ACS analizinin nihai amacı, sistemin diferansiyel denklemini bir bütün olarak çözmek (mümkünse) veya incelemektir. Genellikle ACS'yi oluşturan bireysel bağlantıların denklemleri bilinir ve bağlantılarının bilinen DE'lerinden sistemin diferansiyel denklemini elde etme ara görevi ortaya çıkar. DE'leri temsil etmenin klasik biçiminde bu görev önemli zorluklarla doludur. Transfer fonksiyonu kavramını kullanmak onu büyük ölçüde basitleştirir.

Bazı sistemlerin formdaki bir diferansiyel denklemle tanımlanmasına izin verin.

P'nin farklılaşma operatörü veya sembolü olarak adlandırıldığı = p notasyonunu tanıtarak ve şimdi bu sembolü sıradan bir sembol olarak ele alarak cebirsel sayı parantezlerden x'i ve x'i çıkardıktan sonra şunu elde ederiz: diferansiyel denklem Bu sistemin operatör formundaki hali:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x dışarı = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x içeri. (3.38)

Çıkış değerindeki p'deki polinom:

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3,39)

özoperatör olarak adlandırılır ve giriş değerindeki polinom etki operatörü olarak adlandırılır.

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Transfer fonksiyonu etki operatörünün oranıdır. kendi operatörü:

W(p) = K(p)/D(p) = x dışarı / x içeri. (3.41)

Aşağıda diferansiyel denklemlerin yazımında hemen hemen her yerde operatör formunu kullanacağız.

Bağlantıların bağlantı türleri ve transfer fonksiyonlarının cebiri.

Bir otomatik kontrol sisteminin transfer fonksiyonunun elde edilmesi, linklerin belirli bir şekilde birbirine bağlandığı link gruplarının transfer fonksiyonlarını bulma kurallarının bilinmesini gerektirir. Üç tür bağlantı vardır.

1. Önceki bağlantının çıktısının bir sonraki bağlantının girişi olduğu sıralı (Şekil 3.12):

x dışarı

Pirinç. 3.14. Arka arkaya paralel bağlantı.

Geri besleme sinyali x'in giriş sinyali xin'e eklenmesine veya ondan çıkarılmasına bağlı olarak, pozitif ve negatif geri besleme ayırt edilir.

Yine transfer fonksiyonunun özelliğine dayanarak şunu yazabiliriz:

W 1 (p) =x dışarı /(x içeri ±x); W2(p) = x/x çıkış; W c =x dışarı /x içeri. (3.44)

İlk iki denklemden x iç koordinatını çıkararak böyle bir bağlantı için transfer fonksiyonunu elde ederiz:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Son ifadede artı işaretinin şuna karşılık geldiği unutulmamalıdır: olumsuz geri bildirim.

Bir bağlantının birden fazla girişi olması durumunda (örneğin, bir kontrol nesnesi), bu bağlantının her bir girişe karşılık gelen çeşitli transfer fonksiyonları dikkate alınır; örneğin bağlantı denklemi şu şekildedir:

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)

burada K x (p) ve K z (p), sırasıyla x ve z girişleri üzerindeki etkilerin operatörleridir, bu durumda bu bağlantının x ve z girişleri üzerinde transfer fonksiyonları vardır:

W x (p) = K x (p)/D(p); Wz(p) = Kz(p)/D(p). (3.47)

Gelecekte transfer fonksiyonlarının ve bunlara karşılık gelen operatörlerin ifadelerindeki girdileri azaltmak için "p" argümanını atlayacağız.

(3.46) ve (3.47) ifadelerinin ortak değerlendirmesinden şu sonuç çıkar:

y = W x x+W z z, (3,48)

içinde Genel dava Birkaç girişi olan herhangi bir bağlantının çıkış değeri, giriş değerlerinin ve karşılık gelen girişler için transfer fonksiyonlarının çarpımlarının toplamına eşittir.

İletim işleviÖfke üzerine SAR.

Kontrollü bir değişkenin sapması üzerinde çalışan ACS yapısının olağan şekli aşağıdaki gibidir:

W o z =K z /D nesnesi W o x =K x /D

ne

z

sen

-X

Şekil 3.15. ATS'yi kapattık.

Düzenleyici etkinin değişen işaretle nesneye uygulandığına dikkat edelim. Bir nesnenin çıkışı ile regülatör aracılığıyla girişi arasındaki bağlantıya ana bağlantı denir. geri bildirim(düzenleyicinin kendisindeki olası ek geri bildirimin aksine). Düzenlemenin felsefi anlamına göre, düzenleyicinin eyleminin amacı sapmanın azaltılması kontrollü değişken ve dolayısıyla ana geri bildirim her zaman olumsuzdur.İncirde. 3.15:

W o z - nesnenin rahatsızlık nedeniyle transfer fonksiyonu;

W o x - düzenleyici etkiye göre nesnenin transfer fonksiyonu;

W p y - y sapmasına göre kontrolörün transfer fonksiyonu.

Tesisin ve kontrolörün diferansiyel denklemleri şu şekilde görünür:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3.49)

İkinci denklemdeki x'i birinciye koyarak ve gruplandırmayı gerçekleştirerek ATS denklemini elde ederiz:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

Dolayısıyla ACS'nin bozulma için transfer fonksiyonu

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

Benzer şekilde, kontrol eylemi için ACS'nin transfer fonksiyonunu elde edebilirsiniz:

W c u = W Ö x W p sen /(1+W o x W p y) , (3.52)

burada W p u kontrol eylemine göre kontrolörün transfer fonksiyonudur.

3.4 ACS'nin zorlanmış salınımları ve frekans özellikleri.

Gerçek çalışma koşullarında, ACS sıklıkla periyodik bozucu güçlere maruz kalır ve buna kontrollü miktarlardaki periyodik değişiklikler ve düzenleyici etkiler eşlik eder. Bunlar, örneğin dalgalı denizlerde seyrederken geminin titreşimleri, pervanenin dönüş hızındaki dalgalanmalar ve diğer niceliklerdir. Bazı durumlarda sistemin çıktı miktarlarının salınım genlikleri kabul edilemeyecek kadar büyük değerlere ulaşabilir ve bu da rezonans olgusuna karşılık gelir. Rezonansın sonuçları genellikle onu deneyimleyen sistem için felakettir; örneğin bir geminin alabora olması, bir motorun tahrip edilmesi. Kontrol sistemlerinde, elemanların özellikleri aşınma, değiştirme, yeniden yapılandırma veya arıza nedeniyle değiştiğinde bu tür olaylar mümkündür. Daha sonra ya güvenli çalışma koşulları aralıklarını belirlemeye ya da ATS'yi uygun şekilde yapılandırmaya ihtiyaç vardır. Bu konular doğrusal sistemlere uygulandıkları için burada ele alınacaktır.

Bazı sistemlerin aşağıda gösterilen yapıya sahip olmasına izin verin:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Şekil 3.16. ACS zorunlu salınım modunda.

Sistem, Ax genliği ve w dairesel frekansı ile periyodik bir x etkisine maruz kalırsa, geçiş sürecinin bitiminden sonra, A y genliği ile aynı frekanstaki ve giriş salınımlarına göre j faz açısı kadar kaydırılan salınımlar olacaktır. çıkışta kurulacaktır. Çıkış salınım parametreleri (genlik ve faz kayması) itici kuvvetin frekansına bağlıdır. Görev, girişteki bilinen salınım parametrelerinden çıkış salınımlarının parametrelerini belirlemektir.

Şekil 3.14'te gösterilen ACS transfer fonksiyonuna uygun olarak diferansiyel denklemi şu şekildedir:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

(3.53)'te x ve y için Şekil 2'de gösterilen ifadeleri yerine koyalım. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Salınım modelinin periyodun dörtte biri kadar değiştiğini düşünürsek, denklem (3.54)'te sinüs fonksiyonlarının yerini kosinüs fonksiyonları alacaktır:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Denklemi (3.54) i = ile çarpalım ve sonucu (3.55) ile toplayalım:

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Euler formülünü kullanma

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Denklemi (3.56) forma indirgeyelim

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

p=d/dt operatörünün sağladığı zamana göre türev alma işlemini gerçekleştirelim:

A y deneyim=

A x exp(iwt). (3.58)

exp(iwt) ile indirgemeye ilişkin basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

Sağ kısım(3.59) ifadesi ACS transfer fonksiyonunun ifadesine benzer ve p=iw değiştirilerek ondan elde edilebilir. Benzer şekilde, buna karmaşık transfer fonksiyonu W(iw) veya genlik-faz karakteristiği (APC) adı verilir. Frekans tepkisi terimi de sıklıkla kullanılır. Bu kesirin karmaşık bir argümanın fonksiyonu olduğu ve şu şekilde de temsil edilebileceği açıktır:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3,60)

burada M(w) ve N(w) sırasıyla gerçek ve sanal frekans özellikleridir.

