Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesaplayıcı, SLAE'ye önemsiz olmayan ve temel bir çözüm bulmak için tasarlanmıştır. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir (örnek çözüme bakın).
Talimatlar. Matris boyutunu seçin:
Doğrusal homojen denklem sistemlerinin özellikleri
Sistemin olabilmesi için önemsiz çözümler matrisinin rütbesinin bilinmeyen sayısından küçük olması gerekli ve yeterlidir.Teorem. M=n durumundaki bir sistemin önemsiz olmayan bir çözümü ancak ve ancak bu sistemin determinantının sıfıra eşit olması durumunda vardır.
Teorem. Bir sistemin çözümlerinin herhangi bir doğrusal kombinasyonu aynı zamanda o sistemin de bir çözümüdür.
Tanım. Bir doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm kümesine denir. temel çözüm sistemi, eğer bu küme doğrusal olarak bağımsız çözümlerden oluşuyorsa ve sistemin herhangi bir çözümü bu çözümlerin doğrusal bir birleşimi ise.
Teorem. Sistem matrisinin r değeri n bilinmeyen sayısından küçükse, (n-r) çözümlerden oluşan temel bir çözüm sistemi vardır.
Doğrusal homojen denklem sistemlerini çözmek için algoritma
- Matrisin rütbesini bulma.
- Temel minörü seçiyoruz. Bağımlı (temel) ve serbest bilinmeyenleri ayırıyoruz.
- Katsayıları küçük temele dahil edilmeyen sistem denklemlerinin üstünü çiziyoruz, çünkü bunlar diğerlerinin sonuçlarıdır (küçük temel teoremine göre).
- Serbest bilinmeyenler içeren denklemlerin terimlerini aktarıyoruz Sağ Taraf. Sonuç olarak, determinantı sıfır olmayan, verilene eşdeğer, r bilinmeyenli bir r denklem sistemi elde ederiz.
- Ortaya çıkan sistemi bilinmeyenleri eleyerek çözüyoruz. Bağımlı değişkenleri serbest değişkenler aracılığıyla ifade eden ilişkileri buluyoruz.
- Matrisin rütbesi değişken sayısına eşit değilse sistemin temel çözümünü buluruz.
- Rang = n durumunda önemsiz bir çözümümüz var.
Örnek. Vektör sisteminin temelini bulun (a 1, a 2,...,a m), vektörleri tabana göre sıralayın ve ifade edin. Eğer a 1 =(0,0,1,-1) ve 2 =(1,1,2,0) ve 3 =(1,1,1,1) ve 4 =(3,2,1) ise ,4) ve 5 =(2,1,0,3).
Sistemin ana matrisini yazalım:
3. satırı (-3) ile çarpın. 4. satırı 3. satıra ekleyelim:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
4. satırı (-2) ile çarpın. 5. satırı (3) ile çarpalım. 5. satırı 4. satıra ekleyelim:
2. satırı 1. satıra ekleyelim:
Matrisin rütbesini bulalım.
Bu matrisin katsayılarına sahip sistem orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemini kullanarak önemsiz olmayan bir çözüm buluyoruz:
Bağımsız değişkenler x 4 aracılığıyla bağımlı değişkenler x 1 , x 2 , x 3'ü ifade eden ilişkiler elde ettik, yani genel bir çözüm bulduk:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Gauss yönteminin bir takım dezavantajları vardır: Gauss yönteminde gerekli tüm dönüşümler gerçekleştirilmeden sistemin tutarlı olup olmadığını bilmek imkansızdır; Gauss'un yöntemi harf katsayılı sistemler için uygun değildir.
Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için diğer yöntemleri ele alalım. Bu yöntemler matris sıralaması kavramını kullanır ve herhangi bir tutarlı sistemin çözümünü Cramer kuralının geçerli olduğu bir sistemin çözümüne indirger.
Örnek 1. Genel bir çözüm bulun sonraki sistem indirgenmiş homojen sisteme yönelik temel bir çözüm sistemi ve homojen olmayan sisteme özel bir çözüm kullanan doğrusal denklemler.
