“Atalettir”, “ataletle hareket eder”, “atalet momenti” gibi ifadeleri sıklıkla duyarız. Mecazi anlamda "atalet" kelimesi inisiyatif ve eylem eksikliği olarak yorumlanabilir. Doğrudan anlamla ilgileniyoruz.
Atalet nedir
Tanıma göre eylemsizlik fizikte, cisimlerin dış kuvvetlerin yokluğunda hareketsizlik veya hareket durumunu sürdürme yeteneğidir.
Atalet kavramıyla ilgili her şey sezgisel düzeyde açıksa, o zaman eylemsizlik momenti– ayrı bir soru. Katılıyorum, bunun ne olduğunu zihninizde hayal etmek zor. Bu yazıda konuyla ilgili temel problemleri nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz. "Atalet momenti".
Atalet momentinin belirlenmesi
Okul kursundan biliniyor ki kütle – bir cismin eylemsizliğinin ölçüsü. Farklı kütlelere sahip iki arabayı itersek, daha ağır olanın durdurulması daha zor olacaktır. Yani kütle ne kadar büyük olursa o kadar büyük olur. dış etki vücut hareketini değiştirmek için gereklidir. Örnekteki araba düz bir çizgide hareket ettiğinde göz önüne alınan şey öteleme hareketi için geçerlidir.
Kütle ve öteleme hareketine benzetilecek olursa, atalet momenti bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür. dönme hareketi eksen etrafında.
Atalet momenti– skaler bir fiziksel nicelik, bir cismin bir eksen etrafında dönüşü sırasındaki eylemsizliğinin ölçüsü. Mektupla belirtilir J ve sistemde Sİ kilogram çarpı metrekare cinsinden ölçülür.
Atalet momenti nasıl hesaplanır? Yemek yemek Genel formül Fizikte herhangi bir cismin eylemsizlik momentini hesaplamak için kullanılır. Bir cisim kütlesel olarak sonsuz küçük parçalara bölünürse DM o zaman atalet momenti, bu temel kütlelerin çarpımlarının toplamına dönme eksenine olan mesafenin karesine eşit olacaktır.
Bu fizikteki eylemsizlik momentinin genel formülüdür. Maddi bir kütle noktası için M belli bir mesafede bir eksen etrafında dönen R ondan, bu formülşu şekli alır:
Steiner teoremi
Eylemsizlik momenti neye bağlıdır? Kütleden, dönme ekseninin konumuna, vücudun şekline ve boyutuna.
Huygens-Steiner teoremi problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılan çok önemli bir teoremdir.
Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.
Huygens-Steiner teoremi şunu belirtir:
Bir cismin keyfi bir eksene göre atalet momenti, keyfi bir eksene paralel kütle merkezinden geçen bir eksene göre vücudun atalet momentinin ve vücut kütlesinin kare ile çarpımının toplamına eşittir. eksenler arasındaki mesafe.
Atalet momentini bulma problemlerini çözerken sürekli entegrasyon yapmak istemeyenler için, problemlerde sıklıkla karşılaşılan bazı homojen cisimlerin atalet momentlerini gösteren bir çizim sunuyoruz:
Atalet momentini bulmaya yönelik bir problemin çözümüne bir örnek
İki örneğe bakalım. İlk görev eylemsizlik momentini bulmaktır. İkinci görev Huygens-Steiner teoremini kullanmaktır.
Problem 1. Kütlesi m ve yarıçapı R olan homojen bir diskin eylemsizlik momentini bulun. Dönme ekseni diskin merkezinden geçer.
Çözüm:
Diski yarıçapları değişen sonsuz ince halkalara bölelim. 0 önce R ve böyle bir yüzüğü düşünün. Yarıçapı şöyle olsun R ve kütle – DM. O halde halkanın eylemsizlik momenti:
Halkanın kütlesi şu şekilde temsil edilebilir:
Burada dz– halkanın yüksekliği. Atalet momenti formülünde kütleyi yerine koyalım ve integral alalım:
Sonuç, mutlak ince bir disk veya silindirin eylemsizlik momenti için bir formüldü.
