Aşağıdaki makale, bir doğru parçasının uç noktalarının koordinatları başlangıç verisi olarak mevcutsa, o doğru parçasının ortasının koordinatlarını bulma konusunu ele alacaktır. Ancak konuyu incelemeye başlamadan önce birkaç tanım sunalım.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1
Çizgi segmenti– bir parçanın uçları adı verilen, iki rastgele noktayı birleştiren düz bir çizgi. Örnek olarak bunlar A ve B noktaları ve buna göre A B doğru parçası olsun.
A B doğru parçası A ve B noktalarından her iki yönde de devam ederse A B düz bir çizgisi elde ederiz. O zaman A B parçası, A ve B noktalarıyla sınırlanan, sonuçta ortaya çıkan düz çizginin bir parçasıdır. A B doğru parçası, uçları olan A ve B noktalarını ve aradaki noktaları birleştirir. Örneğin, A ve B noktaları arasında bulunan herhangi bir K noktasını alırsak, K noktasının A B doğru parçası üzerinde bulunduğunu söyleyebiliriz.
Tanım 2
Bölüm uzunluğu– belirli bir ölçekte bir parçanın uçları arasındaki mesafe (birim uzunlukta bir parça). A B doğru parçasının uzunluğunu şu şekilde gösterelim: A B .
Tanım 3
Segmentin orta noktası– Bir doğru parçası üzerinde bulunan ve uçlarından eşit uzaklıkta olan bir nokta. A B doğru parçasının ortası C noktası ile gösterilirse eşitlik doğru olacaktır: A C = C B
Başlangıç verileri: Ox koordinat çizgisi ve üzerinde çakışmayan noktalar: A ve B. Bu noktalar gerçek sayılara karşılık gelir x A ve xB. C noktası A B segmentinin ortasıdır: koordinatı belirlemek gerekir x C.
C noktası A B doğru parçasının orta noktası olduğundan eşitlik doğru olacaktır: | AC | = | C B | . Noktalar arasındaki mesafe, koordinatlarındaki farkın modülü ile belirlenir, yani.
| AC | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
O zaman iki eşitlik mümkündür: x C - x A = x B - x C ve x C - x A = - (x B - x C)
İlk eşitlikten C noktasının koordinatları için formülü türetiyoruz: x C = x A + x B 2 (bölümün uçlarının koordinatlarının toplamının yarısı).
İkinci eşitlikten şunu elde ederiz: x A = x B, bu imkansızdır çünkü kaynak verilerde çakışmayan noktalar. Böylece, A B segmentinin ortasının koordinatlarını A (x A) uçları ile belirlemek için formül ve B(xB):
Ortaya çıkan formül, bir düzlemdeki veya uzaydaki bir segmentin ortasının koordinatlarını belirlemek için temel olacaktır.
Başlangıç verileri: O xy düzlemindeki dikdörtgen koordinat sistemi, verilen A x A, y A ve B x B, y B koordinatlarına sahip, çakışmayan iki keyfi nokta. C noktası A B doğru parçasının ortasıdır. C noktası için x C ve y C koordinatlarını belirlemek gerekir.
A ve B noktalarının çakışmadığı ve aynı koordinat çizgisi üzerinde veya eksenlerden birine dik bir çizgi üzerinde bulunmadığı durumu analiz için ele alalım. A x , Ay ; B x, B y ve C x, C y - A, B ve C noktalarının koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonları (düz çizgiler O x ve O y).