A y / A x oranı AFC modülüdür ve frekansın bir fonksiyonudur:

Bir y / Bir x = R (w)

ve genlik-frekans yanıtı (AFC) olarak adlandırılır. Faz

j =j (w) kayması da frekansın bir fonksiyonudur ve faz frekans tepkisi (PFC) olarak adlandırılır. Frekans aralığı (0…¥) için R(w) ve j(w) hesaplanarak, karmaşık düzlemde M(w) ve iN(w) koordinatlarında bir AFC grafiği oluşturmak mümkündür (Şekil 3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω res

Şekil 3.18. Genlik-frekans özellikleri.

Sistem 1'in frekans tepkisi, zorlanmış salınımların en büyük genliğine karşılık gelen bir rezonans zirvesini gösterir. Rezonans frekansına yakın bir alanda çalışmak felakete neden olabilir ve genellikle belirli bir düzenlenmiş nesnenin çalışma kuralları tarafından tamamen kabul edilemez. Frekans tepkisi tip 2'de rezonans tepe noktası yoktur ve mekanik sistemler için daha çok tercih edilir. Ayrıca frekans arttıkça çıkış salınımlarının genliğinin azaldığı da görülebilir. Fiziksel olarak bu kolayca açıklanabilir: Herhangi bir sistem, kendi içsel eylemsizlik özelliklerinden dolayı, yüksek frekanslardan ziyade düşük frekanslar tarafından salınmaya daha kolay maruz kalır. Belirli bir frekanstan başlayarak çıkış salınımı ihmal edilebilir hale gelir ve bu frekansa kesme frekansı, kesme frekansının altındaki frekans aralığına ise bant genişliği adı verilir. Teoride otomatik düzenleme Kesme frekansı, frekans yanıt değerinin sıfır frekanstan 10 kat daha az olduğu bir frekans olarak alınır. Bir sistemin yüksek frekanslı titreşimleri sönümleme özelliğine alçak geçiren filtrenin özelliği denir.

Diferansiyel denklemi ikinci dereceden bir bağlantı örneğini kullanarak frekans tepkisini hesaplama yöntemini ele alalım.

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

Zorunlu salınım problemlerinde denklemin daha görsel bir formu sıklıkla kullanılır.

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3,63)

burada sönüm olmadığında salınımların doğal frekansı denir, x =T 1 w 0 /2 sönüm katsayısıdır.

Aktarım işlevi şuna benzer:

p = iw'yi değiştirerek genlik-faz karakteristiğini elde ederiz

Karmaşık sayıları bölme kuralını kullanarak frekans yanıtının ifadesini elde ederiz:

Frekans tepkisinin maksimum olduğu rezonans frekansını belirleyelim. Bu, ifadenin minimum paydasına (3.66) karşılık gelir. Paydanın türevini w frekansına göre sıfıra eşitlersek:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)

sıfıra eşit olmayan rezonans frekansının değerini nereden alıyoruz:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Zayıflama katsayısının farklı değerlerine karşılık gelen bireysel durumları ele aldığımız bu ifadeyi analiz edelim.

1. x = 0. Rezonans frekansı doğal frekansa eşit olup, frekans tepkisinin büyüklüğü sonsuza döner. Bu sözde matematiksel rezonans durumudur.

2. . Frekans pozitif bir sayı olarak ifade edildiğinden ve bu durumda (68)'den sıfır veya hayali bir sayı elde edildiğinden, zayıflama katsayısının bu değerlerinde frekans tepkisinin bir rezonans tepe noktasına sahip olmadığı sonucu çıkar (eğri) Şekil 3.18'de 2).

3. . Frekans tepkisi bir rezonans zirvesine sahiptir ve zayıflama katsayısının azalmasıyla rezonans frekansı kendine yaklaşır ve rezonans zirvesi daha yüksek ve daha keskin hale gelir.

Tipik bağlantılar doğrusal sistemlerçeşitli eşdeğer yollarla, özellikle kural olarak kesirli-rasyonel bir forma sahip olan transfer fonksiyonu adı verilen yöntem kullanılarak belirlenebilir; bu iki polinomun oranıdır:

burada b i ve a j polinomların katsayılarıdır. Bu sözde transfer fonksiyonunun veya bağlantısının parametreleri.

Transfer fonksiyonu, bir bağlantının çıkış sinyali y(t)'nin Y(p) görüntüsünü, giriş sinyali x(t)'nin X(p) görüntüsüne bağlar:

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

onlar. bilinen herhangi bir giriş sinyali x(t)'den y(t) çıkışını bulmanızı sağlar. Bu, TAU açısından transfer fonksiyonunun kontrol sistemini veya bağlantısını tamamen karakterize ettiği anlamına gelir. Aynı şey transfer fonksiyonunun pay ve payda polinomlarının katsayıları kümesi için de söylenebilir.

Bağlantı aktarma işleviK(P) çıktı miktarının Laplace dönüşümünün girdi miktarının Laplace dönüşümüne oranıdır

2. Konumsal bağlantılar hakkında kısa bilgi

Konumsal bağlantılar aşağıdaki tipik dinamik bağlantıları içerir:

Ataletsiz bağlantı,

Birinci dereceden periyodik olmayan bağlantı,

İkinci dereceden periyodik olmayan bağlantı,

Salınımlı bağlantı

Muhafazakar bağlantı.

Konumsal bağlantıların zaman özellikleri Tablo'da özetlenmiştir. 1. Bağlantıların aktarım işlevleri de burada belirtilmiştir.

A).Ataletsiz bağlantı.

Bu bağlantı sadece statikte değil dinamikte de cebirsel denklemle açıklanmaktadır.

X dışarı = k X giriş (2.1)

Bağlantının transfer fonksiyonu sabit bir değere eşittir

W(p) = x dışarı (p)/x giriş (p) = k (2.2)

Böyle bir bağlantının bir örneği: mekanik bir dişli kutusu (bükülme ve boşluk olgusunu hesaba katmadan), ataletsiz (geniş bantlı) bir elektronik amplifikatör, bir voltaj bölücü vb. Potansiyometrik sensörler, indüksiyon sensörleri, döner transformatörler ve senkronizatörler, fotoseller vb. gibi birçok sinyal sensörü de ataletsiz bağlantılar olarak düşünülebilir.

Genel olarak ataletsiz bir bağlantı, gerçek bağlantıların belirli bir idealleştirilmesidir. Aslında, tüm bağlantılar bir miktar ataletle karakterize edilir, dolayısıyla tek bir bağlantı 0'dan 'ye kadar tüm frekansları eşit şekilde geçiremez. Genellikle, aşağıda tartışılan gerçek bağlantılardan biri, örneğin periyodik olmayan veya salınımlı, eğer bu bağlantıdaki dinamik süreçlerin etkisi (yani zaman sabitleri) ihmal edilebilirse, bu tür bağlantıya indirgenir.

B)1. dereceden periyodik olmayan bağlantı

Bu bağlantı diferansiyel denklemle tanımlanır

, (2.3)

Nerede T- zaman sabiti, s,

k- bağlantı iletim katsayısı.

Bağlantı aktarım işlevi şu şekildedir:

(2.4)

Periyodik olmayan bir bağlantı, ataleti olan bağlantıların en basitidir. Gerçekten de, bu bağlantı ilk başta hızlı bir şekilde hemen gerçekleşmez ve daha sonra giderek daha kademeli olarak kademeli etkiye tepki verir. Bunun nedeni, periyodik olmayan bağlantının fiziksel orijinalinde, depolanan enerjinin zaman içinde aniden değişemeyeceği bir biriktirici elemanın (aynı zamanda bir veya daha fazla enerji tüketen elemanın) bulunmasıdır - bu, sonsuz güç gerektirir.