Problem 2. Kütlesi m ve yarıçapı R olan bir disk olsun. Şimdi diskin yarıçaplarından birinin ortasından geçen eksene göre eylemsizlik momentini bulmamız gerekiyor.
Çözüm:
Diskin kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti önceki problemden bilinmektedir. Steiner teoremini uygulayalım ve şunu bulalım:
Bu arada blogumuzda fizik ve üzerine başka yararlı materyaller bulabilirsiniz.
Makalede kendiniz için yararlı bir şeyler bulacağınızı umuyoruz. Atalet tensörünün hesaplanması sürecinde zorluklar ortaya çıkarsa öğrenci hizmetini unutmayın. Uzmanlarımız herhangi bir konuda tavsiyelerde bulunacak ve sorunun birkaç dakika içinde çözülmesine yardımcı olacaktır.
Sabit bir eksene göre (“eksenel atalet momenti”) miktar Ja, toplamına eşit tüm kitlelerin eserleri N sistemin maddi noktalarının eksene olan uzaklıklarının kareleri:
- ben ben- ağırlık Ben nokta,
- ri- mesafe Ben eksene işaret eder.
eksenel eylemsizlik momenti vücut Ja bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi, bir eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür.
Eğer cisim homojen ise yani yoğunluğu her yerde aynı ise o zaman
Huygens-Steiner teoremi
Atalet momenti sağlam herhangi bir eksene göreliliği yalnızca vücudun kütlesine, şekline ve boyutuna değil, aynı zamanda vücudun bu eksene göre konumuna da bağlıdır. Steiner teoremine göre (Huygens-Steiner teoremi), eylemsizlik momenti vücut J keyfi bir eksene göre toplam eşittir eylemsizlik momenti bu vücut Jc söz konusu eksene paralel olarak cismin kütle merkezinden geçen bir eksene ve vücut kütlesinin çarpımına göre M mesafenin karesi başına D eksenler arasında:
toplam vücut kütlesi nerede.
Örneğin, bir çubuğun ucundan geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti şuna eşittir:
Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri
| Vücut | Tanım | Eksen konumu A | Atalet momenti Ja |
|---|---|---|---|
 |
Malzeme nokta kütlesi M | Mesafede R sabit bir noktadan | |
 |
İçi boş ince duvarlı silindir veya yarıçap halkası R ve kitleler M | Silindir ekseni | |
 |
Katı silindir veya yarıçap diski R ve kitleler M | Silindir ekseni | |
 |
İçi boş kalın duvarlı kütle silindiri M dış yarıçaplı r2 ve iç yarıçap r 1 | Silindir ekseni | |
 |
Katı silindir uzunluğu ben, yarıçap R ve kitleler M | ||
 |
İçi boş ince duvarlı silindir (halka) uzunluğu ben, yarıçap R ve kitleler M | Eksen silindire diktir ve kütle merkezinden geçer | |
 |
Düz İnce Uzunluk Çubuk ben ve kitleler M | Eksen çubuğa diktir ve kütle merkezinden geçer | |
 |
Düz İnce Uzunluk Çubuk ben ve kitleler M | Eksen çubuğa diktir ve ucundan geçer | |
 |
İnce duvarlı yarıçaplı küre R ve kitleler M | Eksen kürenin merkezinden geçer | |
 |
Yarıçap topu R ve kitleler M | Eksen topun merkezinden geçer | |
 |
Yarıçap konisi R ve kitleler M | Koni ekseni | |
| Yüksekliği olan ikizkenar üçgen H, temel A ve kütle M | Eksen üçgenin düzlemine diktir ve tepe noktasından geçer | ||
| Kenarları olan düzgün üçgen A ve kütle M | Eksen üçgenin düzlemine diktir ve kütle merkezinden geçer | ||
| Kenarı olan kare A ve kütle M | Eksen karenin düzlemine diktir ve kütle merkezinden geçer |
Formüllerin türetilmesi
İnce duvarlı silindir (halka, çember)
Formülün türetilmesi
Bir cismin eylemsizlik momenti, onu oluşturan parçaların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. İnce duvarlı bir silindiri kütlesi olan elemanlara bölün DM ve eylemsizlik momentleri DJ ben. Daha sonra
İnce duvarlı bir silindirin tüm elemanları dönme ekseninden aynı uzaklıkta olduğundan formül (1) şu şekle dönüştürülür:
Kalın duvarlı silindir (halka, kasnak)
Formülün türetilmesi
Dış yarıçaplı homojen bir halka olsun R, iç yarıçap R 1, kalın H ve yoğunluk ρ. İnce halkalara, kalın parçalara ayıralım doktor. İnce yarıçaplı bir halkanın kütlesi ve eylemsizlik momenti R olacak
Kalın halkanın eylemsizlik momentini integral olarak bulalım.
