Hadi düşünelim doğrusal cebirsel denklem sistemi(SLAU) nispeten N Bilinmeyen X 1 , X 2 , ..., X N :
Bu sistem “daraltılmış” biçimde şu şekilde yazılabilir:
S N ben=1 A ben X J = b Ben , i=1,2, ..., n.
Matris çarpımı kuralına uygun olarak, ele alınan sistem doğrusal denklemler içine yazılabilir matris formu Balta=b, Nerede
,
,.
Matris Aİlgili denklemde sütunları karşılık gelen bilinmeyenlerin katsayıları, satırları ise bilinmeyenlerin katsayıları olan denkleme denir. sistemin matrisi. Sütun matrisi B Elemanları sistem denklemlerinin sağ tarafları olan matrise sağ taraf matrisi veya basitçe denir. sistemin sağ tarafı. Sütun matrisi X Elemanları bilinmeyen bilinmeyenler olan şeye denir sistem çözümü.
şeklinde yazılmış bir doğrusal cebirsel denklem sistemi Balta=b, dır-dir matris denklemi.
Sistem matrisi ise dejenere olmayan, o zaman o var ters matris ve sonra sistemin çözümü Balta=b aşağıdaki formülle verilir:
x=A -1 B.
Örnek Sistemi çöz 
matris yöntemi.
Çözüm sistemin katsayı matrisinin ters matrisini bulalım
İlk satır boyunca genişleterek determinantı hesaplayalım:
Çünkü Δ ≠ 0 , O A -1 var.
Ters matris doğru bulundu.
Sisteme bir çözüm bulalım 
Buradan, X 1 = 1, x 2 = 2,x 3 = 3 .
Muayene: 
7. Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin uyumluluğuna ilişkin Kronecker-Capelli teoremi.
Doğrusal denklem sistemişu forma sahiptir:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Burada a i j ve b i (i = ; j = ) verilmiştir ve x j bilinmeyen gerçek sayılardır. Matrislerin çarpımı kavramını kullanarak sistemi (5.1) şu şekilde yeniden yazabiliriz:
burada A = (a i j), sistemin (5.1) bilinmeyenleri için katsayılardan oluşan bir matristir; buna denir sistemin matrisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T sırasıyla bilinmeyenler x j ve serbest terimler b i'den oluşan sütun vektörleridir.
Sipariş edilen koleksiyon N reel sayılara (c 1, c 2,..., c n) denir sistem çözümü(5.1), eğer bu sayıların karşılık gelen x 1, x 2,..., xn değişkenleri yerine konulması sonucunda sistemin her denklemi bir aritmetik kimliğe dönüşürse; başka bir deyişle, AC B olacak şekilde bir C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektörü varsa.
Sistem (5.1) çağrılır eklem yeri, veya çözülebilir, en az bir çözümü varsa. Sistem denir uyumsuz, veya çözülemez, eğer hiçbir çözümü yoksa.
,
A matrisinin sağ tarafına serbest terimlerden oluşan bir sütun atanarak oluşturulan matrise denir Sistemin genişletilmiş matrisi.
Sistemin (5.1) uyumluluğu sorunu aşağıdaki teorem ile çözülür.
Kronecker-Capelli teoremi . Bir doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak A veA matrislerinin sıralarının çakışması durumunda tutarlıdır; r(A) = r(A) = r.
