . “X” in önündeki sıfır çarpanı, kesinlikle herhangi bir değeri almasına izin verir (ki bu, denklem sisteminden açıkça görülebilir).

Bu problem bağlamında genel çözümü arka arkaya değil sütun halinde yazmak daha uygundur:

Çift bir özvektöre karşılık gelir:
Çift bir özvektöre karşılık gelir:

Not : deneyimli okuyucular bu vektörleri sözlü olarak seçebilirler - yalnızca sistemi analiz ederek , ancak burada biraz bilgiye ihtiyaç vardır: üç değişken vardır, sistem matris sıralaması- bir, yani temel karar sistemi 3 – 1 = 2 vektörden oluşur. Ancak bulunan vektörler bu bilgi olmadan bile tamamen sezgisel düzeyde açıkça görülebilir. Bu durumda üçüncü vektör daha da “güzel” yazılacaktır: . Ancak bir başka örnekte basit bir seçimin mümkün olmayabileceği konusunda sizi uyarıyorum, bu nedenle madde tecrübeli kişilere yöneliktir. Ayrıca neden üçüncü vektörü de almayasınız? Sonuçta koordinatları aynı zamanda sistemin her denklemini ve vektörleri de karşılar Doğrusal bağımsız. Bu seçenek prensipte uygundur ancak "çarpıktır", çünkü "diğer" vektör temel sistemin vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir.

Cevap: özdeğerler: , özvektörler:

Bağımsız bir çözüm için benzer bir örnek:

Örnek 7

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Hem 6. hem de 7. örneklerde doğrusal olarak bağımsız özvektörlerin üçlüsünün elde edildiğine ve dolayısıyla orijinal matrisin kanonik ayrıştırmada temsil edilebildiğine dikkat edilmelidir. Ancak bu tür ahududular her durumda olmaz:

Örnek 8

Çözüm: Karakteristik denklemi oluşturup çözelim:

İlk sütundaki determinantı genişletelim:

Üçüncü derece polinomdan kaçınarak, dikkate alınan yönteme göre daha fazla basitleştirmeler yapıyoruz:

– özdeğerler.

Özvektörleri bulalım:

1) Kökle ilgili herhangi bir zorluk yoktur:

Şaşırmayın, kitin yanı sıra kullanılan değişkenler de var - burada hiçbir fark yok.

3. denklemden ifade edip 1. ve 2. denklemlerde yerine koyuyoruz:

Her iki denklemden de şu sonuç çıkar:

O halde:

2-3) Birden fazla değer için sistemi alıyoruz .

Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:

www.site bulmanızı sağlar. Hesaplamayı site gerçekleştirir. Birkaç saniye içinde sunucu doğru çözümü verecektir. Matrisin karakteristik denklemi olacak cebirsel ifade, determinantın hesaplanmasına ilişkin kural tarafından bulunur matrisler matrisler ana köşegen boyunca çapraz elemanların ve değişkenin değerlerinde farklılıklar olacaktır. Hesaplarken çevrimiçi matris için karakteristik denklem, her bir öğe matrisler karşılık gelen diğer öğelerle çarpılacaktır matrisler. Modunda bul çevrimiçi yalnızca kare için mümkün matrisler. İşlem bulma çevrimiçi matris için karakteristik denklem elemanların çarpımının cebirsel toplamını hesaplamaya indirgenir matrisler determinantın bulunması sonucunda matrisler yalnızca belirlemek amacıyla çevrimiçi matris için karakteristik denklem. Bu operasyon teoride özel bir yere sahiptir matrisler, kökleri kullanarak özdeğerleri ve vektörleri bulmanızı sağlar. Bulmak görevi çevrimiçi matris için karakteristik denklemçoğalan unsurlardan oluşur matrisler ardından bu çarpımların belirli bir kurala göre toplanması takip eder. www.site bulur matris için karakteristik denklem modunda verilen boyut çevrimiçi. Hesaplama çevrimiçi matris için karakteristik denklem boyutu göz önüne alındığında, bu, determinantı hesaplama kuralına göre bulunan sayısal veya sembolik katsayılara sahip bir polinomun bulunmasıdır. matrisler- karşılık gelen elemanların çarpımlarının toplamı olarak matrisler yalnızca belirlemek amacıyla çevrimiçi matris için karakteristik denklem. İkinci dereceden bir değişken için bir değişkene göre polinom bulma matrisler tanım olarak matris için karakteristik denklem teoride ortak matrisler. Bir polinomun köklerinin anlamı çevrimiçi matris için karakteristik denklem için özvektörleri ve özdeğerleri belirlemek için kullanılır matrisler. Ayrıca eğer determinant matrisler sıfıra eşit olacak, o zaman matrisin karakteristik denklemi tersinin aksine hala var olacak matrisler. Hesaplamak için matris için karakteristik denklem veya aynı anda birkaçını bulun matris karakteristik denklemleri, çok fazla zaman ve çaba harcamanız gerekiyor, sunucumuz ise birkaç saniye içinde bulacaktır çevrimiçi matris için karakteristik denklem. Bu durumda bulmanın cevabı çevrimiçi matris için karakteristik denklem bulurken sayılar doğru ve yeterli doğrulukta olacaktır. çevrimiçi matris için karakteristik denklem mantıksız olacaktır. Sitede www.siteÖğelerde karakter girişlerine izin verilir matrisler, yani çevrimiçi matris için karakteristik denklem hesaplanırken genel sembolik formda gösterilebilir matrisin karakteristik denklemi çevrimiçi. Bulma problemini çözerken elde edilen cevabı kontrol etmekte fayda var. çevrimiçi matris için karakteristik denklem siteyi kullanma www.site. Bir polinom hesaplama işlemini gerçekleştirirken - matrisin karakteristik denklemi, bu sorunu çözerken dikkatli olmanız ve son derece odaklanmış olmanız gerekir. Buna karşılık sitemiz konuyla ilgili kararınızı kontrol etmenize yardımcı olacaktır. çevrimiçi bir matrisin karakteristik denklemi. Çözülmüş sorunları uzun süre kontrol etmek için zamanınız yoksa, o zaman www.site Kesinlikle bulurken ve hesaplarken kontrol etmek için uygun bir araç olacaktır. çevrimiçi matris için karakteristik denklem.

