Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ...paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varmak için tartışmalar bugün de devam ediyor bilimsel toplulukşu ana kadar bu mümkün olmadı... konunun araştırılmasına dahil olduk matematiksel analiz küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil ile çalışır sabit hız. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey Özel dikkat Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Uygulanabilir matematiksel teori matematikçilerin kendilerine sunar.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...
Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Biz seçiyoruz futbol stadyumları aynı alan alanına sahip. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE Büyük bir sayı 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Aynı dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde edersiniz.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası ruhların cennete yükselişleri sırasındaki ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.
Öncelikle şunu tanımlayalım: Nedir? Doğrusal Denklem ve hangisine en basit denir?
Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.
En basit denklem inşaat anlamına gelir:
Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:
- Varsa parantezleri genişletin;
- Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
- Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
- Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.
Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:
- Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
- Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.
Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.
Denklem çözme örnekleri
Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.
Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:
- Öncelikle varsa parantezleri genişletmeniz gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
- Daha sonra benzerlerini birleştirin
- Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.
Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerleri getirmeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.
Teorik olarak bu güzel ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit konularda saldırgan hatalar yapabilirler. doğrusal denklemler. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.
Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ama sizin de zaten anladığınız gibi, en başından başlayacağız. basit görevler.
Basit doğrusal denklemleri çözme şeması
İlk olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:
- Varsa parantezleri genişletin.
- Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
- Benzer terimleri sunuyoruz.
- Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.
Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor, içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.
Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme
Görev No.1
İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen unutmayın: yalnızca bireysel terimlerden bahsediyoruz. Bunu yazalım:
Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle dördüncü adıma geçiyoruz: katsayıya bölelim:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Böylece cevabı aldık.
Görev No.2
Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:
Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:
İşte benzerlerinden bazıları:
Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'ın herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.
Görev No.3
Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Burada birkaç parantez var, ancak hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önlerinde farklı işaretler var. Bunları parçalayalım:
Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hadi matematik yapalım:
Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler
Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:
- Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
- Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.
Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır, hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı, sıfır alırsanız yanlış yaptığınızı varsaymamalısınız.
Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.
Bu basit gerçeği anlamak, lisede böyle şeyler yapmanın olağan karşılandığı aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.
Karmaşık doğrusal denklemleri çözme
Daha karmaşık denklemlere geçelim. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar kesinlikle iptal edilecektir.
Örnek No.1
Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:
Şimdi gizliliğe bir göz atalım:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
İşte benzerlerinden bazıları:
Açıkçası bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:
\[\varhiçbir şey\]
ya da kökleri yoktur.
Örnek No.2
Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:
Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:
İşte benzerlerinden bazıları:
Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:
\[\varhiçbir şey\],
ya da kökleri yoktur.
Çözümün nüansları
Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökü olmayan iki denklemi ele aldık.
Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:
Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.
Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.
Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:
Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Denklem çözmek her zaman bir dizi temel dönüşüm olduğundan, basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememe, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açar.
Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak, her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.
Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme
Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.
Görev No.1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:
Biraz gizlilik yapalım:
İşte benzerlerinden bazıları:
Son adımı tamamlayalım:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.
Görev No.2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:
Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:
Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
İşte benzer terimler:
Son cevabı bir kez daha aldık.
Çözümün nüansları
Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: Birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda, bunu şu kurala göre yaparız: İlk terimden ilk terimi alırız ve her elemanla çarparız. ikinci; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikinciden gelen her elemanla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.
Cebirsel toplam hakkında
Bu son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak istiyorum. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.
Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.
Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.
Kesirli Denklem Çözme
Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:
- Parentezleri aç.
- Ayrı değişkenler.
- Benzerlerini getirin.
- Orana bölün.
Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.
Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:
- Kesirlerden kurtulun.
- Parentezleri aç.
- Ayrı değişkenler.
- Benzerlerini getirin.
- Orana bölün.
“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.