(5.1) sisteminin M çözüm kümesi için üç olasılık vardır:
1) M = (bu durumda sistem tutarsızdır);
2) M bir elementten oluşur, yani. sistemin benzersiz bir çözümü vardır (bu durumda sistem denir) kesin);
3) M birden fazla elemandan oluşur (bu durumda sistem denir) belirsiz). Üçüncü durumda (5.1) sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Sistemin tek çözümü ancak r(A) = n ise vardır. Bu durumda denklem sayısı bilinmeyen sayısından (mn) az değildir; eğer m>n ise m-n denklemleri diğerlerinin sonuçlarıdır. 0 ise Rastgele bir doğrusal denklem sistemini çözmek için, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu sistemleri çözebilmeniz gerekir - buna sözde Kramer tipi sistemler: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemler (5.3) aşağıdaki yollardan biriyle çözülür: 1) Gauss yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi; 2) Cramer'in formüllerine göre; 3) matris yöntemi. Örnek 2.12. Denklem sistemini inceleyin ve tutarlıysa çözün: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz:
Sistemin ana matrisinin rütbesini hesaplayalım. Örneğin sol üst köşedeki ikinci dereceden minörün = 7 0 olduğu açıktır; onu içeren üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir: Sonuç olarak, sistemin ana matrisinin sıralaması 2'dir, yani. r(A) = 2. Genişletilmiş matris A'nın sırasını hesaplamak için sınırdaki küçük değeri dikkate alın bu, genişletilmiş matris r(A)'nın rütbesinin = 3 olduğu anlamına gelir. r(A) r(A) olduğundan sistem tutarsızdır. İlk bölümde bazı teorik materyallere, yerine koyma yöntemine ve sistem denklemlerinin terim terim eklenmesi yöntemine baktık. Bu sayfa aracılığıyla siteye erişen herkesin ilk bölümü okumasını tavsiye ederim. Belki bazı ziyaretçiler materyali çok basit bulacaktır, ancak doğrusal denklem sistemlerini çözme sürecinde genel olarak matematik problemlerinin çözümüne ilişkin çok önemli yorumlar ve sonuçlar çıkardım. Şimdi Cramer kuralını analiz etmenin yanı sıra ters matris (matris yöntemi) kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözeceğiz. Tüm materyaller basit, ayrıntılı ve net bir şekilde sunulmaktadır; neredeyse tüm okuyucular yukarıdaki yöntemleri kullanarak sistemlerin nasıl çözüleceğini öğrenebilecektir. İlk olarak, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi için Cramer kuralına daha yakından bakacağız. Ne için? – Sonuçta en basit sistem okul yöntemiyle, dönem dönem toplama yöntemiyle çözülebilir! Gerçek şu ki, bazen de olsa böyle bir görev ortaya çıkıyor - iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini Cramer formüllerini kullanarak çözmek. İkinci olarak, daha basit bir örnek, Cramer kuralını daha karmaşık bir durum için (üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem) nasıl kullanacağınızı anlamanıza yardımcı olacaktır. Ek olarak, Cramer kuralı kullanılarak çözülmesi tavsiye edilen iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri de vardır! Denklem sistemini düşünün İlk adımda determinantı hesaplıyoruz, buna denir sistemin ana belirleyicisi. Gauss yöntemi. Eğer ise sistemin tek bir çözümü vardır ve kökleri bulmak için iki determinantı daha hesaplamamız gerekir: Uygulamada yukarıdaki niteleyiciler Latin harfleriyle de gösterilebilir. Denklemin köklerini aşağıdaki formülleri kullanarak buluruz: Örnek 7 Doğrusal denklem sistemini çözme Çözüm: Denklemin katsayılarının oldukça büyük olduğunu görüyoruz, sağ tarafta virgüllü ondalık kesirler var. Virgül matematikteki pratik görevlerde oldukça nadir bir misafirdir; bu sistemi ekonometrik bir problemden aldım. Böyle bir sistem nasıl çözülür? Bir değişkeni diğerine göre ifade etmeye çalışabilirsiniz, ancak bu durumda muhtemelen üzerinde çalışılması son derece elverişsiz olan berbat süslü kesirlerle karşılaşacaksınız ve çözümün tasarımı tek kelimeyle berbat görünecektir. İkinci denklemi 6 ile çarpıp terim terim çıkarabilirsiniz ama burada da aynı kesirler ortaya çıkacaktır. Ne yapalım? Böyle durumlarda Cramer'in formülleri imdada yetişiyor. ; ; Cevap: , Her iki kökün de sonsuz kuyruğu vardır ve yaklaşık olarak bulunurlar; bu, ekonometri