Yapıya göre A Ax, B Bx, C Cx doğruları paraleldir; çizgiler de birbirine paraleldir. Bununla birlikte Thales teoremine göre A C = C B eşitliğinden şu eşitlikler çıkar: A x C x = C x B x ve A y C y = C y B y ve bunlar da C x noktasının A x B x bölümünün ortası ve C y, A y B y bölümünün ortasıdır. Daha önce elde edilen formüle dayanarak şunu elde ederiz:
x C = x A + x B 2 ve y C = y A + y B 2
A ve B noktalarının aynı koordinat çizgisi üzerinde veya eksenlerden birine dik bir çizgi üzerinde olması durumunda aynı formüller kullanılabilir. Yönetmek detaylı analiz Bu durumu dikkate almayacağız, sadece grafiksel olarak ele alacağız:
Yukarıdakilerin hepsini özetlersek, uçların koordinatları ile düzlemde A B segmentinin ortasının koordinatları bir (x Bir , y Bir) Ve B(xB, yB) olarak tanımlanır:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Başlangıç verileri: O x y z koordinat sistemi ve verilen A (x A, y A, z A) ve B (x B, y B, z B) koordinatlarına sahip iki rastgele nokta. A B doğru parçasının ortası olan C noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
A x , A y , A z ; B x , B y , B z ve C x , C y , C z - hepsinin projeksiyonları verilen puanlar Koordinat sisteminin ekseninde.
Thales teoremine göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z Cz = C z B z
Bu nedenle, C x , C y , C z noktaları sırasıyla A x B x , A y B y , A z Bz doğru parçalarının orta noktalarıdır. Daha sonra, Uzaydaki bir parçanın ortasının koordinatlarını belirlemek için aşağıdaki formüller doğrudur:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Ortaya çıkan formüller, A ve B noktalarının koordinat çizgilerinden birinde yer aldığı durumlarda da uygulanabilir; eksenlerden birine dik olan düz bir çizgi üzerinde; bir koordinat düzleminde veya koordinat düzlemlerinden birine dik bir düzlemde.
Bir parçanın ortasının koordinatlarının, uçlarının yarıçap vektörlerinin koordinatları aracılığıyla belirlenmesi
Bir parçanın ortasının koordinatlarını bulma formülü, vektörlerin cebirsel yorumuna göre de türetilebilir.
Başlangıç verileri: dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi O x y, verilen A (x A, y A) ve B (x B, x B) koordinatlarına sahip noktalar. C noktası A B doğru parçasının ortasıdır.
Vektörler üzerindeki eylemlerin geometrik tanımına göre aşağıdaki eşitlik doğru olacaktır: O C → = 1 2 · O A → + O B → . C noktası bu durumda– O A → ve O B → vektörleri temel alınarak oluşturulan bir paralelkenarın köşegenlerinin kesişme noktası, yani. köşegenlerin orta noktası Noktanın yarıçap vektörünün koordinatları noktanın koordinatlarına eşitse, eşitlikler doğrudur: O A → = (x A, y A), O B → = (x B) , y B). Koordinatlardaki vektörler üzerinde bazı işlemler gerçekleştirelim ve şunu elde edelim:
Ö C → = 1 2 · Ö A → + Ö B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Bu nedenle C noktasının koordinatları vardır:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Benzer şekilde, uzaydaki bir parçanın ortasının koordinatlarını bulmak için bir formül belirlenir:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Bir parçanın orta noktasının koordinatlarını bulmayla ilgili problem çözme örnekleri
Yukarıda elde edilen formüllerin kullanımını içeren problemler arasında, doğrudan sorunun doğru parçasının ortasının koordinatlarını hesaplamak olduğu ve bu soruya verilen koşulları getirmeyi içeren problemler vardır: "medyan" terimi. sıklıkla kullanılır, amaç bir parçanın uçlarından birinin koordinatlarını bulmaktır ve simetri sorunları da yaygındır, bu konuyu inceledikten sonra çözümü de genel olarak zorluk yaratmamalıdır. Tipik örneklere bakalım.
örnek 1
İlk veri: düzlemde - verilen A (- 7, 3) ve B (2, 4) koordinatlarına sahip noktalar. A B doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.
Çözüm
A B doğru parçasının ortasını C noktasıyla gösterelim. Koordinatları, segmentin uçlarının koordinatlarının toplamının yarısı kadar belirlenecektir, yani. A ve B noktaları.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Cevap: A B - 5 2, 7 2 segmentinin ortasının koordinatları.
