İkinci dereceden denklem - çözülmesi kolay! *Bundan sonra “KU” olarak anılacaktır. Arkadaşlar öyle görünüyor ki matematikte böyle bir denklemi çözmekten daha basit bir şey olamaz. Ama içimden bir ses birçok insanın onunla sorunları olduğunu söyledi. Yandex'in ayda kaç tane isteğe bağlı gösterim verdiğini görmeye karar verdim. İşte ne oldu, bakın:
Bu ne anlama geliyor? Bu, ayda yaklaşık 70.000 kişinin aradığı anlamına gelir bu bilgi, bu yazın bununla ne ilgisi var ve aralarında neler olacak? okul yılı— iki kat daha fazla talep olacak. Bu şaşırtıcı değil, çünkü okuldan uzun zaman önce mezun olan ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan kız ve erkekler bu bilgiyi arıyorlar ve okul çocukları da hafızalarını tazelemeye çalışıyorlar.
Bu denklemin nasıl çözüleceğini anlatan birçok site olmasına rağmen ben de katkıda bulunup materyali yayınlamaya karar verdim. Öncelikle bu isteğe göre ziyaretçilerin siteme gelmesini istiyorum; ikinci olarak diğer yazılarımda “KU” konusu açıldığında bu yazının linkini vereceğim; üçüncü olarak, size çözümü hakkında diğer sitelerde genellikle belirtilenden biraz daha fazlasını anlatacağım. Başlayalım! Makalenin içeriği:
İkinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:
burada katsayılar a,Bve c, a≠0 olan keyfi sayılardır.
Okul kursunda materyal aşağıdaki biçimde verilmektedir - denklemler üç sınıfa ayrılmıştır:
1. İki kökleri vardır.
2. *Tek bir kökü vardır.
3. Kökleri yoktur. Burada gerçek köklerinin olmadığını özellikle belirtmekte fayda var.
Kökler nasıl hesaplanır? Sadece!
Diskriminant'ı hesaplıyoruz. Bu “korkunç” kelimenin altında çok basit bir formül yatıyor:
Kök formülleri aşağıdaki gibidir:
*Bu formülleri ezbere bilmeniz gerekiyor.
Hemen yazıp çözebilirsiniz:
Örnek:
1. Eğer D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.
2. Eğer D = 0 ise denklemin bir kökü vardır.
3. Eğer D ise< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Denkleme bakalım:
İle bu vesileyle Diskriminant sıfıra eşit olduğunda okul kursu sonucun bir kök olduğunu söylüyor, burada dokuza eşit. Her şey doğru, öyle ama...
Bu fikir biraz yanlıştır. Aslında iki kök var. Evet, evet, şaşırmayın, iki eşit kök elde edersiniz ve matematiksel olarak kesin olmak gerekirse, cevabın iki kök yazması gerekir:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ama bu böyle - küçük bir ara söz. Okulda bunu yazıp tek bir kök olduğunu söyleyebilirsin.
Şimdi bir sonraki örnek:
Bildiğimiz gibi kökü negatif sayıçıkarılmadığından çözümler bu durumda HAYIR.
Bütün karar süreci bundan ibaret.
İkinci dereceden fonksiyon.
Bu, çözümün geometrik olarak neye benzediğini gösterir. Bunu anlamak son derece önemlidir (gelecekte makalelerden birinde ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz).
Bu formun bir fonksiyonudur:
burada x ve y değişkenlerdir
a, b, c – a ≠ 0 ile verilen sayılar
Grafik bir paraboldür:
Yani, “y” sıfıra eşit olan ikinci dereceden bir denklemi çözerek parabolün x ekseni ile kesişme noktalarını bulduğumuz ortaya çıkıyor. Bu noktalardan ikisi (ayırıcı pozitiftir), biri (ayırıcı sıfırdır) ve hiçbiri (ayırıcı negatiftir) olabilir. Hakkında ayrıntılar ikinci dereceden fonksiyon Görüntüleyebilirsiniz Inna Feldman'ın makalesi.
Örneklere bakalım:
Örnek 1: Çöz 2 kere 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Cevap: x 1 = 8 x 2 = –12
*Hemen ayrılmak mümkündü ve Sağ Taraf Denklemi 2'ye bölün, yani basitleştirin. Hesaplamalar daha kolay olacaktır.
