Bir eksen etrafında dönen bir cismin somut bir örneği olarak sarkaçların hareketini düşünün.
Fiziksel sarkaç denir sağlam ağırlığının etkisi altında etrafında salınım hareketleri yaptığı yatay bir dönme eksenine sahiptir (Şekil 119).
Sarkacın konumu tamamen denge konumundan sapma açısı ile belirlenir ve bu nedenle sarkacın hareket yasasını belirlemek için bu açının zamana bağımlılığını bulmak yeterlidir.
Formun denklemi:
sarkacın hareket denklemi (yasası) denir. Başlangıç koşullarına, yani açıya ve açısal hıza bağlıdır.
Fiziksel bir Sarkaç'ın sınırlayıcı durumu, (daha önce belirtildiği gibi - Bölüm 2, § 3) etrafında sert, ağırlıksız bir çubukla döndüğü yatay eksene bağlı maddi bir noktayı temsil eden matematiksel bir sarkaçtır (Şekil 120). Maddi bir noktanın dönme ekseninden uzaklığına matematiksel sarkacın uzunluğu denir.
Fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket denklemleri
Çizimde gösterildiği gibi, xy düzlemi C gövdesinin ağırlık merkezinden geçecek ve sarkacın salınım düzlemi ile çakışacak şekilde bir koordinat eksenleri sistemi seçelim (Şekil 119). Çizim düzlemine dik olan ekseni kendimize doğru yönlendirelim. Daha sonra, önceki paragrafın sonuçlarına dayanarak, fiziksel sarkacın hareket denklemini şu şekilde yazıyoruz:
burada içinden sarkacın dönme eksenine göre atalet momentini belirtir ve
Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:
Sarkaç üzerine etki eden aktif kuvvet ağırlığıdır ve ağırlık eksenine göre momenti şöyle olacaktır:
sarkacın dönme ekseninden C kütle merkezine olan mesafe nerede?
Sonuç olarak, fiziksel bir sarkacın aşağıdaki hareket denklemine ulaşıyoruz:
Matematiksel sarkacın fiziksel sarkacın özel bir durumu olması nedeniyle yukarıda yazılanlar diferansiyel denklem Bu aynı zamanda matematiksel bir sarkaç için de geçerlidir. Matematiksel bir sarkacın uzunluğu ve ağırlığı eşitse dönme eksenine göre eylemsizlik momenti eşittir
Matematiksel sarkacın ağırlık merkezinin eksenden uzaklığı eşit olduğundan, matematiksel sarkacın son diferansiyel hareket denklemi şu şekilde yazılabilir:
Fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu
(16.8) ve (16.9) denklemlerini karşılaştırarak, fiziksel ve matematiksel sarkaçların parametrelerinin ilişkiyle ilişkili olması durumunda şu sonuca varabiliriz:
o zaman fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket yasaları aynıdır (aynı başlangıç koşulları altında).
Son ilişki, bir matematiksel sarkacın, karşılık gelen fiziksel sarkaçla aynı şekilde hareket etmesi için sahip olması gereken uzunluğu gösterir. Bu uzunluğa fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu denir. Bu kavramın anlamı, fiziksel bir sarkacın hareketinin incelenmesinin, basit bir mekanik devre olan matematiksel bir sarkacın hareketinin incelenmesi ile değiştirilebilmesidir.
Sarkacın hareket denkleminin ilk integrali
Fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket denklemleri aynı formdadır, bu nedenle hareketlerinin denklemi şu şekilde olacaktır:
Bu denklemde dikkate alınan tek kuvvet potansiyel kuvvet alanına ait yer çekimi kuvveti olduğundan mekanik enerjinin korunumu kanunu gerçekleşir.
İkincisi elde edilebilir basit numara denklemi (16.10) o zamana kadar çarpalım
Bu denklemin integralini alırsak,
Başlangıç koşullarından Cu entegrasyon sabitini belirleyerek şunu buluruz:
Aldığımız bağıl denklemin son denklemini çözüyoruz
Bu ilişki diferansiyel denklemin (16.10) birinci integralini temsil eder.