problemleri için oldukça kabul edilebilir (ve hatta sıradandır). Görev hazır formüller kullanılarak çözüldüğü için burada yorumlara gerek yok, ancak bir uyarı var. Bu yöntemi kullanırken, zorunlu Görev tasarımının bir parçası aşağıdaki parçadır: “Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına geliyor”. Aksi takdirde, incelemeyi yapan kişi Cramer teoremine saygısızlık ettiğiniz için sizi cezalandırabilir. Bir hesap makinesinde rahatlıkla yapılabilen kontrol etmek gereksiz olmayacaktır: yaklaşık değerleri sistemin her denkleminin sol tarafına koyarız. Sonuç olarak, küçük bir hatayla sağ taraftaki sayıları almalısınız. Örnek 8 Cevabı sıradan uygunsuz kesirlerle sunun. Bir kontrol yapın. Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (son tasarım örneği ve dersin sonundaki cevap). Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem için Cramer kuralını ele alalım: Sistemin ana belirleyicisini buluyoruz: Eğer ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır veya tutarsızdır (çözümleri yoktur). Bu durumda Cramer kuralı yardımcı olmayacaktır; Gauss yöntemini kullanmanız gerekir. Eğer ise, o zaman sistemin tek bir çözümü vardır ve kökleri bulmak için üç belirleyiciyi daha hesaplamamız gerekir: Ve son olarak cevap şu formüller kullanılarak hesaplanır: Gördüğünüz gibi, "üçe üç" durumu temelde "ikiye iki" durumundan farklı değildir; serbest terimler sütunu, ana belirleyicinin sütunları boyunca sırayla soldan sağa "yürür". Örnek 9 Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün. Çözüm: Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözelim. Cevap: Aslında burada da yorumlanacak özel bir şey yok, çünkü çözüm hazır formüllere dayanıyor. Ama birkaç yorum var. Hesaplamalar sonucunda "kötü" indirgenemez kesirler elde edilir, örneğin: . 1) Hesaplamalarda hata olabilir. “Kötü” bir kesirle karşılaştığınızda hemen kontrol etmeniz gerekir. Koşul doğru şekilde yeniden yazıldı mı?. Koşul hatasız olarak yeniden yazılırsa, başka bir satırdaki (sütun) genişletmeyi kullanarak belirleyicileri yeniden hesaplamanız gerekir. 2) Kontrol sonucunda herhangi bir hata tespit edilmezse, büyük olasılıkla görev koşullarında bir yazım hatası olmuştur. Bu durumda, görevin sonuna kadar sakin ve DİKKATLİ bir şekilde çalışın ve ardından kontrol ettiğinizden emin olun karar verdikten sonra temiz bir sayfaya çiziyoruz. Elbette kesirli bir cevabı kontrol etmek hoş olmayan bir iştir, ancak bu, gibi saçmalıklara eksi vermeyi gerçekten seven öğretmen için silahsızlandırıcı bir argüman olacaktır. Kesirlerin nasıl ele alınacağı Örnek 8'in yanıtında ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Elinizde bir bilgisayarınız varsa, dersin başında ücretsiz olarak indirebileceğiniz otomatik bir kontrol programı kullanın. Bu arada, programı hemen kullanmak en karlısıdır (hatta çözüme başlamadan önce); hata yaptığınız ara adımı hemen göreceksiniz! Aynı hesap makinesi matris yöntemini kullanarak sistemin çözümünü otomatik olarak hesaplar. İkinci açıklama. Zaman zaman denklemlerde bazı değişkenlerin eksik olduğu sistemler de olabiliyor, örneğin: Örnek 10 Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün. Bu, bağımsız bir çözüm örneğidir (son tasarımın bir örneği ve dersin sonundaki cevap). 4 bilinmeyenli 4 denklemden oluşan bir sistem için Cramer formülleri benzer prensiplere göre yazılır. Determinantların Özellikleri dersinde canlı bir örnek görebilirsiniz. Determinantın sırasını azaltmak - 4. dereceden beş determinant oldukça çözülebilir. Her ne kadar görev zaten şanslı bir öğrencinin göğsündeki profesör ayakkabısını andırıyor olsa da. Ters matris yöntemi aslında özel bir durumdur matris denklemi(Belirtilen dersin 3 numaralı örneğine bakınız). Bu bölümü incelemek için determinantları genişletebilmeniz, bir matrisin tersini bulabilmeniz ve matris çarpımını yapabilmeniz gerekir. Açıklamalar ilerledikçe ilgili bağlantılar verilecektir. Örnek 11 Sistemi matris yöntemini kullanarak çözün Çözüm: Sistemi matris formunda yazalım: Lütfen denklem ve matris sistemine bakın. Öğeleri matrislere yazma prensibimizi