Örnek 2: Karar vermek x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
x 1 = 11 ve x 2 = 11 olduğunu bulduk
Cevapta x=11 yazmak caizdir.
Cevap: x = 11
Örnek 3: Karar vermek x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminant negatiftir, gerçek sayılarda çözüm yoktur.
Cevap: çözüm yok
Diskriminant negatiftir. Bir çözüm var!
Burada negatif bir diskriminantın elde edilmesi durumunda denklemin çözümünden bahsedeceğiz. hakkında bir şey biliyor musun? Karışık sayılar? Burada neden ve nerede ortaya çıktıklarını ve matematikteki özel rolleri ve gerekliliklerinin ne olduğunu ayrıntılarına girmeyeceğim; bu ayrı bir makalenin konusu.
Karmaşık sayı kavramı.
Küçük bir teori.
Karmaşık sayı z, formdaki bir sayıdır
z = a + bi
a ve b'nin gerçel sayılar olduğu durumlarda, i sanal birim olarak adlandırılır.
a+bi – bu TEK BİR NUMARAdır, toplama değildir.
Sanal birim eksi birin köküne eşittir:
Şimdi denklemi düşünün:
İki eşlenik kök elde ediyoruz.
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem.
Özel durumları ele alalım; bu, “b” veya “c” katsayısının sıfıra eşit olduğu (veya her ikisinin de sıfıra eşit olduğu) durumdur. Herhangi bir ayrımcılığa uğramadan kolayca çözülebilirler.
Durum 1. Katsayı b = 0.
Denklem şöyle olur:
Haydi dönüştürelim:
Örnek:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Durum 2. Katsayı c = 0.
Denklem şöyle olur:
Dönüştürüp çarpanlara ayıralım:
*Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir.
Örnek:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 veya x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Durum 3. Katsayılar b = 0 ve c = 0.
Burada denklemin çözümünün her zaman x = 0 olacağı açıktır.
Faydalı özellikler ve katsayı kalıpları.
Büyük katsayılı denklemleri çözmenizi sağlayan özellikler vardır.
AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir
A + B+ c = 0, O
- denklemin katsayıları için ise AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir
A+ ç =B, O
Bu özellikler belirli bir denklem türünün çözülmesine yardımcı olur.
Örnek 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Oranların toplamı 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bunun anlamı
Örnek 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Eşitlik geçerlidir A+ ç =B, Araç
Katsayıların düzenlilikleri.
1. Eğer ax 2 + bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse, kökleri eşittir
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Örnek. 6x 2 + 37x + 6 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. ax 2 – bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Örnek. 15x 2 –226x +15 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Denklemde ise. ax 2 + bx – c = 0 katsayısı “b” eşittir (a 2 – 1) ve katsayısı “c” sayısal olarak “a” katsayısına eşittir, o zaman kökleri eşittir
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Örnek. 17x 2 +288x – 17 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Eğer ax 2 - bx - c = 0 denkleminde "b" katsayısı (a 2 - 1)'e eşitse ve c katsayısı sayısal olarak "a" katsayısına eşitse kökleri eşittir
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Örnek. 10x 2 – 99x –10 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vieta'nın teoremi.
Vieta'nın teoremi, adını ünlü Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır. Vieta teoremini kullanarak, rastgele bir KU'nun köklerinin toplamını ve çarpımını katsayıları cinsinden ifade edebiliriz.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Toplamda 14 sayısı sadece 5 ve 9'u verir. Bunlar köklerdir. Belirli bir beceriyle, sunulan teoremi kullanarak birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak anında çözebilirsiniz.
Ayrıca Vieta teoremi. uygun çünkü çözdükten sonra ikinci dereceden denklem ortaya çıkan kökler olağan şekilde (bir ayırıcı aracılığıyla) kontrol edilebilir. Bunu her zaman yapmanızı öneririm.
ULAŞIM ŞEKLİ
Bu yöntemle “a” katsayısı serbest terimle sanki kendisine “atılmış” gibi çarpılır, bu yüzden buna denir. "aktarma" yöntemi. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.
Eğer A± b+c≠ 0 ise transfer tekniği kullanılır, örneğin:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Denklem (2)'deki Vieta teoremini kullanarak x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu belirlemek kolaydır.
