Ders planı.
1. Organizasyon anı.
2. Materyalin sunumu.
3. Ödev.
4. Dersi özetlemek.
Dersler sırasında
I. Organizasyon anı.
II. Materyalin sunumu.
Motivasyon.
Reel sayılar kümesinin genişletilmesi, reel sayılara yeni sayıların (sanal) eklenmesinden oluşur. Bu sayıların tanıtılması, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının kökünün çıkarılmasının imkansızlığından kaynaklanmaktadır.
Konseptin tanıtımı karmaşık sayı.
Reel sayıları tamamladığımız sanal sayılar şu şekilde yazılır: bi, Nerede Ben hayali bir birimdir ve ben 2 = - 1.
Buna dayanarak, karmaşık sayının aşağıdaki tanımını elde ederiz.
Tanım. Karmaşık sayı formun bir ifadesidir a+bi, Nerede A Ve B- gerçek sayılar. Bu durumda aşağıdaki koşullar karşılanır:
a) İki karmaşık sayı a 1 + b 1 ben Ve a 2 + b 2 ben eşit ancak ve ancak a 1 = a 2, b 1 =b 2.
b) Karmaşık sayıların toplamı şu kurala göre belirlenir:
(a 1 + b 1 ben) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Karmaşık sayıların çarpımı şu kurala göre belirlenir:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Cebirsel form karmaşık sayı.
Formda karmaşık bir sayı yazma a+bi karmaşık bir sayının cebirsel formu denir; burada A– gerçek kısım, bi sanal kısımdır ve B- gerçek Numara.
Karmaşık sayı a+bi gerçek ve sanal kısımları sıfıra eşitse sıfıra eşit kabul edilir: a = b = 0
Karmaşık sayı a+bi en b = 0 gerçek sayıya eşit olduğu kabul edilir A: a + 0i = a.
Karmaşık sayı a+bi en bir = 0 tamamen hayali olarak adlandırılır ve gösterilir bi: 0 + bi = bi.
İki karmaşık sayı z = a + bi Ve = a – bi sadece hayali kısmın işareti farklı olanlara eşlenik denir.
Cebirsel formda karmaşık sayılarla ilgili işlemler.
Cebirsel formdaki karmaşık sayılar üzerinde aşağıdaki işlemleri yapabilirsiniz.
1) Ekleme.
Tanım. Karmaşık sayıların toplamı z 1 = a 1 + b 1 ben Ve z 2 = a 2 + b 2 ben karmaşık sayı denir z gerçek kısmı gerçek kısımların toplamına eşit olan z1 Ve z2 ve sanal kısım sayıların sanal kısımlarının toplamıdır z1 Ve z2, yani z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Sayılar z1 Ve z2 terimler denir.
Karmaşık sayıların eklenmesi aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1°. Değişebilirlik: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2°. İlişkisellik: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3°. Karmaşık sayı –a –bi karmaşık bir sayının tersi denir z = a + bi. Karmaşık sayı, karmaşık sayının tersi z, belirtilen -z. Karmaşık sayıların toplamı z Ve -z sıfıra eşit: z + (-z) = 0
Örnek 1: Eklemeyi gerçekleştirin (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Çıkarma.
Tanım. Karmaşık bir sayıdan çıkarma z1 karmaşık sayı z2 z, Ne z + z 2 = z 1.
Teorem. Karmaşık sayılar arasındaki fark mevcuttur ve benzersizdir.
Örnek 2: Çıkarma işlemi gerçekleştirin (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Çarpma.
Tanım. Karmaşık sayıların çarpımı z 1 =a 1 +b 1 ben Ve z 2 =a 2 +b 2 ben karmaşık sayı denir z, eşitlikle tanımlanır: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Sayılar z1 Ve z2 faktörler denir.
Karmaşık sayıların çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1°. Değişebilirlik: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2°. İlişkisellik: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3°. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4°. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- gerçek Numara.
Uygulamada karmaşık sayıların çarpımı, bir toplamın bir toplamla çarpılması ve gerçek ve sanal kısımların ayrılması kuralına göre gerçekleştirilir.