herkesin anladığını düşünüyorum. Tek yorum: Denklemlerde bazı değişkenler eksik olsaydı, matriste karşılık gelen yerlere sıfırların yerleştirilmesi gerekirdi. Ters matrisi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz: Öncelikle determinantı inceleyelim: Burada determinant ilk satırda genişletilir. Dikkat! Eğer öyleyse, ters matris mevcut değildir ve sistemi matris yöntemini kullanarak çözmek imkansızdır. Bu durumda sistem bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemi (Gauss yöntemi) ile çözülür. Şimdi 9 minör hesaplayıp bunları minör matrisine yazmamız gerekiyor Referans: Doğrusal cebirde çift indislerin anlamını bilmek faydalıdır. İlk hane, elemanın bulunduğu satırın numarasıdır. İkinci rakam, elemanın bulunduğu sütunun numarasıdır: n'inci dereceden bir kare matris olsun Matris A-1 denir ters matris A matrisine göre, eğer A*A -1 = E ise, burada E, n'inci dereceden birim matristir. Kimlik matrisi- sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana köşegen boyunca tüm elemanların bir olduğu ve geri kalanının sıfır olduğu böyle bir kare matris, örneğin: ters matris var olabilir yalnızca kare matrisler için onlar. satır ve sütun sayısının çakıştığı matrisler için. Bir matrisin ters matris olabilmesi için tekil olmaması gerekli ve yeterlidir. A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan, eğer sütun vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa. Bir matrisin doğrusal bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rütbesi denir. Dolayısıyla ters bir matrisin var olabilmesi için matrisin rütbesinin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir diyebiliriz. r = n. A matrisi için ters A -1 matrisini bulun Çözüm: A matrisini yazıp E birim matrisini sağa atarız Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini E birim matrisine indirgeriz. Hesaplamalar Tablo 31.1'de verilmiştir. Orijinal matris A ile ters matris A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim. Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edildi. Bu nedenle hesaplamalar doğru yapılmıştır. Cevap: Matris denklemleri şöyle görünebilir: AX = B, HA = B, AXB = C, burada A, B, C belirtilen matrislerdir, X istenen matristir. Matris denklemleri, denklemin ters matrislerle çarpılmasıyla çözülür.
Örneğin denklemden matrisi bulmak için bu denklemi soldaki ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle denklemin çözümünü bulmak için ters matrisi bulup denklemin sağ tarafındaki matrisle çarpmanız gerekir. Diğer denklemler de benzer şekilde çözülür. AX = B denklemini çözün, eğer Çözüm: Ters matris eşit olduğundan (bkz. örnek 1) Diğerlerinin yanı sıra onlar da kullanılır matris yöntemleri. Bu yöntemler doğrusal ve vektör matris cebirine dayanmaktadır. Bu tür yöntemler, karmaşık ve çok boyutlu ekonomik olayların analiz edilmesi amacıyla kullanılmaktadır. Çoğu zaman bu yöntemler, kuruluşların işleyişinin ve yapısal bölümlerinin karşılaştırmalı bir değerlendirmesinin yapılması gerektiğinde kullanılır. Matris analiz yöntemlerinin uygulanması sürecinde birkaç aşama ayırt edilebilir. İlk aşamada bir ekonomik göstergeler sistemi oluşturuluyor ve buna dayanarak, sistem numaralarının ayrı satırlarda gösterildiği bir tablo olan bir ilk veri matrisi derleniyor (i = 1,2,....,n) ve dikey sütunlarda - göstergelerin sayısı (j = 1,2,....,m). İkinci aşamada Her dikey sütun için mevcut gösterge değerlerinden en büyüğü tanımlanır ve bu değer bir olarak alınır. Daha sonra bu sütuna yansıyan tüm tutarlar en büyük değere bölünerek standartlaştırılmış katsayılardan oluşan bir matris oluşturulur. Üçüncü aşamada matrisin tüm bileşenlerinin karesi alınır. Farklı önemleri varsa, her matris göstergesine belirli bir ağırlık katsayısı atanır. k. İkincisinin değeri uzman görüşüne göre belirlenir. Sonuncusunda, dördüncü aşama bulunan derecelendirme değerleri RJ artış veya azalış sırasına göre gruplandırılmıştır. Ana hatlarıyla belirtilen matris yöntemleri, örneğin çeşitli yatırım projelerinin karşılaştırmalı analizinde ve kuruluşların faaliyetlerinin diğer ekonomik göstergelerinin