Denklemin ortaya çıkan kökleri 2'ye bölünmelidir (çünkü ikisi x 2'den "atılmıştır"), şunu elde ederiz:
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Gerekçesi nedir? Bakın neler oluyor.
Denklem (1) ve (2)'nin ayırıcıları eşittir:
Denklemlerin köklerine bakarsanız yalnızca farklı paydalar elde edersiniz ve sonuç tam olarak x 2 katsayısına bağlıdır:
İkincisi (değiştirilmiş) 2 kat daha büyük köklere sahiptir.
Bu nedenle sonucu 2'ye bölüyoruz.
*Üçünü tekrar atarsak sonucu 3'e vb. böleriz.
Cevap: x 1 = 5 x 2 = 0,5
meydan ur-ie ve Birleşik Devlet Sınavı.
Önemini kısaca anlatacağım - Çabuk ve düşünmeden KARAR VERMELİSİNİZ, köklerin ve ayırıcıların formüllerini ezbere bilmeniz gerekiyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde yer alan problemlerin çoğu, ikinci dereceden bir denklemin (geometrik olanlar dahil) çözülmesine indirgenir.
Dikkate değer bir şey!
1. Bir denklemin yazım şekli “örtük” olabilir. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür:
15+ 9x 2 - 45x = 0 veya 15x+42+9x 2 - 45x=0 veya 15 -5x+10x 2 = 0.
Onu yanına getirmelisin standart görünüm(karar verirken kafanız karışmasın diye).
2. X'in bilinmeyen bir miktar olduğunu ve herhangi bir harfle (t, q, p, h ve diğerleri) gösterilebileceğini unutmayın.
Bu yazıda tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne bakacağız.
Ama önce hangi denklemlere ikinci dereceden denir tekrarlayalım. x'in bir değişken olduğu ve a, b ve c katsayılarının bazı sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklem denir. kare. Gördüğümüz gibi, x 2'nin katsayısı sıfıra eşit değildir ve bu nedenle x'in veya serbest terimin katsayıları sıfıra eşit olabilir, bu durumda tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.
Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:
1) Eğer b = 0, c ≠ 0 ise ax 2 + c = 0;
2) Eğer b ≠ 0, c = 0 ise ax 2 + bx = 0;
3) Eğer b = 0, c = 0 ise ax 2 = 0 olur.
- Nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + c = 0 formundaki denklemler.
Denklemi çözmek için serbest c terimini denklemin sağ tarafına taşırız, şunu elde ederiz:
balta 2 = ‒s. a ≠ 0 olduğundan denklemin her iki tarafını da a'ya böleriz, o zaman x 2 = ‒c/a olur.
‒с/а > 0 ise denklemin iki kökü vardır
x = ±√(–c/a) .
Eğer -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini örneklerle anlamaya çalışalım.
örnek 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 denklemini çözün.
Cevap: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Örnek 2. 2x 2 + 8 = 0 denklemini çözün.
Cevap: Denklemin çözümü yoktur.
- Hadi bunu nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + bx = 0 formundaki denklemler.
ax 2 + bx = 0 denklemini çözmek için çarpanlara ayıralım yani x'i parantezden çıkaralım, x(ax + b) = 0 elde ederiz. Faktörlerden en az biri eşitse çarpım sıfıra eşittir. sıfıra. O zaman ya x = 0 ya da ax + b = 0. ax + b = 0 denklemini çözerek ax = - b elde ederiz, dolayısıyla x = - b/a olur. ax 2 + bx = 0 formundaki bir denklemin her zaman iki kökü x 1 = 0 ve x 2 = ‒ b/a'dır. Bu tür denklemlerin çözümünün şemada nasıl göründüğüne bakın. 
Bilgimizi belirli bir örnekle pekiştirelim.
Örnek 3. 3x 2 ‒ 12x = 0 denklemini çözün.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 veya 3x – 12 = 0
Cevap: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Üçüncü tip denklemler ax 2 = 0çok basit bir şekilde çözüldü.
Eğer ax 2 = 0 ise x 2 = 0 olur. Denklemin iki eşit kökü vardır: x 1 = 0, x 2 = 0.
Açıklık sağlamak için şemaya bakalım. 
Örnek 4'ü çözerken bu tür denklemlerin çok basit bir şekilde çözülebileceğinden emin olalım.
Örnek 4. 7x 2 = 0 denklemini çözün.
Cevap: x 1, 2 = 0.
