Урок на тему: "Стандартний вигляд одночлена. Визначення. Приклади"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Мультимедійний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 7-9 класів
Одночлен. Визначення
Одночлен- це математичний вираз, який є твір простого множника і однієї або декількох змінних.До одночленів відносяться всі числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником:
42;
3;
0;
6 2;
2 3; b 3; ax 4;4x 3;
5a 2;
12xyz 3 .
Досить часто буває важко визначити, відноситься цей математичний вираз до одночлена чи ні. Наприклад, $\frac(4а^3)(5)$. Це одночлен чи ні? Щоб відповісти це питання треба спростити вираз, тобто. представити як: $\frac(4)(5)*а^3$.
Ми можемо точно сказати, що це вираз - одночлен.
Стандартний вид одночлена
При обчисленнях бажано привести одночлен до
стандартного вигляду
. Це найбільш короткий і зрозумілий запис одночлена.
Порядок приведення одночлена до стандартного вигляду наступний:
При обчисленнях бажано привести одночлен до
1. Перемножити коефіцієнти одночлена (або числові множники) та отриманий результат помістити на перше місце.
2. Вибрати всі ступені з однаковою буквеною основою та перемножити їх.
У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади підручника. Згадаймо правила множення ступенів з однаковими основами. Дамо визначення стандартного виду одночлена, коефіцієнта одночлена та його буквеної частини. Розглянемо дві основні типові дії над одночленами, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях літерних змінних, що входять до нього. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного виду. Навчимося вирішувати типові завданняз будь-якими одночленами.
Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленами
Урок:Концепція одночлена. Стандартний вид одночлена
Розглянь деякі приклади:
3. 
;
Знайдемо загальні рисидля наведених виразів. У всіх трьох випадках вираз є добутком чисел та змінних, зведених у ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : одночленом називають таке алгебраїчний вираз, що складається з добутку ступенів та чисел.
Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленами:
Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або поділу, тоді як у прикладах 1-3, які є одночленами, цих операцій немає.
Наведемо ще кілька прикладів:
Вираз під номером 8 є одночленом, оскільки це твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленом.
Тепер з'ясуємо дії над одночленами .
1.Спрощення. Розглянемо приклад №3 ;і приклад №2 /
У другому прикладі бачимо лише одне коефіцієнт - , кожна змінна зустрічається лише один раз, тобто змінна « а» представлена в єдиному екземплярі, як «», аналогічно змінні «» і «» зустрічаються лише один раз.
У прикладі №3 навпаки, є два різні коефіцієнти - і , змінну «» бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається двічі. Тобто, цей вираз слід спростити, таким чином, приходимо до першій дії, що виконується над одночленами - приведення одночлена до стандартного виду . Для цього наведемо до стандартного виду вираз із прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-який одночлен.
Отже, розглянь приклад:
Першою дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:
;
Результат цієї дії буде називатися коефіцієнтом одночлена .
Далі необхідно перемножити ступені. Перемножимо ступеня змінної х» згідно з правилом множення ступенів з однаковими підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:
тепер перемножимо ступеня « у»:
;
Отже, наведемо спрощений вираз:
;
Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. Сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :
Перемножити всі числові множники;
Поставити отриманий коефіцієнт перше місце;
Перемножити всі ступені, тобто отримати літерну частину;
Тобто будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і літерною частиною. Забігаючи вперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову літерну частину, називаються подібними.
Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленів до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:
Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт та літерну частину.
Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.
1. 
;
3. 
;
Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вираз є одночленом, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання чи поділу. Можемо сказати, що це вираз є одночленом, оскільки вищезазначене умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:
- ми виявили коефіцієнт заданого одночлена;
; ; ; тобто, отримана буквена частина виразу:;
запишемо відповідь: ;
Коментарі до другого прикладу: Дотримуючись правила виконуємо:
1) перемножити числові множники:
2) перемножити ступеня:
Змінні та представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:
запишемо відповідь:
;
У цьому прикладі коефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а літерна частина .
Коментарі до третього прикладу: ааналогічно попереднім прикладам виконуємо дії:
1) перемножити чисельні множники:
;
2) перемножити ступеня:
;
випишемо відповідь: ;
У даному випадкукоефіцієнт одночлена дорівнює «», а літерна частина 
.
Тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленами . Оскільки одночлен це алгебраїчне вираз, що складається з літерних змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то маємо арифметичне числове вираз, яке слід обчислити. Тобто, наступна операція над багаточленами полягає в обчисленні їх конкретного числового значення .
Розглянемо приклад. Задано одночлен:
даний одночлен вже наведено до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а літерна частина
Раніше ми говорили, що вираз алгебри не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж змінні, що входять до нього, можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.