Fiziksel ve matematiksel sarkaçların destek reaksiyonlarının belirlenmesi
Hareket denklemlerinin ilk integrali sarkacın destek reaksiyonlarını belirlememizi sağlar. Bir önceki paragrafta belirtildiği gibi destek reaksiyonları denklemlerden (16.5) belirlenir. Fiziksel bir sarkaç durumunda, aktif kuvvetin koordinat eksenleri boyunca bileşenleri ve eksenlere göre momentleri şöyle olacaktır:
Kütle merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Daha sonra desteklerin reaksiyonlarını belirleyen denklemler şu şekli alır:
Problemin durumuna göre gövdenin merkezkaç atalet momentleri ve mesnetler arası mesafelerin bilinmesi gerekmektedir. Açısal ivme ve açısal hızс (16.9) ve (16.4) denklemlerinden şu şekilde belirlenir:
Böylece denklemler (16.12), fiziksel bir sarkacın destek reaksiyonlarının bileşenlerini tamamen belirler.
Matematiksel bir sarkacı dikkate alırsak denklemler (16.12) daha da basitleştirilir. Nitekim matematiksel bir sarkacın maddi noktası düzlemde bulunduğundan, ayrıca bir nokta sabit olduğundan, denklemler (16.12) şu formdaki denklemlere dönüşür:
Denklem (16.9) kullanılarak denklemlerden (16.13), destek reaksiyonunun iplik I boyunca yönlendirildiği anlaşılmaktadır (Şekil 120). İkincisi bariz bir sonuçtur. Sonuç olarak, eşitliğin bileşenlerini (16.13) ipliğin yönüne yansıtarak, formun desteğinin tepkisini belirlemek için bir denklem buluyoruz (Şekil 120):
Buradaki değeri yerine koyarsak ve şunu yazdığımızı dikkate alırsak:
Son ilişki matematiksel bir sarkacın dinamik tepkisini belirler. Statik reaksiyonunun olacağını unutmayın.
Bir sarkacın hareketinin doğasının nitel çalışması
Bir sarkacın hareket denkleminin ilk integrali, hareketinin doğası hakkında niteliksel bir çalışma yapmamızı sağlar. Yani bu integrali (16.11) şu şekilde yazıyoruz:
Hareket sırasında radikal ifadenin ya olumlu olması ya da bazı noktalarda kaybolması gerekiyor. Başlangıç koşullarının şöyle olduğunu varsayalım:
Bu durumda radikal ifade hiçbir yerde kaybolmaz. Sonuç olarak, hareket ederken, sarkaç açının tüm değerlerinden geçecek ve sarkaçtan gelen açısal hız, ilk açısal hızın yönü ile belirlenen aynı işarete sahip olacak veya açı ya tüm açıları artıracaktır. zaman veya her zaman azalır, yani sarkaç bir tarafta dönecektir.
Hareket yönleri ifadedeki (16.11) şu veya bu işarete karşılık gelecektir. Gerekli bir koşul Böyle bir hareketin gerçekleşmesi, başlangıçtaki açısal hızın varlığıdır, çünkü (16.14) eşitsizliğinden, herhangi bir başlangıç sapma açısında sarkacın böyle bir hareketini elde etmenin imkansız olduğu açıktır.
Şimdi başlangıç koşulları şöyle olsun
Bu durumda radikal ifadenin sıfır olduğu iki açı değeri vardır. Eşitlik tarafından tanımlanan açılara karşılık gelmelerine izin verin
Üstelik 0 ile 0 arasında bir yerde olacaktır. Dahası, açıktır ki, ne zaman
radikal ifadesi (16.11) pozitif olacak ve keyfi olarak çok az aşılması durumunda negatif olacaktır.