Ne tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerektiği her zaman hemen belli olmaz. Aşağıdaki örneği düşünün.
Örnek 5. Denklemi çözün
Denklemin her iki tarafını da ortak bir paydayla yani 30 ile çarpalım.
Hadi keselim
5(5x2 + 9) – 6(4x2 – 9) = 90.
Parantezleri açalım
25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.
Benzerini verelim
99'u denklemin sol tarafından sağa kaydıralım, işaretini ters çevirelim
Cevap: Kök yok.
Eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne baktık. Umarım artık bu tür görevlerde herhangi bir zorluk yaşamayacaksınız. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin türünü belirlerken dikkatli olun, o zaman başarılı olursunuz.
Bu konuyla ilgili sorularınız varsa derslerime kaydolun, ortaya çıkan sorunları birlikte çözelim.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Örneğin, \(3x^2+2x-7\) trinomial için diskriminant \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) değerine eşit olacaktır. Ve üç terimli \(x^2-5x+11\) için, \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)'a eşit olacaktır.
Diskriminant \(D\) ile gösterilir ve genellikle çözmede kullanılır. Ayrıca diskriminantın değerine göre grafiğin yaklaşık olarak nasıl göründüğünü anlayabilirsiniz (aşağıya bakın).
İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı ve kökleri
Diskriminant değeri ikinci dereceden denklemlerin sayısını gösterir:
- eğer \(D\) pozitifse denklemin iki kökü olacaktır;
- eğer \(D\) sıfıra eşitse – yalnızca bir kök vardır;
- eğer \(D\) negatifse, kök yoktur.
Bunun öğretilmesine gerek yok, böyle bir sonuca varmak zor değil, sadece diskriminanttan (yani, \(\sqrt(D)\) ikinci dereceden bir denklemin köklerini hesaplama formülüne dahil edildiğini bilerek böyle bir sonuca varmak zor değil. denklem: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt() D))(2a)\) Her duruma daha ayrıntılı olarak bakalım.
Diskriminant pozitif ise
Bu durumda kökü pozitif bir sayıdır, bu da \(x_(1)\) ve \(x_(2)\)'nin farklı anlamlara sahip olacağı anlamına gelir, çünkü ilk formülde \(\sqrt(D)\ ) eklenir ve ikincisinde çıkarılır. Ve iki farklı kökümüz var.
Örnek
: \(x^2+2x-3=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm
:
Cevap : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Diskriminant sıfır ise
Diskriminant sıfır ise kaç kök olacaktır? Hadi akıl yürütelim.
Kök formüller şuna benzer: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ve eğer diskriminant sıfırsa kökü de sıfırdır. Sonra ortaya çıkıyor:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Yani denklemin köklerinin değerleri aynı olacaktır çünkü sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez.
Örnek
: \(x^2-4x+4=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Katsayıları yazıyoruz: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Diskriminantı \(D=b^2-4ac\) formülünü kullanarak hesaplıyoruz |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Denklemin köklerini bulma |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
İki özdeş kökümüz var, bu yüzden bunları ayrı ayrı yazmanın bir anlamı yok - bunları tek olarak yazıyoruz. |
Cevap : \(x=2\)
İkinci dereceden denklem problemleri de incelenmektedir. Okul müfredatı ve üniversitelerde. a*x^2 + b*x + c = 0 formundaki denklemleri kastediyorlar; X- değişken, a, b, c – sabitler; A<>0. Görev denklemin köklerini bulmaktır.
İkinci dereceden denklemin geometrik anlamı
İkinci dereceden bir denklemle temsil edilen bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün apsis (x) ekseni ile kesişme noktalarıdır. Buradan üç olası durumun olduğu anlaşılmaktadır:
1) parabolün apsis ekseni ile kesişme noktası yoktur. Bu, dalları yukarı bakacak şekilde üst düzlemde veya dalları aşağı bakacak şekilde altta olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur (iki karmaşık kökü vardır).
2) parabolün Ox ekseni ile bir kesişme noktası vardır. Böyle bir noktaya parabolün tepe noktası denir ve buradaki ikinci dereceden denklem minimum veya maksimum değerini alır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin bir gerçek kökü (veya iki özdeş kökü) vardır.
3) Son durum pratikte daha ilginçtir - parabolün apsis ekseni ile kesiştiği iki nokta vardır. Bu, denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir.