1. dereceden periyodik olmayan bağlantıların örnekleri şunları içerir: herhangi bir tipte bir motor (elektrik, hidrolik, pnömatik), bir DC jeneratörü, elektrik R.C.- Ve LR- devreler, manyetik amplifikatör, gaz tankı, ısıtma fırını. Bu birimlerdeki iş süreçleri genel denklem (2.3) ile tanımlanmaktadır.

V)2. dereceden periyodik olmayan bağlantı

Bağlantının diferansiyel denklemi şu şekildedir:

(2.5)

Bu durumda karakteristik denklemin kökleri

P 2 + T 1  P+1=0 (2.6)

koşul altında tatmin edilecek gerçek olmalı

T 1  2  T 2 (2.7)

ACS'de meydana gelen süreçlerin sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemlerle tanımlandığını varsayacağız. Bu nedenle kendimizi sabit parametrelerle doğrusal ACS'yi dikkate almakla sınırlayacağız, yani. zamana veya sistemin durumuna bağlı olmayan parametreler.

Dinamik bir sistem olsun (şekle bakın)

diferansiyel denklem operatör formunda yazılmıştır

burada D(P) ve M(P), P'deki polinomlardır.

P - farklılaşma operatörü;

x(t) – sistemin çıkış koordinatı;

g(t) – girdi etkisi.

Sıfır başlangıç ​​koşullarını varsayarak (1)'i Laplace'a göre dönüştürelim.

Gösterimi tanıtalım

;
,

bunu dikkate alarak anlıyoruz

Gösterimi kullanıyoruz

, (5)

o zaman denklem (3) şu şekli alacaktır:

. (6)

Denklem (6), sistemin çıkış koordinatının X(S) görüntüsünü giriş eyleminin G(S) görüntüsüne bağlar. İşlev F(S) Sistemin dinamik özelliklerini karakterize eder. (4) ve (5)'ten de anlaşılacağı üzere bu fonksiyon sisteme uygulanan darbeye bağlı olmayıp sadece sistemin parametrelerine bağlıdır. (6) fonksiyonunu dikkate alarak F(S) aşağıdaki gibi yazılabilir

İşlev F(S) sistemin transfer fonksiyonu denir. (7)'den transfer fonksiyonunun, sıfır başlangıç ​​koşulları altında sistemin giriş koordinatının Laplace görüntüsünün giriş eyleminin Laplace görüntüsüne oranı olduğu açıktır.

Sistemin transfer fonksiyonunu bilmek F(S) Sisteme uygulanan g(t) etkisinin G(S) görüntüsünü belirledikten sonra, (6)'dan x(t) sisteminin çıkış koordinatının X(S) görüntüsü bulunabilir, ardından görüntü X(S)'yi orijinal x(t)'ye dönüştürmek, bu sisteme bir giriş etkisi uygulandığında sistemin çıkış koordinatını değiştirme sürecini elde eder.

Transfer fonksiyonunun paydasındaki polinom, karakteristik polinom olarak adlandırılır ve denklem

karakteristik denklem.

N'inci dereceden bir denklemle tanımlanan bir sistem için, karakteristik denklem n'inci dereceden cebirsel bir denklemdir ve aralarında hem gerçek hem de karmaşık eşleniğin bulunabileceği n kökü vardır, S 1 S 2... S n.

Transfer fonksiyonunun paydasındaki polinomun köküne bu transfer fonksiyonunun kutupları ve payda sıfırlar denir.

Polinomları şu biçimde temsil edelim:

Bu nedenle transfer fonksiyonu

. (11)

Buradan sıfırların ve kutupların belirtilmesinin transfer fonksiyonunu sabit bir faktöre kadar belirlediği sonucu çıkar. .

Transfer fonksiyonunun tüm kutuplarının gerçek kısımlarının negatif olması durumunda;

, k=1,2…n ise sisteme kararlı denir. İçinde, çıktı miktarının (doğru hareket) geçiş bileşeni zamanla kaybolur.

Sistem frekansı özellikleri

Harmonik bir giriş sinyalinin doğrusal bir sistemle dönüştürülmesi

Kontrol eylemi g(t)'ye göre otomatik sistemin transfer fonksiyonu şöyledir:

(1)

Etkiye izin ver

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

Ve X(t)'deki değişimin istikrarlı bir süreçte belirlenmesi gerekir; Daha önce tartışılan denklem (1)'e özel bir çözüm bulun.

Bir etkinin uygulanması sonucunda sistemde zamanla 0'a yönelen geçici bir sürecin meydana geldiğini unutmayın, çünkü sistemin kararlı olduğu varsayılmaktadır. Bunu dikkate almıyoruz. Böyle bir geçiş, g(t) eylemini tüm zaman ekseninde belirtildiği gibi dikkate almamıza (kontrol eyleminin sisteme ilk uygulanma anı dikkate alınmaz) ve sinüzoidin spektral karakteristiği için daha önce elde edilen ifadeyi kullanmamıza olanak tanır. .

Sabit durumda x(t)'yi belirlemek için diferansiyel denklemin (1) her iki tarafını Fourier'e göre dönüştürürüz. Bununla şunu kastediyoruz

;

,

dikkat et ki

transfer fonksiyonu burada S

Ayrıca

Daha sonra kontrollü miktarın zorlanmış salınımlarının spektral karakteristiği (3)'ten formda belirlenir.

(4)'te fonksiyonel çarpan F(jω) g(t) etkisi doğrusal bir dinamik sistemden geçtiğinde spektral karakteristikteki değişikliği hesaba katar.

Hayal edelim karmaşık fonksiyon F(jω) gösterici biçimde

ve ters Fourier dönüşümü formülünü kullanarak x(t)'yi bulun:

delta fonksiyonunun filtreleme özelliklerini kullanarak ve (5)'i hesaba katarak, şunu elde ederiz:

Çünkü
,,

(6)

Kararlı durumda doğrusal bir otomatik sistemin sinüzoidal etkilere karşı x(t) yanıtının da sinüzoid olduğu sonucu çıkar. Giriş ve çıkış sinyallerinin açısal frekansları aynıdır. Sistem çıkışındaki genlik A 1 │ F(jω)│ ve başlangıç ​​aşaması arg'dir F(jω).

Doğrusal bir sistemin girişi formda periyodik bir etki alırsa

,

daha sonra, doğrusal bir sistem için geçerli olan süperpozisyon ilkesini kullanarak, bu durumda sistemin zorlanmış sürekli hareketinin olduğunu buluruz.

(7)

Ayrıca buradaki ω değerine ayrı değerler verilmelidir; ω=kω 1 olduğunu varsayalım

Giriş sinyalinin frekans spektrumunu bildiğinizde, sistem girişindeki sinyalin frekans spektrumunu kolayca belirleyebilirsiniz. Örneğin, g(t) giriş sinyalinin genlik frekans spektrumu A k biliniyorsa, bu durumda çıkış sinyalinin genlik frekans spektrumu A k │ olur. Ф(jkω) 1 ) │.

Söz konusu ifadelerde, fonksiyon F(jω) otomatik sistemin dinamik özelliklerini karakterize eder ve sisteme uygulanan etkilerin doğasına bağlı değildir. S'yi resmi olarak jω ile değiştirerek transfer fonksiyonundan kolayca elde edilebilir.

İşlev F(jω) sürekli argümandan ω, sisteme uygulanan kontrol eylemi g(t) ile ilişkili olarak AFC sisteminin genlik-faz karakteristiği olarak adlandırılır.

(3)'e dayanarak AFC, sinyalin girişindeki spektral özelliklerinin oranı olarak da tanımlanabilir. AF modülü  F(j ) Harmonik sinyalin genliğindeki değişimi sistemden geçerken karakterize eder ve argümanı sinyalin faz kaymasıdır.

İşlev  F(j ) genlik-frekans yanıtı (AFC) adını ve arg işlevini aldı F(j ) – faz-frekans yanıtı (PFC).

Otomatik sisteme uygulanan g(t) etkisi, frekansı  1 olan karmaşık bir harmonik olsun;

Sistemin böyle bir darbeye kararlı durumdaki tepkisi eşitlikle belirlenir.

Veya Euler formülünü kullanarak

ve ayrıca bu

;

Delta fonksiyonunun filtreleme özelliklerini kullanarak eşitliğin sağ tarafındaki integrali bulacağız.

karmaşık biçimde sistemin 1 frekansına sahip karmaşık bir harmonik biçimindeki etkiye karşı kararlı durum tepkisini belirler.