Sonuç olarak, sarkaç hareket ettiğinde açısı şu aralıkta değişir:
Sarkacın açısal hızı sıfıra gittiğinde açı değeri azalmaya başlar. Bu durumda açısal hızın işareti veya (16.11) ifadesindeki radikalin önündeki işaret değişecektir. Sarkacın açısal hızı tekrar sıfıra ulaştığında ve açı tekrar bu değere doğru artmaya başladığında
Böylece sarkaç salınım hareketleri yapacaktır
Sarkaç salınımlarının genliği
Sarkaç salındığında dikeyden sapmasının maksimum değerine salınımın genliği denir. Eşitlikten belirlenene eşittir
Son formülden de anlaşılacağı gibi, salınımın genliği sarkacın ana özelliklerine veya azaltılmış uzunluğuna ilişkin ilk verilere bağlıdır.
Özel durumda, sarkaç denge konumundan saptırıldığında ve başlangıç hızı olmaksızın serbest bırakıldığında, bu durumda eşit olacaktır, dolayısıyla genlik azaltılmış uzunluğa bağlı değildir.
Bir sarkacın hareket denkleminin son hali
Sarkacın başlangıç hızı sıfır olsun, o zaman hareket denkleminin ilk integrali şöyle olacaktır:
Bu denklemin integralini alırsak, şunu buluruz:
Zamanı sarkacın konumundan itibaren sayacağız, o zaman karşılık gelir
İntegrali aşağıdaki formülü kullanarak dönüştürelim:
Sonra şunu elde ederiz:
Ortaya çıkan integrale birinci türden eliptik integral denir. Sonlu sayıda temel fonksiyon kullanılarak ifade edilemez.
Eliptik integralin (16.15) üst sınırına göre ters çevrilmesi sarkacın hareket denklemini temsil eder:
Bu iyi çalışılmış Jacobi eliptik fonksiyonu olacaktır.
Sarkaç salınımı periyodu
Bir sarkacın bir tam salınımı için geçen süreye salınım periyodu denir. Bunu T olarak gösterelim. Sarkacın bir konumdan diğerine hareket süresi, o andan itibaren hareket süresiyle aynı olduğundan, T aşağıdaki formülle belirlenecektir:
Değişkenleri koyarak değişiklik yapalım
0 ile değişirken 0 ile arasında değişecektir. Daha öte,
ve bu nedenle
Son integrale birinci türden tam bir eliptik integral denir (değerleri özel tablolarda verilmiştir).
İntegral birlik eğiliminde olduğunda ve .
Bir sarkacın küçük salınımları için yaklaşık formüller
Sarkaç salınımlarının küçük bir genliğe sahip olması durumunda (pratik olarak 20°'yi geçmemelidir),
Daha sonra sarkacın diferansiyel hareket denklemi şu şekli alır:
Matematik sarkaç
giriiş
Salınım periyodu
sonuçlar
Edebiyat
giriiş
Artık katedralde dua eden Galileo'nun bronz avizelerin salınımını nasıl dikkatle izlediğine dair efsaneyi doğrulamak artık mümkün değil. Avizenin ileri geri hareket etmesiyle geçen süreyi gözlemleyip belirledim. Bu süreye daha sonra salınım dönemi adı verildi. Galileo'nun saati yoktu ve farklı uzunluklardaki zincirlere asılı avizelerin salınım periyodunu karşılaştırmak için nabzının sıklığını kullandı.
Sarkaçlar saatlerin hızını ayarlamak için kullanılır, çünkü her sarkacın çok özel bir salınım periyodu vardır. Sarkaç da bulur önemli uygulama jeolojik araştırmada. Dünyanın farklı yerlerinde değerlerin olduğu bilinmektedir. G farklıdır. Farklılar çünkü Dünya tamamen düzenli bir küre değil. Ayrıca bazı metal cevherleri gibi yoğun kayaların bulunduğu bölgelerde değer G anormal derecede yüksek. Doğru ölçümler G Matematiksel bir sarkacın yardımıyla bazen bu tür birikintileri tespit etmek mümkündür.