Değişkenlerin kuvvetlerinin katsayılarının analizine dayanarak parabolün yerleşimi hakkında ilginç sonuçlar çıkarılabilir.
1) a katsayısı sıfırdan büyükse parabolün dalları yukarı doğru, negatifse parabolün dalları aşağı doğru yönlendirilir.
2) B katsayısı sıfırdan büyükse, parabolün tepe noktası sol yarı düzlemde bulunur, negatif bir değer alırsa sağdadır.
İkinci dereceden bir denklemi çözmek için formülün türetilmesi
Sabiti ikinci dereceden denklemden aktaralım 
eşittir işareti için ifadeyi elde ederiz
Her iki tarafı da 4a ile çarpın 
Sola gitmek için mükemmel kare her iki tarafa da b^2 ekleyin ve dönüşümü gerçekleştirin
Buradan buluyoruz
İkinci dereceden bir denklemin diskriminant formülü ve kökleri
Diskriminant radikal ifadenin değeridir.Pozitif ise denklemin formülle hesaplanan iki gerçek kökü vardır. 
Diskriminant sıfır olduğunda, ikinci dereceden denklemin bir çözümü vardır (iki çakışan kök), bu da yukarıdaki D = 0 formülünden kolayca elde edilebilir. negatif diskriminant gerçek kök denklemleri yoktur. Ancak ikinci dereceden denklemin çözümleri karmaşık düzlemde bulunur ve değerleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır. 
Vieta'nın teoremi
İkinci dereceden bir denklemin iki kökünü ele alalım ve bunlara dayanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturalım.Vieta teoreminin kendisi gösterimden kolayca çıkar: eğer elimizde ikinci dereceden bir denklem varsa 
bu durumda köklerinin toplamı, alınan p katsayısına eşittir. zıt işaret ve denklemin köklerinin çarpımı serbest terim q'ya eşittir. Yukarıdakilerin formülsel gösterimi şuna benzeyecektir: Klasik bir denklemde a sabiti sıfırdan farklıysa, o zaman denklemin tamamını buna bölmeniz ve ardından Vieta teoremini uygulamanız gerekir.
İkinci dereceden denklem programını çarpanlara ayırma
Görev belirlensin: İkinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırın. Bunu yapmak için önce denklemi çözeriz (kökleri buluruz). Daha sonra, bulunan kökleri ikinci dereceden denklemin açılım formülüne koyarız, bu sorunu çözecektir.
İkinci dereceden denklem problemleri
Görev 1. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun
x^2-26x+120=0 .
Çözüm: Katsayıları yazın ve bunları diskriminant formülünde değiştirin.
Bu değerin kökü 14'tür, hesap makinesiyle bulmak kolaydır veya sık kullanımla hatırlanır, ancak kolaylık sağlamak için makalenin sonunda size sıklıkla karşılaşabileceğiniz sayıların karelerinin bir listesini vereceğim. bu tür sorunlar.
Bulunan değeri kök formülde değiştiririz 
ve alıyoruz 
Görev 2. Denklemi çözün
2x2 +x-3=0.
Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var, katsayıları yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz 
İle bilinen formüller ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma 
Görev 3. Denklemi çözün
9x2 -12x+4=0.
Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var. Diskriminantın belirlenmesi
Köklerin çakıştığı bir durumla karşı karşıyayız. Formülü kullanarak köklerin değerlerini bulun 
Görev 4. Denklemi çözün
x^2+x-6=0 .
Çözüm: X'in katsayılarının küçük olduğu durumlarda Vieta teoreminin uygulanması tavsiye edilir. Durumuna göre iki denklem elde ederiz
İkinci koşuldan çarpımın -6'ya eşit olması gerektiğini buluyoruz. Bu, köklerden birinin negatif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki olası çözüm çiftine sahibiz (-3;2), (3;-2) . İlk koşulu dikkate alarak ikinci çözüm çiftini reddediyoruz.
Denklemin kökleri eşittir
Problem 5. Çevresi 18 cm ve alanı 77 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun.
Çözüm: Dikdörtgenin çevresinin yarısı komşu kenarlarının toplamına eşittir. Büyük kenar olarak x'i gösterelim, o zaman 18-x küçük kenar olsun. Dikdörtgenin alanı bu uzunlukların çarpımına eşittir:
x(18-x)=77;
veya
x 2 -18x+77=0.