AFC yalnızca otomatik bir sistemin çıkışındaki kararlı durum salınımlarını analiz etmek için değil aynı zamanda kontrol sürecini bir bütün olarak belirlemek için de kullanılabilir. İkinci durumda, kontrol sistemine uygulanma anını t 0 zamanın sıfır anı olarak düşünmek ve tek taraflı Fourier dönüşümünün formüllerini kullanmak uygundur. Spektral karakteristiği belirledikten sonra
ve aşağıdaki formülü kullanarak kontrollü değişkenin spektral karakteristiğini bulma

g(t) etkisi uygulandıktan sonra kontrol edilen x(t) değişkenindeki değişiklik, ters Fourier dönüşümü formülü kullanılarak bulunur.

1. Transfer fonksiyonları ve frekans özellikleri. Analog iletişim ekipmanı cihazları

1. Transfer fonksiyonları ve frekans özellikleri

İletişim teknolojisinde, bir kaynak ve elektrik enerjisi alıcısına bağlanmak için iki çift terminale sahip, herhangi bir karmaşıklıktaki bir elektrik devresine denir. dört kutuplu. Kaynağın bağlı olduğu terminallere denir giriş ve alıcının (yük) bağlı olduğu terminaller çıkış terminalleri (kutuplar).

İÇİNDE Genel görünüm Dört kutuplu şekil 2'de gösterildiği gibi gösterilmektedir. 1.1. 1–1" dört kutuplu girişe bir kaynak bağlanır elektrik enerjisi karmaşık etkili voltaj değeri ve iç direnci ile. 2–2" çıkış terminallerine dirençli bir yük bağlanır. Giriş terminallerine karmaşık etkin değere sahip bir voltaj uygulanır ve çıkış terminallerine karmaşık etkin değere sahip bir voltaj uygulanır. Karmaşık etkin değere sahip bir akım akar. giriş terminalleri ve çıkış terminallerinden karmaşık bir etkin değer akar.Diğer dört terminalli ağların, elektrik enerjisinin kaynağı ve alıcısı olarak hareket edebileceğini unutmayın.

İncirde. Gerilimler ve akımlar için 1.1 sembolik gösterimler kullanılır. Bu, bir elektrik devresinin analizinin belirli bir frekanstaki harmonik titreşim için yapıldığı anlamına gelir. Belirli bir harmonik salınım için belirlenebilir yüklü dört bağlantı noktalı bir ağın aktarım işlevi Bu, çıkış elektrik miktarının karmaşık etkin değerinin, giriş elektrik miktarının karmaşık etkin değerine oranı olacaktır.

Giriş etkisi, karmaşık etkin değere sahip bir jeneratör voltajı olarak kabul edilirse ve iki terminalli bir ağın bu etkiye tepkisi, karmaşık etkin değere sahip bir voltaj veya karmaşık etkin değere sahip bir akım ise, o zaman şunu elde ederiz: genel formun karmaşık transfer fonksiyonları:

, (1.1)

. (1.2)

Özel durumlarda, belirtilen etkiler bir dört kutuplu giriş terminallerindeki voltaj veya bu terminallerden akan akım olduğunda, aşağıdaki dört tip transfer fonksiyonu elde edilir:

– karmaşık voltaj aktarım katsayısı (aktif iki terminalli ağlar için, örneğin amplifikatörler için buna voltaj kazancı denir);

– karmaşık akım aktarım katsayısı (aktif devreler için – akım kazancı);

– karmaşık transfer direnci;

– karmaşık transfer iletkenliği.

Genellikle devre teorisinde kullanılır normalleştirilmiş veya çalışan transfer fonksiyonu dört kutuplu:

, (1.3)

(1.1) faktörü ile normalize edilerek elde edilir.

Herhangi bir karmaşık miktar gibi N açıklayıcı biçimde temsil edilebilir:

, (1.4)

karmaşık transfer fonksiyonunun modülü nerede ve j onun argümanıdır.

Karmaşık gerilim aktarım fonksiyonunu göz önünde bulundurun

(1.5)'e karmaşık etkin değerlerin gösterimini koyarsak

.

Bu ifadenin (1.4) ile karşılaştırılmasından açıkça görülmektedir ki

,

yani, karmaşık voltaj transfer fonksiyonunun (veya karmaşık voltaj kazancının) modülü, devrenin çıkışındaki harmonik voltaj salınımının etkin değerinin (genlik) devrenin girişindeki aynı değere kıyasla kaç kez değiştiğini gösterir, ve bu fonksiyonun argümanı, giriş ve çıkıştaki harmonik voltaj salınımları arasındaki faz kaymasını belirler.

Aynı şekilde şunları da bulabilirsiniz:

.

Yukarıda gerilim aktarım katsayısı ile ilgili söylenenlerin hepsi akım aktarım katsayısı için de geçerlidir.

Harmonik salınımın frekansını değiştirirsek, ifade (1.4) şu şekilde yazılmalıdır:

. (1.6)

Frekans fonksiyonu denir devrenin genlik-frekans karakteristiği(AFC). Devrenin her frekansta harmonik salınımların genliklerinde ne gibi değişiklikler yaptığını gösterir.

Frekans fonksiyonu denir devrenin faz frekansı karakteristiği(FCHH). Buna göre bu karakteristik, devre boyunca ilerledikçe her frekansın harmonik salınımının hangi faz kaymasını elde ettiğini gösterir.

Karmaşık transfer fonksiyonu cebirsel biçimde de temsil edilebilir:

burada Re ve Im karmaşık miktarın gerçek ve sanal kısımlarını belirtir.

Karmaşık büyüklükler teorisinden bilinmektedir ki

Örnek 1.1

Şekil 2'de gösterilen devrenin gerilim iletim katsayısını, frekans tepkisini ve faz tepkisini belirleyin. 1.2, A.

(1.5)’e göre yazıyoruz

Devrenin çıkışındaki karmaşık fonksiyonu bulalım:

Formülünü yerine koyarak karmaşık bir transfer fonksiyonu elde ederiz:

;

Frekans w'yi 0'dan Ґ'ya değiştirerek, devrenin frekans tepkisi ve faz tepkisinin grafiklerini görüntüleyebiliriz (Şekil 1.2, B Ve V).

Karmaşık transfer fonksiyonunun karmaşık düzlemdeki w frekansına bağımlılığını çizersek, devrenin frekans tepkisi ve faz tepkisi tek bir grafikle temsil edilebilir. Bu durumda vektörün sonu belirli bir eğriyi tanımlayacaktır. hodograf karmaşık transfer fonksiyonu (Şekil 1.3).

Uzmanlar bu kavramı sıklıkla kullanıyor logaritmik genlik-frekans karakteristiği(LAH):

.

Değerler İLE desibel (dB) cinsinden ölçülür. Yükselteç içeren aktif devrelerde değer İLE olarak da adlandırılır logaritmik kazanç. Pasif devreler için kazanç faktörü yerine kavram tanıtıldı zinciri gevşetmek:

, (1.7)

bu da desibel cinsinden ölçülür.

Örnek 1.2

Devre voltajı iletim katsayısının modülünün aşağıdaki değerleri aldığı bilinmektedir:

F= 0 kHz N(F) = 1

F= 1 kHz N(F) = 0,3

F= 2 kHz N(F) = 0,01

F= 4 kHz N(F) = 0,001

F= 8 kHz N(F) = 0,0001

Devre zayıflamasının grafiğini çizin.

(1.7)’ye göre hesaplanan zincir zayıflama değerleri tabloda verilmiştir:

F, kHz
A(F), dB

Takvim A(F) Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.4.

Kapasitans ve endüktansın karmaşık dirençleri yerine kapasitans ve endüktansın operatör dirençleriyle ilgilenirsek pL, o zaman ifadede onu şununla değiştirmeniz gerekir: R.

Zincirin operatör transfer fonksiyonu genel formda gerçek katsayılı kesirli-rasyonel fonksiyon olarak yazılabilir:

veya formda

Nerede – sıfırlar; – transfer fonksiyonunun kutupları; .

(1.8)'deki operatörün değiştirilmesi R Açık jw devrenin karmaşık transfer fonksiyonunu tekrar elde ederiz

,

devrenin frekans tepkisi nerede

İrrasyonel bir fonksiyonun ne olduğu göz önüne alındığında, genellikle devreleri analiz ederken ve sentezlerken frekans tepkisinin karesiyle ilgileniriz:

burada katsayılar, w değişkeninin aynı güçlerindeki katsayıların birleştirilmesiyle elde edilir.