Örnek 2
İlk veri: A B C üçgeninin koordinatları bilinmektedir: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Ortanca A M'nin uzunluğunu bulmak gerekir.
Çözüm
- Problemin koşullarına göre AM ortancadır, yani M, B C doğru parçasının orta noktasıdır. Öncelikle B C doğru parçasının ortasının koordinatlarını bulalım. M puanı:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Artık medyanın her iki ucunun (A ve M noktaları) koordinatlarını bildiğimize göre, noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek ve medyan A M'nin uzunluğunu hesaplamak için formülü kullanabiliriz:
AM = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Cevap: 58
Örnek 3
İlk veri: dikdörtgen koordinat sisteminde üç boyutlu uzay verilen paralel yüzlü A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . C1 noktasının koordinatları verilmiş (1, 1, 0) ve BD 1 köşegeninin orta noktası olan ve M (4, 2, - 4) koordinatlarına sahip olan M noktası da tanımlanmıştır. A noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Paralel borunun köşegenleri, tüm köşegenlerin orta noktası olan bir noktada kesişir. Bu ifadeye dayanarak problemin koşullarından bilinen M noktasının A C 1 doğru parçasının orta noktası olduğunu aklımızda tutabiliriz. Uzaydaki bir parçanın ortasının koordinatlarını bulma formülüne dayanarak A noktasının koordinatlarını buluyoruz: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Cevap: A noktasının koordinatları (7, 3, - 8).
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Geometride kullanılan üç ana koordinat sistemi vardır. teorik mekanik fiziğin diğer dalları: Kartezyen, kutupsal ve küresel. Bu koordinat sistemlerinde noktanın tamamının üç koordinatı vardır. 2 noktanın koordinatlarını bildiğinizde bu iki nokta arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz.
İhtiyacın olacak
- Bir parçanın uçlarının kartezyen, kutupsal ve küresel koordinatları
Talimatlar
1. İlk olarak dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemini düşünün. Bu koordinat sisteminde uzaydaki bir noktanın konumu belirlenir koordinatlar x,y ve z. Orijinden noktaya bir yarıçap vektörü çizilir. Bu yarıçap vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleri şöyle olacaktır: koordinatlar bu nokta Şimdi iki noktamız olsun koordinatlar sırasıyla x1,y1,z1 ve x2,y2 ve z2. Birinci ve 2. noktaların yarıçap vektörlerini sırasıyla r1 ve r2 ile belirtin. Görünüşe göre, bu iki nokta arasındaki mesafe, r = r1-r2 vektörünün modülüne eşit olacaktır, burada (r1-r2), vektör farkıdır.r vektörünün koordinatları, görünüşe göre aşağıdaki gibi olacaktır: x1-x2, y1-y2, z1-z2. O zaman r vektörünün büyüklüğü veya iki nokta arasındaki mesafe şuna eşit olacaktır: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Şimdi bir noktanın koordinatının radyal koordinat r (XY düzlemindeki yarıçap vektörü), açısal koordinat tarafından verileceği bir kutupsal koordinat sistemi düşünün. (r vektörü ile X ekseni arasındaki açı) ve z koordinatı, Kartezyen sistemdeki z koordinatına benzer.Bir noktanın kutupsal koordinatları aşağıdaki şekilde Kartezyen koordinatlara dönüştürülebilir: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Daha sonra iki nokta arasındaki mesafe koordinatlar r1, ?1 ,z1 ve r2, ?2, z2 şuna eşit olacaktır: R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin) ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Şimdi küresel koordinat sistemine bakın. İçinde noktanın konumu üç ile belirtilir koordinatlar R, ? Ve?. r – orijinden noktaya olan mesafe, ? Ve? – sırasıyla azimut ve zenit açısı. Köşe? kutupsal koordinat sisteminde aynı adı taşıyan bir açıya benzer, değil mi? – yarıçap vektörü r ile Z ekseni arasındaki açı, 0 ile<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с koordinatlar r1, ?1, ?1 ve r2, ?2 ve ?2 şuna eşit olacaktır: R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin) ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Konuyla ilgili video
Koordinat düzlemiyle ilişkili bir dizi görev (sınav problem türlerine dahil) vardır. Bunlar, sözlü olarak çözülen en temel problemlerden (belirli bir noktanın koordinatını veya apsisini veya belirli bir noktaya simetrik bir noktayı belirlemek ve diğerleri), yüksek kaliteli bilgi, anlayış ve beceri gerektiren görevlerle biten problemlerdir. iyi beceriler (düz bir çizginin açısal katsayısıyla ilgili problemler).