değerlendirilmesinde kullanılmalıdır. (bazen bu yöntem aynı zamanda matris yöntemi veya ters matris yöntemi olarak da adlandırılır), SLAE'nin matris gösterimi gibi bir kavrama önceden aşina olmayı gerektirir. Ters matris yöntemi, sistem matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için tasarlanmıştır. Doğal olarak bu, sistemin matrisinin kare olduğunu varsayar (determinant kavramı yalnızca kare matrisler için mevcuttur). Ters matris yönteminin özü üç noktada ifade edilebilir: Herhangi bir SLAE matris biçiminde $A\cdot X=B$ şeklinde yazılabilir; burada $A$ sistemin matrisidir, $B$ serbest terimlerin matrisidir, $X$ bilinmeyenler matrisidir. $A^(-1)$ matrisinin var olmasına izin verin. $A\cdot X=B$ eşitliğinin her iki tarafını da soldaki $A^(-1)$ matrisiyle çarpalım: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ birim matris olduğundan), yukarıda yazılan eşitlik şöyle olur: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $E\cdot X=X$ olduğundan, o zaman: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Örnek No.1 Ters matrisi kullanarak SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11.\end(aligned) \right.$'ı çözün. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$ Sistem matrisinin ters matrisini bulalım, yani. $A^(-1)$'ı hesaplayalım. 2 numaralı örnekte $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$ Şimdi üç matrisin tamamını ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ eşitliğinde yerine koyalım. Daha sonra matris çarpımını yapıyoruz $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(dizi)\sağ)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 29\\ -11 \end(dizi)\sağ)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(dizi)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 309\\ -206 \end(dizi)\sağ)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$ Böylece $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( eşitliğini elde ettik. dizi )\sağ)$. Bu eşitlikten şunu elde ederiz: $x_1=-3$, $x_2=2$. Cevap: $x_1=-3$, $x_2=2$. Örnek No.2 SLAE'yi çözün $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ ters matris yöntemini kullanarak. $A$ sisteminin matrisini, serbest terimler matrisini $B$ ve bilinmeyenler matrisini $X$ yazalım. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$ Şimdi sıra sistem matrisinin tersi olan matrisi bulmada. $A^(-1)$'ı bulun. Ters matrislerin bulunmasına ayrılmış sayfadaki 3 numaralı örnekte, ters matris zaten bulunmuştur. Bitmiş sonucu kullanalım ve $A^(-1)$ yazalım: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(dizi)\sağ). $$ Şimdi üç matrisin tamamını ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ eşitliğine koyalım ve ardından sağ tarafta matris çarpımı gerçekleştirelim. bu eşitlikten. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(dizi)\sağ)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(dizi)\sağ)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 0\\-104\\234\end(dizi)\sağ)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$ Böylece $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 eşitliğini elde ettik. \ \9\end(array)\right)$. Bu eşitlikten şunu elde ederiz: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Bu, matrislerle gerçekleştirilen tüm olası işlemleri genelleştiren bir kavramdır. Matematiksel matris - element tablosu. Bir tablo hakkında Mçizgiler ve N sütunlar, bu matrisin boyuta sahip olduğu söyleniyor M Açık N. Matrisin genel görünümü: İçin matris çözümleri matrisin ne olduğunu anlamak ve ana parametrelerini bilmek gerekir. Matrisin ana unsurları: Ana matris türleri: Matris, ana ve ikincil köşegenlere göre simetrik olabilir. Yani eğer 12 = 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n = a mn-1, o zaman matris ana köşegen etrafında simetriktir. Yalnızca kare matrisler simetrik olabilir. Neredeyse hepsi matris çözme yöntemleri determinantını bulmaktan ibarettir N-th düzeni ve çoğu oldukça hantal. 