Örnek 1.3

Şekil 2'de gösterilen devrenin gerilim aktarım katsayısını ve frekans tepkisinin karesini bulun. 1.5, A.

Bu devrenin voltaj transfer katsayısı eşittir

Nerede N = 1, , .

Bu rasyonel kesrin payının kökleri, yani transfer fonksiyonunun sıfırları,

.

Paydanın kökleri veya transfer fonksiyonunun kutupları,

.

İncirde. 1.5, B fonksiyonun sıfırlarının ve kutuplarının konumunu gösterir. .

Vieta teoremine göre

.

Genlik-frekans tepkisi değiştirilerek belirlenir. R ortaya çıkan fonksiyonun modülünün açıklanması ve hesaplanması

.

Frekans cevabının karesi şu şekilde yazılacaktır:

Nerede ; ;

.

Devrenin frekans tepkisi Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.5, V.

Operatör transfer fonksiyonlarının temel özelliklerini ve pasif devrelerin kare frekans yanıtını sıralayalım:

1. Transfer fonksiyonu gerçek katsayılı kesirli-rasyonel bir fonksiyondur. Katsayıların önemliliği devre elemanları tarafından belirlenmeleri ile açıklanmaktadır.

2. Transfer fonksiyonunun kutupları karmaşık değişkenin sol yarı düzleminde bulunur R. Sıfırların konumu konusunda herhangi bir kısıtlama yoktur. Örnek olarak transfer fonksiyonunu kullanarak bu özelliği kanıtlayalım. Giriş eylemini veya operatör formunda seçelim. Bu durumda çıkış voltajının görüntüsü sayısal olarak eşittir, yani.

transfer fonksiyonunun payının polinomu nerede; – kesirli bir rasyonel fonksiyonun basit kesirlerin toplamına genişleme katsayıları.

Görüntüden orijinaline geçelim:

genel durumda nerede .

Pasif ve kararlı aktif dört kutuplularda, etkinin sona ermesinden sonra dört kutuplu çıkışındaki salınımların sönümlü bir karaktere sahip olması gerekir. Bu, (1.13)'te kutupların gerçek kısımlarının negatif olması gerektiği anlamına gelir; yani kutuplar, değişkenin sol yarı düzleminde olmalıdır. R.

3. Transfer fonksiyonunun paylarının polinomlarının dereceleri ve frekans cevabının karesi, paydaların polinomlarının derecelerini aşmaz; N F M. Bu özellik yerine getirilmeseydi, sonsuz yüksek frekanslarda frekans tepkisi sonsuz zaman alırdı. büyük önem(çünkü pay, artan frekansla paydadan daha hızlı büyüyecektir), yani devrenin sonsuz kazancı olacaktır, bu da fiziksel anlamla çelişir.

4. Kare frekans tepkisi, w değişkeninin gerçek katsayılı eşit rasyonel bir fonksiyonudur. Bu özellik açıkça transfer fonksiyonundan kare frekans cevabının elde edilmesi yönteminden kaynaklanmaktadır.

5. Kare frekans tepkisi, w > 0 için negatif ve sonsuz büyük değerler alamaz. Negatif olmama, karmaşık bir miktarın kare modülünün özelliklerinden kaynaklanır. Gerçek frekanslarda frekans tepkisi değerlerinin sonluluğu, özellik 3'te olduğu gibi açıklanmaktadır.

Çoğu bağımlı kaynak devresinde en az iki sinyal yolu bulunur: ileri (girişten çıkışa) ve geri (çıkıştan girişe). Ters sinyal yolu özel bir devre kullanılarak uygulanır geri bildirim(İŞLETİM SİSTEMİ). Bu tür birkaç yol ve dolayısıyla işletim sistemi devreleri olabilir. Bağımlı kaynaklara sahip devrelerde işletim sisteminin varlığı, onlara işletim sistemi olmayan devrelerin sahip olmadığı yeni değerli nitelikler kazandırır. Örneğin, işletim sistemi devrelerini kullanarak devrenin çalışma modunun sıcaklık stabilizasyonunu sağlamak, doğrusal olmayan elemanlara sahip devrelerde meydana gelen doğrusal olmayan bozulmaları azaltmak vb. mümkündür.

Geri beslemeli herhangi bir devre, iki adet dört terminalli ağdan oluşacak şekilde temsil edilebilir (Şekil 1.6).

Gerilim aktarım işlevine sahip aktif bir doğrusal iki bağlantı noktalı ağ bir amplifikatördür. Bazen devrenin ana elemanı olarak adlandırılır ve doğrudan amplifikasyon kanalını oluşturduğu söylenir.

Gerilim aktarım fonksiyonuna sahip pasif dört terminalli bir ağa geri besleme devresi denir. Devrenin girişinde giriş voltajı ve geri besleme voltajı toplanır.

Şekil 2'de gösterilen devrenin voltajı için transfer fonksiyonu formülünü türetelim. 1.6. Girişe voltaj uygulanmasına izin verin. Onun kamera görüntüsü. Devrenin çıkışında bir voltaj belirir. Şek. 1.6 kamera görüntüsü

Operatör görüntüsü, geri besleme devresinin transfer fonksiyonu aracılığıyla yazılabilir.

Daha sonra ifade (1.14) şu şekilde yeniden yazılabilir:

OS ile devre voltajı için operatör transfer fonksiyonu (bkz. Şekil 1.6).

. (1.16)

Örnek 1.4

İncirde. Şekil 1.7, voltaj ölçeklendirme için tasarlanmış bir işlemsel yükselteç (OPA) devresini göstermektedir. Bu devrenin transfer fonksiyonunu bulunuz.

Bu devrenin transfer fonksiyonunu formül (1.16) kullanarak geri besleme devresi olarak elde edelim.

Şekil 2'deki diyagramdaki geri besleme devresi. 1.7, dirençli dirençlerden oluşan L şeklinde bir voltaj bölücü görevi görür ve. Amplifikatörün çıkış voltajı OS devresinin girişine sağlanır; İşletim sistemi voltajı dirençten çıkarılır. OS devre voltajı için aktarım fonksiyonu

Formül (1.16)'yı kullanalım ve giriş voltajı ile geri besleme voltajının toplanmadığını, çıkarıldığını dikkate alalım. Daha sonra ölçek amplifikatörünün transfer fonksiyonunu elde ederiz:

.

Gerçek op-amp'lerde >> 1 değerinin olduğu göz önüne alındığında, sonunda şunu elde ederiz:

Örnek 1.5

Frekansa bağlı geri beslemeli bir op-amp üzerindeki bağlantı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.8. Bu bağlantının transfer fonksiyonunu bulun.

Doğrudan sinyal yolunu ve OS sinyal yolunu analiz etmek için süperpozisyon yöntemini kullanmak gerekir. Bunu yapmak için, giriş voltajı ve geri besleme voltajı kaynaklarını dönüşümlü olarak ortadan kaldırarak bunları iç dirençle değiştirmelisiniz. İdeal gerilim kaynaklarının iç dirençleri sıfırdır. Bağlantıya uygulanan voltaj, omuzlarda dirençlere sahip L şeklinde bir voltaj bölücü olan giriş devresi tarafından zayıflatılır. Böyle bir bölücünün voltaj transfer fonksiyonu şuna eşittir:

Geri besleme devresi aynı zamanda transfer fonksiyonuna sahip L şeklinde dört portlu bir ağdır.

Op-amp kazancı.

Formül (1.16)'ya uygun olarak bağlantı aktarım fonksiyonunu elde ederiz:

>> 1 olduğunu düşünürsek, şunu elde ederiz:

.

Bu bağlantı, direnç türüne ve bağlı olarak çeşitli işlevleri yerine getirebilir. Ve bağlantı, ters çevrilmiş ölçekli bir amplifikatöre dönüşür; ve – entegratöre; ve – farklılaştırıcıya.

Örnek 1.6

Ayarlanabilir kazancı olan ikinci dereceden bir bağlantı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.9, A. Bu bağlantının transfer fonksiyonunu bulun.

Giriş sinyalinin ve OS devresindeki sinyalin geçişinin analizi, bağlantının Şekil 2'de gösterilen bir giriş devresine sahip olduğunu gösterir. 1.9, B ve Şekil 2'de gösterilen işletim sistemi devresi. 1.9, V. Bu devrelerin transfer fonksiyonları elde edilebilir. matris yöntemiörneğin, her devreyi karşılık gelen L şeklindeki dört kutupluların kademeli bağlantısı olarak düşünmek.