Yavaş yavaş hepsini değerlendireceğiz. Bu yazıda temel bilgilerle başlayacağız. Bunlar belirlenmesi basit görevlerdir: bir noktanın apsisi ve ordinatı, bir doğru parçasının uzunluğu, bir parçanın orta noktası, bir düz çizginin eğiminin sinüsü veya kosinüsü.Çoğu insan bu görevlerle ilgilenmeyecektir. Ama bunları belirtmeyi gerekli görüyorum.
Gerçek şu ki herkes okula gitmiyor. Pek çok kişi, mezuniyetten 3-4 veya daha fazla yıl sonra Birleşik Devlet Sınavına girer ve apsis ve koordinatın ne olduğunu belli belirsiz hatırlar. Koordinat düzlemiyle ilgili diğer görevleri de analiz edeceğiz, kaçırmayın, blog güncellemelerine abone olun. şimdi küçük bir teori.
Koordinat düzleminde koordinatları x=6, y=3 olan A noktasını oluşturalım.
A noktasının apsisinin altıya, A noktasının ordinatının üçe eşit olduğunu söylüyorlar.
Basitçe söylemek gerekirse, öküz ekseni apsis ekseni, y ekseni ise ordinat eksenidir.
Yani apsis, koordinat düzleminde verilen bir noktanın yansıtıldığı x ekseni üzerindeki bir noktadır; Ordinat, belirtilen noktanın yansıtıldığı y ekseni üzerindeki noktadır.
Koordinat düzlemindeki bir parçanın uzunluğu
Uçlarının koordinatları biliniyorsa, bir parçanın uzunluğunu belirleme formülü:
Gördüğünüz gibi, bir doğru parçasının uzunluğu eşit kenarlı bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğudur
X B - X A ve U B - U A
* * *
Segmentin ortası. Koordinatları.
Bir parçanın orta noktasının koordinatlarını bulma formülü:
Verilen iki noktadan geçen çizginin denklemi
Verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denkleminin formülü şu şekildedir:
burada (x 1;y 1) ve (x 2;y 2 ) verilen noktaların koordinatları.
Koordinat değerlerini formülde değiştirerek şu forma indirgenir:
y = kx + b, burada k çizginin eğimidir
Koordinat düzlemiyle ilgili başka bir grup problemi çözerken bu bilgiye ihtiyacımız olacak. Bununla ilgili bir yazımız olacak, kaçırmayın!
Başka ne ekleyebilirsiniz?
Düz bir çizginin (veya parçanın) eğim açısı, oX ekseni ile bu düz çizgi arasındaki 0 ila 180 derece arasındaki açıdır.
Görevleri düşünelim.
(6;8) noktasından ordinat eksenine bir dikme bırakılıyor. Dikmenin tabanının ordinatını bulun.
Ordinat eksenine indirilen dikey tabanın koordinatları (0;8) olacaktır. Ordinat sekize eşittir.
Cevap: 8
Noktaya olan mesafeyi bulun A koordinatlara (6;8) göre.
A noktasından ordinat eksenine olan mesafe, A noktasının apsisine eşittir.