Denklemin diskriminantını bulalım
Denklemin köklerinin hesaplanması 
Eğer x=11, O 18'ler=7 , bunun tersi de doğrudur (eğer x=7 ise 21's=9).
Problem 6. İkinci dereceden denklemi 10x 2 -11x+3=0 çarpanlarına ayırın.
Çözüm: Denklemin köklerini hesaplayalım, bunun için diskriminantı bulacağız. 
Bulunan değeri kök formülde yerine koyarız ve hesaplarız 
İkinci dereceden bir denklemi köklere göre ayrıştırmak için formülü uyguluyoruz 
Parantezleri açarak bir kimlik elde ederiz.
Parametreli ikinci dereceden denklem
Örnek 1. Hangi parametre değerlerinde A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 denkleminin tek kökü var mı?
Çözüm: a=3 değerini doğrudan yerine koyarsak çözümü olmadığını görürüz. Daha sonra, sıfır diskriminantlı denklemin çokluk 2'nin bir köküne sahip olduğu gerçeğini kullanacağız. Diskriminantını yazalım 
Sadeleştirip sıfıra eşitleyelim
a parametresine göre çözümü Vieta teoremi kullanılarak kolaylıkla elde edilebilen ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Köklerin toplamı 7, çarpımı 12'dir. Basit bir arama yaparak 3,4 sayılarının denklemin kökleri olacağını tespit ederiz. Hesaplamaların başında a=3 çözümünü zaten reddettiğimiz için tek doğru çözüm şu olacaktır: a=4. Dolayısıyla a=4 için denklemin bir kökü vardır.
Örnek 2. Hangi parametre değerlerinde A , denklem a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birden fazla kökü var mı?
Çözüm: Öncelikle tekil noktaları ele alalım, bunlar a=0 ve a=-3 değerleri olacaktır. a=0 olduğunda denklem 6x-9=0 şeklinde basitleştirilecektir; x=3/2 ve bir kök olacak. a= -3 için 0=0 kimliğini elde ederiz.
Diskriminantı hesaplayalım 
ve a'nın pozitif olduğu değerini bulun 
İlk koşuldan a>3 elde ederiz. İkinci olarak denklemin diskriminantını ve köklerini buluyoruz. 
Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıkları belirleyelim. a=0 noktasını değiştirerek şunu elde ederiz: 3>0
.
Yani (-3;1/3) aralığının dışında fonksiyon negatiftir. Asıl noktayı unutma a=0, bunun hariç tutulması gerekir çünkü orijinal denklem tek kökü vardır.
Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki aralık elde ederiz. 
Uygulamada pek çok benzer görev olacak, görevleri kendiniz çözmeye çalışın ve birbirini dışlayan koşulları hesaba katmayı unutmayın. İkinci dereceden denklemleri çözmek için formülleri iyi inceleyin; bunlara genellikle çeşitli problemler ve bilimlerdeki hesaplamalarda ihtiyaç duyulur.
İkinci dereceden denklemler gibi diskriminant da 8. sınıfta cebir dersinde işlenmeye başlıyor. İkinci dereceden bir denklemi bir diskriminant aracılığıyla ve Vieta teoremini kullanarak çözebilirsiniz. İkinci dereceden denklemleri ve ayırıcı formülleri inceleme yöntemi, gerçek eğitimdeki birçok şey gibi, okul çocuklarına oldukça başarısız bir şekilde öğretilir. Bu yüzden geçiyorlar okul yılları 9-11. sınıflarda eğitim yerini alıyor " Yüksek öğretim"ve herkes tekrar bakıyor - “İkinci dereceden denklem nasıl çözülür?”, “Denklemin kökleri nasıl bulunur?”, “Ayırt edici nasıl bulunur?” Ve...
Diskriminant formülü
İkinci dereceden a*x^2+bx+c=0 denkleminin diskriminantı D, D=b^2–4*a*c'ye eşittir.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri (çözümleri) diskriminantın (D) işaretine bağlıdır:
D>0 – denklemin 2 farklı gerçek kökü vardır;
D=0 - denklemin 1 kökü vardır (2 eşleşen kök):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminant hesaplama formülü oldukça basittir, pek çok site çevrimiçi bir diskriminant hesaplayıcı sunmaktadır. Bu tür komut dosyalarını henüz çözemedik, dolayısıyla bunun nasıl uygulanacağını bilen varsa lütfen bize e-posta ile yazın. Bu e-posta adresi spambot'lardan korunuyor. Görüntülemek için JavaScript'i etkinleştirmiş olmanız gerekir. .