Aşağıdaki örnekte, karmaşık sayıları iki şekilde çarpmayı ele alacağız: kuralla ve toplamı toplamla çarparak.
Örnek 3: Çarpmayı yapın (2 + 3i) (5 – 7i).
1 yol. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + ben.
Yöntem 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Bölüm.
Tanım. Karmaşık bir sayıyı bölme z1 karmaşık bir sayıya z2, böyle karmaşık bir sayıyı bulmak anlamına gelir z, Ne z z 2 = z 1.
Teorem. Karmaşık sayıların bölümü vardır ve eğer benzersizdir z 2 ≠ 0 + 0i.
Pratikte karmaşık sayıların bölümü pay ve paydanın paydanın eşleniğiyle çarpılmasıyla bulunur.
İzin vermek z 1 = a 1 + b 1 ben, z 2 = a 2 + b 2 ben, Daha sonra
.
Aşağıdaki örnekte, paydanın eşlenik sayısıyla çarpma formülünü ve kuralını kullanarak bölme işlemini gerçekleştireceğiz.
Örnek 4. Bölümü bulun 
.
5) Olumlu bir bütün güce yükseltmek.
a) Sanal birimin yetkileri.
Eşitlikten yararlanmak ben 2 = -1 sanal birimin herhangi bir pozitif tam sayı kuvvetini tanımlamak kolaydır. Sahibiz:
ben 3 = ben 2 ben = -i,
ben 4 = ben 2 ben 2 = 1,
ben 5 = ben 4 ben = ben,
ben 6 = ben 4 ben 2 = -1,
ben 7 = ben 5 ben 2 = -i,
ben 8 = ben 6 ben 2 = 1 vesaire.
Bu, derece değerlerinin olduğunu gösterir. içinde, Nerede N– gösterge arttıkça periyodik olarak tekrarlanan pozitif bir tam sayı 4 .
Bu nedenle sayıyı artırmak Ben pozitif tam kuvvete göre üssü şuna bölmeliyiz: 4 ve inşa et Benüssü bölümün geri kalanına eşit olan bir kuvvete.
Örnek 5: Hesaplayın: (i 36 + i 17) i 23.
ben 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
ben 17 = ben 4 × 4+1 = (i 4) 4 × ben = 1 · ben = ben.
ben 23 = ben 4 × 5+3 = (i 4) 5 × ben 3 = 1 ben 3 = - ben.
(i 36 + i 17) · ben 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Karmaşık bir sayının pozitif tamsayı kuvvetine yükseltilmesi, bir binomun karşılık gelen kuvvetine yükseltilmesi kuralına göre gerçekleştirilir, çünkü o şunu temsil eder: özel durumözdeş karmaşık faktörlerin çarpımı.
Örnek 6: Hesaplayın: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Karmaşık sayılar, genellikle ile gösterilen gerçek sayılar kümesinin bir uzantısıdır. Herhangi bir karmaşık sayı, resmi bir toplam olarak temsil edilebilir; burada ve, gerçek sayılardır ve sanal birimdir.
Karmaşık bir sayının , şeklinde yazılmasına karmaşık sayının cebirsel formu denir.
Karmaşık sayıların özellikleri. Karmaşık bir sayının geometrik yorumu.
Cebirsel biçimde verilen karmaşık sayılara ilişkin eylemler:
Gelin kurallara bakalım Aritmetik işlemler karmaşık sayılar üzerinde
Eğer iki karmaşık sayı α = a + bi ve β = c + di veriliyorsa, o zaman
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (on bir)
Bu, iki sıralı reel sayı çiftinin toplama ve çıkarma işlemlerinin tanımından kaynaklanmaktadır (bkz. formül (1) ve (3)). Karmaşık sayıları toplama ve çıkarma kurallarını aldık: iki karmaşık sayıyı toplamak için, bunların gerçek kısımlarını ve buna göre sanal kısımlarını ayrı ayrı eklemeliyiz; Bir karmaşık sayıdan bir başkasını çıkarmak için, sırasıyla gerçek ve sanal kısımlarını çıkarmak gerekir.