Giriş devresi için

İşletim sistemi devresi için

. (1.18)

(1.16)’yı hesaba katarak bağlantı aktarım fonksiyonunu elde ederiz.

. (1.19)

Amplifikatör kazancı. Daha sonra, (1.17) ve (1.18)'i (1.19)'da yerine koyarsak, dönüşümden sonra elde ettiğimiz dönüşüm

.

Operatörden (1.16)’ya geçiş R operatöre karmaşık bir transfer fonksiyonu elde ederiz

. (1.20)

Ürün, geri beslemenin kesilmesi koşuluyla amplifikatörün ve geri besleme devresinin karmaşık transfer fonksiyonudur (Şekil 1.10). İşleve işletim sistemi döngü aktarım işlevi denir veya döngü kazancı. Olumlu ve olumsuz geri bildirim kavramlarını tanıtalım. Bu kavramlar geri besleme devreleri teorisinde önemli bir rol oynamaktadır.

Öncelikle transfer fonksiyonlarının frekansa bağlı olmadığını ve reel sayılar olduğunu varsayalım. Bu durum hiçbir şey olmadığında mümkündür. LC-elementler. Bu hem olumlu hem de negatif sayı. İlk durumda, giriş ve çıkış gerilimleri arasındaki faz kayması veya başka bir deyişle geri besleme döngüsü boyunca faz kayması sıfır veya 0'dır. k= 0, 1, 2, ... İkinci durumda, bu döngü boyunca faz kayması veya'ya eşittir.

Geri beslemeli bir devrede döngü boyunca faz kayması sıfır ise, bu durumda geri besleme denir pozitif, eğer faz kayması eşitse, bu tür geri besleme denir olumsuz.

Transfer fonksiyonu vektörler olarak temsil edilebilir ve karmaşık düzlemde gösterilebilir. Pozitif geri besleme ile vektör pozitif gerçek yarı eksen üzerindedir ve negatif geri besleme ile negatif gerçek yarı eksen üzerindedir.

Vektörün ucunun w frekansı değişiklikleri olarak tanımladığı eğriye (Şekil 1.11), bilindiği gibi hodograf denir.

Hodograf formundaki temsil, frekansa bağlı geri bildirim durumunda geri bildirimin tipinin belirlenmesine olanak tanır.

Kararlı ve kararsız zincir kavramlarını tanıtalım. Zincir denir sürdürülebilir, eğer serbest salınımlar zamanla sıfıra eğilimliyse. Aksi takdirde zincir çağrılır dengesiz. Geçici süreçler teorisinden, karakteristik denklemin kökleri karmaşık değişken p'nin sol yarı düzleminde yer alıyorsa zincirin kararlı olduğu sonucu çıkar. Böyle bir denklemin kökleri sağ yarı düzlemde bulunuyorsa, devre kararsızdır, yani kendi kendini uyarma modundadır. Dolayısıyla bir zincirin stabilite koşullarını belirlemek için karakteristik denklemi ve köklerini bulmak yeterlidir. Görüldüğü gibi geri besleme kavramı devreye girmeden de kararlılık koşulları belirlenebilmektedir. Ancak burada bir takım sorunlar ortaya çıkıyor. Gerçek şu ki, karakteristik denklemin türetilmesi ve köklerinin belirlenmesi, özellikle devreler için zahmetli bir prosedürdür. yüksek sipariş. Geri bildirim kavramının tanıtılması, karakteristik denklemin elde edilmesini kolaylaştırır, hatta onsuz yapmayı mümkün kılar. Geri bildirim kavramının devrede meydana gelen fiziksel süreçlere yeterli olması, böylece daha net ortaya çıkması da son derece önemlidir. Fiziksel süreçlerin derinlemesine anlaşılması, kendi kendine osilatörlerin, yükselticilerin vb. oluşturulmasını kolaylaştırır.

Devreyi ele alalım (bkz. Şekil 1.6) ve karakteristik denklemini türetelim. Let ve bu nedenle . Daha sonra (1.15)'ten şu sonuç çıkar:

. (1.22)

Ana devrenin transfer fonksiyonunu formda yazarsak ve OS devreleri ise, denklem (1.22) aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

Bu eşitlik şu durumlarda geçerlidir:

Bu eşitliğin sol tarafındaki ifade bir polinom olduğundan (1.23) genel biçimde yazılabilir:

Bu devrenin karakteristik denklemidir.

Genel durumda denklemin (1.24) kökleri karmaşık niceliklerdir

Nerede . Karakteristik denklemin köklerini bilerek çıkış gerilimini yazabiliriz:

Gerilimin sınırsızca artmaması için tüm kökler Karakteristik denklemin negatif gerçek kısımları olmalıdır, yani kökler karmaşık değişkenin sol yarı düzleminde yer almalıdır. Bu özelliklere sahip bir işletim sistemine sahip bir devreye kesinlikle kararlı denir.

Kapalı döngü devreleri incelerken iki sorun ortaya çıkabilir. Tasarlanan devrenin kararlı olması gerekiyorsa, fonksiyonların türüne bağlı olarak, karakteristik denklemin sağ yarı düzlemdeki köklerinin yokluğuna karar verilmesine izin verecek bir kritere sahip olmak gerekir. R. Kararsız, kendi kendine salınan bir devre oluşturmak için geri bildirim kullanılıyorsa, o zaman denklemin (1.24) köklerinin tam tersine sağ yarı düzlemde bulunduğundan emin olmalısınız. Bu durumda, kendi kendini uyarmanın gerekli frekansta gerçekleşeceği böyle bir kök düzenlemesine sahip olmak gerekir.

Nyquist kriteri olarak adlandırılan ve açık devrenin özelliklerine dayalı olarak bir devrenin kararlılığını geri bildirimle değerlendirmemize olanak tanıyan, bir devrenin kararlılığı için bir kriteri ele alalım (Şekil 1.10).

Açık devre transfer fonksiyonu veya döngü kazancı karakteristik denkleme (1.22) dahil edilmiştir:

, (1.26)

Vektörün sonunun koordinatları (1,) olan noktaya denk geldiği bir w frekansı varsa, J 0), o zaman bu, (1.26) koşulunun karşılandığı anlamına gelecektir, yani devrede bu frekansta kendi kendine uyarılma meydana gelecektir. Bu, hodografın zincirin stabil olup olmadığını belirlemek için kullanılabileceği anlamına gelir. Bu amaçla aşağıdaki şekilde formüle edilen Nyquist kriteri kullanılmaktadır: açık devre transfer fonksiyonunun hodografı koordinatlı noktayı kapsamıyorsa(1, J 0), daha sonra kapalı bir geri besleme devresi ile devre stabildir. Hodografın noktayı kapsaması durumunda (1, j X 1 iki koşul şeklinde yazılabilir: sabit modda. İLE= 2, eğri 1) ve kararsız ( İLE= 3, eğri 2; İLE= 4, zincirin 3) eğrisi.

Kendi kendine test için sorular ve görevler

1. Karmaşık transfer fonksiyonu nedir? Dört kutuplu bir ağın ne tür karmaşık transfer fonksiyonları bilinmektedir?

2. Şekil 2'de gösterilen devrenin gerilim iletim katsayısını, frekans tepkisini ve faz tepkisini belirleyin. 1.2, Açıkış voltajı direnç üzerindeki voltaj ise R. Frekans tepkisi ve faz tepkisinin grafiklerini oluşturun.

Cevap: ; ; 90° – arktan w R.C..

3. Endüktansın boyuna dalda yer aldığı U şeklinde dört bağlantı noktalı bir ağ için yüksüz durumdaki gerilim aktarım katsayısını ve kısa devre sırasında akım aktarım katsayısını belirleyin. L ve enine dallarda - kapasite İLE. Cevap: .

4. Devrenin neden olduğu zayıflamayı belirleyin. 1.2, A, en R= 31,8 kOhm ve = 10 kOhm.

Cevap: 12 dB.

5. Operatör transfer fonksiyonu nedir? Karmaşık transfer fonksiyonuyla nasıl bir ilişkisi var? Operatör transfer fonksiyonunun sıfırları ve kutupları nasıl belirlenir?