Matematiksel sarkacın hareket denklemi
Matematiksel bir sarkaç, dikey bir daire (düz matematiksel sarkaç) veya bir küre (küresel sarkaç) boyunca hareket eden ağır bir malzeme noktasıdır. İlk yaklaşıma göre, matematiksel bir sarkacın, uzamayan esnek bir ip üzerinde asılı duran küçük bir yük olduğu düşünülebilir.
Düz bir matematiksel sarkacın yarıçaplı bir daire boyunca hareketini düşünelim. ben bir noktada merkezlenmiş HAKKINDA(Şekil 1). Noktanın konumunu belirleyeceğiz M(sarkaç) sapma açısı j yarıçapı OM dikeyden. Teğet yönlendirme M t pozitif j açısına doğru doğal bir hareket denklemi oluşturacağız. Bu denklem hareket denkleminden oluşturulmuştur.
mW=F+N, (1)
Nerede F noktaya etki eden aktif kuvvettir ve N- iletişim reaksiyonu.
Resim 1
Denklem (1)'i, dinamiğin temel yasası olan ve maddi bir noktanın momentumunun zamana göre türevinin, ona etki eden kuvvete eşit olduğunu belirten Newton'un ikinci yasasına göre elde ettik;
Kütlenin sabit olduğunu varsayarak önceki denklemi şu şekilde temsil edebiliriz:
Nerede W noktanın ivmesidir.
Dolayısıyla t eksenine izdüşümdeki denklem (1) bize bir noktanın belirli bir sabit düzgün eğri boyunca hareketi için doğal denklemlerden birini verecektir:
Bizim durumumuzda t eksenine izdüşümü elde ederiz
,
Nerede M sarkacın bir kütlesi var.
Veya'dan beri, buradan şunu buluyoruz:
.
Azaltma oranı M ve inanmak
, (3)
sonunda sahip olacağız:
,
,
,
. (4)
İlk önce küçük salınımlar durumunu ele alalım. Bırak girsin başlangıç anı sarkaç dikeyden bir açıyla saptırılır J ve ilk hız olmadan indirildi. O zaman başlangıç koşulları şöyle olacaktır:
en T= 0, 
. (5)
Enerji integralinden:
, (6)
Nerede V- potansiyel enerji ve H entegrasyon sabiti olduğundan, bu koşullar altında herhangi bir zamanda jЈj açısının 0 olduğu sonucu çıkar. Sabit değer H ilk verilere göre belirlenir. j 0 açısının küçük olduğunu varsayalım (j 0 Ј1); o zaman j açısı da küçük olacaktır ve yaklaşık olarak sinj'j'yi ayarlayabiliriz. Bu durumda denklem (4) şu şekli alacaktır:
. (7)
Denklem (7), basit bir harmonik salınımın diferansiyel denklemidir. Ortak karar bu denklem şu şekle sahiptir
, (8)
Nerede A Ve B veya A ve e entegrasyon sabitleridir.
Buradan hemen periyodu buluyoruz ( T) matematiksel bir sarkacın küçük salınımları (periyot - noktanın aynı hızda önceki konumuna döndüğü süre)
Ve 
,
Çünkü sin'in periyodu 2p'ye eşitse w T=2p Yu
(9)
Başlangıç koşulları (5) altında hareket yasasını bulmak için şunu hesaplıyoruz:
. (10)
(5) değerlerini denklemler (8) ve (10)'a değiştirerek şunu elde ederiz:
j0 = A, 0 = w B,
onlar. B=0. Sonuç olarak, (5) koşulları altında küçük salınımlar için hareket yasası şöyle olacaktır:
j = j 0 çünkü ağırlık. (on bir)
Şimdi düz matematiksel sarkaç probleminin kesin çözümünü bulalım. Öncelikle hareket denkleminin (4) birinci integralini belirleyelim. Çünkü
,
o zaman (4) şu şekilde temsil edilebilir:
.
Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da çarparak D j ve integral aldığımızda şunu elde ederiz:
. (12)
Burada sarkacın maksimum sapma açısını j 0 olarak gösterelim; o zaman j = j 0 için elimizde olacak, dolayısıyla C= w 2 cosj 0 . Sonuç olarak integral (12) şunu verir:
, (13)
burada w eşitlik (3) ile belirlenir.