Halkanın hacmi ve kütlesi eşit olduğundan
halkanın eylemsizlik momentinin son formülünü elde ederiz
Homojen disk (katı silindir)
Formülün türetilmesi
Bir silindiri (disk) sıfır iç yarıçaplı bir halka olarak düşünmek ( R 1 = 0), silindirin (disk) eylemsizlik momenti formülünü elde ederiz:
Katı koni
Formülün türetilmesi
Koniyi kalınlıkta ince disklere ayıralım. DH, koninin eksenine dik. Böyle bir diskin yarıçapı eşittir
Nerede R– koni tabanının yarıçapı, H– koninin yüksekliği, H– koninin tepesinden diske olan mesafe. Böyle bir diskin kütlesi ve eylemsizlik momenti
Bütünleşerek şunu elde ederiz
Katı homojen top
Formülün türetilmesi
Topu ince kalınlıktaki disklere bölün DH, dönme eksenine dik. Yükseklikte bulunan böyle bir diskin yarıçapı H kürenin merkezinden itibaren formülü kullanarak buluruz
Böyle bir diskin kütlesi ve eylemsizlik momenti
Kürenin eylemsizlik momentini integral yoluyla buluruz:
İnce duvarlı küre
Formülün türetilmesi
Bunu elde etmek için homojen yarıçaplı bir topun eylemsizlik momenti formülünü kullanırız. R:
Sabit bir ρ yoğunluğunda yarıçapının sonsuz küçük bir miktarda artması durumunda topun eylemsizlik momentinin ne kadar değişeceğini hesaplayalım. dr..
İnce çubuk (eksen merkezden geçer)
Formülün türetilmesi
Çubuğu küçük uzunluktaki parçalara bölün doktor. Böyle bir parçanın kütlesi ve eylemsizlik momenti eşittir
Bütünleşerek şunu elde ederiz
İnce çubuk (eksen uçtan geçer)
Formülün türetilmesi
Dönme ekseni çubuğun ortasından ucuna doğru hareket ettiğinde, çubuğun ağırlık merkezi eksene göre belirli bir mesafe kadar hareket eder. ben/2. Steiner teoremine göre yeni an eylemsizlik eşit olacak
Gezegenlerin ve uydularının boyutsuz atalet momentleri
Araştırma için büyük değer iç yapı Gezegenlerin ve uydularının boyutsuz eylemsizlik momentleri vardır. Yarıçaplı bir cismin boyutsuz eylemsizlik momenti R ve kitleler M dönme eksenine göre atalet momentinin, belirli bir mesafede bulunan sabit bir dönme eksenine göre aynı kütleye sahip bir malzeme noktasının atalet momentine oranına eşittir R(eşittir Bay 2). Bu değer kütlenin derinlikteki dağılımını yansıtır. Gezegenlerin ve uyduların yakınında bunu ölçmenin yöntemlerinden biri, belirli bir gezegen veya uydunun yakınında uçan bir AMS tarafından iletilen radyo sinyalinin Doppler kaymasını belirlemektir. İnce duvarlı bir küre için boyutsuz atalet momenti 2/3 (~0,67), homojen bir top için 0,4'tür ve genel olarak, cismin kütlesi ne kadar küçükse merkezinde yoğunlaşan kütle o kadar büyük olur. Örneğin Ay'ın 0,4'e yakın (0,391'e eşit) boyutsuz bir eylemsizlik momenti vardır, dolayısıyla nispeten homojen olduğu, yoğunluğunun derinliğe göre çok az değiştiği varsayılır. Dünyanın boyutsuz eylemsizlik momenti, homojen bir küreninkinden daha azdır (0,335'e eşit), bu da yoğun bir çekirdeğin varlığı lehine bir argümandır.