Cevap: 6.
A(6;8) eksene göre Öküz.
oX eksenine göre A noktasına simetrik bir noktanın koordinatları (6;– 8) vardır.
Ordinat eksi sekize eşittir.
Cevap: – 8
Noktaya simetrik bir noktanın koordinatını bulun A(6;8) orijine göre.
Orijine göre A noktasına simetrik bir noktanın koordinatları vardır (– 6; – 8).
Ordinatı -8'dir.
Cevap: –8
Noktaları birleştiren doğru parçasının orta noktasının apsisini bulunÖ(0;0) ve A(6;8).
Sorunu çözmek için doğru parçasının ortasının koordinatlarını bulmak gerekir. Segmentimizin uçlarının koordinatları (0;0) ve (6;8)'dir.
Aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:
(3;4) elde ettik. Apsis üçe eşittir.
Cevap: 3
*Bir doğru parçasının ortasının apsisi, bu doğru parçasını bir kare kağıt üzerinde koordinat düzleminde oluşturup formül kullanarak hesap yapmadan belirlenebilir. Segmentin ortasının hücreler tarafından belirlenmesi kolay olacaktır.
Noktaları birleştiren doğru parçasının orta noktasının apsisini bulun A(6;8) ve B(–2;2).
Sorunu çözmek için doğru parçasının ortasının koordinatlarını bulmak gerekir. Parçamızın uçlarının koordinatları (–2;2) ve (6;8)'dir.
Aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:
(2;5) elde ettik. Apsis ikiye eşittir.
Cevap: 2
*Bir doğru parçasının ortasının apsisi, bu doğru parçasını bir kare kağıt üzerinde koordinat düzleminde oluşturup formül kullanarak hesap yapmadan belirlenebilir.
(0;0) ve (6;8) noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu bulun.
Segmentin uçlarının verilen koordinatlarındaki uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:
bizim durumumuzda O(0;0) ve A(6;8) var. Araç,
*Çıkarma işleminde koordinatların sırası önemli değildir. A noktasının apsisini ve ordinatını O noktasının apsis ve ordinatından çıkarabilirsiniz:
Cevap:10
Noktaları birleştiren parçanın eğiminin kosinüsünü bulun Ö(0;0) ve A(6;8), x ekseniyle.
Bir segmentin eğim açısı, bu segment ile oX ekseni arasındaki açıdır.
A noktasından oX eksenine dik bir açı indiriyoruz:
Yani bir parçanın eğim açısı açıdırSAIABO dik üçgeninde.
Bir dik üçgende dar bir açının kosinüsü
bitişik bacağın hipotenüse oranı
Hipotenüsü bulmamız gerekiyorOA.
Pisagor teoremine göre:Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.
Böylece eğim açısının kosinüsü 0,6 olur.
Cevap: 0,6
(6;8) noktasından apsis eksenine bir dikme bırakılıyor. Dik tabanın apsisini bulun.
(6;8) noktasından apsis eksenine paralel bir doğru çizilir. Eksenle kesişme noktasının koordinatını bulun kuruluş birimi.
Noktaya olan mesafeyi bulun A apsis eksenine koordinatları (6;8) olan.
Noktaya olan mesafeyi bulun A orijine koordinatları (6;8) ile.
İyi bilenmiş bir kalemle bir defter sayfasına dokunursanız, nokta hakkında fikir veren bir iz kalacaktır. (Şek. 3).
Bir kağıt parçası üzerinde iki A ve B noktasını işaretleyelim, bu noktalar çeşitli doğrularla birleştirilebilir (Şekil 4). A ve B noktaları en kısa çizgiyle nasıl bağlanır? Bu bir cetvel kullanılarak yapılabilir (Şekil 5). Ortaya çıkan satır denir bölüm.
Nokta ve çizgi - örnekler geometrik şekiller.
A ve B noktalarına denir segmentin sonları.