– α = – a – bi sayısına α = a + bi sayısının zıttı denir. Bu iki sayının toplamı sıfırdır: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Karmaşık sayıları çarpma kuralını elde etmek için formül (6)'yı, yani i2 = -1 gerçeğini kullanırız. Bu ilişkiyi hesaba katarak (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd'yi buluruz, yani.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
Bu formül, sıralı reel sayı çiftlerinin çarpımını belirleyen formül (2)'ye karşılık gelir.
İki karmaşık eşlenik sayının toplamı ve çarpımının gerçek sayılar olduğuna dikkat edin. Aslında, eğer α = a + bi, = a – bi ise, o zaman α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, yani.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
İki karmaşık sayıyı cebirsel biçimde bölerken, bölümün aynı türde bir sayıyla da ifade edilmesi beklenmelidir, yani α/β = u + vi, burada u, v R. Karmaşık sayıları bölme kuralını türetelim. . α = a + bi, β = c + di sayıları verilsin ve β ≠ 0 olsun, yani c2 + d2 ≠ 0. Son eşitsizlik, c ve d'nin aynı anda ortadan kaybolmadığı anlamına gelir (c = 0 olması durumu hariçtir) , d = 0). Formül (12) ve eşitliklerin ikincisini (13) uygulayarak şunu buluruz:
Bu nedenle, iki karmaşık sayının bölümü aşağıdaki formülle belirlenir:
formül (4)'e karşılık gelir.
β = c + di sayısı için elde edilen formülü kullanarak, bunun tersi olan β-1 = 1/β sayısını bulabilirsiniz. Formül (14)'te a = 1, b = 0 olduğunu varsayarsak, şunu elde ederiz:
Bu formül, sıfır dışındaki belirli bir karmaşık sayının tersini belirler; bu sayı da karmaşıktır.
Örneğin: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Cebirsel formda karmaşık sayılarla ilgili işlemler.
55. Karmaşık bir sayının argümanı. Karmaşık bir sayıyı yazmanın trigonometrik biçimi (türetme).
Arg.com.numaraları. – gerçek X ekseninin pozitif yönü ile verilen sayıyı temsil eden vektör arasındadır.
Trigon formülü. Sayılar: ,
Karmaşık bir sayının cebirsel şekli.................................................. ......... ................... | |||
Karmaşık sayılar düzlemi................................................. ...................................................... ................................... ... | |||
Karmaşık eşlenik sayılar.................................................. ................................................................... ................................ | |||
Cebirsel formda karmaşık sayılarla işlemler.................................................. ......... .... | |||
Karmaşık sayıların toplamı................................................. ................................................................. .................. | |||
Karmaşık Sayılarda Çıkarma.................................................. ................................................................... ..................... | |||
Karmaşık sayıların çarpımı.................................................. ................................................................... .................. | |||
Karmaşık Sayılarda Bölme.................................................. ...................................................... ................ ... | |||
Karmaşık sayıların trigonometrik şekli.................................................. ......... .......... | |||
Trigonometrik formda karmaşık sayılarla işlemler.................................................. ......... | |||
Karmaşık sayılarda trigonometrik formda çarpma.................................................. ........ | |||
Trigonometrik formda karmaşık sayıları bölme.................................................. ....... ... | |||
Karmaşık bir sayının pozitif tamsayı kuvvetine yükseltilmesi.................................................. ........... | |||
Karmaşık bir sayıdan pozitif tamsayı derecesinin kökünün çıkarılması................................................. | |||
Karmaşık bir sayının rasyonel kuvvetine yükseltilmesi.................................................. .................. ..... | |||
Karmaşık seriler.................................................. ................................................................... ......... .................... | |||
Karmaşık sayı serileri................................................................ ................................................................... ................................ | |||
Karmaşık düzlemde kuvvet serileri.................................................. ...................................................... | |||
Çift taraflı güç serisi karmaşık düzlemde................................................. ..... | |||
Karmaşık değişkenin fonksiyonları................................................. ...................................................... .............. | |||
Temel temel işlevler................................................................ ...................................................... . | |||
Euler formülleri................................................. ................................................................... ......... .................... | |||
Karmaşık bir sayıyı temsil etmenin üstel biçimi................................................. ...................... . | |||
Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar arasındaki ilişki................................................. | |||
Logaritmik fonksiyon................................................................ ................................................................... ......... ... | |||
Genel üstel ve genel kuvvet fonksiyonları.................................................. ...................................... | |||
Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi.................................................. ......... ... | |||
Cauchy-Riemann koşulları.................................................. ..... ................................................... .................... | |||
Türevi hesaplamak için formüller.................................................. ....... ................................... | |||
Farklılaşma işleminin özellikleri................................................. ...................................................... | |||
Analitik bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarının özellikleri................................................. | |||
Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun gerçek veya hayali durumdan yeniden oluşturulması |
|||
Yöntem No.1. Eğri integralini kullanma.................................................. ...... ....... | |||
Yöntem numarası 2. Cauchy-Riemann koşullarının doğrudan uygulanması................................................. | |||
Yöntem numarası 3. İstenilen fonksiyonun türevi yoluyla.................................................. ......... ......... | |||
Karmaşık değişkenli fonksiyonların integrali.................................................. ......... .......... | |||
İntegral Cauchy formülü.................................................. ..... ................................................... ....... ... | |||
Taylor ve Laurent serilerinde fonksiyonların genişletilmesi.................................................. ....................................... | |||
Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun sıfırları ve tekil noktaları................................................. ................ ..... | |||
Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun sıfırları.................................................. ...................................... | |||
Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun izole tekil noktaları................................................. | |||
14.3 Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun tekil noktası olarak sonsuzdaki bir nokta
Kesintiler.................................................. ....... ................................................... ................................................................... ... | |||
Son noktada kesinti.................................................. ...................................................... ...... ...... | |||
Bir fonksiyonun sonsuzdaki bir noktada kalıntısı.................................................. .......................... | |||
Kalıntıları Kullanarak İntegrallerin Hesaplanması.................................................. ...................................................... | |||
Kendi kendine test soruları................................................. ................................................................... ................................. ....... | |||
Edebiyat................................................. .................................................. ...... ................................... | |||
Konu dizini.................................................. .................................................. .................... | |||
Önsöz
Bir sınavın veya modül sertifikasyonunun teorik ve pratik bölümlerine hazırlanırken zaman ve çabayı doğru şekilde dağıtmak, özellikle oturum sırasında her zaman yeterli zaman olmadığından oldukça zordur. Ve uygulamanın gösterdiği gibi, herkes bununla baş edemez. Sonuç olarak, sınav sırasında bazı öğrenciler problemleri doğru çözerken, en basit soruları cevaplamakta zorlanmaktadırlar. teorik konular diğerleri teoremi formüle edebilir ancak uygulayamazlar.
“Karmaşık Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi” (TFCP) dersinde sınava hazırlanmaya yönelik bu yönergeler, bu çelişkiyi çözme ve dersin teorik ve pratik materyalinin eşzamanlı tekrarını sağlama girişimidir. “Uygulamasız teori ölüdür, teorisiz pratik kördür” ilkesinden hareketle, hem dersin tanımlar ve formülasyonlar düzeyindeki teorik hükümlerini, hem de verilen her teorik konumun uygulamasını gösteren ve dolayısıyla kolaylaştırıcı örnekleri içerir. ezberlenmesi ve anlaşılması.
Önerilenin amacı metodolojik öneriler– öğrencinin sınava temel düzeyde hazırlanmasına yardımcı olun. Başka bir ifadeyle TFKP dersi derslerinde kullanılan ve uygulama sırasında gerekli olan ana noktaları içeren genişletilmiş bir çalışma referans kitabı derlenmiştir. Ev ödevi ve kontrol etkinliklerine hazırlık. Ayrıca bağımsız işöğrenciler için bu elektronik eğitim yayını, dersler yürütülürken kullanılabilir. etkileşimli form elektronik tahta kullanmak veya uzaktan eğitim sistemine yerleştirmek için.