6. Şekil 2'de gösterilen seri salınım devresinin operatör transfer fonksiyonunu, karmaşık gerilim transfer katsayısını, frekans tepkisini ve frekans tepkisinin karesini belirleyin. 1.5, Açıkış voltajı kapasitör üzerindeki voltaj ise İLE. Devrenin frekans tepkisinin bir grafiğini çizin.

Cevap: ; .

7. Pasif devrelerin operatör transfer fonksiyonlarının temel özelliklerini listeler.

8. Kapalı çevrim devrenin transfer fonksiyonu nasıl hesaplanır?

9. İşlemsel yükselteçteki türevleyicinin operatör transfer fonksiyonunun (– Çin Halk Cumhuriyeti). Böyle bir farklılaştırıcının frekans tepkisinin bir grafiğini oluşturun.

11. Şekil 2’de gösterilen filtrenin transfer fonksiyonunu belirleyiniz. 1.13.

Cevap: .

12. Döngü kazancı hodografı nedir? Hodograf kullanarak geri bildirimin türü nasıl belirlenir?

13. Nyquist stabilite kriteri nasıl formüle edilmiştir? Hangi devrelerde kullanılır?

14. Şekil 2'de gösterilen açık devrenin karmaşık transfer fonksiyonunu belirleyin. 1.13. Devre kararlılığının kazanç değerine bağımlılığını keşfedin İLE.

LİNEER SİSTEMLER

OTOMATİK KONTROL

Yayınevi Omsk Devlet Teknik Üniversitesi

Eğitim ve Bilim Bakanlığı Rusya Federasyonu

Durum Eğitim kurumu

daha yüksek mesleki Eğitim

"Omsk Devlet Teknik Üniversitesi"

LİNEER SİSTEMLER

OTOMATİK KONTROL

Pratik çalışma için yönergeler

Yayınevi Omsk Devlet Teknik Üniversitesi

Tarafından düzenlendi E. V. Shendaleva, Ph.D. teknoloji. bilimler

Yayın şunları içerir: yönergeler Otomatik kontrol teorisi üzerine pratik çalışmalar yapmak.

“Otomatik Kontrolün Temelleri” disiplinini inceleyen 200503 “Standartlaştırma ve Sertifikasyon” uzmanlık öğrencilerine yöneliktir.

Yayın ve yayın kurulu kararıyla yayımlanır

Omsk Devlet Teknik Üniversitesi

© GOU VPO "Omsk Eyaleti

Teknik Üniversite", 2011

Standardizasyon ve sertifikasyon uzmanları için yönetim teorisi metodolojisini kullanma ihtiyacı, aşağıdakileri belirlerken ortaya çıkar:

1) nesnenin modellenmesi sırasında çalışması sırasında üzerindeki etkinin bir sonucu olarak test nesnesinin özelliklerinin niceliksel ve (veya) niteliksel özellikleri ve (veya) değişim yasası otomatik olarak sağlanması gereken etkiler kontrol sistemi;

2) ölçüm ve test nesnesinin dinamik özellikleri;

3) ölçüm cihazlarının dinamik özelliklerinin nesnenin ölçüm ve test sonuçlarına etkisi.

Nesneleri inceleme yöntemleri pratik çalışmalarda tartışılmaktadır.

Pratik çalışma 1

Dinamik işlevler

Egzersiz yapmak 1.1

Ağırlıklandırma fonksiyonunu bulun w(T) bilinen geçiş fonksiyonuna göre

H(T) = 2(1–e –0,2 T).

Çözüm

w(T)=H¢( T), bu nedenle, orijinal ifadenin türevini alırken

w(T)=0,4e –0,2 T .

Egzersiz yapmak 1.2

Diferansiyel denklem 4'ü kullanarak sistemin transfer fonksiyonunu bulun sen¢¢( T) + 2sen¢( T) + 10sen(T) = 5X(T). Başlangıç ​​koşulları sıfırdır.

Çözüm

Diferansiyel denklem, terimin katsayısına bölünerek standart forma dönüştürülür. sen(T)

0,4sen¢¢( T) + 0,2sen¢( T) + sen(T) = 0,5X(T).

Ortaya çıkan denklem Laplace'a göre dönüştürülür

0,4S 2 sen(S) + 0,2evet(S) + sen(S) = 0,5X(S)

ve sonra bir transfer fonksiyonu olarak yazılır:

Nerede S= bir + Ben w Laplace operatörüdür.

Egzersiz yapmak 1.3

Transfer fonksiyonunu bulun K(S) bilinen bir ağırlık fonksiyonunu kullanan sistemler w(T)=5–T.

Çözüm

Laplace dönüşümü

. (1.1)

Transfer fonksiyonu ile ağırlıklandırma fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kullanma K(S) = w(S), elde ederiz

.

Laplace dönüşümü hesaplama (1.1), Laplace dönüşüm tabloları kullanılarak veya paket kullanılarak elde edilebilir. yazılım Matlab. Matlab'daki program aşağıda verilmiştir.

syms t

x=5-t% zaman fonksiyonu

y=laplace(x)% Laplace dönüştürülmüş fonksiyon.

Egzersiz yapmak 1.4

Sistemin transfer fonksiyonunu kullanarak, tek adımlı bir eyleme (geçiş fonksiyonu) tepkisini bulun.

.

Çözüm

Ters Laplace dönüşümü

, (1.2)

c yakınsamanın apsisi nerede X(S).

Lineer sistemler için geçerli olan süperpozisyon prensibine göre

H(T)=H 1 (T)+H 2 (T),

Nerede H(T) – tüm sistemin geçiş fonksiyonu;

H 1 (T) – entegre bağlantının geçiş fonksiyonu

;

H 2 (T) – amplifikatör bölümünün geçici fonksiyonu

.

biliniyor ki H 1 (T)=k 1× T, H 2 (T)=k 2 ×δ( T), Daha sonra H(T)=k 1× T+k 2 ×δ( T).

Ters Laplace dönüşümü hesaplama (1.2), Laplace dönüşüm tabloları kullanılarak veya Matlab yazılım paketi kullanılarak elde edilebilir. Matlab'daki program aşağıda verilmiştir.

syms k1 k2% sembolik değişken tanımı

y=k1/s+k2% Laplace dönüştürülmüş işlevi

x=ilaplace(y)% zaman fonksiyonu.

Egzersiz yapmak 1.5

Sistemin bilinen transfer fonksiyonunu kullanarak genlik-frekans ve faz-frekans özelliklerini bulun

.

Çözüm

Genlik-frekans (AFC) ve faz-frekans karakteristiklerini (PFC) belirlemek için transfer fonksiyonundan genlik-faz karakteristiğine geçmek gerekir. K(Ben w), neden argümanı değiştirelim? S → Ben w

.

Daha sonra AFC'yi formda temsil edin K(Ben w)= P(w)+ iQ(w), nerede P(w) – gerçek kısım, Q(w) AFC'nin sanal kısmıdır. AFC'nin gerçek ve sanal kısımlarını elde etmek için pay ve paydayı şu şekilde çarpmak gerekir: karmaşık sayı, paydadaki ifadeye eşlenik:

Frekans tepkisi ve faz tepkisi sırasıyla formüllerle belirlenir.

, ;

,

Genlik fazı karakteristiği K(J w) şeklinde temsil edilebilir

.

Egzersiz yapmak 1.6

Sinyali tanımla sen(T) bilinen bir giriş sinyaline ve sistemin transfer fonksiyonuna dayalı olarak sistemin çıkışında

X(T)=2sin10 T; .

Bir giriş sinyaline maruz kaldığında bilinmektedir. X(T)=B günah T Sisteme çıkış sinyali sen(T) aynı zamanda harmonik olacaktır ancak giriş genliği ve fazından farklı olacaktır.

sen(T) = B× A(w)günah

Nerede A(w) – sistemin frekans tepkisi; j(w) – sistemin faz tepkisi.

Transfer fonksiyonunu kullanarak frekans tepkisini ve faz tepkisini belirleriz

j(w)=–arctg0.1w.

w = 10s –1 frekansında A(10) = 4/ = 2 ve j(10) = –arctg1=–0,25p.

Daha sonra sen(T) = 2×2 günah(10 T–0,25p) = 4 günah(10 T–0,25p).