Отже, у заданому прикладіпотрібно обчислити значення одночлена при , , , .
Одночлени є творами чисел, змінних та його ступенів. Числа, змінні та їх ступеня також вважаються одночленами. Наприклад: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можна навести на вигляд 20a^2b^2.Такий вид називається стандартним видом одночлена.Тобто, стандартний вид одночлена - це добуток коефіцієнта (що стоїть на першому місці) і ступенів змінних. Коефіцієнти 1 та -1 не пишуть, але від -1 зберігають мінус. Одночлен та його стандартний вигляд
Вирази 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x є творами чисел, змінних та їх ступенів. Такі вирази називаються одночленами. Одночленами також вважають числа, змінні та його ступеня.
Наприклад, вирази - 8, 35, y та y2 - одночлени.
Стандартним видом одночлена називається одночлен у вигляді твору числового множника, що стоїть на першому місці, і ступенів різних змінних. Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду шляхом перемноження всіх змінних чисел, що входять до нього. Наведемо приклад приведення одночлена до стандартного вигляду:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Наприклад, коефіцієнт одночлена -7x2y2 дорівнює -7. Коефіцієнти одночленів x3 і -xy вважають рівними 1 і -1, оскільки x3 = 1x3 і -xy = -1xy
Ступенем одночлена називають суму показників ступенів всіх змінних, що входять до нього. Якщо одночлен не містить змінних, тобто є числом, його ступінь вважають рівною нулю.
Наприклад, ступінь одночлена 8x3yz2 дорівнює 6, одночлена 6x дорівнює 1, одночлена -10 дорівнює 0.
Розмноження одночленів. Зведення одночленів у ступінь
При множенні одночленів та зведенні одночленів у ступінь використовується правило множення ступенів з однаковою основою та правило зведення ступеня у ступінь. При цьому виходить одночлен, який зазвичай становлять у стандартному вигляді.
Наприклад
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Ми зазначили, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. У цій статті ми розберемося, що називають приведенням одночлена до стандартного вигляду, які дії дозволяють здійснити цей процес, та розглянемо рішення прикладів із докладними поясненнями.
Навігація на сторінці.
Що означає привести одночлен до стандартного вигляду?
З одночленами зручно працювати, коли вони записані у стандартному вигляді. Однак досить часто одночлени задаються у вигляді, відмінному від стандартного. У цих випадках завжди можна перейти від вихідного одночлена до одночлена стандартного виду, виконавши тотожні перетворення. Процес проведення таких перетворень називають приведенням одночлена до стандартного виду.
Узагальним наведені міркування. Привести одночлен до стандартного вигляду- Це означає виконати з ним такі тотожні перетворення, щоб він набув стандартного вигляду.
Як привести одночлен до стандартного вигляду?
Настав час розібратися з тим, як наводити одночлени до стандартного вигляду.
Як відомо з визначення, одночлени нестандартного виду є творами чисел, змінних та їх ступенів, причому, можливо, повторюваних. А одночлен стандартного виду може містити в своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня. Тепер залишилося зрозуміти, як твори першого виду привести до другого?
Для цього потрібно скористатися наступним правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, що складається з двох кроків:
- По-перше, виконується угрупованнячислових множників, а також однакових змінних та їх ступенів;
- По-друге, обчислюється добуток чисел і застосовується .
Внаслідок застосування озвученого правила будь-який одночлен буде наведено до стандартного вигляду.
Приклади, рішення
Залишилося навчитися застосовувати правило з попереднього пункту під час вирішення прикладів.
приклад.
Приведіть одночлен 3 x 2 x 2 до стандартного вигляду.
Рішення.
Згрупуємо числові множники та множники зі змінною x. Після угруповання вихідний одночлен набуде вигляду (3·2)·(x·x 2) . Добуток чисел у перших дужках дорівнює 6, а правило множення ступенів з однаковими основами дозволяє вираз у других дужках уявити як x1+2=x3. У результаті отримуємо багаточлен стандартного виду 6 x 3 .
Наведемо короткий запис рішення: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3.
Відповідь:
3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .
Отже, для приведення одночлена до стандартного виду необхідно вміти проводити угруповання множників, виконувати множення чисел і працювати зі ступенями.
Для закріплення матеріалу вирішимо ще один приклад.
приклад.
Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його коефіцієнт.
Рішення.
Вихідний одночлен має у своєму записі єдиний числовий множник −1, перенесемо його на початок. Після цього окремо згрупуємо множники зі змінною a, окремо – зі змінно b, а змінну m групувати нема з чим, залишимо її як є, маємо 
. Після виконання дій зі ступенями в дужках одночлен набуде потрібного нам стандартного вигляду, звідки видно коефіцієнт одночлена, рівний -1. Мінус одиницю можна замінити знаком мінус: .