Lütfen bu çalışmanın ders kitaplarının veya ders notlarının yerine geçmediğini unutmayın. Materyalin derinlemesine incelenmesi için MSTU tarafından yayınlanan ilgili bölümlere bakılması tavsiye edilir. N.E. Bauman'ın temel ders kitabı.
Kılavuzun sonunda önerilen literatürün bir listesi ve metinde vurgulanan her şeyi içeren bir konu dizini bulunmaktadır. Kalın italikşartlar. Dizin, bu terimlerin kesin olarak tanımlandığı veya tanımlandığı ve kullanımlarını göstermek için örneklerin verildiği bölümlere giden köprü bağlantılardan oluşur.
Kılavuz, MSTU'nun tüm fakültelerinin 2. sınıf öğrencilerine yöneliktir. N.E. Bauman.
1. Karmaşık bir sayıyı yazmanın cebirsel biçimi
z = x + iy formunun gösterimi; burada x,y gerçek sayılardır, i sanal bir birimdir (yani i 2 = − 1)
z karmaşık sayısının cebirsel şekli denir. Bu durumda x'e karmaşık sayının gerçel kısmı denir ve Re z (x = Re z) ile gösterilir, y ise karmaşık sayının sanal kısmı olarak adlandırılır ve Im z (y = Im z) ile gösterilir.
Örnek. z = 4− 3i karmaşık sayısının gerçek kısmı Rez = 4 ve sanal kısmı Imz = − 3'tür.
2. Karmaşık sayı düzlemi
İÇİNDE karmaşık değişkenli fonksiyon teorileri dikkate alınırkarmaşık sayı düzlemi z, w, vb. karmaşık sayıları ifade eden harflerle veya harfler kullanılarak gösterilir.
Karmaşık düzlemin yatay eksenine denir gerçek eksen, üzerine z = x + 0i = x reel sayıları yerleştirilir.
Karmaşık düzlemin dikey eksenine sanal eksen denir;
3. Karmaşık eşlenik sayılar
z = x + iy ve z = x − iy sayılarına denir karmaşık eşlenik. Karmaşık düzlemde gerçek eksene göre simetrik olan noktalara karşılık gelirler.
4. Cebirsel formda karmaşık sayılarla işlemler
4.1 Karmaşık sayıların eklenmesi
İki karmaşık sayının toplamı | z 1= x 1+ iy 1 | ve z 2 = x 2 + iy 2'ye karmaşık sayı denir |
|||||||||||
z1+z2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operasyon | ek |
||||||||||
karmaşık sayılar cebirsel binomların toplama işlemine benzer. | |||||||||||||
Örnek. İki karmaşık sayının toplamı z 1 = 3+ 7i ve z 2 | = −1 +2 ben | karmaşık bir sayı olacak |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 ben ) +(−1 +2 ben ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 ben . | |||||||||||||
Açıkça, | kapsamlı bir şekilde toplamak | birleşik | dır-dir | gerçek | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Karmaşık sayılarda çıkarma | |||||||||||||
İki karmaşık sayının farkı z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +ıy2 | isminde | kapsayıcı |
||||||||||
sayı z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Örnek. İki karmaşık sayının farkı | z 1 =3 −4 ben | ve z2 | = −1 +2 ben | kapsamlı olacak |
|||||||||
sayı z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Farkına göre | karmaşık eşlenik | dır-dir | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Karmaşık sayıların çarpımı | |||||||||||||
İki karmaşık sayının çarpımı | z 1= x 1+ iy 1 | ve z 2= x 2+ iy 2 | karmaşık denir |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + ben (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Dolayısıyla, karmaşık sayıları çarpma işlemi, i 2 = − 1 gerçeğini dikkate alarak cebirsel binomları çarpma işlemine benzer.
Sayfa 2 / 3
Karmaşık bir sayının cebirsel formu.