Bu integral enerji integralidir ve doğrudan denklemden elde edilebilir.
, (14)
taşınma işi nerede M 0 M aktif kuvvet F bizim durumumuzda bunu dikkate alırsak v 0 =0 ve (şekle bakın).
Denklem (13)'ten, sarkaç hareket ettiğinde j açısının +j 0 ve -j 0 (|j|Јj 0, çünkü) değerleri arasında değişeceği açıktır, yani. sarkaç salınımlı bir hareket gerçekleştirecektir. Zamanı geri saymayı kabul edelim T sarkacın dikey düzlemden geçtiği andan itibaren O.A. sağa doğru hareket ettiğinde (şekle bakın). O zaman başlangıç koşuluna sahip olacağız:
en T=0, j=0. (15)
Ayrıca bir noktadan hareket ederken A irade ; her iki tarafın eşitliklerinden türetilen (13) Kare kök, şunu elde ederiz:
.
Burada değişkenleri ayırarak şunu elde ederiz:
. (16)
, 
,
O
.
Bu sonucu denklem (16)'da yerine koyarsak, elde ederiz.
Salınım hareketi- Koordinatı, hızı ve ivmesi eşit zaman aralıklarında yaklaşık olarak aynı değerleri alan bir cismin periyodik veya neredeyse periyodik hareketi.
Mekanik titreşimler, bir cisim denge konumundan çıkarıldığında, cismi geri döndürme eğiliminde olan bir kuvvet ortaya çıktığında meydana gelir.
Yer değiştirme x, vücudun denge konumundan sapmasıdır.
Genlik A, cismin maksimum yer değiştirmesinin modülüdür.
Salınım periyodu T - bir salınımın süresi:
Salınım frekansı
Bir cismin birim zaman başına yaptığı salınım sayısı: Salınım sırasında hız ve ivme periyodik olarak değişir. Denge konumunda hız maksimum, ivme ise sıfırdır. Maksimum yer değiştirme noktalarında ivme maksimuma ulaşır ve hız sıfır olur.
HARMONİK TİTREŞİM PROGRAMI
Harmonik sinüs veya kosinüs kanununa göre oluşan titreşimlere denir:
burada x(t), sistemin t zamanındaki yer değiştirmesidir, A genliktir, ω salınımların döngüsel frekansıdır.
Eğer cismin denge konumundan sapmasını dikey eksen boyunca ve zamanı da yatay eksen boyunca çizerseniz, x = x(t) salınımının - cismin yer değiştirmesinin zamana bağımlılığının - grafiğini elde edersiniz. Serbest harmonik salınımlar için sinüs dalgası veya kosinüs dalgasıdır. Şekil x yer değiştirmesinin, Vx hızının ve a x ivmesinin zamana bağımlılığının grafiklerini göstermektedir.
Grafiklerden görülebileceği gibi, maksimum x yer değiştirmesinde, salınan cismin hızı V sıfırdır, ivme a ve dolayısıyla cisme etki eden kuvvet maksimumdur ve yer değiştirmenin tersi yöndedir. Denge konumunda yer değiştirme ve ivme sıfır olur ve hız maksimumdur. İvme projeksiyonu her zaman yer değiştirmenin tersi işarete sahiptir.
TİTREŞİM HAREKETİNİN ENERJİSİ
Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamına eşittir ve sürtünme olmadığında sabit kalır:
Yer değiştirmenin maksimum x = A değerine ulaştığı anda hız ve onunla birlikte kinetik enerji de sıfıra gider.
Bu durumda toplam enerji potansiyel enerjiye eşittir:
Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, salınımlarının genliğinin karesiyle orantılıdır.