1. Matris yapmak A ve genişletilmiş sistem matrisi (1)
2. Sistemi keşfedin (1) birliktelik için. Bunu yapmak için matrislerin rütbelerini buluyoruz A ve https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width = "17" height = "26 src = ">). Eğer öyle görünüyorsa, sistem (1) uyumsuz. Eğer bunu alırsak O zaman bu sistem tutarlıdır ve bunu çözeceğiz. (Uyumluluk çalışması Kronecker-Capelli teoremine dayanmaktadır).
A. Bulduk rA.
Bulmak rA, matrisin birinci, ikinci vb. derecelerinin sıfır olmayan küçüklerini sırayla ele alacağız A ve onları çevreleyen küçükler.
M1=1≠0 (matrisin sol üst köşesinden 1 alıyoruz A).
Sınırdayız M1 bu matrisin ikinci satırı ve ikinci sütunu. 
. Sınırları aşmaya devam ediyoruz M1 ikinci satır ve üçüncü sütun..gif" width="37" height="20 src=">. Şimdi sıfırdan farklı küçükleri sınırlıyoruz M2' ikinci emir.
Sahibiz: 
(ilk iki sütun aynı olduğundan)
(ikinci ve üçüncü satırlar orantılı olduğundan).
Bunu görüyoruz rA=2, a matrisin temel minörüdür A.
B. Bulduk.
Oldukça basit küçük M2' matrisler A serbest terimlerden oluşan bir sütun ve tüm satırlarla sınır (yalnızca son satıra sahibiz).
. Şunu takip ediyor M3'' matrisin temel küçük değeri olmaya devam ediyor https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Çünkü M2'- matrisin minör tabanı A sistemler (2) , o zaman bu sistem sisteme eşdeğerdir (3) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (2) (için M2' A) matrisinin ilk iki satırındadır.
(3)
Temel küçükten beri https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Bu sistemde iki serbest bilinmeyen vardır ( x2 Ve x4 ). Bu yüzden FSR sistemler (4) iki çözümden oluşur. Bunları bulmak için serbest bilinmeyenleri atarız. (4) ilk önce değerler x2=1 , x4=0 , ve daha sonra - x2=0 , x4=1 .
Şu tarihte: x2=1 , x4=0 şunu elde ederiz:
.
Bu sistem zaten var Sadece bir şey çözüm (Cramer kuralı veya başka bir yöntem kullanılarak bulunabilir). Birinci denklemi ikinci denklemden çıkararak şunu elde ederiz:
Onun çözümü olacak x1= -1 , x3=0 . Değerler göz önüne alındığında x2 Ve x4 eklediğimiz sistemin ilk temel çözümünü elde ederiz. (2) : .
Artık inanıyoruz (4) x2=0 , x4=1 . Şunu elde ederiz:
.
Bu sistemi Cramer teoremini kullanarak çözüyoruz:
.
Sistemin ikinci temel çözümünü elde ediyoruz (2) : .
Çözümler β1 , β2 ve makyaj FSR sistemler (2) . O zaman genel çözümü şöyle olacaktır:
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Burada C1 , C2 – keyfi sabitler.
4. Hadi bir tane bulalım özel çözüm heterojen sistem(1) . Paragrafta olduğu gibi 3 , sistem yerine (1) Eşdeğer bir sistem düşünelim (5) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (1) .
(5)
Serbest bilinmeyenleri sağ tarafa taşıyalım x2 Ve x4.
(6)
Ücretsiz bilinmeyenler verelim x2 Ve x4 örneğin keyfi değerler, x2=2 , x4=1 ve onları içeri koy (6) . Sistemi alalım
Bu sistemin benzersiz bir çözümü vardır (belirleyicisi M2'0). Bunu çözerek (Cramer teoremini veya Gauss yöntemini kullanarak), şunu elde ederiz: x1=3 , x3=3 . Serbest bilinmeyenlerin değerleri göz önüne alındığında x2 Ve x4 , alıyoruz homojen olmayan bir sistemin özel çözümü(1)α1=(3,2,3,1).