Karmaşık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme.
Karmaşık bir sayının cebirsel biçimini zaten biliyorduk - bu, karmaşık bir sayının cebirsel biçimidir. Neden formdan bahsediyoruz? Gerçek şu ki, bir sonraki paragrafta tartışılacak olan karmaşık sayıların trigonometrik ve üstel biçimleri de vardır.
Karmaşık sayılarla yapılan işlemler özellikle zor değildir ve sıradan cebirden pek farklı değildir.
Karmaşık sayıların eklenmesi
örnek 1
İki karmaşık sayıyı toplayın,
İki karmaşık sayıyı toplamak için bunların gerçek ve sanal kısımlarını eklemeniz gerekir:
Basit, değil mi? Eylem o kadar açıktır ki ek yorum gerektirmez.
Bu basit yöntemle istediğiniz sayıda terimin toplamını bulabilirsiniz: gerçek kısımları toplayın ve sanal kısımları toplayın.
Karmaşık sayılar için birinci sınıf kuralı geçerlidir: 
– terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez.
Karmaşık Sayılarda Çıkarma
Örnek 2
Karmaşık sayılar ile , eğer arasındaki farkları bulun
Eylem toplama işlemine benzer, tek özelliği, çıkarılanın parantez içine alınması gerektiği ve ardından parantezlerin işaret değişikliği ile standart şekilde açılması gerektiğidir:
Sonuç kafa karıştırıcı olmamalıdır; ortaya çıkan sayının üç değil iki kısmı vardır. Basitçe gerçek kısım bileşiktir: . Açıklık sağlamak için cevap şu şekilde yeniden yazılabilir: .
İkinci farkı hesaplayalım:
Burada gerçek kısım da bileşiktir:
Eksik beyandan kaçınmak için şunu vereceğim kısa örnek“kötü” hayali kısmı olan: . Burada artık parantez olmadan yapamazsınız.
Karmaşık sayıları çarpma
Sizi meşhur eşitlikle tanıştırmanın zamanı geldi:
Örnek 3
Karmaşık sayıların çarpımını bulun,
Açıkçası, çalışma şu şekilde yazılmalıdır:
Bu ne anlama geliyor? Polinomların çarpımı kuralına göre parantez açılması istenir. Yapmanız gereken şey bu! Tüm cebirsel işlemler size tanıdık geliyor, asıl önemli olan şunu hatırlamaktır ve dikkatli ol.
Polinomları çarpmak için okul kuralını tekrarlayalım: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir.
Detaylı olarak yazacağım:
Umarım herkes için açık olmuştur
Dikkat ve yine dikkat, çoğu zaman işaretlerde hatalar yapılır.
Toplam gibi, karmaşık sayıların çarpımı da değiştirilebilir, yani eşitlik doğrudur: .
İÇİNDE eğitim literatürü ve internette karmaşık sayıların çarpımını hesaplamak için özel bir formül bulmak kolaydır. İsterseniz kullanın ama bana öyle geliyor ki polinomları çarpma yaklaşımı daha evrensel ve daha net. Formülü vermeyeceğim, sanırım bu durumda- Bu kafanı talaşla doldurmaktır.
Karmaşık sayıların bölünmesi
Örnek 4
Karmaşık sayılar verildiğinde , . Bölümü bulun.
Bir bölüm yapalım:
Sayıların bölünmesi gerçekleştirilir payda ve payı paydanın eşlenik ifadesi ile çarparak.
Sakallı formülü hatırlayalım ve paydamıza bakalım: . Payda zaten var, dolayısıyla bu durumda eşlenik ifade şu şekildedir:
Kurala göre payda ile çarpılmalı ve hiçbir şeyin değişmemesi için pay aynı sayı ile çarpılmalıdır:
Detaylı olarak yazacağım:
"İyi" bir örnek seçtim: Eğer iki sayıyı "sıfırdan" alırsanız, o zaman bölmenin bir sonucu olarak neredeyse her zaman kesirler elde edersiniz, örneğin .