Sistem denge konumunu geçtiğinde yer değiştirme ve potansiyel enerji sıfırdır: x = 0, E p = 0. Dolayısıyla toplam enerji kinetik enerjiye eşittir:
Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, denge konumundaki hızının karesiyle orantılıdır. Buradan:
MATEMATİK SARKAÇ
1. Matematik sarkaç ağırlıksız, uzamayan bir iplik üzerinde asılı duran maddi bir noktadır.
Denge konumunda yerçekimi kuvveti ipliğin gerilimi ile telafi edilir. Sarkaç saptırılır ve serbest bırakılırsa, kuvvetler birbirini telafi etmeyi bırakacak ve denge konumuna doğru bir bileşke kuvvet ortaya çıkacaktır. Newton'un ikinci yasası:
Küçük salınımlar için, x yer değiştirmesi l'den çok daha az olduğunda, malzeme noktası hemen hemen aynı doğrultuda hareket edecektir. yatay eksen X. Daha sonra MAB üçgeninden şunu elde ederiz:
Çünkü günah a = x/l, bu durumda ortaya çıkan R kuvvetinin x eksenine izdüşümü şuna eşittir:
Eksi işareti, R kuvvetinin her zaman x yer değiştirmesinin tersi yönünde olduğunu gösterir.
2. Dolayısıyla, matematiksel bir sarkacın salınımları sırasında ve ayrıca bir yay sarkacının salınımları sırasında, geri getirme kuvveti yer değiştirmeyle orantılıdır ve ters yönde yönlendirilir.
Matematiksel ve yaylı sarkaçların geri çağırma kuvvetine ilişkin ifadeleri karşılaştıralım:
Mg/l'nin k'nin bir analogu olduğu görülebilir. Yaylı sarkacın periyodu için formülde k'yi mg/l ile değiştirmek
matematiksel bir sarkacın periyodu için formülü elde ederiz:
Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu genliğe bağlı değildir.
Zamanı ölçmek ve dünya yüzeyinde belirli bir konumdaki yerçekimi ivmesini belirlemek için matematiksel bir sarkaç kullanılır.
Matematiksel bir sarkacın küçük sapma açılarında serbest salınımları harmoniktir. Bunlar, yerçekimi kuvveti ve ipliğin gerginlik kuvvetinin yanı sıra yükün ataletinden dolayı meydana gelir. Bu kuvvetlerin sonucu geri çağırıcı kuvvettir.
Örnek. 6,25 m uzunluğundaki bir sarkacın 3,14 s'lik bir serbest salınım periyoduna sahip olduğu bir gezegende yerçekimine bağlı ivmeyi belirleyin.
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu ipliğin uzunluğuna ve yerçekimi ivmesine bağlıdır:
Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak şunu elde ederiz:
Cevap: yer çekimi ivmesi 25 m/s2'dir.
"Konu 4" konulu görevler ve testler. "Mekanik. Salınımlar ve dalgalar."
- Enine ve boyuna dalgalar. Dalgaboyu
Dersler: 3 Ödevler: 9 Testler: 1
- Ses dalgaları. Ses hızı - Mekanik titreşimler ve dalgalar. Ses 9. sınıf
Matematiksel sarkaç nedir?
Önceki derslerden, sarkacın kural olarak yerçekimi etkileşiminin etkisi altında salınan bir cisim anlamına geldiğini zaten bilmelisiniz. Yani fizikte bu kavramın genel olarak yerçekiminin etkisi altında sabit bir nokta veya eksen etrafında meydana gelen salınım hareketleri gerçekleştiren katı bir cisim olarak kabul edildiğini söyleyebiliriz.
Matematiksel sarkacın çalışma prensibi
Şimdi matematiksel bir sarkacın çalışma prensibine bakalım ve ne olduğunu bulalım.
Matematiksel bir sarkacın çalışma prensibi, maddi bir nokta denge konumundan küçük bir a açısı kadar, yani sina=a koşulunun karşılanacağı bir açı kadar saptığında, o zaman F = -mgsina = - kuvvetinin oluşmasına dayanır. mga vücuda etki edecektir.
Sen ve ben F'nin sahip olduğu kuvveti görüyoruz negatif gösterge ve bundan eksi işaretinin bize bu kuvvetin yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirildiğini söylediği sonucu çıkar. Ve F kuvveti yer değiştirme S ile orantılı olduğundan, böyle bir kuvvetin etkisi altında maddi noktanın harmonik salınımlar yapacağı sonucu çıkar.