5. Şimdi geriye sadece yazmak kalıyor homojen olmayan bir sistemin genel çözümü α(1) : toplamına eşittir özel çözüm bu sistem ve indirgenmiş homojen sisteminin genel çözümü (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Bu şu anlama gelir: 
(7)
6. Muayene. Sistemi doğru çözüp çözmediğinizi kontrol etmek için (1) genel bir çözüme ihtiyacımız var (7) yerine koymak (1) . Her denklem kimliğe dönüşürse ( C1 Ve C2 yok edilmesi gerekir), o zaman çözüm doğru şekilde bulunur.
Yerine geçeceğiz (7) örneğin sistemin yalnızca son denklemi (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Şunu elde ederiz: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Burada –1=–1. Bir kimliğimiz var. Bunu sistemin diğer tüm denklemleriyle yapıyoruz (1) .
Yorum. Kontrol genellikle oldukça hantaldır. Aşağıdaki “kısmi kontrol” önerilebilir: sistemin genel çözümünde (1) keyfi sabitlere bazı değerler atayın ve elde edilen kısmi çözümü yalnızca atılan denklemlere (yani, aşağıdaki denklemlere) koyun: (1) , dahil olmayanlar (5) ). Eğer kimlik alırsanız, o zaman büyük olasılıkla, sistem çözümü (1) doğru bulunmuştur (ancak böyle bir kontrol, doğruluğun tam bir garantisini vermez!). Örneğin, eğer (7) koymak C2=- 1 , C1=1, o zaman şunu elde ederiz: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. (1) sisteminin son denklemini yerine koyarsak: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yani –1=–1. Bir kimliğimiz var.
Örnek 2. Doğrusal denklem sistemine genel bir çözüm bulun (1) , temel bilinmeyenleri serbest olanlar cinsinden ifade etmek.
Çözüm. De olduğu gibi örnek 1, matrisleri oluştur A ve https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> bu matrislerden. Şimdi yalnızca sistemin denklemlerini bırakıyoruz (1) katsayıları bu temel minöre dahil olan (yani ilk iki denklemimiz var) ve bunlardan oluşan, sistem (1)'e eşdeğer bir sistem düşünün.
Serbest bilinmeyenleri bu denklemlerin sağ taraflarına aktaralım.
sistem (9) Sağ tarafları serbest terimler olarak kabul ederek Gauss yöntemiyle çözüyoruz.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Seçenek 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" genişlik = "192" yükseklik = "106 src = ">
Seçenek 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Seçenek 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Seçenek 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Bir alan üzerinde homojen doğrusal denklem sistemi
TANIM. Bir denklem sisteminin (1) temel çözüm sistemi, doğrusal aralığı sistemin (1) tüm çözümlerinin kümesiyle çakışan, boş olmayan, doğrusal olarak bağımsız bir çözüm sistemidir.
Yalnızca sıfır çözümü olan homojen bir doğrusal denklem sisteminin temel bir çözüm sistemine sahip olmadığına dikkat edin.
TEKLİF 3.11. Homojen bir doğrusal denklem sisteminin herhangi iki temel çözüm sistemi aynı sayıda çözümden oluşur.
Kanıt. Aslında homojen denklem sisteminin (1) herhangi iki temel çözüm sistemi eşdeğerdir ve doğrusal olarak bağımsızdır. Bu nedenle Önerme 1.12'ye göre sıraları eşittir. Sonuç olarak, bir temel sistemin içerdiği çözümlerin sayısı, herhangi bir diğer temel çözüm sisteminin içerdiği çözümlerin sayısına eşittir.
Homojen denklem sisteminin (1) ana matrisi A sıfır ise, o zaman herhangi bir vektör sistem (1)'in bir çözümüdür; bu durumda herhangi bir koleksiyon doğrusaldır bağımsız vektörler temel bir çözüm sistemidir. A matrisinin sütun sırası eşitse, sistem (1)'in yalnızca bir çözümü vardır - sıfır; dolayısıyla bu durumda denklem sistemi (1) temel bir çözüm sistemine sahip değildir.