Bir kare matrisin özvektörü, belirli bir matrisle çarpıldığında eşdoğrusal bir vektörle sonuçlanan bir özvektördür. Basit kelimelerle, bir matris bir özvektörle çarpıldığında, ikincisi aynı kalır, ancak belirli bir sayıyla çarpılır.

Tanım

Bir özvektör sıfırdan farklı bir V vektörüdür ve M kare matrisiyle çarpıldığında kendisi de bir λ sayısı kadar artar. Cebirsel gösterimde şöyle görünür:

M × V = λ × V,

burada λ M matrisinin özdeğeridir.

Hadi düşünelim Sayısal örnek. Kayıt kolaylığı açısından matristeki sayılar noktalı virgülle ayrılacaktır. Bir matrisimiz olsun:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Bunu bir sütun vektörüyle çarpalım:

• V = -2;

Bir matrisi bir sütun vektörüyle çarptığımızda ayrıca bir sütun vektörü elde ederiz. Sıkı matematik dili 2 × 2'lik bir matrisi bir sütun vektörüyle çarpma formülü şuna benzer:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11, M matrisinin birinci satır ve birinci sütunda yer alan elemanını, M22 ise ikinci satır ve ikinci sütunda yer alan elemanı ifade etmektedir. Matrisimiz için bu elemanlar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10'a eşittir. Bir sütun vektörü için bu değerler V11 = –2, V21 = 1'e eşittir. Bu formüle göre, bir kare matrisin bir vektörle çarpımının aşağıdaki sonucunu elde ederiz:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Kolaylık sağlamak için sütun vektörünü bir satıra yazalım. Böylece kare matrisi (-2; 1) vektörüyle çarparak (4; -2) vektörünü elde ettik. Açıkçası, bu aynı vektörün λ = -2 ile çarpımıdır. Lambda bu durumda matrisin özdeğerini gösterir.

Bir matrisin özvektörü eşdoğrusal bir vektördür, yani bir matris ile çarpıldığında uzaydaki konumunu değiştirmeyen bir nesnedir. Vektör cebirindeki eşdoğrusallık kavramı, geometrideki paralellik terimine benzer. Geometrik bir yorumda, eşdoğrusal vektörler farklı uzunluklarda paralel yönlendirilmiş bölümlerdir. Öklid zamanından bu yana, bir doğrunun kendisine paralel sonsuz sayıda doğruya sahip olduğunu biliyoruz, dolayısıyla her matrisin sonsuz sayıda özvektöre sahip olduğunu varsaymak mantıklıdır.