2. ve 3. derecenin determinantını bulmak için daha rasyonel başka yöntemler de vardır. Bir matrisin determinantını hesaplamak için A 2. dereceden, ikincil köşegenin elemanlarının çarpımını ana köşegenin elemanlarının ürününden çıkarmak gerekir: Aşağıda 3. dereceden determinantı bulma kuralları verilmiştir. Basitleştirilmiş üçgen kuralı matris çözme yöntemleri, şu şekilde tasvir edilebilir: Yani birinci determinantta yer alan ve birbirine düz doğrularla bağlanan elemanların çarpımı “+” işaretiyle alınır; Ayrıca 2. determinant için karşılık gelen ürünler “-” işaretiyle yani aşağıdaki şemaya göre alınır: Şu tarihte: Sarrus kuralını kullanarak matrisleri çözme determinantın sağına ilk 2 sütun eklenir ve ana köşegen üzerindeki ve ona paralel köşegenlerdeki karşılık gelen elemanların çarpımları “+” işaretiyle alınır; ve ikincil köşegenin karşılık gelen elemanlarının ve ona paralel olan köşegenlerin çarpımları “-” işaretiyle: Matrisleri çözerken determinantı bir satır veya sütunda ayrıştırma. Determinant, determinant satırının elemanlarının ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamına eşittir. Genellikle sıfır içeren satır/sütun seçilir. Ayrıştırmanın gerçekleştirileceği satır veya sütun bir okla gösterilecektir. Matrisleri çözerken determinantı üçgen forma indirgemek. Şu tarihte: matris çözme Determinantı üçgen biçime indirgeme yöntemi şu şekilde çalışır: satırlar veya sütunlar üzerindeki en basit dönüşümleri kullanarak, determinant üçgen biçiminde olur ve daha sonra determinantın özelliklerine göre değeri çarpıma eşit olacaktır. ana köşegendeki elemanların. Matrislerin çözümü için Laplace teoremi. Laplace teoremini kullanarak matrisleri çözerken teoremin kendisini bilmeniz gerekir. Laplace teoremi: Let Δ
- bu bir belirleyicidir N-inci sipariş. Herhangi birini seçiyoruz k sağlanan satırlar (veya sütunlar) k≤
n - 1. Bu durumda tüm küçüklerin çarpımlarının toplamı k-seçilenin içerdiği sıra k satırlar (sütunlar), cebirsel tamamlayıcılarına göre determinantına eşit olacaktır. Şunun için eylem sırası ters matris çözümleri: İçin matris sistemlerinin çözümleri Gauss yöntemi en sık kullanılır. Gauss yöntemi, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için standart bir yöntemdir ve değişkenlerin sırayla ortadan kaldırılması, yani temel değişikliklerin yardımıyla denklem sisteminin eşdeğer bir üçgen sisteme getirilmesinden oluşur. form ve ondan, ikincisinden başlayarak (sayıya göre) sırayla sistemin her bir öğesini bulun. Gauss yöntemi matris çözümleri bulmak için en çok yönlü ve en iyi araçtır. Bir sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa veya sistem uyumsuzsa Cramer kuralı ve matris yöntemi kullanılarak çözülemez. Gauss yöntemi ayrıca doğrudan (genişletilmiş matrisi kademeli bir forma indirgemek, yani ana köşegenin altında sıfırlar elde etmek) ve ters (genişletilmiş matrisin ana köşegeninin üzerinde sıfırlar elde etmek) hareketleri de ima eder. İleriye doğru hareket Gauss yöntemidir, geriye doğru hareket ise Gauss-Jordan yöntemidir. Gauss-Jordan yöntemi Gauss yönteminden yalnızca değişkenleri eleme sırası açısından farklılık gösterir.
.
Ve
, 
, 
, 
Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.
.
Aşağıdaki “tedavi” algoritmasını öneriyorum. Elinizde bir bilgisayar yoksa şunu yapın:
Burada ilk denklemde değişken yok, ikincisinde ise değişken yok. Bu gibi durumlarda ana belirleyiciyi doğru ve DİKKATLİ bir şekilde yazmak çok önemlidir: 
– eksik değişkenlerin yerine sıfırlar konur.
Bu arada, gözle görülür derecede daha az hesaplama olduğundan, sıfırın bulunduğu satıra (sütun) göre determinantları sıfırlarla açmak mantıklıdır.
Ters matris kullanarak sistemi çözme
, Nerede 
matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının aktarılmış matrisi nerede.
Yani, çift alt simge, öğenin birinci satırda, üçüncü sütunda olduğunu ve örneğin öğenin 3 satır, 2 sütunda olduğunu gösterir.
Ters bir matrisin varoluş koşulu için teorem
Ters matrisi bulmak için algoritma
örnek 1 
Matris denklemlerini çözme
Ekonomik analizde matris yöntemi
Matrisleri çözme yöntemleri.
2. dereceden determinantların bulunması.
3. dereceden determinantları bulma yöntemleri.
Ters matrisin çözümü.
Matris sistemlerinin çözümü.