TEOREM 3.12. Homojen bir doğrusal denklem sisteminin (1) ana matrisinin rütbesi değişken sayısından küçükse, sistem (1) çözümlerden oluşan bir temel çözüm sistemine sahiptir.
Kanıt. Homojen sistemin (1) ana matrisi A'nın rütbesi sıfıra veya eşitse, bu durumda teoremin doğru olduğu yukarıda gösterilmiştir. Bu nedenle, aşağıda A matrisinin ilk sütunlarının doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayacağız. Bu durumda, A matrisi satır bazında indirgenmiş adım adım matrise eşdeğerdir ve sistem (1) aşağıdaki indirgenmiş adım adım denklem sistemine eşdeğerdir:
Herhangi bir serbest değer sisteminin olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. sistem değişkenleri(2), sistem (2)'nin ve dolayısıyla sistem (1)'in tek ve tek çözümüne karşılık gelir. Özellikle, sistem (2) ve sistemin (1) yalnızca sıfır çözümü, sıfır değerli bir sisteme karşılık gelir.
Sistem (2)'de ücretsiz olanlardan birini atayacağız. değişken değeri, 1'e eşittir ve geri kalan değişkenler sıfır değere sahiptir. Sonuç olarak, aşağıdaki C matrisinin satırları şeklinde yazdığımız denklem sistemine (2) çözümler elde ediyoruz:
Bu matrisin satır sistemi doğrusal olarak bağımsızdır. Aslında eşitlikten herhangi bir skaler için
eşitlik takip eder
ve dolayısıyla eşitlik
C matrisinin satırlar sisteminin doğrusal açıklığının (1) sisteminin tüm çözümlerinin kümesiyle çakıştığını kanıtlayalım.
Sistemin (1) keyfi çözümü. Daha sonra vektör
aynı zamanda (1) numaralı sistemin çözümüdür ve
İzin vermek M 0 – homojen bir doğrusal denklem sisteminin (4) çözüm kümesi.
Tanım 6.12. Vektörler İle 1 ,İle 2 , …, p ile homojen bir lineer denklem sisteminin çözümleri olarak adlandırılır. temel çözüm kümesi(kısaltılmış FNR), eğer
1) vektörler İle 1 ,İle 2 , …, p ile doğrusal olarak bağımsız (yani hiçbiri diğerleri cinsinden ifade edilemez);
2) homojen bir doğrusal denklem sisteminin diğer herhangi bir çözümü, çözümler cinsinden ifade edilebilir İle 1 ,İle 2 , …, p ile.
şunu unutmayın: İle 1 ,İle 2 , …, p ile– herhangi bir f.n.r., ardından ifade k 1× İle 1 + k 2× İle 2 + … + kp× p ile tüm seti tanımlayabilirsiniz M Sistem (4)'ün 0 çözümü olduğundan buna denir sistem çözümüne genel bakış (4).
Teorem 6.6. Herhangi bir belirsiz homojen doğrusal denklem sisteminin temel bir çözüm kümesi vardır.
Temel çözüm kümesini bulmanın yolu aşağıdaki gibidir:
Homojen bir doğrusal denklem sistemine genel bir çözüm bulun;
İnşa etmek ( N – R) bu sistemin kısmi çözümleri, serbest bilinmeyenlerin değerleri ise bir kimlik matrisi oluşturmalıdır;
Yaz Genel form içerdiği çözümler M 0 .