Önceki örnekten özvektörlerin (-8; 4) ve (16; -8) ve (32, -16) olabileceği açıktır. Bunların hepsi λ = -2 özdeğerine karşılık gelen eşdoğrusal vektörlerdir. Orijinal matrisi bu vektörlerle çarptığımızda yine orijinalden 2 kat farklı bir vektör elde ederiz. Bu nedenle özvektör bulma problemlerini çözerken yalnızca doğrusal olarak bağımsız vektör nesnelerinin bulunması gerekir. Çoğu zaman, n × n'lik bir matris için n sayıda özvektör vardır. Hesap makinemiz ikinci dereceden kare matrislerin analizi için tasarlanmıştır, dolayısıyla çakıştıkları durumlar dışında sonuç hemen hemen her zaman iki özvektör bulacaktır.

Yukarıdaki örnekte orijinal matrisin özvektörünü önceden biliyorduk ve lambda sayısını net bir şekilde belirledik. Ancak pratikte her şey tam tersi olur: önce özdeğerler bulunur, sonra yalnızca özvektörler bulunur.

Çözüm algoritması

Orijinal M matrisine tekrar bakalım ve onun her iki özvektörünü bulmaya çalışalım. Yani matris şöyle görünür:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Öncelikle aşağıdaki matrisin determinantının hesaplanmasını gerektiren λ özdeğerini belirlememiz gerekir:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 – λ).

Bu matris, bilinmeyen λ'nın ana köşegendeki elemanlardan çıkarılmasıyla elde edilir. Belirleyici standart formül kullanılarak belirlenir:

• detA = M11 × M21 – M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Vektörümüzün sıfırdan farklı olması gerektiğinden, ortaya çıkan denklemi doğrusal bağımlı olarak kabul ediyoruz ve determinantımız detA'yı sıfıra eşitliyoruz.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

Parantezleri açalım ve matrisin karakteristik denklemini elde edelim:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

Bu standart ikinci dereceden denklem, bunun diskriminant yoluyla çözülmesi gerekir.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminantın kökü sqrt(D) = 14, dolayısıyla λ1 = -2, λ2 = 12. Şimdi her lambda değeri için özvektörü bulmamız gerekiyor. λ = -2 için sistem katsayılarını ifade edelim.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Bu formülde E birim matristir. Ortaya çıkan matrise dayanarak bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

2x + 4y = 6x + 12y,

burada x ve y özvektör elemanlarıdır.

Soldaki tüm X'leri ve sağdaki tüm Y'leri toplayalım. Açıkçası - 4x = 8y. İfadeyi -4'e bölün ve x = –2y olsun. Artık bilinmeyenlerin herhangi bir değerini alarak matrisin ilk özvektörünü belirleyebiliriz (doğrusal bağımlı özvektörlerin sonsuzluğunu hatırlayın). Y = 1 alalım, sonra x = –2 olsun. Bu nedenle, ilk özvektör V1 = (–2; 1) gibi görünür. Makalenin başına dönün. Özvektör kavramını göstermek için matrisi çarptığımız şey bu vektör nesnesiydi.

Şimdi λ = 12'nin özvektörünü bulalım.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Aynı doğrusal denklem sistemini oluşturalım;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Şimdi x = 1 alıyoruz, dolayısıyla y = 3. Böylece ikinci özvektör V2 = (1; 3) gibi görünüyor. Orijinal matrisi belirli bir vektörle çarptığınızda sonuç her zaman aynı vektörün 12 ile çarpımı olacaktır. Çözüm algoritmasının bittiği yer burasıdır. Artık bir matrisin özvektörünü manuel olarak nasıl belirleyeceğinizi biliyorsunuz.

• belirleyici;
• yani ana köşegendeki elemanların toplamının izini sürmek;
• sıralama, yani doğrusal olarak bağımsız satırların/sütunların maksimum sayısı.

Program yukarıdaki algoritmaya göre çalışarak çözüm sürecini mümkün olduğu kadar kısaltır. Programda lambda'nın “c” harfiyle gösterildiğini belirtmek önemlidir. Sayısal bir örneğe bakalım.

Programın nasıl çalıştığına dair örnek

Aşağıdaki matrisin özvektörlerini belirlemeye çalışalım:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Bu değerleri hesap makinesinin hücrelerine girelim ve cevabı aşağıdaki biçimde alalım:

• Matris sıralaması: 2;
• Matris belirleyicisi: 18;
• Matris izi: 19;
• Özvektörün hesaplanması: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteristik denklem);
• Özvektör hesaplaması: 18 (ilk lambda değeri);
• Özvektör hesaplaması: 1 (ikinci lambda değeri);
• Vektör 1 için denklem sistemi: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Vektör 2 için denklem sistemi: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Özvektör 1: (1; 1);
• Özvektör 2: (-3,25; 1).