Bir sarkacın özellikleri
Başka bir sarkacı ele alırsak salınım periyodu birçok faktöre bağlıdır. Bu faktörler şunları içerir:
Öncelikle vücut büyüklüğü ve şekli;
İkincisi, askı noktası ile ağırlık merkezi arasında bulunan mesafe;
Üçüncüsü, vücut ağırlığının belirli bir noktaya göre dağılımı.
Sarkaçların bu çeşitli durumları nedeniyle asılı bir cismin periyodunu belirlemek oldukça zordur.
Ve eğer matematiksel bir sarkaç alırsak, o zaman bilinen kullanılarak kanıtlanabilecek tüm özelliklere sahiptir. fiziksel yasalar ve periyodu formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir.
Bu tür mekanik sistemler üzerinde birçok farklı gözlem gerçekleştiren fizikçiler, aşağıdaki gibi kalıpları belirlemeyi başardılar:
Öncelikle sarkacın periyodu yükün kütlesine bağlı değildir. Yani, sarkacın aynı uzunluğunda, ondan farklı kütlelere sahip ağırlıkları asarsak, kütleleri oldukça çarpıcı farklılıklara sahip olsa bile, salınımlarının periyodu yine aynı olacaktır.
İkincisi, sistemi başlatırken sarkacı küçük ama farklı açılarla saptırırsak salınımları aynı periyoda sahip olacak ancak genlikleri farklı olacaktır. Denge merkezinden küçük sapmalarla formlarındaki titreşimler neredeyse harmonik bir karaktere sahip olacaktır. Yani böyle bir sarkacın periyodunun salınımların genliğine bağlı olmadığını söyleyebiliriz. Yunancadan tercüme edilen bu mekanik sistemin bu özelliğine izokronizm denir; burada "izos" eşit, "chronos" ise zaman anlamına gelir.
Sarkaç salınımlarının pratik kullanımı
Matematiksel sarkaç çeşitli çalışmalar fizikçiler, gökbilimciler, araştırmacılar ve diğer bilim adamları tarafından kullanılır. Böyle bir sarkaç yardımıyla mineral ararlar. Matematiksel bir sarkacın ivmesini gözlemleyerek ve salınımlarının sayısını sayarak, Dünyamızın bağırsaklarında kömür ve cevher yatakları bulunabilir.
Ünlü Fransız gökbilimci ve doğa bilimci K. Flammarion, matematiksel bir sarkacın yardımıyla birçok şeyi başardığını iddia etti. önemli keşifler Tunguska göktaşının ortaya çıkışı ve yeni bir gezegenin keşfi de dahil.
Günümüzde birçok medyum ve okültist, kayıp insanları aramak ve kehanet tahminleri yapmak için böyle bir mekanik sistemi kullanıyor.
Tanım
Matematik sarkaç- Bu özel durum kütlesi bir noktada bulunan fiziksel bir sarkaç.
Tipik olarak, matematiksel bir sarkacın, uzun, uzatılamaz bir iplik (askı) üzerinde asılı duran, büyük bir kütleye sahip küçük bir top (madde noktası) olduğu kabul edilir. Bu, yerçekiminin etkisi altında salınan idealleştirilmiş bir sistemdir. Sadece 50-100 derecelik açılar için matematiksel bir sarkaç harmonik bir osilatördür, yani harmonik salınımlar gerçekleştirir.
Galileo, uzun bir zincir üzerindeki avizenin salınımını inceleyerek matematiksel bir sarkacın özelliklerini inceledi. Belirli bir sistemin salınım periyodunun küçük sapma açılarındaki genliğe bağlı olmadığını fark etti.