Merkezkaç atalet momenti
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin eksenlerine göre bir cismin merkezkaç atalet momentleri aşağıdaki büyüklüklerdir:
Nerede X, sen Ve z- hacimli küçük bir gövde elemanının koordinatları dV, yoğunluk ρ ve kütle DM.
OX ekseni denir vücudun eylemsizlik ana ekseni, eğer merkezkaç atalet momentleri J xy Ve Jxz aynı anda sıfıra eşittir. Cismin her noktasından üç ana atalet ekseni çizilebilir. Bu eksenler karşılıklı olarak birbirine diktir. Vücudun atalet momentleri keyfi bir noktada çizilen üç ana eylemsizlik eksenine göre Ö bedenler denir vücudun ana atalet momentleri.
Vücudun kütle merkezinden geçen ana atalet eksenlerine denir. vücudun ataletinin ana merkezi eksenleri ve bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri onun ana merkezi noktalar eylemsizlik. Homojen bir cismin simetri ekseni her zaman ana merkezi atalet eksenlerinden biridir.
Geometrik eylemsizlik momenti
Geometrik atalet momenti - formun bir bölümünün geometrik özelliği
merkez eksenden tarafsız eksene göre herhangi bir temel alana olan mesafe nerede.
Geometrik atalet momenti malzemenin hareketi ile ilgili değildir, sadece kesitin rijitlik derecesini yansıtır. Dönme yarıçapını, kiriş sapmasını, kirişlerin, kolonların vb. kesitlerinin seçimini hesaplamak için kullanılır.
SI ölçü birimi m4'tür. İnşaat hesaplamalarında, literatürde ve haddelenmiş metal çeşitlerinde özellikle cm4 cinsinden belirtilir.
Buradan bölümün direnç anı ifade ediliyor:
.| Bazı şekillerin geometrik atalet momentleri | |
|---|---|
| Dikdörtgenin yüksekliği ve genişliği: | |
| Dış konturlar boyunca ve iç konturlar boyunca sırasıyla yükseklik ve genişliğe sahip dikdörtgen kutu kesiti | |
| Daire çapı | |
Merkezi eylemsizlik momenti
Merkezi eylemsizlik momenti(veya O noktasına göre eylemsizlik momenti) miktardır
Merkezi atalet momenti, ana eksenel veya merkezkaç atalet momentleri cinsinden ifade edilebilir: .
Atalet tensörü ve atalet elipsoidi
Bir cismin kütle merkezinden geçen ve birim vektör tarafından belirtilen bir yöne sahip isteğe bağlı bir eksene göre atalet momenti, ikinci dereceden (çift doğrusal) bir form biçiminde temsil edilebilir:
(1),atalet tensörü nerede. Atalet tensör matrisi simetriktir, boyutlara sahiptir ve merkezkaç momentlerinin bileşenlerinden oluşur:
.