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için genel formül:
Formülü kullanarak denklemin köklerini buluyoruz 
Kare değişkenin katsayısı eşleştirilirse, diskriminantın değil dördüncü kısmının hesaplanması tavsiye edilir.
Bu gibi durumlarda denklemin kökleri aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: 
Kökleri bulmanın ikinci yolu Vieta Teoremidir.
Teorem yalnızca ikinci dereceden denklemler için değil aynı zamanda polinomlar için de formüle edilmiştir. Bunu Wikipedia'da veya diğer elektronik kaynaklarda okuyabilirsiniz. Ancak basitleştirmek için yukarıdaki ikinci dereceden denklemlerin yani (a=1) formundaki denklemlerin ilgili kısmını ele alalım.
Vieta formüllerinin özü, denklemin köklerinin toplamının, değişkenin ters işaretle alınan katsayısına eşit olmasıdır. Denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Vieta teoremi formüllerle yazılabilir.
Vieta formülünün türetilmesi oldukça basittir. İkinci dereceden denklemi basit faktörlerle yazalım 
Gördüğünüz gibi ustaca olan her şey aynı zamanda basittir. Köklerin modülleri arasındaki fark veya köklerin modülleri arasındaki fark 1, 2 olduğunda Vieta formülünü kullanmak etkilidir. Örneğin, Vieta teoremine göre aşağıdaki denklemlerin kökleri vardır
Denklem 4'e kadar analiz şu şekilde görünmelidir. Denklemin köklerinin çarpımı 6 olduğundan kökler (1, 6) ve (2, 3) değerleri veya zıt işaretli çiftler olabilir. Köklerin toplamı 7'dir (karşı işaretli değişkenin katsayısı). Buradan ikinci dereceden denklemin çözümlerinin x=2 olduğu sonucuna varıyoruz; x=3.
Serbest terimin bölenleri arasından denklemin köklerini seçmek, Vieta formüllerini yerine getirmek için işaretlerini ayarlamak daha kolaydır. İlk başta bunu yapmak zor görünebilir, ancak bir dizi ikinci dereceden denklem üzerinde pratik yapıldıkça, bu tekniğin diskriminantı hesaplamaktan ve ikinci dereceden denklemin köklerini klasik yolla bulmaktan daha etkili olduğu ortaya çıkacaktır.
Gördüğünüz gibi, diskriminantın incelenmesine ilişkin okul teorisi ve denkleme çözüm bulma yöntemleri pratik anlamdan yoksundur - “Okul çocukları neden ikinci dereceden bir denkleme ihtiyaç duyuyor?”, “Ayırt edicinin fiziksel anlamı nedir?”
Hadi anlamaya çalışalım Diskriminant neyi tarif ediyor?
Cebir dersinde fonksiyonları, fonksiyonları inceleme şemalarını ve fonksiyonların grafiğini oluşturmayı incelerler. Tüm fonksiyonlar arasında parabol, denklemi şu şekilde yazılabilen önemli bir yer tutar: 
Dolayısıyla ikinci dereceden denklemin fiziksel anlamı parabolün sıfırları, yani fonksiyonun grafiğinin apsis ekseni Ox ile kesişme noktalarıdır.
Aşağıda anlatılan parabollerin özelliklerini hatırlamanızı rica ediyorum. Sınavlara, testlere veya giriş sınavlarına girmenin zamanı gelecek ve referans materyal için minnettar olacaksınız. Kare değişkeninin işareti, grafikteki parabolün dallarının yukarı çıkıp çıkmayacağına (a>0) karşılık gelir,
veya dalları aşağı doğru olan bir parabol (a<0)
.
Parabolün tepe noktası köklerin ortasındadır
Diskriminantın fiziksel anlamı:
Diskriminant sıfırdan büyükse (D>0), parabolün Ox ekseniyle iki kesişme noktası vardır. 
Diskriminant sıfırsa (D=0), tepe noktasındaki parabol x eksenine dokunur. 
Ve son durum, diskriminantın sıfırdan küçük olduğu durumdur (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