Kontrol soruları :

1. Ağırlık fonksiyonu kavramını tanımlayın.

2. Geçiş fonksiyonu kavramını tanımlayın.

3. Dinamik bağlantıları tanımlarken Laplace dönüşümü hangi amaçla kullanılır?

4. Hangi denklemlere doğrusal diferansiyel denir?

5. Operatör formundaki bir denkleme geçerken orijinal diferansiyel denklem hangi amaçla standart forma dönüştürülür?

6. Hayali sayı içeren ifade genlik-faz karakteristiğinin paydasından nasıl çıkarılır?

7. Matlab yazılım paketinde doğrudan Laplace dönüşümü komutunu belirtin.

8. Matlab yazılım paketinde ters Laplace dönüşümü komutunu belirtin.

Pratik çalışma 2

Aktarım işlevleri

Egzersiz yapmak 2.1

Sistemin transfer fonksiyonunu yapısal diyagramına göre bulun.

Çözüm

Blok diyagramlardaki bağlantıları bağlamanın ana yöntemleri şunlardır: paralel, seri ve geri beslemeli bağlantı bağlantıları (bağlantıların tipik bölümleri).

Paralel bağlı bağlantılar sisteminin transfer fonksiyonu, bireysel bağlantıların transfer fonksiyonlarının toplamına eşittir (Şekil 2.1)

. (2.1)

Pirinç. 2.1. Bağlantıların paralel bağlantısı

Seri bağlı bağlantılar sisteminin transfer fonksiyonu, bireysel bağlantıların transfer fonksiyonlarının çarpımına eşittir (Şekil 2.2)

(2.2)

Pirinç. 2.2. Bağlantıların seri bağlantısı

Geri bildirim, bir sinyalin bir bağlantının çıkışından girişine aktarılmasıdır; burada geri besleme sinyali harici bir sinyalle cebirsel olarak toplanır (Şekil 2.3).

Pirinç. 2.3 Geribildirim ile bağlantı: a) pozitif, b) negatif

Pozitif geri besleme bağlantısının aktarım işlevi

, (2.3)

negatif geri besleme bağlantısının transfer fonksiyonu

. (2.4)

Transfer fonksiyonunun tanımı Kompleks sistem Yönetim aşamalar halinde gerçekleştirilir. Bunu yapmak için seri, paralel bağlantılar ve geri beslemeli bağlantılar içeren bölümler tanımlanır (tipik bağlantı bölümleri) (Şekil 2.4)

K 34 (S)=K 3 (S)+K 4 (S); .

Pirinç. 2.4. Kontrol sisteminin blok şeması

Daha sonra seçilen tipik bağlantı bölümü, hesaplanan transfer fonksiyonuna sahip bir bağlantı ile değiştirilir ve hesaplama prosedürü tekrarlanır (Şekil 2.5 - 2.7).

Pirinç. 2.5. Paralel ve kapalı çevrim bağlantıların tek bağlantıyla değiştirilmesi

Pirinç. 2.6. Geri bildirim bağlantısını tek bağlantıyla değiştirme

Pirinç. 2.7. Seri bağlantıyı tek bağlantıyla değiştirme

(2.5)

Egzersiz yapmak 2.2

Eğer onu oluşturan parçaların transfer fonksiyonları şu şekilde ise transfer fonksiyonunu belirleyin:

Çözüm

Bağlantıların transfer fonksiyonlarını (2.5)'e koyarken

Blok diyagramın giriş kontrol eylemine göre dönüşümü (Şekil 2.7, 2.11), hesaplama (2.5) veya Matlab yazılım paketi kullanılarak elde edilebilir. Matlab'daki program aşağıda verilmiştir.

W1=tf(,)% İletim fonksiyonu K 1

W2=tf(,)% İletim fonksiyonu K 2

W3=tf(,)% İletim fonksiyonu K 3

W4=tf(,)% İletim fonksiyonu K 4

W5=tf(,)% İletim fonksiyonu K 5

W34=paralel(W3,W4)% paralel bağlantı ( K 3 + K 4)

W25=geribildirim(W2,W5)

W134=geribildirim(W1,W34)% olumsuz geribildirim

W12345=seri(W134,W25)% seri bağlantı ( K 134× K 25)

W=geribildirim(W12345,1)

Egzersiz yapmak 2.3.

Kapalı çevrim sistemin bozulmaya dayalı transfer fonksiyonunu bulun

Çözüm

Karmaşık bir sistemin aktarım fonksiyonunu rahatsız edici bir etkiden belirlemek için, onu basitleştirmek ve rahatsız edici girdi etkisine göre değerlendirmek gerekir (Şekil 2.8 - 2.12).

Şekil 2.8. Otomatik sistemin ilk blok şeması

Pirinç. 2.9. Blok diyagramın basitleştirilmesi

Pirinç. 2.10. Basitleştirilmiş blok diyagram

Pirinç. 2.11. Giriş kontrol eylemine göre blok diyagram

Pirinç. 2.12. Rahatsız edici etkiye göre sistemin blok diyagramı

Yapısal diyagramı tek devreli hale getirdikten sonra bozucu etkinin transfer fonksiyonu F(T)

(2.6)

Yapısal diyagramın rahatsız edici etkiye göre dönüşümü (Şekil 2.12), hesaplama (2.6) veya Matlab yazılım paketi kullanılarak elde edilebilir.

W1=tf(,)% İletim fonksiyonu K 1

W2=tf(,)% İletim fonksiyonu K 2

W3=tf(,)% İletim fonksiyonu K 3

W4=tf(,)% İletim fonksiyonu K 4

W5=tf(,)% İletim fonksiyonu K 5

W34=paralel(W3,W4)% paralel bağlantı

W25=geribildirim(W2,W5)% olumsuz geribildirim

W134=geribildirim(W1,W34)% olumsuz geribildirim

Wf=geribildirim(W25,W134)% olumsuz geribildirim.

Egzersiz yapmak 2. 4

Hata için kapalı çevrim sistem transfer fonksiyonunu belirleyin.

Çözüm

Bir kapalı çevrim sisteminin bir kontrol hatası için transfer fonksiyonunun belirlenmesine yönelik bir blok diyagram Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.13.

Pirinç. 2.13. Kontrol hatasına ilişkin sistemin blok diyagramı

Hata için kapalı döngü transfer fonksiyonu

(2.7)

Değiştirirken Sayısal değerler

Blok diyagramın kontrol hata sinyaline göre dönüşümü (Şekil 2.13), hesaplama (2.7) veya Matlab yazılım paketi kullanılarak elde edilebilir.

W1=tf(,)% İletim fonksiyonu K 1

W2=tf(,)% İletim fonksiyonu K 2

W3=tf(,)% İletim fonksiyonu K 3

W4=tf(,)% İletim fonksiyonu K 4

W5=tf(,)% İletim fonksiyonu K 5

W34=paralel(W3,W4)% paralel bağlantı)

W25=geribildirim(W2,W5)% olumsuz geribildirim

W134=geribildirim(W1,W34)% olumsuz geribildirim

Biz=geribildirim(1,W134*W25)% olumsuz geribildirim

Kontrol soruları:

1. Blok diyagramlardaki bağlantıları bağlamanın ana yollarını listeleyin.

2. Paralel bağlantılı bağlantılardan oluşan bir sistemin transfer fonksiyonunu belirleyin.

3. Seri bağlantılı bağlantılardan oluşan bir sistemin transfer fonksiyonunu belirleyin.

4. Pozitif geri besleme transfer fonksiyonunu tanımlayın.

5. Negatif geri besleme transfer fonksiyonunu tanımlayın.

6. İletişim hattının transfer fonksiyonunu belirleyin.

7. Paralel bağlı iki bağın transfer fonksiyonunu belirlemek için hangi Matlab komutu kullanılır?

8. Seri bağlantılı iki bağlantının transfer fonksiyonunu belirlemek için hangi Matlab komutu kullanılır?

9. Geri besleme kapsamındaki bir bağlantının transfer fonksiyonunu belirlemek için hangi Matlab komutu kullanılır?

10. Kontrol eyleminin transfer fonksiyonunu belirlemek için sistemin blok diyagramını çizin.

11. Kontrol eyleminin transfer fonksiyonunu yazın.

12. Bozucu parametreye dayalı transfer fonksiyonunu belirlemek için sistemin blok diyagramını çizin.

13. Bozucu parametrenin transfer fonksiyonunu yazınız.

14. Kontrol hatasının transfer fonksiyonunu belirlemek için sistemin blok diyagramını çizin.

15. Kontrol hatasının transfer fonksiyonunu yazınız.

Pratik çalışma 3

Karmaşık bir transfer fonksiyonunun ayrıştırılması