Uygun koordinat sisteminin seçilmesiyle atalet tensör matrisi diyagonal forma indirgenebilir. Bunu yapmak için tensör matrisinin özdeğer problemini çözmeniz gerekir:
,
eylemsizlik tensörünün öz tabanına dik geçiş matrisi nerede. Uygun temelde, koordinat eksenleri atalet tensörünün ana eksenleri boyunca yönlendirilir ve ayrıca atalet tensör elipsoidinin ana yarı eksenleriyle çakışır. Büyüklükler ataletin ana momentleridir. İfade (1) kendi koordinat sisteminde şu şekildedir:
denklem nereden geliyor
Kuvvet momenti ve eylemsizlik momenti
Maddi bir noktanın öteleme hareketinin dinamiğinde kinematik özelliklere ek olarak kuvvet ve kütle kavramları da tanıtıldı. Dönme hareketinin dinamiklerini incelerken fiziksel büyüklükler tanıtılır - tork Ve eylemsizlik momenti, fiziksel anlam bunu aşağıda açıklayacağız.
Bir cismin bir noktaya uygulanan kuvvetin etkisi altında kalmasına izin verin A OO ekseni etrafında dönmeye başlar" (Şekil 5.1).
Şekil 5.1 – Kuvvet momenti kavramının sonucuna varma
Kuvvet eksene dik bir düzlemde etki eder. Dik R, noktadan düştü HAKKINDA(eksen üzerinde uzanan) kuvvetin yönüne denir güçlü omuz. Kolun uyguladığı kuvvetin ürünü modülü belirler kuvvet anı noktaya göre HAKKINDA:
(5.1)
Güç anı kuvvetin uygulama noktasının yarıçap vektörü ile kuvvet vektörünün vektör çarpımı tarafından belirlenen bir vektördür:
(5.2)
Kuvvet momenti birimi - Newton ölçer(N . M). Kuvvet moment vektörünün yönü şu şekilde bulunabilir: doğru pervane kuralları.
Öteleme hareketi sırasında cisimlerin ataletinin ölçüsü kütledir. Dönme hareketi sırasında cisimlerin ataleti sadece kütleye değil, aynı zamanda dönme eksenine göre uzaydaki dağılımına da bağlıdır. Dönme hareketi sırasındaki atalet ölçüsü, adı verilen bir niceliktir. vücudun eylemsizlik momenti dönme eksenine göre.
Maddi bir noktanın eylemsizlik momenti dönme eksenine göre - bu noktanın kütlesinin eksenden uzaklığın karesiyle çarpımı:
Vücudun eylemsizlik momenti dönme eksenine göre - bu cismi oluşturan maddi noktaların eylemsizlik momentlerinin toplamı:
(5.4)
İÇİNDE Genel dava, eğer vücut katıysa ve küçük kütleli noktaların bir koleksiyonunu temsil ediyorsa DM eylemsizlik momenti entegrasyonla belirlenir:
, (5.5)
Nerede R- dönme ekseninden d kütleli bir elemana olan mesafe M.
Cisim homojen ise ve yoğunluğu ρ = M/V, daha sonra vücudun eylemsizlik momenti
(5.6)
Bir cismin eylemsizlik momenti, cismin hangi eksen etrafında döndüğüne ve cismin kütlesinin hacim boyunca nasıl dağıldığına bağlıdır.
Düzenli geometrik şekle sahip cisimlerin eylemsizlik momenti ve üniforma dağıtımı hacimce kütle.
Homojen bir çubuğun eylemsizlik momenti Eylemsizlik merkezinden geçen ve çubuğa dik bir eksene göre,
Homojen bir silindirin eylemsizlik momenti tabanına dik olan ve eylemsizlik merkezinden geçen bir eksene göre,
(5.8)
İnce duvarlı bir silindirin veya çemberin atalet momenti tabanının düzlemine dik ve merkezinden geçen bir eksene göre,
Topun eylemsizlik momentiçapa göreli
(5.10)
Diskin eylemsizlik merkezinden geçen ve dönme düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momentini belirleyelim. Diskin kütlesi şöyle olsun M ve yarıçapı R.