Uçları A ve B noktaları olan tek bir doğru parçası vardır. Dolayısıyla bir doğru parçası, onun uçları olan noktaların yazılmasıyla gösterilir. Örneğin, Şekil 5'teki bölüm iki yoldan biriyle belirtilir: AB veya BA. Okuyun: "AB segmenti" veya "BA segmenti".
Şekil 6'da üç bölüm gösterilmektedir. AB segmentinin uzunluğu 1 cm'dir, MN segmentine tam olarak üç kez, EF segmentine tam olarak 4 kez sığar. Diyelim ki bölüm uzunluğu MN 3 cm'ye eşittir ve EF segmentinin uzunluğu 4 cm'dir.
Ayrıca şunu söylemek de gelenekseldir: "MN segmenti 3 cm'ye eşittir", "EF segmenti 4 cm'ye eşittir." Şöyle yazıyorlar: MN = 3 cm, EF = 4 cm.
MN ve EF segmentlerinin uzunluklarını ölçtük tek bölüm uzunluğu 1 cm olan Segmentleri ölçmek için diğerlerini seçebilirsiniz uzunluk birimleri, örneğin: 1 mm, 1 dm, 1 km. Şekil 7'de segmentin uzunluğu 17 mm'dir. Dereceli bir cetvel kullanılarak uzunluğu 1 mm olan tek bir parça ile ölçülür. Ayrıca bir cetvel kullanarak belirli bir uzunlukta bir parça oluşturabilirsiniz (çizebilirsiniz) (bkz. Şekil 7).
Kesinlikle, bir segmenti ölçmek, ona kaç birim segmentin sığdığını saymak anlamına gelir.
Bir parçanın uzunluğu aşağıdaki özelliğe sahiptir.
AB doğru parçası üzerinde C noktasını işaretlerseniz, AB doğru parçasının uzunluğu AC ve CB doğru parçalarının uzunluklarının toplamına eşittir.(Şekil 8).
Yazın: AB = AC + CB.
Şekil 9 AB ve CD olmak üzere iki segmenti göstermektedir. Bu bölümler üst üste bindirildiğinde çakışacaktır.
Üst üste bindirildiğinde çakışmaları durumunda iki parçaya eşit denir.
Bu nedenle AB ve CD doğru parçaları eşittir. Şöyle yazıyorlar: AB = CD.
Eşit segmentler eşit uzunluklara sahiptir.
Eşit olmayan iki parçadan daha uzun olanı daha büyük olarak kabul edeceğiz. Örneğin, Şekil 6'da EF segmenti MN segmentinden daha büyüktür.
AB doğru parçasının uzunluğuna denir mesafe A ve B noktaları arasında.
Şekil 10'da gösterildiği gibi birkaç parça düzenlenirse, adı verilen geometrik bir şekil elde edersiniz. bozuk hat. Şekil 11'deki tüm bölümlerin kesikli bir çizgi oluşturmadığına dikkat edin. Birinci bölümün sonu ikinci bölümün sonuyla ve ikinci bölümün diğer ucu üçüncü bölümün sonu ile çakışırsa, bölümlerin kesikli bir çizgi oluşturduğu kabul edilir.
A, B, C, D, E Noktaları – kırık bir çizginin köşeleri ABCDE, A ve E noktaları – çoklu çizginin uçları ve AB, BC, CD, DE doğru parçaları onun bağlantılar(bkz. Şekil 10).
Hat uzunluğu tüm bağlantılarının uzunluklarının toplamını çağırın.
Şekil 12'de uçları çakışan iki kesikli çizgi gösterilmektedir. Bu tür kırık çizgilere denir kapalı.
Örnek 1 . BC segmenti, uzunluğu 8 cm olan AB segmentinden 3 cm daha küçüktür (Şekil 13). AC segmentinin uzunluğunu bulun.
Çözüm. Elimizde: BC = 8 − 3 = 5 (cm) var.