Böylece doğrusal olarak bağımsız iki özvektör elde ettik.

Çözüm

Doğrusal cebir ve analitik geometri, herhangi bir birinci sınıf mühendislik öğrencisi için standart konulardır. Çok sayıda vektör ve matris korkutucudur ve bu tür hantal hesaplamalarda hata yapmak kolaydır. Programımız öğrencilerin hesaplamalarını kontrol etmelerine veya özvektör bulma problemini otomatik olarak çözmelerine olanak tanıyacaktır. Kataloğumuzda başka lineer cebir hesaplayıcıları da var; bunları çalışmalarınızda veya çalışmalarınızda kullanın.

Köşegen matrisler en basit yapıya sahiptir. Doğrusal operatörün matrisinin köşegen formda olacağı bir taban bulmanın mümkün olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Böyle bir temel mevcut.
Bize bir Rn doğrusal uzayı ve onun içinde hareket eden bir doğrusal A operatörü verilsin; bu durumda A operatörü R n'yi kendi içine alır, yani A:R n → R n .

Tanım. A operatörünün eşdoğrusal bir vektöre çevrilmesi durumunda, sıfır olmayan bir vektöre A operatörünün özvektörü denir. λ sayısına, özvektöre karşılık gelen A operatörünün özdeğeri veya özdeğeri denir.
Özdeğerlerin ve özvektörlerin bazı özelliklerine dikkat edelim.
1. Özvektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu Aynı özdeğer λ'ya karşılık gelen A operatörü, aynı özdeğere sahip bir özvektördür.
2. Özvektörler çift ​​olarak farklı özdeğerlere sahip A operatörü λ 1 , λ 2 , …, λ m doğrusal olarak bağımsızdır.
3. Özdeğerler λ 1 =λ 2 = λ m = λ ise, o zaman özdeğer λ m'den fazla doğrusal bağımsız özvektöre karşılık gelmez.

Yani, eğer n tane doğrusal bağımsız özvektör varsa , farklı özdeğerlere karşılık gelen λ 1, λ 2, ..., λ n, o zaman doğrusal olarak bağımsızdırlar, bu nedenle R n uzayının temeli olarak alınabilirler. Doğrusal operatör A'nın matrisinin biçimini özvektörleri temelinde bulalım, bunun için A operatörüyle temel vektörler üzerinde hareket edeceğiz: Daha sonra .
Böylece, doğrusal operatör A'nın özvektörleri temelinde matrisi köşegen bir forma sahiptir ve A operatörünün özdeğerleri köşegen boyuncadır.
Matrisin köşegen formda olduğu başka bir taban var mı? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem. (i = 1..n) bazındaki doğrusal bir A operatörünün matrisi, ancak ve ancak bazın tüm vektörlerinin A operatörünün özvektörleri olması durumunda köşegen bir forma sahiptir.

Özdeğerleri ve özvektörleri bulma kuralı

Bir vektör verilsin , burada x 1, x 2, …, x n vektörün tabana göre koordinatlarıdır ve özdeğer λ'ya karşılık gelen A doğrusal operatörünün özvektörüdür, yani. Bu ilişki matris formunda yazılabilir.

. (*)

Denklem (*), , ve 'yi bulmak için bir denklem olarak düşünülebilir, yani özvektör sıfır olamayacağından önemsiz olmayan çözümlerle ilgileniyoruz. Homojen bir doğrusal denklem sisteminin basit olmayan çözümlerinin ancak ve ancak det(A - λE) = 0 olması durumunda mevcut olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, λ'nın A operatörünün bir özdeğeri olması için det(A - λE) olması gerekli ve yeterlidir. ) = 0.
Denklem (*) koordinat biçiminde ayrıntılı olarak yazılırsa, doğrusal homojen denklemlerden oluşan bir sistem elde ederiz:

(1)
Nerede - doğrusal operatör matrisi.