Halkanın alanı (Şekil 5.2) arasında yer alır. R ve , eşittir.
Şekil 5.2 – Diskin eylemsizlik momentini elde etmek için
Disk alanı. Sabit halka kalınlığı ile,
nereden veya 
.
O zaman diskin eylemsizlik momenti,
Açıklık sağlamak amacıyla, Şekil 5.3 homojen katıları göstermektedir çeşitli şekiller ve bu cisimlerin kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momentleri gösterilir.
Şekil 5.3 – Atalet momentleri BEN Bazı homojen katıların C'si.
Steiner teoremi
Yukarıdaki cisimlerin eylemsizlik momentleri için formüller, dönme ekseninin eylemsizlik merkezinden geçmesi koşuluyla verilmiştir. Bir cismin keyfi bir eksene göre atalet momentini belirlemek için şunu kullanmalısınız: Steiner teoremi : Vücudun isteğe bağlı bir dönme eksenine göre atalet momenti, verilen eksene paralel ve vücudun atalet merkezinden geçen eksene göre J 0 atalet momentinin toplamına ve md değerine eşittir. 2:
(5.12)
Nerede M- vücut kütlesi, D- kütle merkezinden seçilen dönme eksenine olan mesafe. Atalet momenti birimi - kilogram metre kare (kg . m2).
Böylece homojen uzunluktaki bir çubuğun eylemsizlik momenti ben Steiner teoremine göre ucundan geçen eksene göre şuna eşittir:
Başvuru. Atalet momenti ve hesaplanması.
Sert cismin Z ekseni etrafında dönmesine izin verin (Şekil 6). Zamanla değişmeyen, her biri yarıçaplı bir daire içinde hareket eden farklı m i malzeme noktalarından oluşan bir sistem olarak temsil edilebilir. ri Z eksenine dik bir düzlemde yer almaktadır. Açısal hızlar tüm maddi noktalar aynıdır. Bir cismin Z eksenine göre atalet momenti miktardır:
Nerede 
– OZ eksenine göre tek bir malzeme noktasının atalet momenti. Tanımdan eylemsizlik momentinin olduğu sonucu çıkar. katkı miktarı yani bireysel parçalardan oluşan bir cismin atalet momenti, parçaların atalet momentlerinin toplamına eşittir.
Şekil 6
Açıkça, [ BEN] = kg×m 2. Atalet momenti kavramının önemi üç formülle ifade edilir:
; 
; 
.
Bunlardan ilki, sabit bir Z ekseni etrafında dönen bir cismin açısal momentumunu ifade eder (bu formülü bir cismin momentum ifadesiyle karşılaştırmak faydalıdır) P = mV c, Nerede Vc– kütle merkezinin hızı). İkinci formül, bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin dinamiğinin temel denklemi olarak adlandırılır, yani başka bir deyişle Newton'un dönme hareketi için ikinci yasası (kütle merkezinin hareket yasasıyla karşılaştırın: 
). Üçüncü formül, sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin kinetik enerjisini ifade eder (bir parçacığın kinetik enerjisi ifadesiyle karşılaştırın) 
). Formüllerin karşılaştırılması, dönme hareketindeki atalet momentinin, bir cismin eylemsizlik momenti ne kadar büyük olursa, diğer tüm şeyler eşit olduğunda açısal ivmenin o kadar az olması anlamında kütleye benzer bir rol oynadığı sonucuna varmamızı sağlar ( mecazi anlamda vücudun dönmesi daha zordur). Gerçekte, eylemsizlik momentlerinin hesaplanması üçlü integralin hesaplanmasına indirgenir ve yalnızca sınırlı sayıda için yapılabilir. simetrik cisimler ve yalnızca simetri eksenleri için. Bir cismin etrafında dönebileceği eksenlerin sayısı sonsuzdur. Tüm eksenler arasında öne çıkan, vücudun dikkate değer bir noktasından geçen eksendir. kütle merkezi