Bir doğru parçasının uzunluğu özelliğini kullanarak AC = AB + BC yazabiliriz. Dolayısıyla AC = 8 + 5 = 13 (cm) olur.
Cevap: 13cm.
Örnek 2 . MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm olduğu bilinmektedir (Şekil 14). NK doğru parçasının uzunluğunu bulun.
Çözüm. Elimizde: MN = MP − NP.
Dolayısıyla MN = 50 − 32 = 18 (cm) olur.
Elimizde: NK = MK − MN.
Dolayısıyla NK = 24 − 18 = 6 (cm).
Cevap: 6cm.
Segmente göre bu iki nokta arasında bulunan bu çizginin tüm noktalarından oluşan düz bir çizginin bir kısmını çağırın - bunlara segmentin uçları denir.
İlk örneğe bakalım. Belirli bir parçanın koordinat düzlemindeki iki noktayla tanımlandığını varsayalım. Bu durumda Pisagor teoremini kullanarak uzunluğunu bulabiliriz.
Böylece, koordinat sisteminde uçlarının verilen koordinatlarına sahip bir segment çizeriz.(x1; y1) Ve (x2; y2) . Eksen üzerinde X Ve e Parçanın uçlarından dik çizgiler çizin. Koordinat ekseninde orijinal parçanın izdüşümleri olan parçaları kırmızıyla işaretleyelim. Bundan sonra projeksiyon segmentlerini segmentlerin uçlarına paralel olarak aktarıyoruz. Bir üçgen elde ediyoruz (dikdörtgen). Bu üçgenin hipotenüsü AB doğru parçasının kendisi olacak ve bacakları da aktarılan çıkıntılardır.
Bu projeksiyonların uzunluğunu hesaplayalım. Yani eksen üzerinde e projeksiyon uzunluğu y2-y1 ve eksen üzerinde X projeksiyon uzunluğu x2-x1 . Pisagor teoremini uygulayalım: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Bu durumda |AB| segmentin uzunluğudur.
Bir parçanın uzunluğunu hesaplamak için bu diyagramı kullanırsanız parçayı oluşturmanıza bile gerek kalmaz. Şimdi doğru parçasının uzunluğunu koordinatlarla hesaplayalım (1;3) Ve (2;5) . Pisagor teoremini uygulayarak şunu elde ederiz: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Bu, segmentimizin uzunluğunun şuna eşit olduğu anlamına gelir: 5:1/2 .
Bir parçanın uzunluğunu bulmak için aşağıdaki yöntemi göz önünde bulundurun. Bunu yapabilmek için bazı sistemlerdeki iki noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir. Bu seçeneği iki boyutlu Kartezyen koordinat sistemi kullanarak ele alalım.
Yani iki boyutlu bir koordinat sisteminde parçanın uç noktalarının koordinatları verilir. Bu noktalardan düz çizgiler çizersek, bunların koordinat eksenine dik olması gerekir, o zaman bir dik üçgen elde ederiz. Orijinal parça, ortaya çıkan üçgenin hipotenüsü olacaktır. Bir üçgenin bacakları bölümler oluşturur, uzunlukları hipotenüsün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümüne eşittir. Pisagor teoremine dayanarak şu sonuca varıyoruz: Belirli bir parçanın uzunluğunu bulmak için, iki koordinat ekseni üzerindeki çıkıntıların uzunluklarını bulmanız gerekir.
İzdüşüm uzunluklarını bulalım (X ve Y) orijinal segmenti koordinat eksenlerine yerleştirin. Bunları, ayrı bir eksen boyunca noktaların koordinatlarındaki farkı bularak hesaplıyoruz: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Segmentin uzunluğunu hesaplayın A Bunun için karekökü buluyoruz:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Segmentimiz koordinatları belirtilen noktalar arasında yer alıyorsa 2;4 Ve 4;1 , o zaman uzunluğu buna karşılık gelecek şekilde eşittir √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