Örnek No.1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Şimdi genişletelim:
Değişkeni ayırıyoruz:
Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:
\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Aldık son karar, ikinci denkleme geçelim.
Örnek No.2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem çözüldü.
Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.
Anahtar noktaları
Temel bulgular şunlardır:
- Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
- Parantez açma yeteneği.
- görürseniz endişelenmeyin ikinci dereceden fonksiyonlar büyük olasılıkla, daha sonraki dönüşümler sürecinde azalacaklar.
- Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.
Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!
Denklemin o kısmı parantez içindeki ifadedir. Parantezleri açmak için parantezlerin önündeki işarete bakın. Artı işareti varsa, ifadedeki parantezlerin açılması hiçbir şeyi değiştirmez; yalnızca parantezleri kaldırın. Eksi işareti varsa, parantezleri açarken, başlangıçta parantez içinde olan tüm işaretleri zıt işaretlerle değiştirmeniz gerekir. Örneğin, -(2x-3)=-2x+3.
İki parantez çarpımı.
Denklem iki parantez çarpımını içeriyorsa parantezlerin şu şekilde açılması: standart kural. Birinci parantez içindeki her terim, ikinci parantez içindeki her terimle çarpılır. Ortaya çıkan sayılar toplanır. Bu durumda iki “artı” ya da iki “eksi”nin çarpımı terime “artı” işareti verir ve eğer faktörler farklı işaretler, ardından bir eksi işareti alır.
Hadi düşünelim.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Parantezleri açarak, bazen bir ifadeyi yükselterek. Kare ve küp formüllerinin ezbere bilinmesi ve hatırlanması gerekir.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Üçten büyük bir ifade oluşturmaya yönelik formüller Pascal üçgeni kullanılarak yapılabilir.
Kaynaklar:
- parantez genişletme formülü
Parantez içine alınmış matematiksel işlemler değişkenler ve ifadeler içerebilir değişen dereceler zorluklar. Bu tür ifadeleri çoğaltmak için bir çözüm aramanız gerekecek. Genel görünüm, parantezlerin açılması ve sonucun basitleştirilmesi. Köşeli parantezler değişkensiz, yalnızca sayısal değerler içeren işlemler içeriyorsa, o zaman parantezlerin açılması gerekli değildir, çünkü bir bilgisayarınız varsa kullanıcısı çok önemli bilgi işlem kaynaklarına erişebilir - bunları kullanmak ifadeyi basitleştirmekten daha kolaydır.
Talimatlar
Sonucu genel biçimde elde etmek istiyorsanız, bir parantez içindeki her birini (veya eksilenleri) diğer tüm parantezlerin içeriğiyle sırayla çarpın. Örneğin orijinal ifade şu şekilde yazılsın: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). O zaman sıralı çarpma (yani parantezlerin açılması) şu sonucu verecektir: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
İfadeleri kısaltarak sonucu basitleştirin. Örneğin, önceki adımda elde edilen ifade şu şekilde basitleştirilebilir: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
X eşittir 4,75'i çarpmanız gerekiyorsa bir hesap makinesi kullanın, yani (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Bu değeri hesaplamak için Google veya Nigma arama motoru sitesine gidin ve sorgu alanına ifadeyi orijinal haliyle (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) girin. Google, herhangi bir düğmeye tıklamadan hemen 82.265625'i gösterecektir, ancak Nigma'nın tek bir düğmeyi tıklatarak sunucuya veri göndermesi gerekir.
Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. Örneğin\(5·3+7\) sayısal ifadesinde önce çarpma, sonra toplama hesaplanır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Örnek.
Parantezi genişletin: \(-(4m+3)\).
Çözüm
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Örnek.
Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Örnek.
Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm
: Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..
Örnek.
Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm
: Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.
Örnek.
İfadeyi basitleştirin: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Çözüm
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Son durumu dikkate almaya devam ediyor.
Bir parantez bir parantezle çarpıldığında, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Örnek.
Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm
: Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi kaldırın - terimlerinin her birini ikinci parantezle çarpın:
Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- Her şey sırayla...
Sonra ikincisi.
Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:
Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.
Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Eğer c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.
Parantez içinde parantez
Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.
Bu tür görevleri başarıyla çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
- parantezleri örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.
Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.
Örnek.
Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:
Örnek.
Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
Çözüm
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Burada parantezlerin üçlü iç içe geçmesi var. En içtekiyle başlayalım (yeşille vurgulanmış). Braketin önünde bir artı var, bu yüzden kolayca çıkıyor. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Şimdi ikinci braketi, ara braketi açmanız gerekiyor. Ancak ondan önce bu ikinci parantez içindeki hayalet benzeri terimlerin anlatımını basitleştireceğiz. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Şimdi ikinci braketi açıyoruz (mavi renkle vurgulanmıştır). Parantez bir faktör olmadan önce - yani parantez içindeki her terim onunla çarpılır. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Ve son parantezi açın. Parantez önünde eksi işareti vardır, dolayısıyla tüm işaretler terstir. |
||
Parantezleri genişletmek matematikte temel bir beceridir. Bu beceri olmadan 8. ve 9. sınıflarda C'nin üzerinde bir not almanız mümkün değildir. Bu nedenle bu konuyu iyi anlamanızı tavsiye ederim.
Bu yazımızda parantez açmak gibi matematik dersinde bu kadar önemli bir konunun temel kurallarına detaylı bir şekilde bakacağız. Kullanıldığı denklemleri doğru çözebilmek için parantez açma kurallarını bilmeniz gerekir.
Ekleme sırasında parantezlerin doğru şekilde açılması
Başında “+” işareti bulunan parantezleri genişletin
Bu en basit durumdur çünkü parantezlerin önünde ekleme işareti varsa parantez açıldığında içlerindeki işaretler değişmez. Örnek:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Başında "-" işareti bulunan parantezlerin genişletilmesi
İÇİNDE bu durumda tüm terimleri parantez olmadan yeniden yazmanız gerekir, ancak aynı zamanda içlerindeki tüm işaretleri de zıt işaretlerle değiştirmeniz gerekir. İşaretler yalnızca önünde "-" işareti bulunan parantezlerdeki terimler için değişir. Örnek:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Çarpma işleminde parantez nasıl açılır
Parantezlerden önce çarpan numarası var
Bu durumda her terimi bir faktörle çarpmanız ve işaretleri değiştirmeden parantezleri açmanız gerekir. Çarpanın “-” işareti varsa çarpma sırasında terimlerin işaretleri ters çevrilir. Örnek:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Aralarında çarpım işareti bulunan iki parantez nasıl açılır?
Bu durumda, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpmanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir. Örnek:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Bir karede parantez nasıl açılır
İki terimin toplamı veya farkının karesi alınırsa parantezler aşağıdaki formüle göre açılmalıdır:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Parantez içinde eksi olması durumunda formül değişmez. Örnek:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Parantezleri başka bir dereceye kadar genişletme
Terimlerin toplamı veya farkı örneğin 3. veya 4. kuvvete yükseltilirse, o zaman parantezin kuvvetini "karelere" bölmeniz yeterlidir. Aynı faktörlerin kuvvetleri eklenir ve bölme sırasında bölenin kuvveti, bölenin kuvvetinden çıkarılır. Örnek:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
3 parantez nasıl açılır
3 parantezin aynı anda çarpıldığı denklemler vardır. Bu durumda önce ilk iki parantez içindeki terimleri birbiriyle çarpmanız, ardından bu çarpımın toplamını üçüncü parantezdeki terimlerle çarpmanız gerekir. Örnek:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Parantez açmaya ilişkin bu kurallar hem doğrusal hem de trigonometrik denklemlerin çözümüne eşit şekilde uygulanır.