Matematiksel sarkacın salınım periyodu formülü
Sarkacın askı noktası sabit olsun. Sarkaç ipliğine asılı bir yük, dairesel bir yay boyunca (Şekil 1(a)) ivmeyle hareket eder ve üzerine belirli bir geri getirme kuvveti ($\overline(F)$) etki eder. Yük hareket ettikçe bu kuvvet değişir. Sonuç olarak hareketin hesaplanması karmaşık hale gelir. Bazı basitleştirmeler sunalım. Sarkacın bir düzlemde değil, bir koni şeklinde salınmasına izin verin (Şekil 1 (b)). Bu durumda yük bir daire içinde hareket eder. Bizi ilgilendiren salınımların periyodu, yükün konik hareketinin periyoduna denk gelecektir. Konik bir sarkacın bir daire etrafında dönüş periyodu, yükün daire etrafında bir turda harcadığı zamana eşittir:
burada $L$ çevredir; $v$ yükün hareket hızıdır. İpliğin dikeyden sapma açıları küçükse (küçük titreşim genlikleri), o zaman geri çağırıcı kuvvetin ($F_1$) yükün tanımladığı dairenin yarıçapı boyunca yönlendirildiği varsayılır. O zaman bu kuvvet merkezcil kuvvete eşittir:
Hadi düşünelim benzer üçgenler: AOB ve DBC (Şekil 1 (b)).
(2) ve (3) numaralı ifadelerin sağ taraflarını eşitleyip yükün hareket hızını ifade ediyoruz:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
Ortaya çıkan hızı formül (1)'e koyarsak:
\ \
Formül (5)'ten matematiksel bir sarkacın periyodunun yalnızca süspansiyonun uzunluğuna (askı noktasından yükün ağırlık merkezine kadar olan mesafe) ve serbest düşüşün ivmesine bağlı olduğunu görüyoruz. Matematiksel bir sarkacın periyoduna ilişkin formül (5) Huygens formülü olarak adlandırılır; sarkacın askı noktası hareket etmediğinde sağlanır.
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodunun yerçekimi ivmesine bağımlılığı kullanılarak, bu ivmenin büyüklüğü belirlenir. Bunu yapmak için, çok sayıda salınımı dikkate alarak sarkacın uzunluğunu ölçün, $T$ periyodunu bulun ve ardından yerçekimi ivmesini hesaplayın.
Çözümlü problem örnekleri
örnek 1
Egzersiz yapmak. Bilindiği gibi yerçekiminden kaynaklanan ivmenin büyüklüğü enleme bağlıdır. Uzunluğu $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m olan bir matematiksel sarkacın salınım periyodu T=1 s'ye eşitse, Moskova enlemindeki yerçekimi ivmesi nedir?\textit()
Çözüm. Sorunu çözmenin temeli olarak matematiksel sarkacın periyoduna ilişkin formülü alıyoruz:
Serbest düşüşün ivmesini (1.1)’den ifade edelim:
Gerekli ivmeyi hesaplayalım:
Cevap.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
Örnek 2
Egzersiz yapmak. Bir matematiksel sarkacın asılı olduğu nokta dikey olarak aşağıya doğru hareket ederse, salınım periyodu ne olur? sabit hız? 2) $a$ ivmesiyle mi? Bu sarkacın ipliğinin uzunluğu 1$'dır.$
Çözüm. Bir çizim yapalım.
1) Askı noktası düzgün hareket eden bir matematiksel sarkacın periyodu, askı noktası sabit olan bir sarkacın periyoduna eşittir:
2) Sarkacın askı noktasındaki ivme, ivmeye karşı yönlendirilen $F=ma$ değerine eşit ek bir kuvvetin ortaya çıkması olarak düşünülebilir. Yani, eğer ivme yukarıya doğru yönlendirilirse, ilave kuvvet aşağıya doğru yönlendirilir, yani yerçekimi kuvvetine ($mg$) eklenir. Süspansiyon noktası aşağı doğru ivmeyle hareket ederse, ek kuvvet yerçekimi kuvvetinden çıkarılır.
Salınım yapan ve askı noktası ivmeyle hareket eden matematiksel bir sarkacın periyodunu şu şekilde buluruz:
Cevap. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