(Hareketini tanımlamak için sistemin tüm kütlesinin kütle merkezinde yoğunlaştığını ve bu noktaya tüm kuvvetlerin toplamına eşit bir kuvvetin uygulandığını hayal etmenin yeterli olduğu bir nokta). Ancak kütle merkezinden geçen sonsuz sayıda eksen de vardır. Herhangi bir şekle sahip herhangi bir katı cisim için karşılıklı olarak üç dik eksenin olduğu ortaya çıktı C x, C y, C z, isminde serbest dönme eksenleri
dikkate değer bir özelliği var: Eğer bir cisim bu eksenlerden herhangi birinin etrafında bükülürse ve yukarı doğru fırlatılırsa, o zaman vücudun sonraki hareketi sırasında eksen kendisine paralel kalacaktır, yani. takla atmayacak. Başka herhangi bir eksen etrafında bükülme bu özelliğe sahip değildir. Tipik cisimlerin belirtilen eksenlere göre atalet momentlerinin değerleri aşağıda verilmiştir. Eksen kütle merkezinden geçiyorsa ancak eksenlerle a, b, g açıları yapıyorsa C x, C y, C z Buna göre böyle bir eksene göre eylemsizlik momenti şuna eşittir:
ben c = ben cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)
En basit cisimler için eylemsizlik momentinin hesaplanmasını kısaca ele alalım.
1.Uzun ince homojen bir çubuğun, çubuğun kütle merkezinden geçen ve ona dik olan bir eksene göre atalet momenti.
İzin vermek T -çubuk kütlesi, ben – uzunluğu.
, 
Dizin " İle» eylemsizlik anında IC bunun kütle merkezi noktasından (cismin simetri merkezi) geçen eksene göre eylemsizlik momenti olduğu anlamına gelir, C(0,0,0).
2. İnce dikdörtgen bir plakanın eylemsizlik momenti.
; 
;
3. Dikdörtgen paralel borunun eylemsizlik momenti.
, C(0,0,0)
4. İnce bir halkanın eylemsizlik momenti.
;
, C(0,0,0)
5. İnce bir diskin eylemsizlik momenti.
Simetri nedeniyle
; 
;
6. Katı bir silindirin eylemsizlik momenti.
;
Simetri nedeniyle:
7. Katı bir kürenin eylemsizlik momenti.
, C(0,0,0)
8. Katı bir koninin eylemsizlik momenti.
, t.(0,0,0)
Nerede R– tabanın yarıçapı, H– koninin yüksekliği.
Cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 olduğunu hatırlayın. Son olarak, eğer O ekseni kütle merkezinden geçmiyorsa, o zaman cismin eylemsizlik momenti Huygens Steiner teoremi kullanılarak hesaplanabilir.
ben o = ben s + md 2, (**)
Nerede ben o- vücudun keyfi bir eksene göre atalet momenti, Dır-dir- Kütle merkezinden geçen, kendisine paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti,
M- vücut kütlesi, D– eksenler arasındaki mesafe.
İsteğe bağlı bir eksene göre standart şekilli gövdeler için atalet momentlerini hesaplama prosedürü aşağıdakine indirgenmiştir.
Atalet momenti
Atalet momentini hesaplamak için, bedeni zihinsel olarak, noktaları dönme ekseninden aynı uzaklıkta olduğu düşünülen yeterince küçük elemanlara bölmeli, ardından her elemanın kütlesinin çarpımını kareyle bulmalıyız. eksene olan uzaklığı ve son olarak ortaya çıkan tüm çarpımların toplamı. Açıkçası bu çok zaman alan bir iş. Saymak
cisimlerin eylemsizlik momentleri doğru geometrik şekil Bazı durumlarda integral hesabı yöntemlerini kullanabilirsiniz.