Bazı durumlarda, bir kesri bölmeden önce basitleştirmeniz önerilir; örneğin sayıların bölümünü dikkate alın: . Bölmeden önce gereksiz eksilerden kurtuluyoruz: payda ve paydada eksileri parantezlerden çıkarıp bu eksileri azaltıyoruz: 
. Çözmeyi sevenler için doğru cevabı vereceğim:
Nadiren, ancak aşağıdaki görev gerçekleşir:
Örnek 5
Karmaşık bir sayı verilir. Bu sayıyı cebirsel biçimde (yani forma) yazın.
Teknik aynıdır - paydayı ve payı, paydaya eşlenik ifadeyle çarparız. Formüle tekrar bakalım. Payda zaten içeriyor, dolayısıyla payda ve pay eşlenik ifadeyle çarpılmalıdır, yani:
Uygulamada, karmaşık sayılarla birçok işlemi gerçekleştirmeniz gereken karmaşık bir örneği kolayca sunabilirler. Panik yok: dikkat olmak, olağan cebirsel prosedür olan cebir kurallarına uyun ve bunu unutmayın.
Karmaşık sayıların trigonometrik ve üstel formu
Bu paragrafta daha fazlası var konuşacağız Karmaşık bir sayının trigonometrik formu hakkında Gösterici form pratik görevlerçok daha az sıklıkta ortaya çıkar. Trigonometrik tabloları indirmenizi ve mümkünse yazdırmanızı öneririm, metodolojik materyal sayfada bulabilirsiniz Matematiksel formüller ve masalar. Masalar olmadan uzağa gidemezsiniz.
Herhangi bir karmaşık sayı (sıfır hariç) trigonometrik biçimde yazılabilir: 
, nerede karmaşık bir sayının modülü, A - karmaşık sayı argümanı. Kaçmayalım, her şey göründüğünden daha basit.
Sayıyı karmaşık düzlemde gösterelim. Açıklamanın kesinliği ve basitliği için onu ilk koordinat çeyreğine yerleştireceğiz, yani. biz şuna inanıyoruz:
Karmaşık bir sayının modülü orijinden karmaşık düzlemdeki karşılık gelen noktaya olan mesafedir. Basit ifadeyle, modül uzunlukturçizimde kırmızıyla gösterilen yarıçap vektörü.
Bir karmaşık sayının modülü genellikle şu şekilde gösterilir: veya
Pisagor teoremini kullanarak karmaşık bir sayının modülünü bulmak için bir formül türetmek kolaydır: . Bu formül adil herhangi"a" ve "olmak" anlamına gelir.
Not: Karmaşık bir sayının modülü kavramın bir genellemesidir gerçek sayının modülü, bir noktadan orijine olan mesafe olarak.
Karmaşık bir sayının argümanı isminde köşe arasında pozitif yarı eksen gerçek eksen ve orijinden karşılık gelen noktaya çizilen yarıçap vektörü. Bağımsız değişken şunun için tanımlanmadı: tekil: .
Söz konusu prensip aslında şuna benzer: kutupsal koordinatlar burada kutup yarıçapı ve kutup açısı noktayı benzersiz şekilde tanımlar.
Karmaşık bir sayının argümanı standart olarak gösterilir: veya
Geometrik değerlendirmelerden argümanı bulmak için aşağıdaki formülü elde ederiz:
. Dikkat! Bu formül yalnızca sağ yarı düzlemde çalışır! Karmaşık sayı 1. veya 4. koordinat çeyreğinde yer almıyorsa formül biraz farklı olacaktır. Bu vakaları da analiz edeceğiz.
Ancak önce karmaşık sayıların koordinat eksenlerine yerleştirildiği en basit örneklere bakalım.
Örnek 7
Çizimi yapalım:
Aslında görev sözlüdür. Açıklık sağlamak için karmaşık bir sayının trigonometrik formunu yeniden yazacağım: 
Kesin olarak hatırlayalım, modül – uzunluk(ki bu her zaman olumsuz değildir), argüman köşe.
1) Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım. Şurası açık ki. Aşağıdaki formülü kullanarak resmi hesaplama: .
Açıktır ki (sayı doğrudan gerçek pozitif yarı eksen üzerinde yer almaktadır). Yani trigonometrik formdaki sayı: 
.
Tersine kontrol eylemi gün gibi açıktır:
2) Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım. Şurası açık ki. Aşağıdaki formülü kullanarak resmi hesaplama: .
Açıkçası (veya 90 derece). Çizimde köşe kırmızı renkle gösterilmiştir. Yani trigonometrik formdaki sayı: 
.
Değer tablosu kullanma trigonometrik fonksiyonlar, sayının cebirsel formunu geri almak kolaydır (aynı zamanda bir kontrol gerçekleştirirken):
3) Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım. Şurası açık ki. Aşağıdaki formülü kullanarak resmi hesaplama: .
Açıkçası (veya 180 derece). Çizimde köşe mavi renkle gösterilmiştir. Yani trigonometrik formdaki sayı: 
.
Muayene:
4) Ve dördüncü ilginç durum. Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım. Şurası açık ki. Aşağıdaki formülü kullanarak resmi hesaplama: .
Argüman iki şekilde yazılabilir: Birinci yol: (270 derece) ve buna göre: 
. Muayene:
Ancak aşağıdaki kural daha standarttır: Açı 180 dereceden büyükse, daha sonra bir eksi işaretiyle ve açının ters yönü (“kaydırma”) ile yazılır: (eksi 90 derece), çizimde açı işaretlenir yeşil. Bunu görmek kolaydır ve aynı açıdadırlar.
Böylece giriş şu şekli alır: 
Dikkat! Hiçbir durumda kosinüsün paritesini, sinüsün tuhaflığını kullanmamalı ve gösterimi daha da "basitleştirmemelisiniz":
Bu arada şunu hatırlamakta fayda var dış görünüş trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri ve özellikleri, referans materyaller sayfanın son paragraflarındadır. Ana grafiklerin ve özellikleri temel işlevler . Ve karmaşık sayılar çok daha kolay öğrenilecek!
En basit örneklerin tasarımında şöyle yazılmalıdır: “modülün eşit olduğu açıktır… argümanın eşit olduğu açıktır…”. Bu gerçekten çok açık ve sözlü olarak çözülmesi kolaydır.
Daha yaygın vakaları ele almaya devam edelim. Daha önce de belirttiğim gibi modülde herhangi bir sorun yok; her zaman formülü kullanmalısınız. Ancak argümanı bulma formülleri farklı olacaktır; bu, sayının hangi koordinat çeyreğinde olduğuna bağlıdır. Bu durumda üç seçenek mümkündür (bunları not defterinize kopyalamanız faydalı olacaktır):
1) Eğer (1. ve 4. koordinat çeyrekleri veya sağ yarım düzlem), o zaman argüman formül kullanılarak bulunmalıdır.
2) Eğer (2. koordinat çeyreği), o zaman argüman aşağıdaki formül kullanılarak bulunmalıdır: 
.
3) Eğer (3. koordinat çeyreği) ise, argüman aşağıdaki formül kullanılarak bulunmalıdır: 
.
Örnek 8
Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde temsil edin: , , , .
Hazır formüller olduğu için çizimin tamamlanmasına gerek yoktur. Ancak bir nokta var: Sizden bir sayıyı trigonometrik formda temsil etmeniz istendiğinde, o zaman Yine de çizim yapmak daha iyi. Gerçek şu ki, çizimsiz bir çözüm öğretmenler tarafından sıklıkla reddediliyor; çizimin olmaması ciddi bir eksi ve başarısızlık nedenidir.
Eh, yüz yıldır elle hiçbir şey çizmedim, buyurun:
Her zamanki gibi biraz kirli çıktı =)
Sayıları sunacağım ve karmaşık biçimde birinci ve üçüncü sayılar bağımsız çözüm için olacak.
Sayıyı trigonometrik formda temsil edelim. Modülünü ve argümanını bulalım.