Örnek 6.5. Aşağıdaki sisteme yönelik temel bir çözüm kümesi bulun:
Çözüm. Bu sisteme genel bir çözüm bulalım.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Bu sistemde beş bilinmeyen vardır ( N= 5), bunların iki ana bilinmeyeni vardır ( R= 2), üç serbest bilinmeyen vardır ( N – R), yani temel çözüm kümesi üç çözüm vektörü içerir. Onları inşa edelim. Sahibiz X 1 ve X 3 – temel bilinmeyenler, X 2 , X 4 , X 5 – serbest bilinmeyenler
Serbest bilinmeyenlerin değerleri X 2 , X 4 , X 5 birim matrisi oluşturur eüçüncü sipariş. Bu vektörleri anladım İle 1 ,İle 2 , İle 3 form f.n.r. bu sistemin. O halde bu homojen sistemin çözüm kümesi şu şekilde olacaktır: M 0 = {k 1× İle 1 + k 2× İle 2 + k 3× İle 3 , k 1 , k 2 , k 3 veya R).
Şimdi homojen bir doğrusal denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümlerinin varlığının koşullarını, başka bir deyişle temel çözüm kümesinin varlığının koşullarını bulalım.
Homojen bir doğrusal denklem sisteminin sıfır olmayan çözümleri vardır, yani olup olmadığı belirsizdir.
1) sistemin ana matrisinin sıralaması bilinmeyenlerin sayısından azdır;
2) homojen bir doğrusal denklem sisteminde denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısından azdır;
3) homojen bir doğrusal denklem sisteminde denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşitse ve ana matrisin determinantı sıfıra eşitse (yani | A| = 0).
Örnek 6.6. Hangi parametre değerinde A homojen doğrusal denklem sistemi 
sıfır olmayan çözümleri var mı?
Çözüm. Bu sistemin ana matrisini oluşturup determinantını bulalım: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Bu matrisin determinantı sıfıra eşittir A = –4.
Cevap: –4.
7. Aritmetik N boyutlu vektör uzayı
Temel konseptler
Önceki bölümlerde, belirli bir sıraya göre düzenlenmiş bir dizi gerçek sayı kavramıyla zaten karşılaştık. Bu bir satır matrisi (veya sütun matrisi) ve doğrusal denklem sisteminin çözümüdür. N Bilinmeyen. Bu bilgiler özetlenebilir.
Tanım 7.1. N-boyutlu aritmetik vektör sıralı bir dizi denir N gerçek sayılar.
Araç A= (a 1 , a 2 , …, a N), burada bir Ben O R, Ben = 1, 2, …, N– vektörün genel görünümü. Sayı N isminde boyut vektörler ve sayılar a Ben onun denir koordinatlar.
Örneğin: A= (1, –8, 7, 4, ) – beş boyutlu vektör.
Her şey hazır N boyutlu vektörler genellikle şu şekilde gösterilir: Rn.
Tanım 7.2. iki vektör A= (a 1 , a 2 , …, a N) Ve B= (b 1 , b 2 , …, b N) aynı boyutta eşit ancak ve ancak karşılık gelen koordinatları eşitse, yani a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.
Tanım 7.3.Miktar iki N boyutlu vektörler A= (a 1 , a 2 , …, a N) Ve B= (b 1 , b 2 , …, b N) bir vektör olarak adlandırılır A + B= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a N+ b N).
Tanım 7.4. İş gerçek Numara k vektöre A= (a 1 , a 2 , …, a N) bir vektör olarak adlandırılır k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a N)
Tanım 7.5. Vektör Ö= (0, 0, …, 0) denir sıfır(veya boş vektör).
Vektörleri toplama ve bunları gerçek sayıyla çarpma eylemlerinin (işlemlerinin) aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu doğrulamak kolaydır: " A, B, C Î Rn, " k, benО R:
1) A + B = B + A;
2) A + (B+ C) = (A + B) + C;
3) A + Ö = A;
4) A+ (–A) = Ö;
5) 1× A = A, 1°R;
6) k×( ben× A) = ben×( k× A) = (ben× k)× A;
7) (k + ben)× A = k× A + ben× A;
8) k×( A + B) = k× A + k× B.
Tanım 7.6. Bir demet Rn Vektörlerin toplanması ve üzerinde verilen bir reel sayı ile çarpılması işlemine denir. aritmetik n boyutlu vektör uzayı.