Gövde elemanlarının sonlu eylemsizlik momentleri toplamının belirlenmesini, sonsuz küçük elemanlar için hesaplanan sonsuz sayıda eylemsizlik momentinin toplamını kullanarak değiştireceğiz:
lim ben = 1 ∞ ΣΔm ben r ben 2 = ∫r 2 dm. (saatte m → 0).
Homojen bir diskin veya yüksekliği olan katı bir silindirin eylemsizlik momentini hesaplayalım. H simetri eksenine göre
Diski, merkezleri simetri ekseninde olan eşmerkezli ince halkalar biçimindeki öğelere bölelim. Ortaya çıkan halkaların bir iç çapı vardır. R ve harici r+dr ve yükseklik H. Çünkü doktor<< r
o zaman halkanın tüm noktalarının eksene olan mesafesinin eşit olduğunu varsayabiliriz. R.
Her bir halka için eylemsizlik momenti
ben = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Nerede ΣΔm- tüm halkanın kütlesi.
Zil sesi seviyesi 2πrhdr. Disk malzemesinin yoğunluğu ise ρ
, o zaman halkanın kütlesi
ρ2πrhdr.
Halkanın eylemsizlik momenti
ben = 2πρsaat 3 dr.
Tüm diskin eylemsizlik momentini hesaplamak için, halkaların eylemsizlik momentlerini diskin merkezinden toplamak gerekir ( r = 0) kenarına ( r = R), yani integrali hesaplayın:
ben = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
veya
ben = (1/2)πρhR 4.
Ancak diskin kütlesi m = ρπhR2, buradan,
ben = (1/2)mR2.
Homojen malzemelerden yapılmış, düzenli geometrik şekle sahip bazı cisimler için eylemsizlik momentlerini (hesaplama yapmadan) sunalım. 
1.
İnce bir halkanın, merkezinden düzlemine dik olarak geçen bir eksene (veya simetri eksenine göre ince duvarlı içi boş bir silindire) göre atalet momenti:
ben = mR2.
2.
Kalın duvarlı bir silindirin simetri eksenine göre atalet momenti:
ben = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Nerede R1- dahili ve R2- dış yarıçaplar.
3.
Diskin çaplarından biriyle çakışan bir eksene göre atalet momenti:
ben = (1/4)mR2.
4.
Katı bir silindirin generatrix'e dik ve ortasından geçen bir eksene göre atalet momenti:
ben = m(R2/4 + h2/12)
Nerede R- silindir tabanının yarıçapı, H- silindirin yüksekliği.
5.
İnce bir çubuğun ortasından geçen bir eksene göre atalet momenti:
ben = (1/12)ml2,
Nerede ben- Çubuğun uzunluğu.
6.
İnce bir çubuğun uçlarından birinden geçen bir eksene göre atalet momenti:
ben = (1/3)ml2
7. Çaplarından birine denk gelen bir eksene göre topun eylemsizlik momenti:
ben = (2/5)mR2.
Bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti biliniyorsa, o zaman birinciye paralel herhangi bir eksene göre eylemsizlik momenti Huygens-Steiner teoremi olarak adlandırılan temele dayanarak bulunabilir.
Vücudun eylemsizlik momenti BEN herhangi bir eksene göre vücudun eylemsizlik momentine eşittir Dır-dir Verilen eksene paralel olan ve cismin kütle merkezi artı cismin kütlesinden geçen bir eksene göre M uzaklığın karesiyle çarpılır ben eksenler arasında:
ben = ben c + ml 2.
Örnek olarak yarıçaplı bir topun eylemsizlik momentini hesaplayalım. R ve kütle M, askı noktasından geçen bir eksene göre l uzunluğunda bir iplik üzerinde asılıdır HAKKINDA. İpliğin kütlesi topun kütlesine kıyasla küçüktür. Topun kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentinden bu yana IC = (2/5)mR2 ve mesafe
eksenler arasında ( ben + R), daha sonra askı noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti:
ben = (2/5)mR2 + m(l + R)2.
Atalet momentinin boyutu:
[I] = [m] × = ML 2.