Eğer determinantı D sıfıra eşitse, Sistem (1)'in sıfır olmayan bir çözümü vardır

Özdeğerleri bulmak için bir denklem aldık.
Bu denkleme karakteristik denklem adı verilir ve Sol Taraf- A matrisinin (operatör) karakteristik polinomu. Eğer karakteristik polinomun gerçek kökleri yoksa, A matrisinin özvektörleri yoktur ve köşegen forma indirgenemez.
Karakteristik denklemin gerçel kökleri λ 1, λ 2, …, λ n olsun ve bunların arasında katlar olabilir. Bu değerleri sırasıyla (1) sistemine değiştirerek özvektörleri buluruz.

Örnek 12. Doğrusal operatör A, yasaya göre R3'te hareket eder; burada x 1, x 2, .., x n, vektörün tabandaki koordinatlarıdır , , . Bu operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun.
Çözüm. Bu operatörün matrisini oluşturuyoruz:
.
Özvektörlerin koordinatlarını belirlemek için bir sistem oluşturuyoruz:

Karakteristik bir denklem oluşturup çözüyoruz:

.
λ1,2 = -1, λ3 = 3.
λ = -1'i sisteme koyarsak:
veya
Çünkü O zaman iki bağımlı değişken ve bir serbest değişken vardır.
x 1 serbest bir bilinmeyen olsun, o zaman Bu sistemi herhangi bir şekilde çözüyoruz ve bu sistemin genel çözümünü buluyoruz: Temel sistem n - r = 3 - 2 = 1 olduğundan çözümler tek çözümden oluşur.
λ = -1 özdeğerine karşılık gelen özvektörler kümesi şu biçimdedir: burada x1 sıfırdan farklı herhangi bir sayıdır. Bu kümeden bir vektör seçelim, örneğin x 1 = 1 koyarak: .
Benzer şekilde akıl yürüterek, λ = 3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü buluruz: .
R3 uzayında temel, doğrusal olarak bağımsız üç vektörden oluşur, ancak R3'teki bazın oluşturulamayacağı yalnızca iki doğrusal bağımsız özvektör aldık. Sonuç olarak, doğrusal bir operatörün A matrisini köşegen forma indirgeyemeyiz.

Örnek 13. Bir matris verildiğinde .
1. Vektörün olduğunu kanıtlayın A matrisinin bir özvektörüdür. Bu özvektöre karşılık gelen özdeğeri bulun.
2. A matrisinin köşegen formda olduğu bir taban bulun.
Çözüm.
1. Eğer , o zaman bir özvektördür

.
Vektör (1, 8, -1) bir özvektördür. Özdeğer λ = -1.
Matris, özvektörlerden oluşan bir temelde köşegen bir forma sahiptir. Bunlardan biri ünlü. Gerisini bulalım.
Sistemden özvektörleri arıyoruz:

Karakteristik denklem: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ2 - 1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
λ = -3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulalım:

Bu sistemin matrisinin rütbesi ikidir ve bilinmeyenlerin sayısına eşittir, dolayısıyla bu sistemin yalnızca sıfır çözümü vardır x 1 = x 3 = 0. x 2 burada sıfırdan başka herhangi bir şey olabilir, örneğin, x 2 = 1. Dolayısıyla (0 ,1,0) vektörü λ = -3'e karşılık gelen bir özvektördür. Hadi kontrol edelim:
.
Eğer λ = 1 ise sistemi elde ederiz
Matrisin rütbesi ikidir. Son denklemin üzerini çiziyoruz.
x 3 bir serbest bilinmeyen olsun. O zaman x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
X 3 = 1 varsayarsak, (-3,-9,1) - λ = 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektörümüz var. Kontrol edin:

.
Özdeğerler gerçel ve farklı olduğundan bunlara karşılık gelen vektörler doğrusal olarak bağımsızdır, dolayısıyla R3'te temel alınabilirler. Böylece temelde , , A matrisi şu şekildedir:
.
A:R n → R n doğrusal operatörünün her matrisi köşegen forma indirgenemez, çünkü bazıları için doğrusal operatörler N'den daha az doğrusal bağımsız özvektör olabilir. Bununla birlikte, matris simetrikse, m çokluğunun karakteristik denkleminin kökü tam olarak m doğrusal bağımsız vektöre karşılık gelir.

Tanım. Simetrik bir matris, ana köşegen etrafında simetrik olan elemanların eşit olduğu, yani .
Notlar. 1. Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.
2. Çift yönlü farklı özdeğerlere karşılık gelen simetrik bir matrisin özvektörleri diktir.
İncelenen aparatın birçok uygulamasından biri olarak, ikinci dereceden bir eğrinin tipini belirleme problemini ele alıyoruz.